Эффект Унру

Суть эффекта Унру заключается в том, что равноускоренный наблюдатель начинает видеть вокруг себя равновесное тепловое излучение, в то время как наблюдатель в инерциальной системе отсчета не видит ничего. В работе «Is there Unruh radiation?» авторов G. W. Ford и R. F. O'Connell есть вывод формулы для температуры Унру. Проследим за этим выводом.

Модель

Рассмотрим струну в пространстве (1 + 1) с лагранжианом

$$L=\int dy \left[ {\frac{\sigma }{2}}\left({\frac{\partial u}{\partial t}}\right)^{2}-{\frac{\tau }{2}}\left({\frac{\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\right].$$

Для случая скалярного поля нужно взять σ = 1/4π, τ = с²/4π. Несложно получить уравнение движения

$${\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$$

Его решение выписывается через ряд Фурье

$$u(y,t)=\sum_{k}\sqrt{{\frac{\hbar }{2\sigma L\omega }}}\left(a_{k}e^{i(ky- \omega t)}+a_{k}^{\dag }e^{-i(ky-\omega t)}\right),$$

где L — длина струны; частота и импульс связаны дисперсионным соотношением ω = c|k|; сумма по импульсам пробегает значения, кратные 2π/L.

Квантование

Теперь проквантуем эту систему, потребовав выполнения коммутационных соотношений

$$\lbrack a_{k},a_{k^{\prime }}^{\dag }]=\delta _{k^{\prime}k},\quad\lbrack a_{k},a_{k^{\prime }}]=0.$$

Как утверждается, для струны в тепловом равновесии при температуре T можно определить следующие вакуумные средние:

$$\left\langle a_{k}a_{k^{\prime }}^{\dag }+a_{k^{\prime }}^{\dag}a_{k}\right\rangle =\,\mbox{cth}\, \frac{\hbar \omega }{2kT}\,\delta_{k^{\prime}k}, \quad\left\langle a_{k}a_{k^{\prime }}+a_{k^{\prime }}a_{k}\right\rangle =0.$$

Действительно, в первом выражении легко распознать $$2\bar{n}_k + 1$$. Среднее число квантов $$\bar{n}_k$$ дается статистикой Бозе — Эйнштейна, откуда и получается гиперболический котангенс.

Термодинамическое равновесие

Мы будем изучать поведение корреляционной функции поля

$$C(\Delta y,\Delta t)\equiv {\frac{1}{2}}\left\langle u(y_{1},t_{1}) u(y_{2},t_{2}) + u(y_{2},t_{2}) u(y_{1},t_{1}) \right\rangle ,$$

где Δy = y₁ − y₂, Δt = t₁ − t₂. Рассматривать спектральную плотность и пространственное распределение излучения было бы нагляднее. Но можно заниматься и корреляционной функцией, ведь она связана со спектральной плотностью (и, видимо, пространственным распределением) преобразованием Фурье.

После выполнения вычислений и перехода к бесконечной длине (L → ∞), связанного с заменой суммирования интегрированием, получаем

$$C(\Delta y,\Delta t)=\frac{\hbar }{4\pi \sigma }\int\limits_{-\infty }^{\infty }dk \frac{1}{\omega }\,\mbox{cth}\, \frac{\hbar \omega }{2kT}\cos \left( k\Delta y-\omega \Delta t\right).$$

Это выражение, вообще-то, расходится в области больших длин волн (или малых k). Но его можно, как обычно, разделить на сумму конечной части, зависящей от Δy и Δt, и бесконечной, не зависящей от этих переменных:

$$C(\Delta y,\Delta t) = const -\frac{\hbar }{4\pi \sigma c}\left(\ln \mbox{sh} \frac{\pi kT}{\hbar }\left(\Delta t-\frac{\Delta y}{c}\right)+ \ln \mbox{sh} \frac{\pi kT}{\hbar }\left(\Delta t+\frac{\Delta y}{c}\right)\right).$$

Корреляционная функция в фиксированной точке (Δy = 0) принимает вид

$$C(0,\Delta t)=const-\frac{\hbar }{2\pi \sigma c}\ln \mbox{sh}\, \frac{\pi kT\Delta t}{\hbar }.$$(1)

Еще нам понадобится корреляционная функция при нулевой температуре

$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)\equiv {\frac{\hbar }{4\pi \sigma }}\int\limits_{-\infty}^{\infty }\frac{dk}{\omega }\cos (k\Delta y-\omega \Delta t).$$

Здесь нужно выделять конечную часть по-другому. После преобразований получается

$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)=const-{\frac{\hbar }{4\pi \sigma c}}\ln \left\vert\Delta t^{2}-\frac{\Delta y^{2}}{c^{2}}\right\vert.$$(2)

Равноускоренное движение

Движение под действием постоянной силы F описывается в СТО известным уравнением

$${\frac{d}{dt}}{\frac{mv}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}}=F,$$

где под скоростью v понимается dy/dt. Его решение легко найти:

$$y={\frac{mc^{2}}{F}} \, \mbox{ch}\, \frac{F\tau }{mc},\quad t={\frac{mc}{F}}\,\mbox{sh}\, \frac{F\tau }{mc},\quad -\infty <\tau <\infty .$$

Параметр τ совпадает с собственным временем $$\inline\int\!dt\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$$. Отсюда для двух точек на мировой линии можно получить, что

$$\sqrt{\Delta t^{2}-\Delta y^{2}/c^{2}}={\frac{2mc}{F}}\,\mbox{sh}\, \frac{F\Delta\tau }{2mc},$$(3)

где Δτ = τ₁ − τ₂.

Температура Унру

Из (2) и (3) получаем, что функция корреляции поля с нулевой температурой для точек вдоль мировой линии равноускоренного наблюдателя зависит только от Δτ:

$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)=const-{\frac{\hbar }{2\pi \sigma c}}\ln \mbox{sh}\, \frac{F\Delta \tau }{2mc}.$$

Сравнение последнего выражения с (1) показывает, что поле с нулевой температурой будет выглядеть для движущегося равноускоренно наблюдателя так, как будто обладает температурой Унру

$$kT={\frac{\hbar F}{2\pi mc}}.$$

Выводы

Отметим, что температура Унру очень мала. Так, для ускорения, совпадающего с ускорением свободного падения, температура Унру равна 4·10⁻²⁰ К.

Эффект Унру в некотором смысле аналогичен излучению Хокинга. Действительно, для равноускоренного наблюдателя существует так называемый риндлеровский горизонт, аналогичный горизонту событий черной дыры.

Были предложения проверить эффект Унру, наблюдая дополнительное излучение за счет тепловых флуктуаций ускоренно движущейся частиц, например, электронов, освещенных мощными лазерами. Однако ряд авторов опровергает наличие дополнительного излучения, заявляя о компенсации возможного испускания поглощением энергии вакуумных (уже теплых!) полей. Например, далее в упомянутой статье разбирается пример осциллятора, связанного со скалярным полем, и прямым вычислением показывается отсутствие излучения.

Несмотря на малую величину, эффект Унру имеет важное философское значение. Действительно, этот эффект позволяет в принципе определить абсолютное ускорение системы отсчета. Таким образом опровергается принцип Маха в формулировке, утверждающей, что «имеет значение только ускорение относительно неподвижных звезд».