Заметки о теоретической физике → 2011 → 03 → 06
Роман Парпалак

Ультрабуст в пространстве (2+1)

6 марта 2011 года, 10:34

В прошлый раз, говоря о (2+1)-мерной гравитации, мы нашли метрику точечной массы:

$$ds^2=-c^2dt^2+d\rho^2+\alpha^2\rho^2d\varphi^2,\quad\alpha=1-4Gm/c^2.$$(1)

Теперь попробуем вывести метрику ультрарелятивистской частицы, пролетающей мимо наблюдателя с околосветовой скоростью. Сначала мы найдем метрику движущейся материальной мочки, а затем применим операцию, называемую ультрабустом. Она заключается в одновременном устремлении скорости частицы к скорости света и массы к нулю, чтобы энергия оставалась конечной.

Лоренцев буст

Временно будем считать, что скорость света с = 1.

Для плоской метрики пространства Минковского переход в другую ИСО выполняется при помощи матрицы Лоренца Λ (такое преобразование оставляет метрику инвариантной):

$$g(v)=\Lambda^Tg\Lambda.$$(2)

Эту формулу можно применять не только к плоскому пространству, но и, например, к решению Шварцшильда. Действительно, метрика Шварцшильда асимптотически плоская, поэтому, формально проделав над ней такое преобразование, мы получим на бесконечности преобразования Лоренца из СТО. Следовательно, (2) описывает переход из системы отсчета покоя в систему, движущуюся относительно тела с постоянной скоростью.

Однако метрика (1) не является асимптотически плоской, поэтому обоснование возможности применить (2) в случае пространства (2+1) сложнее.

Для начала заменим переменные:

$$\left\{ \begin{array}{rl} x\!\!\!\!&=r\cos\varphi,\\ y\!\!\!\!&=r\sin\varphi,\\ \varepsilon\!\!\!\!&=1-\alpha^2. \end{array} $$(3)

В этих обозначениях метрика (1) принимает вид

$$g=\left[ \begin{array}{ccc} -1&0&0 \\ 0&1-{\dfrac {\varepsilon\,{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}}&{\dfrac {\varepsilon\,xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}} \\ 0&{\dfrac {\varepsilon\,xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}&1-{\dfrac {\varepsilon\,{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}} \end{array} \right] .$$

Отсюда и из (1) видно, что ε → 0, когда → 0. Когда мы уменьшаем массу точки до нуля, пространство переходит в плоское. Результат цепочки преобразований: уменьшение массы до нуля — лоренцев буст — увеличение массы до первоначального значения совпадет с результатом от простого применения формулы (2). Этим и обосновывается возможность ее применения.

Матрица Лоренца есть

$$\Lambda=\left[ \begin {array}{ccc} {\cfrac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}&-{\cfrac {v}{\sqrt {1-v^{2}}}}&0 \\ -{\cfrac{v}{\sqrt {1-{v}^{2}}}}&{\cfrac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}&0 \\ 0&0&1\end {array} \right] .$$

Несложные, но объемные вычисления, которые лучше всего поручить компьютеру, дают

$$\Lambda^Tg\Lambda=\left[\begin{array}{ccc} -1-{v^2\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&{v\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&-{v\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}\\ \noalign{\medskip}{v\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&1-{1\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&{1\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}\\ \noalign{\medskip}-{v\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}&{1\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}&1-{\varepsilon x^2 \over x^2+y^2}\end {array}\right].$$

В этом выражении x — координата в сопутствующей системе отсчета. Она связана с координатой x1 в нашей системе отсчета преобразованием Лоренца

$$x = {x_1-vt \over \sqrt{1-v^2}}.$$

Подставим ее в предыдущее выражение и получим

$$g(v)=\left[\begin{array}{ccc}-1-{v^2\varepsilon y^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&{v\varepsilon y^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left( 1-v^2 \right)}&-{v\varepsilon\left(x_1-vt\right)y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}\\ \noalign{\medskip}{v\varepsilon y^2\over \left(x_1-vt\right)^2+y^2\left( 1-v^2 \right)}&1-{\varepsilon y^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&{\varepsilon\left( x_1-vt\right)y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}\\ \noalign{\medskip}-{v\varepsilon\left( x_1-vt \right) y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&{\varepsilon\left(x_1-vt\right)y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&1-{\varepsilon\left(x_1-vt\right)^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}\end{array}\right].$$

Ультрабуст

Используем результат, полученный выше, для вывода метрики материальной точки с нулевой массой, движущейся со скоростью света.

Будем переходить к пределу  c, → 0 таким образом, чтобы энергия

$$E={mc^2 \over \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$$

материальной точки оставалась конечной. С учетом (1) и (3) легко найти, что

$$\varepsilon={8GE \over {c^4}}\sqrt {1-\dfrac{v^2}{c^2}}-{16G^2E^2 \over c^8}\left( {1-\dfrac{v^2}{c^2}} \right).$$

Кроме того, нам понадобится известное соотношение

$$\lim \limits_{a\to +0} \dfrac{a}{z^2+a^2}=\pi \delta (z).$$

В конечном итоге мы получим

$$g(c ) =\left[\begin{array}{ccc} {-c^2-\dfrac{8\pi G}{c^2}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& {\dfrac{8\pi G}{c^3}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& 0\\{\dfrac{8\pi G}{c^3}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& {1-\dfrac{8\pi G}{c^4}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& 0 \\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right] .$$

В переменных u = x1 − ct, x1 + ct интервал принимает вид

$$ds^2=-du\,dv+dy^2-\dfrac{8\pi G}{c^4}E\,\delta (u) \left| y \right|du^2.$$

Полезно сравнить этот ответ с ультрабустом в (3+1) [1]:

$$ds^2=-du\,dv+dr^2+r^2 d\theta ^2-8GE\,\delta (u) \ln r du^2.$$

Результаты отличаются функцией от перпендикулярного расстояния, входящей в коэффициент перед du2. В двумерном случае это линейная функция, а в трехмерном — логарифм. Эти функции являются функциями Грина уравнения Лапласа размерности на 2 меньше, чем размерность соответствующего пространства-времени. Как видим, результаты получились похожими.

Ссылки

[1] P. C. Aichelburg, R. U. Sexl (Vienna U.). «On the Gravitational field of a massless particle». May 1970. Published in Gen.Rel.Grav.2:303-312,1971.

[2] S. Deser, Alan R. Steif (Brandeis U.). «Gravity theories with lightlike sources in D = 3.» Published in Class.Quant.Grav.9:L153-L160,1992.

Ключевые слова: гравитация

Комментарии

#1. 8 марта 2011 года, 12:43. Михаил Гойхман пишет:
Рома, а что тебя смущает в применении Лоренца к произвольной метрике? Ясно, что в силу общей ковариантности мы всегда можем сделать замену координат, если, конечно, якобиан этой замены ненулевой. Т.е. любой обратимый диффеоморфизм всегда можно осуществить. И преобразование Лоренца — частный тому пример.
#2. 8 марта 2011 года, 13:26. пишет:
Да, конечно, можно сделать почти любую замену координат, в том числе и замену (2). Вопрос в том, будет ли новая метрика соответствовать телу, движущемуся равномерно относительно удаленного наблюдателя.

Ясно, что если метрика (пространство-время) на бесконечности плоская, то преобразования Лоренца обеспечат необходимую замену. В (2+1) это не очевидно, так как имеется глобальный топологический дефект.
#3. 8 марта 2011 года, 13:41. Михаил Гойхман пишет:
Тем не менее я как-то не вижу, чтобы твоя аргументация с устремлением массы к нулю, бустом и восстановлением массы как-то демонстрировала, что у нас на бесконечности метрика соответсвует движущемуся с пост. скоростью относительно исходной СО наблюдателю. (Ну то есть ты просто провел некую проверку состоятельности теории; ясно что в случае нулевой массы (и заряда) многие (не все) метрики становятся плоскими.) Локально этот факт работает всегда, ибо любая метрика локально плоская, и совершение локального Лоренца означает переход между разными локальными ИСО.
#4. 8 марта 2011 года, 13:52. пишет:
Однако в свое время меня эта аргументация убеждала, видимо, потому что я сам тогда ее придумал :)

В любом случае, мы всё равно уменьшаем массу тела до нуля, так что глобально метрика всё больше и больше приближается к плоской.

В свою очередь меня никак не убеждают аргументы с существованием локально инерциальных СО в контексте данной задачи. Эти локальные СО просто связаны со свободно падающими наблюдателями, и переходы между ними меня не очень интересуют. Моя задача — узнать, что будет, когда мимо меня проносится безмассовая неполяризованная частица (тогда ультрабуст дает точный ответ) или тело на околосветовой скорости (здесь получится приближение).
#5. 8 марта 2011 года, 14:32. Михаил Гойхман пишет:
Ну комментарий касательно ЛИСО просто к слову был, я и не планировал с его помощью что-то доказать касательно удаленного наблюдателся. Хотя теперь можно попробовать. Нас интересует метрика, создаваемая частицей массы m, движущейся со скоростью v (причем потом устремляем m к нулю, а v к скорости света), в некоторой точке O. В этой точке есть наблюдатель, СО, в которой он покоится, пусть будет СО-1. Рассмотрим СО-2, в которой наша частица покоится. Мы знаем, что можно перейти в такую ЛИСО, в которой метрика в точке О плоская. Такой переход обладает Лоренцевой симметрией, которая, как известно, соответсвует свободно падающим наболюдателям в О, но падающим с разными скоростями. Ну так вот, в эту ЛИСО можно попасть как переходом из СО-1, так и переходом из СО-2. В каждом случае делаем переход так, чтобы частица и наблюдатель соответственно оставались в покое. Т.е., скажем, когда переходим из СО-1 в СО-1', то в СО-1' наблюдатель в О по-прежнему в покое, а когда переходим из СО-2 в СО-2', то частица по-прежнему в покое. При этом в системах СО-1' и СО-2' метрика в О плоская. Ясно однако, что так как указанные состояния покоя не изменились, то переход из СО-1' в CО-2', так же как переход из CО-1 в СО-2, есть переход между двумя СО, движущимися относительно друг друга со скоростью v. Постолько поскольку метрика локально плоская в точке О в системах СО-1' и CО-2', то ясно, что переход осуществляется Лоренцевским бустом с параметром v. Однако, он обложен переходами в ЛИСО, как видно.
#6. 8 марта 2011 года, 14:53. пишет:
Ты мог бы новый пост написать, а не комментарий :)

Получается, я обосновывал, что можно опустить матрицы перехода в ЛИСО. Возможно, так можно делать, если пространство на бесконечности асимптотически плоское?

С точки зрения техники вычислений нам нужно понять, что после преобразования $$\Lambda^T\! g \Lambda$$ у нас не получится какая-то фигня. Например, если я возьму преобразование сферической координаты в пустом пространстве $$r' = \gamma(r-\beta t)$$, по форме напоминающее преобразование Лоренца, я получу ерунду.

Если метрика на бесконечности обращается в метрику Минковского diag(-1, 1, 1, 1), то к ней можно применять обычные преобразования Лоренца из СТО.
#7. 8 марта 2011 года, 15:01. Михаил Гойхман пишет:
Если пространство-время асимпотически плоское, то махинацию с переходом можно осуществить через нашу точку О, взятую на бесконечности. Действительно, вообще говоря матрица перехода имеет вид

$$\frac{\partial x_1}{\partial x_1'}\Lambda\frac{\partial x_2'}{\partial x_2}$$

где 1 и 2 соответсвует обозначениям СО из пред. коммента, а Л есть матрица буста. Так что если взять точку О на бесконечности, то останется только Л.
#8. 8 марта 2011 года, 15:03. Михаил Гойхман пишет:
Насчет преобразования сферической координаты в пустом пространстве — в сферических координатах метрика пустого пространства не является метрикой Минковского, поэтому подобного рода «преобразования Лоренца» не явояются ее симметрией.
#9. 8 марта 2011 года, 15:06. пишет:
В том-то и дело. Мне просто нужно было понять, какую матрицу $$\Lambda$$ взять.

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 28+2?