Заметки о теоретической физике → Ключевые слова → гравитация

гравитация

Михаил Гойхман

Энтропия черных дыр в полуклассической гравитации

29 июля 2012 года, 00:23

Этот пост посвящен обсуждению термодинамики черных дыр. Черные дыры обладают температурой и энтропией; вообще говоря ни то ни другое не равно нулю. Температура и энтропия — это термодинамические величины, так что уравнения, в которые они входят, это стандартные термодинамические уравнения. Ненулевая температура черной дыры означает, что черная дыра излучает (помимо того, что поглощает), и потому в принципе можно рассматривать равновесие черной дыры и ее излучения. Однако, в классической гравитации черная дыра не может излучать. Так что излучение черной дыры — чисто квантовый эффект. Поэтому задача описания термодинамики черных дыр — это задача квантовой гравитации.

Эффективно квантовая гравитация — это квантовая теория поля. Эффективная квантовая теория поля на каком то заданном масштабе энергии определяется эффективным действием. Эффективное действие — это классическое действие, квантовые поправки к нему, и члены с высшими производными, также являющиеся квантовыми поправками. Пренебречь квантовыми поправками — это значит рассматривать классическое действие. В теории гравитации классическое действие — это действие Эйнштейна-Гильберта.

Какая связь между термодинамикой и квантовой теорией поля? Термодинамика изучает физические системы при ненулевой температуре. Так что мы интересуемся квантовой теорией поля при ненулевой температуре. Что такое квантовая теория поля при конечной температуре? Квантовая теория поля определяется интегралом по путям,

$$Z=\int [{\cal D}\phi]e^{i\int dtL}\,,$$

где $$\phi$$ определяет набор всех полей системы, L — лагранжиан, t — время в системе координат Минковского. Физический смысл Z — амплитуда вероятности эволюции системы за все время ее существования. Это просто следует из того, как определяется интеграл по путям. Другой способ записать ту же величину:

$$Z=\sum _a\langle a|\exp\left(iTH\right)|a\rangle\,,$$

где сумма осуществляется по всем начальным состояниям, которые я положил равными конечным состояниям (это необязательное условие, вообще говоря). Здесь— время (не путайте с температурой, я еще только один раз использую эту букву для обозначения времени эволюции), за которое система эволюционировала, а H — гамильтониан системы. Если система имеет нулевую температуру, то с термодинамикой она никак не связана, так что . Если же мы рассматриваем квантовую теорию поля при конечной температуре, то амплитуда вероятности эволюции системы — это статистическая сумма,

$$Z=\sum _a\exp\left(-\beta E_a\right)\,,$$

где Ea — энергия системы в состоянии a, β — обратная температура. Наша задача — приравнять выражения для Z, термодинамическое и квантовое теоретико-полевое. Мы уже видим, что они имеют похожую структуру: по крайней мере оба представляют собой сумму потенцированной энергии состояния с каким то коэффициентом перед энергией, по всем состояниям системы. Надо сделать эти коэффициенты равными друг другу. Во-первых, они оба должны быть вещественными. Так что заменим временную координату, = −. Причем как t так и τ здесь — вещественные. Вам кажется это противоречием? Ответом на возможное недоумение является виковский поворот — то, что можно сделать в унитарной теории поля: теории с пропагаторами, полюса которых обходятся по правилу Фейнмана, повернув плоскость комплексного времени на прямой угол не изменив число полюсов внутри контура обхода. Тогда, если период времени τ равен β, мы получаем интеграл по путям квантовой теории поля равным статсумме термодинамической системы с температурой 1/β. Наконец, действие системы зависит от времени, так что виковский поворот приводит нас к статсумме вида

$$Z=\int [{\cal D}\phi]e^{-\int d\tau L}=\int [{\cal D}\phi]e^{-S_E}\,,$$

где я ввел евклидово действие SE. Евклидово действие определяет теорию в пространстве-времени с Евклидовой сигнатурой метрики, что есть следствие использования евклидова времени τ. Итак вывод: квантовая теория поля при конечной температуре — это теория, которая периодична по евклидовому времени, с периодом, равным обратной температуре.

Далее, что заменяет понятие энергии E в любой физической системе, если температура этой системы становится ненулевой? Энергия — это мера взаимодействия. Взаимодействие определяет совершенную работу. Работа системы, совершенная при заданной температуре T, равна изменению свободной энергии этой системы, ETS, где S — это энтропия системы. Тогда, если наша система — это квантово-полевая система, которая при нулевой температуре и заданном ИК масштабе энергии описывается эффективным действием, то при ненулевой температуре эта система описывается свободной энергией. В частном случае, если мы пренебрегаем квантовыми поправками, то Евклидово действие системы равно свободной энергии этой системы. Итак, второе следствие введения ненулевой температуры состоит в замене эффективного действия свободной энергией.

Термодинамика строится на понятии статистической суммы. Чтобы записать статистическую сумму, надо знать вероятность распределения термодинамической системы по разным возможным термодинамическим состояниям. Таким образом, в зависимости от конкретной системы, которую мы рассматриваем, статистическая сумма зависит от разного возможного набора независимых термодинамических параметров, определяющих систему.

Три важных варианта термодинамической системы: это канонический ансамбль, микроканонический ансамбль и большой канонический ансамбль. Отличие между ними заключается в различии физического состояния системы, а именно того, какие параметры принимают определенное значение в каждом рассматриваемом состоянии системы. Тогда вероятность распределения состояний системы есть функция этих различных параметров.

Канонический ансамбль — это физическая система с фиксированными значениями количества частиц N, объема V и температуры T, для которой нам известно распределение вероятностей w по состояниям с различной энергией. Физический смысл канонического ансамбля: это большая система, с хорошо определенной температурой, рассмотрением отдельных и микроскопических частей которой мы не интересуемся. При этом малые части системы могут взаимодействовать между собой, так что температура каждой малой части меняется и не является поэтому определенной величиной. Для описания таких подсистем нам нужен микроканонический ансамбль. В случае микроканонического ансамбля температура заменяется энергией системы E. В этом случае мы не рассматриваем состояния системы, обладающие фиксированной температурой: температура не является равновесным параметром. То есть микроканонический ансамбль определяется функцией распределения w(T) и задается параметрами N, V, E. Наконец, большой канонический ансамбль — это физическая система, которая обменивается частицами с термостатом при данной температуре. Скорость обмена частицами определяется химическим потенциалом системы μ. Итак, статистика большого канонического ансамбля определяется функцией w(N, E) и система задается параметрами μ, V, T.

Все три ансамбля используются при описании черных дыр. Канонический ансамбль, естественно, описывает черную дыру с данной температурой. Микроканонический ансамбль описывает неравновесное состояние черной дыры с данной массой. Большой канонический ансамбль описывает заряженную черную дыру. А именно, если черная дыра заряжена, то вместо рассмотрения ансамбля черных дыр с данным значением заряда Q мы можем рассматривать черные дыры с данным значением хим-потенциала. Такие черные дыры описываются большим термодинамическим потенциалом Ω − TS μQ. Если вы считаете эффективное действие для системы с заданной температурой и хим-потенциалом, то это больше не свободная энергия, как я писал выше. Теперь эффективное действие — это большой термодинамический потенциал. Замечу, что оба описания эквивалентны: соотношение между свободной энергией и большим термодинамическим потенциалом сводится к преобразованию Лежандра.

Допустим, мы живем в (d+1)-мерном пространстве-времени M с границей ∂M. Выберем локальную координатную систему xμ на M. Пусть gμν — метрический тензор на M в этой коориднатной системе. Далее, в выбранной координатной системе граница ∂M задается уравнением, r(x) = 0. Так что граница ∂M имеет размерность d. Вектор, ортогональный ∂M, направлен по градиенту границы r(x) = 0. Отнормируем этот вектор:

$$n^\mu=\frac{\partial^\mu r}{\sqrt{g^{\mu\nu}\partial _\mu r\partial _\nu r}}\,.$$

Обозначим hμν метрику на ∂M. Тогда nμhμν=0, в силу ортогональности вектора n и любого вектора на ∂M. Эта связь на метрический тензор h устраняет d+1 его независимых компонент. Остается (d+1)(d+2)/2-(d+1)=d(d+1)/2 компонент, как и должно быть для метрического тензора в d-мерном пространстве. Решением этой связи является, очевидно,

$$h_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-n_\mu n_\nu\,.$$

Если пространство-время имеет границу, то нам нужно принять во внимание граничные члены, которые появляются при варьировании действия Гильберта-Эйнштейна. Действительно, вспомним, что при выводе уравнений Эйнштейна из действия Гильберта-Эйнштейна важным соотношением является

$$\int d^{d+1}x\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}=\int d^{d+1}x\sqrt{-g}\nabla_\mu (g^{\nu\rho}\delta\Gamma^\mu_{\nu\rho})\,,$$

что сводится к граничным членам. Если граница существует, то нам надо позаботиться об исчезновении этих граничных членов. Граничные члены включают вариацию метрики и первой производной метрики. Вариация метрики на границе всегда равна нулю. Есть два способа обойтись с вариацией производной метрики. Первый — не варьировать производную метрики на границе — т.е. наложить условие Неймана. Этот способ подразумевает какую-то дополнительную физику, которая обеспечивает фиксированность производных полей на границе. Второй способ — добавить действие на границе.

Проще говоря, вот что происходит. Пусть f(r) обозначает какую то компоненту метрики. Действие Эйнштейна содержит члены типа

$$\int drA(r)f''(r)f(r)$$

где A(r) есть некоторая функция, для простоты все зависит только от радиальной координаты (граница пространства-времени, на которой мы добавим граничный член действия, определяется фиксированным значением этой радиальной координаты). После интегрирования по частям это действие может быть переписано как

$$-\int drf'(r)(Af(r))'+[Af'f]_b$$

где индекс b означает что выражение посчитано на границе r=rb. Вариация первого члена в последнем выражении дает уравнения движения и граничное условие

$$\delta f(r)_{r=r_b}=0$$

А вариация второго члена вдобавок требует выполнение условия

$$\delta f'(r)_{r=r_b}=0$$

Нет никаких оснований считать что это второе условие должно выполняться. Поэтому мы добавляем к исходному действию граничный член

$$S_b=-[Af'f]_b$$

который, естественно, полностью компенсирует вариацию производной метрики f на границе.

В случае гравитации такой граничный член был предложен независимо в работе Гиббонса, Хокинга и работе Йорка, и потому называется членом Гиббонса-Хокинга. ;) Полное гравитационное действие тогда (положим d+1=4)

$$K=\frac{1}{16 \pi G}\int d^4x\sqrt{-g}R+\frac{1}{8\pi G}\int d^3x\sqrt{|h|}K\,,$$

где скаляр внешней кривизны определяется через нормальный вектор к границе

$$K=\nabla _\nu n^\nu\,.$$

Сосчитаем, например, член Гиббонса-Хокинга для границы AdS. В координатах Пуанкаре пространство-время AdS (точнее его половина, т.е. то, что создается стопкой черных бран вблизи их горизонта, и соответственно то, что фигурирует в AdS/CFT соответствии) задается метрикой

$$ds^2=\frac{dz^2-dt^2+dx^idx^i}{z^2}\,.$$

Соответсвующие ненулевые символы Кристоффеля равны (в этом примере греческие индексы обозначают все координаты кроме радиальной координаты z)

$$\Gamma^\mu_{z\nu}=\Gamma^\mu_{\nu z}=-\frac{1}{z}\delta^\mu_\nu\,,\quad\Gamma^z_{zz}=-\frac{1}{z}\,,\quad\Gamma^z_{\mu\nu}=\frac{1}{z}\eta_{\mu\nu}\,.$$

Граница AdS есть поверхность z=0, нормальный к ней вектор есть вектор с единственной ненулевой компонентой nz=-1/z. Тогда

$$\nabla_\lambda n_\mu=\partial _\lambda n_\mu-\Gamma^\nu_{\lambda\mu}n_\nu=\frac{1}{z^2}\eta_{\mu\lambda}\,,\quad\mu,\lambda\neq z$$

и тогда

$$K=4$$

Рассмотрим черную дыру Шварцшильда, и запишем ее метрику в сферически-симметричной координатной системе

$$g_{\mu\nu}={\rm diag}\left\{-\left(1-\frac{r_h}{r}\right)\,,\;\frac{1}{1-\dfrac{r_h}{r}}\,,\;r^2\,,\;r^2\sin^2\theta\right\}\,.$$

Здесь поверхность r=rh определяет горизонт черной дыры: свето-подобную поверхность, т.е. поверхность на которой gtt=0. В силу последнего, очевидное свойство такой поверхности в том, что она параллельна поверхности светового конуса вблизи нее, так что эта поверхность разделяет области пространства-времени, не связанные друг с другом причинно-следственными связями (точнее, верхний световой конус любого события внутри горизонта направлен внутрь черной дыры). Метрика Шварцшильда, записанная выше, сингулярна при r=rh и потому определена только при r>rh. Таким образом, мы должны принять во внимание член Гиббонса-Хокинга на поверхности r=rh.

Перед тем как продолжить с вычислением действия, придадим термодинамический смысл величине rh. Как я написал выше, система имеет термодинамические характеристики, если она периодична в Евклидовом времени. Так что введем t=-iτ, где τ — вещественное Евклидово время. На горизонте черной дыры кривизна конечна. На самом деле она равна нулю, R=0, как и должно быть для решения Шварцшильда везде (кроме сингулярности r=0). Поэтому, если мы рассмотрим окрестность горизонта, переходя к новой радиальной координате по правилу r=rh(1+ρ2), и потребуем регулярность метрики в этих координатах, то мы получим, что Евклидово время τ с необходимостью периодично с периодом 4πrh. Я об этом писал же в этом блоге здесь.

Другая параметризация радиуса горизонта это rh=2GM. То что M — это масса черной дыры, можно увидеть, если посмотреть на асимпотику решения Шварцшильда на бесконечности, где гравитационное поле слабое и мы считаем гравитацию Ньютона хорошим приближенным описанием тяготения. Однако такой способ не является особо общим, что легко увидеть, пытаясь применить его для придания физического смысла параметрам, описывающим метрику заряженной и вращающейся черной дыры.

Более общий метод основан на термодинамике. Нам нужно найти термодинамический потенциал, описывающий черную дыру. Зная термодинамический потенциал можно будет найти такие величины как, например, масса, энтропия и заряд черной дыры. Как мы обсудили выше, термодинамический потенциал — свободная энергия или большой термодинамический потенциал — определяются как эффективное действие квантовой гравитации. Чтобы посчитать эффективное действие, надо сосчитать функциональный интеграл для флуктуации метрики вокруг данной конфигурации, скажем, вокруг решения Шварцшильда. Учитывая такие флуктуации, можно посчитать квантовые поправки к термодинамическим величинам. Пример такого вычисления обсуждался в блоге: это (один из способов) опровержения петлевой квантовой гравитации.

Если мы не хотим учитывать квантовые петли, т.е. ограничиваемся полуклассической квантовой гравитацией (т.е. по сути мы все еще рассматриваем интеграл по путям, но ограничиваемся только древесными амплитудами рассеяния гравитонов), то термодинамический потенциал просто равен действию, посчитанному для данной метрики, т.е. на массовой оболочке. 

Выполним, наконец, этот расчет для черной дыры Шварцшильда. Вектор, нормальный к поверхности r=rh, равен

$$n^\mu =\left(0,\;-\sqrt{1-\frac{r_h}{r}}\,\;0,\;0\right)\,.$$

Метрика на границе r=rh дается выражением

$$h_{\mu\nu}={\rm diag}\{-\left(1-\frac{r_h}{r}\right)\,,\;0\,,\;r^2\,,\;r^2\sin^2\theta\}\,.$$

Тогда скаляр внешней кривизны равен

$$K=\partial _\mu n^\mu+\Gamma^\mu_{\mu\lambda}n^\lambda =\partial_r\left(-\sqrt{1-\frac{r_h}{r}}\right)-\Gamma^\mu_{\mu r}\sqrt{1-\frac{r_h}{r}}\,.$$

Используя выражения для символов Кристоффеля:

$$\Gamma^{t}_{tr}=-\Gamma^r_{rr}=\frac{r_h}{2r(r-r_h)}\,,\quad\Gamma^\theta_{\theta r}=\Gamma^\phi_{\phi r}=\frac{1}{r}$$

мы получаем

$$K=\frac{3r_h-4r}{2r^2\sqrt{1-\frac{r_h}{r}}}\,.$$

Для решения Шварцшильда (как и для любого решения в плоском пространстве) скаляр кривизны Риччи равен нулю, так что единственный нетривиальный вклад в действие на массовой оболочке содержится в граничном члене Гиббонса-Хокинга. Считаем этот член на поверхности r=r0

$$S[r_0]=\frac{1}{8\pi G}\int dtd\theta d\phi r_0^2\sqrt{1-\frac{r_h}{r_0}}\sin\theta\frac{3r_h-4r_0}{2r_0^2\sqrt{1-\frac{r_h}{r_0}}}$$

Из этого выражения нужно отнять член Гиббонса-Хокинга для плоского пространства (для которого скаляр кривизны равен K=−2/r0). Этот член должен быть посчитан для поверхности с метрикой h, как для черной дыры:

$$S_0[r_0]=\frac{1}{8\pi G}\int dtd\theta d\phi r_0^2\sqrt{1-\frac{r_h}{r_0}}\sin\theta\frac{-2}{r_0}$$

Для начала, перейдем к Евлидовой теории, так что t=, и Евклидово действие дается выражением SE[rh]=−iS[rh]. Интегрируя по периоду β=4πrh времени τ, учитывая фактор 2π интегрирования по φ и фактор 2 интегрирования по θ, затем устремим r0 к беконечности. Мы получаем в результате

$$I_E[r_h]=4\pi M^2G\,.$$

Мы можем переписать его через обратную температуру

$$I_E=\frac{\beta^2}{16\pi G}\,.$$

Такая форма записи удобна, если мы хотим посчитать массу черной дыры. Масса черной дыры — это ее средняя энергия. В данном случае черная дыра имеет определенную температуру 1/β, поэтому термодинамика черной дыры описывается каноническим ансамблем, и средняя энергия есть (суммирование по всем энергиям)

$$\langle E\rangle=\frac{1}{Z}\sum Ee^{-\beta E}\,,$$

что можно посчитать как

$$Z=\sum e^{-\beta E}=e^{-I_E}\quad\Rightarrow\quad \langle E\rangle=-\frac{\partial \log Z}{\partial\beta}=\frac{\partial I_E}{\partial\beta}\,.$$

Таким образом для черной дыры Шварцшильда мы получаем $$\langle E\rangle=M$$. Итак, мы придали физический смысл параметру M, который входит в метрику черной дыры Шварцшильда через радиус Шварцшильда. Это масса черной дыры.

Канонический ансамбль описывается термодинамическим потенциалом — свободной энергией,

$$F=E-TS\quad\Rightarrow\quad S=\beta (E-F)$$

С другой стороны, как обсуждалось выше, свободная энергия определяется Евклидовым действием,

$$F=-T\log Z=-T\log e^{-I_E}=I_E/\beta\,.$$

Тогда энтропия черной дыры дается выражением Хокинга-Бекенштейна:

$$S=\frac{\pi r_h^2}{G}=\frac{A}{4G}\,,$$

где A — площадь поверхности горизонта черной дыры.

Описанный в этом посте вывод термодинамических величин черных дыр в плоском пространстве-времени с помощью термодинамического подхода к квантовой гравитации был впервые применен Хокингом и Гиббонсом. Видно, что граничный член Хокинга-Гиббонса играет существенную роль в этом выводе. Впоследствии, помимо всего прочего, Хокинг и Пейдж таким же образом изучили черные дыры в пространстве AdS.

Ключевые слова: гравитация, квантовая теория поля, равновесное излучение | Комментарии (2)
Михаил Гойхман

Koenraad Schalm — «Can you see quantum gravity?»

22 мая 2012 года, 15:30

Я только что вернулся с доклада Кунрада Скхалма о поправках к спектру черного тела в распределении космического микроволнового фона. Доклад был основан на недавней статье Mark G. JacksonKoenraad Schalm «Model-Independent Signatures of New Physics in non-Gaussianity».

Итак, почему доклад имеет такое интригующее название? Классическая гравитация Эйнштейна — это эффективная теория, которая верна только до определенного масштаба энергии. В ранней Вселенной гравитация Эйнштейна была неприменимой. Для описание динамики ранней Вселенной нужно принять во внимание поправки к эффективному действию — эффект квантовых флуктуаций, или математически — эффект петель. Формирование галактик есть грубо говоря следствие этих квантовых флуктуаций. В каком смысле? Квантовые неоднородности пространства-времени в процессе инфляции «раздулись» до макроскопического масштаба, формируя неоднородное распределение материи во Вселенной. Однако, изучая то, «как» они раздулись, а именно, изучая корреляции неоднородностей, можно заключить о том, какие члены присутствуют в эффективном действии квантовой гравитации.

Всё это более-менее известные вещи. В чем состоит новизна работы, представленной на докладе? Основная идея состоит в рассмотрении эффективной теории гравитации, с дополнительными членами в действии, некоторого общего типа. Эти дополнительные члены позволяют посчитать петлевые поправки к корреляционным функциям возмущений микроволнового фона. Далее, зная корреляционные функции, можно посчитать распределение микроволнового фона. Особенностью является то, что вильсоновский подход должен быть модифицирован так чтобы принять во внимание несохранение энергии в теории гравитации.

В ведущем порядке распределение микроволнового фона — это распределение черного тела. Представленная работа дает поправки к этому распределению. Предсказанные корреляции в микроволновом фоне могут быть непосредственно сравнены с наблюдениями, что и будет осуществлено в ближайшее время, наверное.

Ключевые слова: гравитация, квантовая теория поля | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Логарифмические поправки к формуле Бекенштейна — Хокинга и петлевая квантовая гравитация

8 мая 2012 года, 02:43

«Within three pages, Sir Isaac Newton was explaining the law of gravitation to Mistress Gwyn, who had already hinted that she would like to do something in return

(A. Clarke, A Fall of Moondust)

Разумеется, я не могу оставить полностью непрокомментированной статью A. Sen «Logarithmic corrections to Schwarzschild and other non-extremal black hole entropy in different dimensions», о которой я узнал благодаря сайту Любоша Мотла, я постараюсь писать о том, о чём ЛМ не написал :) Помимо того статья интересна тем, что представляет результаты логарифмических петлевых поправок к формуле Бекенштейна — Хокинга для энтропии чёрной дыры

$$S=\frac{A}{4}\,,$$

которые я не буду обсуждать, она также предъявляет полезное сравнение этих результатов с таковыми, полученными в области сомнительной деятельности, называемой петлевой квантовой гравитацией. Результат сравнения показывает, что петлевая квантовая гравитация предсказывает неверную логарифмическую поправку к формуле Бекенштейна — Хокинга. Вспоминая то, с каким подгоном даже формула Бекенштейна — Хокинга выводится в петлевой квантовой гравитации, можно смело утверждать, что петлевая квантовая гравитация — неправильная конструкция.

В целом, рассуждения проводятся следующим образом. Вы рассматриваете общее решение чёрной дыры в некотором пространстве времени. Чёрная дыра обладает массой M, зарядом Q, и угловым моментом J. Двум последним канонически сопряжены химический потенциал μ и угловая скорость вращения чёрной дыры ω. Можете считать, что у вас есть несколько зарядов и несколько хим-потенциалов, это непринципиально. Термодинамический потенциал даётся формулой

$$\Omega =E-TS+\omega J+\mu Q\,,$$

где T = 1/β есть температура чёрной дыры.

Евклидова квантовая гравитация описывается функциональным интегралом,

$$Z(\beta,\,\omega,\,\mu)=\int D\Psi e^{-S_E[\Psi]}\,,$$

где Ψ обозначает все присутствующие поля.

Но, с другой стороны, функциональный интеграл даёт выражение для большой статистической суммы, из которой можно посчитать термодинамический потенциал:

$$\Omega=-T\log Z\,.$$

В результате получаем формулу для энтропии чёрной дыры:

$$S(M,\,J,\,Q)=\log Z+\beta (M+\omega J+\mu Q)\,.$$

В классической гравитации Z это просто потенцированное с обратным знаком классическое действие, посчитанное на полях, удовлетворяющих классическим уравнениям движения,

$$Z_{cl}(\beta,\,\omega,\,\mu)= e^{-S_{cl}[\Psi_{cl}]}\,.$$

Далее, квантовые эффекты, учитывающие петли, меняют этот результат, в результате чего энтропия тоже получает поправки. Ведущая поправка оказывается пропорциональной площади горизонта чёрной дыры. Важен коэффициент. На примере чёрной дыры Шварцшильда:  если a — это радиус чёрной дыры в единицах планковской длины, то поправка к энтропии в однопетлевом приближении равна

$$\Delta S\simeq 1.71\log a\,.$$

Петлевая квантовая гравитация предсказывает

$$\Delta S\simeq -2\log a\,.$$

Это совершенно разные результаты.

Ключевые слова: гравитация | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Планковская энергия и квантовая гравитация

28 апреля 2012 года, 19:45

В этом посте я хочу разъяснить некоторые фундаментальные вещи, связывающие понятие о квантовании гравитации и теорию струн. Утверждение состоит в том, что теория струн — это единственный возможный способ проквантовать гравитацию, при этом не лишаясь предсказательной силы из-за введения бесконечного количества подстроечных параметров.

В то время как идея о каноническом квантовании гравитации является, очевидно, абсолютно глупой с самого начала, и любая теория, с ней связанная, есть набор совершенно бесполезной писанины, есть ещё другой популярный «способ» построить альтернативу теории струн. Он основывается на наивной и любительской по своей сути надежде на то, что существует другая фундаментальная теория, не являющаяся теорией струн, которая сводится к классической гравитации Эйнштейна как эффективной теории, определенной до некоторого масштаба энергии (такой как планковская энергия).

Для начала напомню о том, что такое планковская энергия и какое значение она имеет. В физике высоких энергий для формулировки физических принципов всегда разумно пользоваться естественной системой единиц, в которой постоянная Планка и скорость света равны единице. Это означает, что длина и время имеют одну и ту же размерность, обратную размерности массы.

Если c — это скорость света в вакууме, ħ — это постоянная Планка, а m — это какая то масса в системе единиц ħ = c = 1, такая что в этой системе постоянная Ньютона — единственная размерная константа связи среди сильного, электрослабого и гравитационного взаимодействий с размерностью −2 (размерность массы равна 1) — есть G = 1/m2, то в исходной системе единиц, такой как СИ или СГС, постоянная Ньютона есть G = ħc/m2. Вы можете это легко проверить, записав размерности постоянной Планка, постоянной Ньютона и скорости света через размерности длины, времени и массы.

Также можно оценить величину множителя ħc = 10−26 [сила в ньютонах умножить на квадрат длины в метрах] в системе СИ. Довольно мало. Существует так называемая планковская система единиц. Её отличие от естественной ħ = c = 1 системы состоит в том, что в ней всё безразмерно: теперь не просто масса есть обратная длина, а длина есть временной интервал, но ещё и постоянная Ньютона кладётся равной единице. Это означает что для такой системы m = 1. Сколько это весит в СИ? Это (ħc/G)1/2=10−8 килограмм. Не особо много, но для элементарной частицы оказывается очень много, даже слишком много для простоты описания. В гигаэлектронвольтах это 1019.

Всё это более или менее пока была дискуссия о том, как правильно выбрать систему единиц в физике высоких энергий, чтобы не таскать за собой бесполезным образом фундаментальные константы, и как потом вернуться, скажем, в СИ, и сравнить результаты с экспериментом. Какой физический смысл планковской энергии? Короткий ответ на этот вопрос — это характерный масштаб энергии, при котором эффекты квантовой гравитации нарушают теорию гравитации Эйнштейна. Поскольку классическая гравитация Эйнштейна описывает геометрию пространства-времени и связь этой геометрии с распределением материи, то мы видим, что на планковском масштабе классическое понимание искривлённой геометрии неприменимо.

Теперь о физической стороне, объясняющей этот короткий ответ. Мы живём в квантовом мире. Любое классическое описание так или иначе применимо только на больших расстояниях по сравнению с длиной волны де Бройля. Это утверждение касается всего, в том числе и гравитации, потому что оно применимо ко всем объектам, а все объекты, обладая энергией, создают гравитационное поле. Каков критерий классичности гравитации? Этот критерий такой же по своей сути, как и критерий классичности механики, и связан со сравнением масштаба длины с длиной волны де Бройля. Он определяется масштабом энергии, до которого можно применять классическую гравитацию Эйнштейна, и этот масштаб находится из требования того, что длина волны де Бройля высокоэнергетической частицы становится равной радиусу Шварцшильда этой частицы. Когда это происходит, гравитацию больше нельзя считать слабой, ей больше нельзя пренебречь. И эта трансформация её роли — чисто квантовый эффект.

Вы можете придти к этому же выводу, исходя из того, что при ренормгрупповом потоке константа гравитационного взаимодействия уменьшается, и потому она больше при увеличении энергии (обоснованность существования ренормгруппового потока для гравитации такая же как и обоснованность его существования для любой другой теории — в квантовом мире ко всякой теории можно применить описание с помощью интеграла по путям, и потому ввести понятие эффективного действия). Поэтому вопрос о том, какова квантовая теория гравитации — актуальный вопрос, который требует решения. Гравитация должна быть квантовой теорией, и общая теория относительности должна быть эффективной теорией поля, выводимой из квантовой теории гравитации после того как вы, грубо говоря, явно проинтегрируете по всем высокоэнергетическим степеням свободы.

В квантовой теории поля есть понятие о перенормируемости. Это понятие уже обсуждалось в блоге в контексте голографической перенормировки, сейчас я просто кратко напомню о том, какое это имеет отношение к квантовой гравитации. Итак, наиболее высокая цель физики фундаментальных взаимодействий — это построение фундаментальных теорий (такие как теория струн — в нашей вселенной, стандартная модель — в несуществующем мире без гравитации и суперсимметрии; я не говорю о внутренних проблемах допланковского характера, вроде нестабильности хиггсовского потенциала и непредсказуемости времени жизни протона), которые сводятся к некоторым эффективным теориям (таким как стандартная модель в правильной физике высоких энергий, или теории ферми-жидкости Ландау и теории Гинзбурга-Ландау, да и самой БКШ, из которой выводится эффективно же теория Гинзбурга-Ландау; эффективность можно распространить в известном смысле на всю физику конденсированных сред).

Получить фундаментальную теорию из эффективной, не вводя никаких дополнительных предположений, невозможно, и это одно из проявлений необратимости ренормгруппового потока. (В некоторых случаях дополнительные аргументы позволяют в некоторой степени однозначно угадать фундаментальную теорию, но при этом всегда надо прибегать к условиям ненарушения существенных принципов.) Пример вытекающей проблемы — построение однозначного ультрафиолетовго дополнения МССМ. Ренормгрупповой поток — это то, что даёт эффективную теорию, исходя из фундаментальной (определенной на всех масштабах энергии), когда вы «усредняете» по всем масштабам длины короче определённого. В реальных экспериментах всё, что измеряется, — это как раз длиннее определённого масштаба, так что непосредственно с экспериментом связываются именно предсказания эффективной теории. Утверждение о том, что теория струн в самом фундаментальном смысле непосредственно должна подтверждаться экспериментом потому является чушью. А вот утверждение о том, что эта нетестируемость на эксперименте означает, что вместо теории струн должна существовать другая «более простая» фундаментальная теория всего, которая отличается от теории струн в лучшую сторону тем, что проверяется экспериментом — является следствием совершенного непонимания того, что есть фундаментальная физика.

Поэтому «тестирование» на правильность фундаментальной физической теории — это в большей степени сугубо теоретический процесс, и утверждение состоит в том, что этот процесс может выдержать только одна теория — теория струн. В силу этого утверждения любая фундаментальная подтеория, включенная в теорию струн, является правильной по определению теории, описывающей природу на фундаментальном уровне. Любая эффективная теория, не выводимая из теории струн, должна быть исключена из числа серьёзных теорий. И я уже не говорю о том, что любая фундаментальная теория, отличающаяся от теорией струн, сразу становится неверной. Все эти утверждения можно обобщить в одно: согласие с теорией струн и согласие с экспериментом — это одно и то же. Если вы хотите, чтобы ваша теория имела отношения к реальной физике — убедитесь в том, что она следует из теории струн. Если вы убедились в обратном — забудьте об этой теории, она точно неверна, и представляет собой скорее всего какую-то хаотичную символьную флуктуацию. Я даже не хочу заменять слово «символьную» на слово «математическую», потому что понятие «математика» зарезервировано за тем, что несёт за собой некую абстрактную ценность (как математика теории струн), в то время как ложные физические теории бесполезны на всех уровнях.

Далее, я хочу прокомментировать лекции Польчинского в летней школе при Стэнфордском ускорителе в 1998 году. Это хорошая статья, и там есть множество аргументов в поддержку теории струн, или лучше сказать — помогающих понять теорию струн (я рекомендую её всю для прочтения, как чёткий и объективный источник стандартной информации касательно теории струн, и в другом посте я бы с удовольствием обсудил такие вещи как электромагнитную дуальность и прочие сильно-слабые дуальности в теории струн, которые невероятно чётко объясняются Польчинским фактически «на пальцах»), но я хочу обсудить только то, что связано с ультрафиолетовым дополнением квантовой гравитации.

Итак, специфицируемся в секцию 5 цитированной статьи. То, что Польчинский пытается сделать, собственно, состоит в том, чтобы построить более-менее общую теорию, которая учтёт тот факт, что гравитация приносит ещё одно соотношение неопределенности, помимо соотношения Гейзенберга δxδp≥1, а именно обрезание на геометрию δx≥Lp, что Польчинский переписывает в стиле соотношения Гейзенберга: δxδx≥Lp2 (в такой форме это что-то вроде простейшего примера UV/IR связи, можете посмотреть главу 10 книжки Susskind «Introduction to black holes, information and string theory revolution»; как вы знаете, более продвинутый пример такой связи — это ads/cft соответствие, где UV теории поля на границе соответствует IR теории в объёме (в смысле радиальной координаты), грубо говоря, и наоборот).

Так или иначе, Польчинский записывает гамильтониан матричной квантовой механики N нерелятивистских частиц. Замена координат Xmi для i-й частицы с пространственным индексом m матрицами Xmij с обоими нижними индексами, принимающими значения от 1 до N — обычное матричное представление некоммутирующих операторов, которое в «классическом» пределе сводится к коммутирующим диагональным матрицам, с координатами частиц на диагонали. Далее, к гамильтониану добавляется потенциальный член, который должен уничтожаться в классическом пределе, и быть большим, когда квантовые эффекты существенны. Такой член, существование которого должно быть учтено в гамильтониане, есть ~M[X, X]2. Он пропорционален некоторой большой массе M и коммутатору двух разных координатных матриц X (чтобы получить ненулевой O(N) скаляр, из соображений симметрии надо этот коммутатор возвести в квадрат), и этот член удовлетворяет обоим условиям, описанным выше. Итак, просто требуя описание динамики частиц в некоторой геометрии и до-планковских энергиях, а также нарушение геометрии на планковском масштабе, мы серьёзно ограничили вид возможного гамильтониана. Дальше следует наблюдение — записанный гамильтониан есть просто бозонная часть BFSS матричной теории струн, а именно построения M теории как матричной квантовой механики. По сути это 0+1 мерная редукция N=16 суперсимметричной калибровочной теории в десятимерии,  описывающая динамику D0 бран. Таким образом, вывод состоит в том, что любая квантовая теория гравитации — это теория струн.

Ключевые слова: гравитация, геометрия | Комментарии (30)
Михаил Гойхман

Голографическая перенормировка (2)

1 мая 2011 года, 12:58

Продолжим изучение перенормировок в квантовой теории поля, в данном посте — методом AdS/CFT соответствия (Holographic renormalization group — HRG). Напомню, что в предыдущем посте был сформулирован Вильсоновский подход к теории перенормировок, при котором функциональный интеграл разбивается на высокоэнергетическую bΛ < |k| < Λ и низкоэнергетическую |k| < bΛ части, причем явное интегрирование по высокоэнергетическим модам дает эффективную низкоэнергетическую теорию с эффективными константами, зависящими от b. Вопрос в том, что происходит при этом с дуальной (согласно AdS/CFT соответствию) супергравитацией в = 5 пространстве-времени.

Другая мотивация к исследованию HRG состоит в том, что AdS/CFT соответствие позволяет описывать дуальным образом гравитацию в AdS, в то время как не очевидно как перейти к дуальному без-гравитационному полевому описанию гравитации в другом фоне. На самом деле существенным для дуальности является наличие границы (которую можно иногда и руками добавить, на самом деле) пространства-времени, и потому ближайшим расширение AdS является AAdS (см. ниже) — тоже пространство, топологически эквивалентное шару, отличающееся от AdS фактором искривления (warp factor) вдали от границы. При этом дуальная теория поля не CFT, а просто QFT.

Разумеется мотивацию предыдущего абзаца можно обратить и заинтересоваться в первую очередь описанием гравитационным образом неконформной теории поля.

1. Начнем с напоминания наиболее распространенного примера AdS/CFT соответствия, т.е. соответствия между теорией суперструн в AdS5×S5 и= 4 теорией супер Янг-Миллса. Последняя конформно-инвариантна, поэтому не зависит от энергетического масштаба b. Кроме того скейлинговое преобразование CFT соответствует рескейлингу радиальной координаты z. А именно ~ 1/z. Детали я описал в предпоследнем пункте здесь. Таким образом конформная инвариантность теории на границе напрямую связана с голографической природой радиальной координаты z.

Допустим теперь, что теория на границе — просто QFT, не обязательно конформно-инвариантная. Ясно, что при этом дуальная гравитация живет не в AdS5×S5. Некоторые исследования были проведены для AAdS — асимптотически AdS фона. Асимптотически — т.е. AdS при приближении к конформной границе, наличие которой является существенной для рассмотрения дуальной QFT. Теперь параметры QFT (константы и напряженности) зависят от масштаба b. По-прежнему энергетическому масштабу QFT соответствует радиальная координата в объеме. Соответствие между гравитацией и теорией поля при этом приобретает более утонченный характер — теперь значение радиальной координаты z существенно с точки зрения соответствия тому или иному энергетическому масштабу теории поля на границе. Доказательство дано в п. 3 ниже.

2. Следуя работе Heemskerk, Polchinski «Holographic and Wilsonian renormalization groups» разобьем интеграл по путям теории супергравитации в объеме на участки z < l, z l, z > l, где l — некое данное расстояние до границы AAdS:

$$Z=\int{\cal D}\varphi e^{-\kappa^{-2}S}=\int{\cal D}\varphi|_{z>l}{\cal D}\tilde\varphi{\cal D}\varphi|_{z<l}e^{-\kappa^{-2}S|_{z>l}-\kappa^{-2}S|_{z<l}}$$

где $$\tilde\varphi ^i=\varphi^i(l,x)$$ есть значение рассматриваемых полей мультиплета супергравитации при z = l. Такое разбиение прямо соответствует Вильсоновскому разбиению после введения масштаба b. Соответственно формула, постулируемая для вычисления корреляционных функций в AdS/CFT соответствии здесь, обобщается для AAdS/QFT соответствия следующим образом:

$$\left\langle\exp\left(\frac{1}{\kappa^2}\int d^dx\tilde\varphi^i(x){\cal O}_i(x)\right)\right\rangle_{b\Lambda<1}=\int{\cal D}\varphi |_{z>l}e^{-\kappa^{-2}S|_{z>l}}$$

где как обычно

$$\left\langle\exp\left(\frac{1}{\kappa^2}\int d^dx\tilde\varphi^i(x){\cal O}_i(x)\right)\right\rangle_{b\Lambda<1}=\frac{1}{{\cal Z}}\int{\cal D}M_{b\Lambda<1}\exp\left(-S_0+\frac{1}{\kappa^2}\int d^dx\tilde\varphi^i(x){\cal O}_i(x)\right)$$

Здесь M - поля QFT, $${\cal O}$$ — построенные из них калибровочно-инвариантные операторы, дуальные полям в объеме φ.

3. Таким образом видно, что как и в случае AdS/CFT соответствия мы исходим из постулирования того факта, что поля в объеме «взаимодействуют» (то есть влияют количественно на дуальность) с полями на границе посредством простейшего члена через граничные значения. В то время как в AdS/CFT соответствии эти граничные значения берутся в z = 0, в AAdS/QFT соответствии они берутся в = l, причем l может меняться. Таким образом изменение значения полей супергравитации φi|z=l соответствует изменению константы связи «членов взаимодействия» с операторами $${\cal O}_i$$ дуальной теории поля.

Вот как проявляется голографическая перенормировка: каждой константе связи теории поля соответствует скалярное поле в объеме, причем изменение величины скалярного поля в зависимости от радиальной координаты z соответствует изменению эффективной константы связи в зависимости от диапазона изменения энергии распространяющихся мод теории поля.

4. Далее будем следовать книге Kiritsis, String theory in a nutshell. Допустим мы хотим деформировать конформную теорию поля на границе и посмотреть как эта деформация отражается на супергравитации в объеме. Итак, к действию S0 конформно-инвариантной теории на границе мы добавляем неинвариантный относительно конформных преобразований член, выраженный через оператор $${\cal O}$$ с конформной размерностью Δ. В результате получаем действие

$$S=S_0+\mu\int d^4x{\cal O}(x)$$

квантовой теории поля, не обязательно конформно инвариатной. Если Δ ≠ 4, то теория с действием S не является конформно инвариантной и константа связи μ размерна. А именно, если Δ > 4, то μ < 0 и соответствующий член взаимодействия является несущественным в соответствии с классификацией в предыдущем посте о перенормировках. Такое взаимодействие расходится в UV и неперенормируемо (т.к. перенормируемое взаимодействие должно иметь бесконечные перенормированные константы связи в IR и конечные в UV). С другой стороны допустим скалярное поле φ как указано выше соответствует оператору $${\cal O}$$ «через» свое значение на границе φ0. Тогда постольку поскольку вблизи границы пространство-время в объеме все равно AdS, то решая там уравнение Лапласа для безмассового скалярного поля получаем

$$\varphi(z,x)\sim z^{4-\Delta}\varphi_0(x)+z^\Delta\langle{\cal O}\rangle.$$

Ясно тогда, что несущественному оператору теории поля соответствует скалярное поле расходящееся на границе z = 0, т.е. в объемной части соответствующей UV на границе. Чтобы иметь конечные генерирующие функционалы $$\sim\exp(\varphi(z){\cal O})$$ нужно выбрать φ0 бесконечно малым, что очевидно уничтожит генерирующий функционал соответствия в UV, т.е. в z = 0. Разве что таких полей будет бесконечно много, что соответствует бесконечному числу контрчленов неперенормируемых теорий.

***

В следующем посте проделаем некоторые конкретные вычисления RG потока в объеме.

Ключевые слова: гравитация, квантовая теория поля, геометрия, AdS/CFT | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

DBI действие для D3-браны и AdS/CFT соответствие

31 марта 2011 года, 20:13

Продолжим изучение AdS/CFT соответствия. В этом посте продолжим изучать аспекты описания действия для D3-браны, геометрии решения D = 10 супергравитации, являющегося черной 3-браной, и как все это связано с AdS/CFT соответствием. Некоторые вещи повторю из того, что уже было ранее в вводном посте про AdS/CFT, но под несколько иным углом и подробнее.

1. В первом посте про AdS/CFT я уже показал, что = 10 супергравитация имеет решение, представляющее собой прямой аналог черной дыры Рейснера-Нордстрема, т.е. заряженной черной дыры. Это решение есть черная p-брана. Ясно из соображений симметрии, что постольку поскольку исходная симметрия плоского десятимерного пространства-времени образует группу Лоренца SO (1, 9), то p-брана оставляет SO (1, p) × SO (9 − p) симметрий, в то время как остальная часть бозонных симметрий группы Лоренца оказывается спонтанно нарушенной. Симметрия SO (9 − p) есть просто аналог сферической симметрии черной дыры. Например, в = 4 пространстве-времени 9 надо заменить на 3 (число пространственных измерений), а p на 0, в результате получаем известную SO (3) симметрию геометрии статической черной дыры.

2. Далее рассмотрим вопрос в том, сколько суперсимметрий сохраняет черная p-брана. В теории суперструн типа-II, с которой мы имеем здесь дело, мы начинаем с = 2,= 10 суперсимметрии, то есть с 2 × 16 = 32 суперзарядов. Как известно (см. задачи здесь и здесь), Dp-брана сохраняет половину исходных суперсимметрий, так что мы остаемся с 16 суперзарядами. Теперь вопрос в том, сколько симметрий сохраняет черная p-брана. Если отождествить экстремальную черную p-брану и Dp-брану, то есть если считать, что Dp-брана (введенная как носитель RR-заряда, источник замкнутых струн и объект, на котором могут заканчиваться открытые струны) на самом деле также является сферически-симметричным и заряженным решением уравнений супергравитации, то вывод о половине сохраняемых суперсимметрий Dp-браны на языке p-браны переформулируется в терминах экстремальности этого решения. Тут опять вспоминаем про черную дыру Рейснера-Нордстрема. Существует три вида соотношения между ее массой и зарядом. В подходящих единицах масса либо равна заряду (и тогда черная дыра называется экстремальной), либо больше заряда (тогда — неэкстремальной). Если масса меньше заряда, то черная дыра имеет голую сингулярность и запрещена принципом космической цензуры Пенроуза (сформулированным им для нашей D = 4 космологии, и как я слышал, :) недавно опровергнутым контрпримером в D = 3), который гласит, что унитарная космологическая эволюция не может породить из обычного исходного состояния некое состояние с голой сингулярностью, которое таким образом будет приводить к непредсказуемой эволюции. Так или иначе, оказывается, что если посчитать температуру излучения Хокинга для экстремальной черной дыры, то она окажется равной в точности нулю. Это означает, что такая черная дыра не испаряется.

3. Прокомментируем этот момент подробнее. Для начала нужно вспомнить, как описывать квантовые объекты термодинамическим образом. Если у нас есть изолированная квантовая система, то ее эволюция определяется уравнением Шредингера. Допустим, что наша квантовая система находится в состоянии термодинамического равновесия, например черная дыра и ее равновесное планковское излучение с температурой Хокинга. Теперь нужно провести связь между этими двумя аспектами описания системы. Для этого вспомним, что амплитуда перехода системы из одного состояния в другое определяется фейнмановским интегралом по путям. Записанная так амплитуда является статистической суммой системы (пока что используем этот термин без отношения к термодинамике):

$$Z=\int {\cal D}\phi e^{-iHT}.$$

Тут система переходит из начального состояния в момент времени = 0 в конечное в момент времени = T. Наша система просто переходит из одного своего макроскопического состояния в то же самое состояние по всем возможным путям. Если считать статсумму уже с термодинамическими целями, то нужно просуммировать по всем этим стационарным состояниям:

$$Z=\sum _ne^{-\beta E_n}=\sum _n\langle n|e^{-\beta H}|n\rangle .$$

Теперь замечаем, что среднее от экспоненцированного гамильтониана есть просто амплитуда перехода из одного состояния в то же самое состояние, определяемый квантовой статсуммой за время = −i/β, или евклидово время T = 1/β. Таким образом, чтобы посчитать обычную термодинамическую статсумму, можно позволить системе проэволюционировать между одним и тем же стационарным состоянием за время, равное температуре (в подходящих единицах), и просуммировать по всем этим стационарным состояниям. Термодинамическая статсумма оказывается при этом в точности равной фейнмановскому интегралу по траекториям за конечное время = 1/β, после суммирования по всем начальным (совпадающим с конечными) состояниям.

Итак, если мы имеем некую квантовую физическую систему, то ее температура равна периоду ее евклидова времени. Как получить этот период? Возьмем, например, евклидову шварцшильдову черную дыру в сферически симметричных координатах. Введем координату вблизи горизонта: r = rH(1 + ρ2). Метрика при малых ρ примет вид

$$ds^2\sim 4r_H^2\left(d\rho ^2+\rho ^2\left(\frac{d\tau}{2r_H}\right)^2+\frac{1}{4}d\Omega _2^2\right).$$

Самое главное, что мы видим из этой метрики четырехмерного евклидова пространства, так это то, что время периодично с периодом β = 4πrH.

Однако, если взять метрику заряженной экстремальной черной дыры Рейснера-Нордстрема и применить к ней вышеописанную процедуру, то окажется, что период Евклидова времени равен бесконечности, а потому температура — нулю. Это есть содержание задачи 11.5 BBS.

4. Стабильность имеет прямое отношение к равенству массы и заряда, которое делает невозможным одновременный распад дыры и сохранение заряда и энергии-импульса. В то же время равенство массы и заряда есть BPS-условие для Dp-браны, как я тоже писал в первом посте про AdS/CFT, так что стабильность Dp-браны, или экстремальной черной p-браны, имеет также прямое отношение к сохранению половины суперсимметрий пространства-времени.

Будем следовать параграфу 11.2 книги E. Kiritsis «String Theory in a Nutshell» (сайт с халявными книгами перестал работать, возможно временно, так что если нужна книга, напишите об этом в комментариях). Упростим рассмотрение там до очевидного примера. Начнем с суперсимметричной частицы массы M и заряда q, насыщающей BPS-ограничение, то есть = q. Пусть эта частица распадается на составляющие части с массами mi и зарядами qi. Если частицы разлетаются (как в излучении Хокинга), то

$$M>\sum m_i.$$

При этом BPS-ограничение на каждую конечную частицу и BPS условие для исходной частицы дают

$$q>\sum q_i,$$

в противоречии с законом сохранения заряда. В цитированной книге не накладывается условие необходимости разлета частиц, а используются более тонкие аргументы с особенностями фундаментальных значений модулярного параметра суперсимметричной теории, присутствующем в формуле для BPS ограничения.

Действие Борна-Инфелда

Рассмотрим Dp-брану в некотором пространственно-временном фоне с метрикой gμν. Пусть σα есть координаты мирового объема Dp-браны, поэтому α = 0, ..., p. Запишем действие Намбу-Гото для Dp-браны, максимизирующее мировой объем:

$$S_1=-T_{Dp}\int d^{p+1}\sigma[-\det(G_{\alpha\beta}+kF_{\alpha\beta})]^{1/2}.$$

В формуле фигурирует индуцированная метрика на мировом объеме: Gαβ = gμναXμβXν. Ясно, что динамическими полями являются координаты вложения Xμ, которые полностью определяют метрику на бране. Далее в формуле фигурирует Максвелловский тензор напряженностей Fαβ. Замечу, что в действии Намбу-Гото для струны, которое эквивалентно действию Полякова, такого объекта нет. Это связано с тем, что на струне Полякова (называемой фундаментальной струной, или F-струной) не могут оканчиваться другие струны, в то время как на одномерной D1-бране (называемой D-струной) — могут по определению D-браны. Почему D-брана содержит Максвелловское поле на мировом объеме, а фундаментальная струна нет? Есть несколько способов ответить на этот вопрос, и один из них — требование суперсимметрии (p + 1)-мерной теории, а именно — для обеспечения восьми физических бозонов (ибо мы уже имеем 8 физических киральных фермионов), что образует максимально-суперсимметричную теорию Максвелла с 16 сохраняющимися суперзарядами. Но мы пока не ввели суперсимметрию для описания Dp-браны. На бозонном уровне главная причина наличия Максвелловского поля есть T-дуальность. На самом деле именно благодаря T-дуальности мы генерируем низкоразмерные Dp-браны (т.е. не D9-брану, заполняющую все пространство-время и гарантирующую Неймановские условия для открытых струн по всем координатам), стартуя из Неймановских открытых струн. Поэтому многие свойства Dp-бран связаны именно с T-дуальностью. И наличие Максвелловского поля на мировом объеме — одно из них. Действительно, совершив преобразования T-дуальности по всем p направлениям вдоль Dp-браны, то есть по всем направлениям в которых граничные уловия Неймановские, мы свернем все эти направления и получим D0-брану. Теперь все граничные условия есть граничные условия Дирихле. Вопрос в том, в какую именно точку прежнего (p + 1)-мерного мирового объема осядет D0-брана? То есть, как в прежнем, до-дуальном описании Dp-браны, содержится информация об этой точке. Ясно, что ответ — это наличие некоторого поля на мировой поверхности, а именно — абелева векторного поля Aα. Абелева — потому что соответствует коммутирующим координатам, векторного — потому что соответствует координатам в векторном представлении группы Лоренца на мировом объеме.

Теперь наконец можно перейти к суперсимметричной теории. Также как и в теории суперструн Грина-Шварца (см. начало главы 5 BBS, если интересны детали) сделаем замену

$$\partial_\alpha X^\mu\rightarrow\Pi_\alpha ^\mu=\partial_\alpha X^\mu-\bar\Theta^A\Gamma^\mu\partial_\alpha\Theta^A,$$

где ΘA (A = 1, 2) есть 16-компонентные Майорана-Вейлевские спиноры десятимерного пространства-времени. Следующий этап суперсимметризации — это переход

$$F_{\alpha\beta}\rightarrow{\cal F}_{\alpha\beta}=F_{\alpha\beta}+b_{\alpha\beta},$$

где

$$b=(\bar\Theta^1\Gamma_\mu d\Theta ^1-\bar\Theta^2\Gamma_\mu d\Theta^2)(dX^\mu-\frac{1}{2}\Bar\Theta^A\Gamma^\mu d\Theta^A).$$

Каждая из величин Gαβ и Fαβ теперь суперсимметрична относительно 32 суперзарядов. Так что пока это еще не вполне Dp-брана, она слишком суперсимметрична для того, чтобы 16-суперсимметричные открытые струны могли на ней заканчиваться. Второй член, снижающий количество сохраняемых суперсимметрий до 16-ти, есть член Черна-Саймонса, удобно записываемый как интеграл по (p + 2)-мерному пространству M, содержащему мировой объем WV рассматриваемой Dp-браны в качестве своей границы, от формы dΩp+1:

$$S_2=\int\limits_Md\Omega_{p+2}=\int\Omega_{WV}.$$

Этот член суперсимметричен сам по себе, однако с его наличием полное действие приобретает κ-симметрию, делающую половину фермионных координат калибруемыми. В результате в мировом объеме Dp-браны остается 16 суперсимметрий, и любая теория суперструн (или супергравитации), записанная в метрике, создаваемой Dp-браной, будет содержать 16 спонтанно нарушенных суперсимметрий.

В бозонной теории член S2 переходит просто в

$$S_2=\mu_{p+1}\int C_{p+1},$$

где Cp+1 есть RR-поле, а μp+1 — соответствующий RR-заряд. Подчеркну, что для перехода к классическим теориям именно такое действие и рассматривается, ибо весь фермионный фон кладется равным нулю.

Напоследок замечу, что построенное действие называется DBI действием (помимо Борна и Инфелда — еще Дирак).

Практика

Задача (12.9 из BBS).

Рассмотрим действие Борна-Инфелда для одной пробной D3-браны в AdS5×S5 фоне. Покажите, что когда метрика выражается в терминах координаты u = r/α′, зависимость от α′ аннулируется. Каково значение этого результата?

Хорошо, как мы знаем, SO (1, 3) × SO (6) симметричная метрика экстремальной черной p-браны вблизи горизонта дается выражением

$$ds^2\sim\left(\frac{r}{R}\right)^2dx\cdot dx+\left(\frac{R}{r}\right)^2dr^2+R^2d\Omega_5^2.$$

Эта же метрика может представляться как результат искривления геометрии стопкой из N D3-бран, тогда R4 = 4gs2 (см. BBS (12.28), (12.29)) В принципе количество бран просто дает выражение для заряда, с точки зрения влияния только на геометрию. С точки зрения теории мирового объема, или теории открытых струн, которые прикрепляются к бранам из стопки, мы конечно получаем еще U(N) калибровочную группу теории поля в мировом объеме.

(Эта же метрика оказывется метрикой пространства-времени AdS5×S5, что легко видно введением координаты R2/r:

$$ds^2=R^2\frac{dx\cdot dx+dz^2}{z^2}+R^2d\Omega_5^2.$$

В принципе, мы это уже обсуждали в первом посте про AdS/CFT.)

Итак, мы имеем пространственно-временную метрику

$$g_{\mu\nu}=\text{diag}\left\{-\left(\frac{r}{R}\right)^2, \left(\frac{r}{R}\right)^2,\left(\frac{r}{R}\right)^2, \left(\frac{r}{R}\right)^2, \left(\frac{R}{r}\right)^2,R^2g_{ij}\right\},$$

где gij обозначает метрику единичной сферы, а также оба AdS5 и S5 имеют одинаковый радиус R. Обозначим f = R4/r4. Если мы хотим построить DBI действие для пробной D3-браны в AdS5 × S5 фоне то во первых мы должны совершить pullback этой фоновой метрики на мировой объем D3-браны. Так как фон зафиксирован, мы можем выбрать статические координаты для параметризации мирового объема D3-браны. Мы также должны принять во внимание возможность движения D3-браны по r координате и на сфере S5. Поэтому pullback фоновой метрики на мировой объем D3-браны выглядит следующим образом:

$$g_{\alpha\beta}=f^{-1/2}\eta _{\alpha\beta}+f^{1/2}\partial_\alpha r\partial_\beta r+r^2f^{1/2}g_{ij}\partial_\alpha\theta^i\partial _\beta\theta ^j$$

где я обозначил координаты 5-сферы как θi. Бозонная часть DBI действия выведена выше, и именно ей мы будем пользоваться. Натяжение равно

$$T_{D3}=\frac{1}{(2\pi)^3\alpha ^{\prime 2}g_s},$$

как следует из BBS (6.115). В результате получаем действие

$$S_1=-\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}\int d^4xf^{-1}\sqrt{-\det\left(\eta_{\alpha\beta}+f\partial_\alpha r\partial_\beta r+r^2fg_{ij}\partial_\alpha\theta^i\partial_\beta\theta^j+2\pi\alpha'\sqrt{f}F_ {\alpha\beta}\right)}.$$

Здесь x обозначает первые четыре координаты AdS5 — координаты «на границе». Детерминант взят для 4×4 матрицы с индексами α, β.

Как отмечено выше, в DBI действии имеется еще второй член S2, который в бозонном действии сводится чисто к описанию взаимодействия D3-браны с полем C4:

$$S_2=\mu_3\int C_4.$$

В силу того, что D3-брана есть BPS-объект, заряд и натяжение для нее взаимосвязаны:

$$\mu _3=T_{D3}=\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}.$$

В силу соображений симметрии (вообще то это следует из точного решения уравнений IIB-супергавитации, предоставленного в BBS (12.25)) мы выбираем

$$C_{\mu\nu\lambda\rho}=\sqrt{|g_4|}\varepsilon_{\mu\nu\lambda\rho}= f^{-1}\varepsilon_{\mu\nu\lambda\rho},$$

и тогда находим

$$S_2=\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}\int d^4xf^{-1}.$$

В результате получаем следующее бозонное DBI-действие:

$$S=-\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}\int d^4xf^{-1}\left[\sqrt{-\det\left(\eta_{\alpha\beta}+f\partial_\alpha r\partial_\beta r+r^2fg_{ij}\partial_\alpha\theta^i\partial_\beta\theta^j+2\pi\alpha'\sqrt{f}F_{\alpha\beta}\right)}-1\right].$$

Можно легко устранить зависимость действия от α′ путем простой замены координат r = ′, т.к. ~ (α′)2. При изучении гравитационной части AdS/CFT соответствия мы (можем быть) заинтересованы в низкоэнергетическом пределе теории суперструн (и потому в переходе к супергравитации), что может быть достигнуто путем отправки энергетического расстояния между уровнями возбуждения струны в бесконечность: α′ → 0. В этом пределе теория в объеме (гравитация) полностью отщепляется от теории на границе, ибо ньютоновская константа связи между ними стремится к нулю: κ ~ gsα2 → 0. Энергия Eb любого возбуждения в объеме с радиальной координатой r дает значение E = gtt(r)Eb = rEb/α′, когда измеряется наблюдателем на бесконечности (в силу красного смещения). Если мы держим энергию E и энергию Eb фиксированной в струнных единицах, то это приведет к требованию фиксированной координаты u = r/α′.

Ключевые слова: гравитация, D браны, AdS/CFT, задачи | Комментарии (4)
Михаил Гойхман

Пространство AdS

23 марта 2011 года, 12:20

Имеет смысл на всякий случай суммировать в отдельном посте основные факты касательно пространства AdS. В первую очередь пространство AdSd+1 — это максимально-симметричное (число параметров симметрии равно числу вращений плюс трансляций по всем координатам в плоском пределе или числу вращений в пространстве вложения в целом, то есть ½ (d + 1) (d + 2)) решение уравнений Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной Λ. Введя радиус R пространства AdS, связанный с космологической постоянной по формуле Λ = −3/R2, можем представить AdS как вложение (d + 1)-мерного пространства-времени в (d + 2)-мерное пространство Минковского с сигнатурой (2, d):

$$y_1^2+\cdots +y_d^2-t_1^2-t_2^2=-R^2$$

Для конкретных вычислений метрики в разных координатных системах просто положим R = 1. Тогда все координаты будут безразмерными и мы получаем возможность совершать конформные преобразования и всяческие замены координат, не противоречащие размерным соображениям. Вполне очевидно что при таком описании SO (2, d) симметрия AdS становится явной.

1. Переходя к координатам Пуанкаре по формуле

$$(z,x^0,x^i)=((t_1+y_d)^{-1},t_2(t_1+y_d)^{-1},y_i(t_1+y_d)^{-1})$$

получим выражение для метрики

$$ds^2=\frac{1}{z^2}((dx^2)_{d+1}+dz^2).$$

Обратите внимание, что в такой форме имеется явная симметрия по отношению к действию глобальных преобразований подгруппы SO (1, 1) полной группы симметрий SO (2, d):

(x, z) → (cx, cz).

Также видна явная симметрия по отношению к SO (1, d), вращающей координаты x между собой.

В координатах Пуанкаре граница AdSd+1 представляет собой пространство Минковского R1,d−1 в z = 0 и точку P в z = ∞.

Далее, в координатах Пуанкаре можно изобразить только половину всего пространства AdS. Об этом подробнее в пункте 3.

2. Введем сферические координаты на пространственной и временной части (d + 2)-мерного пространтсва-времени вложения по-отдельности:

$$\sum _{i=1}^ddy_i^2=dv^2+v^2d\Omega _d^2,$$

$$\sum_{j=1,2}dt_j^2=d\tau ^2+\tau ^2d\theta^2.$$

Здесь dv и  есть элементы радиальных расстояний, а d и  — элементы угловых расстояний. Поверхность AdS, вложенная в (d + 2)-мерное пространство-время, задается тогда формулой

$$v^2-\tau ^2=-1.$$

Из этой формулы мы можем сразу же выразить τ и  через v и dv, после чего получаем

$$dv^2-d\tau ^2-\tau ^2d\theta ^2=\frac{dv^2}{1+v^2}-(1+v^2)d\theta ^2.$$

Как видно у нас имеется периодичное время θ. Это нам совершенно ни к чему, поэтому мы развертываем окружность, на которой θ принимает значения, до бесконечного радиуса. Такое пространство-время называется CAdS (covering AdS). Именно оно и имеется в виду в AdS/CFT соответствии.

3. Рассмотрим глобальную параметризацию координат пространства вложения координатами пространства AdS:

$$t_1=\cosh\rho\cos\tau,\quad t_2=\cosh\rho\sin\tau,\quad y_i=\sinh\rho\,\Omega_i,$$

где = 1, ..., d, ρ ≥ 0, 0 ≤ τ < 2π, а также ∑Ωi2 = 1. Ясно, что мы имеем d + 1 независимых координат (τ, ρ, Ωi), параметризующих AdS, и метрика записывается в виде

$$ds^2=-\cosh ^2\rho\, d\tau ^2+d\rho ^2+\sinh ^2\rho\, d\Omega ^2.$$

Опять же область значений времени τ должна быть развернута до окружности с бесконечным радиусом.

Перейдем теперь от координаты θ к координате ρ по формуле tan θ = sinh ρ. Тогда 0 ≤ θ < π/2, и метрика приобретает вид

$$ds^2=\frac{1}{\cos ^2\theta}(-d\tau ^2+d\theta ^2+\sin ^2\theta\, d\Omega ^2).$$

Теперь для изучения причинной структуры и построения диаграммы Пенроуза можно совершить конформное преобразование метрики, получая:

$$ds^2=-d\tau ^2+d\theta ^2+\sin ^2\theta\, d\Omega ^2,$$

откуда будет следовать что AdS есть просто половина сферической Вселенной Эйнштейна (у Эйнштейна 0 ≤ θ < π — сферическая координата) с границей в θ = π/2, имеющей топологию сферы (в координатах Пуанкаре мы получили границу с топологией пространства Минковского, что однако просто сфера с бесконечным радиусом). Диаграмма Пенроуза для AdS2 представляет собой прямоугольник с координатами (τθ).

Наконец, координаты Пуанкаре, описанные в пункте 1, покрывают только половину этого прямоугольника, а именно его треугольную часть с одной из сторон, являющейся сферической границей θ = π/2 (или z = 0), а двумя другими сторонами — точечной границей z = ∞. На рисунке ниже, взятом из BBS, обозначение ρ соответсвует нашему обозначению θ.

Диаграмма Пенроуза для AdS


Для большинства практических целей мы будем пользоваться именно координатами Пуанкаре. Тогда мы просто накладываем нулевые граничные условия в точке P, отделяющей треугольник от всего прямоугольника AdS (на диаграмме Пенроуза P представляется в виде двух сторон треугольника, отделяющих область, покрываемую координатами Пуанкаре, от той области AdS, которую они не покрывают), так что динамику можно рассматривать только в Пуанкаре-треугольнике. Поэтому, кстати, точку P иногда называют горизонтом AdS в координатах Пуанкаре. Соответственно в глобальных координатах, в отличии от координат Пуанкаре, пространство AdS не имеет горизонта.

Также полезно порешать задачки из главы 12 BBS по соответствующей тематике. В секции комментариев можно указать те задачи, которые читателям интересно разобрать здесь. Там есть пара задач чисто про AdS и несколько задач по AdS/CFT соответствию.

Ключевые слова: гравитация, AdS/CFT, геометрия | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

AdS/CFT соответствие. Некоторые примеры вычисления корреляционных функций.

22 марта 2011 года, 02:18

Предыдущий пост был посвящен описанию основ AdS/CFT соответствия. В конце я пообещал привести примеры конкретных расчетов корреляционных функций методом голографии, когда корреляционные функции теории поля вычисляются с помощью супергравитации в объеме, в пространстве-времени большей на единицу размерности. Этим и займемся в этом посте. Будем тесно следовать результатам, приведенным в работе Эдварда Виттена «Anti de Sitter Space and Holography», которая лежит в основе всего обсуждаемого ниже. В той работе развивается идея голографии в качестве описания того, что представляет собой AdS/CFT соответствие. Суть этой идеи понять легко, по крайней мере на классическом уровне. Действительно, возьмите обычное скалярное поле. Оно удовлетворяет уравнению Лапласа. Если рассматривать краевую задачу в шаре, то ясно, что, задав граничные условия на сфере, мы полностью определим динамику поля внутри шара. Совершенно аналогичное утверждение верно в применении к евклидовой форме пространства AdS и его границе.

Обратите внимание на то, что on-shell величины объема соответствуют off-shell величинам границы. В примере выше мы действительно решили уравнение Лапласа в объеме при произвольных (off-shell) условиях на границе.

В некотором роде AdS можно тоже представить как открытый шар, так что координатная область задания AdS есть открытый шар $$\inline \sum _{i=0}^dy_i^2<1$$, а физическое расстояние — интервал — определяемый метрикой в данных координатах yi — расходится при приближении к границе шара:

$$ds^2=\frac{4\sum\limits_{i=0}^ddy_i^2}{(1-|y|^2)^2}.$$

Отсюда известная картинка, изображающая AdS и показывающая координатные расстояния, а не физическое расстояния:

  

Введение

1. Итак, наша задача состоит в установлении соответствия между теорией поля на границе AdSd+1 и супергравитацией (приближающей суперструну) в AdSd+1. Для этого напомним обозначения.

Мы рассматриваем Евклидово пространство AdS, то есть пространство-время с метрикой AdS, но с положительной сигнатурой. Выберем координатную систему Пуанкаре, в которой эта метрика записывается следующим образом:

(1)$$ds^2=\frac{1}{x_0^2}\sum _{i=0}^d(dx_i)^2.$$

Здесь x0 > 0. Пространство AdS в таких координатах имеет границу, представляющую собой Rd при x0 = 0 и бесконечно удаленную точку P при x0 = ∞ (в этой точке расстояние между любыми точками, как видно из выражения для метрики, просто равно нулю).

2. Теперь выведем формулу, которой будем пользоваться в расчетах корреляционных функций. Пусть φ есть любое поле в объеме, а φ0 - его значение на границе. В силу дуальности между теориями в объеме и на границе, полю φ в объеме должен соответствовать некий оператор  $${\cal O}$$, описывающий калибровочно-инвариантным образом некую величину в теории на границе. Замечу, что из простого примера голографии выше вовсе не следует что φ0 и есть то самое граничное поле, которое соответствует полю в объеме φ. Действительно, это всего лишь граничное значение того же самого поля из суперструной части соответствия, в то время как QFT-часть соответствия содержит свои собственные поля.

Далее, со струнной стороны мы имеем статистическую сумму для всевозможных конфигураций поля φ в объеме, при данном граничном значении φ0 (в дальнейшем перейдем в объеме on-shell для конкретных расчетов):

$$Z_{string}(\varphi _0)=\int\limits_{\varphi _0}\! D\varphi\, e^{-S_{string}}.$$

Постольку поскольку квантовая теория определяется статистической суммой, и одновременно эта же квантовая теория дуальным образом должна выражаться в терминах теории поля на границе, значение Z(φ0) должно быть выражаемо через нечто из CFT, также зависящее от φ0. В этом месте выдвигается ключевая формула соответствия:

$$Z_{string}(\varphi _0)=\langle\exp{\int\limits_{boundary}\varphi _0 \,{\cal O}}\rangle.$$

Это довольно формальное выражение,  и должно сопровождаться конкретными указаниями для расчетов, когда возникают расходимости. На примерах ниже подтверждается, что формула дает правильные корреляционные функции для $${\cal O}$$. Однако сейчас уже стоит заметить, что формула имеет именно такой вид потому, что именно так она будет отражать идею голографии, при которой поле $${\cal O}$$ со стороны QFT на границе посредством минимального взаимодействия (обратите внимание, что граничное значение φ0 функции φ из объемной теории играет роль источника для полей $${\cal O}$$ из граничной теории, что используется, естественно, при вычислении корреляционных функций в граничной теории) воздействует на динамику поля φ в объеме. Например, в теории супер-Янга-Миллса мы имеем константу связи gYM2. Качественный анализ AdS/CFT соответствия приводит к тому, что gYM2 = 4πgs. Здесь gs = eΦ есть струнная константа связи (точнее константа связи действие супергравитации), где Φ есть дилатон (синглет Лоренцевой калибровочной группы из бозонного сектора мультиплета супергравитации). Мы тогда видим, что действие SYM на границе содержит в качестве множителя струнную константу связи, выражаемую через дилатон. Естественно тогда, что весь Лагранжиан CFT (уже без константы связи) есть калибровочно-инвариантный оператор, соответствующий полю дилатона в супергравитации в объеме. Другой пример — соответствие между тензором энергии-импульса в CFT и метрикой в AdS.

3. Теперь мы переходим on-shell в объеме. Поле φ не интегрируется по всевозможным конфигурациям, а просто рассматривается как решение классических уравнений супергравитации с данным граничным услвоием φ0. Хочу напомнить, что в данном контексте φ — любое поле из мультиплета супегравитации, не обязательно дилатон (не обязательно — скаляр). Так вот, подобный классический переход подразумевает, разумеется, малость константы связи в супергравитации, валидирующей его. В результате просто имеем

$$Z_{string}(\varphi _0)=e^{-I_S(\varphi)}.$$

Теперь мы полностью готовы к расчету корреляционных функций в теории на границе. Мы должны просто взять классическое решение в объеме, подставить его в действие, потенцировать, получив таким образом классическую аппроксимацию стат. суммы, и потом проварьировать по φ0, являющимся источником для калибровочного поля $${\cal O}$$ на границе. С последующим занулением источников (когда необходимо) получаем корреляционные функции.

Скалярное поле

Рассмотрим классическую динамику свободного безмассового скалярного поля φ (скажем, дилатона, поскольку мы рассматриваем супергравитацию) в объеме AdSd+1. Она описывается действием

$$I(\varphi)=\frac{1}{2}\int d^{d+1}y\sqrt{g}|d\varphi|^2.$$

Мы фиксируем граничное условие φ0 и записываем уравнение Лапласа — являющееся уравнением движения нашего скалярного поля — в метрике (1) для функции Грина K(x0), которая зависит только от x0 в силу независимости постановки задачи от трансляций пространственных координат:

$$\frac{d}{dx_0}x_0^{-d+1}\frac{d}{dx_0}K(x_0)=0.$$

Выписываем решение

$$K(x_0)=cx_0^d.$$

Это решение расходится в точке P на границе (x0 = ∞), причем на самом деле K становится дельта-функцией. Пока неясно, как так происходит, поэтому сделаем замену координат, представляющую собой конформную инверсию:

$$x_i\rightarrow\frac{x_i}{x_0^2+\sum _{j=1}^dx_j^2}$$

для всех координат: i = 0, ..., d. Тогда получаем, что P переходит в точку xi = 0, i = 0, ..., d, а также

$$K(x)=c\frac{x_0^d}{(x_0^2 +\sum _{j=1}^dx_j^2)^d}.$$

Тут стоит вспомнить, что писал Рома в посте про ультрабуст. А именно, представление для дельта-функции, упомянутое там. Адаптация к нынешнему d-мерному случаю дает K(x) являющуюся дельта-функцией от xi = 0, i = 1, ..., d, когда x0 → 0.

В результате решение уравнения Лапласа с данным граничным значением в x0 = 0 выглядит следующим образом:

$$\varphi (x_0,x_i)=c\int d{\bf x}'\frac{x_0^d}{(x_0^2+|{\bf x}-{\bf x}'|^2)^d}\varphi _0(x_i').$$

Подставляя это выражение в on-shell действие I(φ), получаем после некотрых простых вычислений

$$I(\varphi)=\frac{cd}{2}\int d{\bf x}d{\bf x}'\frac{\varphi _0({\bf x})\varphi _0({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|^{2d}}.$$

Очевидно, что теперь, варьируя по граничным значениям φ0, мы действительно получим правильные корреляционные функции для оператора $${\cal O}$$ с конформной размерностью d. Действительно, в силу лагранжиана взаимодействия $$\varphi _0{\cal O}$$, усредняемого в CFT-части по путям, получаем, что для скалярного поля с нулевой конформной размерностью поле $${\cal O}$$ с необходимостью имеет конформную размерность d. Поэтому двухточечные функции имеют совершенно правильный вид, когда выводятся таким методом.

Ключевые слова: гравитация, конформная теория поля, AdS/CFT | Оставить комментарий

AdS/CFT соответствие

18 марта 2011 года, 17:01

После небольшого отступления от современной теоретической физики, осуществленного Ромой, давайте вернемся к тому, что было разработано относительно недавно.

Введение

В конце 1997 года Х. Малдасена опубликовал работу под названием «The Large N limit of superconformal field theories and supergravity», которая отчасти основывалась на ранних работах т'Хуфта касательно упрощения расчетов в калибровочных SU(N) теориях в пределах большого количества цветов N. В этой статье был сделан ряд наблюдений, суммирующихся в гипотетическое (на том этапе, и существенно обоснованное впоследствии) соответствие между конформной SU(N) теорией поля и теорией суперструн в пространстве-времени большей размерности (существенно пространством AdS в прямом произведении с компактным пространством, скажем сферой). Результаты этой работы впоследствии были детально изложены в обстоятельной (~250-ти страничной) статье Малдасены и др. «Large N field theories, string theory and gravity». Интересные конкретные расчеты, подтверждающие соответствие, были проведены в работе Виттена «Anti de Sitter space and holography». В этом посте я преимущественно следую именно последним двум статьям.

Соответствие между двумя теориями, в данном случае между конформной теорией поля и теорией суперструн (или приблизительно — теории супергравитации) в пространстве-времени с размерностью большей на единицу (умноженного вдобавок на некоторое компактное многообразие, скажем сферу, или деление сферы группой дискретных симметрий — орбифолдность, и т.д., дабы получить теорию суперструн именно в десятимерии) называется дуальностью. Вообще говоря, если есть две теории, между которыми можно установить 1-1 соответствие путем сопоставления различных физических параметров одной теории и параметров другой теории, то такие теории называются дуальными. Простейший пример из теории струн есть T-дуальность, которая устанавливает эквивалентность теории струн с одним из пространственных измерений компактифицированном на окружности радиуса R и на окружность радиуса 1/R. При этом спектр обоих теорий совершенно одинаков (напомню что для замкнутых струн необходимо одновременно также переставить КК квантовое число и число обмоток вокруг компактного направления). То есть две теории с по сути разными физическими параметрами совершенно эквивалентны (дуальны) друг другу. Излишне напоминать, что слово дуальность известно из принципа корпускулярно-волнового дуализма, когда два принципиально различных способа описания квантов применяются дополнительно друг к другу в зависимости от конкретики рассматриваемого явления. Этот последний пример очень важен в данном контексте. Действительно, среди физических дуальностей имеется так назывемая S-дуальность, которая устанавливает соответсвтие между сильно и слабо взаимодействующими теориями (пример из QED с монополем — симметрия относительно замены электрических и магнитных величин — в вакууме сводящаяся к замене электрических и магнитных полей — с учетом условия квантования Дирака eg ~ n для электорического заряда e и магнитного заряда g). Тогда для описания сильновзаимодействующей теории можно на самом деле воспользоваться теорией возмущения со стороны слабовзаимодействующей дуальной теории. В AdS/CFT ситуация аналогична (хотя, насколько я знаю, S-дуальностью она не именуется) в том смысле, что сильносвязанная CFT дуальна именно слабосвязанной теории струн, и наоборот.

BPS состояния

Для начала стоит напомнить некоторые факты из теории суперструн. Как известно в теории суперструн типа-IIB существуют солитонные решения, являющиеся Dp-бранами, т.е. протяженными объектами с p продольными измерениями. В теории типа-IIB число p должно быть нечетным. Устойчивость подобного решения обеспечивается тем, что Dp-брана имеет RR-заряд, благодаря которому она взаимодействует с полем замкнутых струн, а именно с RR-сектором безмассовых возбуждений замкнутых струн. Одного заряда не достаточно для стабильности, ключевым является специальное соотношение между массой и зарядом, называемое насыщением BPS-ограничения, или BPS-состоянием. Это понятие из $${\cal N}$$-расширенной суперсимметрии, когда (часть) центральных зарядов совпадает по величине с массой частиц супермультиплета, и потому число повышающий операторов, сформированных из генераторов суперсимметрии и строящих супермультиплет, снижается. Простейший пример — киральный супермультиплет $${\cal N}=1$$ суперсимметрии — когда имеется (в D = 4) только один повышающий оператор, вместо двух — как для массивного (и потому некирального) $${\cal N} =1$$, D = 4 супермультиплета. В случае кирального $${\cal N}=1$$ супермультиплета суперсимметрия нерасширенна и потому все центральные заряды (отождествляемые с RR-зарядами в случае суперструн) просто равны нулю, соответственно насыщение BPS-ограничения просто означает нулевую массу. Пропорциональность (в подходящих единицах и нормировках — равенство) между центральным зарядом и массой обеспечивает стабильность Dp-браны при условии одновременного сохранения заряда и энергии-импульса.

Черные p-браны и предел их геометрии вблизи горизонта

Далее, Dp-браны теории суперструн на самом деле могут рассматриваться как решения супергравитации, являющейся низкоэнергетическим пределом соответствующей теории суперструн. В нашем случае это супергравитация типа-IIB. Среди ее решений имеются статические объекты, являющиеся прямым аналогом Шварцшильдовской черной дыры (вообще говоря, заряженной черной дыры Керра) — черные p-браны. Критическая (стабильная, имеющая нулевую температуру излучения Хокинга, и потому отождествляемая со стабильной Dp-браной теории суперструн) черная p-брана, как и Dp-брана теории суперструн, имеет массу, равную заряду. За счет массы (и заряда) p-брана искривляет геометрию, которую можно найти решая совместную систему уравнений Максвелла-Эйнштейна. А именно, метрика выглядит следующим образом:

$$ds^2=\frac{1}{\sqrt{H(r)}}\left(-dt^2+\sum _{i=1}^pdx^idx^i\right)+\sqrt{H(r)}\sum _{a=1}^{9-p}dr^adr^a$$

(dp есть некий численный фактор) и представляет собой обобщение решения заряженной черной дыры Керра. Здесь введены обозначения

$$H(r)=1+\frac{r_p^{7-p}}{r^{7-p}},\quad r_p^{7-p}=d_pg_sNl_s^{7-p}.$$

При этом связь между дилатоном (скаляр из мультиплета супергравитации) Φ и струнной константой связи gs следующая:

$$e^\Phi =g_sH^{(3-p)/4}$$

Решение имеет горизонт в r = 0 (по сути решение в такой форме определено до горизонта).

Черная брана с такой метрикой имеет RR заряд N, создающий поток через окружающую ее (8 − p)-сферу:

$$\int _{S^{8-p}}F_{8-p}=N$$

С точки зрения Dp-бран тут мы имеем просто напросто N совпадающих Dp-бран, каждая из которых имеет заряд, равный единице.

В специальном случае p=3 мы имеем постоянный дилатон, связанный со струнной константой связи как gs = eΦ . Также R = r3 = 4π gs'2 есть характерный масштаб длины в такой пространственно-временной конфигурации. Вблизи горизонта r → 0 решение для черной 3-браны имеет вид

$$ds^2=(r/R)^2dx\cdot dx +(R/r)^2dr^2+R^2d\Omega _5^2.$$

Здесь под координатами x подразумеваются координаты вдоль браны, как и раньше r есть радиальная координата «от браны к окружающей ее» сфере S5. Вводя переменную z = R2/r мы получаем метрику

$$ds^2=R^2\frac{dx\cdot dx+dz^2}{z^2}+R^2d\Omega_5^2.$$

Эта метрика пространства AdS5×S5, где метрика AdS5 записана в Пуанкаре-координатах, покрывающих половину всего пространства. Как AdS, так и сфера имеют одинаковый «радиус» R.

Пространство AdS5×S5

Такое пространство-время сохраняет все суперсимметрии теории. Чтобы это доказать, нужно вспомнить как вообще определить число суперсимметрий, сохраняемых неким решением уравнений супергравитации, т.е. неким конкретным гравитационном фоном (это особенно полезно при изучении компактификации, когда например теория суперструн в десяти измерениях компактифицируется на некотором многообразии Калаби-Яу, которое сохраняет только четверть от всех суперсимметрий. В результате низкоэнергетический вакуум имеет 4 суперсимметрии в = 4, т.е. получаем $${\cal N}=1$$ MSSM, вместо 16 исходных суперсимметрий гетеротической суперструны. Аналогичные реузультаты имеют место и для других компактификаций, в том числе суперструн типа-II с 32 суперсимметриями).

Сосредоточимся для примера на $${\cal N}=1$$ D = 4 супегравитации с космологической постоянной Λ. Следуя Малдасене запишем действие теории:

$$S=\int d^4x\left(-\sqrt{g}({\cal R}-2\Lambda)+\frac{1}{2}\epsilon ^{\mu\nu\rho\sigma}\bar\psi _\mu\gamma ^5\gamma _\nu\tilde D_\rho\psi _\sigma\right).$$

Классический фон не содержит гравитино ψμ, а просто представляет собой некий фон искривленного пространства-времени. Так что поле гравитино нужно занулить. Однако, тогда возникает вопрос о суперсимемтричности подобного фона без гравитино. Нужно вспомнить преобразования локальной суперсимметрии:

$$\delta V_{a\mu}=-i\bar\epsilon (x)\gamma _a\psi _\mu,$$

$$\delta\psi _\mu =\tilde D_\mu\epsilon (x),$$

где

$$\tilde D_\mu =D_\mu+\frac{i}{2}\sqrt{\frac{\Lambda}{3}}\gamma _\mu.$$

Теперь ясно, что если гравитино исчезает, то тетрады V не преобразуются, так что бозонная часть фона симметрична. Однако фермионная часть фона симметрична только при условии того что локальный параметр суперсимметрии является, как говорят, спинором Киллинга (по естественной аналогии с вектором Киллинга): Dμε = 0. Ясно, что, вообще говоря, только часть компонент спинора может удовлетворять такому условию (в случае многообразия Калаби-Яу с тремя комплексными измерениями — только одна спинорная компонента из четырех). Потому доля сохраняющихся суперсимметрий равна доле компонент спинорного параметра суперсимметрии, удовлетворяющих условию Киллинга. От этого условия можно перейти к следующему:

$$0=[\tilde D_\mu,\,\tilde D_\nu]\epsilon =\frac{1}{2}({\cal R}_{\mu\nu\rho\sigma}\sigma ^{\rho\sigma}-\frac{2}{3}\Lambda\sigma _{\mu\nu})\epsilon$$

(здесь введен следующий элемент «искривленной» алгебры Дирака $$\inline \sigma _{\mu\nu}=\frac{1}{2}\gamma _{[\mu}\gamma _{\nu]}$$).

Для максимально симметричного (то есть симметричного относительно группы с D(D+1)/2 параметрами) AdS имеет место

$${\cal R}_{\mu\nu\rho\sigma}=\frac{1}{R^2}(g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}).$$

Теперь самое время вспомнить, что в теории с данной космологической постоянной Λ решение AdS с радиусом R будет удовлетворять уравнениям Эйнштейна только при условии Λ = 3/R2. Однако при этом же условии легко заметить, что спинор ε удовлетворяет условию Киллинга (точнее его следствию с тензором криизны, которое является условием интегрируемости для уравнения Киллинга).

Как мы видим, пространство AdS сохраняет все суперсимметрии.

Далее, нас на самом деле интересует сколько суперсимметрий сохраняет пространство-время AdS5×S5, а не просто AdS. Здесь имеется нетривиальность по сравнению с обычным подсчетом суперсимметрий в компактифицированных теориях. Обычно, когда мы просто имеем прямое произведение некого компактного многообразия с нулевым потоком RR-полей через компактное многообразие, число сохраняемых суперсимметрий вычисяется с помощью подсчета числа спиноров Киллинга на компактном многообразии. Если применить наивно такой подход в данном случае, стартуя с D=10 гравитации с нулевой космологической постоянной (это тоже выводимое условие исходя из требования сохранения суперсимметрий), то получим, что все суперсимметрии нарушаются, ибо сфера имеет максимальную группу голономии SO(5), не оставляющую неподвижным ни один спинор (который бы таким образом генерировал бы ненарушенные суперсимметрии). Однако, такой подход в данном случае неприменим, ибо мы изначально предполагаем ненулевой поток. Обратите внимание, что выше мы тоже используем ковариантную производную $$\tilde D$$, а не $$D$$, т.е. принимающую во внимание ненулевую космологическую постоянную на уровне AdS. В D=10 космологическая постоянная равна нулю. Однако, мы производим не обычную компактификацию на сферу, а т.н. flux compactification (компактификацию с ненулевым потоком), в данном случае с ненулевым потоком F5 через сферу. Наличие этого потока модифицирует услвоие $$D\epsilon =0$$ на условие $$\tilde D\epsilon$$, модифицированное наличием ненулевого потока. На уровне AdS это условие выражается условием спинора Киллинга с ковариантной производной, постороенной уже с участием космологической постоянной.

Объединяя суперсимметрии с бозонными симметриями пространственно-временной конфигурации, получаем полную группу симметрий теории суперструн на AdS5×S5 являющуюся группой PSU(2, 2 | 4). В нее входят группа SU(2, 2) ~ SO(2, 4), являющаяся симметрией AdS5, группа SU(4) ~ SO(6), являющаяся симметрией S5, а также 32 киральных фермионных генератора IIB суперсимметрии, которые расширяют эти группы до полной супергруппы PSU(2, 2 | 4) и преобразуются под действием спинорных представлений бозонных подгрупп пространственно-временных симметрий.

Конформная теория поля

Теперь стоит вспомнить какую еще роль играют Dp-браны в теории суперструн. Собственно первичная цель их введения состояла в последовательном Пуанкаре-инвариантном способе описания открытых струн с граничными условиями Дирихле, т.е. с зафиксированными концами. Без бран, на которых струны могли бы оканчиваться, было бы совершенно непонятно, что держит их концы, и потому теория оказалось бы не Пуанкаре-инвариантной.

После введения Dp-бран возникает еще одна возможность. Если мы имеем стопку совпадающих друг с другом N Dp-бран, то для открытых струн, которые оканчиваются на бранах из такой стопки, необходимо ввести дополнительные степени свободы — заряды Чана-Патона на концах струны — которые будут обеспечивать описание симметрии по отношению к различным бранам из стопки. В результате спектр открытых суперструн на самом деле становится калибровочным супермультиплетом, ибо два конца струны вместе объединяются в присоединенное представление калибровочной группы U(N) (после введения ориентифолдной плоскости можно получить нужную для сокращения калибровочных аномалий группу SO(32)).

Таким образом теория N совпадающих Dp-бран (точнее теория мирового объема этих бран) есть по сути D = p + 1 U(N) калибровочная теория поля. В случае D3-бран это D = 4 теория супер-Янга-Миллса. Так как это конформная теория, то отсюда CFT часть в названии соответствия.

Следует прокомментировать суперсимметричность такой теории. Dp-браны сохраняют половину суперсимметрий теорий суперструн типа-II (и потому собственно говоря являются BPS-объектами в первую очередь, откуда уже для них следует равенсто RR заряда и массы — натяжения), то есть 16 суперсимметрий. Соответственно получаем в случае D3-бран $${\cal N}=4$$, D = 4 теорию SYM. Однако, будучи конформно-инвариантной теорией, она содержит еще генераторы специальных конформных преобразований, которые в замыкании с 16 суперсимметриями дают 16  дополнительных суперсимметрий. Полная алгебра симметрий есть PSU(2, 2 | 4).

Как мы видим, группы симметрий совпадают с обоих сторон соответствия.

Переход от четырехмерной конформной теории поля к суперструнам в пятимерном пространстве AdS

Следуя Малдасене («TASI lectures on AdS/CFT») проведем следующее простое рассуждение. Допустим, у нас есть четырехмерная конформная теория поля, CFT4. Например, максимально суперсимметричная теория $${\cal N}=4$$ супер-Янг-Миллса. Эта теория обладает группой конформных симметрий SO(2, 4), которая в частности содержит в качестве подгруппы 4d группу Пуанкаре. Поэтому, если теперь мы хотим найти дуальную теорию струн в неком пятимерном (на одно пространственное измерение больше — следуя идее голографии, или точнее — по той простой причине что в четырех измерениях теория струн имеет конформную аномалию, а введение компенсирующего поля Лиувилля может интерпретироваться как дополнительное измерение) пространстве-времени, то метрика в нем должна уважать в первую очередь эту самую 4d Пуанкаре-симметрию. Репараметризацией пятой координаты z можно записать ее как

$$ds^2=w(z)^2(dx_{1+3}^2+dz^2).$$

Наконец, эта метрика должна уважать симметрию скейлинга, тоже являющуюся подгруппой четырехмерной конформной группы: x → λx. Тогда получаем z → λz и необходимо w = R/z. В результате получаем метрику AdS5 в координатах Пуанкаре:

$$ds^2=R^2\frac{dx_{1+3}^2+dz^2}{z^2}.$$

Конкретные расчеты

Аргументы в пользу истинности соответствия, приведенные выше, не приводят сами по себе к конкретным возможностям для вычислений (проверяемых экспериментально — сравнением наблюдений с расчетами столкновений тяжелых ионов с помощью методов квантовой гравитации (!) в пятимерном пространстве-времени AdS5). Таковые возникают после установления соответствия между стат. суммой теории гравитации в AdS5 и конформной теорией поля CFT4. Об этом в следующий раз.

Ключевые слова: суперсимметрия, D браны, конформная теория поля, гравитация, AdS/CFT | Комментарии (1)
Роман Парпалак

Ультрабуст в пространстве (2+1)

6 марта 2011 года, 10:34

В прошлый раз, говоря о (2+1)-мерной гравитации, мы нашли метрику точечной массы:

$$ds^2=-c^2dt^2+d\rho^2+\alpha^2\rho^2d\varphi^2,\quad\alpha=1-4Gm/c^2.$$(1)

Теперь попробуем вывести метрику ультрарелятивистской частицы, пролетающей мимо наблюдателя с околосветовой скоростью. Сначала мы найдем метрику движущейся материальной мочки, а затем применим операцию, называемую ультрабустом. Она заключается в одновременном устремлении скорости частицы к скорости света и массы к нулю, чтобы энергия оставалась конечной.

Лоренцев буст

Временно будем считать, что скорость света с = 1.

Для плоской метрики пространства Минковского переход в другую ИСО выполняется при помощи матрицы Лоренца Λ (такое преобразование оставляет метрику инвариантной):

$$g(v)=\Lambda^Tg\Lambda.$$(2)

Эту формулу можно применять не только к плоскому пространству, но и, например, к решению Шварцшильда. Действительно, метрика Шварцшильда асимптотически плоская, поэтому, формально проделав над ней такое преобразование, мы получим на бесконечности преобразования Лоренца из СТО. Следовательно, (2) описывает переход из системы отсчета покоя в систему, движущуюся относительно тела с постоянной скоростью.

Однако метрика (1) не является асимптотически плоской, поэтому обоснование возможности применить (2) в случае пространства (2+1) сложнее.

Для начала заменим переменные:

$$\left\{ \begin{array}{rl} x\!\!\!\!&=r\cos\varphi,\\ y\!\!\!\!&=r\sin\varphi,\\ \varepsilon\!\!\!\!&=1-\alpha^2. \end{array} $$(3)

В этих обозначениях метрика (1) принимает вид

$$g=\left[ \begin{array}{ccc} -1&0&0 \\ 0&1-{\dfrac {\varepsilon\,{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}}&{\dfrac {\varepsilon\,xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}} \\ 0&{\dfrac {\varepsilon\,xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}&1-{\dfrac {\varepsilon\,{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}} \end{array} \right] .$$

Отсюда и из (1) видно, что ε → 0, когда → 0. Когда мы уменьшаем массу точки до нуля, пространство переходит в плоское. Результат цепочки преобразований: уменьшение массы до нуля — лоренцев буст — увеличение массы до первоначального значения совпадет с результатом от простого применения формулы (2). Этим и обосновывается возможность ее применения.

Матрица Лоренца есть

$$\Lambda=\left[ \begin {array}{ccc} {\cfrac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}&-{\cfrac {v}{\sqrt {1-v^{2}}}}&0 \\ -{\cfrac{v}{\sqrt {1-{v}^{2}}}}&{\cfrac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}&0 \\ 0&0&1\end {array} \right] .$$

Несложные, но объемные вычисления, которые лучше всего поручить компьютеру, дают

$$\Lambda^Tg\Lambda=\left[\begin{array}{ccc} -1-{v^2\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&{v\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&-{v\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}\\ \noalign{\medskip}{v\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&1-{1\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&{1\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}\\ \noalign{\medskip}-{v\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}&{1\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}&1-{\varepsilon x^2 \over x^2+y^2}\end {array}\right].$$

В этом выражении x — координата в сопутствующей системе отсчета. Она связана с координатой x1 в нашей системе отсчета преобразованием Лоренца

$$x = {x_1-vt \over \sqrt{1-v^2}}.$$

Подставим ее в предыдущее выражение и получим

$$g(v)=\left[\begin{array}{ccc}-1-{v^2\varepsilon y^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&{v\varepsilon y^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left( 1-v^2 \right)}&-{v\varepsilon\left(x_1-vt\right)y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}\\ \noalign{\medskip}{v\varepsilon y^2\over \left(x_1-vt\right)^2+y^2\left( 1-v^2 \right)}&1-{\varepsilon y^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&{\varepsilon\left( x_1-vt\right)y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}\\ \noalign{\medskip}-{v\varepsilon\left( x_1-vt \right) y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&{\varepsilon\left(x_1-vt\right)y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&1-{\varepsilon\left(x_1-vt\right)^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}\end{array}\right].$$

Ультрабуст

Используем результат, полученный выше, для вывода метрики материальной точки с нулевой массой, движущейся со скоростью света.

Будем переходить к пределу  c, → 0 таким образом, чтобы энергия

$$E={mc^2 \over \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$$

материальной точки оставалась конечной. С учетом (1) и (3) легко найти, что

$$\varepsilon={8GE \over {c^4}}\sqrt {1-\dfrac{v^2}{c^2}}-{16G^2E^2 \over c^8}\left( {1-\dfrac{v^2}{c^2}} \right).$$

Кроме того, нам понадобится известное соотношение

$$\lim \limits_{a\to +0} \dfrac{a}{z^2+a^2}=\pi \delta (z).$$

В конечном итоге мы получим

$$g(c ) =\left[\begin{array}{ccc} {-c^2-\dfrac{8\pi G}{c^2}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& {\dfrac{8\pi G}{c^3}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& 0\\{\dfrac{8\pi G}{c^3}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& {1-\dfrac{8\pi G}{c^4}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& 0 \\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right] .$$

В переменных u = x1 − ct, x1 + ct интервал принимает вид

$$ds^2=-du\,dv+dy^2-\dfrac{8\pi G}{c^4}E\,\delta (u) \left| y \right|du^2.$$

Полезно сравнить этот ответ с ультрабустом в (3+1) [1]:

$$ds^2=-du\,dv+dr^2+r^2 d\theta ^2-8GE\,\delta (u) \ln r du^2.$$

Результаты отличаются функцией от перпендикулярного расстояния, входящей в коэффициент перед du2. В двумерном случае это линейная функция, а в трехмерном — логарифм. Эти функции являются функциями Грина уравнения Лапласа размерности на 2 меньше, чем размерность соответствующего пространства-времени. Как видим, результаты получились похожими.

Ссылки

[1] P. C. Aichelburg, R. U. Sexl (Vienna U.). «On the Gravitational field of a massless particle». May 1970. Published in Gen.Rel.Grav.2:303-312,1971.

[2] S. Deser, Alan R. Steif (Brandeis U.). «Gravity theories with lightlike sources in D = 3.» Published in Class.Quant.Grav.9:L153-L160,1992.

Ключевые слова: гравитация | Комментарии (9)
Роман Парпалак

Гравитация в пространстве (2+1)

2 марта 2011 года, 23:21

Мы рассмотрим некоторые особенности гравитации в трехмерном пространстве-времени (две пространственных координаты плюс время). Оказывается, такое пространство в присутствии масс локально не искривляется, однако в нем появляются глобальные топологические эффекты. Например, длина окружности, охватывающей материальную точку, меньше, чем 2πR.

Тензор Римана в (2+1)

Как известно, тензор Римана обладает следующими симметриями:

$$R_{abcd}=R_{cdab},\quad R_{abcd}=-R_{bacd}=-R_{abdc},$$

где каждый индекс пробегает значения 0, 1, 2. Непосредственным перебором легко проверить, что у тензора Римана остается 6 независимых ненулевых компонент: R0101, R0112, R0120, R1212, R1220, R2020. Число независимых компонент тензора Риччи тоже 6. Оказывается, в трехмерном пространстве-времени тензор Римана можно выразить через тензор Риччи:

$$R_{abcd}=g_{ac}Q_{bd} + g_{bd}Q_{ac}-g_{ad}Q_{bc}-g_{bc}Q_{ad},$$(1)

где QabRab − ¼gabR, RRaa.

Точечная масса

Вычислим статическую аксиально-симметричную метрику в присутствии точечной массы. Как обычно, начинаем с уравнений Эйнштейна

$$R_{ab} -{R \over 2} g_{ab} = {8 \pi G \over c^4} T_{ab}.$$

Взяв след обеих частей, получаем

$$R = -{16 \pi G \over c^4} T.$$(2)

В пустом пространстве вокруг тела Tab ≡ 0, следовательно, из (2), уравнения Эйнштейна и (1) получаем R ≡ 0, Rab ≡ 0, Rabcd ≡ 0. Таким образом, пустое пространство (2+1) должно быть локально плоским. Это, в частности, означает, что в рассматриваемом случае нет гравитационных волн.

$$\begin{tikzpicture}[line width=0.21mm,scale=1.0545] \def\re{1.2} \def\rta{0.32} \def\rtb{0.5} \def\a{310} \def\b{110} \def\c{1} \def\d{0.3} \def\lx{0.6} \def\ly{3.8} \draw (0,0) -- (\re,0) arc (0:\a:\re) -- cycle; \draw[->,very thin] (\rta,0) arc (0:\a:\rta) node[pos=0.83,below] {$2\pi\alpha$}; \draw[->,very thin] (0,0) -- (\b:\re) (\rtb,0) arc (0:\b:\rtb) node[pos=0.75,above] {$\varphi'$}; \draw[] (\lx,-\ly) arc (-105:105:0.3 and \c) -- +(-1.4,-\c) -- cycle; \draw[thin,dashed] (\lx,-\ly) arc (255:105:0.3 and \c); \end{tikzpicture}$$

Метрика такого пространства с учетом симметрий имеет следующий вид:

$$ds^2=-c^2dt^2+d\rho^2+\alpha^2\rho^2d\varphi^2,$$

где $$\alpha^2$$ — некоторая константа, а φ меняется от 0 до 2π. Введем новую угловую координату φ′ = αφ. Константа α и будет определять глобальные гравитационные эффекты. Заглядывая вперед, скажем, что α < 1. Таким образом, длина окружности, охватывающей точечную массу, будет меньше, чем 2πR.

Время входит в интервал с постоянным коэффициентом и не смешивается с другими координатами, поэтому скаляр кривизны R определяется только пространственной частью метрики.

Конический дефект

Двумерное пространство, описываемое такой метрикой, соответствует конической поверхности. В каждой точке поверхности, за исключением вершины, тензор Риччи равен нулю. В вершине имеется расходимость, связанная с расходимостью плотности энергии точечного тела.

Обычно связь между массой (которая пропорциональна коэффициенту в кривизне, задаваемой дельта-функцией) и величиной дефекта α определяется через эйлерову характеристику поверхности (которая равна сумме интеграла от кривизны по поверхности и интеграла от «внешней кривизны» границы по самой границе). Мы же пойдем более наглядным и методически более простым путем, «размывая» точечную массу.

$$\begin{tikzpicture}[line width=0.21mm,scale=1.0545] \def\c{1} \def\cc{0.5} \def\beta{6} \def\g{18} \draw (0,0) arc (-90-\beta:90+\beta:0.2 and \c) -- +(-1,-\c+\cc) arc (90+\beta:-90-\beta:0.1 and \cc) -- cycle; \draw[thin,dashed] (0,0) arc (270-\beta:90+\beta:0.2 and \c) ++(-1,-\c+\cc) arc (90+\beta:270-\beta:0.1 and \cc); \draw (-1,\c+0.489) arc (90+\g:270-\g:0.3 and 0.523); \end{tikzpicture}$$

Можно было бы рассмотреть некоторое распределение массы в ограниченной области и выяснить, как будет меняться α, когда размер области стремится к нулю. Однако мы будем действовать противоположным образом, что избавит нас от необходимости решать уравнения Эйнштейна. Деформируем коническую поверхность, «сгладив» вершину в сферический сегмент радиуса r, и выясним, какому распределению масс соответствует такое пространство.

Известно, что скаляр кривизны двумерной поверхности равен удвоенной гауссовой кривизне:

$$R = {2 K} = {2 \over r_1r_2},$$

где r1 и r2 — главные радиусы кривизны поверхности. Для сферической поверхности радиуса r скаляр кривизны R = 2/r2.

$$\begin{tikzpicture}[line width=0.4mm,scale=1.0545]\small \def\r{1.8} \coordinate[label=above left:$A$] (A) at (-0.5*\r,0.866*\r); \coordinate[label=below:$B$] (B) at (-0.5*\r,0); \coordinate[label=below left:$C$] (C1) at (-\r,0); \coordinate[label=below:$O$] (O) at (0,0); \coordinate[label=below:$P$] (P) at (-2*\r,0); \coordinate (A3) at (0,1.333*0.866*\r); \draw[thin] (0,\r) arc (90:120:\r) -- node[above] {$\rho$} (P) -- node[pos=0.625,above] {$h$} node[pos=0.19,above,inner sep=1] {$\beta$} (O) -- node[right] {$r$} (A) |- (B); \draw[] (A3) -- (A) arc (120:190:\r); \draw[line width=0.21mm,opacity=0] (-2*\r-0.2,-0.4) rectangle (0.2,2.1) \end{tikzpicture}$$

Установим некоторые геометрические соотношения. Длина окружности в основании конуса равна $$2\pi|AB|=2\pi\rho\sin\beta$$, длина той же линии на развертке конуса равна $$2\pi\alpha|AP|=2\pi\alpha\rho$$, откуда $$\alpha=\sin\beta$$. Тогда площадь $$S=2\pi r\cdot |BC|$$ сферического сегмента высоты $$|BC|=h=r(1-\sin\beta)$$ выражается как $$2\pi r^2(1-\alpha)$$.

Проинтегрируем (2):

$$\int T \sqrt{-g}\, d^2x =- {c^4 \over 16\pi G}\int R \sqrt{-g}\, d^2 x=-{c^4 \over 16\pi G}RS = -{c^4 \over 4G} (1- \alpha).$$

Учитывая аддитивность массы (отсутствие гравитационного дефекта массы следует из того, что тензор Римана в пустом пространстве нулевой и пространство локально галилеево; мы обсудим это ниже), получаем

$$mc^2 =\int {T_{00}} \sqrt{-g}\, d^2x=-\int T \sqrt{-g}\, d^2x={c^4 \over 4G} (1-\alpha) ,$$

$$\alpha =1-{4Gm \over c^2}.$$

Интеграл от скаляра кривизны по поверхности не зависит от размера области «сглаживания», поэтому полученный результат справедлив и для точечной массы, когда r → 0. Как видим, для обычных тел с положительной массой α < 1. Видно также, что масса рассматриваемого тела не может превышать величину c2/4G.

Геодезические

$$ \begin{tikzpicture}[line width=0.21mm,scale=1.0545] \def\re{1.4} \def\ri{0.7} \def\ll{1.3} \def\l{0.7} \def\a{310} \def\x{118} \draw (0,0) -- (\re,0) arc (0:\a:\re) -- cycle; \draw (0:\ri) -- +(\x:\ll) (\a:\ri) -- +(180+\x+\a:\l); \end{tikzpicture} $$

Решая систему уравнений для геодезических

$$\frac{d^2x^\lambda }{d s^2} + \Gamma^{\lambda}_{~\mu \nu }\frac{dx^\mu }{d s}\frac{dx^\nu }{d s} = 0,$$

которая в наших координатах принимает вид

$$\left\{ \begin{array}{l}\ddot{\varphi} + \dfrac{2}{r}\dot{r}\dot{\varphi}=0, \\ \ddot{r}-r\dot{\varphi}^2\alpha^2=0, \\ \end{array} \right. $$

легко убедиться в том, что геодезические для пространства с точечной массой — это прямые $$r\sim 1/\sin(\alpha\varphi)$$ на развертке конуса.

Можно спроецировать геодезические на плоскость, перпендикулярную оси конуса. Тогда получится, что точечная масса «искривляет» пространство, или «отклоняет» движущиеся частицы. Однако легко видеть, что угол «отклонения» не зависит от прицельного параметра. Таким образом, уравнения Эйнштейна в (2+1) не содержат ньютоновское тяготение как предельный случай.

Более того, как показывает изучение геодезических, в определенном смысле гравитационное взаимодействие в (2+1) отсутствует. Как видно из вышеприведенной системы, для любых r0 и φ0 «кривая» покоя r = r0, φ = φ0 является геодезической. В обычном четырехмерном случае это не так. Например, для шварцшильдовского решения не существует такой системы координат, в которой тело в любой точке оставалось бы в покое.

Обобщения

Мы убедились в том, что точечной массе в трехмерном пространстве-времени соответствует плоскость с вырезанным углом (в вершине которого сама материальная точка) и отождествленными точками на противоположных сторонах разреза. Подобная картина характерна и для нескольких точек. С каждым телом связан вырезанный угол, величина которого пропорциональна массе тела. Сумма масс всех тел также не может превышать c2/4G.

Помимо бесконечной двумерной поверхности, можно представить еще и замкнутую поверхность, топологически эквивалентную сфере. Очевидно, масса такой замкнутой Вселенной есть c2/2G. Сфера будет реализовываться в случае равномерного распределения вещества. Дискретные массы будут образовывать многогранники. Например, восемь одинаковых материальных точек могут дать куб.

Ключевые слова: гравитация | Комментарии (8)
Роман Парпалак

Эффект Унру

28 февраля 2011 года, 15:37

Суть эффекта Унру заключается в том, что равноускоренный наблюдатель начинает видеть вокруг себя равновесное тепловое излучение, в то время как наблюдатель в инерциальной системе отсчета не видит ничего. В работе «Is there Unruh radiation?» авторов G. W. Ford и R. F. O'Connell есть вывод формулы для температуры Унру. Проследим за этим выводом.

Модель

Рассмотрим струну в пространстве (1 + 1) с лагранжианом

$$L=\int dy \left[ {\frac{\sigma }{2}}\left({\frac{\partial u}{\partial t}}\right)^{2}-{\frac{\tau }{2}}\left({\frac{\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\right].$$

Для случая скалярного поля нужно взять σ = 1/4π, τ = с2/4π. Несложно получить уравнение движения

$${\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$$

Его решение выписывается через ряд Фурье

$$u(y,t)=\sum_{k}\sqrt{{\frac{\hbar }{2\sigma L\omega }}}\left(a_{k}e^{i(ky- \omega t)}+a_{k}^{\dag }e^{-i(ky-\omega t)}\right),$$

где L — длина струны; частота и импульс связаны дисперсионным соотношением ω c|k|; сумма по импульсам пробегает значения, кратные 2π/L.

Квантование

Теперь проквантуем эту систему, потребовав выполнения коммутационных соотношений

$$\lbrack a_{k},a_{k^{\prime }}^{\dag }]=\delta _{k^{\prime}k},\quad\lbrack a_{k},a_{k^{\prime }}]=0.$$

Как утверждается, для струны в тепловом равновесии при температуре T можно определить следующие вакуумные средние:

$$\left\langle a_{k}a_{k^{\prime }}^{\dag }+a_{k^{\prime }}^{\dag}a_{k}\right\rangle =\,\mbox{cth}\, \frac{\hbar \omega }{2kT}\,\delta_{k^{\prime}k}, \quad\left\langle a_{k}a_{k^{\prime }}+a_{k^{\prime }}a_{k}\right\rangle =0.$$

Действительно, в первом выражении легко распознать $$2\bar{n}_k + 1$$. Среднее число квантов $$\bar{n}_k$$ дается статистикой Бозе — Эйнштейна, откуда и получается гиперболический котангенс.

Термодинамическое равновесие

Мы будем изучать поведение корреляционной функции поля

$$C(\Delta y,\Delta t)\equiv {\frac{1}{2}}\left\langle u(y_{1},t_{1}) u(y_{2},t_{2}) + u(y_{2},t_{2}) u(y_{1},t_{1}) \right\rangle ,$$

где Δy = y1 − y2, Δt = t1 − t2. Рассматривать спектральную плотность и пространственное распределение излучения было бы нагляднее. Но можно заниматься и корреляционной функцией, ведь она связана со спектральной плотностью (и, видимо, пространственным распределением) преобразованием Фурье.

После выполнения вычислений и перехода к бесконечной длине (→ ∞), связанного с заменой суммирования интегрированием, получаем

$$C(\Delta y,\Delta t)=\frac{\hbar }{4\pi \sigma }\int\limits_{-\infty }^{\infty }dk \frac{1}{\omega }\,\mbox{cth}\, \frac{\hbar \omega }{2kT}\cos \left( k\Delta y-\omega \Delta t\right).$$

Это выражение, вообще-то, расходится в области больших длин волн (или малых k). Но его можно, как обычно, разделить на сумму конечной части, зависящей от Δy и Δt, и бесконечной, не зависящей от этих переменных:

$$C(\Delta y,\Delta t) = const -\frac{\hbar }{4\pi \sigma c}\left(\ln \mbox{sh} \frac{\pi kT}{\hbar }\left(\Delta t-\frac{\Delta y}{c}\right)+ \ln \mbox{sh} \frac{\pi kT}{\hbar }\left(\Delta t+\frac{\Delta y}{c}\right)\right).$$

Корреляционная функция в фиксированной точке (Δy = 0) принимает вид

(1)$$C(0,\Delta t)=const-\frac{\hbar }{2\pi \sigma c}\ln \mbox{sh}\, \frac{\pi kT\Delta t}{\hbar }.$$

Еще нам понадобится корреляционная функция при нулевой температуре

$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)\equiv {\frac{\hbar }{4\pi \sigma }}\int\limits_{-\infty}^{\infty }\frac{dk}{\omega }\cos (k\Delta y-\omega \Delta t).$$

Здесь нужно выделять конечную часть по-другому. После преобразований получается

(2)$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)=const-{\frac{\hbar }{4\pi \sigma c}}\ln \left\vert\Delta t^{2}-\frac{\Delta y^{2}}{c^{2}}\right\vert.$$

Равноускоренное движение

Движение под действием постоянной силы F описывается в СТО известным уравнением

$${\frac{d}{dt}}{\frac{mv}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}}=F,$$

где под скоростью v понимается dy/dt. Его решение легко найти:

$$y={\frac{mc^{2}}{F}} \, \mbox{ch}\, \frac{F\tau }{mc},\quad t={\frac{mc}{F}}\,\mbox{sh}\, \frac{F\tau }{mc},\quad -\infty <\tau <\infty .$$

Параметр τ совпадает с собственным временем ∫dt (1 − v2/c2)1/2. Отсюда для двух точек на мировой линии можно получить, что

(3)$$\sqrt{\Delta t^{2}-\Delta y^{2}/c^{2}}={\frac{2mc}{F}}\,\mbox{sh}\, \frac{F\Delta\tau }{2mc},$$

где Δτ = τ1 − τ2.

Температура Унру

Из (2) и (3) получаем, что функция корреляции поля с нулевой температурой для точек вдоль мировой линии равноускоренного наблюдателя зависит только от Δτ:

$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)=const-{\frac{\hbar }{2\pi \sigma c}}\ln \mbox{sh}\, \frac{F\Delta \tau }{2mc}.$$

Сравнение последнего выражения с (1) показывает, что поле с нулевой температурой будет выглядеть для движущегося равноускоренно наблюдателя так, как будто обладает температурой Унру

$$kT={\frac{\hbar F}{2\pi mc}}.$$

Выводы

Отметим, что температура Унру очень мала. Так, для ускорения, совпадающего с ускорением свободного падения, температура Унру равна 4·10−20 К.

Эффект Унру в некотором смысле аналогичен излучению Хокинга. Действительно, для равноускоренного наблюдателя существует так называемый риндлеровский горизонт, аналогичный горизонту событий черной дыры.

Были предложения проверить эффект Унру, наблюдая дополнительное излучение за счет тепловых флуктуаций ускоренно движущейся частиц, например, электронов, освещенных мощными лазерами. Однако ряд авторов опровергает наличие дополнительного излучения, заявляя о компенсации возможного испускания поглощением энергии вакуумных (уже теплых!) полей. Например, далее в упомянутой статье разбирается пример осциллятора, связанного со скалярным полем, и прямым вычислением показывается отсутствие излучения.

Несмотря на малую величину, эффект Унру имеет важное философское значение. Действительно, этот эффект позволяет в принципе определить абсолютное ускорение системы отсчета. Таким образом опровергается принцип Маха в формулировке, утверждающей, что «имеет значение только ускорение относительно неподвижных звезд».

Ключевые слова: равновесное излучение, квантовая теория поля, гравитация | Комментарии (19)