Заметки о теоретической физике → 2011 → 03 → 02
Роман Парпалак

Гравитация в пространстве (2+1)

2 марта 2011 года, 23:21

Мы рассмотрим некоторые особенности гравитации в трехмерном пространстве-времени (две пространственных координаты плюс время). Оказывается, такое пространство в присутствии масс локально не искривляется, однако в нем появляются глобальные топологические эффекты. Например, длина окружности, охватывающей материальную точку, меньше, чем 2πR.

Тензор Римана в (2+1)

Как известно, тензор Римана обладает следующими симметриями:

$$R_{abcd}=R_{cdab},\quad R_{abcd}=-R_{bacd}=-R_{abdc},$$

где каждый индекс пробегает значения 0, 1, 2. Непосредственным перебором легко проверить, что у тензора Римана остается 6 независимых ненулевых компонент: R0101, R0112, R0120, R1212, R1220, R2020. Число независимых компонент тензора Риччи тоже 6. Оказывается, в трехмерном пространстве-времени тензор Римана можно выразить через тензор Риччи:

$$R_{abcd}=g_{ac}Q_{bd} + g_{bd}Q_{ac}-g_{ad}Q_{bc}-g_{bc}Q_{ad},$$(1)

где QabRab − ¼gabR, RRaa.

Точечная масса

Вычислим статическую аксиально-симметричную метрику в присутствии точечной массы. Как обычно, начинаем с уравнений Эйнштейна

$$R_{ab} -{R \over 2} g_{ab} = {8 \pi G \over c^4} T_{ab}.$$

Взяв след обеих частей, получаем

$$R = -{16 \pi G \over c^4} T.$$(2)

В пустом пространстве вокруг тела Tab ≡ 0, следовательно, из (2), уравнения Эйнштейна и (1) получаем R ≡ 0, Rab ≡ 0, Rabcd ≡ 0. Таким образом, пустое пространство (2+1) должно быть локально плоским. Это, в частности, означает, что в рассматриваемом случае нет гравитационных волн.

$$\begin{tikzpicture}[line width=0.21mm,scale=1.0545] \def\re{1.2} \def\rta{0.32} \def\rtb{0.5} \def\a{310} \def\b{110} \def\c{1} \def\d{0.3} \def\lx{0.6} \def\ly{3.8} \draw (0,0) -- (\re,0) arc (0:\a:\re) -- cycle; \draw[->,very thin] (\rta,0) arc (0:\a:\rta) node[pos=0.83,below] {$2\pi\alpha$}; \draw[->,very thin] (0,0) -- (\b:\re) (\rtb,0) arc (0:\b:\rtb) node[pos=0.75,above] {$\varphi'$}; \draw[] (\lx,-\ly) arc (-105:105:0.3 and \c) -- +(-1.4,-\c) -- cycle; \draw[thin,dashed] (\lx,-\ly) arc (255:105:0.3 and \c); \end{tikzpicture}$$

Метрика такого пространства с учетом симметрий имеет следующий вид:

$$ds^2=-c^2dt^2+d\rho^2+\alpha^2\rho^2d\varphi^2,$$

где $$\alpha^2$$ — некоторая константа, а φ меняется от 0 до 2π. Введем новую угловую координату φ′ = αφ. Константа α и будет определять глобальные гравитационные эффекты. Заглядывая вперед, скажем, что α < 1. Таким образом, длина окружности, охватывающей точечную массу, будет меньше, чем 2πR.

Время входит в интервал с постоянным коэффициентом и не смешивается с другими координатами, поэтому скаляр кривизны R определяется только пространственной частью метрики.

Конический дефект

Двумерное пространство, описываемое такой метрикой, соответствует конической поверхности. В каждой точке поверхности, за исключением вершины, тензор Риччи равен нулю. В вершине имеется расходимость, связанная с расходимостью плотности энергии точечного тела.

Обычно связь между массой (которая пропорциональна коэффициенту в кривизне, задаваемой дельта-функцией) и величиной дефекта α определяется через эйлерову характеристику поверхности (которая равна сумме интеграла от кривизны по поверхности и интеграла от «внешней кривизны» границы по самой границе). Мы же пойдем более наглядным и методически более простым путем, «размывая» точечную массу.

$$\begin{tikzpicture}[line width=0.21mm,scale=1.0545] \def\c{1} \def\cc{0.5} \def\beta{6} \def\g{18} \draw (0,0) arc (-90-\beta:90+\beta:0.2 and \c) -- +(-1,-\c+\cc) arc (90+\beta:-90-\beta:0.1 and \cc) -- cycle; \draw[thin,dashed] (0,0) arc (270-\beta:90+\beta:0.2 and \c) ++(-1,-\c+\cc) arc (90+\beta:270-\beta:0.1 and \cc); \draw (-1,\c+0.489) arc (90+\g:270-\g:0.3 and 0.523); \end{tikzpicture}$$

Можно было бы рассмотреть некоторое распределение массы в ограниченной области и выяснить, как будет меняться α, когда размер области стремится к нулю. Однако мы будем действовать противоположным образом, что избавит нас от необходимости решать уравнения Эйнштейна. Деформируем коническую поверхность, «сгладив» вершину в сферический сегмент радиуса r, и выясним, какому распределению масс соответствует такое пространство.

Известно, что скаляр кривизны двумерной поверхности равен удвоенной гауссовой кривизне:

$$R = {2 K} = {2 \over r_1r_2},$$

где r1 и r2 — главные радиусы кривизны поверхности. Для сферической поверхности радиуса r скаляр кривизны R = 2/r2.

$$\begin{tikzpicture}[line width=0.4mm,scale=1.0545]\small \def\r{1.8} \coordinate[label=above left:$A$] (A) at (-0.5*\r,0.866*\r); \coordinate[label=below:$B$] (B) at (-0.5*\r,0); \coordinate[label=below left:$C$] (C1) at (-\r,0); \coordinate[label=below:$O$] (O) at (0,0); \coordinate[label=below:$P$] (P) at (-2*\r,0); \coordinate (A3) at (0,1.333*0.866*\r); \draw[thin] (0,\r) arc (90:120:\r) -- node[above] {$\rho$} (P) -- node[pos=0.625,above] {$h$} node[pos=0.19,above,inner sep=1] {$\beta$} (O) -- node[right] {$r$} (A) |- (B); \draw[] (A3) -- (A) arc (120:190:\r); \draw[line width=0.21mm,opacity=0] (-2*\r-0.2,-0.4) rectangle (0.2,2.1) \end{tikzpicture}$$

Установим некоторые геометрические соотношения. Длина окружности в основании конуса равна $$2\pi|AB|=2\pi\rho\sin\beta$$, длина той же линии на развертке конуса равна $$2\pi\alpha|AP|=2\pi\alpha\rho$$, откуда $$\alpha=\sin\beta$$. Тогда площадь $$S=2\pi r\cdot |BC|$$ сферического сегмента высоты $$|BC|=h=r(1-\sin\beta)$$ выражается как $$2\pi r^2(1-\alpha)$$.

Проинтегрируем (2):

$$\int T \sqrt{-g}\, d^2x =- {c^4 \over 16\pi G}\int R \sqrt{-g}\, d^2 x=-{c^4 \over 16\pi G}RS = -{c^4 \over 4G} (1- \alpha).$$

Учитывая аддитивность массы (отсутствие гравитационного дефекта массы следует из того, что тензор Римана в пустом пространстве нулевой и пространство локально галилеево; мы обсудим это ниже), получаем

$$mc^2 =\int {T_{00}} \sqrt{-g}\, d^2x=-\int T \sqrt{-g}\, d^2x={c^4 \over 4G} (1-\alpha) ,$$

$$\alpha =1-{4Gm \over c^2}.$$

Интеграл от скаляра кривизны по поверхности не зависит от размера области «сглаживания», поэтому полученный результат справедлив и для точечной массы, когда r → 0. Как видим, для обычных тел с положительной массой α < 1. Видно также, что масса рассматриваемого тела не может превышать величину c2/4G.

Геодезические

$$ \begin{tikzpicture}[line width=0.21mm,scale=1.0545] \def\re{1.4} \def\ri{0.7} \def\ll{1.3} \def\l{0.7} \def\a{310} \def\x{118} \draw (0,0) -- (\re,0) arc (0:\a:\re) -- cycle; \draw (0:\ri) -- +(\x:\ll) (\a:\ri) -- +(180+\x+\a:\l); \end{tikzpicture} $$

Решая систему уравнений для геодезических

$$\frac{d^2x^\lambda }{d s^2} + \Gamma^{\lambda}_{~\mu \nu }\frac{dx^\mu }{d s}\frac{dx^\nu }{d s} = 0,$$

которая в наших координатах принимает вид

$$\left\{ \begin{array}{l}\ddot{\varphi} + \dfrac{2}{r}\dot{r}\dot{\varphi}=0, \\ \ddot{r}-r\dot{\varphi}^2\alpha^2=0, \\ \end{array} \right. $$

легко убедиться в том, что геодезические для пространства с точечной массой — это прямые $$r\sim 1/\sin(\alpha\varphi)$$ на развертке конуса.

Можно спроецировать геодезические на плоскость, перпендикулярную оси конуса. Тогда получится, что точечная масса «искривляет» пространство, или «отклоняет» движущиеся частицы. Однако легко видеть, что угол «отклонения» не зависит от прицельного параметра. Таким образом, уравнения Эйнштейна в (2+1) не содержат ньютоновское тяготение как предельный случай.

Более того, как показывает изучение геодезических, в определенном смысле гравитационное взаимодействие в (2+1) отсутствует. Как видно из вышеприведенной системы, для любых r0 и φ0 «кривая» покоя r = r0, φ = φ0 является геодезической. В обычном четырехмерном случае это не так. Например, для шварцшильдовского решения не существует такой системы координат, в которой тело в любой точке оставалось бы в покое.

Обобщения

Мы убедились в том, что точечной массе в трехмерном пространстве-времени соответствует плоскость с вырезанным углом (в вершине которого сама материальная точка) и отождествленными точками на противоположных сторонах разреза. Подобная картина характерна и для нескольких точек. С каждым телом связан вырезанный угол, величина которого пропорциональна массе тела. Сумма масс всех тел также не может превышать c2/4G.

Помимо бесконечной двумерной поверхности, можно представить еще и замкнутую поверхность, топологически эквивалентную сфере. Очевидно, масса такой замкнутой Вселенной есть c2/2G. Сфера будет реализовываться в случае равномерного распределения вещества. Дискретные массы будут образовывать многогранники. Например, восемь одинаковых материальных точек могут дать куб.

Ключевые слова: гравитация

Комментарии

#1. 8 июля 2011 года, 09:32. Леонид Вулло пишет:
Было бы ещё интереснее рассмотреть проблематику наличия гравитационного дефекта масс (и изменения коэффициента пересчёта массы в энергию) уже не в пустом пространстве и попытаться сделать из этого рассмотрения более практически значимые выводы...

Например, о возможном (или не возможном) изменении меры стабильности атомов по отношению к К-захвату и так далее...
#2. 8 июля 2011 года, 12:42. пишет:
Как мне кажется, вывод об отсутствии гравитационного дефекта масс в двумерном пространстве обобщается на случай нескольких частиц и в пределе на непустое пространство вообще.
#3. 9 июля 2011 года, 08:53. пишет:
Это совпадает с мнением известного в Сети профессора Морозова, (хотя ссылок на решающие эксперименты, подтверждающие факт отсутствия гравитационного дефекта массы в общем случае он и не привёл.)

При этом он добавил, что коэффициент пересчёта массы в энергию (квадрат скорости света) повержен изменчивости под влиянием изменения гравиполя, что сильно удивило некоторых знатоков.

Так что, есть смысл осветить здесь и сейчас этот тезис подробнее и сделать вытекающие из него выводы...
#4. 9 июля 2011 года, 14:17. пишет:
А какие могут быть эксперименты в пространстве-времени (2+1)? Я специально подчеркивал, что здесь рассматриваются два пространственных и одно временное измерение.

В обычном пространстве-времени (3+1) в ОТО есть дефект масс, об этом написано в ландавшице. Да и из самых общих соображений в нерелятивистском случае должен быть гравитационный дефект масс, так как гравитационное взаимодействие мы наблюдаем непосредственно.
#5. 9 июля 2011 года, 18:56. пишет:
Разумеется, я имел в виду эксперименты по доказательству факта существования гравитационного дефекта масс в обычном пространстве-времени, ссылок на которые я пока что нигде не нашёл...

Ландавшица у меня под рукой нет. А в МТУ нет чётких указаний на то, что в ОТО прописан гравитационный дефект массы. В ранних работах Эйнштейна он точно был, но действительно ли он потом вошёл в состав ОТО?

Из самых общих соображений (сохранения энергии) в гравистатике должен быть либо гравитационный дефект массы, либо изменение коэффициента пересчёта массы в энергию.
#6. 9 июля 2011 года, 19:19. пишет:
Про гравитационный дефект масс в ОТО можно посмотреть здесь: http://ufn.ru/ru/articles/1964/11/a/
#7. 29 июля 2016 года, 13:59. пишет:
К статье Гравитация в пространстве (2+1)
Я не большой специалист в ОТО, но в процессе объяснения некоторых закономерностей в космологии возникла нестандартная метрика Шварцшильда, по типу рассмотренной Вами:
$$d{{s}^{2}}=\left( 1-\frac{{{r}_{S}}}{r} \right){{c}^{2}}d{{t}^{2}}-\frac{d{{r}^{2}}}{1-\frac{{{r}_{S}}}{r}}-\frac{1}{4}{{r}^{2}}\left( d{{\theta }^{2}}+{{\sin }^{2}}\theta \ d{{\phi }^{2}} \right)$$
Стандартная метрика Шварцильда проблему не решает.
Как трактовать возникший множитель 1/4?
Возможно ли его рассматривать как компенсация за спин 2 гравитационного поля, так чтобы на плоскости theta = pi / 2, возврат в исходную точку происходил за phi = 2 pi?
С уважением,
Канторович
#8. 29 июля 2016 года, 21:05. пишет:
В ОТО нет явной или неявной связи между спином и видом метрики. Метрика определяется источниками поля — распределением масс и энергии.

Обычная шварцшильдовская метрика без посторонних коэффициентов тоже ведь возникает в ОТО.

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 19+1?