Заметки о теоретической физике
Михаил Гойхман

Фундаментальность квантовой механики

11 июля 2020 года, 19:43

Копенгагенская интерпретация квантовой механики, вскоре с момента ее разработки, была принята всеми серьезными физиками как синоним здравому смыслу в вопросах квантовой теории. Иными словами, любые правильные физические утверждения касательно квантовой механики по определению являются частью копенгагенской интерпретации. Любые другие «толкования» квантовой механики точно не правильны. В частности, возражения о том что копенгагенская интерпретация на самом деле «плохо определена» (это не так: см. мое определение выше), и основанная на этом критика, логически не последовательны, в виду того, что «критик» при этом начинает возражать против того, что он, по собственному признанию не понимает!

Квантовая механика идеально соответствует эксперименту. В то время как в своей основе квантовая механика дает описание поведения физической системы в терминах не-наблюдаемой волновой функции, квантовая механика однозначно предсказывает каким образом формальные законы, описывающие волновую функцию, должны применятся для вывода наблюдаемых величин. Экспериментальный успех квантового формализма при этом феноменален, как видно на примере тестов квантовой электродинамики.

Одним из достижений Бора и Гейзенберга, заложивших основу квантовой механики, было осознание того, что фундаментальные физические законы, описывающие поведение природы, записываются в терминах, не соответствующих интуитивным образом наблюдаемым явлениям. Согласно квантовой теории (также известной как «копенгагенская интерпретация») самым фундаментальным физическим объектом, содержащим всю информацию касательно состояния (замкнутой) физической системы, является волновая функция. Волновая функция при этом не является наблюдаемой величиной. Она является объектом формализма математической теории. Однако, это не «просто» математическая теория (стандартное возражение невежественных людей имеет практику скандировать «It's just a theory!»).

Как любая успешная физическая теория, квантовая механика формулирует свои принципы в терминах общего математического формализма, четко перечисляющего конкретные принципы вычисления, которое нужно проделать для получения выводов и предсказаний. Основные принципы теории легко сформулировать: самое фундаментальное уравнение природы, уравнение Шредингера, легко записать в общем виде, в то время как конкретные вычисления, особенно для сильно-взаимодействующих систем с большим количеством степеней свободы, как правило сложно осуществить точно. Подобные свойства часто присущи элегантным общим теориям: простые принципы кратко резюмируют наше глубокое понимание природы на фундаментальном уровне, и могут дальше применяться в процессе «грязных» вычислений для получения конкретных результатов.

Классическая физика должна содержаться как частный случай более общей квантовой теории. Действительно, классические эффекты доминируют в пределе малой константы Планка. Наиболее популярный и практичный квантовый формализм, дающий описание фундаментальных физических процессов в терминах интеграла по путям, четко иллюстрирует содержание классического предела квантовых уравнений движения. Действительно, любой интеграл по путям в системе, описываемой действием $$\inline S[\phi]$$, где $$\inline \phi$$ формально обозначает набор всех степеней свободы системы, имеет вид $$\inline \int [D\phi]\,e^{-\frac{1}{\hbar}\,S[\phi]}\,(\cdots)$$. В пределе $$\inline \hbar\rightarrow 0$$ доминирующий вклад в интеграл дается классической траекторией, минимизирующий действие (подобное описание, наглядное в терминах евклидового интеграла по путям, имеет прямой аналог в ВКБ и эйконаловом приближении в лоренцевом формализме).

С другой стороны, если эффектами ненулевой константы Планка не возможно пренебречь (иными словами, если взаимодействие в рассматриваемой системе достаточно велико, на интересующих нас масштабах), то формализм интеграла по путям точно предписывает как нужно вычислять квантовые (также известные как петлевые) поправки к классическим явлениям. Например, в рамках теории возмущений, формула интеграла по путям точно предписывает вычисление наблюдаемых величин через корреляционные функции наблюдаемых операторов. Такими величинами являются, например, средние значения (вакуумные ожидания) эрмитовых операторов, соответствующих интересующих нас наблюдаемым.

Согласно квантовой механике, физическая система в общем находится в квантовой суперпозиции состояний, при которой волновая функция системы представляет собой линейную комбинацию состояний (или линейную комбинацию волновых функций -- собственных состояний операторов системы), каждое из которых характеризуется различными значениями тех или иных величин данной системы. По определению наблюдения мы не можем наблюдать суперпозицию. Вместо этого, мы наблюдаем конкретные величины: собственные значения операторов, соответствующих наблюдаемым величинам.

Какое из этих собственных значений, содержащихся в суперпозиции волновых функций, будет наблюдено, дается вероятностным правилом Борна. Это основополагающее правило, объясняющее само-достаточный формализм квантовой механики, в терминах понятия наблюдения, задает распределение вероятностей для различных возможных исходов наблюдения, содержащихся в волновой функции системы.

Стандартная формулировка теории вероятности (популяризованное Джейнсом) формализует понятие вероятности через систему аксиом, основанных на логической мотивации теории вероятности. В такой формулировке вероятность является продолжением классической логики на случай ситуаций, когда правдивость того или иного утверждения не известна наверняка (в отличии от классической аристотелевой логики, оперирующей в понятиях либо верных либо неверных утверждений). Подобная неопредленность получает количественную формулировку (в терминах числа p) в виде вероятности утверждения.

Отнормировав это число, мы получаем что p=0 соответствует уверенности в неправильности данного утверждения (иными словами, в уверенности в обратном утверждении), а p=1 соответствует уверенности в данном утверждении. Формализм теории вероятности при этом предписывает как нужно математически-последовательно обновлять промежуточные значения $$\inline p\in (0,1)$$ когда мы получаем новые данные касательно данного утверждения. Суть теории вероятности состоит в том, что это предписание (также известное как теорема Байеса) является единственно возможным обобщением аристотелевой логики заключений на случай рассуждений о неопределенных величинах.

Само число p, т.е. вероятность предписываемая тому или иному событию, не является наблюдаемой величиной. Этот факт обычно искажается, когда вероятность определяется как предельная частота события. На самом деле вероятность не является свойством системы, а является свойством нашего знания о системе. Монета не имеет «вероятность упасть орлом» $$\inline p = 0.5$$. В типичной ситуации мы используем такую вероятность чтобы количественно сформулировать нашу априорную веру в то, как поведет себя подкинутая монета, когда она придет в состояние покоя после приземления. Эта вероятность квантифицирует наше знание о потенциальном поведении подброшенной монеты, и ее можно (нужно) сформулировать даже для одного события (такого, как единичное подбрасывание монеты). Эту вероятность надо обновлять, по теореме Байеса, когда наблюдаются новые результаты приземления монеты.

Классическая физика активно пользуется формализмом теории вероятности. Например, статистическая физика успешно формулирует описание систем с большим количеством степеней свободы и сильным взаимодействием. В термодинамическом пределе статистические предсказания имеют замечательную точность и согласуются с экспериментом, что в рамках формализма теории вероятности объясняется законом больших чисел, и его обобщением в виде центральной предельной теоремы.

Описание системы при этом задается в терминах статистического ансамбля. Статистический ансамбль ограничивает класс возможных распределений вероятности (и соответствующие им физические величины, такие как температура, химический потенциал, энергия, и т.п.), которым данная система может удовлетворять.

При этом подразумевается, что теоретически возможно измерить поведение системы на уровне индивидуальных степеней свободы (таких как молекулы взаимодействующего газа), что приведет к более полному описанию системы, выходящем в общем случае за рамки данного ансамбля. В соответствии с теоремой Байеса, мы тогда получим распределение вероятности состояния системы «по ансамблям».

С другой стороны, вероятность, подразумеваемая правилом Борна, фундаментальна. Согласно квантовой механике, система описывается волновой функцией полностью. Все, что можно знать про систему, в принципе должно содержаться в волновой функции. В частности это подразумевает, что наблюдения данной системы зависят от волновой функции через правило Борна. Тогда никакая дополнительная информация о системе в принципе не возможна, и вероятностная природа наблюдений неизбежна.

Выше мы обсудили что вероятность не явлеятся свойством системы, а является свойством нашего знания системы. В виду этого, противоречива ли вероятностная природа наблюдений в квантовой механике? Напротив! Волновая функция обычно называется «волной вероятности». Это потому что, в то время как правило Борна выражает вероятность наблюдения через квадрат амплитуды волновой функции, сама волновая функция комплексно-значна. Это приводит к возможной волновой интерференции различных состояний. Стандартным наблюдением явления волновой интерференции в квантовой механике является эксперимент с двойной щелью. Квантово-механическая динамика системы, описываемая уравнением Шредингера, четко описывает поведение волновой функции, в то время как принцип линейной суперпозиции комплексно-значной волновой функции в пространстве состояний (гильбертовом пространстве) позволяет учесть эффект интерференции.

Формализм интеграла по путям автоматически содержит в себе уравнение Шредингера, и таким образом способен полностью описать квантовую динамику системы. Более того, формализм интеграла по путям способен описать любую наблюдаемую величину в данной системе. В некотором плане это свойство формализма интеграла по путям встроено в него специально! Например, помимо среднего данной наблюдаемой, мы можем посчитать среднее квадрата, и отсюда, дисперсию. Аналогично, мы можем посчитать любой момент распределения.

Совершенно аналогично тому, как вероятность не является наблюдаемой величиной, волновая функция не является наблюдаемой. Точно так же как в наблюдениях в условии неопределенности мы говорим о среднем, дисперсии, и т.д., в случае квантовой механики мы говорим о среднем значении операторов, корреляционных функциях и т.д. Таким образом, имеется один-в-один соответствие между наблюдаемыми величинами, являющимися предметом обсуждения в теории вероятности, и наблюдаемыми величинами, свойства которых на фундаментальном уровне описываются квантовой механикой.

Точно так же как в классической теории вероятности математически-формальное понятие распределения вероятности p количественно формулирует наше знание системы, а наблюдаемые свойства системы (средние, дисперсия, корреляции, и т.д.) выводятся из распределения вероятности, в квантовой механике математическое описание системы дается «волной вероятности» (т.е. волновой функцией) $$\inline \psi(x)$$, в то время как наблюдаемые величины следуют из этой волновой функции.

Таким образом, правило Борна содержится в формулировки квантовой физики через интеграл по путям. Действительно, любая наблюдаемая величина по определению должна считаться с помощью интеграла по путям. В частности, любые наблюдаемые характеристики вероятности распределения, такие как среднее, дисперсия, корреляционные функции, и т.д., легко формулируются в терминах интеграла по путям. В этом плане интеграл по путям уже содержит все то, что в принципе можно получить из вероятности с перспективы наблюдений!

В то время как Фейнман сформулировал формализм интеграла по путями в 1948 году, к 1926 году Бор и Гейзенберг уже знали, что их «копенгагенская» квантовая механика полностью содержит в себе физически исчерпывающее и математически само-согласованное описание принципов фундаментальных физических процессов и физических наблюдений. Открытая ими вероятностная природа наблюдаемых величин была осознанна как природный факт.

Теория вероятности это математический формализм, построенный для описания результатов наблюдений в условиях неопределенности. Вероятность в квантовой механике это тоже математический формализм. Сама «вероятность» при этом не наблюдаема, точно также как и волновая функция не наблюдаема, несмотря на то что она находится в центре фундаментального описания природы. С другой стороны, все наблюдаемые свойства, предсказываемые вероятностным формализмом квантовой механики, впоследствии были экспериментально подтверждены.

В то время, как «коллапс волновой функции» является стандартным способом озвучивания формулы $$\inline \langle \psi|{\cal O}|\psi\rangle$$, за этой фразой не стоит никакой физический процесс, связанный с волновой функцией. Мы меряем (т.е., квантовая механика предсказывает) среднее значение какого-то оператора в состоянии системы, описываемой данной волновой функцией $$\inline \psi$$ (вроде общего выражения $$\inline \langle \psi|{\cal O}|\psi\rangle$$), корреляционные функции, и т.д., но не саму волновую функцию $$\inline \psi$$. Результат измерения этих наблюдаемых величин полностью согласуется с результатами вычисления в квантовой механике. Вычисляемый при этом объект выводится из (математически эквивалентного формуле $$\inline \langle \psi|{\cal O}|\psi\rangle$$) формализма интеграла по путям без упоминания «коллапса» волновой функции. Волновая функция не наблюдается, и в том числе ее т.н. «коллапс» тоже не наблюдаем.

Перспектива интеграла по путям, рассмотренная выше, явно показывает, что абсолютно весь формализм квантовой механики, включая выводы касательно наблюдаемых величин, можно сформулировать ни разу не используя понятие «коллапса» волновой функции. В этом смысле за коллапсом волновой функции не стоит физического процесса: если все выводы теории касательно наблюдаемых величин формулируемы без уточнения «динамики коллапса», то этот коллапс не описывается физическим процессом. Он просто является эквивалентной переформулировкой формализма интеграла по путям в терминах поведения состояний системы в гильбертовом пространстве.

В частности, «интерпретации» квантовой механики, строящиеся для разрешения проблемы «вероятностной природы» квантовой механики, по сути решают не-существующую проблему. Математически-правильное понимание теории вероятности, и в частности роли теории вероятности на фундаментальном уровне квантовой механики, не оставляет никаких проблем, которые нужно было бы решать. Бор и Гейзенберг поняли эти факты уже в 1926 году, и с тех пор воспринимали квантовую механику как завершенную теорию.

Квантовая механика утверждает вероятностную природу фундаментальных законов природы. В частности, она твердо основывается на математически и логически правильном формализме классической теории вероятности. Классическая вероятность не придает физического смысла «коллапсу» вероятности в состояние p=0 или p=1 из какого-то промежуточного значения $$\inline p\in (0,1)$$, которого наблюдатель придерживался до проявления результата эксперимента. В квантовой механике понятие классической вероятности обобщается понятием волновой функции, которая приобретает комплексно-значную форму (по правилу Борна, сама вероятность оказывается равной квадрату амплитуды волновой функции), и становится динамической, с поведением, определяемым уравнением Шредингера. Но с точки зрения процесса наблюдения, квантовая механика рассматривает «коллапс» волновой функции в процессе наблюдения в точно таком же смысле как классическая теория вероятности рассматривает наблюдение случайной величины. Таким образом, правильное понимание сути коллапса волновой функции основывается полностью на правильном понимании классического понятия вероятности.

Выше мы вспомнили это определение вероятности, при котором вероятность описывает наше знание о системе, а не саму систему. Именно в этом смысле используется понятие вероятности в квантовой механике. Поэтому вероятность наблюдать ту или иную компоненту квантовой суперпозиции в принципе невозможно вывести из какой бы то ни было динамики системы. Эта вероятность не является свойством системы, а является свойством нашего знания о системе. Поэтому в частности не возможно построить процесс в данной системе, приводящий к тем или иным вероятностным результатам, из какого бы то ни было детерминистического принципа! Этот принцип квантовой механики идеально согласуется с классическим определением вероятности как логики в условиях неопределенности.

Неправильная интерпретация вероятности как наблюдаемой величины, или «частоты событий» приводит к не-консистентным выводам в теории вероятности. Совершенно аналогичным образом, неправильное понимание волновой функции как наблюдаемой величины приводит к мнимым проблемам об «интерпретации» коллапса волновой функции и природы квантовой механики.

Ключевые слова: квантовая теория поля | Комментарии (2)
Михаил Гойхман

Фальсификация статистики эпидемии путем смешивания результатов серологических и вирусологических тестов

10 июля 2020 года, 11:31

При изучении статистики и динамики эпидемии, наиболее существенными метриками являются текущее количество новых заболеваний в единицу времени $$\inline N(t)$$ (например, в день), и число людей которые переболели к данному моменту времени, $$\inline M(t)$$. Эти две метрики сильно связаны друг с другом, что наблюдается при условии идеальных возможностей тестирования . Первая величина измеряется вирусологическими тестами, в то время как вторая величина измеряется серологическими тестами.

Если эпидемия продолжалась довольно долго (существенно дольше, чем процесс выздоровления), то хорошей оценкой числа переболевших людей дается просто кумулятивным числом заболевших людей в единицу времени, $$\inline M(t) \simeq \sum _{t'=1}^t N(t')$$. Подобная оценка пренебрегает числом людей, которые заболели недавно, но еще не успели выздороветь, но она работает хорошо для достаточно поздней стадии эпидемии. Мы также не учитываем количество заболеваний со смертельным исходом, которое тоже, как правило, пренебрежимо мало (по сравнению с ошибками измерений и ошибками статистических манипуляций, обсуждаемых в этой статье) для эпидемий относительно мягких болезней вроде сезонного гриппа, простуды, или ковида-19.

В реальности, ограничения логистики, экономики, и точности измерений делают невозможным аккуратное измерение ни одной метрики связанной с эпидемией. Это утверждение тривиально верно для метрики, вроде числа новых заболеваний в день $$\inline N(t)$$, т.к. многие заболевания являются либо бессимптомными, либо на столько мягкими, что заболевший человек не тестируется. Но оно также верно и для количества смертей «от болезни», несмотря на то что бинарный смертельный исход вроде бы и проще однозначно измерить, и не оставляет свободу интерпретации.

На самом деле, в случае эпидемий с особо сугубыми последствиями для людей преклонного возраста, изолирование конкретной причины смерти (из многих одновременно существующих проблем со здоровьем) не возможно в принципе. Например, эффект потенциального ослабления иммунитета из-за систематической подверженности устрашением со стороны средств массовой информации, обычно не учитывается. Этот эффект сложно померить, но априори не ясно на сколько он важен.

Вместо этого, приходится ограничиваться метриками, оцененными из выборки населения. Статистика, извлекаемая подобным образом, крайне восприимчива к ошибкам. Эти ошибки можно заметить, в том числе, произведя проверку на консистенцию. Например, можно проверить, выполняется ли написанное выше соотношение $$\inline M(t) \simeq \sum _{t'=1}^t N(t')$$ между результатами серологических и вирусологических тестов. В случае недавней (текущей) эпидемии ковида-19, эти результаты отличаются по крайней мере на порядок величины (я думаю читатель без труда определит, какое число при этом оказывается больше).

Подобное расхождение объясняется в том числе искажением представления о динамики эпидемии не-нормированным подсчетом положительных результатов тестов. Этот эффект усугубляется не-представительностью выборки населения, подверженной тестированию. Поясню, что это значит. В виду того, что серологические тесты показывают, что количество переболевших людей (на порядок величины) выше, чем количество людей в сумме получивших положительный результат теста на данный момент времени, не сложно заметить, что большее количество тестов приведет к большему количеству положительных результатов.

Например, допустим в стране с 10000000 людей, в момент времени 2% населения, т.е. 200000 человек больные. В случае представительной выборки 100000 тестов даст результат в ок. 2000 положительных результатов. Допустим теперь что в другой момент времени 1% населения, т.е. 100000 человек больные. Если при этом провести 300000 тестов, то равномерная выборка приведет к ок. 3000 положительных результатов. Несмотря на тривиальность, подобное вычисление находится за пределами математических способностей типичных жителей любой страны (или даже, а может быть и особенно, т.н. «интеллектуалов»).

Совершенно ясно, что правильной метрикой, оценивающей число заболеваний $$\inline N(t)$$, является нормированное число положительных результатов вирусологических тестов на болезнь. В случае примера, рассмотренного в предыдущем параграфе, измерение во второй момент времени привело к 50% увеличению абсолютного количества положительных результатов. Такое «увеличение» в измеренном числе заболевших кажется катастрофически большим. Однако, должная нормировка положительных результатов тестов на полное количество тестов, показывает что количество заболеваний на самом деле уменьшилось вдвое. Правильная оценка количества новых заболеваний дается именно произведением подобной относительной величины положительных тестов, на число людей, потенциально подверженных заболеванию. (Последнее число меньше полного населения страны, на количество переболевших людей, людей не восприимчивых к вирусу, и людей, живущих в изолированных регионах.) Эта формула также основывается на представительности выборки измерений среди людей подверженных заболеванию.

Представительность выборки часто стоит подвергать сомнению. Например, произвести 10 тестов в плотной организации в 10 человек, где один сотрудник заболел, скорее всего приведет к 10 положительным результатам, давая 100% относительную величину количества положительных тестов. Если эту величину применить для оценки больных людей во всей стране в данный момент времени, то кажущееся заключение будет катастрофическим: все люди, подверженные инфекции в той или иной мере, будут считаться больными.

С другой стороны, 10 тестов, равномерно проведенных по всей стране в условиях примера выше, приведет к нулевым положительным результатам, с вероятностью $$\inline 0.99^{10}\simeq 0.9$$, т.е., 90%, и к одному положительному результату с вероятностью $$\inline 10\times 0.01\times 0.99^{9}\simeq 0.09$$, т.е., 9%. Иными словами, тест по всей стране приведет к оценке относительной зараженности $$\inline \leq 0.1$$, т.е. $$\inline \leq 10\%$$ с уверенностью в три сигмы. Оптимистичнее, чем оценка сто-процентной зараженности, не так ли?

При этом мы еще не обсуждали динамику эпидемии. Утверждения выше о количестве измерений в «разные» моменты времени может создать впечатление, что мы говорим о прогрессе эпидемии между этими моментами времени. Это приближение верно, когда измерения проводятся в моменты времени, отделенными интервалом, существенно выше чем типичный масштаб времени заболевания (например, время выздоровления). Конечно же, разница в один день почти никогда не удовлетворяет условиям подобного приближения. Однако, практически без исключения, динамика эпидемии на масштабе с точностью до одного дня, регулярно регистрируется на основании измерений «новых» кейсов каждый день. Эта грубейшая ошибка систематически игнорируется министерствами, частными статистическими конторами, и, конечно же, представителями средств массовой информации.

Однако, цель данного поста состоит в обсуждении другой невероятно грубой ошибки, совершаемой при регистрации кейсов вирусной эпидемии. Эта ошибка состоит в смешивании результатов вирусологических и серологических тестов (см. также здесь). Оказывается, эта ошибка рутинно совершалось Центром по контролю и профилактики заболеваний (CDC) США.

Согласно той статье, CDC группирует результаты вирусологических и серологических тестов в одно число, которое регистрируется как число «новых заболеваний». В лучшем случае можно надеятся, что такое исчисление не приведет к двойному учету, при условии того, что один и тот же человек тестируется дважды, даже если один тест проводится на наличие вируса (т.е., на текущее состояние заболевания), а другой тест проводится на наличие анти-тел. Подобное смешение результатов двух тестов запросто может привести к заключению о «повторном» заболевании! В виду описанной выше практики CDC не исключено, что ряд тестов проводятся и на вирус, и на анти-тела, и при этом положительный результат любого теста регистрируется как новый «кейс».

Любой человек, переболевший вирусное заболевание, по определению обладает анти-телами, которые побороли этот вирус в организме данного человека. Если человек переболел вирусом в феврале, и был протестирован на анти-тела в мае, то нет никаких оснований регистрировать его в ту же группу результатов измерения, в которую записывается человек, зараженный вирусом в мае. Иначе, наблюдения «новых вспышек» заболеваний не имеют никакого смысла. Стандартный принцип GIGO (Garbage In Garbage Out), обычно применяемый к (сложным) моделям, основанным на ненадежных экспериментальных данных, в данном случае применим уже к самим данным.

Следует заметить, что автор статьи Livescience, на которую дана ссылка выше, тоже критикует подобный метод учета. Критика автора той статьи состоит в том, что такой метод учета искусственно занижает измеренное относительное число положительных результатов тестов. В том время как правильность этого утверждения, как показано выше, существенно зависит от представительности выборки людей, подверженных тестированию, стоит заметить что логика этого утверждения тем не менее совершенно не верная. Действительно, количество людей с анти-телами, особенно в случае развившейся эпидемии, значительно выше количества людей, больных в данный момент времени. Поэтому любая более-менее представительная выборка людей приведет к более высокому относительному количеству положительных результатов тестов на анти-тела, чем относительному количеству положительных результатов тестов на наличие вируса!

Иными словами, допустим M людей имеют анти-тела (переболели), а N людей сейчас больны, с стране с K людьми. При этом выполняется иерархия масштабов $$N\ll M \ll K$$. Тогда, группирование тестов на анти-тела и на вирус в одну кучу приведет к относительной величине положительных результатов теста $$\inline \frac{M}{K} + \frac{N}{K}=\frac{M}{K}\,\left(1 + \frac{N}{M}\right)\simeq \frac{M}{K}$$. Т.е. в условиях представительной выборки обоих тестов, результат подобного измерения просто даст оценку количества людей в стране, переболевших вирусом в прошлом! Подобная методика измерений не имеет ничего общего с попыткой измерения людей больных в данный момент времени. При этом вариация результатов таких измерений от одного дня к другому определяется почти исключительно методикой идентификации людей, переболевших вирусом, и ни имеет ровно ничего общего с динамикой эпидемии.

При таком подходе к измерениям, единственный шанс получить хоть какую-то зависимость результата измерения от числа людей, больных в данный момент времени, основан именно на не-представительной выборке измерений! Иными словами, единственная надежда состоит в том, что одна статистическая ошибка хоть как то компенсирует другую. Т.е., относительное количество положительных вирусологических измерений будет сравнимо с относительным количеством положительных серологических измерений, только если вирусологические измерения были осуществлены на не-представительной выборке, вроде примера тесного коллектива организации людей, рассмотренного выше.

С другой стороны, автор статьи Livescience допустила ошибку, посчитав что относительное количество положительных тестов при этом выходит заниженным, т.к., согласно ее утверждению, относительное количество положительных тестов на анти-тела оказывается ниже, чем относительно число тестов на наличие вируса. Как я объяснил выше, подобные результаты находились бы по определению в прямом противоречии со здравым смыслом, который указывает, что количество людей с анти-телами всегда выше количества больных людей для любой развившейся эпидемии (как в случае с эпидемией ковид-19, на момент написания статьи в Livescience). Только крайняя не-представительность выборки $$\inline N_T$$ людей протестированных на вирус приведет к относительному количеству положительных результатов $$\inline N_+/N_T$$, выше относительного количества положительных результатов $$\inline M_+/M_T$$ людей $$\inline M_T$$, протестированных на анти-тела. В совокупности с подразумеваемой банальной ошибкой усреднения $$\inline \frac{1}{2}\,\left(\frac{N_+}{N_T}+\frac{M_+}{M_T}\right) < \frac{N_+}{N_T}$$ мы получаем сделанный автором вывод об "искусственно заниженной" относительной величине положительных результатов тестов.

В заключении стоит заметить, что в то время как статья Livescience правильно обращает внимание на сомнительные действия CDC при группировке двух разных метрик эпидемии в одну, автор этой статьи явно не понимает причину неправильности подобного действия. Совершенно ясно, что автор той статьи опасается того, что подобный метод подсчета не совпадет с ее заранее и преднамеренно желаемым результатом большего количества заболеваний. Для нее нет ни какой проблемы в принципе, что CDC смешивает яблоки и апельсины! Единственное, что ее беспокоит, это то, что каким то образом такое действие неблагоприятно отразится на пропаганду страха, на которой наживаются средства массовой информации и политики.

Ключевые слова: политика | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Коллегия выборщиков

7 июля 2020 года, 11:11

Одним из способ реализации демократического процесса выборов главы федерального государства является коллегия выборщиков, используемая для выбора кандидата на должность президента США. Такой принцип выбора президента существенно отличается от более распространенного выбора кандидата путем прямого голосования, и эти два способа неоднократно приводили к расходящимся результатам.

Среди наиболее недавних примеров, выборы 2016 года в США привели к избранию республиканского кандидата Трампа. При этом Трамп набрал меньшее количество полных голосов в сумме по стране, чем его оппонент Клинтон от партии Демократов. Такой результат может поставить под вопрос принципы демократического процесса, и связанные с ним дискуссии неоднократно поднимались. Самый простой аргумент состоит в том, что интуитивное определение демократии подразумевает, что мнение большинства важнее чем мнение меньшинства.

Однако, этот аргумент имеет тонкость в случае федерального государства. Федеральное государство формируется тогда, когда отдельные территории решают объединиться в одно суверенное государство, с целью группировки усилий в таких масштабных вопросах как оборона, внешняя торговля, федеральные налоги, и внутренние дела. При этом каждая территория, штат, или область, теперь являющаяся частью федерального государства, сохраняет за собой ряд полномочий в вопросах само-управления и местного правительства, налоговой системы, полиции, и т.д., на локальном уровне.

Локальные законы штатов отражают исторически сформированные локальные традиции, и соответствуют интересам реальных людей более адекватно, чем искусственно сформулированные законы, универсально наложенные по отношению к представителям различных культур и обычаев.

Действительно, за подобной цепочкой шагов в формировании федерального государства стоит присущее людям стремление к кластеризации среди себе подобных. Подобное свойство свойственно животным в целом, и имеет простое эволюционное объяснение, в терминах бессознательного стремления сохранить родственный генетический материал. В существенном смысле, для людей этот эффект также распространяется на желание собираться среди себе-подобных по идеологическим и культурным соображениям.

История развития общества в США при этом не является исключением, и весьма похожа на историю развития народов Западной Европы, часть которых впоследствии иммигрировали на новый континент в Северной Америке, на протяжении нескольких веков. Расселение новых иммигрантов, в том числе в США, не происходило случайным образом. Люди поселялись как правило среди иммигрантов из той же страны, более того, среди иммигрантов прибывших из того же города, поселения, или даже сообщества внутри поселения. Подобный принцип расселения наблюдается часто когда решения людей не ограничены законами (такими как прописка в Советском Союзе), препятствующими свободе перемещения.

Поэтому, в случае истории США, исторически сформированные кластеры культур в Европе нашли свое прямое отражение в соответствующих кластерах колоний на территории Северной Америки. В частности, формирование колоний и территорий, впоследствии ставших штатами, не являлось случайным или неестественным процессом. Напротив, индивидуальные колонии и поселения в Северной Америки возникли как независимые прото-государства, объединенные схожестью культур и стремлений, совершенно аналогично тому как формировались общества и государства Западной Европы.

Когда колонии в Северной Америке объединились в одно федеральное государство, возник вопрос о формировании единого федерального правительства, наделенного полномочиями, дополняющими локальные полномочия индивидуальных штатов. Одним из атрибутов федерального правительства является исполнительная власть в лице президента республики. Демократическая республика должна выбирать подобное должностное лицо в соответствии с принципами, которые отражали бы интересы населения. В США было решено, что интересы населения страны, состоящей из добровольно сформированных штатов, отражаются наилучшем образом через коллегию выборщиков.

В этой системе голосования, президент выбирается абсолютным большинством среди 538 выборщиков. Выборщики направляются из штатов, причем каждый штат в среднем имеет право на число выборщиков, отражающих населенность этого штата. Все выборщики из данного штата, направленные в коллегию, будут голосовать за одного и того же кандидата, выбранного данным штатом.

Поэтому сам процесс голосования в коллегии является формальностью, и любое отклонение от этого процесса было бы прямым нарушением демократического процесса, установленного федеральными законами США. Не зависимо от достоинств или недостатков того или иного процесса, подобная нестабильность законов отражала бы не-демократичность государства, даже если его целью являлось восстановление «справедливости», определенной тем или иным образом. Изменение правил в середине игры, особенно когда в этой «игре» вовлечены массы населения, рассчитывающие на стабильность законов своего собственного государства, не является моральным или демократическим поступком, не зависимо от теоретических соображений об «общем благе».

В то время как каждый штат определяет каким образом голосование на уровне этого штата будет решаться (и каких выборщиков этот штат в результате отправит на голосование в коллегию), в большинстве случаев этот процесс происходит по принципу классического прямого выбора наиболее популярного кандидата в данном штате. Иными словами, в случае коллегии выборщиков, популярный выбор абсолютного большинства перенесен с обще-национального уровня, на более «локальный» уровень индивидуальных штатов.

Подобное перенесение демократического процесса с «макроскопического» уровня во всей стране на «микроскопический» уровень в отдельных штатах, является своего рода ренорм-групповым потоком. Точнее, формулировка демократических принципов на индивидуальном микроскопическом уровне приводит, в процессе ренорм-группового потока, к наблюдаемому эффекту на общем макроскопическом уровне на уровне целого государства.

Рассмотрим почему такой принцип голосования наилучшим образом отражает интересы людей, добровольно поселившихся в тех или иных сообществах (или штатах) федерального государства.

Рассмотрим модель в которой государство из $$\inline N$$ избирателей разделено на $$\inline \inline K$$ штатов, так что в каждом штате живет $$\inline \inline N_i$$ избирателей. Тогда

\sum_{i=1}^K N_i = N

Допустим, что каждый избиратель голосует за одного из двух кандидатов, D или R. Мы можем классифицировать штаты по предпочтениям жителей каждого штата. Назовем штат в котором большинство (больше чем половина) избирателей голосует за D как D-штат (и будем нумеровать их индексом $$\inline i_d=1,\dots, K_d$$), а штат в котором большинство голосует за R как R-штат (и будем нумеровать их индексом $$\inline i_r=1,\dots, K_r$$). Тогда $$\inline K_d + K_r = K$$.

В общем обозначим число избирателей «за D» в штате $$\inline i$$ как $$\inline N_i^{(D)}$$, и число избирателей «за R» в штате $$\inline i$$ как $$\inline N_i^{(R)}$$.

Обозначим полное число избирателей «за D» и «за R» в R-штатах и D-штатах, где эти избиратели формируют или большинство, или меньшинство, как

N_{maj}^{(R)} = \sum_{r=1}^{K_R}N_{i_r}^{(R)}(1)

N_{min}^{(R)} = \sum_{d=1}^{K_D}N_{i_d}^{(R)}(2)

N_{min}^{(D)} = \sum_{r=1}^{K_R}N_{i_r}^{(D)}

N_{maj}^{(D)} = \sum_{d=1}^{K_D}N_{i_d}^{(D)}

Например, $$\inline N_{maj}^{(R)}$$, заданное уравнением (1), определяет полное количество избирателей «за R» в тех штатах, где эти избиратели находятся в большинстве (т.е., в R-штатах). В то время как $$\inline N_{min}^{(R)}$$, заданное уравнением (2), определяет полное количество избирателей «за R» в тех штатах, где эти избиратели находятся в меньшинстве (т.е., в D-штатах).

Полное количество избирателей «за R» и «за D» тогда выражается как сумма полного количества этих избирателей в тех штатах, где они находятся в большинстве или в меньшинстве:

N^{(R)} = N_{maj}^{(R)} + N_{min}^{(R)}

N^{(D)} = N_{maj}^{(D)} + N_{min}^{(D)}

Полное количество избирателей тогда дается выражением

N = N^{(R)} + N^{(D)}

Например, при прямом голосовании, партия R выиграет над партией D, если

N^{(R)} > N^{(D)}

т.е., если

N_{maj}^{(R)} + N_{min}^{(R)} > N_{maj}^{(D)} + N_{min}^{(D)}(3)

В случае коллегии выборщиков, каждый штат выбирает определенное количество выборщиков, которые все должны проголосовать за кандидата (D или R), набравшего большинство популярных голосов в данном штате. Число выборщиков, предоставленное данному штату, отражает населенность штата. Рассмотрим ситуацию, когда число выборщиков $$\inline \alpha N_i$$ штата $$\inline i$$ пропорционально числу избирателей $$\inline N_i$$ в данном штате (конечно же разбиение полного числа избирателей $$\inline N_i$$ на $$\inline N_i^{(D)}$$ и $$\inline N_i^{(R)}$$ при этом не играет роли), с каким то коэффициентом пропорциональности (который не играет роли для дальнейших выводов).

Тогда полное число выборщиков «за R» и «за D» дается выражениями

V^{(R)} = \alpha (N_{maj}^{(R)}+N_{min}^{(D)})

V^{(D)} = \alpha (N_{maj}^{(D)}+N_{min}^{(R)})

Тогда R проиграет в выборах, если

V^{(R)} < V^{(D)}

т.е., если

-N_{maj}^{(R)}+N_{min}^{(R)} > -N_{maj}^{(D)} + N_{min}^{(D)}(4)

Из (3) и (4) вытекает, что кандидат (или партия) D выиграет при выборах по принципу коллегии выборщиков, при это проиграв полный «популярный» выбор большинства в сумме по стране, если

N_{min}^{(D)} < N_{min}^{(R)}(5)

Иными словами, подобная победа D произойдет в том случае, когда полное количество избирателей «за D» в R-штатах меньше чем полное количество избирателей «за R» в D-штатах.

Подобный результат не сложно понять интуитивно: R проиграли, потому что их избиратели расселились к тех штатах, где они были в меньшинстве. Таким образом, избиратели «за R» пополнили населенность D-штатов, увеличив пропорциональным образом число избирателей, предоставленных этим штатам. Но все эти избиратели проголосуют за D, т.к. избиратели «за R» по-прежнему в меньшинстве в этих штатах.

Подобная ситуация также отражает причину, по которой большинство штатов в США более-менее стабильно голосуют за одну партию. Для избирателей с устоявшимися политическими взглядами более выгодно расселяться среди избирателей со схожими взглядами. Сообщество единомышленников при этом стабильно по отношению к достаточно малым флуктуациям людей с противоположными взглядами.

С другой стороны, как мы обсудили выше, добровольное расселение людей по принципу схожести взглядов и так происходит естественно. Избиратели при этом находят себя среди себе-подобных. В этом случае популярное голосование в таких кластерах населения по сути сводится к гармоничному выбору в соответствии с предпочтениями, присущими данному индивидуальному сообществу.

На федеральном уровне, предпочтения данного сообщества демократически отражаются количеством жителей в этом сообществе. Поэтому каждое сообщество получает пропорциональное количество выборщиков, и эти выборщики будут представлять гармоничные интересы в данном сообществе.

Заметим, что ситуация, при которой партия (или кандидат) выигрывает в коллегии выборщиков, но проигрывает в популярном голосовании, устанавливает соотношение (5) между меньшинствами избирателей этих партий.

С другой стороны, если партия выигрывает и в коллегии выборщиков, и в популярном голосе, мы получаем соотношение между избирателями в тех штатах где они в большинстве. Например, R выиграет коллегию и популярный выбор, если на ряду с (3) выполняется

V^{(R)} > V^{(D)}

т.е., если

N_{maj}^{(R)} — N_{min}^{(R)} > N_{maj}^{(D)} — N_{min}^{(D)} (6)

Из (3), (6) следует

N^{(R)}_{maj} > N_{maj}^{(D)}(7)

Соотношение (7) интуитивно отражает ту ситуацию, в котором представители выигравшей партии просто находятся в абсолютном большинстве в стране.

Ключевые слова: политика | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Полит-корректность в JSTOR

30 июня 2020 года, 17:15

JSTOR это он-лайн библиотека, предоставляющая доступ к статьям из разных научных журналов. Большинство статей доступны для оплачивающих подписчиков (в частности, через университетские подписки), но некоторые статьи бесплатны, и я неоднократно пользовался этим ресурсом для того, чтобы найти нужные мне статьи, опубликованные до появления архива.

Абсолютно без исключения, все нужные мне статьи имели объективную научную значимость, и прошли через процесс рецензирования, при котором они были оценены по критериям математической точности, физической правдоподобности и консистенции, согласованности с установленным и существующим знанием, и научной оригинальности. Подобный способ оценки научных работ до сих пор практикуется в физическом сообществе среди людей, чья вовлеченность в этой области деятельности основана на персональном желании построить правильные физические модели и теории, и на личных амбициях само-утверждения при открытии этих теорий.

Карьерное продвижение обычно является либо второй по значимости целью, либо побочным результатом конкурентности, соперничества и стремления к знаниям. При отсутствии дополнительных интриг, защиты интересов произвольно-выбранных групп общества, и сложной политики, ясно, что одно желание построить карьеру в науке само по себе не достаточно. Ученый должен обладать способностью производить оригинальные и правильные результаты, имеющие ценность не зависимо от предвзятых мнений (популярных в данный момент времени среди групп населения, имеющих политическую и административную власть) и ученым практически неизменно двигают личные амбиции.

Однако, при современных обстоятельствах имеются существенные исключения к этому методу занятия наукой, и связанные с ним продвижения по карьерой лестнице в академии. JSTOR Daily, ставящая себе цель публиковать статьи и интервью о развитии науки, сочли достойным продвигать деятельность философа физики Франчески Видотто:

Francesca Vidotto: The Quantum Properties of Space-Time

Дискуссия посвящена книге, которую госпожа Видотто написала с более известным деятелем в области петлевой квантовой гравитации, по имени Карло Ровелли. Ровелли построил свою карьеру на петлевой квантовой гравитации — незначительной и экспериментально опровергнутой ветке физических гипотез — которая тем не менее по-прежнему получает не-заслуживающее внимание от беспринципных академиков, не-образованных журналистов, и не-сведущих представителей финансирующих агенств.

Всем разумным людям, профессионально занимающимся физикой, было давно понятно, что петлевая квантовая гравитация не предоставляет никаких новых знаний касательно квантования гравитационного поля, не объясняет термодинамику и парадоксы черных дыр, и не делает никаких нетривиальных количественных предсказаний, имеющий независимую математическую ценность, не говоря уже об экспериментальной значимости.

Однако, господин Ровелли по-прежнему должен получать зарплату и поддерживать репутацию эксперта в физике. К сожалению для него, этой репутации у него никогда не было среди физиков, которые по-старинке основывают свои мнения о коллегах на критериях научной правильности их теорий. Однако, к счастью для Ровелли, он живет во времена когда «разнообразие» мнений (т.е., правильных как и неправильных) ценится в кругах прогрессивного общества, так же как и «разнообразие» культур (независимо от ценностей этих культур и их зарекомендованной успешности).

«Разнообразие культур» конечно же вовсе не пытается утвердить никакое разнообразие. За этими ключевыми словами стоит фанатическое стремление к поиску жертв и провозглашению истерических утверждений о социальных несправедливостях, падающих на головы совершенно произвольно выбранных групп населения (обычно не имеющих ничего общего с группами, реально испытывающими притеснение и несправедливость). В лучших традициях левой политической идеологии, используемая терминология обозначает диаметрально противоположный смысл, и политика «разнообразия» на самом деле силой насаждает конформность к только одному «правильному» методу мышления и разрешенной партийной идеологии. Я оставлю это в качестве упражнения для читателей, посчитать количество бонусных очков, набранных госпожой Видотто в игре о воображаемых несправедливостях.

Несколько лет назад, Ровелли привлек свою бывшую аспирантку Видотто, само-провозглашенного меж-дисиплинарного эксперта в феминистической философии, к написанию книги

Covariant Loop Quantum Gravity : An Elementary Introduction to Quantum Gravity and Spinfoam Theory.

На основании этой невероятно прорывной книги, JSTOR DAILY сочли нужным провести интервью с Франческой Видотто, и не теряя время понакидать ей вопросы о теории струн, физических методах, философии физики, и черных дырах. Можно было бы пожалеть читателей подобных интервью, в данном случае явно обманутых, если бы мы знали что их целью было получение твердых знаний, а не поощрение любимой политической идеологии.

На всякий случай замечу сразу, что так называемая «философия физики» никогда в истории не имела научной ценности сама по себе. Труды чистых философов практически неизменно сводились к неразборчивым фантазиям, и мало отличались от плохо-сформулированных литературных рассуждений или бессмысленных религиозных сочинений. В те времена, когда физики занимались философией, например в дискуссиях между Бором и Эйнштейном, философия не являлась ни ключевым, ни единственным аспектом дискуссий.

Дискуссии неизменно судились по математической правильности, и экспериментальной правдоподобности. Конструкции, которые предлагал Эйнштейн, в качестве попыток продемонстрировать отсутвие само-согласованности квантовой механики, имели как правило характер мысленных экспериментов и математических моделей. Эти модели тщательно исследовались Бором, Гейзенбергом, и прочими, которые впоследствии показывали Эйнштейну, опять же как правило применяя математические выкладки, где именно он был не прав. Одним из таких продуктов «философских» соображений Эйнштейна является статья Эйнштейна-Подольского-Розена, сейчас известная как одна из основополагающих работ в экспериментально подтвержденной теории квантовой запутанности.

Не все философские соображения известных ученых имели научную значимость. Взгляды Аристотеля на классическую механику, в частности его соображения об идеальном движении, происходящем по круговой траектории, долгое время не были подвергнуты научному методу сравнения с экспериментальными наблюдениями. Подобные неправильные мнения Аристотеля были случайно выбраны представителями церковной бюрократии на протяжении многих веков как единственно правильные, и подвергать их сомнению считалось преступлением. Ряд мнений, распространенных в современном обществе, также совершенно аналогично защищены политической силой, и их критика считается ересью, наказуемой соответственно.

Стоит заметить, однако, что основополагающие комментарии Аристотеля в сфере логики, философии закона, и общества, не потеряли свою значимость до сих пор, по крайней мере среди людей ценящих знания, а не готовых на скорую руку обменять их на невежественные комментарии охмуренных современников. В то время как философские и феминистические комментарии Франчески Видотто являются оппортунистическим повторением мнений, которые выживают сейчас только потому что они благоприятно резонируют с современными трендами и настроениями, а их критика задавливается правящей идеологией.

Итак, журналистка Ивон Бэнг (которая также брала интервью у Ли Смолина, другого само-провозглашенного гения физики), сделала предсказуемое и безопасное решение проинтервировать Франческу Видотто. Сложно себе представить, чтобы в современной атмосфере полит-корректности такое интервью бы не опубликовали. При этом можно совершенно не беспокоиться ни об оригинальности содержания интервью, ни о степени его научной точности. И действительно, ответы Франчески не блестят ни тем ни другим. Рассмотрим некоторые из них.

Вот какие красочное видение было дано журналисткой Ивон Бэнг:

Bang: As Vidotto and fellow theoretical physicist Carlo Rovelli put it in their book, Covariant Loop Quantum Gravity, the “problem with quantum gravity is simply the fact that the current theories are not capable of describing the quantum behaviour of the gravitational field.”

Это просто не верно. Объединение квантовой механики и теории гравитации в принципе было достигнуто в теории струн почти 50 лет назад. В основополагающей статье Шварца и Шерка было замечено что теория струн, тогда молодая теория выдвигаемая в качестве кандидата описания феноменологии сильных взаимодействий, предсказывает существования квантов поля со спином 2. В классическом пределе (т.е. в пределе слабого гравитационного взаимодействия) это поле описывается уравнениями Эйнштейна. Игнорирования этого факта является примером комбинации невежественности, научной беспринципности, и религиозной веры в предвзятые мнения.

Одним из наиболее успешных примеров квантования гравитации в теории струн является AdS/CFT соответствие, которое предсказывает точную дуальность между квантовой теорией гравитации в пространстве анти-де Ситтера, и конформной теорией поля на границе этого пространства. Колоссальное количество нетривиальных расчетов в пользу AdS/CFT соответствия играет существенную роль в аргументе описания квантования гравитации методами теории струн.

Bang: According to Vidotto, loop quantum gravity may be the key to understanding exactly how it works.

К сожалению, фантазии Видотто (и Ровелли, а также Ли Смолина и других пропагандистов петлевой квантовой гравитации), в реальности добавили ровно ноль к нашему пониманию как ведет себя квантовая гравитация.

Bang: Vidotto has been pondering questions like these since at least the age of 12, when she read Stephen Hawking’s A Brief History of Time. Riding her bike across the cobbled streets of her hometown in Treviso, Italy, she was struck one sunny morning with the conviction that questions about time, physics, and the universe were the kinds of questions she wanted to think about for the rest of her life. And so she has, partnering with giants in the field like Rovelli, her frequent collaborator, on theories like loop quantum gravity and spin foam.

Подобные трогательные истории обычно сопровождают биографии крупных ученых, достигших признанных и полезных открытий. Просто наличие бонусных очков «социальной несправедливости», и посредственная академическая карьера, лишают истории о любознательном детстве всякого значения. Особенно в виду того что, даже по признанию журналистки, карьера Видотто основана главным образом на ее решении связать с себя с «гигантом» Ровелли.

Vidotto: Why are there so few women in science? The most effective actions are when girls are really young. There are studies that show how stereotypes get ingrained when girls are just eight years old, so we have to do something before that.

Несмотря на то что эта фраза является шаблонным полит-корректным провозглашением, доведенным до рефлекса среди беспринципных академиков, она совершенно неправильна. Значительно более важным аспектом является деятельность идеологов вроде Видотто, которые со всех сил стараются пропихивать направления вроде «феминистической философии», как предпочтительный выбор области деятельности для представительниц женского пола. Альтернатива в виде петлевой квантовой гравитации тоже навряд ли поможет существенному продвижению женщин в STEM.

Vidotto: So the theory I work with, quantum gravity, is a very promising candidate for a theory that provides a description of the quantum properties of space-time. [...] So my obsession since the beginning of my research was to try to use this theory, try to use quantum gravity, to study these fluctuations. This has been a long journey, but we have come to some important advances using numerical techniques.

Подобная формулировка может легко ввести в заблуждения читателей. Квантовая гравитация — это физическая теория, которая описывает гравитационное поле в режиме сильного взаимодействия, когда квантово-механические явления имеют существенную роль. Моя правильная формулировка обозначает квантовую гравитацию как принцип, а не как много-обещающий кандидат!

Vidotto: Loop quantum gravity is a theory with the goal of describing the quantum properties of space-time.

Ну да, это отличие петлевой квантовой гравитации от «просто» квантовой гравитации? :)

Vidotto: So geometrical quantities are, for instance, area, volume, angle, and so on. If you try to measure these quantities at the fundamental level, you would see that they appear with only certain values and with jumps between those values.

Ну это просто вранье. Дискретное пространство-время, постулируемое петлевой квантовой гравитацией, конечно же никто никогда не мерил. Если бы это было так, мы бы видели по крайней мере Нобелевские премии, присуждаемые за эту деятельность. В виду беспринципной полит-корректности Нобелевского комитета, не думаю что они бы упустили возможность выдать еще одну незаслуженную награду людям вроде Франчески Видотто.

Планковская длина, определяющая минимальный масштаб длины, на котором допустимы классические представления о пространстве-времени, не имеет ничего общего с полу-классическими игрушечными построениями в дискретных моделях петлевой квантовой гравитации. Ничего не говоря о том, что никто никогда не делал экспериментальных наблюдений на планковском масштабе! Так что ответ Видотто не просто является враньем об экспериментальном статусе петлевой квантовой гравитации, но и проявляет принципиальное непонимание квантовой физики!

Vidotto: We use certain terms and if you just check in the physics literature for string theory, you will find the exact same terminology. This means that both communities are somehow using the same things, and I think we are converging on the realization that some tools, some mathematical tools, are very useful to both sides. But we have different perspectives on how to implement them.

Этот комментарий был предложен Видотто в качестве ответа на вопрос о различиях между теорией струн и петлевой квантовой гравитацией. Конечно же подобный ответ, для формулировки которого не нужно обладать ровным счетом никакими знаниями теории струн в частности, и физики вообще, очередной раз проявляет посредственность знаний Видотто. Например, и в теории струн, и в петлевой квантовой гравитации, можно найти понятия вроде «интеграл по путям», или «пространство-время». Но подобное поверхностное сравнение двух дисциплин не проясняет ровным счетом ничего об их взаимных позициях!

Vidotto: String theory doesn’t really include a well-defined theory of quantum gravity. It was born to answer other questions, like unification of forces and naturalness and so on. As a by-product it was supposed to have a quantum theory of gravity in its belly. When evaluating string theory, you should be careful, because you have to be clear about what the questions are that you want to answer with that theory. With loop quantum gravity, it is easier, because loop quantum gravity is born to answer one question, that is, “How do we quantize gravity?” It’s a bit more of a humble question with respect to the other ones. I also think that because the question is more precise, we have been most successful with respect to that particular goal.

В реальности, исторические сноски о том, как возникла та или иная теория, не имеют никакого отношения к научной правильности теории. Например, нам вовсе не обязательно пересказывать анекдот про яблоко, когда мы рассказываем про закон всемирного тяготения Ньютона. Или, нам вовсе не обязательно задумываться о том, что космический микроволновый фон был открыт случайно.

Просто потому что теория «родилась чтобы ответить на другие вопросы» не означает что она будет отвечать на те вопросы! Логика госпожи Видотто сравнима с требованием того, чтобы научное содержание физических статей сопровождалось детальным описанием их авторов о личных обстоятельствах, при которых они писали статью или делали соответствующие вычисления.

И конечно же, спасибо гению Видотто, мы наконец то знаем, что цель это именно проквантовать гравитацию! Иными словами, вот суть интервью: «-В чем достижение вашей деятельности в петлевой квантовой гравитации по сравнению с теорией струн?» «- В том что мы поняли, что надо поставить цель проквантовать гравитацию». А, спасибо!



В завершении, стоит заметить, что построить фейковую карьеру в области петлевой квантовой гравитации значительно проще, чем в области теории струн. Это потому, что стандарты теории струн, в основном, по-прежнему подразумевают оценку коллег по уровню их объективных научных достижений. Такие стандарты хорошо применимы в теории струн, потому что теория струн, как дисциплина, сама отвечает стандартам научной правильности физической теории. Хорошо определенная деятельность значительно облегчает установление справедливой системы меритократии для оценки практикантов этой деятельности.

Почему такие стандарты не применяются в области петлевой квантовой гравитации? Потому что петлевая квантовая гравитация не является хорошо определенной областью науки. Это просто совокупность нечетких фантазий, экспериментально опровергнутых аргументов, и беспринципных карьерных стремлений. Эти типичные свойства петлевой квантовой гравитацией, принципиально отличающие эту область от сложных наук вроде математики, или теории струн, делают ее плодородной средой для выращивания псевдо-ученых вроде Франчески Видотто. Нечеткость и неправильность области деятельности создают благоприятную почву для идеологического карьеризма в этой области. Не удивительно что госпожа Видотто, и ей подобные, также являются типичными представителями других псевдо-научных областей, вроде «феминистической философии».

Ключевые слова: политика | Оставить комментарий
Роман Парпалак

Задача о взвешенном выборе и случайной величине: единственность решения

13 июня 2020 года, 00:12

В прошлый раз мы решали задачу о взвешенной сортировке и показали, что существует функция $$f_w(x)$$, такая что максимальное значение этой функции $$\inline\max_{i=1,2,...n}\left\{f_{w_i}(x_i)\right\}$$ будет достигнуто на k-той паре $$(w_k, x_k)$$ с вероятностью, пропорциональной $$w_k$$, где $$x_i$$ — значение случайной величины, равномерно распределенной на единичном отрезке $$[0, 1]$$.

Мы потребовали непрерывности и монотонности функции $$f_w(x)$$ по $$x$$, а также зафиксировали значения на концах отрезка: $$f_w(0) = a, f_w(1) = b$$. В этих предположениях показали, что функция должна удовлетворять условию

$$ \int\limits_0^1dx_1\,f^{-1}_{w_2}\left(f_{w_1}(x_1)\right)\cdot f^{-1}_{w_3}\left(f_{w_1}(x_1)\right)\cdot\ldots\cdot f^{-1}_{w_n}\left(f_{w_1}(x_1)\right) ={w_1\over w_1+w_2+w_3+\ldots+w_n} $$(1)

для любых наборов значений $$w_i>0$$. Мы нашли целый класс подходящих под это условие функций:

$$f_w(x)=h(x^{1/w}),$$(2)

где $$h(y)$$ — любая строго монотонная функция.

Теперь докажем, что других решений у этой задачи не существует.

Теорема о единственности. Пусть для каждого значения $$w>0$$ функция $$f_w(x)$$ непрерывна и строго монотонна по $$x$$ на отрезке $$[0,1]$$, принимает на концах отрезка фиксированные значения $$f_w(0) = a, f_w(1) = b$$ и удовлетворяет (1). Тогда найдется такая строго монотонная функция $$h(y)$$, для которой выполняется тождество (2).

Доказательство будет конструктивным: мы построим конкретный пример $$h(y)$$ на основе вида функции $$f_w(x)$$.

Лемма 1. Обратная функция $$f^{-1}_w(s)$$ непрерывна по параметру $$w$$ на всем допустимом множестве значений параметра $$w>0$$.

Доказательство от противного. Пусть существует точка $$w_2$$, в которой $$f^{-1}_w(s)$$ не является непрерывной. Это значит, что

$$\exists\varepsilon>0\ \forall\delta_1>0\ \exists s\in[a,b]\ \exists w_3:|w_2-w_3|<\delta_1,\left|f^{-1}_{w_2}(s)-f^{-1}_{w_3}(s)\right|>\varepsilon.$$(3)

Так как функция $$f^{-1}_w(s)$$ непрерывна по $$s$$ на отрезке $$[a,b]$$, она равномерно непрерывна на нем в силу теоремы Кантора — Гейне. Из равномерной непрерывности следует, что $$|f^{-1}_{w_2}(s)-f^{-1}_{w_3}(s)|>\varepsilon/2$$ в некоторой $$\delta_2$$-окрестности точки $$s$$, причем $$\delta_2$$ зависит только от $$\varepsilon$$, не от $$s$$.

Аналогично функция $$f_w(x)$$ непрерывна и равномерно непрерывна на отрезке $$[0,1]$$. По $$\delta_2$$-окрестности точки $$s$$ можно найти $$\delta_3$$-окрестность точки $$x_1=f^{-1}_{w_1}(s)$$, для которой $$\left|f^{-1}_{w_2}(f_{w_1}(x_1))- f^{-1}_{w_3}(f_{w_1}(x_1))\right|>\varepsilon/2$$.

Это значит, что следующий интеграл от квадрата разности функций в соседних точках $$w_2$$ и $$w_3$$ ограничен снизу ненулевой величиной, не зависящей от $$\delta_1$$:

$$\int\limits_a^bdx\left[f^{-1}_{w_2}(f_{w_1}(x))- f^{-1}_{w_3}(f_{w_1}(x))\right]^2>{\delta_3\varepsilon^2\over 4}$$

Теперь непосредственно вычислим интеграл, раскрыв скобки и воспользовавшись условием (1):

$$ \begin{align*} &\int\limits_a^bdx\left[f^{-1}_{w_2}(f_{w_1}(x))- f^{-1}_{w_3}(f_{w_1}(x))\right]^2=\\ =&\!\int\limits_a^b\!dx\left[f^{-1}_{w_2}(f_{w_1}(x))\right]^2-2\!\int\limits_a^b\!dx\,f^{-1}_{w_2}(f_{w_1}(x))\, f^{-1}_{w_3}(f_{w_1}(x))+\!\int\limits_a^b\!dx\left[ f^{-1}_{w_3}(f_{w_1}(x))\right]^2=\\ =&{w_1\over w_1+2w_2}-2{w_1\over w_1+w_2+w_3}+{w_1\over w_1+2w_3}=\\ =&{2w_1\over(w_1+2w_2)(w_1+2w_3)(w_1+w_2+w_3)}(w_2-w_3)^2< C(w_1,w_2)\,\delta_1^2. \end{align*} $$

У нас есть оценки снизу и сверху для интеграла, обладающие очевидным свойством:

$${\delta_3\varepsilon^2\over 4} < C(w_1,w_2)\,\delta_1^2\implies\delta_1^2>{\delta_3\varepsilon^2\over 4C(w_1,w_2)}.$$

Но согласно отрицанию определения непрерывности (3) $$\delta_1$$ можно выбрать сколь угодно малым, при этом $$\varepsilon$$, $$\delta_3$$ и $$C(w_1,w_2)$$ зависят только от выбора $$w_2$$ и остаются фиксированными. Противоречие. $$\square$$

Лемма 2. Для любых значений $$k,m\in\mathbb{N}$$, $$w>0$$, $$s\in[a,b]$$ выполняется равенство

$$\left[f^{-1}_{w/k}(s)\right]^k=\left[f^{-1}_{w/m}(s)\right]^m.$$

Доказательство. Введем в (1) новую переменную $$s=f_{w_1}(x_1)$$:

$$ \int\limits_a^bds\ {\partial f^{-1}_{w_1}(s)\over\partial s}\ f^{-1}_{w_2}(s)\cdot f^{-1}_{w_3}(s)\cdot\ldots\cdot f^{-1}_{w_n}(s) ={w_1\over w_1+w_2+w_3+\ldots+w_n}. $$

Разделим набор весов $$w_2$$, $$w_3$$, … $$w_n$$ на две группы количеством $$k$$ и $$m$$, в каждой из которых веса совпадают и равны $$w/k$$ и $$w/m$$ соответственно. Тогда:

$$ \int\limits_a^bds\ {\partial f^{-1}_{w_1}(s)\over\partial s}\ \left[f^{-1}_{w/k}(s)\right]^k \left[f^{-1}_{w/m}(s)\right]^m ={w_1\over w_1+2w}\quad\forall k,m\in\mathbb{N}. $$

Последний интеграл можно интерпретировать как скалярное произведение функций $$[f^{-1}_{w/k}(s)]^k$$ и $$[f^{-1}_{w/m}(s)]^m$$ в пространстве с положительной в силу монотонности $$f^{-1}_{w_1}$$ метрикой $$\partial f^{-1}_{w_1}(s)/\partial s$$. По неравенству Коши — Буняковского скалярное произведение не превосходит произведения норм, и равенство достигается при коллинеарности сомножителей. Из последнего уравнения видно, что скалярное произведение совпадает с квадратом нормы каждого элемента. Поэтому в нашем случае имеет место равенство. Действительно, вычислим норму от квадрата разности функций:

$$ \begin{align*} &\int\limits_a^bds\ {\partial f^{-1}_{w_1}(s)\over\partial s}\ \left\{\left[f^{-1}_{w/k}(s)\right]^k- \left[f^{-1}_{w/m}(s)\right]^m\right\}^2=\\ =&\int\limits_a^bds\ {\partial f^{-1}_{w_1}(s)\over\partial s}\ \left\{\left[f^{-1}_{w/k}(s)\right]^{2k} -2\left[f^{-1}_{w/k}(s)\right]^k\left[f^{-1}_{w/m}(s)\right]^m +\left[f^{-1}_{w/m}(s)\right]^{2m}\right\}=0. \end{align*} $$

Если предполагать противное — непрерывные функции не совпадают хотя бы в одной точке — интеграл от квадрата их разности не может быть нулевым. Противоречие.

Несмотря на присутствие в выражениях производной $$\partial f^{-1}_{w_1}(s)/\partial s$$, дифференцируемость по $$s$$ в этом доказательстве не требуется. Замена переменной $$x_1$$ на $$s$$ была проведена для удобства. Аналогичные рассуждения имеют место и без замены переменных. $$\square$$

Следствие 1. Для любых значений $$r\in\mathbb{Q}_+$$, $$w>0$$, $$s\in[a,b]$$ выполняется равенство

$$f^{-1}_w(s)=\left[f^{-1}_{w/r}(s)\right]^r.$$

Доказательство. Представим положительное рациональное число $$r=m/k$$ как отношение натуральных чисел. В утверждении леммы 2 выполним замену $$w\to wk$$ и возведем обе части в степень $$1/k$$:

$$f^{-1}_w(s)=\left[f^{-1}_{wk/m}(s)\right]^{m/k}=\left[f^{-1}_{w/r}(s)\right]^r.\ \square$$

Следствие 2. Для любых значений $$p\in\mathbb{R}_+$$, $$w>0$$, $$s\in[a,b]$$ выполняется равенство

$$f^{-1}_w(s)=\left[f^{-1}_{w/p}(s)\right]^p.$$

Доказательство. Рассмотрим выражение $$[f^{-1}_{w/p}(s)]^p$$ как функцию от $$p$$. По следствию 1 в рациональных точках $$p$$ ее значение равно $$f^{-1}_w(s)$$. По лемме 1 функция непрерывна по параметру. Поэтому ее значение в иррациональных точках $$p$$ также равно $$f^{-1}_w(s)$$. $$\square$$

Доказательство теоремы. Из следствия 2 для любых $$p>0$$ выполняется равенство $$f_w(x)=f_{w/p}(x^{1/p})$$. Пусть $$p=w$$. Тогда

$$f_w(x)=f_1(x^{1/w})=h(x^{1/w}),$$

где $$h(y)\equiv f_1(y)$$ — строго монотонная функция. $$\square$$

Ключевые слова: теория вероятностей | Оставить комментарий

туда →