Заметки о теоретической физике → Ключевые слова → равновесное излучение

равновесное излучение

Роман Парпалак

Торможение реликтовым излучением

5 января 2014 года, 14:00

На втором курсе за неделю перед досрочным экзаменом по теоретической физике Семен Соломонович Герштейн задал мне две задачи. В одной требовалось найти угловое распределение синхротронного излучения электрона, движущегося по окружности. Вторая оказалась интереснее: найти силу торможения со стороны реликтового излучения на площадку, движущуюся перпендикулярно самой себе. Остановимся на ней подробнее. Записей с тех времен у меня не сохранилось, а в литературе опубликованы противоречивые результаты. Хороший повод заново разобраться в задаче.

Обозначения и соглашения

Под реликтовым излучением мы подразумеваем равновесное тепловое излучение при некоторой температуре T. Напомним, что плотность энергии и давление равновесного излучения определяются температурой: ε = 4πσT4/c, P = ε/3.

В системе отсчета, связанной с реликтовым излучением, оно однородно и изотропно. Относящиеся к ней величины будем обозначать символами без штрихов. Относительно этой системы со скоростью v движется площадка (например, диск) с коэффициентом отражения R. Штрихами обозначим величины в сопутствующей системе отсчета (связанной с площадкой).

Будем опускать скорость света c в тех формулах, где она легко восстанавливается из соображений размерности.

Обзор литературы

В публикациях по этой проблеме нет консенсуса. Например, в письме Андрея Шепелева в УФН под названием «Космический микроволновой фон и аристотелевы представления о движении» приведена формула для давления на площадку $$P=-v\,(1+v^2/2)\,\varepsilon/2$$. Этот ответ, как мы увидим ниже, явно ошибочен. Автор не раскрывает вычислений, поэтому невозможно понять, где ошибка.

В работе Баласаняна и Мкртчяна «Blackbody radiation drag on a relativistically moving mirror» вычисляется плотность импульса в системе отсчета, связанной с диском, и она отождествляется с давлением (с точностью до учета отражения). По поводу этой работы у меня есть два замечания. Во-первых, для вычисления плотности импульса авторы предлагают непростой путь. Они интегрируют импульс фотона $$\vec{k}'$$ по импульсному пространству c функцией распределения

(1)$$n'(\vec{k}')={1\over e^{\gamma(\omega' +k'_xv)/T}-1}.$$

В то же время плотность импульса электромагнитного излучения отличается на множитель 1/c2 от вектора Поинтинга, проекции которого есть компоненты T0i тензора энергии-импульса. Записав преобразование Лоренца для компоненты T01 тензора

$$T^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}\varepsilon &0&0&0\\0&\varepsilon/3&0&0\\0&0&\varepsilon/3&0\\0&0&0&\varepsilon/3\end{pmatrix},$$

сразу получаем плотность импульса (см. II том Ландау и Лифшица, §35, формула 35.3)

(2)$$S'_x=-{4\over 3}\,\varepsilon\,{v\over 1-v^2}.$$

Во-вторых, неправильно отождествлять проекцию импульса электромагнитной волны, падающей на площадку под углом θ к нормали, с давлением, потому что сама площадка находится под углом, и ее эффективная площадь уменьшается. Из-за дополнительного фактора |cos θ|, появляющегося под интегралом (см. ниже), формула (2) не является правильным ответом, и использовать ее вообще нельзя.

Вычисление в сопутствующей системе отсчета

Давление как силу на единицу поверхности определим через импульс, передаваемый диску при отражении или поглощении фотонов за единицу времени:

$$P={F\over S}={1\over S}{\hbar\Delta k\over\Delta t}.$$

Если фотоны летят под углом θ к нормали, то за время Δt до неподвижной площадки S долетят фотоны из объема S cΔ|cos θ|. Из них доля R отразится и доля (1−R) поглотится. Каждый поглощенный фотон отдаст импульс $$\hbar k\cos\theta=\hbar\omega\cos\theta/c$$, а каждый отраженный — в два раза больше. Собирая всё вместе, получаем в сопутствующей системе отсчета

$$P=\int{\hbar\omega'\cos\theta'\over S\,c\Delta t'}\,(1+R)\,S\,c\Delta t'\,|\cos\theta'|\,n'(\vec{k}')\,d^3k'.$$

Напомним, что частота ω и волновой вектор $$\vec{k}$$ образуют четырехвектор $$(\omega, \vec{k})$$. Переход к движущейся системе координат осуществляется преобразованиями Лоренца

$$\omega'={\omega-k_xv\over\sqrt{1-v^2}},\qquad k_x'={k_x-\omega v\over\sqrt{1-v^2}}.$$

Функция распределения $$n(\vec{k})$$ в фазовом пространстве инвариантна относительно преобразований Лоренца, так как и элемент фазового объема $$d^3r\,d^3k$$, и число частиц $$dN=n(\vec{r},\vec{k})\,d^3r\,d^3k$$ есть инварианты (подробнее см. II том Ландау и Лифшица, §10). Именно поэтому функция распределения в движущейся системе $$n'(\vec{k'})=n(\vec{k})$$ есть обычное распределение Бозе — Эйнштейна (1), в которое подставлена преобразованная частота.

В итоге давление определяется следующим интегралом

(3)$$P=\int \hbar\omega'\cos\theta'\,(1+R)\,|\cos\theta'|\,{const\over exp\left(\dfrac{\hbar\omega'}{kT}\,\dfrac{1+v\cos\theta'}{\sqrt{1-v^2}}\right)-1}\,\omega'^2\,d\omega'\,{d(\cos\theta')\over 2}.$$

Вместо того чтобы следить за комбинацией констант, которая в итоге должна свестись к постоянной Стефана-Больцмана σ, мы примем условие нормировки в выражении для плотности энергии с той же самой константой:

$$\varepsilon=\int \hbar\omega\,{const\over exp\left(\dfrac{\hbar\omega}{kT}\right)-1}\,\omega^2\,d\omega={4\pi\sigma\over c}T^4.$$

Еще отсюда видно, что (3) можно упростить, проинтегрировав по частотам. Множитель $${\sqrt{1-v^2}}/{(1+v\cos\theta')}$$ перед температурой в экспоненте появится под интегралом в четвертой степени. Дальнейшее вычисление тривиально:

$$P=\varepsilon\,(1+R)\int\limits_{-1}^{1}\cos\theta'\,|\cos\theta'|\,\dfrac{(1-v^2)^2}{(1+v\cos\theta')^4}\,{d(\cos\theta')\over 2},$$

(4)$${\Large\boxed{P=-\varepsilon\,(1+R)\,\frac{v\,(1+v^2/3)}{1-v^2}}.}$$

Чтобы убедиться в правильности результата, вычислим тем же методом давление фотонного газа на одну сторону покоящейся пластины. Зависящий от скорости подынтегральный множитель исчезает, а интеграл в пределах от 0 до 1 равен 1/3. Полное давление есть (1+Rε/6. Если пластина всё отражает и ничего не поглощает, давление совпадает с ожидаемой величиной ε/3. Если пластина всё поглощает, давление равно ε/6 и составляет половину от давления фотонного газа ε/3. Вторая половина набегает за счет собственного излучения пластины, которое мы в наших расчетах не учитывали.

Формула (4) не совпадает ни с результатом Шепелева, который утверждает, что ответ сложен, и раскладывает его в ряд, ни с результатом Баласаняна, который ошибочно отождествляет в этой задаче плотность импульса и давление.

Вычисление в неподвижной системе отсчета

$$\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing} \begin{tikzpicture}[line width=0.2mm,scale=1.0545]\small \tikzset{>=stealth} \tikzset{snake it/.style={->,semithick, decoration={snake,amplitude=.3mm,segment length=2.5mm,post length=0.9mm},decorate}} \def\h{3} \def\d{0.2} \def\ww{1.4} \def\w{1+\ww} \def\p{1.5} \def\r{0.7} \coordinate[label=below:$A_1$] (A1) at (\ww,\p); \coordinate[label=above:$B_1$] (B1) at (\ww,\p+\h); \coordinate[label=below:$A_2$] (A2) at (\w,\p); \coordinate[label=above:$B_2$] (B2) at (\w,\p+\h); \coordinate[label=left:$C$] (C1) at (0,0); \coordinate[label=left:$D$] (D) at (0,\h); \draw[fill=blue!14](A2)--(B2)-- ++(\d,0)-- ++(0,-\h)--cycle; \draw[gray,thin](C1)-- +(\w+\d,0); \draw[dashed,gray,fill=blue!5](A1)-- (B1)-- ++(\d,0)-- ++(0,-\h)-- cycle; \draw[dashed,line width=0.14mm](A1)--(C1)--(D)--(B1); \draw[snake it](C1)--(A2) node[pos=0.6,below] {$c\Delta t$}; \draw[->,semithick](\ww,\p+0.44*\h)-- +(\w-\ww,0) node[pos=0.6,above] {$v\Delta t$}; \draw[snake it](D)--(B2); \draw[thin](\r,0) arc (0:atan2(\p,\w):\r) node[midway,right,yshift=0.06cm] {$\theta$}; \draw[opacity=0](-0.40,-0.14)-- ++(0,5.06); \end{tikzpicture}$$ Тот же результат получается и в неподвижной системе отсчета. В ней не нужно иметь дела с функцией распределения фотонов, однако из-за движения площадки геометрические выкладки сложнее.

Чтобы понять, сколько летящих под углом θ фотонов с частотой ω попадет за время Δt на площадку AB, нужно ввести понятие «заметаемого объема» (объем, фотоны из которого попадут на диск) и умножить его величину на плотность фотонов nω. За это время площадка переместится из положения A1B1 в положение A2B2, а фотоны из точек C и D долетят до диска. Таким образом, заметаемый объем соответствует фигуре A1B1DС, и его величина равна |cΔcos θ − vΔt|.

При отражении фотона от площадки в сопутствующей системе отсчета знак проекции волнового вектора фотона изменяется на противоположный: $$k'_{2x}=-k'_{1x}$$. Найдем соответствующее изменение в неподвижной системе:

$$\begin{aligned}\Delta k &=k_{1x}-k_{2x}=k_{1x}-\gamma(k'_{2x}+\omega'_2v)=k_{1x}+\gamma(k'_{1x}-\omega'_1v)=\\&=k_{1x}+\gamma\left(\gamma(k_{1x}-\omega_1 v)-\gamma(\omega_1-k_{1x}v)v\right)=k_{1x}+\gamma^2\left(k_{1x}(1+v^2)-2v\omega\right).\end{aligned*}$$

Выражая проекцию волнового вектора через частоту фотона и азимутальный угол $$k_x=\omega\cos\theta$$, получаем

$$\Delta k=\omega\left[\cos\theta\left(1+{1+v^2\over 1-v^2}\right)-2{v\over 1-v^2}\right]={2\omega\over 1-v^2}\,(\cos\theta-v).$$

Ясно, что двойку в последнем выражении нужно заменить на (1+R), чтобы учесть случай произвольного коэффициента отражения R. Давление

$$P_\omega=\int{\hbar\omega\over S\,c\Delta t}\,{1+R\over 1-v^2}\,(\cos\theta-v)\,S|c\Delta t\cos\theta-v\Delta t|\,n_\omega\,{d(\cos\theta)\over2},$$

$$P_\omega={n_\omega\over 2}\hbar\omega\,{1+R\over 1-v^2}\int\limits_{-1}^{1}dx\,(x-v)|x-v|.$$

После вычисления интеграла и усреднения плотности энергии $$n_\omega\hbar\omega$$ по частотам получается формула (4).

Ключевые слова: электродинамика, равновесное излучение | Комментарии (14)
Михаил Гойхман

Энтропия черных дыр в полуклассической гравитации

29 июля 2012 года, 00:23

Этот пост посвящен обсуждению термодинамики черных дыр. Черные дыры обладают температурой и энтропией; вообще говоря ни то ни другое не равно нулю. Температура и энтропия — это термодинамические величины, так что уравнения, в которые они входят, это стандартные термодинамические уравнения. Ненулевая температура черной дыры означает, что черная дыра излучает (помимо того, что поглощает), и потому в принципе можно рассматривать равновесие черной дыры и ее излучения. Однако, в классической гравитации черная дыра не может излучать. Так что излучение черной дыры — чисто квантовый эффект. Поэтому задача описания термодинамики черных дыр — это задача квантовой гравитации.

Эффективно квантовая гравитация — это квантовая теория поля. Эффективная квантовая теория поля на каком то заданном масштабе энергии определяется эффективным действием. Эффективное действие — это классическое действие, квантовые поправки к нему, и члены с высшими производными, также являющиеся квантовыми поправками. Пренебречь квантовыми поправками — это значит рассматривать классическое действие. В теории гравитации классическое действие — это действие Эйнштейна-Гильберта.

Какая связь между термодинамикой и квантовой теорией поля? Термодинамика изучает физические системы при ненулевой температуре. Так что мы интересуемся квантовой теорией поля при ненулевой температуре. Что такое квантовая теория поля при конечной температуре? Квантовая теория поля определяется интегралом по путям,

$$Z=\int [{\cal D}\phi]e^{i\int dtL}\,,$$

где $$\phi$$ определяет набор всех полей системы, L — лагранжиан, t — время в системе координат Минковского. Физический смысл Z — амплитуда вероятности эволюции системы за все время ее существования. Это просто следует из того, как определяется интеграл по путям. Другой способ записать ту же величину:

$$Z=\sum _a\langle a|\exp\left(iTH\right)|a\rangle\,,$$

где сумма осуществляется по всем начальным состояниям, которые я положил равными конечным состояниям (это необязательное условие, вообще говоря). Здесь— время (не путайте с температурой, я еще только один раз использую эту букву для обозначения времени эволюции), за которое система эволюционировала, а H — гамильтониан системы. Если система имеет нулевую температуру, то с термодинамикой она никак не связана, так что . Если же мы рассматриваем квантовую теорию поля при конечной температуре, то амплитуда вероятности эволюции системы — это статистическая сумма,

$$Z=\sum _a\exp\left(-\beta E_a\right)\,,$$

где Ea — энергия системы в состоянии a, β — обратная температура. Наша задача — приравнять выражения для Z, термодинамическое и квантовое теоретико-полевое. Мы уже видим, что они имеют похожую структуру: по крайней мере оба представляют собой сумму потенцированной энергии состояния с каким то коэффициентом перед энергией, по всем состояниям системы. Надо сделать эти коэффициенты равными друг другу. Во-первых, они оба должны быть вещественными. Так что заменим временную координату, = −. Причем как t так и τ здесь — вещественные. Вам кажется это противоречием? Ответом на возможное недоумение является виковский поворот — то, что можно сделать в унитарной теории поля: теории с пропагаторами, полюса которых обходятся по правилу Фейнмана, повернув плоскость комплексного времени на прямой угол не изменив число полюсов внутри контура обхода. Тогда, если период времени τ равен β, мы получаем интеграл по путям квантовой теории поля равным статсумме термодинамической системы с температурой 1/β. Наконец, действие системы зависит от времени, так что виковский поворот приводит нас к статсумме вида

$$Z=\int [{\cal D}\phi]e^{-\int d\tau L}=\int [{\cal D}\phi]e^{-S_E}\,,$$

где я ввел евклидово действие SE. Евклидово действие определяет теорию в пространстве-времени с Евклидовой сигнатурой метрики, что есть следствие использования евклидова времени τ. Итак вывод: квантовая теория поля при конечной температуре — это теория, которая периодична по евклидовому времени, с периодом, равным обратной температуре.

Далее, что заменяет понятие энергии E в любой физической системе, если температура этой системы становится ненулевой? Энергия — это мера взаимодействия. Взаимодействие определяет совершенную работу. Работа системы, совершенная при заданной температуре T, равна изменению свободной энергии этой системы, ETS, где S — это энтропия системы. Тогда, если наша система — это квантово-полевая система, которая при нулевой температуре и заданном ИК масштабе энергии описывается эффективным действием, то при ненулевой температуре эта система описывается свободной энергией. В частном случае, если мы пренебрегаем квантовыми поправками, то Евклидово действие системы равно свободной энергии этой системы. Итак, второе следствие введения ненулевой температуры состоит в замене эффективного действия свободной энергией.

Термодинамика строится на понятии статистической суммы. Чтобы записать статистическую сумму, надо знать вероятность распределения термодинамической системы по разным возможным термодинамическим состояниям. Таким образом, в зависимости от конкретной системы, которую мы рассматриваем, статистическая сумма зависит от разного возможного набора независимых термодинамических параметров, определяющих систему.

Три важных варианта термодинамической системы: это канонический ансамбль, микроканонический ансамбль и большой канонический ансамбль. Отличие между ними заключается в различии физического состояния системы, а именно того, какие параметры принимают определенное значение в каждом рассматриваемом состоянии системы. Тогда вероятность распределения состояний системы есть функция этих различных параметров.

Канонический ансамбль — это физическая система с фиксированными значениями количества частиц N, объема V и температуры T, для которой нам известно распределение вероятностей w по состояниям с различной энергией. Физический смысл канонического ансамбля: это большая система, с хорошо определенной температурой, рассмотрением отдельных и микроскопических частей которой мы не интересуемся. При этом малые части системы могут взаимодействовать между собой, так что температура каждой малой части меняется и не является поэтому определенной величиной. Для описания таких подсистем нам нужен микроканонический ансамбль. В случае микроканонического ансамбля температура заменяется энергией системы E. В этом случае мы не рассматриваем состояния системы, обладающие фиксированной температурой: температура не является равновесным параметром. То есть микроканонический ансамбль определяется функцией распределения w(T) и задается параметрами N, V, E. Наконец, большой канонический ансамбль — это физическая система, которая обменивается частицами с термостатом при данной температуре. Скорость обмена частицами определяется химическим потенциалом системы μ. Итак, статистика большого канонического ансамбля определяется функцией w(N, E) и система задается параметрами μ, V, T.

Все три ансамбля используются при описании черных дыр. Канонический ансамбль, естественно, описывает черную дыру с данной температурой. Микроканонический ансамбль описывает неравновесное состояние черной дыры с данной массой. Большой канонический ансамбль описывает заряженную черную дыру. А именно, если черная дыра заряжена, то вместо рассмотрения ансамбля черных дыр с данным значением заряда Q мы можем рассматривать черные дыры с данным значением хим-потенциала. Такие черные дыры описываются большим термодинамическим потенциалом Ω − TS μQ. Если вы считаете эффективное действие для системы с заданной температурой и хим-потенциалом, то это больше не свободная энергия, как я писал выше. Теперь эффективное действие — это большой термодинамический потенциал. Замечу, что оба описания эквивалентны: соотношение между свободной энергией и большим термодинамическим потенциалом сводится к преобразованию Лежандра.

Допустим, мы живем в (d+1)-мерном пространстве-времени M с границей ∂M. Выберем локальную координатную систему xμ на M. Пусть gμν — метрический тензор на M в этой коориднатной системе. Далее, в выбранной координатной системе граница ∂M задается уравнением, r(x) = 0. Так что граница ∂M имеет размерность d. Вектор, ортогональный ∂M, направлен по градиенту границы r(x) = 0. Отнормируем этот вектор:

$$n^\mu=\frac{\partial^\mu r}{\sqrt{g^{\mu\nu}\partial _\mu r\partial _\nu r}}\,.$$

Обозначим hμν метрику на ∂M. Тогда nμhμν=0, в силу ортогональности вектора n и любого вектора на ∂M. Эта связь на метрический тензор h устраняет d+1 его независимых компонент. Остается (d+1)(d+2)/2-(d+1)=d(d+1)/2 компонент, как и должно быть для метрического тензора в d-мерном пространстве. Решением этой связи является, очевидно,

$$h_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-n_\mu n_\nu\,.$$

Если пространство-время имеет границу, то нам нужно принять во внимание граничные члены, которые появляются при варьировании действия Гильберта-Эйнштейна. Действительно, вспомним, что при выводе уравнений Эйнштейна из действия Гильберта-Эйнштейна важным соотношением является

$$\int d^{d+1}x\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}=\int d^{d+1}x\sqrt{-g}\nabla_\mu (g^{\nu\rho}\delta\Gamma^\mu_{\nu\rho})\,,$$

что сводится к граничным членам. Если граница существует, то нам надо позаботиться об исчезновении этих граничных членов. Граничные члены включают вариацию метрики и первой производной метрики. Вариация метрики на границе всегда равна нулю. Есть два способа обойтись с вариацией производной метрики. Первый — не варьировать производную метрики на границе — т.е. наложить условие Неймана. Этот способ подразумевает какую-то дополнительную физику, которая обеспечивает фиксированность производных полей на границе. Второй способ — добавить действие на границе.

Проще говоря, вот что происходит. Пусть f(r) обозначает какую то компоненту метрики. Действие Эйнштейна содержит члены типа

$$\int drA(r)f''(r)f(r)$$

где A(r) есть некоторая функция, для простоты все зависит только от радиальной координаты (граница пространства-времени, на которой мы добавим граничный член действия, определяется фиксированным значением этой радиальной координаты). После интегрирования по частям это действие может быть переписано как

$$-\int drf'(r)(Af(r))'+[Af'f]_b$$

где индекс b означает что выражение посчитано на границе r=rb. Вариация первого члена в последнем выражении дает уравнения движения и граничное условие

$$\delta f(r)_{r=r_b}=0$$

А вариация второго члена вдобавок требует выполнение условия

$$\delta f'(r)_{r=r_b}=0$$

Нет никаких оснований считать что это второе условие должно выполняться. Поэтому мы добавляем к исходному действию граничный член

$$S_b=-[Af'f]_b$$

который, естественно, полностью компенсирует вариацию производной метрики f на границе.

В случае гравитации такой граничный член был предложен независимо в работе Гиббонса, Хокинга и работе Йорка, и потому называется членом Гиббонса-Хокинга. ;) Полное гравитационное действие тогда (положим d+1=4)

$$K=\frac{1}{16 \pi G}\int d^4x\sqrt{-g}R+\frac{1}{8\pi G}\int d^3x\sqrt{|h|}K\,,$$

где скаляр внешней кривизны определяется через нормальный вектор к границе

$$K=\nabla _\nu n^\nu\,.$$

Сосчитаем, например, член Гиббонса-Хокинга для границы AdS. В координатах Пуанкаре пространство-время AdS (точнее его половина, т.е. то, что создается стопкой черных бран вблизи их горизонта, и соответственно то, что фигурирует в AdS/CFT соответствии) задается метрикой

$$ds^2=\frac{dz^2-dt^2+dx^idx^i}{z^2}\,.$$

Соответсвующие ненулевые символы Кристоффеля равны (в этом примере греческие индексы обозначают все координаты кроме радиальной координаты z)

$$\Gamma^\mu_{z\nu}=\Gamma^\mu_{\nu z}=-\frac{1}{z}\delta^\mu_\nu\,,\quad\Gamma^z_{zz}=-\frac{1}{z}\,,\quad\Gamma^z_{\mu\nu}=\frac{1}{z}\eta_{\mu\nu}\,.$$

Граница AdS есть поверхность z=0, нормальный к ней вектор есть вектор с единственной ненулевой компонентой nz=-1/z. Тогда

$$\nabla_\lambda n_\mu=\partial _\lambda n_\mu-\Gamma^\nu_{\lambda\mu}n_\nu=\frac{1}{z^2}\eta_{\mu\lambda}\,,\quad\mu,\lambda\neq z$$

и тогда

$$K=4$$

Рассмотрим черную дыру Шварцшильда, и запишем ее метрику в сферически-симметричной координатной системе

$$g_{\mu\nu}={\rm diag}\left\{-\left(1-\frac{r_h}{r}\right)\,,\;\frac{1}{1-\dfrac{r_h}{r}}\,,\;r^2\,,\;r^2\sin^2\theta\right\}\,.$$

Здесь поверхность r=rh определяет горизонт черной дыры: свето-подобную поверхность, т.е. поверхность на которой gtt=0. В силу последнего, очевидное свойство такой поверхности в том, что она параллельна поверхности светового конуса вблизи нее, так что эта поверхность разделяет области пространства-времени, не связанные друг с другом причинно-следственными связями (точнее, верхний световой конус любого события внутри горизонта направлен внутрь черной дыры). Метрика Шварцшильда, записанная выше, сингулярна при r=rh и потому определена только при r>rh. Таким образом, мы должны принять во внимание член Гиббонса-Хокинга на поверхности r=rh.

Перед тем как продолжить с вычислением действия, придадим термодинамический смысл величине rh. Как я написал выше, система имеет термодинамические характеристики, если она периодична в Евклидовом времени. Так что введем t=-iτ, где τ — вещественное Евклидово время. На горизонте черной дыры кривизна конечна. На самом деле она равна нулю, R=0, как и должно быть для решения Шварцшильда везде (кроме сингулярности r=0). Поэтому, если мы рассмотрим окрестность горизонта, переходя к новой радиальной координате по правилу r=rh(1+ρ2), и потребуем регулярность метрики в этих координатах, то мы получим, что Евклидово время τ с необходимостью периодично с периодом 4πrh. Я об этом писал же в этом блоге здесь.

Другая параметризация радиуса горизонта это rh=2GM. То что M — это масса черной дыры, можно увидеть, если посмотреть на асимпотику решения Шварцшильда на бесконечности, где гравитационное поле слабое и мы считаем гравитацию Ньютона хорошим приближенным описанием тяготения. Однако такой способ не является особо общим, что легко увидеть, пытаясь применить его для придания физического смысла параметрам, описывающим метрику заряженной и вращающейся черной дыры.

Более общий метод основан на термодинамике. Нам нужно найти термодинамический потенциал, описывающий черную дыру. Зная термодинамический потенциал можно будет найти такие величины как, например, масса, энтропия и заряд черной дыры. Как мы обсудили выше, термодинамический потенциал — свободная энергия или большой термодинамический потенциал — определяются как эффективное действие квантовой гравитации. Чтобы посчитать эффективное действие, надо сосчитать функциональный интеграл для флуктуации метрики вокруг данной конфигурации, скажем, вокруг решения Шварцшильда. Учитывая такие флуктуации, можно посчитать квантовые поправки к термодинамическим величинам. Пример такого вычисления обсуждался в блоге: это (один из способов) опровержения петлевой квантовой гравитации.

Если мы не хотим учитывать квантовые петли, т.е. ограничиваемся полуклассической квантовой гравитацией (т.е. по сути мы все еще рассматриваем интеграл по путям, но ограничиваемся только древесными амплитудами рассеяния гравитонов), то термодинамический потенциал просто равен действию, посчитанному для данной метрики, т.е. на массовой оболочке. 

Выполним, наконец, этот расчет для черной дыры Шварцшильда. Вектор, нормальный к поверхности r=rh, равен

$$n^\mu =\left(0,\;-\sqrt{1-\frac{r_h}{r}}\,\;0,\;0\right)\,.$$

Метрика на границе r=rh дается выражением

$$h_{\mu\nu}={\rm diag}\{-\left(1-\frac{r_h}{r}\right)\,,\;0\,,\;r^2\,,\;r^2\sin^2\theta\}\,.$$

Тогда скаляр внешней кривизны равен

$$K=\partial _\mu n^\mu+\Gamma^\mu_{\mu\lambda}n^\lambda =\partial_r\left(-\sqrt{1-\frac{r_h}{r}}\right)-\Gamma^\mu_{\mu r}\sqrt{1-\frac{r_h}{r}}\,.$$

Используя выражения для символов Кристоффеля:

$$\Gamma^{t}_{tr}=-\Gamma^r_{rr}=\frac{r_h}{2r(r-r_h)}\,,\quad\Gamma^\theta_{\theta r}=\Gamma^\phi_{\phi r}=\frac{1}{r}$$

мы получаем

$$K=\frac{3r_h-4r}{2r^2\sqrt{1-\frac{r_h}{r}}}\,.$$

Для решения Шварцшильда (как и для любого решения в плоском пространстве) скаляр кривизны Риччи равен нулю, так что единственный нетривиальный вклад в действие на массовой оболочке содержится в граничном члене Гиббонса-Хокинга. Считаем этот член на поверхности r=r0

$$S[r_0]=\frac{1}{8\pi G}\int dtd\theta d\phi r_0^2\sqrt{1-\frac{r_h}{r_0}}\sin\theta\frac{3r_h-4r_0}{2r_0^2\sqrt{1-\frac{r_h}{r_0}}}$$

Из этого выражения нужно отнять член Гиббонса-Хокинга для плоского пространства (для которого скаляр кривизны равен K=−2/r0). Этот член должен быть посчитан для поверхности с метрикой h, как для черной дыры:

$$S_0[r_0]=\frac{1}{8\pi G}\int dtd\theta d\phi r_0^2\sqrt{1-\frac{r_h}{r_0}}\sin\theta\frac{-2}{r_0}$$

Для начала, перейдем к Евлидовой теории, так что t=, и Евклидово действие дается выражением SE[rh]=−iS[rh]. Интегрируя по периоду β=4πrh времени τ, учитывая фактор 2π интегрирования по φ и фактор 2 интегрирования по θ, затем устремим r0 к беконечности. Мы получаем в результате

$$I_E[r_h]=4\pi M^2G\,.$$

Мы можем переписать его через обратную температуру

$$I_E=\frac{\beta^2}{16\pi G}\,.$$

Такая форма записи удобна, если мы хотим посчитать массу черной дыры. Масса черной дыры — это ее средняя энергия. В данном случае черная дыра имеет определенную температуру 1/β, поэтому термодинамика черной дыры описывается каноническим ансамблем, и средняя энергия есть (суммирование по всем энергиям)

$$\langle E\rangle=\frac{1}{Z}\sum Ee^{-\beta E}\,,$$

что можно посчитать как

$$Z=\sum e^{-\beta E}=e^{-I_E}\quad\Rightarrow\quad \langle E\rangle=-\frac{\partial \log Z}{\partial\beta}=\frac{\partial I_E}{\partial\beta}\,.$$

Таким образом для черной дыры Шварцшильда мы получаем $$\langle E\rangle=M$$. Итак, мы придали физический смысл параметру M, который входит в метрику черной дыры Шварцшильда через радиус Шварцшильда. Это масса черной дыры.

Канонический ансамбль описывается термодинамическим потенциалом — свободной энергией,

$$F=E-TS\quad\Rightarrow\quad S=\beta (E-F)$$

С другой стороны, как обсуждалось выше, свободная энергия определяется Евклидовым действием,

$$F=-T\log Z=-T\log e^{-I_E}=I_E/\beta\,.$$

Тогда энтропия черной дыры дается выражением Хокинга-Бекенштейна:

$$S=\frac{\pi r_h^2}{G}=\frac{A}{4G}\,,$$

где A — площадь поверхности горизонта черной дыры.

Описанный в этом посте вывод термодинамических величин черных дыр в плоском пространстве-времени с помощью термодинамического подхода к квантовой гравитации был впервые применен Хокингом и Гиббонсом. Видно, что граничный член Хокинга-Гиббонса играет существенную роль в этом выводе. Впоследствии, помимо всего прочего, Хокинг и Пейдж таким же образом изучили черные дыры в пространстве AdS.

Ключевые слова: гравитация, квантовая теория поля, равновесное излучение | Комментарии (2)
Роман Парпалак

Эффект Унру

28 февраля 2011 года, 15:37

Суть эффекта Унру заключается в том, что равноускоренный наблюдатель начинает видеть вокруг себя равновесное тепловое излучение, в то время как наблюдатель в инерциальной системе отсчета не видит ничего. В работе «Is there Unruh radiation?» авторов G. W. Ford и R. F. O'Connell есть вывод формулы для температуры Унру. Проследим за этим выводом.

Модель

Рассмотрим струну в пространстве (1 + 1) с лагранжианом

$$L=\int dy \left[ {\frac{\sigma }{2}}\left({\frac{\partial u}{\partial t}}\right)^{2}-{\frac{\tau }{2}}\left({\frac{\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\right].$$

Для случая скалярного поля нужно взять σ = 1/4π, τ = с2/4π. Несложно получить уравнение движения

$${\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$$

Его решение выписывается через ряд Фурье

$$u(y,t)=\sum_{k}\sqrt{{\frac{\hbar }{2\sigma L\omega }}}\left(a_{k}e^{i(ky- \omega t)}+a_{k}^{\dag }e^{-i(ky-\omega t)}\right),$$

где L — длина струны; частота и импульс связаны дисперсионным соотношением ω c|k|; сумма по импульсам пробегает значения, кратные 2π/L.

Квантование

Теперь проквантуем эту систему, потребовав выполнения коммутационных соотношений

$$\lbrack a_{k},a_{k^{\prime }}^{\dag }]=\delta _{k^{\prime}k},\quad\lbrack a_{k},a_{k^{\prime }}]=0.$$

Как утверждается, для струны в тепловом равновесии при температуре T можно определить следующие вакуумные средние:

$$\left\langle a_{k}a_{k^{\prime }}^{\dag }+a_{k^{\prime }}^{\dag}a_{k}\right\rangle =\,\mbox{cth}\, \frac{\hbar \omega }{2kT}\,\delta_{k^{\prime}k}, \quad\left\langle a_{k}a_{k^{\prime }}+a_{k^{\prime }}a_{k}\right\rangle =0.$$

Действительно, в первом выражении легко распознать $$2\bar{n}_k + 1$$. Среднее число квантов $$\bar{n}_k$$ дается статистикой Бозе — Эйнштейна, откуда и получается гиперболический котангенс.

Термодинамическое равновесие

Мы будем изучать поведение корреляционной функции поля

$$C(\Delta y,\Delta t)\equiv {\frac{1}{2}}\left\langle u(y_{1},t_{1}) u(y_{2},t_{2}) + u(y_{2},t_{2}) u(y_{1},t_{1}) \right\rangle ,$$

где Δy = y1 − y2, Δt = t1 − t2. Рассматривать спектральную плотность и пространственное распределение излучения было бы нагляднее. Но можно заниматься и корреляционной функцией, ведь она связана со спектральной плотностью (и, видимо, пространственным распределением) преобразованием Фурье.

После выполнения вычислений и перехода к бесконечной длине (→ ∞), связанного с заменой суммирования интегрированием, получаем

$$C(\Delta y,\Delta t)=\frac{\hbar }{4\pi \sigma }\int\limits_{-\infty }^{\infty }dk \frac{1}{\omega }\,\mbox{cth}\, \frac{\hbar \omega }{2kT}\cos \left( k\Delta y-\omega \Delta t\right).$$

Это выражение, вообще-то, расходится в области больших длин волн (или малых k). Но его можно, как обычно, разделить на сумму конечной части, зависящей от Δy и Δt, и бесконечной, не зависящей от этих переменных:

$$C(\Delta y,\Delta t) = const -\frac{\hbar }{4\pi \sigma c}\left(\ln \mbox{sh} \frac{\pi kT}{\hbar }\left(\Delta t-\frac{\Delta y}{c}\right)+ \ln \mbox{sh} \frac{\pi kT}{\hbar }\left(\Delta t+\frac{\Delta y}{c}\right)\right).$$

Корреляционная функция в фиксированной точке (Δy = 0) принимает вид

(1)$$C(0,\Delta t)=const-\frac{\hbar }{2\pi \sigma c}\ln \mbox{sh}\, \frac{\pi kT\Delta t}{\hbar }.$$

Еще нам понадобится корреляционная функция при нулевой температуре

$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)\equiv {\frac{\hbar }{4\pi \sigma }}\int\limits_{-\infty}^{\infty }\frac{dk}{\omega }\cos (k\Delta y-\omega \Delta t).$$

Здесь нужно выделять конечную часть по-другому. После преобразований получается

(2)$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)=const-{\frac{\hbar }{4\pi \sigma c}}\ln \left\vert\Delta t^{2}-\frac{\Delta y^{2}}{c^{2}}\right\vert.$$

Равноускоренное движение

Движение под действием постоянной силы F описывается в СТО известным уравнением

$${\frac{d}{dt}}{\frac{mv}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}}=F,$$

где под скоростью v понимается dy/dt. Его решение легко найти:

$$y={\frac{mc^{2}}{F}} \, \mbox{ch}\, \frac{F\tau }{mc},\quad t={\frac{mc}{F}}\,\mbox{sh}\, \frac{F\tau }{mc},\quad -\infty <\tau <\infty .$$

Параметр τ совпадает с собственным временем ∫dt (1 − v2/c2)1/2. Отсюда для двух точек на мировой линии можно получить, что

(3)$$\sqrt{\Delta t^{2}-\Delta y^{2}/c^{2}}={\frac{2mc}{F}}\,\mbox{sh}\, \frac{F\Delta\tau }{2mc},$$

где Δτ = τ1 − τ2.

Температура Унру

Из (2) и (3) получаем, что функция корреляции поля с нулевой температурой для точек вдоль мировой линии равноускоренного наблюдателя зависит только от Δτ:

$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)=const-{\frac{\hbar }{2\pi \sigma c}}\ln \mbox{sh}\, \frac{F\Delta \tau }{2mc}.$$

Сравнение последнего выражения с (1) показывает, что поле с нулевой температурой будет выглядеть для движущегося равноускоренно наблюдателя так, как будто обладает температурой Унру

$$kT={\frac{\hbar F}{2\pi mc}}.$$

Выводы

Отметим, что температура Унру очень мала. Так, для ускорения, совпадающего с ускорением свободного падения, температура Унру равна 4·10−20 К.

Эффект Унру в некотором смысле аналогичен излучению Хокинга. Действительно, для равноускоренного наблюдателя существует так называемый риндлеровский горизонт, аналогичный горизонту событий черной дыры.

Были предложения проверить эффект Унру, наблюдая дополнительное излучение за счет тепловых флуктуаций ускоренно движущейся частиц, например, электронов, освещенных мощными лазерами. Однако ряд авторов опровергает наличие дополнительного излучения, заявляя о компенсации возможного испускания поглощением энергии вакуумных (уже теплых!) полей. Например, далее в упомянутой статье разбирается пример осциллятора, связанного со скалярным полем, и прямым вычислением показывается отсутствие излучения.

Несмотря на малую величину, эффект Унру имеет важное философское значение. Действительно, этот эффект позволяет в принципе определить абсолютное ускорение системы отсчета. Таким образом опровергается принцип Маха в формулировке, утверждающей, что «имеет значение только ускорение относительно неподвижных звезд».

Ключевые слова: равновесное излучение, квантовая теория поля, гравитация | Комментарии (19)