Заметки о теоретической физике → 2011 → 02 → 28
Роман Парпалак

Эффект Унру

28 февраля 2011 года, 15:37

Суть эффекта Унру заключается в том, что равноускоренный наблюдатель начинает видеть вокруг себя равновесное тепловое излучение, в то время как наблюдатель в инерциальной системе отсчета не видит ничего. В работе «Is there Unruh radiation?» авторов G. W. Ford и R. F. O'Connell есть вывод формулы для температуры Унру. Проследим за этим выводом.

Модель

Рассмотрим струну в пространстве (1 + 1) с лагранжианом

$$L=\int dy \left[ {\frac{\sigma }{2}}\left({\frac{\partial u}{\partial t}}\right)^{2}-{\frac{\tau }{2}}\left({\frac{\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\right].$$

Для случая скалярного поля нужно взять σ = 1/4π, τ = с2/4π. Несложно получить уравнение движения

$${\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$$

Его решение выписывается через ряд Фурье

$$u(y,t)=\sum_{k}\sqrt{{\frac{\hbar }{2\sigma L\omega }}}\left(a_{k}e^{i(ky- \omega t)}+a_{k}^{\dag }e^{-i(ky-\omega t)}\right),$$

где L — длина струны; частота и импульс связаны дисперсионным соотношением ω c|k|; сумма по импульсам пробегает значения, кратные 2π/L.

Квантование

Теперь проквантуем эту систему, потребовав выполнения коммутационных соотношений

$$\lbrack a_{k},a_{k^{\prime }}^{\dag }]=\delta _{k^{\prime}k},\quad\lbrack a_{k},a_{k^{\prime }}]=0.$$

Как утверждается, для струны в тепловом равновесии при температуре T можно определить следующие вакуумные средние:

$$\left\langle a_{k}a_{k^{\prime }}^{\dag }+a_{k^{\prime }}^{\dag}a_{k}\right\rangle =\,\mbox{cth}\, \frac{\hbar \omega }{2kT}\,\delta_{k^{\prime}k}, \quad\left\langle a_{k}a_{k^{\prime }}+a_{k^{\prime }}a_{k}\right\rangle =0.$$

Действительно, в первом выражении легко распознать $$2\bar{n}_k + 1$$. Среднее число квантов $$\bar{n}_k$$ дается статистикой Бозе — Эйнштейна, откуда и получается гиперболический котангенс.

Термодинамическое равновесие

Мы будем изучать поведение корреляционной функции поля

$$C(\Delta y,\Delta t)\equiv {\frac{1}{2}}\left\langle u(y_{1},t_{1}) u(y_{2},t_{2}) + u(y_{2},t_{2}) u(y_{1},t_{1}) \right\rangle ,$$

где Δy = y1 − y2, Δt = t1 − t2. Рассматривать спектральную плотность и пространственное распределение излучения было бы нагляднее. Но можно заниматься и корреляционной функцией, ведь она связана со спектральной плотностью (и, видимо, пространственным распределением) преобразованием Фурье.

После выполнения вычислений и перехода к бесконечной длине (→ ∞), связанного с заменой суммирования интегрированием, получаем

$$C(\Delta y,\Delta t)=\frac{\hbar }{4\pi \sigma }\int\limits_{-\infty }^{\infty }dk \frac{1}{\omega }\,\mbox{cth}\, \frac{\hbar \omega }{2kT}\cos \left( k\Delta y-\omega \Delta t\right).$$

Это выражение, вообще-то, расходится в области больших длин волн (или малых k). Но его можно, как обычно, разделить на сумму конечной части, зависящей от Δy и Δt, и бесконечной, не зависящей от этих переменных:

$$C(\Delta y,\Delta t) = const -\frac{\hbar }{4\pi \sigma c}\left(\ln \mbox{sh} \frac{\pi kT}{\hbar }\left(\Delta t-\frac{\Delta y}{c}\right)+ \ln \mbox{sh} \frac{\pi kT}{\hbar }\left(\Delta t+\frac{\Delta y}{c}\right)\right).$$

Корреляционная функция в фиксированной точке (Δy = 0) принимает вид

(1)$$C(0,\Delta t)=const-\frac{\hbar }{2\pi \sigma c}\ln \mbox{sh}\, \frac{\pi kT\Delta t}{\hbar }.$$

Еще нам понадобится корреляционная функция при нулевой температуре

$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)\equiv {\frac{\hbar }{4\pi \sigma }}\int\limits_{-\infty}^{\infty }\frac{dk}{\omega }\cos (k\Delta y-\omega \Delta t).$$

Здесь нужно выделять конечную часть по-другому. После преобразований получается

(2)$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)=const-{\frac{\hbar }{4\pi \sigma c}}\ln \left\vert\Delta t^{2}-\frac{\Delta y^{2}}{c^{2}}\right\vert.$$

Равноускоренное движение

Движение под действием постоянной силы F описывается в СТО известным уравнением

$${\frac{d}{dt}}{\frac{mv}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}}=F,$$

где под скоростью v понимается dy/dt. Его решение легко найти:

$$y={\frac{mc^{2}}{F}} \, \mbox{ch}\, \frac{F\tau }{mc},\quad t={\frac{mc}{F}}\,\mbox{sh}\, \frac{F\tau }{mc},\quad -\infty <\tau <\infty .$$

Параметр τ совпадает с собственным временем ∫dt (1 − v2/c2)1/2. Отсюда для двух точек на мировой линии можно получить, что

(3)$$\sqrt{\Delta t^{2}-\Delta y^{2}/c^{2}}={\frac{2mc}{F}}\,\mbox{sh}\, \frac{F\Delta\tau }{2mc},$$

где Δτ = τ1 − τ2.

Температура Унру

Из (2) и (3) получаем, что функция корреляции поля с нулевой температурой для точек вдоль мировой линии равноускоренного наблюдателя зависит только от Δτ:

$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)=const-{\frac{\hbar }{2\pi \sigma c}}\ln \mbox{sh}\, \frac{F\Delta \tau }{2mc}.$$

Сравнение последнего выражения с (1) показывает, что поле с нулевой температурой будет выглядеть для движущегося равноускоренно наблюдателя так, как будто обладает температурой Унру

$$kT={\frac{\hbar F}{2\pi mc}}.$$

Выводы

Отметим, что температура Унру очень мала. Так, для ускорения, совпадающего с ускорением свободного падения, температура Унру равна 4·10−20 К.

Эффект Унру в некотором смысле аналогичен излучению Хокинга. Действительно, для равноускоренного наблюдателя существует так называемый риндлеровский горизонт, аналогичный горизонту событий черной дыры.

Были предложения проверить эффект Унру, наблюдая дополнительное излучение за счет тепловых флуктуаций ускоренно движущейся частиц, например, электронов, освещенных мощными лазерами. Однако ряд авторов опровергает наличие дополнительного излучения, заявляя о компенсации возможного испускания поглощением энергии вакуумных (уже теплых!) полей. Например, далее в упомянутой статье разбирается пример осциллятора, связанного со скалярным полем, и прямым вычислением показывается отсутствие излучения.

Несмотря на малую величину, эффект Унру имеет важное философское значение. Действительно, этот эффект позволяет в принципе определить абсолютное ускорение системы отсчета. Таким образом опровергается принцип Маха в формулировке, утверждающей, что «имеет значение только ускорение относительно неподвижных звезд».

Ключевые слова: равновесное излучение, квантовая теория поля, гравитация

Комментарии

#1. 28 февраля 2011 года, 19:31. Михаил Гойхман пишет:
Привет, Рома. Такой вопрос, а при выводе используется как-то нелокалность и наличие протяженного горизонта? То есть понятно, что в риндлеровской системе отсчета есть горизонт, и что это аналогично эффекту Хокинга. Однако в эффекте Хокинга имеет значение то, что одна из частиц рожденной около горизонта пары «падает» за горизонт, что делает горизонт существенным элементом. Однако в приведенном тобой выводе просто указаны сравнения локальных корреляционных функций, и факт того, что где-то есть еще и горизонт как-то не используется.
#2. 28 февраля 2011 года, 19:50. пишет:
В этом выводе понятие горизонта вообще не используется. Рассуждения ведутся в инерциальной системе отсчета.

Я думаю, что поглощение одной из виртуальных частиц черной дырой — это наглядная картинка, не более. Правильнее было бы считать, что черная дыра искривляет пространство-время, и вакуум искривленного пространства-времени (как собственное состояние гамильтониана с наименьшей энергией) не совпадает с вакуумом плоского пространства-времени, что и проявляется в виде излучения черной дыры.
#3. 28 февраля 2011 года, 20:17. Михаил Гойхман пишет:
Ну в принципе да, наглядная картинка, а конкретные величины получаются после расчетов. Тем не менее, вблизи горизонта метрика черной дыры в определенной системе координат риндлеровская, и оттуда как известно из периодичности времени следует заключение о наличии ненулевой температуры у вакуума полей. В теории струн, например, рассматривается сечение отщепления открытых струн, прикрепленных к черной бране (обобщение черной дыры), и улета их в виде замкнутой струны в виде излучения Хокинга. Сечение дает формулу распределения Бозе-Эйнштейна с температурой Хокинга.

Однако, ты же применяешь формулу (1) к двум точкам (одной в пространстве, разным — во времени) в неинерциальной Риндлеровской системе. Ну то есть Риндлеровский наблюдатель сидит в своем кресле и изучает корреляционные функции полей в разные моменты времени и наблюдает, что они соответсвуют полям с ненулевой температурой. Тогда возникает вопрос — а если бы это был не совсем Риндлеровский наблюдатель, а скажем локально Риндлеровский, не более того. Он бы наблюдал излучение?
#4. 28 февраля 2011 года, 20:40. пишет:
К сожалению, я не знаком с подробным выводом для черной дыры, и не знаю, какую роль играет периодичность времени. Наверно, ты мог бы осветить это в отдельном посте :)

Я думаю, что любой наблюдатель будет видеть излучение, как это следует из формулы (2). Даже инерциальный (он «увидит» нулевые колебания). Просто для риндлеровского наблюдателя оказывается, что излучение совпадает с равновесным излучением температуры T.
#5. 28 февраля 2011 года, 20:45. Михаил Гойхман пишет:
Ясно, т.е. я сейчас нахожусь в гравитационном поле, локально у меня тут метрика равноускоренной Риндлеровской системы — в силу общего принципа относительности, так что по идеи для меня вакуум имеет ненулевую температуру, хоть и слишком малую, чтобы детектировать, да?
#6. 28 февраля 2011 года, 21:15. пишет:
А, вот оно что :)

Хоть горизонт явно не фигурирует в выводе, он всё равно важен. Я где-то встретил (сейчас не могу найти) замечание о том, что если между наблюдателем и горизонтом поместить стенку, охлажденную до абсолютного нуля, наблюдатель не увидит излучения.

Думаю, что отвечать на твой вопрос нужно так. Если бы наблюдатель был подвешен около черной дыры, он бы видел ее излучение. (По принципу эквивалентности это излучение аналогично эффекту Унру.) Поскольку гравитационное поле создается не черной дырой, а Землей, ее вещество приходит в тепловое равновесие с окружающим излучением. Если Землю охладить до абсолютного нуля, вместе с ней остынет и излучение. Поскольку горизонта нет, самопроизвольного нагрева излучения или вещества Земли не будет.
#7. 28 февраля 2011 года, 21:54. Михаил Гойхман пишет:
На самом деле не вполне понятно, почему если я нахожусь в локальной СО на некотором расстоянии от Земли, то я должен рассматривать еще равновесие вещества Земли и излучения? Также все-таки я вижу, что вывод формулы для температуры локален, и горизонт как-то не фигурирует, так что получается, что любая локально-риндлеровская система имеет вакуум с пол-й температурой.
#8. 28 февраля 2011 года, 22:04. пишет:
В выводе мы считаем, что в инерциальной системе отсчета температура поля равна нулю (есть только нулевые колебания). И это вполне естественно — какую же еще температуру ожидать от пустого пространства?

В ситуации с Землей у нас нет такой «инерциальной» системы отсчета, в которой температура поля была бы нулевой. Поэтому мы как наблюдатели на Земле можем видеть всё, что угодно. То есть излучение может быть в равновесии с веществом Земли при любой температуре, в отличие от черной дыры, которая может быть в равновесии только с излучением хокинговской температуры.
#9. 2 марта 2011 года, 18:35. Михаил Гойхман пишет:
Ну в принципе да, это все очевидно.
#10. 22 мая 2012 года, 15:23. пишет:
Господа, “тупить” не надо через край, хотя теория Ле Сажа не рассматривается основным научным сообществом как главенствующая теория гравитации, она продолжает изучаться исследователями. А по мне она и есть самая основная — за счёт нескончаемого потока энергетических состояний и образуется эффект тяготения. Косвенным подтверждением её существования могут служить все наши примеры трансформации поля в энергию и обратно, сама способность к движению в магнитном поле. А исчезновение мощного магнитного поля не может быть истолковано как исчезновением самих диполей, а тем, что за счёт энергии пространства они вновь переходят в своё нейтральное состояние — вращение.

Да и закон Ньютона с его квадратом расстояний не работает в пространстве вакуума, как впрочем, и знаменитый закон Эйнштейна абсолютно неправильно интерпретирован. Масса в данной формуле не равна энергии, а является замедлителем темпа времени, чем её больше, тем медленнее процессы проходят в материи. Вторая ошибка это ограничение скорости “скоростью света”. Уберите понятие пространство – расстояние, вот вам и мгновенность распространения взаимодействий. Почему можно убрать расстояние? Потому что наличие силового поля и сверхпроводниковый феномен (изъятия сопротивления из такой среды) позволяют это подразумевать и допускать. Разгон любых частиц в такой среде достигает мгновенного значения. Да и сама энергия — это нескончаемый поток энергетических состояний исходящий от всех звёзд в виде тепла, всевозможных видов излучений и дробных материальных частиц.
Кстати, взаимодействие от Луны можно объяснить не тяготением масс по Ньютону, а иначе, она перекрывает участок пространства на Земле — от энергетического воздействия, вот тогда центробежная сила нашей планеты в этом месте себя и проявляет в виде приливов.
#11. 22 мая 2012 года, 15:51. Михаил Гойхман пишет:
Виктор, придерживайтесь той «основной» теории, которой хотите. Только не ожидайте что вас буду воспринимать всеръёз в адекватных сообществах.

P.S. Моё естественное первое желание было удалить ваш коммент. Постарайтесь не злоупотреблять моим терпением.
#12. 23 июня 2012 года, 14:14. пишет:
1. К принципиально важному выводу приходит Роман: «эффект Унру (ЭУ) позволяет в принципе определить абсолютное ускорение», я не предполагал что ЭУ настолько фундаментально-противоречивый. В чем противоречие, если рассматривать ЭУ с точки зрения квантовой механики, то расчеты Романа безупречны и подтверждаются аналогичным подходом в статье arXiv:1011.1473v1. Если ЭУ рассматривать как следствие ОТО, принцип эквивалентности ускоренного движения полю тяготения, то в поле тяготения ЭУ несостоятелен, не путаем с излучением Хокинга, этот вопрос детально рассмотрен в работе Гинзбурга В.Л. http://ufn.ru/ufn87/ufn87_12/Russian/r8712d.pdf, получается что, в свете квантовой механике равноускоренное движение не совсем эквивалентно полю тяготения. И действительно, в статье Зельдовича Я.Б. и др, http://www.jetpletters.ac.ru/ps/129/article_2213.pdf эквивалентность ускоренного движения в ОТО авторы связывают с локальным ростом гравитационного потенциала (ГП), и приходят к выводу: температура, которую ощущает движущийся ускоренно наблюдатель, зависит от формирующегося ГП, который в свою очередь является функцией времени, т.е. температура со временем должна расти. Тогда, продолжая рассуждать в этом же русле, должен существовать и обратный эффект: если создать тормозное движение (развернуть двигатели ускоренно двигающего наблюдателя на 180гр.), то окружающая его температура должна падать. В принципе, обобщая выводы Романа, таким способом по минимальной температуре можно вычислить минимальный ГП Вселенной, который возможно связан с абсолютностью движения, что в свою очередь противоречит СТО, ситуация парадоксальна.
2. Общее что объединяет квантовый мир это отсутствие при взаимодействиях рассеивания, например: связанная система не может поглотить часть кванта независимо какой длины, полу поглощений (полу отражений) не бывает. В природе полностью отсутствует рассеивание в одномерных процессах, весь процесс идет как бы по линии (струне), исходя из этих соображений можно предположить: все обменные частицы (кванты) во всех взаимодействиях должны быть одномерны, мы тем самым физически обосновываем целостность любого квантового поведения. Если допустить что кванты (струны) в трехмерном пространстве нигде не пересекаются, то это основа соблюдения порядка (информации) в хаосе квантового мира, это же свойство в рамках СТО и ОТО относится и к  гравитации, например. Массивное тело двигается со скоростью близкой к С, и мы констатируем факт, что все процессы, согласно СТО с абсолютно одинаковой синхронностью замедляются. Если это было бы не так, то тогда у нас появляется механизм измерения абсолютной скорости.
Вопрос к теоретикам: каким образом эффект Унру, через призму СТО и ОТО, связан со струнной моделью квантовых взаимодействий.
#13. 23 июня 2012 года, 15:07. пишет:
Эффект Унру, в выводе которого не используется гравитация, вполне согласуется с ОТО и с принципом эквивалентности. С точки зрения ОТО в ускоряющейся системе отсчета есть горизонт, и излучение Унру от этого горизонта вполне аналогично излучению Хокинга от горизонта событий черной дыры. Этого и следовало ожидать, потому что принцип эквивалентности согласуется с квантовыми явлениями, о чем написано на страницах 665 и 666 по вашей первой ссылке.

Еще замечу, что «тормозное движение» — это тоже движение с ускорением, поэтому никакого «падения окружающей температуры» не будет.
#14. 25 июня 2012 года, 19:04. пишет:
Уважаемый Роман.
С Вашими доводами я вполне согласен, но давайте рассмотрим эффект Унру с позиции Зельдовича Я.Б. http://www.jetpletters.ac.ru/ps/129/article_2213.pdf где эквивалентность ускоренного движения в ОТО авторы связывают с локальным ростом гравитационного потенциала (ГП). Более детально: реакцией среды (физического вакуума) на ускоренное движение, есть локальное формирование ГП, который РАСТЕТ в соответствии с достигнутой скоростью, который для ускоренно двигающегося наблюдателя вполне реально вычисляется даже с поправками на СТО, но в поле тяготения для конкретного тела ускорение и ГП стабильны. Вот в чем по Зельдовичу принципиальное различие ускоренного движения полю тяготения, и авторы приходят к выводу: эффект Унру в поле тяготения несостоятелен. Явное нарушение принципа эквивалентности, на мой взгляд, где-то что-то в этой версии неочевидно упущено.
#15. 16 февраля 2015 года, 23:45. Дмитрий пишет:
Доктор наук Логунов и Мамеладзе из МГУ им. Ломоносова придумали релятивистскую теорию гравитации (РТГ), из которой следует, что нет никаких черных дыр.Испольуете ли вы её в своей работе?
http://www.liveinternet.ru/users/rewiever/ … c/1531967/
#16. 17 февраля 2015 года, 00:13. Миша Гойхман пишет:
Дмитрий, я не знаю, ответит ли вам Роман что-то на этот счет или нет, т.к. это его пост. От себя могу сказать, что ваш комментарий не по теме. И добавить, что тут вообще не приветствуется ссылки на «исследования», опубликованные в виде беседы с журналистами. Если хотите говорить о чем то серьезном, статья должна быть на английском и по крайней мере на arxiv.org. Все что остается в пределах русско-язычных изданий находится под подозрением того, что авторы боятся критики всей научной общественности. Мы тут не занимаемся опровержением моделей вечных двигателей ;)
#17. 18 февраля 2015 года, 00:22. пишет:
РТГ — довольно-таки известная теория (не вечный двигатель «на коленке»): https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5 … 0%B8%D0%B8

Физики ее не используют. Чтобы найти упоминания — нужно постараться. ОТО, конечно, является современной общепризнанной теорией гравитации.
#18. 12 мая 2015 года, 18:46. Михаил Шульман пишет:
Уважаемый Роман, с интересом прочитал Вашу статью «Эффект Унру» от 28.02.1011 г. Возможно, и Вас заинтересует моя статья http://timeorigin21.narod.ru/rus_time/Body … on_rus.pdf Если пришлете замечания или комментарий, буду рад.
Михаил Шульман
#19. 13 мая 2015 года, 00:20. пишет:
Михаил, я прочитал статью. Основное замечание состоит в том, что она не представляет физической ценности.

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 25+3?