Заметки о теоретической физике → Ключевые слова → квантовая теория поля

квантовая теория поля

Михаил Гойхман

Полчинский: обзор дуальностей

19 декабря 2014 года, 07:42

Джо Полчинский опубликовал сегодня интересный обзор дуальностей в квантовой теории поля и теории струн:

Joseph Polchinksi Dualities

Приятного прочтения.

Ключевые слова: квантовая теория поля, M-теория | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Голографическая перенормировка С.-С. Ли

14 ноября 2013 года, 18:21

Вчера обсуждали на семинаре вот эту статью:

Sung-Sik Lee, Quantum Renormalization Group and Holography

У меня есть несколько личных комментариев касательно всего подхода, который выдвигается в этой статье.

Для начала, о чем собственно статья. Допустим у вас есть взаимодействующая квантовая теория поля. Тогда теория перенормируется. При движении из ультрафиолетового режима в инфракрасный режим осуществляется перенормировка констант связи и размерностей операторов. В инфракрасном режиме появляются новые операторы. Т.е. эффективный лагранжиан теории при низких энергиях содержит члены взаимодействия, которые отсутствовали в изначальном ультрафиолетовом лагранжиане.

С.-С. Ли хочет описать этот ренорм-групповой поток в наиболее общем виде при помощи теории гравитации в пятимерном пространстве. Разумеется, его идея основывается на AdS/CFT соответсвии и голографической перенормировке, хотя в статье вы найдете мало ссылок на методику AdS/CFT. Так или иначе, идея статьи — описать ренорм-групповой поток с помощью классической гравитации. Это полезная цель, в некотором смысле, так как ренорм-групповой поток в большей части непертурбативен и (в несуперсимметричных теориях) затруднительно много про него сказать точно.

Однако, на мой взгляд, вся идеология статьи ошибочна по ряду причин.

1. Правильный способ описать голографическую перенормировку — это использовать AdS/CFT соответствие. Ясно, что AdS/CFT соответствие описывает РГ поток в КТП с помощью классических уравнений гравитации, и потому фактически решает задачу, поставленную С.-С. Ли. Однако, есть ограничения. AdS/CFT утверждает что вы можете описывать теорию поля с помощью теории гравитации в AdS только если теория поля берется при большой константе взаимодействия тХуфта. Строго говоря — бесконечно большой. Любая конечная константа взаимодействия означает что вы должны учесть струнные поправки в AdS. Константа взаимодействия, равная 1, по порядку величины, означает что теория супрегравитации полностью неверна (вообще говоря), и нужно использовать всю теорию струн. Это элементарное AdS/CFT.

С другой стороны, калибровочная теория поля в УФ (при достаточно большом ранке калибровочной группы), скажем, КХД, свободна в УФ. Т.е. константа взаимодействия там равна нулю. Так что ультрафиолетовый режим никогда не будет описываться гравитацией в AdS. Гравитация в AdS описывает только, в лучшем случае, ИК фазу и ее окрестность.

2. Как собственно работает голографическая перенормировка в AdS/CFT? Допустим, несмотря на то что написано в предыдущем пункте, вы хотите описать весь РГ поток из УФ в ИК только с помощью теории гравитации, без использования теории струн. Это можно сделать. Чтобы это сделать вы берете конформную теорию поля при большой константе тХуфта. Такая теория дуальна теории гравитации в AdS пространстве. Т.к. теория поля конформна, она никуда не течет.

Так что вы добавляете к ней, скажем, двухследовое возмущение. Такая пертурбация включает ренормгрупповой поток, выведя теорию из критической (конформной) точки. При определенных значениях параметров теории однако включенный ренорм-групповой поток остановится в новой критической точке. Теория перетечет из одного конформного режима в другой.

Важно заметить что константа связи тХуфта в этом рассмотрении остается постоянной, не перенормируется. Перенормируется только константа двухследового взаимодействия, которое мы включили, и, возможно, все остальные константы мультиследовых взаимодействий. Принципиально важно что (односледовая) константа тХуфта всегда остается большой, и потому теория гравитации всегда остается верной. У С.С. Ли это не так, поэтому его теория поля не описывается гравитацией, а должна описываться теорией струн.

3. Классическая гравитация в AdS описывает сильную теорию поля только если теория поля берется при большом ранке калибровочной группы. Любой конечный ранк означает что гравитация в AdS должна быть квантовой. Единственная правильная квантовая теория гравитации — это теория струн, со всеми дополнительными степенями свободы, которые она приносит. С.С. Ли должен рассматривать теорию струн в AdS, если он хочет чтобы его конструкции работали.

4. Опять, рассмотрим КХД. В ультрафиолете КХД — это совсем другая теория чем КХД в ИК. В УФ КХД описывается лагранжианом СМ. Динамическими полями являются кварки и глюоны. В ИК нет кварков и глюонов, но есть мезоны, барионы, глюболы и т.д. — в силу конфайнмента ИК фаза полностью отлична от УФ фазы. Даже если предположить что С.С. Ли может ловко переключиться на описание совершенно новых степеней свободы в ИК чем в УФ (сомневаюсь), его конструкция все равно имеет принципиальную трудность.

Дело в том, что КХД обладает бесконечным числом мезонов с высшими спинами. Поэтому, собственно, AdS/QCD, где в AdS у вас теория супергравитации, никогда не сможет описать КХД. Просто потому что супергравитация в AdS не содержит полей со спином выше чем 2, и потому никогда не сможет описать мезоны с высшими спинами.

5. Резюмируя, нужно быть более аккуратным в том что такое голографическая перенормировка. Ясно, что пространство AdS дуально конформной теории поля, которая не перенормируется. Пространство, которое только асимптотически является AdS, может описывать РГ поток, так что радиальная координата AdS соответсвует масштабу энергии теории поля. Например, AdS-солитон — пространство, которое асимптотически AdS с «двух сторон» — вблизи границы и горизонта Пуанкаре. Такое пространство описывает поток из одной конформной теории поля (в УФ) в другую конформную теорию поля (в ИК).

Однако, не всякое пространство, которое асимпотически AdS, описывает РГ поток. Скажем, (заряженная) черная дыра в AdS не описывает РГ поток. Она описывает конформную теорию поля в которой включена температура (и добавлен заряд). Она описывает одну фиксированную точку РГ потока, а не весь поток! Пространство AdS с ИК стенкой тоже не описывает РГ поток. Оно описывает ИК фазу КХД с нарушенной конформной симметрией.

6. Ренорм-групповой поток — это квантовое свойство теории поля. В классической теории поля все диаграммы — древесные, петель с виртуальными частицами нет, так что теория не перенормируется. Я сильно подозреваю, что подход Малдасены-Сасскинда для описания квантовых свойств теории поля с помощью голографически-дуальной классической теории значительно более полезен чем подход С.С. Ли. Как, скажем, в этой статье описывается запутанная пара квар-анти-кварк в рамках AdS/CFT соответствия.

Ключевые слова: AdS/CFT, квантовая теория поля | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Конфайнмент и теория струн

28 сентября 2013 года, 01:13

Если у вас есть четыре часа времени, можете посмотреть три лекции Дэвида Кутасова в Институте Исаака Ньютона, прочитанные в сентябре 2007 года.

Лекции посвящены описанию конфайнмента в теории Янга-Миллса (без суперсимметрии) при помощи теории струн. В том числе объясняется известная статья Виттена, голографическое вычисление энтропии запутывания и модель Сакай-Сугимото.

Ключевые слова: квантовая теория поля, AdS/CFT | Комментарии (5)
Михаил Гойхман

GUT

15 сентября 2013 года, 18:12

Интересный обзор Виттена о теориях великого объединения:

Edward Witten, Quest for Unification

Стандартный материал, конечно, но может кому то будет полезно.

Я кстати писал про модель Джорджи-Глэшоу. Конечно рекомендую прочитать Любоша Мотла на эту же тему.

Ключевые слова: квантовая теория поля, суперсимметрия, МССМ | Комментарии (4)
Михаил Гойхман

Дуальность Зайберга: сопоставление аномалий

28 мая 2013 года, 19:02

1. Будем иметь дело с N=1 суперсимметричной SU(N) калибровочной теорией поля с F киральными суперполями (кварками) Aif, f=1,…F, i=1,…N материи в фундаментальном представлении калибровочной группы, и F киральными суперполями (анти-кварками) Bjf, f=1,…,F,j=1,…,N в анти-фундаментальном представлении калибровочной группы SU(N). В том случае когда F>N+1, данная теория S-дуальна (т.е. если одна теория сильно-взаимодействующая, то дуальная теория слабо-взаимодействующая) другой калибровочной N=1 суперсимметричной теории поля с материей. Две дуальные теории эквивалентны в ИК режиме.

Дуальная теория поля имеет калибровочную группу SU(F-N). Полями материи являются киральные суперполя aif, f=1,…F, i=1,…F-N в фундаментальном представлении калибровочной группы, и киральные суперполя bjff=1,…,F,j=1,…,F-N в анти-фундаментальном представлении калибровочной группы SU(F-N). А также мезонное суперполе Mef, в фундаментальном представлении ароматной группы глобальной симметрии SU(F)L (индекс e) и анти-фундаментальном представлении ароматной группы SU(F)R (индекс f). Обратите внимание, что мезонное суперполе фундаментально, а не является композитным полем из двух кварков.

Зайберг-дуальность была показана Зайбергом в этой статье:

N. Seiberg, Electric-Magnetic Duality in Supersymmetric Non-Abelian Gauge Theories

Дуальные теории должны иметь одинаковую группу глобальных симметрий, свободную от аномалий. Группой глобальных симметрий является прямое произведение лево-киральной и право-киральной ароматных групп, группы барионного заряда и группы преобразований R-симметрии:

$$SU(F)_L\times SU(F)_R\times U(1)_B\times U(1)_R$$

Каждое киральное поле, Aif, живет в фундаментальном представлении ароматной группы SU(F)L, вращающей индекс f, и является синглетом группы SU(F)R. Каждое киральное анти-поле, Bif, будучи эквивалентным анти-киральному полю (эквивалентным посредством обычного комплексного сопряжения; комплексное сопряжение спинора четырехмерии меняет киральность спинора на противоположную; ну и очевидно что все заряды поля при этом тоже меняет знак, т.е. частица переходит в анти-частицу), живет в анти-фундаментальном представлении SU(F)R и является синглетом SU(F)L. Для киральных суперполей a и b дуальной теории ситуация аналогичная, но с анти-фундаментальным представлением SU(F)L и фундаментальном представлением SU(F)R; почему, будет ясно ниже, на примере сопоставления SU(F)L3 аномалии.

Далее, каждое киральное и анти-киральное суперполе обладает одним и тем же барионным U(1)B зарядом. Он выбирается из тех соображений чтобы (антисимметризованное) произведение N киральных/анти-киральных суперполей (барион, являющийся синглетом калибровочной группы) имело барионный заряд 1. Тогда в исходной теории поля A,B имеют U(1)B заряд 1/N, а в Зайберг-дуальной теории поля a,b имеют U(1)B заряд 1/(F-N). Мезонное суперполе M не имеет U(1)B заряда.

N=1 суперсимметричная теория обладает группой U(1)R R-симметрий, преобразующих координаты суперпространства. Ясно что киральное поле и киральное анти-поле материи должны иметь один и тот же R-заряд, т.к. они зависят от одних и тех же киральных координат суперпространства. Тогда анти-киральное поле имеет R- заряд, противоположный R-заряду кирального поля. В результате U(1)R симметрия киральна и потому потенциально является аномальной, и нам нужно позаботиться о том, чтобы вклад в аномалию от всех киральных полей теории сокращался. U(1)R заряд суперполей материи (равный (F-N)/F) находится именно из соображения сокращения киральной U(1)R аномалии. (Обратите внимание, что поля разной киральности приеобразуются относительно U(1)B одинаковым образом, так что барионная симметрия свободна от аномалий. Также, в силу специальности киральных групп SU(F)L и SU(F)R, т.е. в силу бесследовости их генераторов, эти группы также свободны от аномалий, см. Пескина-Шредера.)

2. Про аксиальную аномалию советую почитать где-то еще, к примеру в Пескине-Шредере. Касательно U(1)R кратко напомню что происходит, т.к. это имеет отношение к главной теме поста, обсуждаемой в следующем пункте. Глобалной симметрии U(1)R соответствует сохранющийся киральный ток

$$j_R^\mu (q)=\sum _aQ_a\psi_a^\dagger\gamma^\mu\psi_a$$

где суммирование производится по всем киральным фермионам с U(1)R зарядами Qa. Формула также неявно подразумевает суммирование по всем SU(N)  цветам, когда фермионы цветные.

Рассмотрим треугольную однопетлевую диаграмму, в одной вершине которой находится этот ток, а в двух других — калибровочные бозоны теории, в данном случае это SU(N) клей (картинка отсюда):

 

Киральнй ток находится в нижней вершине (с импульсом q). В данном случае обе диаграммы пропорциональны фактору

$$\Gamma^{mn}=\sum_aQ_a{\rm Tr}(T_{r_a}^mT_{r_a}^n)$$

помноженному на интергал по импульсу в петле, одинаковый для всех фермионов (не связанный с представлением калибровочной группы и U(1)R зарядом). Опять, суммирование идет по всем киральным фермионам: фермионы бегают в петле. Фермион ψa живет в представлении ra цветной группы SU(N) с генераторами Tm, m=1,…,N2-1.

Происхождение фактора Γmn легко понять. Фиксируем один фермион ψa и посчитаем его вклад в треугольную диаграмму. Во первых, когда этот фермион пробегает мимо нижней вершины диаграммы, где сидит ток jRμ(q), он выделяет только один член из суммы по всем фермионам в выражении для этого тока, и даиграмма получает множитель Qa. Когда фермион пробегает мимо любой из двух других вершин диаграммы, он выделяет генератор Tm калибровочной группы. Фермион живет в некотором представлении этой группы, т.е. предоставляется в нескольких цветах. Суммируете по цветам, и получаете в результате трейс произведения двух SU(N) генераторов.

Индекс представления r группы SU(N) определяется как

$$T(r)\delta^{mn}={\rm Tr}(T^mT^n)$$

Так что киральная аномалия есть просто сумма произведения заряда фермиона в треугольной петле на индекс представления калибровочной группы, в котором он живет, осуществленная по всей киральной материи:

$$A=\sum_aT(r_a)Q_a$$

Возвращаясь собственно к суперсимметричной КХД, которую мы рассматриваем, мы должны просуммировать по следующей киральной материи: F кваркам с R-зарядом

(F-N)/F-1=-N/F

(заряд фермионного компонентного поля в киральном суперполе на 1 меньше чем заряд самого суперполя, т.к. в выражении для суперполя фермионное поле сворачивается с координатой суперпространства), живущим в фундаментальном представлении (T=1/2),  столько же антикваркам с тем же зарядом и в том же представлении. Глюино имеет тот же R-заряд что и координаты суперпространства, т.е. (условно) 1, для него T=N: глюино живет в присоединенном представлении. Итак,

$$A=2F\frac{1}{2}\left(-\frac{N}{F}\right)+N=0$$

Упражнение для читателей: то же самое для Зайберг-дуальной теории. Напишите одну строчку, которая докажет что для следующих R-зарядов материи Зайберг-дуальной теории аномалия U(1)R равна нулю: дуальные кварковые суперполя с R-зарядом N/F и мезонное суперполе ;) с R-зарядом 2(F-N)/F.

3. Рассмотрим теперь треугольную диаграмму во всех вершинах которой находятся токи (калибруя соответствующую глобальную симметрию, можно считать что внешние линии изображают соответствующие, теперь взаимодействующие с токами, калибровочные бозоны), картинка из Википедии

Рассуждения аналогичны произведенным в предыдущем пункте. Обозначим генератор некой глобальной группы симметрии G как ta, a=1,…,rank(G). В каждой вершине диаграммы находится по такому генератору. В общем случае в каждой вершине помещаются токи разных групп глобальных симметрий. Или в части вершин помещаются токи глобальных симметрий, а в части — калибровочные бозоны группы локальных симметрий (как выше, с током R-симметрии и двумя глюонами). Мы рассмотрим все такие случаи. 

Вдобавок, как мы сделали выше, к диграмме нужно добавить похожую диаграмму с переставленными индексами двух вершин (если в обоих вершинах токи одной и той же группы). Допустим, некий фермион живет в представлении r группы G с генераторами tar, и обладают зарядом Q относительно преобразований G. Его вклад в диаграмму тогда равен (опять же, нужно домножить этот фактор на интегал по импульсу в петле, который одинаков для всех фермионов)

$$Q{\rm Tr}(t^a_r\{t^b_r,t^c_r\})=Qd^{abc}$$

Нужно просуммировать такие факторы для всех фермионов. Легко заметить симметричность dabc по перестановке (abc). Антикоммутатор, который обеспечивает эту симметричность (вместе с симметрией трейса по отношению к циклической перестановке матриц в нем), появляется из-за того, что, как я отметил, нужно просуммировать две треугольные диаграммы, с переставленными индексами в двух вершинах.

Отнормируем все факторы dabc на таковой в фундаментальном представлении группы G.

Обратите внимание на следующее важное отличие от предыдущего пункта. След здесь берется в представлении группы глобальной симметрии G, а не локальной цветной группы SU(N), как в пункте 2. Так что вклад каждого фермиона, надо домножить на N, учтя что в петле бегут фермионы со всеми цветами и дают при этот один и тот же вклад.

3.1. Скажем, возьмем группу G=SU(F)L и поместим токи G во все три веришны треугольника: во всех трех вершинах SU(F)L3 диаграммы (степень указывает на число вершин диаграммы с током указанной группы) находятся токи лево-киральной группы SU(F)L. В петле соответственно могут бегать только те фермионы, которые преобразуются под действием SU(F)L. Это лево-киральные кварки A, они живут в фундаментальном представлении группы SU(F)L. Каждый кварк имеет N цветов, диаграмма тогда равна N.

(Я просил обратить внимание на то от каких именно матриц мы берем след при вычислении диаграммы. В данном случае учет того что у нас есть несколько ароматов кварков осуществляется тем, что мы взяли след произведения матриц ароматной SU(F)L группы. Когда мы считали аномалию U(1)R тока в п.2 мы брали след произведения генераторов калибровочной группы, а учет наличия разных ароматов сводился к домножению на фактор 2F.)

Что насчет этой диаграммы в Зайберг-дуальной теории? В ней под действием SU(F)L преобразуются F-N цветов лево-киральных кварков, но они живут в анти-фундаментальном представлении SU(F)L, как отмечалось выше. Так что каждая вершина диаграммы дает фактор -1. Дуальные кварки тогда дают вклад в диаграмму, равный (-1)3(F-N)=N-F.

Далее, Зайберг-дуальная теория также содержит киральное суперполе мезонов Mef. Оно преобразуется в фундаментальном представлении группы SU(F)L. Фермионная компонента (мезино) этого суперполя бегает в треугольной петле. Мезонное поле не имеет цвета, но индекс f принимает F значений и синглетен по отношению SU(F)L (он, однако, преобразуется в анти-фундаментальном представлении SU(F)R). Для лево-киральной SU(F)L3 диаграммы мы просто суммируем по всем значениям этого индекса домножением диаграммы на фактор F. В результате мезино дает вклад F в аномальную диаграмму.

Полный вклад всей лево-киральной материи в лево-киральную SU(F)L3 аномалию равен N-F+F=N, такой же как и для исходной суперсимметричной КХД.

Упражнение для читателей: то же самое для SU(F)R3, обратите внимание на знаки.

3.2. Доказательство равенства аномалий является проверкой состоятельности дуальности. Зайберг-дуальность устанавливает эквивалентность двух суперсимметричных калибровочных теорий с материей в ИК режиме, а не при всех масштабах энергии. Но в ИК режиме теория, вообще говоря, сильно-взаимодействующая (в случае S-дуальности одна из них сильно-взаимодействующая), и мы не знаем какие там степени свободы: поля кварков и глюонов есть только свободные асимптотические состояния в УФ.

Однако в силу условия тХуфта о сопоставлении аномалий, аномалии в ИК (полученные суммированием по ИК фермионам в петле треугольной диаграммы) равны аномалиям в УФ (полученные, как мы это сделали, суммированием вкладов фундаментальных УФ фермионных степеней свободы в петлю). Так что если теории эквивалентны в ИК (как в случае Зайбрег-дуальности), то аномалии их УФ степеней свободы (кварков и глюонов) должны быть одинаковы, в силу условия тХуфта, что мы и проверям тут. (Вообще для двух теорий, связанных S-дуальностью, довольно удобно сразу проверить утверждаемую дуальность сопоставив аномалии: это одна из простейших непертурбативных проверок, применяемых также в AdS/CFT, см., к примеру, п.9 здесь.)

3.3. Теперь рассмотрим диаграмму, аналогичную таковой в п.2. Только теперь двумя внешними калибровочными бозонами будут не глюоны, а гравитоны. В принципе, подобная диаграмма может оказаться ненулевой если в вершине с током находится U(1) ток. Действительно, при суммировании по всем фермионам с одинаковым зарядом и в данном представлении группы глобальной симметрии в петле мы получаем что диаграмма равна следу генератора группы, т.е. нулю. (Гравитоны в двух других вершинах не дают никаких генераторов.) Если это одна из специальных унитарных групп, мы сразу получаем ноль.

Рассмотрим тогда U(1)R диаграмму: треугольную диаграмму в одной вершине которой находится U(1)R ток, а в двух других — гравитоны. Начнем с SU(N) теории. У нас есть F+F кварков с R-зарядом (F-N)/F-1=-N/F. Суммирование по всем цветам для данной диаграммы означает просто домножение на N. Далее, у нас есть N2-1 глюино с R-зарядом 1. Диаграмма в результате равна

$$2FN\left(-\frac{N}{F}\right)+N^2-1=-N^2-1$$

В гравитационном инстантонном фоне U(1)R заряд не сохраняется.

Теперь рассмотрим Зайберг-дуальную SU(F-N) теорию. У нас есть F+F кварков с R-зарядом (который читателю нужно было проверить в конце п.2.) равным N/F-1, и их вклад нужно помножить на количество F-N возможных цветов. У нас есть (F-N)2-1 глюино с R-зарядом 1. И у нас есть мезино с R-зарядом 2(F-N)/F-1. Мезино живет в фундаменталном представлении SU(F)L и анти-фундаментальном представлении SU(F)R. Для рассматриваемой U(1)R диаграммы это просто означает, что у нас F2 мезино, каждый из которых дает один и тот же вклад в аномалию. Суммируем:

$$2F(F-N)\left(\frac{N}{F}-1\right)+(F-N)^2-1+F^2\left(\frac{2(F-N)}{F}-1\right)=-N^2-1$$

Тривиальное упражнение для читателей: то же самое для U(1)B и двух гравитонов.

3.4. Рассмотрим теперь U(1)RSU(F)L2 треугольную диаграмму: в одной вершине имеется U(1)R ток, в двух других SU(F)L токи; нужно добавить также присутствующую в природе диаграмму в которой индексы присоединенного представления SU(F)L в двух SU(F)L вершинах переставлены. Две SU(F)L вершины дают фактор

$${\rm Tr}(T_r^mT_r^n)=T(r)\delta^{mn}$$

когда в петле бежит фермион в представлении r группы SU(F)L. Если этот фермион имеет R-заряд Q, то пробегая через вершину диаграммы с U(1)R током он цепляет фактор Q, так что вклад фермиона в диаграмму равен

$$QT(r)$$

Начнем с SU(N) теории. У нас имеется кварки в фундаментальном представлени SU(F)L, для которых T(r)=1/2 и R-заряд равен (F-N)/F-1=-N/F. Каждый кварк имеет N цветов, так что вклад  в диаграмму от кварка домножается на N. Больше никакие фермионы в петле такой диаграммы не бегают, так что U(1)RSU(F)L2 аномалия равна

$$N\frac{1}{2}\left(-\frac{N}{F}\right)=-\frac{N^2}{2F}$$

Теперь рассмотрим SU(F-N) Зайберг-дуальную теорию. У нас имеется кварки в анти-фундаментальном представлении SU(F)L («анти» в данном случае роли не играет: у нас две SU(F)L вершины, общий вклад «анти» от которых равен (-1)2=1), T=1/2; каждый кварк имеет R-заряд N/F-1 и существует в F-N цветах. Далее, у нас есть мезино в фундаментальном представлении SU(F)L, по фундаменталному SU(F)R индексу мезино мы суммируем в данной диаграмме путем обычного домножения на F. R-заряд мезино равен 2(F-N)/F-1. В результате, U(1)RSU(F)L2 аномалия Зайберг-дуальной теории равна

$$(F-N)\frac{1}{2}\left(\frac{N}{F}-1\right)+F\frac{1}{2}\left(\frac{2(F-N)}{F}-1\right)=-\frac{N^2}{2F}$$

Упражнение для читателей: то же самое для U(1)BSU(F)L2 аномалии.

3.5. Бонусные упражнения: сопоставить U(1)B3, U(1)R3, U(1)BU(1)R2 и U(1)RU(1)B2 аномалии :)

Ключевые слова: суперсимметричная теория поля, квантовая теория поля, суперсимметрия, задачи | Комментарии (2)
Михаил Гойхман

Теория Клебанова-Виттена

15 мая 2013 года, 00:22

Под теорией Клебанова-Виттена подразумевается соответствие между теорией струн в AdS5×X5 и N=1 суперсимметричной калибровочной теорией поля. Основы теории были положены в этой статье:

I.R. Klebanov, E. Witten Superconformal Field Theory on Threebranes at a Calabi-Yau Singularity

Это одна из наиболее интересных статей в теорфизике; за последние 15 лет она набрала более 730 цитирований. В любом случае это крайне примечательный пример применения AdS/CFT соответствия: со стороны теории поля (в данном случае N=1 SUSY калибровочной теории) известен ряд нетривиальных непертурбативных результатов, которые в точности подтверждаются вычислениями со стороны теории гравитации в AdS. Несколько феноменологическим ответвлением этой области деятельности является AdS/QCD соответствие, тоже крайне интересное применение голографии. Для полноты напомню что есть, наконец, AdS/CMT соотетствие (CMT означает condensed matter theory), которое выявляет наиболее общие и формальные свойства физики конденсированных сред.

Это длинный пост, местами я буду делать значительные ответления, разъясняя те вещи, которые нужно знать чтобы понять статью Клебанова-Виттена.

1. Напомню что исходным классическим примером AdS/CFT соответствия является соответствие между теорией струн в пространстве AdS5×S5 и N=4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса. При этом количество суперсимметрий (равное, разумеется, по обе стороны соответствия) максимально: 32 суперсимметрии. Это число максимально если вы хотите объединять в мультиплеты поля со спином не выше 2 (для теории в объеме, где есть гравитация) и поля со спином не выше 1 (для теории на границе, являющейся низкоэнергетическим приближением открытых струн, и потому не обладающей гравитацией).

В объеме — пространстве AdS5×S5 — группу симметрий легко увидеть посмотрев на группу изометрий пространства-времени, расширенного впоследствии до суперпространства. Группа симметрий сферы S5 — это группа SO(6) вращений шестимерного пространства, в которое эта сфера погружается. Пространство AdS5 явялется другим пятимерным пространством с макисмальным количеством симметрий (пятнадцать), группой симметрий является SO(2,4). Далее, в формализме Грина-Шварца для описания суперструны типа-IIB к десяти пространственным координатам нужно добавить два спинора в D=10, одинаковой киральности; каждый спинор (Майорана-Вейлевский спинор) имеет 16 вещественных компонент. Полная группа (супер)симметрий суперпространства  AdS5×S5 поотому есть SU(2,2|4). Мы воспользовались тем фактом что SU(4)~SO(6) и SU(2,2)~SO(2,4).

С другой стороны, суперсимметричная N=4 D=4 теория Янга — Миллса на границе AdS имеет бозонную группу конформных преобразований симметрии SO(2,4) и группу R-симметрий, вращающий 4 суперзаряда (по четыре компоненты каждый), SO(6). Коммутирование четырех суперзарядов с генераторами специальных конфромных преобразований порождает еще 4 суперзаряда — генераторы суперконформных преобразований (другой способ увидеть появление четырех дополнительных суперзарядов основывается на размерности спинорного представления группы SO(2,4), которое вдвое больше спинорного представления группы SO(1,3)). Полная группа (супер)симметрий в результате та же что и в объеме, SU(2,2|4), с точки зрения теории поля это N=4 суперконформная группа в четырехмерии. Заметим в частности что R-симметрия SU(4) теории поля на границе реализуется как группа симметрий внутреннего пространства — сферы S5 — теории в объеме.

2. Теория Клебанова-Виттена занимается голографическим описанием N=1 суперсимметричной теории, суперконформная группа при этом есть SU(2,2|1), где бозонная подгруппа U(1) есть группа R-симметрий. Таким образом, нам нужно нарушить 3/4 суперсимметрий N=4 суперсимметричной теории. Например, шесть измерений теории суперструн можно компактифицировать на многообразие Калаби-Яу (с SU(3) группой голономий), нарушающее как раз 3/4 суперсимметрий, в результате чего эффективная теория в D=4 оказывается N=1 суперсииметричной, и из нее уже можно начать выводить феноменологию МССМ. При этом используются, естественно, компактные многообразия Калаби-Яу.

Примером многообразий Калаби-Яу являются орбифолды. Например тор. Другой пример это когда многообразие Калаби-Яу имеет коническую сингулярность, тогда окрестность сингулярности конуса есть кусок компактного многообразия Калаби-Яу (весь конус некомпактен). Шестимерный конус имеет пятимерное основание и одну радиальную координату. В точке где радиальная координата равна нулю, имеется коническая сингулярность: окрестность этой точки не может быть отображена на плоское шестимерное пространство. Конус, построенный с помощью цилической группы являющейся подгруппой группы SU(3), сохраняет только два суперзаряда. В шестиметрии имеется восемь суперзарядов, поэтому конус нарушает как раз 3/4 суперсимметрий. Конус и используется в теории Клебанова-Виттена для нарушения 3/4 суперсимметрий в объеме.

Десятимерное решение IIB супергравитации должно иметь форму AdS5×X5. Настоящее решение — решение стопки экстремальных черных 3-бран —  записано ниже, произведение AdS5×X5 — это геометрия вблизи горизонта стопки бран; граница AdS соответствует горизонту стопки бран. Причем собственно AdS появляется вблизи горизонта бран, а вот X5 видно всегда.  Наличие пятимерного подпространства AdS необходимо для существования дуальной конформной теории поля. Посмотрим какие простые решения уравнений IIB супергравитации (какую метрику) можно получить для X5. Потребуем чтобы  X5 было пространством Эйнштейна, т.е. чтобы для него тензор Риччи был пропорционален метрике. Скажем, плоское пространство есть пространство Эйнштейна с коэффициентом пропорциональности ноль, для AdS этот коэффициент равен -4, для сферы S5 и для основания X5 шестимерного конуса (я использую одно и то же обозначение для наиболее общего пятимерного компактного подпространства и для основания пятимерного конуса, которое используется в теории Клебанова-Виттена ;) ), который мы построим ниже, он равен 4.

Причина по который мы хотим чтобы пятимерное компактное пространство X5 было пространством Эйнштейна состоит в том что мы ищем простые решения уравнений супергравитации. Допустим все динамические поля это метрика и напряженность F5  RR-поля C4. Как  в случае AdS5×S5  решения N единиц поля F5  пронизывают X5 . Это следует из того что для AdS части решения поле  F5  необходимо: т.е. для создания AdS геометрии это поле точно должно быть поляризовано в направлении AdS, т.е. Ftxyzr0. Но это поле самодуально, так что независимо от X5 всегда имеется один и тот же поток F5  также и через X5. Сфера является пространством Эйнштейна с Rij=4gij. Она решает соответствующие уравнения Эйнштейна с F5  в качестве материи. Для основания шестимерного конуса также имеет место Rij=4gij. Так что различие между  AdS5×Sи AdS5×X5 сводится к различию в масштабах кривизны.

Более конкретно, интересующим нас решением IIB супергравитации является некое заданное поле F5 и метрика

$$ds^2=H^{-1/2}(r)(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)+H^{1/2}ds_6^2$$

где как и для AdS5×S5

$$H=1+\frac{L^4}{r^4}$$

только на этот раз ds62 есть метрика на конусе (ds52 есть метрика на X5)

$$ds_6^2=dr^2+r^2ds_5^2$$

Масштаб кривизны в объеме определяется следующим образом:

$$\left(\frac{L}{\ell_s}\right)^4=\frac{N\sqrt{\pi}}{{\rm Vol}(X_5)}$$

Вблизи r=0 (приближении супергравитации, т.е. пренебрежение струнностью: $$\ell_s/L\ll 1$$) метрика принимает вид AdS5×X5:

$$ds^2=\frac{r^2}{L^2}(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)+L^2\frac{dr^2}{r^2}+L^2ds_5^2$$

Итак, вот что происходит. Берутся бозонные уравнения IIB-супергравитации. К ним находится решение, которое вблизи r=0 выглядит как AdS5×X— произведение AdS и основания конуса X5. Физически сингулярная точка объясняется наличием стопки 3-бран в ней (стопка бран также объясняет наличие потока поля F5). Голографически дуальная теория тогда живет на мировом объеме стопки D3-бран, локализованных на конической сингулярности. Причем если группа голономий конуса есть SU(3) (из того что конус является Риччи-плоским многообразием следует что группа голономий есть либо SU(3) либо ее подгруппа) то одна четверть суперсимметрий сохраняется, так что дуальная теория поля (теория на мировом объеме D3-бран в низкоэнергетическом пределе) обладает N=1 суперсимметрий.

Клебанов-Виттен кстати явно показывают как уравнение на спинор Киллинга на шестимерном конусе (их уравнение (5)) эквивалентно уравнению на спинор Киллинга на основании конуса (6), причем в последнем имеется нетривиальный вклад от F5. Напомню для полноты что уравнение на спинор Киллинга η есть уравнение $$\nabla\eta=0$$. Если имеются нетривиальные p-формы, вроде F5, то они тоже дают вклад в это уравнение. Суть состоит в том чтобы преобразование суперсимметрии для гравитино равнялась нулю.  Уравнение Киллинга определяет какие параметры преобразования суперсимметрии удовлетворяют этому свойству. Эти же спиноры тривиально преобразуются при действии группы голономий. Максимальная группа голономий в шести измерениях есть SO(6)~SU(4), так что для Калаби-Яу с группой голономий SU(3) только один (из четырех комплексно-значных) спиноров не преобразуется под действием группы голономий.

3. Есть теорема, согласно которой пятимерное пространство является пространством Эйнштейна тогда и только тогда когда шестимерный конус, построенный с этим пятимерным пространством в качестве основания, является Риччи-плоским. Это акутальная теорема, т.к. мы знаем что шестимерный конус сохраняет 1/4 суперсимметрий и потому является трехмерным многообразием Калаби-Яу. Следовательно, он является Риччи-плоским. Так или иначе, напрямую эта теорема доказывается в общем следующим образом. Рассмотрим конус, с интервалом

$$ds^2=h_{mn}dx^mdx^n=dr^2+r^2g_{ij}dx^idx^j$$

Сделаем замену радиальной координаты, r=eφ(r), после чего запишем компоненты метрического тензора:

$$h_{\phi\phi}=e^{2\phi}\,,\quad h_{ij}=e^{2\phi}g_{ij}\,,\quad h_{\phi i}=0$$

где индексы $$i,j\neq \phi$$ принимают n-1 значений. Совершим конформное преобразование метрики

$$\hat{h}_{mn}=e^{-\phi}h_{mn}$$

где индексы m,n ринимают n значений.

Теперь вспомним что в общем, если $$\hat{h}_{ab}=\Omega^2h_{ab}$$, то тогда в n-мерном пространстве

$$R_{bd}=\Omega^2\hat{R}_{bd}+(n-2)\Omega\Omega_{;b;d}-\frac{1}{n-2}\Omega^n(\Omega^{2-n})_{;a}^{;a}\hat{h}_{bd}$$

Здесь слева записан тензор Риччи в метрике $$h_{ab}$$, в то время как справа все (в том числе ковариантные производные) посчитано для метрики $$\hat{h}_{ab}$$. Метрика со шляпкой описывает пространство $$R^{\phi}\times M^{n-1}$$. Рассмотрим Mn-1. Мы знаем что

$$(\Omega^{2-n})_{;a}^{;a}=(e^{n-2}\phi)_{,\phi}^{,\phi}=(n-2)^2e^{n-2}\phi\,,\quad\Omega_{;i;j}=0\,,$$

и потому

$$R_{ij}=e^{-2\phi}(\hat{R}_{ij}-(n-2)\hat{h}_{ij})\,.$$

Тогда метрика для конуса $$h_{ij}$$ является Риччи-плоской тогда и только тогда когда

$$\hat{R}_{ij}=(n-2)\hat h_{ij}\,.$$

Теперь, очевидно, для n-1-мерного основания конуса $$\hat{R}_{ij}=R_{ij}$$, т.к. с точки зрения основания конуса конформоное преобразование которое мы сделали, зависящее только от r, эквивалентно рескейлингу метрики константой, а при таком преобразовании тензор Риччи не меняется.  Также, $$\hat{h}_{ij}=g_{ij}$$, и потому

$$R_{ij}=(n-2)g_{ij}$$

что завершает доказательство.

4. Простым примером многообразия Эйнштейна X5, берущимся в качестве основанием конуса, явлется многообразие

$$T^{1,1}=\frac{SU(2)\times SU(2)}{U(1)}$$

где U(1) в знаменателе есть сумма двух U(1) генераторов, взятых из каждой группы SU(2) в числителе. Многообразие группы SU(2) есть сфера S3, которая представляется как расслоение S1 с основанием S2 (Hopf fibration). Т.к. мы калибруем одну подгруппу S1, то T1,1 есть расслоение оставшейся S1~U(1) (общей для обеих S2 из двух SU(2)) с основанием S2×S2. Каждая S2 симметричная относительно преобразований SO(3)~SU(2), и еще у нас есть группа симметрий U(1), вращающая волокно Sиз расслоения. После того как мы представили  T1,1 в качестве расслоения, очевидно что группой симметрий T1,1 является U(1)×SU(2)×SU(2).

Опишем соответствующее трехмерное пространство Калаби-Яу, имеющее коническую сингулярность с основанием конуса T1,1. Клебанов и Виттен определяют это многообразие как поверхность в пространстве с четырьмя комплексными координатами:

$$z_1^4+z_2^4+z_3^4+z_4^4=0$$

Это уравнение задает конус, так как оно инвариантно относительно преобразований $$z_a\rightarrow tz_a$$. Группа симметрий есть группа SO(4)=SU(2)×SU(2), вращающая четыре координаты za. При этом основание, полученное делением конуса на радиальную координату (после устранения точки r=0) топологически эквивалентно, к примеру,

$$|z_1|^4+|z_2|^4+|z_3|^4+|z_4|^4=1$$

Постолько поскольку это уравнение инвариатно относительно $$U(1)\in SO(4)$$ в каждой точке (z1,z2,z3,z4), то оно задает основание SO(4)/U(1)=SU(2)×SU(2)/U(1) конуса.

Нашей целью является установление голографического соотвествия между теорией струн, компактифицированной на основание конифолда, и N=1 суперсимметричной теорией поля. Впоследствии мы покажем что если добавить киральные суперполя в N=1 суперсимметричную калибровочную теорию поля, то модульное пространство теории будет конифолдом. Для этого удобно параметризовать конифолд несколько иными координатами (полям  (A1,A2) и (B1,B2) ниже будут соответствовать киральные поля N=1 суперсимметричной теории поля). Сперва заменим координаты:

$$M=\left({z_1+iz_4\atop iz_2-z_3}\;{iz_2+z_3\atop z_1-iz_4}\right)\rightarrow \left({z_1\atop z_4}\;{z_3\atop z_2}\right)=\left({A_1B_1\atop A_2B_1}\;{A_1B_2\atop A_2B_2}\right)$$

Видно что уравнение для конуса это det(M)=0. Можно далее переписать

$$M=\left({A_1\atop A_2}\right)\left(B_1,B_2\right)$$

Так что det(M) инвариантен относительно вращений (A1,A2) и (B1,B2); каждый вращается своей SU(2) матрицей (слева и справа соответственно). Далее, уравнение det(M)=0 инвариантно относительно рескейлинга всех zi на одно и то же число; что означает что оно инвариатно относительно рескейлинга всех Ai, Bk на одно и то же число λ. Наконец, определение z через A, B инвариантно относительно

$$A_k\rightarrow se^{i\varphi}A_k\,,\quad B_l\rightarrow s^{-1}e^{-i\varphi}B_l$$

Используя симметрию с параметром s и симметрию с параметром λ можно записать

$$|A_1|^2+|A_2|^2=|B_1|^2+|B_2|^2=1$$

что есть многообразие SU(2)×SU(2). У нас осталось U(1) преобразование симметрии с параметром φ, в результате чего получаем многообразие T1,1=SU(2)×SU(2)/U(1). Обратите внимание что мы начали с уравнения конуса но получили в результате основание конуса. Радиальная координата пропала в тот момент когда мы воспользовались симметрией уравнения конуса относительно преобразований zi→ λ2zi.

5. Итак, в предыдущих пунктах мы описали построение конифолда в такой форме, в которой его удобно будет сравнивать с соответствующими объектами в N=1 суперсимметричной теории поля на границе AdS. Теперь мы сперва сформулируем саму дуальную теорию поля а потом проведем проверку AdS/CFT соответствия по ряду вопросов.

Итак, допустим у нас есть N=1 суперсимметричная теория Янга-Миллса с калибровочной группой U(1)×U(1). Добавим к ней четыре киральных суперполя, A1, A2,  в представлении $$(1,\bar{1})$$ калибровочной группы и B1, B2 в представлении $$(\bar{1},1)$$ калибровочной группы. С точки зрения мирвого объеме D3-браны скалярные поля описывают вложение D3-браны в десятимерное пространство, т.е. описывают положение D3-браны в шестимерном трансверсальном пространстве. 

Ясно что поля A и B не преобразуются под действием диагональной U(1) подгруппы U(1)×U(1) калибровочной группы, так что соответствующее U(1) калибровочное поле свободно, и соответствующая U(1) калибровочная симметрия не нарушается конденсатом киральным полей. Это калибровочное поле есть вектороное поле, которое всегда присутсвует на мировом объеме (обеспечивая нужное число 8 бозонных степеней свободы).

Оставшееся U(1) калибровочное поле взаимодействует с киральными полями. Напомню что векторное N=1 суперполе содержит вспомогательный скаляр D с потенциалом V(D)=D2. Этот скаляр взаимодействует с каждым киральным полем Φ=φ+θψ+… посредством члена в qD|φ|2 лагранжиане где q есть калибровочный заряд кирального поля Φ. Так что уравнение движения для поля D дает, для нашего случая

$$D=|A_1|^2+|A_2|^2-|B_1|^2-|B_2|^2$$

Вакуум тогда опредеяется условием D=0, т.е.

$$|A_1|^2+|A_2|^2=|B_1|^2+|B_2|^2$$

что есть уравнением конифолда. Таким образом киральные поля A и B  в ваукуумном состоянии параметризуют конифолд, т.е. описывают положение D3-браны в конифолде. Реализация SU(2)×SU(2) симметрии и U(1) калибровочной симметрии (с параметром φ) такая же как описано в предыдущем пукте для конифолда.

6. Для того чтобы иметь голографическое соответствие между сильно-взаимодействующей теорией поля на границе и теорией IIB супергравитации в объеме нам нужно перейти к пределу большого N, что означает что нам нужно рассмотреть стопку N D3-бран, с RR-зарядом поля C4 равным N. Калибровочная группа тогда заменяется на U(N)×U(N). Поля A живут в представлении $$({\bf N},\bar{\bf N})$$,  а поля B живут в представлении $$(\bar{\bf N},{\bf N})$$ калибровочной группы.

Суперпотенциал (необходимый для придания массы ряду киральных суперполей, не описывающих положение D3-браны в трансверсальном пространстве), инвариантный относительно конифолдной группы симметрий SU(2)×SU(2)×U(1)R, которая должна быть группой симметрий теории поля, есть

$$W=\lambda\epsilon^{ij}\epsilon^{kl}{\rm Tr}A_iB_kA_jB_l$$

6.1. Небольшое отступление. R-симметрия суперсимметричной теории поля порождает соответствующий сохраняющийся суперток. В фиксированных точках ренормгруппового потока теория находится в конформном режиме — это суперконформная теория поля. В этом случае она инвариантна относительно суперконформной группы SU(2,2|1), каждая суперконформная теория поля харакатеризуется своими зарядами относительно генераторов суперконформной группы.

Во-первых в ультрафиолете, где константа связи равна нулю (асимпотическая свобода), бета-функция равна нулю и теория конформна. Она не просто конформна, она еще свободна, так что масштабная размерность кирального поля равна Δ=1 (посмотрите на размерность свободного скаляра). Далее, в силу суперконформной симметрии для первичных полей (primary fields), коими являются киральные поля, имеем соотношение между масштабной размерностью и R-зарядом:

$$\Delta=\frac{3}{2}R$$

Так что в ультрафиолете R=2/3. Однако конформная теория поля в ультрафиолете (с группой (супер)симметрии SU(2,2|1)UV) свободна, и потому не описывается дуальной слабой IIB-супергравитацией в объеме (AdS/CFT — это сильно-слабая дуальность). Так что нас интересует другая конформная фиксированная точка — та, что в инфра-красном режиме. Ниже мы докажем что R-заряд киральных суперполей на самом деле равен 1/2, в ИК суперконформной теории поля с группой (супер)симметрии SU(2,2|1)IR, что дает правильный R-заряд суперпотенциала: +2, так что

$$\int d^2\theta W$$

есть инварант относительно R-преобразований U(1).

Кстати говоря, с точки зрения УФ теории записанный суперпотенциал является несущественным оператором, в то время как с точки зрения ИК теории он является маргинальным оператором. Поэтому CFT-дуальная теория к слабой IIB супергравитации на конусе есть фиксированная точка ренорм-группового потока N=1 суперсимметричной теории к которой добавляется масштабно-инвариантный суперотенциал W.

6.2. Суперсимметричная теория поля хороша тем что в ней многие вещи известны точно. Например, бета-функция N=1 суперсимметричной клабировочной теории поля с материей дается NSVZ формулой. Бета-функция пропорциональна константе связи. Когда константа связи равна нулю, что по сути имеет место в ультрафиолете, теория конформно-инвариантна и свободна. Постолько поскольку NSVZ формула точная, она позволяет определить нули бета-функции в ИК режиме, где теория сильно-взаимодействующая.

Особенностью NSVZ бета-функции является то, что условие равенства ее нулю эквивалентно условию сокращения киральной аномалии для U(1) R-симметрии. Действительно, мы имеем (индекс представления r определяется как $${\rm tr}(T_r^aT_r^b)=T(r)\delta^{ab}$$)

$$\beta\sim 3T(Ad)-\sum_iT(r_i)(1-2\gamma_i)$$

где суммирование производится по всем полям материи, и аномальная размерность определяется как

$$\gamma_i=\Delta_i-1$$

Подставляя $$\Delta=\frac{3}{2}R$$ (для конформных фиксированных точек) находим что условие конформности β=0 эквивалетно условию сокращения киральной аномалии сохранения U(1) тока R-симметрии:

$$T(Ad)+\sum_iT(r_i)(R_i-1)=0$$

6.3. В нашем случае в силу SU(2)×SU(2) симметрии получаем

$$\gamma_{A_1}=\gamma_{A_2}\,,\quad \gamma_{B_1}=\gamma_{B_2}$$

Напомню что

$$T(Ad)=2N\,,\quad T(A)=T(B)=N$$

и у нас есть два поля A и два поля B, так что

$$6N-2N(1-2\gamma_A+1-2\gamma_B)=0$$

откуда вытекает что

$$\gamma_A+\gamma_B+\frac{1}{2}=0$$

Тогда размерность суперпотенциала в ИК фиксированной точке на 1 меньше размерности в УФ, т.е. равна 3, что есть размерность маргинального оператора (размерность $$\int d^2\theta$$ равна 1). Т.е. потребовав исчезновение бета-функции мы и впрямь получили масштабно-инфариантный оператор (то что он не является маргинально-существенным или маргинально-несущественным доказывается с помощью теоремы о неперенормируемости).

7. Сравним R-симметрии. Мы уже видели что и со стороны конифолда и со стороны теории поля у нас имеется U(1) R-симметрия. С точки зрения теории поля есть однозначный способ определить чему должен равняться R-заряд киральных полей. Он основывается на требовании сокращения аномалий.

Каждое киральное поле имеет некий R-заряд. Такой же R-заряд имеет каждое киральное антиполе (R-заряд определяется через преобразования координат суперспрстранства, которые берзразличны к заряду полей материи по отношению к калибровочным полям, и потому R-заряд полей материи тоже одинаков для материи и анти-материи), т.е. спинор той же киральности, но с противоположными зарядами относительно калибровочных групп. В четырех измерениях спиноры противоположной киральности комплексно сопряжены друг другу. Так что произведя комплексное сопряжение кирального антиполя, мы получаем антикиральное поле, причем оно имеет противоположный киральному полю R-заряд. Таким образом, группа R-симметрий действует на поля разной киральности по-разному, и потому в общем случае подвержена киральной аномалии.

Точное значение киральной аномалии дается треугольной диаграммой с киральными фермионами в цикле, киральным током в одной вершине и двумя калибровочными бозонами в других вершинах. Это могут быть два произвольных калибровочных бозона, Aa и Ab. Я опустил векторные индексы, индексы ab живут в присоединенном представлении калибровочной группы (нумеруют калибровочные бозоны). Если Ta есть генератор калибровочной группы в том представлении r, в котором живет данный фермион, то суммирование по всем таким фермионам в петле в данной диаграмме производит, очевидно, фактор T(r), определяемый из

$$T^a_{mn}T^b_{nm}=T(r)\delta^{ab}.$$

Из третьей вершины диаграммы, в которой находится киральный ток, получаем пропорциональный заряду фермиона вклад (слагаемое в токе пропорционально заряду фермиона, появляющегося в этом слагаемом). Всё остальное одинаково для всех фермионов. Итак, киральная аномалия, которую считает треугольная диаграмма, исчезает если

$$\sum_iT(r_i)q_i=0,$$
где суммирование производится по всем частицам.

Покажем что отсутствие аномалии U(1) R-симметрии означает что киральные поля A и B имеют R-заряд, равный +½. На самом деле так. R-симметрия по определению есть симметрия действующая на суперзаряды, или, что то же самое, на фермионные координаты суперпространства. Определим тогда R-симметрию с параметром α как преобразование суперкоординат с зарядом 1:

$$\theta\rightarrow e^{i\alpha\theta}\theta.$$

Тогда, в силу разложения киральных суперполей в ряд по нечетным координатам

$$\Phi=\phi+\theta\psi+\ldots$$

ясно, что спиноры материи имеют заряд, равный заряду кирального поля минус 1. Мы таким образом хотим доказать, что киральный заряд спиноров материи должен равняться −½.

В силу разложения кирального суперполя, являющегося напряженностью калибровочного суперполя,

$$W=\lambda+\theta F+\ldots$$

ясно, что глюино λ имеет R-заряд +1, так чтобы действие калибровочных степеней свободы (векторного суперполя)

$$S_{gauge}\sim\int d^2\theta W^2$$

было инвариантно относительно преобразований R-симметрии. 

Глюино живет в присоединенном представлении U(N)×U(N), так что для него T(r)=2N. Два спинорных поля из полей A живут в представлении $$(N\bar{N})$$ группы U(N)×U(N), т.е. фактически в присоединенном представлении U(N), поэтому для них T(r)=N. Аналогично для двух полей B. Аномалия тогда действительно сокращается:

$$-\frac{1}{2}4N+2N=0.$$

Итак, чисто с точки зрения теории поля мы вывели, что R-заряд киральных суперполей A и B равен +½. Что предсказывает дуальная теория струн для этого кирального заряда? Мы знаем что согласно дуальной теории струн поля A и B решают уравнения для конифолда, задавая его координаты z~AB. Значит нам нужно найти заряд координат z относительно U(1) преобразований в объеме, соответствующим U(1) R-симметрии на границе. Допустим, это какой то заряд q:

$$z\rightarrow e^{iq\phi}z$$

для преобразования R-симметрии с параметром $$\phi$$.

Трехмерное Кэлерово многообразие является многообразием Калаби-Яу тогда и только тогда когда на нем можно определить голоморфную 3-форму. Для многообразия

$$z_1z_2-z_3z_4=0$$

(это уравнение определяет рассматриваемый нами конифолд) голоморфмная 3-форма равна

$$\Omega=-\frac{dz_2\wedge dz_3\wedge dz_4}{z_1}$$

и потому имеет R-заряд 2q. Другим определением Калаби-Яу, которое упомяналось выше, является комплексное многообразие на котором есть ковариантно-постоянный спинор, $$\nabla\eta=0$$. Два определения эквивалентны в силу выражения

$$\Omega_{ijk}=\eta^T\Gamma_{ijk}\eta.$$

Ковариантно-постоянный спинор задает ту координату суперпространства в направлении которой суперсимметрия не нарушена (симметрия относительно трансляции этой суперкоординаты). Тогда координаты суперпространства имеют R-заряд равный половине R-заряда голоморфной 3-формы, т.е. q. Но мы определили R-заряд координат суперпространства равным 1, так что q=1. В силу z~AB ясно что R-заряд полей A и B равен ½, что совпадает с результатом из теории поля. Это довольно нетривиальное согласие: с одной стороны мы рассуждали про построение теории струн на конусе, а с другой про сокращение киральной аномалии в суперсимметричной теории поля.

8. Выше мы описали конифолд с основанием T1,1=SU(2)×SU(2)/U(1) с помощью поверхности

$$z_1^4+z_2^4+z_3^4+z_4^4=0$$

инвариантной относительно группы вращений SO(4). Далее, мы знаем что SO(4)=SU(2)×SU(2). На самом деле это не вполне правильно, равенство имеет место только локально, с точки зрения соответствующих алгебр. Глобальная групповая структура подразумевает SO(4)=SU(2)×SU(2)/Z2. Каждая SU(2) группа имеет центральную подгруппу Z2={I,-I}. Тензоры в представлении SO(4) можно представить с помощью двух спиноров. Тензоры с четным числом индексов представляются с помощью спиноров одной киральности, например скаляр имеет форму $$\phi=\psi^\dagger\psi$$ или $$\phi=\bar{\psi}^\dagger\bar{\psi}$$, где $$\psi$$ есть лево-киральный спинор, а $$\bar{\psi}$$ есть право-киральный спинор. Тензоры с нечетным числом индексов представляются с помощью спиноров разной киральности, например вектор $$A^\mu =\psi\sigma^\mu\bar{\psi}$$. Лево-киральный спинор преобразуются под действием одной SU(2), а право-киральный спинор преобразуются под действием другой SU(2). Ясно тогда что диагональная Z2 подгруппа произведения двух цетнтров Z2×Z2 двух SU(2) не меняет представления SO(6), так что SO(4)=SU(2)×SU(2)/Z2.

Итак, группа симметрий конифолда есть

$$U(1)\times \frac{SU(2)\times SU(2)}{Z_2}$$

Но мы видели что группа симметрий модульного пространства теории поля есть $$U(1)\times SU(2)\times SU(2)$$. Однако на самом деле, в силу U(N)×U(N) калибровочной инвариантности, а именно в силу U(1)×U(1) подгруппы группы калибровочной инвариатности, мы имеем калибровочную эквивалентность

$$A_k\rightarrow e^{i\alpha}A_k\,,\quad B_l\rightarrow e^{i\alpha}B_l\,,$$

так что в частности

$$A_k\rightarrow -A_k\,,\quad B_l\rightarrow-B_l\,,$$

что как раз есть действие диагональной подгруппы Z2  произведения двух цетнтров Z2×Z2 двух SU(2).

9. Теперь самое интересное. Рассмотрим теорию суперструн типа-IIB в пространстве $$AdS_5\times S^5/\Gamma$$. Сферический орбифолд строится следующим образом. Берется пятимерная сфера

$$\sum_{i=1}^6x_i^2=1$$

и производится отождествление

$$\Gamma:\quad x_{1,2,3,4}\rightarrow -x_{1,2,3,4}\,,\quad x_{5,6}\rightarrow x_{5,6}$$

В данном случае сохраняется не четверть суперсимметрий а половина: было 4 суперзаряда на сфере, процесс орбифолдизации оставляет два. Действительно, введем комплексные координаты

$$z_1=x_1+ix_2\,,\quad z_2=x_3+ix_4\,,\quad z_3=x_5+ix_6$$

Тогда Γ поворачивает z1,2 на угол π, оставляя z3 нетронутой. Постолько поскольку сумма двух углов вращения в плоскостях z1 и z2 равна нулю по модулю 2π, то орбифолдизация сохраняет половину суперсимметрий, и потому на сфере тоже выживает половина суперсимметрий.

9.1. Теперь на время отвлечемся от теории в объеме и перейдем к теории поля на границе. Калибровочная группа и набор полей такой же как и в конифолдном случае, рассмотренном выше. Только в данном случае у нас вдвое больше суперсимметрий. Так что мы имеем N=2 суперсимметричную калибровочную теорию поля. Суперпотенциал дается неким выражением, которое можно найти у Клебанова-Виттена. Далее, идея состоит в следующем. У нас имеется киральное суперполе в присоединенном представлении калибровочной группы, которое дополняет N=1 векторный супермультилет до N=2 вектороного супермультиплета. Нам нужна только N=1 суперсимметрия. Поэтому мы добавляем в лагранжиану существенный суперпотенциал являющийся массовым членом для этого кирального суперполя в присоединенном представлении, который явно нарушает N=2 суперсимметрию до N=1 суперсимметрии.

В результате включается ренорм-групповой поток, который заканчивается в фиксированной точке в ИК. Оказывается, что если явно решить уравнения движения для кирального суперполя, которое мы сделали массивным, то для оставшихся киральных суперполей сгенерируется суперпотенциал, такой же как и для суперструны, компактифицированный на основании конифолда (записанный выше). Т.е. теория из сферического орбифолда перетекает в конический орбифолд.

9.2. Теперь собственно к чему все это. Постолько поскольку у нас имеется ренорм-групповой поток из CFT в УФ в CFT в ИК, то можно задаться стандартным вопросом о том, работает ли a-теорема. Согласно a-теореме, центральный заряд a, появляющийся в аномальном следе тензора энергии-импульса, уменьшается при ренорм-групповом потоке. В случае двух конформных теорий поля, описанных выше, оба центральных заряда известны, нам интересно то что

$$\frac{a_{IR}}{a_{UV}}=\frac{27}{32}$$

Теперь вернемся в объем. Десятимерная метрика имеет общий вид

$$ds_{10}^2=L^2d\hat{s}_5^2+L^2d\hat{s}_{M_5}^2$$

Здесь шляпка означает что метрика записана для безразмерных координат, вся размерность вынесена явно в фактор L, формула для которого записана выше. Важно то что

$$L^4\sim\frac{N}{{\rm Vol}(M_5)}$$

Действие, редуцированное к пяти измерениям пространства AdS, записанное в терминах безразмерной метрики, имеет вид

$$S=\frac{\pi^2L^8}{16G_{10}}{\rm Vol}(M_5)\int d^5x\sqrt{\hat{g}}(\hat{R}+12+\ldots)\simeq\frac{N^2}{{\rm Vol}(M_5)}\int d^5x\sqrt{\hat{g}}(\hat{R}+12+\ldots)$$

Согласно AdS/CFT соответсвию корреляционные функции в теории поля на границе считаются с помощью классического действия в объеме. Тогда в частности среднее $$\langle T^\mu_\mu\rangle$$, выражающее конформную аномалию, обратно пропорционально объему компактного пространства. (Объем основания конифолда легко посчитать воспользовавшись явно его метрикой (10.120) в Бекер-Бекер-Шварц.) В результате

$$\frac{a_{IR}}{a_{UV}}=\frac{{\rm Vol}(S^5/Z_2)}{{\rm Vol}(M_5)}=\frac{27}{32}$$

что совпадает с результатом из теории поля.

Ключевые слова: AdS/CFT, суперсимметрия, D браны, квантовая теория поля, геометрия | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Дифференциальная регуляризация

2 апреля 2013 года, 03:12

1. Физика зависит от масштаба энергии, на котором вы изучаете явления. Например, при больших энергиях кварки свободны, а при низких образуют связанные состояния — мезоны и барионы. Когда вы двигаетесь из области высоких энергий в область низких энергий, константа сильного взаимодействия между кварками увеличивается. Более того, само взаимодействие при низких энергиях, в инфракрасном режиме, качественно отличается от взаимодействия при высоких энергиях, в ультрафиолетовом режиме. В УФ режиме потенциал сильного взаимодействия между кварками убывает обратно пропорционально расстоянию. Это закон Кулона. В ИК режиме потенциал сильного взаимодействия между кварками линейно увеличивается с расстоянием. Это явление конфайнмента.

Зависимость физических параметров, таких как констант взаимодействия, нормировки полей и массовых параметров, от масштаба энергии называется ренормгрупповым потоком. Допустим вы хотите посчитать вероятность какого-то процесса рассеяния кварков. Для этого вам нужна квантовая теория поля, а именно — нужно посчитать диаграммы Фейнмана. В квантовом мире существуют пары виртуальных частиц-античастиц. В терминах диаграмм Фейнмана пары виртуальных частиц изображаются петлевыми диграммами. В петли дают вклад виртуальные частицы с любыми импульсами. Поэтому по импульсам нужно проинтегрировать, чтобы получить полную вероятность процесса рассеяния.

Интегралы по импульсам могут расходиться. Чтобы получить осмысленный физический результат нужно избавиться от бесконечных членов. Так возникает перенормировка. Вы замечаете, что причина расходимости состоит в том, что вы некорректно обращаетесь с параметрами теории — например, с константами взаимодействия. Константы взаимодействия входят в действие классической теории. Потом вы квантуете теорию, записываете правила Фейнмана, считаете диаграммы все с теми же классическими константами взаимодействия. Но вы не учли что виртуальные петли — чисто квантовый эффект — экранируют константы взаимодействия. В зависимости от масштаба энергии (или, что то же самое, в зависимости от координатной близости к источнику заряда) константа взаимодействия экранируется в той или иной степени. Появление бесконечностей в диаграммах есть исключительно свойство зависимости параметров теории от масштаба энергии, ничего более. Эта зависимость подтверждена на эксперименте, и потому существование расходящихся амплитуд, в этом смысле, тоже подтверждено на эксперименте.  Когда зависимость параметров теории от масштаба энергии учтена, остается хорошо определенный результат.

Чтобы посчитать расходящийся интергал в диаграмме Фейнмана, нужно зафиксировать масштаб энергии и вычесть бесконечности на этом масштабе. Останется конечная величина, которая, однако, зависит от этого самого масштаба энергии. Вот как вычитание бесконечностей порождает ренормгрупповой поток, проявляя явление экранирования, одновременно вы учитываете тот факт что константа взаимодействия (и прочие параметры) зависят от масштаба энергии и что нужно заранее обговорить на каком масштабе энергии вы определяете ту или иную константу. За исключением визуализации с экранированием, это чисто техническое описание того как появляется ренормгрупповой поток. Более физическое объяснение связано с интегрированием по импульсным оболчкам — подход Вильсона — но он не имеет отношения к этому посту, и уже обсуждался (как и вопрос о перенормировках) в этом блоге.

Вы заметили, что я различал виртуальные частицы в петлях Фейнмановских диаграмм по их импульсу. С другой стороны можно перейти в координатное представление и различать виртуальные частицы по их положению в координатном пространстве. Потом проинтегрировать по всем координатам, то есть усреднить по всем позициям виртуальных промежуточных частиц, принимающих участие в процессе рассеяния. Интеграл может расходиться. Вопрос о том, расходится ли такой интеграл — есть частный случай вопроса о том, имеет ли функция Фурье-образ — случай нулевого импульса. Или вы можете задаться вопросом о том какова амплитуда рассеяния частиц с данным ненулевым импульсом, зная общую формулу для этой амплитуды в координатном представлении. Так что вопрос о перенормировке можно свести к вопросу о нахождении Фурье-образа сингулярных функций, то есть хорошо определенной математической задаче. Регуляризация в таком подходе называется дифференциальной регуляризацией.

2. То, что следует далее, есть просто техническое описание идеи дифференциальной регуляризации, изложенной выше. Я постараюсь просто записать те формулы, которые поясняют содержание процитированной выше статьи. Нужно рассмотреть какую-то теорию со взаимодействием. Будем рассматривать скалярное поле $$\phi$$ с четвертичным взаимодействием $$\lambda\phi^4$$ с константой взаимодействия λ. Первая расходящаяся диаграмма — однопетлевая диаграмма с двум вершинами, двумя пропагаторами и одним интегрированием по импульсу, и на примере ее мы будем исследовать диффренециальную регуляризацию до конца этого поста. Из правил Фейнмана в импульсном представлении следует, что диаграмма расходится логарифмически: каждый из двух пропагаторов обратно пропорционален квадрату импульса, и произведение двух пропагаторов интегрируется в четырехмерном пространстве.

Чтобы регуляризовать эту (и все остальные расходящиеся диаграммы теории), поставим цель регуляризовать наиболее сингулярные функции в координатном представлении. Такими функциями мы назовем те сингулярные функции, которые не имеют Фурье-образа.  Для начала вспомним как выглядит пропагатор свободного поля в координатном представлении, являющийся простейшей сингулярной функцией, имеющей Фурье-образ. Пропагатор G(x) свободного скалярного поля определяется как функция Грина оператора Лапласа:

$$\partial^2 G(x)=-4\pi^2\delta(x)$$

откуда в четырех измерениях

$$G(x)=\frac{1}{x^2}$$

Это уравнение в четырехмерии аналогично уравнению Пуассона для точечного электрического заряда в трех пространственных измерениях,

$$\partial^2\frac{1}{r}\simeq\delta(r)$$

Проведем вывод более точно: для начала, степень r определяется размерностью пространства (пространства-времени, которое все равно удобно считать евклидовым). Дельта-функция должна иметь размерность пространства d, так что $$\delta (x)\simeq\partial^2\frac{1}{r^{d-2}}$$, что и сводится к обоим формулам выше для d=3 и d=4. Нас интересует именно d=4. Определим в d=4

$$\partial^2\frac{1}{x^2}=\partial_\mu V^\mu$$

где

$$V^\mu=\partial_\mu\frac{1}{x^2}=-\frac{2x^\mu}{x^4}$$

В силу теоремы Гаусса

$$\int d^4x\partial_\mu V^\mu =\int _{S^3}d^3xV\cdot n=-\frac{4\pi^2R^3}{R^3}=-4\pi ^2$$

где R есть радиус 3-сферы. Тогда

$$\partial^2\frac{1}{x^2}=-4\pi^2\delta(x)$$

3. Как отмечено выше, дифференциальная регляризация основывается на регуляризации сингулярных функций в координатном представлении, так чтобы у них был хорошо определенный Фурье-образ. Перед тем как переходить к сингулярным функциям, не имеющим Фурье-образа (до регляризации), рассмотрим сингулярные функции с определенным Фурье-образом. А именно, рассмотрим пропагатор свободного скалярного поля в четырех измерениях. В предыдущем пункте мы вывели этот пропагатор в координатном представлении; также легко вывести его в импульсном представлении: это G(p)~1/p2. В этом пункте рассмотрим очень простые формулы для преобразования Фурье, переводящие G(x) в G(p). В следующем пункте обобщим этот вывод для произвольной сингулярной функции, с заключением о том что слишком сингулярные функции не имеют Фурье-образа. Отсутствие Фурье-образа пропагатора в координатном представлении эквивалентно тому, что соответствующая диаграмма в импульсном представлении расходится.

Мы хотим посчитать

$$G[p]=\int d^4xe^{ipx}\frac{1}{x^2}$$

Во-первых, выберем направление импульса p за полярную ось, и введем угол в сферических координатах между p и произвольным вектором x, который обозначим $$\theta\in [0,\pi/2]$$. Метрика в сферических координатах есть

$$ds_4^2=dr^2+r^2(d\theta ^2+\sin ^2\theta ds_2^2)$$

где

$$ds_2^2=d\tilde\theta ^2+\sin ^2\tilde\theta ^2d\phi ^2$$

так что мы получаем

$$G[p]=\int drr\int d\Omega _2\int d\theta\sin ^2\theta e^{ipr\cos\theta}$$

Интегрирование по dΩ2 дает фактор 4π, и мы получаем

$$G[p]=4\pi\int drr\int_{-1}^1d\tau\sqrt{1-\tau ^2}e^{ipr\tau}$$

Т.к.

$$\int _{-1}^1d\tau \sqrt{1-\tau ^2}e^{q\tau}=\frac{\pi}{q}I_1(q)$$

то

$$G[p]=-\frac{4\pi^2i}{p}\int_0^\infty drI_1(ipr)$$

Важным является сходимость следующего интеграла

$$\int_0^\infty dyI_1(i y)=i$$

в результате чего получаем пропагатор в импульсном представлении

$$G[p]=\frac{4\pi ^2}{p^2}$$

4. В общем случае верна следующая формула для преобразования Фурье сингулярных функций в четырех измерениях (см. формулу (A.4) тут):

$$\int d^4xe^{ipx}\frac{1}{(x^2)^{1-a}}M^{2a}=\frac{4\pi ^2}{p^2}\left(\frac{4M^2}{p^2}\right)^a\frac{\Gamma (1+a)}{\Gamma (1-a)}$$

Здесь М — массовый параметр, введенный пока для удобства. Если a=-1, т.е. если мы смотрим на Фурье-образ функции 1/x4, то мы получаем бесконечность (из-за Γ(0) в правой части последней формулы).

Именно 1/x4,  как показывается ниже, возникает когда мы считаем однопетлевую диаграмму в теории скалярного поля с четвертичным взаимодействием. Выше (см. начало п. 2), работая в импульсном представлении, мы заметили что интеграл по импульсам расходится логарифмически. Теперь, работая в координатном представлении, мы видим что расходимость диаграммы в импульсном представлении соотвествует отсутствию у соответствующей амплитуды в координатном представлении Фурье-образа.

Действительно, посчитаем однопетлевую диаграмму в теории с четвертичным взаимодействием.

Как мы выяснили, пропагатор в координатном представлении равен

$$G(x_1,x_2)=\frac{1}{(x_1-x_2)^2}$$

В импульсном представлении вершина взаимодействия $$\phi^4$$ равна $$\text{Ver}=\lambda$$, так что в координатном представлении эта вершина дается выражением

$$V(x_1,x_2,x_3,x_4)=$$

$$=\int d^4p_1d^4p_2d^4p_3d^4p_4e^{i(p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3+p_4x_4)} \lambda \delta ^{(4)} (p_1 + p_2 + p_3 + p_4) \simeq$$

$$\simeq\lambda\delta ^{(4)}(x_1-x_4)\delta ^{(4)}(x_2-x_4)\delta ^{(4)}(x_3-x_4)=$$

$$=\lambda\delta ^{(4)}(x_1-x_2)\delta ^{(4)}(x_1-x_3)\delta ^{(4)}(x_1-x_4)$$

Диаграмма, которую мы считаем, есть однопетлевая поправка к этой вершине. Считается она следующим образом. В ней есть две вершины, V(x1,x2,x3',x4') и  V(x1',x2',x3,x4), где точки в парах (x1',x3') и (x2',x4') лежат на одной и той же линии пропагатора. Нам нужно проинтегрировать по всем промежуточным точкам (x1',x2',x3',x4'). В результате получаем

$$V_{1-loop}=\lambda ^2\frac{1}{(x_1-x_3)^4}\delta (x_1-x_2)\delta (x_3-x_4)$$

Добавляя вклад аналогичной однопетлевой диаграммы, записываем

$$V_{1-loop}=\frac{\lambda ^2}{2}\left(\frac{1}{(x_1-x_3)^4}\delta (x_1-x_2)\delta (x_3-x_4)+\frac{1}{(x_2-x_4)^4}\delta (x_3-x_2)\delta (x_1-x_4)\right)$$

Допустим, мы теперь хотим посчитать Фурье-образ этой амплитуды:

$$\int d^4x_1d^4x_2d^4x_3d^4x_4\frac{1}{(x_1-x_3)^4}\delta (x_1-x_2)\delta (x_3-x_4)e^{-i(p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3+p_4x_4)}=$$

$$=\int d^4xd^4y\frac{1}{y^4}e^{-i[(p_1+p_2+p_3+p_4)x+(p_3+p_4)y]}=\delta(p_1+p_2+p_3+p_4)\int d^4y\frac{1}{y^4}e^{-iqy}|_{q=p_3+p_4}$$

Т.е. задача свелась к поиску Фурье-образа функции 1/x4 в четырех измерениях, и выше мы отметили что такого Фурье-образа не существует. 

5. Наконец, приступим к дифференциальной регуляризации на примере сингулярной функции 1/x4 в четырех измерениях. Идея состоит в том, чтобы представить сингулярную функцию как дифференциальный оператор, действующий на менее сингулярную функцию. Менее сингулярная функция имеет хорошо определенный Фурье-образ. Тогда Фурье-образ более синглярный функции есть просто Фурье-образ менее сингулярной функции, умноженнй на импульс в какой то степени.

Для нашего конкретного примера имеем формулу

$$-\frac{1}{4}\partial^2\frac{\log M^2x^2}{x^2}=\frac{1}{x^4}$$

Видно что процедура дифференциальной регуляризации требует введения массового параметра M. В процитированных выше оригинальных статьях по дифференциальной регуляризации показывается, что соответствующая регуляризованная четырехточечная функция в однопетлевом приближении удовлетворяет уравнению Каллана-Симанчика, и M — масштаб энергии. Т.е. зависимость от M можно поглотить в перенормировку константы взаимодействия λ, причем соответствующая бета-функция будет совпадать с бета-функцией этой константы взаимодействия, полученной ранее более общепринятыми способами регуляризации (Пескин-Шрёдер, 10.2 и 12.2).

Наконец, можно произвести вычитание расходящегося куска явно. В принципе описанная выше процедура в некоторой степени самодостаточна: было показано что перенормированные амплитуды удовлетворяют уравнению Каллана-Симанчика, и все параметры теории поля перенормируются нужным образом. Никакого явного вычитания бесконечностей делать не понадобилось. Однако можно явно показать в каком месте бесконечности вычитаются. Введем параметр ε с размерностью длины, размазывающий сингулярность:

$$-\frac{1}{4}\partial^2\frac{\log\left(1+\frac{x^2}{\epsilon^2}\right)}{x^2}=\frac{1}{(x^2+\epsilon^2)^2}$$

Тогда

$$\frac{1}{(x^2+\epsilon^2)^2}=-\frac{1}{4}\partial^2\frac{\log\left(M^2(\epsilon^2+x^2)\right)}{x^2}+\frac{1}{4}\log(M^2\epsilon ^2)\partial^2\frac{1}{x^2}$$

Вводя представление для делта-функции через дифференциальный оператор, действующий на сингулярную функцию, как описано выше в п.2, получим

$$\frac{1}{(x^2+\epsilon^2)^2}=-\frac{1}{4}\partial^2\frac{\log\left(M^2(\epsilon^2+x^2)\right)}{x^2}-\pi^2 \log(M^2\epsilon ^2)\delta (x)$$

Мы уже можем вычесть бесконечность, что в данном случае означает вычесть все слагаемые, которые сингулярны в пределе ε→0. В результате получаем ту формулу, что уже записывали выше

$$\frac{1}{(x^2)^2}=-\frac{1}{4}\partial^2\frac{\log\left(M^2x^2\right)}{x^2}$$

Функция $$\log\left(M^2x^2\right)/x^2$$ имеет Фурье-образ $$-4\pi^2\log(p^2/{\bar{M}}^2)/p^2$$, где $$\bar{M}=2M/\gamma$$. Ищем Фурье-образ функции 1/x4. Интегрируя по частям, с учетом произведенной дифференциальной регуляризации и известного Фурье-образа регулярной функции, получаем, что Фурье-образ функции 1/x4 равен $$-\pi^2\log(p^2/{\bar{M}}^2)$$.

 

Ключевые слова: квантовая теория поля | Комментарии (2)
Михаил Гойхман

Спонтанное нарушение конформной и электрослабой симметрии

21 сентября 2012 года, 23:36

По модулю большого количества неточностей, недоработок, приблеженности и идеализируемости, вы можете считать, что бозон Хиггса — это на самом деле вакуумное среднее би-фермионного оператора. На самом деле вы можете рассуждать следующим образом. Хиггсовский сектор Стандартной Модели точно подтвержден экспериментально. Действительно, согласно утверждениям, косвенным образом поступающим с LHC, мы все таки скорее всего видим, что есть скалярная частица, которая ведет себя так как бы вела себя частица, ответственная за спонтанное нарушение электрослабой симметрии. Более скептически можно относится к утверждениям о природе этой частицы. Т.е. к тому, является ли эта частица квантом фундаментального поля Хиггса, или (низшим) уровнем возбуждения какого-то композитного поля.

Например, авторы июльской статьи,

Shinya MatsuzakiKoichi Yamawaki «Is 125 GeV techni-dilaton found at LHC?»

считают, что частица с массой 125 ГэВ (кстати, это все таки скорее 126 ГэВ) — на самом деле низшее возбуждение композитного дилатона. Спонтанное нарушение калибровочной (электрослабой) симметрии происходит одновременно со спонтанным нарушением киральной и конформной симметрии. Это идея теории walking technicolor. Слово walking означает медленное изменение константы связи калибровочного взаимодействия в зависимости от масштаба энергии, в противоположность running ;) Медленность связана с тем, что бета-функция близка к нулю. Если бы бета-функция была бы равной нулю, то теория была бы конформной, и константа связи не менялась бы вообще при изменении масштаба энергии эффективной теории. Так что walking  — это проявление «почти конформности», являющееся следствием спонтанного нарушения конформной симметрии.

Причем авторы утверждают, что их теория с техни-дилатоном подходит под экспериментальные данные с Хиггсом лучше чем механизм Хиггса, в основном, как я понял, опираясь на избыток событий с Хиггсом в двух-фотонном канале по сравнению с соотношением, предсказанным в СМ.

Сегодняшняя статья,

V.N. PervushinA.B. ArbuzovR.G. NazmitdinovA.E. PavlovA.F. Zakharov «Condensate Mechanism of Conformal Symmetry Breaking and the Higgs Boson»

придерживается морально схожей позиции. Авторы напоминают нам, что (тахионный) массовый параметр в потенциале Хиггса — это единственный фундаментальный размерный параметр СМ. Скажем, все константы калибровочного взаимодействия в четырехмерии безразмерны, константа Хиггсовского четвертичного самодействия безразмерна, то же самое касается юкавские констант и параметров смешивания. Поэтому при РГ потоке они перенормируются логарифмически, в кто время как массовый параметр потенциала Хиггса перенормируется обратно пропорционально масштабу энергии. В логарифмическом масштабе между масштабом Великого Объединения (1016 ГэВ) и массой W бозона (102 ГэВ) особой разницы нет. Так что по порядку величины все безразмерные параметры на этих двух масштабах одинаковы. В то время как массовый параметр меняется так же как и сам масштаб энергии. Так что «фундаментальная» (лучше сказать — ультрафиолетовая) теория на масштабе Великого Объединения описывается массой Хиггса с довольно любопытным значением, ;) слишком любопытным чтобы СМ подходила под опредение натуральности. Проблема решается в МССМ, где масса Хиггса не перенормируется благодаря суперсимметрии (см. посты Ромы про МССМ).

Другое разрешение этой проблемы дается техниколором. Я не буду объяснять эту теорию. Просто замечу, что масштаб нарушения симметрии в этой теории не подвержен перенормировке, так как сам определяется РГ потоком. В ультрафиолете теория свободна, при движении из ультрафиолета константа связи растет. Можно просто посмотреть на тот масштаб энергии при котором константа связи равна единице. В КХД это 150 МэВ, или 1 ферми — размер ядра. Вы используете эту аналогию для теории с безмассовыми кварками, которые приобретают большую массу на масштабе 100 ГэВ. Можете считать, что далее при РГ  потоке теория не просто становится взаимодействующей, но еще и переходит в фазу с конфайнментом. При этом формируются мезонные состояния. Низшее такое состояние вы называете бозоном Хиггса.

Самый существенный элемент этого построения — это нарушение электрослабой симметрии, вызванное взаимодействием кварков с калибровочными полями, что эффективно, после того как кварки выпадают в конденсат и формируют мезоны, дает массовые слагаемые в лагранжиане калибровочного поля. Однако нужно позаботиться о массовых слагаемых для материи, что делается в расширенном техниколоре. Главный вывод, наиболее существенный для данного обуждения, состоит в том, что формирование кваркового конденсата нарушает киральную симметрию (так как формируется эффективное кварковое массовое слагаемое: так что теперь левые кварки смешаны с правыми кварками), и нарушает конформную симметрию (так как появляется масса). Массовый параметр, характеризующий нарушение конформной симметрии, не подвержен перенормировке, так как он определяет масштаб энергии, характеризующий саму перенормировку теории.

Скажу еще что я вообще то не в восторге от сегодняшней статьи. Идейно она в принципе не нова, так как не предлгает особо много новой теории. Одновременно, она по большей части исключительно феноменологическая, причем один из главных результатов, «вывод» массы 130 ГэВ для бозона Хиггса, трудно воспринимать всеръез. Действительно, довольно трудно занимаясь оценочными вычислениями, оперируя параметрами в электрослабой теории, получить массу не равную по порядку величины 100 ГэВ. В то время как после определенного времени можно добиться более «точного» выражения в 130 ГэВ ;) Я бы не назвал это лучшим примером феноменологической статьи, по личному вкусу.

Тем не менее, идея идущего техниколора кажется довольно привлекательной, а с точки зрения теоретической физики может быть даже более эстетической (в силу близости к элегантному конформному режиму). С другой стороны суперсимметричное разрешение проблемы натуральности не менее элегантно. ;) Не уверен какой позиции будут придерживаться члены Нобелевского комитета. Более интересно, на сколько обилие статей с не до конца доработанными теориями, «выводящими» правильную массу Хиггса, отражается на их решение. Вопрос, конечно, относится только к тому, получит ли Хиггс (и другие люди, принимавшие участие в формулировке механизма Хиггса) Нобелевскую премию в этом году или нет.

Ключевые слова: квантовая теория поля | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Квантовая теория поля с константами связи, зависящими от времени

8 августа 2012 года, 14:22

Вы наверное заметили что некоторое время назад появилась несколько любопытная статья (на тему которой Сильверштейн говорила на Strings 2012) Xi Dong, Bart Horn, Eva Silverstein, Gonzalo Torroba Unitarity bounds and RG flows in time dependent quantum field theory.

1. Как видно из названия статьи, а также из заголовка этого поста, главная идея — рассмотреть квантовую теорию поля с константами связи, зависящими от времени. Насколько оригинальна такая идея?

Одна из первых морально схожих ситуаций, которая приходит в голову, это теория бозонной струны в фоновом гравитационном поле. Действие Полякова для струны при этом:

$$S=-T\int d^2\sigma\sqrt{-h}h^{\alpha\beta}g_{\mu\nu}(X)\partial_\alpha X^\mu\partial_\beta X^\nu\,.$$

Напомню, что Xμ(σα) — это поле на двумерной поверхности мирового листа струны, параметризованного координатами σα, α=1,2, описывающее вложение струны в пространство-время с координатами xμ. Метрика на мировом листе струны hαβ содержит только один независимый параметр, являющийся одновременно параметром конформных преобразований Вейля (нетрудно убедиться, что не существует динамических уравнений на метрику h). Поэтому геометрия мирового листа — чисто алгебраическая, то есть сводится к топологии.

С другой стороны метрика gμν (метрика в пространстве отображения) является динамическим полем в эффективной теории. Что это значит? Теория струн конформно инвариантна, и потому определена на всех масштабах энергии. Действительно, конформная инвариантность в принципе не позволяет отличить один масштаб энергии от другого. Таким образом теория струн избегает проблемы неопределенности квантовой теории поля на планковском масштабе. Для описания конкретных физических явлений нам нужно сосредоточиться на отдельных модах возбуждения струны. Расстояние между различными модами возбуждения струны по порядку величины равно планковской энергии (если струнная константа связи по порядку величины равна единице). Поэтому сосредоточимся на низшем уровне возбуждений.

В теории замкнутых струн низшие моды возбуждения струны формируют мультиплет гравитации (супергравитации, в теории суперструн). В этот мультиплет, естественно, входит гравитон gμν (а также антисимметричное B-поле с двумя индексами и дилатон). Каждое отдельное возбуждение струны есть квант поля, которое описывается своей эффективной теорией, справедливой при малых масштабах энергии. Это верно и для мультиплета гравитации. Чтобы получить эффективную теорию гравитации, следующую из теории струн, можно воспользоваться следующим трюком.

Теория струн должна быть свободна от конформных аномалий: квантовые поправки не должны нарушать симметрию лагранжиана по отношению к конформным преобразованиям. В теории на мировом листе это обеспечивается тем, что пространство-время, в которое вкладывается мировой лист струны, имеет размерность 26 (или 10, в теории суперструн). Какой эффект зануления конформной аномалии на эффективной теории, описывающей поля, соотстветствующие модам возбуждения струны? Квантовая теория поля конформно инвариантна, если бета-функция всех ее констант связи равна нулю. В случае гравитации, выведенной как эффективная теория из теории струн, мы тоже имеем нечто, что играет роль константы связи.

Действительно, посмотрим на действие Полякова струны в гравитационном поле, написанное выше. Как мы только что обсудили, гравитационное поле создается струнами. Тогда это действие описывает взаимодействие струн со струнами. А именно, кусок взаимодействия — это отклонение метрики пространства-времени от плоской метрики, свернутое с производными координат вложения струны. Соответствующая «константа связи» — это флуктуирующая метрика δgμν, и вычисление бета-функции для нее дает βμν ~ Rμν, то есть тензор Риччи. Так что зануление бета-функции приводит к уравнениям Эйнштейна. Мы видим, таким образом, что идея константы связи, зависящий от (пространства-)времени, не оригинальная в статье Сильверштейн и др.

Однако, из того, что они объясняют приложении А своей работы, следует, что их подход к зависящей от времени константе связи прямо противоположен «струнному подходу», который я только что описал. В струнном подходе на низких энергиях имеется нетривиальная «динамика константы связи». Другой пример из теории струн, на этот раз открытых струн: заряд Чана-Патона на конце струны, обеспечивающий взаимодействие открытой струны с внешним калибровочным полем (U(1)-полем на мировом объеме D-браны, к которой прикреплена открытая струна) через лагранжиан $$L\sim\dot{X}^\mu A_\mu$$. В низкоэнергетической теории, за счет диаграмм поляризации вакуума, сгенерируется лагранжиан Янга-Миллса, в то время как в фундаментальной теории (теории струн) он отсутствует. Однако, в противоположность приведенному примеру, авторы рассматриваемой статьи считают константу связи динамическим полем в ультрафиолетовой теории, записывая полный лагранжиан

$$L=L_{CFT}-\frac{1}{2}\left((\partial\phi)^2+m^2\phi^2\right)+\lambda_0g\phi {\cal O}_+-\frac{1}{2}(\partial g)^2-V(g)$$

и потом переходят к низкоэнергетической теории

$$L=L_{CFT}-\frac{1}{2}\left((\partial\phi)^2+m^2\phi^2\right)+\lambda_0g\phi {\cal O}_+$$

в которой осцилляциями g над минимумом потенциала V можно пренебречь.

2. Главный вклад статьи в физику, наверное, состоит в том чтобы исследовать вопросы унитарности теории; а именно — сделать это в той ситуации, когда константы связи теории зависят от времени (вообще говоря, когда они являются функцией пространственно-временных координат).

Что значит унитарность теории? Унитарность — это когда все процессы рассеяния имеют хорошо определенную амплитуду вероятности, равную амплитуде обратного процесса, причем сумма всех вероятностей равна единице. С точки зрения квантовой теории поля такие системы описываются унитарной S-матрицей. Чтобы получить конкретные выражения для амплитуд, надо записать S-матрицу между какими-то асимптотическими (свободными) состояниями системы.

Однако, например, в калибровочно-инвариатной теории мы хотим исключить все чисто калибровочные (и потому нефизические) состояния из рассмотрения, а также временные компоненты калибровочных бозонов, имеющие отрицательную норму. Тогда возникнет проблема того, полна ли система оставшихся состояний, то есть полон ли базис по которому мы теперь будем раскладывать состояния системы. Он полон, и прямое доказательство в теории БРСТ основывается на нильпотентности оператора БРСТ (Пескин и Шредер, 16.4 — это фактически как ссылка на Библию ;) ).

Для полноты обсудим кратко доказательство БРСТ унитарности теории в которой S-матрица рассматривается только между физическими асимптотическими состояниями: т.е. состояниями с поперечными калибровочными бозонами. Будем обозначать такие состояния как |A;tr>. В формализме БРСТ (в котором вводится оператор БРСТ-преобразований Q, удовлетворяющий свойству нильпотентности, или «грассамновости», Q2=0) это состояния, которые зануляются при действии БРСТ-оператора Q, но непредставимы как результат действия Q на некоторое (нефизическое) состояние. Тогда теория унитарна, если выполняется соотношение полноты

$$\sum_A|A;{\rm tr}\rangle\langle A;{\rm tr}|=I\,.$$

Это соотношение, разумеется не выполняется во всем гильбертовом пространстве, так как у нас есть еще продольные состояния калибровочных бозонов, полученные действием Q на состояния не уничтожаемые Q. И  у нас есть сами состояния, которые не уничтожаются Q: состояния с отрицательными нормами (временные компоненты калибровочных бозонов) и духи Фадеева — Попова. Однако унитарность теории означает, что это соотношение выполняется для всех уравнений, которые определяют вероятности процессов рассеяния.

Действительно, чтобы доказать унитарность, нам нужно показать, что выражение SS=1 выполняется когда S-матрица записана в базисе физических состояний системы. Для начала нужно вставить единичный оператор

$$I=\sum_A|A\rangle\langle A|$$

между S и S. Потом нужно взять матричный элемент между поперечными (физическими) асимптотическими состояниями. В силу нильпотентнтсти БРСТ-оператора нетрудно убедиться, что в представлении I тогда выживает только сумма по физическим состояниям системы.

Другой пример унитарного ограничения следует из оптической теоремы, когда амлитуда лежит внутри круга на комплексной плоскости. Действительно, согласно оптической теореме сечение σ = |A|2 процесса с амплитудой A дается выражением σ=с Im(A), где c есть некоторая величина. Получаем тогда

$$\left({\rm Re}(A)\right)^2+\left({\rm Im}(A)-\frac{c}{2}\right)^2\leq\frac{c^2}{4}$$

Мы видим, что оптическая теорема, следующая из унитарности, ограничивает величину возможной амплитуды процесса рассеяния в диск.

Теперь, допустим мы знаем эффективную теорию. Она может быть даже неперенормируема. Сильверштейн и др. приводят пример, когда такая эффективная теория, которая унитарна в ИК, оказывается неунитарной в УФ. Обратная ситуация не возникла бы: фундаментальная теория, определенная унитарно в УФ, не породила бы неунитарную теорию в ИК. Это означает что РГ поток имеет ограничения — унитарные ограничеения — такие как ограничения на аномальную размерность операторов. Мы можем не решать РГ уравнения, а применить шнурочный принцип (bootsrtap), чтобы сразу наложить существенные ограничения на теорию в ИК режиме.

Сильверштейн и др. однако больше интересуются проблемой унитарности ультрафиолетовго дополнения данной ИК теории. Они показываю, что эту проблему удобно адресовать если сделать константы связи зависящими от времени. Это и естественно, так как это добавляет естественный размерный параметр в теорию. В принципе это самая главная идея и самая главная мотивация статьи, причем все остальное есть технические детали и попытки применения этой идее к разным теориям.

3. Итак, иллюстративный пример, на котором начинает довольно успешно работать идея о константах связи, зависящих от времени, есть пример теории скалярного поля, вроде того, для которого выше был написан Лагранжиан. Эта теория при достаточно низких энергиях (то, что это означает поток из ИК в ИК, обсудим ниже) есть двухследовая деформация конформной теории поля. Пусть теперь константа связи зависит от времени,

$$g(t)=g_0t^\alpha\,.$$

Пусть масса m скалярного поля очень велика, так что можно явно проинтегрировать по скалярному полю и действительно получить двухследовый член в лагранжиане

$$\int d^dx\frac{g(x)^2}{m^2}{\cal O}_+^2=\int d^dx\frac{g_0^2t^{2\alpha}}{m^2}{\cal O}_+^2$$

Видно, что зависимость константы связи от времени сыграла свою роль: теперь при достаточно малых импульсах, или на достаточно больших промежутках времени, при которых вариация константы связи со временем важна, мы имеем

$$[g_0^2/m^2]=2(\alpha-\nu)$$

так что мы имеем возможность использовать степень временной зависимости константы связи для управления тем, какова размерность статической константы двухследового взаимодействия. Заметим, что если бы константа связи не зависела бы от времени, то взаимодействие было бы несущественным.

Тонкость состоит в том, что мы должны решить проблему унитарности, т.е. двинуться в ультрафиолет и посмотреть что там происходит. Если же константа связи зависит от времени недостаточно резко (с малой степенью α), то мы можем попасть в статический режим в УФ, и проблема унитарности будет такая же как и в обычной квантовой теории поля с константами связи, не зависящими от времени. Так что нужно позаботиться об иерархии масштабов. Сильверштейн и др. объясняют, что можно добиться удобной иерархии.

4. Вот еще несколько комментариев по статье:

1. То, что в статье называется полу-голографическим подходом, есть несколько неточное использование терминологии. Полуголографический подход — это когда вы считаете часть пропагаторов (а именно, пропагаторы сильновзаимодействующей конформной теории поля) с помощью AdS/CFT соответствия, а часть пропагаторов выводите из лагранжиана слабо-взаимодействующей теории (это не Глэшоу — Вайнберг — Салам: просто теория с малой константой связи, или свободная теория). Потом, допустим CFT и слабо-взаимодействующая КТП взаимодействуют друг с другом, и константа взаимодействия мала. Тогда квантовые пропагаторы КТП получаются суммированием геометрической прогрессии: вы вставляете пропагаторы CFT между пропагаторами КТП и суммируете все возможные диаграммы. При это количество цветов N в CFT большое, так что можно пренебречь всеми петлями с полями КТП в них.

2. При выводе перенормировки размерности CFT оператора (то, что называется Δ  → Δ + перенормировка) поток, который на самом деле рассматривается, в большинстве случае есть поток из ИК в ИК, потому что даже в «ультрафиолетовой» части рассматриваемой области энергии авторы пренебрегают кинетическим членом для полей. Тем не менее конформная размерность оператора считывается с импульсной зависимости корреляционной функции (конформно-инвариатной, т.е. с обратной степенной зависимостью, т.е. без юкавских множителей для взаимодействий с массивными частицами-переносчиками). Примечательно что при этом в конформной неподвижной точке ренормгруппового потока (conformal fixed point) лагранжиан судя по всему содержит размерные множители (чтобы дать правильную корреляционную функцию, которая тоже содержит размерные множители). [Спасибо Б. Галило за разъяснение этого момента.]

3. Кто нибудь понимает контекст ссылки на Толстого (в начале пункта 5)? Ну и заодно если честно то само утверждение Толстого мне тоже кажется необоснованным.

Ключевые слова: квантовая теория поля, бозонная струна | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Энтропия черных дыр в полуклассической гравитации

29 июля 2012 года, 00:23

Этот пост посвящен обсуждению термодинамики черных дыр. Черные дыры обладают температурой и энтропией; вообще говоря ни то ни другое не равно нулю. Температура и энтропия — это термодинамические величины, так что уравнения, в которые они входят, это стандартные термодинамические уравнения. Ненулевая температура черной дыры означает, что черная дыра излучает (помимо того, что поглощает), и потому в принципе можно рассматривать равновесие черной дыры и ее излучения. Однако, в классической гравитации черная дыра не может излучать. Так что излучение черной дыры — чисто квантовый эффект. Поэтому задача описания термодинамики черных дыр — это задача квантовой гравитации.

Эффективно квантовая гравитация — это квантовая теория поля. Эффективная квантовая теория поля на каком то заданном масштабе энергии определяется эффективным действием. Эффективное действие — это классическое действие, квантовые поправки к нему, и члены с высшими производными, также являющиеся квантовыми поправками. Пренебречь квантовыми поправками — это значит рассматривать классическое действие. В теории гравитации классическое действие — это действие Эйнштейна-Гильберта.

Какая связь между термодинамикой и квантовой теорией поля? Термодинамика изучает физические системы при ненулевой температуре. Так что мы интересуемся квантовой теорией поля при ненулевой температуре. Что такое квантовая теория поля при конечной температуре? Квантовая теория поля определяется интегралом по путям,

$$Z=\int [{\cal D}\phi]e^{i\int dtL}\,,$$

где $$\phi$$ определяет набор всех полей системы, L — лагранжиан, t — время в системе координат Минковского. Физический смысл Z — амплитуда вероятности эволюции системы за все время ее существования. Это просто следует из того, как определяется интеграл по путям. Другой способ записать ту же величину:

$$Z=\sum _a\langle a|\exp\left(iTH\right)|a\rangle\,,$$

где сумма осуществляется по всем начальным состояниям, которые я положил равными конечным состояниям (это необязательное условие, вообще говоря). Здесь— время (не путайте с температурой, я еще только один раз использую эту букву для обозначения времени эволюции), за которое система эволюционировала, а H — гамильтониан системы. Если система имеет нулевую температуру, то с термодинамикой она никак не связана, так что . Если же мы рассматриваем квантовую теорию поля при конечной температуре, то амплитуда вероятности эволюции системы — это статистическая сумма,

$$Z=\sum _a\exp\left(-\beta E_a\right)\,,$$

где Ea — энергия системы в состоянии a, β — обратная температура. Наша задача — приравнять выражения для Z, термодинамическое и квантовое теоретико-полевое. Мы уже видим, что они имеют похожую структуру: по крайней мере оба представляют собой сумму потенцированной энергии состояния с каким то коэффициентом перед энергией, по всем состояниям системы. Надо сделать эти коэффициенты равными друг другу. Во-первых, они оба должны быть вещественными. Так что заменим временную координату, = −. Причем как t так и τ здесь — вещественные. Вам кажется это противоречием? Ответом на возможное недоумение является виковский поворот — то, что можно сделать в унитарной теории поля: теории с пропагаторами, полюса которых обходятся по правилу Фейнмана, повернув плоскость комплексного времени на прямой угол не изменив число полюсов внутри контура обхода. Тогда, если период времени τ равен β, мы получаем интеграл по путям квантовой теории поля равным статсумме термодинамической системы с температурой 1/β. Наконец, действие системы зависит от времени, так что виковский поворот приводит нас к статсумме вида

$$Z=\int [{\cal D}\phi]e^{-\int d\tau L}=\int [{\cal D}\phi]e^{-S_E}\,,$$

где я ввел евклидово действие SE. Евклидово действие определяет теорию в пространстве-времени с Евклидовой сигнатурой метрики, что есть следствие использования евклидова времени τ. Итак вывод: квантовая теория поля при конечной температуре — это теория, которая периодична по евклидовому времени, с периодом, равным обратной температуре.

Далее, что заменяет понятие энергии E в любой физической системе, если температура этой системы становится ненулевой? Энергия — это мера взаимодействия. Взаимодействие определяет совершенную работу. Работа системы, совершенная при заданной температуре T, равна изменению свободной энергии этой системы, ETS, где S — это энтропия системы. Тогда, если наша система — это квантово-полевая система, которая при нулевой температуре и заданном ИК масштабе энергии описывается эффективным действием, то при ненулевой температуре эта система описывается свободной энергией. В частном случае, если мы пренебрегаем квантовыми поправками, то Евклидово действие системы равно свободной энергии этой системы. Итак, второе следствие введения ненулевой температуры состоит в замене эффективного действия свободной энергией.

Термодинамика строится на понятии статистической суммы. Чтобы записать статистическую сумму, надо знать вероятность распределения термодинамической системы по разным возможным термодинамическим состояниям. Таким образом, в зависимости от конкретной системы, которую мы рассматриваем, статистическая сумма зависит от разного возможного набора независимых термодинамических параметров, определяющих систему.

Три важных варианта термодинамической системы: это канонический ансамбль, микроканонический ансамбль и большой канонический ансамбль. Отличие между ними заключается в различии физического состояния системы, а именно того, какие параметры принимают определенное значение в каждом рассматриваемом состоянии системы. Тогда вероятность распределения состояний системы есть функция этих различных параметров.

Канонический ансамбль — это физическая система с фиксированными значениями количества частиц N, объема V и температуры T, для которой нам известно распределение вероятностей w по состояниям с различной энергией. Физический смысл канонического ансамбля: это большая система, с хорошо определенной температурой, рассмотрением отдельных и микроскопических частей которой мы не интересуемся. При этом малые части системы могут взаимодействовать между собой, так что температура каждой малой части меняется и не является поэтому определенной величиной. Для описания таких подсистем нам нужен микроканонический ансамбль. В случае микроканонического ансамбля температура заменяется энергией системы E. В этом случае мы не рассматриваем состояния системы, обладающие фиксированной температурой: температура не является равновесным параметром. То есть микроканонический ансамбль определяется функцией распределения w(T) и задается параметрами N, V, E. Наконец, большой канонический ансамбль — это физическая система, которая обменивается частицами с термостатом при данной температуре. Скорость обмена частицами определяется химическим потенциалом системы μ. Итак, статистика большого канонического ансамбля определяется функцией w(N, E) и система задается параметрами μ, V, T.

Все три ансамбля используются при описании черных дыр. Канонический ансамбль, естественно, описывает черную дыру с данной температурой. Микроканонический ансамбль описывает неравновесное состояние черной дыры с данной массой. Большой канонический ансамбль описывает заряженную черную дыру. А именно, если черная дыра заряжена, то вместо рассмотрения ансамбля черных дыр с данным значением заряда Q мы можем рассматривать черные дыры с данным значением хим-потенциала. Такие черные дыры описываются большим термодинамическим потенциалом Ω − TS μQ. Если вы считаете эффективное действие для системы с заданной температурой и хим-потенциалом, то это больше не свободная энергия, как я писал выше. Теперь эффективное действие — это большой термодинамический потенциал. Замечу, что оба описания эквивалентны: соотношение между свободной энергией и большим термодинамическим потенциалом сводится к преобразованию Лежандра.

Допустим, мы живем в (d+1)-мерном пространстве-времени M с границей ∂M. Выберем локальную координатную систему xμ на M. Пусть gμν — метрический тензор на M в этой коориднатной системе. Далее, в выбранной координатной системе граница ∂M задается уравнением, r(x) = 0. Так что граница ∂M имеет размерность d. Вектор, ортогональный ∂M, направлен по градиенту границы r(x) = 0. Отнормируем этот вектор:

$$n^\mu=\frac{\partial^\mu r}{\sqrt{g^{\mu\nu}\partial _\mu r\partial _\nu r}}\,.$$

Обозначим hμν метрику на ∂M. Тогда nμhμν=0, в силу ортогональности вектора n и любого вектора на ∂M. Эта связь на метрический тензор h устраняет d+1 его независимых компонент. Остается (d+1)(d+2)/2-(d+1)=d(d+1)/2 компонент, как и должно быть для метрического тензора в d-мерном пространстве. Решением этой связи является, очевидно,

$$h_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-n_\mu n_\nu\,.$$

Если пространство-время имеет границу, то нам нужно принять во внимание граничные члены, которые появляются при варьировании действия Гильберта-Эйнштейна. Действительно, вспомним, что при выводе уравнений Эйнштейна из действия Гильберта-Эйнштейна важным соотношением является

$$\int d^{d+1}x\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}=\int d^{d+1}x\sqrt{-g}\nabla_\mu (g^{\nu\rho}\delta\Gamma^\mu_{\nu\rho})\,,$$

что сводится к граничным членам. Если граница существует, то нам надо позаботиться об исчезновении этих граничных членов. Граничные члены включают вариацию метрики и первой производной метрики. Вариация метрики на границе всегда равна нулю. Есть два способа обойтись с вариацией производной метрики. Первый — не варьировать производную метрики на границе — т.е. наложить условие Неймана. Этот способ подразумевает какую-то дополнительную физику, которая обеспечивает фиксированность производных полей на границе. Второй способ — добавить действие на границе.

Проще говоря, вот что происходит. Пусть f(r) обозначает какую то компоненту метрики. Действие Эйнштейна содержит члены типа

$$\int drA(r)f''(r)f(r)$$

где A(r) есть некоторая функция, для простоты все зависит только от радиальной координаты (граница пространства-времени, на которой мы добавим граничный член действия, определяется фиксированным значением этой радиальной координаты). После интегрирования по частям это действие может быть переписано как

$$-\int drf'(r)(Af(r))'+[Af'f]_b$$

где индекс b означает что выражение посчитано на границе r=rb. Вариация первого члена в последнем выражении дает уравнения движения и граничное условие

$$\delta f(r)_{r=r_b}=0$$

А вариация второго члена вдобавок требует выполнение условия

$$\delta f'(r)_{r=r_b}=0$$

Нет никаких оснований считать что это второе условие должно выполняться. Поэтому мы добавляем к исходному действию граничный член

$$S_b=-[Af'f]_b$$

который, естественно, полностью компенсирует вариацию производной метрики f на границе.

В случае гравитации такой граничный член был предложен независимо в работе Гиббонса, Хокинга и работе Йорка, и потому называется членом Гиббонса-Хокинга. ;) Полное гравитационное действие тогда (положим d+1=4)

$$K=\frac{1}{16 \pi G}\int d^4x\sqrt{-g}R+\frac{1}{8\pi G}\int d^3x\sqrt{|h|}K\,,$$

где скаляр внешней кривизны определяется через нормальный вектор к границе

$$K=\nabla _\nu n^\nu\,.$$

Сосчитаем, например, член Гиббонса-Хокинга для границы AdS. В координатах Пуанкаре пространство-время AdS (точнее его половина, т.е. то, что создается стопкой черных бран вблизи их горизонта, и соответственно то, что фигурирует в AdS/CFT соответствии) задается метрикой

$$ds^2=\frac{dz^2-dt^2+dx^idx^i}{z^2}\,.$$

Соответсвующие ненулевые символы Кристоффеля равны (в этом примере греческие индексы обозначают все координаты кроме радиальной координаты z)

$$\Gamma^\mu_{z\nu}=\Gamma^\mu_{\nu z}=-\frac{1}{z}\delta^\mu_\nu\,,\quad\Gamma^z_{zz}=-\frac{1}{z}\,,\quad\Gamma^z_{\mu\nu}=\frac{1}{z}\eta_{\mu\nu}\,.$$

Граница AdS есть поверхность z=0, нормальный к ней вектор есть вектор с единственной ненулевой компонентой nz=-1/z. Тогда

$$\nabla_\lambda n_\mu=\partial _\lambda n_\mu-\Gamma^\nu_{\lambda\mu}n_\nu=\frac{1}{z^2}\eta_{\mu\lambda}\,,\quad\mu,\lambda\neq z$$

и тогда

$$K=4$$

Рассмотрим черную дыру Шварцшильда, и запишем ее метрику в сферически-симметричной координатной системе

$$g_{\mu\nu}={\rm diag}\left\{-\left(1-\frac{r_h}{r}\right)\,,\;\frac{1}{1-\dfrac{r_h}{r}}\,,\;r^2\,,\;r^2\sin^2\theta\right\}\,.$$

Здесь поверхность r=rh определяет горизонт черной дыры: свето-подобную поверхность, т.е. поверхность на которой gtt=0. В силу последнего, очевидное свойство такой поверхности в том, что она параллельна поверхности светового конуса вблизи нее, так что эта поверхность разделяет области пространства-времени, не связанные друг с другом причинно-следственными связями (точнее, верхний световой конус любого события внутри горизонта направлен внутрь черной дыры). Метрика Шварцшильда, записанная выше, сингулярна при r=rh и потому определена только при r>rh. Таким образом, мы должны принять во внимание член Гиббонса-Хокинга на поверхности r=rh.

Перед тем как продолжить с вычислением действия, придадим термодинамический смысл величине rh. Как я написал выше, система имеет термодинамические характеристики, если она периодична в Евклидовом времени. Так что введем t=-iτ, где τ — вещественное Евклидово время. На горизонте черной дыры кривизна конечна. На самом деле она равна нулю, R=0, как и должно быть для решения Шварцшильда везде (кроме сингулярности r=0). Поэтому, если мы рассмотрим окрестность горизонта, переходя к новой радиальной координате по правилу r=rh(1+ρ2), и потребуем регулярность метрики в этих координатах, то мы получим, что Евклидово время τ с необходимостью периодично с периодом 4πrh. Я об этом писал же в этом блоге здесь.

Другая параметризация радиуса горизонта это rh=2GM. То что M — это масса черной дыры, можно увидеть, если посмотреть на асимпотику решения Шварцшильда на бесконечности, где гравитационное поле слабое и мы считаем гравитацию Ньютона хорошим приближенным описанием тяготения. Однако такой способ не является особо общим, что легко увидеть, пытаясь применить его для придания физического смысла параметрам, описывающим метрику заряженной и вращающейся черной дыры.

Более общий метод основан на термодинамике. Нам нужно найти термодинамический потенциал, описывающий черную дыру. Зная термодинамический потенциал можно будет найти такие величины как, например, масса, энтропия и заряд черной дыры. Как мы обсудили выше, термодинамический потенциал — свободная энергия или большой термодинамический потенциал — определяются как эффективное действие квантовой гравитации. Чтобы посчитать эффективное действие, надо сосчитать функциональный интеграл для флуктуации метрики вокруг данной конфигурации, скажем, вокруг решения Шварцшильда. Учитывая такие флуктуации, можно посчитать квантовые поправки к термодинамическим величинам. Пример такого вычисления обсуждался в блоге: это (один из способов) опровержения петлевой квантовой гравитации.

Если мы не хотим учитывать квантовые петли, т.е. ограничиваемся полуклассической квантовой гравитацией (т.е. по сути мы все еще рассматриваем интеграл по путям, но ограничиваемся только древесными амплитудами рассеяния гравитонов), то термодинамический потенциал просто равен действию, посчитанному для данной метрики, т.е. на массовой оболочке. 

Выполним, наконец, этот расчет для черной дыры Шварцшильда. Вектор, нормальный к поверхности r=rh, равен

$$n^\mu =\left(0,\;-\sqrt{1-\frac{r_h}{r}}\,\;0,\;0\right)\,.$$

Метрика на границе r=rh дается выражением

$$h_{\mu\nu}={\rm diag}\{-\left(1-\frac{r_h}{r}\right)\,,\;0\,,\;r^2\,,\;r^2\sin^2\theta\}\,.$$

Тогда скаляр внешней кривизны равен

$$K=\partial _\mu n^\mu+\Gamma^\mu_{\mu\lambda}n^\lambda =\partial_r\left(-\sqrt{1-\frac{r_h}{r}}\right)-\Gamma^\mu_{\mu r}\sqrt{1-\frac{r_h}{r}}\,.$$

Используя выражения для символов Кристоффеля:

$$\Gamma^{t}_{tr}=-\Gamma^r_{rr}=\frac{r_h}{2r(r-r_h)}\,,\quad\Gamma^\theta_{\theta r}=\Gamma^\phi_{\phi r}=\frac{1}{r}$$

мы получаем

$$K=\frac{3r_h-4r}{2r^2\sqrt{1-\frac{r_h}{r}}}\,.$$

Для решения Шварцшильда (как и для любого решения в плоском пространстве) скаляр кривизны Риччи равен нулю, так что единственный нетривиальный вклад в действие на массовой оболочке содержится в граничном члене Гиббонса-Хокинга. Считаем этот член на поверхности r=r0

$$S[r_0]=\frac{1}{8\pi G}\int dtd\theta d\phi r_0^2\sqrt{1-\frac{r_h}{r_0}}\sin\theta\frac{3r_h-4r_0}{2r_0^2\sqrt{1-\frac{r_h}{r_0}}}$$

Из этого выражения нужно отнять член Гиббонса-Хокинга для плоского пространства (для которого скаляр кривизны равен K=−2/r0). Этот член должен быть посчитан для поверхности с метрикой h, как для черной дыры:

$$S_0[r_0]=\frac{1}{8\pi G}\int dtd\theta d\phi r_0^2\sqrt{1-\frac{r_h}{r_0}}\sin\theta\frac{-2}{r_0}$$

Для начала, перейдем к Евлидовой теории, так что t=, и Евклидово действие дается выражением SE[rh]=−iS[rh]. Интегрируя по периоду β=4πrh времени τ, учитывая фактор 2π интегрирования по φ и фактор 2 интегрирования по θ, затем устремим r0 к беконечности. Мы получаем в результате

$$I_E[r_h]=4\pi M^2G\,.$$

Мы можем переписать его через обратную температуру

$$I_E=\frac{\beta^2}{16\pi G}\,.$$

Такая форма записи удобна, если мы хотим посчитать массу черной дыры. Масса черной дыры — это ее средняя энергия. В данном случае черная дыра имеет определенную температуру 1/β, поэтому термодинамика черной дыры описывается каноническим ансамблем, и средняя энергия есть (суммирование по всем энергиям)

$$\langle E\rangle=\frac{1}{Z}\sum Ee^{-\beta E}\,,$$

что можно посчитать как

$$Z=\sum e^{-\beta E}=e^{-I_E}\quad\Rightarrow\quad \langle E\rangle=-\frac{\partial \log Z}{\partial\beta}=\frac{\partial I_E}{\partial\beta}\,.$$

Таким образом для черной дыры Шварцшильда мы получаем $$\langle E\rangle=M$$. Итак, мы придали физический смысл параметру M, который входит в метрику черной дыры Шварцшильда через радиус Шварцшильда. Это масса черной дыры.

Канонический ансамбль описывается термодинамическим потенциалом — свободной энергией,

$$F=E-TS\quad\Rightarrow\quad S=\beta (E-F)$$

С другой стороны, как обсуждалось выше, свободная энергия определяется Евклидовым действием,

$$F=-T\log Z=-T\log e^{-I_E}=I_E/\beta\,.$$

Тогда энтропия черной дыры дается выражением Хокинга-Бекенштейна:

$$S=\frac{\pi r_h^2}{G}=\frac{A}{4G}\,,$$

где A — площадь поверхности горизонта черной дыры.

Описанный в этом посте вывод термодинамических величин черных дыр в плоском пространстве-времени с помощью термодинамического подхода к квантовой гравитации был впервые применен Хокингом и Гиббонсом. Видно, что граничный член Хокинга-Гиббонса играет существенную роль в этом выводе. Впоследствии, помимо всего прочего, Хокинг и Пейдж таким же образом изучили черные дыры в пространстве AdS.

Ключевые слова: гравитация, квантовая теория поля, равновесное излучение | Комментарии (2)
Михаил Гойхман

Модель Джорджи-Глэшоу

10 июня 2012 года, 23:10

Модель Джорджи-Глэшоу есть простейшая теория Великого Объединения, основанная на калибровочной группе SU(5). Она является примером фундаментальной теории в мире без гравитации; построение таких фундаментальных теорий называется top-down подходом к исследованию природы; в отличии от bottom-up исследования конкретных явлений природы (как в случае Стандартной Модели в мире с GUT, что необходимо есть любой мир с гравитацией, в частности наш мир). К сожалению, эта модель является неправильной, в смысле, что она не описывает мир в котором мы живем, ибо она предсказывает более быстрый распад протона, такой, который был уже исключен экспериментально. Помимо этого, бегущие константы в рамках этой модели не пересекаются в одной точке, хотя и проходят довольно близко друг к другу на масштаебе 1016 ГэВ. Пересечение достигается в МССМ, что указывает на решающую роль суперсимметрии среди известных теорий Великого Объединения.

1. Вложение Стандартной Модели в теорию Великого Объединения означает, что все поля материи, присутствующие в СМ, должны группироваться в неприводимые мультиплеты в (би-)фундаментальном представлениии калибровочной группы теории Великого Объединения, в то время как калибровочные поля — в неприводимые мультиплеты в присоединенном представлении. Вложение материи в представление SU(5) будет показано несколько ниже.

Калибровочная группа СМ — это SU(3)c×SU(2)L×U(1)Y. Группа SU(3)c действует на кварки, собирая их в мультиплеты (это обозначение мультиплета лево-киральных полей; выделение киральности полезно для дальнейшего включения электрослабых взаимодействий) Qf, и на антикварки $$\bar{u}_f^{L},\;\bar{d}_f^{L}$$ (имеющие электро-магнитный заряд Q противоположный таковому для кварков),  где f=1,2,3 нумерует поколения кварков, т.е.

u1=u, u2=c, u3=t, d1=d, d2=s, d3=b.

Группа SU(2)L собирает в дублеты всю лево-киральную материю: каждое поколение кварков и каждое поколение лептонов представляет собой дублет лево-киральных полей и синглет право-киральных полей. Группа U(1)Y — одна из четырех абелевых U(1) подгрупп калибровочной группы СМ — дает каждому полю СМ определенный сохраняющийся гиперзаряд. Четыре U(1) подгруппы соответствуют четырем сохраняющимся зарядам СМ: три цвета, связанных соотношением b g r=1,  изоспин подгруппы SU(2) и гиперзаряд. Электромагнитный заряд дается выражением со структурой формулы Гелл-Манна — Нисидзимы (в последней, являющейся эффективной теорией, несохраняющиеся всегда гиперзаряд и изоспин имеют иное значение чем электрослабые гиперзаряд и изоспин, рассматриваемые тут) :

$$Q=\frac{Y}{2}+T_3$$

Начнем с вложения калибровочных полей СМ в группу Великого Объединения Джорджи-Глэшоу SU(5). Естественно что SU(3) и SU(2) нужно просто разместить блочно-диагональным образом внутри SU(5) матрицы. При понижении энергии от масштаба Великого Объединения группа SU(5) должна нарушаться до калибровочной группы СМ. Это значит, что на масштабе Великого Объединения ненулевое вакуумное среднее приоборетает поле, которое коммутирует только с калибровочной группой СМ. Что это за поле? Это диагональная матрица с одинаковыми элементами в первых трех и последних двух строчках. Матрица SU(5) должна удовлетворять условию бесследовости. Поэтому в качестве этого поля выберем

$$\tilde{Y}={\rm diag}\left(-\frac{2}{3},\;-\frac{2}{3},\;-\frac{2}{3},\;1,\;1\right)\,.$$

Помимо того что эта матрица служит как конденсат, нарушающий SU(5) спонтанно до группы СМ на масштабе великого объединения, она также задает генератор $$U(1)_{\tilde{Y}}$$ калибровочного поля СМ, вложенного в SU(5). Можно найти связь между этим гипер-зарядом группы SU(5) и гипер-зарядом Y группы U(1) СМ. Чтобы это сделать, нужно найти SU(3) и SU(2) мультиплеты СМ, которые имеют такое же отношение гипер-зарядов как таковое в матрице $$\tilde{Y}$$. Смотря на СМ часть первой таблицы (состав материи МССМ) поста Ромы здесь заключаем, что нужные нам мультиплеты — это 3 нижних анти-кварка $$\bar{d}_L$$ и 2 левых лептона $$(\nu_L,\;e_L)$$. Конечно, чтобы добиться полного соответствия, сперва вместо фундаментальной материи в представлении 5 группы SU(5) и с гиперзарядом $$\tilde{Y}$$ возьмем комплексно-сопряженный мультиплет $$\bar{5}$$ с гиперзарядом противоположного знака. Вообще говоря мы можем добиться того чтобы, $$\tilde{Y}=kY$$, где k — некое постоянное число. 

Чтобы продолжить с описанием вложения материи СМ в представления SU(5), вспомним некоторые факты СМ. В четырех измерениях спиноры разной киральности комплексно сопряжены друг другу. Поэтому удобно записывать спиноры в Вейлевском представлении. Тогда каждый спинор является двух-компонентным, с индексом без точки, $$\psi^\alpha$$. Это левый спинор. Комплексное сопряжение этого спинора даст спинор $$\bar\psi^{\dot\alpha}$$, с индексом с точкой, указывающий на преобразование в не-эквивалетном представлении группы Лоренца SL(2,C). Тогда вся право-киральная материия может быть представлена просто как комплексное сопряжение лево-киральной анти-материи. Мы заключаем что весь полевой состав СМ можно описать перечисляя всю лево-киральную материю, собирая её в дублеты SU(2)L, и лево-киральную анти-материю, являющуюся синглетом SU(2)L.

Тогда каждый кварк Qf имеет, помимо ароматного индекса f и цветного индекса (не показан явно), еще и изоспиновый индекс. В то же время кварки $$u_f^{R},\;d_f^{R}$$ являются право-киральными, и потому по определению не могут преобразовываться под дествием SU(2)L. Мы можем переписать их как анти-кварки $$\bar{u}_f^{L},\;\bar{d}_f^{L}$$.

Далее, на масштабе великого объединения все взаимодействия СМ и дополнительные 12 взаимодействий объединяются в группу SU(5) и имеют поэтому одну и ту же константу связи, которую мы обозначим g. Если мы выделим g' константу связи U(1)Y подгруппы, то вложение U(1)Y в SU(5) дается сравнением соответсвующих членов ковариантных производных полей материи:

$$\frac{g'}{2}Y=g\tilde{Y}\quad\Rightarrow\quad g'=2kg\,.$$

На масштабе Великого Объединения константы связи одинаково вложенных в SU(5)  групп SU(2) и SU(3) одинаковы и равны g, поэтому угол Вайнберга удовлетворяет

$$\sin\theta_W=\frac{g}{\sqrt{g^2+g^{\prime 2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+4k^2}}\,.$$

Начнем собирать материю в представлении SU(5). Достаточно это сделать в одном фиксированном поколении, в двух других процедура буквально повторяется. В каждом поколении имеется 15 двух-компонентных спиноров материи: 2×3=6 левых кварков, 2×3=6 правых кварков, левый электрон, правый электрон, и левый нейтрино. Потом есть 15 анти-частиц, с противоположными зарядами и противоположными киральностями к только что перечисленным частицам материи. Чтобы понять как вложить 15 полей в представление SU(5) нужно помнить о двух вещах: 1. мы должны составить неприводимые мультиплеты SU(2)×SU(3) полей СМ; 2. эти мультиплеты должны иметь правильный гиперзаряд U(1). Если оба условия учтены, то вся материя будет правильно преобразовываться под действием калибровочной группы СМ.

Выделим в одном поколении лево-киральные поля и анти-поля, общим количеством 10, как показано ниже . Естественно описать эти поля как представление 10 группы SU(5), полученное как антисимметризация 5×5 двух фундаментальных представлений SU(5). Антисимметризация делает представление 10 неприводимым в SU(5). Но оно приводимо по отношению к действию подгруппы SU(2)×SU(3). Каждое лево-киральное поле СМ будет иметь два индекса — один в фундаментальном представлении 2 группы SU(2), другой в фундаментальном представлении 3 группы SU(3). В силу выписанной выше матрицы $$\tilde{Y}$$, если индекс SU(3) не синглетный (т.е. принимает три значения), то гиперзаряд Y увеличивается на -2/3, а если индекс SU(2) не синглетный (т.е. принимает два значения), то гиперзаряд Y увеличивается на 1. Разложение 10 в сумму неприводимых представлений очевидно (ясно, что при SU(2)×SU(3) преобразованиях ни один член этой прямой суммы не может перейти в другой член; сумма произведений всех соседних индексов в правой части как и должно быть равна 10) имеет вид

$$10=(\bar{3},1)_{-4/3}\oplus(3,2)_{1/3}\oplus(1,1)_2.$$

Я подписал Y-гиперзаряд под каждым членом SU(5), указывая таким образом квантовые числа по отношению к полной калибровочной группе СМ. Это разложение содержит левые кварки Q в представлении (3,2) группы SU(3)×SU(2), правые кварки uR* (которые комплексно сопряжены, для получения правильного гиперзаряда, поэтому цветной индекс $$\bar{3}$$ с чертой), т.е. левые антикварки $$\bar{u}_L$$ в представлении $$(\bar{3},1)_{-4/3}$$ группы SU(3)×SU(2) и правый электрон (комплексно-сопряженный левый антиэлектрон), не имеющий ни цвета ни изоспина, т.е. являющийся синглетом SU(3)×SU(2). Таким образом мы можем рассматривать левые поля и анти-поля СМ, ни одно из которых комплексно не сопряжено другому, и сгруппировать их в неприводимое представление 10 группы SU(5).

Поясню еще раз происхождение гиперзарядов в предыдущей формуле. Представление 10 получается антисимметризацией произведения двух фундаментальных представлений 5. Однако такое антисимметризованное произведение будучи неприводимым в SU(5) приводимо по отношению к SU(2)×SU(3). Скажем, рассмторим $$(\bar{3},1)_{-4/3}$$. Оно получается следующим образом. В 5×5 антисимметричной матрице, изображающей проивзедение 5×5 берется верхний диагональный 3×3 блок. Этот блок является антисимметричной матрицей с тремя элементами. Элементы этой матрицы aij можно описать вектором

$$a_{\bar i}=\epsilon_{\bar{i}\bar{j}\bar{k}}a^{jk}$$

Обратите внимание что требование SU(3) инвариантности ведет к тому что индексы с чертой (анти-фундаментальные) индексы берутся в свертке с индексами без черты (фундаментальные индексы). Так что чтобы описать вектор $$a_{\bar i}$$ в анти-фундаментальном представлении SU(3) нужно записать матрицу aij с двумя индексами в фундаментальном представлении SU(3), и потому с гипер-зарядом -2/3-2/3=-4/3.

Осталось 5 двух-компонетных спиноров материи одного поколения, которые мы еще не описали в пространстве представления SU(5). В терминах лево-киральных полей это 3 левых анти-кварка  $$\bar{d}_L$$ с гиперзарядом 2/3 и дублет лептонов $$L=(\nu_e,e)$$ с гиперзарядом -1. Посмотрев на гиперзаряд, изоспин, и цвет этих полей становится очевидным, что они образуют $$\bar{5}$$ анти-фундаментальное представление SU(5).

Материя СМ таким образом преобразуется как $$10\oplus\bar{5}$$ мультиплет SU(5).

2. На масштабе Великого Объединения константы взаимодействия всех калибровочных полей СМ с полями материи одинаковы и равны g. Однако в эффективной теории поля — Стандартной Модели — эти константы имеют разное значение. Почему? Это следствие перенормировки: константы связи квантовой теории поля зависят от масштаба энергиии, для описания которого эта теория поля применяется. И эта зависимость различная для различных полей.

Все векторные поля в четырехмерии классически масштабно-инвариантны, поэтому перенормировка констант связи (проявляющая квантовое нарушение масштабной инвариантности) дает логарифмическим законом:

$$\frac{1}{g_i^2(\mu)}=\frac{1}{g_i^2(M_{gut})}+\frac{b_{SU(i)}}{8\pi^2}\log\frac{\mu}{M_{gut}}\,.$$

Нам бы хотелось чтобы $$g_i^2(M_{gut})=g^2$$ для SU(2)L и SU(3)c, и $$g^{\prime 2}(M_{gut})=4k^2g^2$$ для U(1)Y, в силу посчитанного выше. Но еще больше нам бы хотелось, чтобы на масштабе СМ константы связи принимали те значения, которые наблюдаются экспериментально. Поэтому в качестве граничных условий мы выбираем именно второе. И это естественно: мы знаем бета-функции всех полей СМ (в большинстве случае достаточно знать этот одно-петлевой множитель):

$$b_{SU(N)}=\frac{11}{3}C_A-\frac{4}{3}\sum_ic_f^iN_f^i-\frac{1}{3}\sum_ic_\phi^iN_\phi^i\,,$$

$$b_{U(1)}=-\frac{1}{10}\sum _fY_f^2-\frac{1}{20}\sum_\phi Y_\phi^2\,.$$

зависящие от квадратичного Казимира CA=N калибровочной группы G=SU(N), определенного условием facdfbcd=CAδab, квадратичного Казимира материи в представлении Ri калибровочной группы, trTaTb=ciδab, для фундаментального представления это $$c_f=c_\phi=\frac{1}{2}$$, и числа мультиплетов фермионов и скаляров в соответствующих представлениях (индекс i нумерует каждый мультиплет). Индекс f нумерует фермионы. Для СМ получаем

$$b_{SU(3)}=\frac{11}{3}\cdot 3-\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6=7$$

$$b_{SU(2)}=\frac{11}{3}\cdot 2-\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{19}{6}$$

$$b_{U(1)}=-\frac{1}{10}\cdot3\cdot(3\cdot 2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2+3\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2+3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2+$$

$$+2\cdot(-1)^2+2\cdot 2^2)-\frac{1}{20}\cdot 2\cdot 1^2=-\frac{41}{10}$$

Константа связи g' подгруппы U(1)Y калибровочной группы СМ соотносится с константой связи g группы SU(5) как g'=2kg. Поэтому для бегущей константы g' мы на самом деле получаем

$$b_{U(1)}=-\frac{82k^2}{5}\,.$$

Обозначим $$\alpha_i=\frac{8\pi}{g_{SU(i)}^2}$$. Тогда масштаб Великого Объединения можно посчитать, например, как

$$M_{gut}=\mu_0\exp\left(\frac{\alpha_3-\alpha_2}{b_2-b_3}\right)\,,$$

где μ0 есть некий масштаб, на котором мы померили α2 и α3. Для масштаба  μ0=90 ГэВ имеем α2=185 и α3=54, тогда получаем Mgut=1016 ГэВ. Однако, два других способа нахождения масштаба Великого Объединения (как пересечение ренормгрупповых линий пар констант взаимодействий (α1α2) и (α1α3)) дают тот же результат по порядку величины, но тем не менее несколько различный, см. пост Ромы про МССМ.

3. Модель Джорджи-Глэшоу предсказывает существование монополя тХуфта-Полякова. Такое предсказание является характерным для теорий Великого Объединения, в которых нарушение калибровочной группы происходит за счет механизма Хиггса. Монополь тХуфта-Полякова — это решение системы «неабелево калибровочное поле + скаляр в представлении соотвествующей калибровочной группы». Особенность монополя тХуфта-Полякова состоит в том, что он имеет магнитный заряд, который является свойством неабелевости теории, а не вкладывания магнитного заряда в уравнения движения руками (как в случае монополя Дирака, когда тождества Бьянки заменяются на уравнения движения с магнитным током монополей в правой части уравнения движения).

Если калибровочная теория неабелева, то скалярное поле, которое взаимодействует с калибровочным полем, представляет собой некий мультиплет в представлении калибровочной группы G. Допустим потенциал этого скалярного поля имеет нетривиальный минимум, вроде потенциала Хиггса. Если формируеся вакуумное ожидание скалярного поля, нетривиально минимизирующее потенциал этого поля, то калибровочная симметрия оказывается нарушенной до подгруппы H.  Многообразие минимумов образует косет G/H, где H есть группа стабильности каждого отдельного вакуумного решения для скалярного поля.

Будем искать сферически-симметричное решение нашей системы. При удалении от центра решения тензор энергии-импульса решения должен стремиться к нулю, чтобы энергия системы была конечной. Допустим на некоторой пространственной сфере Σ с достаточно большим радиусом ТЭИ равен нулю. Тогда скалярное поле на Σ принадлежит вакууму Хиггса. Следовательно калибровочная симметрия на Σ нарушена до H. Уравнения движения задают связь между вакуумом Хиггса и непряженностью поля ненарушенной калибровочной симметрии; в случае G=SO(3) и H=U(1) это:

$$F_{\mu\nu}=\partial _\nu A_\mu-\partial_\mu A_\nu+\frac{1}{e}\vec{\phi}_{vac}\cdot (\partial_\mu \vec{\phi}_{vac}\times\partial_\nu\vec{\phi}_{vac})\,.$$

Тогда мы видим что магнитный заряд действительно есть исключительно свойство неабелевости:

$$g_\Sigma =\int_{\Sigma}B^ids^i=-\frac{1}{2}\epsilon^{ijk}\int ds^iF_{jk}=-\frac{1}{2e}\int_\Sigma ds^i\epsilon_{ijk}\vec{\phi}_{vac}\cdot (\partial^j \vec{\phi}_{vac}\times\partial^k\vec{\phi}_{vac})\,.$$

Эта формула, помимо того что задает магнитный заряд монополя тХуфта-Полякова, описывает топологические свойства Хиггсовского вакуума. А именно, она устанавливает пропорциональность между магнитным зарядом и топологическим числом

$$\nu=\frac{1}{4\pi}\int_\Sigma ds^i\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\vec{\phi}_{vac}\cdot (\partial^j \vec{\phi}_{vac}\times\partial^k\vec{\phi}_{vac})\,.$$

Что это за число? Чтобы ответить на этот вопрос нужно вспомнить кое что из алгебраической геометрии.

Предположим у вас есть некоторое многообразие. Оно имеет локальные и глобальные характеристики. Локально n-мерное многообразие задается n координатами и искривленной метрикой в этих n координатах. Вообще говоря невозможно однозначно покрыть все многообразие с помощью одной координатной карты. Например, невозможно описать окружность с помощью только одной координаты (из-за периодичности этой координаты). Глобальные характеристики многообразия включают такие топологические понятия как гомология и гомотопия (помимо всего прочего).

Гомологические числа Бэтти bi указывают на колическтво нетривиальных циклических подмногообразий данного многообразия, не сводящихся друг к другу. По определению для замкнутого многообразия b0=bn=1. Если многообразие имеет дырки, то оно характеризуется ненулевыми числами Бэтти для промежуточных размерностей нетривиальных циклов, 0<i<n.

Независимая характеристика нетривиальных циклов данного многообразия предоставляется гомотопическими числами. Гомотопия — это непрерывное преобразование одного цикла в другой. Если такое преобразования существует, то два цикла называется гомотопически-эквивалентными. Нас интересует та ситуация, когда такого преобразования не существует. Неэквивалентные циклы размерности i тогда характеризуются гомотопическим классом который обозначается πi. Циклы одного и того же гомологического класса могут принадлежать разным гомотопическим классам. Например, рассмотрим 1-циклы некого многообразия: окружности вокруг дырки. С точки зрения гомологии окружности, которые оборачиваются вокруг дырки разное количество раз и в разных направлениях, принадлежат одному и тому же элементу группы гомологии. Однако с точки зрения гомотопии это не так: ибо такие циклы не могут быть переведены один в другой с помощью непрерывного преобразования. Разные элементы группы гомотопии имеют разные (целые) гомотопические числа, указывющие на то сколько раз и в каком направлении циклы оборачиваются вокруг дырок.

Slipknot — гомотопическая группа Z9

Теперь применим всё это к монополю. Вакуум Хиггса $$\vec{\phi}_{vac}$$ задает отображение сферы Σ в многообразие G/H. С точки зрения топологии это отображение характеризуется гомотопическим числом ν, определяющим гомотопический класс $$\pi_2(G/H)$$ отображения сферы Σ на многообразие вакуумов Хиггса G/H.

Другое утверждение состоит в том что ν также описывает класс гомотопии 1-циклов сохраняющейся калибровочной подгруппы H: $$\pi_1(H)\sim\pi_2(G/H)$$, так что заряд монополя можно описать либо с помощью гомотопии вакуума Хиггса, либо с помощью гомотопии пространства представления ненарушенной калибровочной подгруппы.

В применении к модели Джорджи-Глэшоу: косет группы G=SU(5) по H калибровочной группе СМ имеет нетривиальную группу гомотопий $$\pi_2(G/H)=Z$$, поэтому теория предсказывает существование магнитных монополей на масштабе нарушения SU(5), т.е. на масштабе Великого Объединения. Упражнение для читателей: докажите что множество целых чисел действительно задает гомотопические классы СМ, вложенной в группу SU(5).

Ключевые слова: квантовая теория поля | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Koenraad Schalm — «Can you see quantum gravity?»

22 мая 2012 года, 15:30

Я только что вернулся с доклада Кунрада Скхалма о поправках к спектру черного тела в распределении космического микроволнового фона. Доклад был основан на недавней статье Mark G. JacksonKoenraad Schalm «Model-Independent Signatures of New Physics in non-Gaussianity».

Итак, почему доклад имеет такое интригующее название? Классическая гравитация Эйнштейна — это эффективная теория, которая верна только до определенного масштаба энергии. В ранней Вселенной гравитация Эйнштейна была неприменимой. Для описание динамики ранней Вселенной нужно принять во внимание поправки к эффективному действию — эффект квантовых флуктуаций, или математически — эффект петель. Формирование галактик есть грубо говоря следствие этих квантовых флуктуаций. В каком смысле? Квантовые неоднородности пространства-времени в процессе инфляции «раздулись» до макроскопического масштаба, формируя неоднородное распределение материи во Вселенной. Однако, изучая то, «как» они раздулись, а именно, изучая корреляции неоднородностей, можно заключить о том, какие члены присутствуют в эффективном действии квантовой гравитации.

Всё это более-менее известные вещи. В чем состоит новизна работы, представленной на докладе? Основная идея состоит в рассмотрении эффективной теории гравитации, с дополнительными членами в действии, некоторого общего типа. Эти дополнительные члены позволяют посчитать петлевые поправки к корреляционным функциям возмущений микроволнового фона. Далее, зная корреляционные функции, можно посчитать распределение микроволнового фона. Особенностью является то, что вильсоновский подход должен быть модифицирован так чтобы принять во внимание несохранение энергии в теории гравитации.

В ведущем порядке распределение микроволнового фона — это распределение черного тела. Представленная работа дает поправки к этому распределению. Предсказанные корреляции в микроволновом фоне могут быть непосредственно сравнены с наблюдениями, что и будет осуществлено в ближайшее время, наверное.

Ключевые слова: гравитация, квантовая теория поля | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Голографическая перенормировка (3)

4 мая 2011 года, 14:19

Предыдущий пост был закончен обсуждением деформации конформной теории поля на границе неким неконформно-инвариантным членом взаимодействия и обсуждением того как несущественные (неперенормируемые) члены взаимодействия проявляют себя с гравитационной стороны в объеме. Итак, если мы деформируем лагранжиан теории поля на границе неконформным членом взаимодействия $${\cal O}$$ то ясно, что для того чтобы генерирующий функционал AAdS/QFT соответствия $$\exp(\varphi{\cal O})$$ был скаляром, необходимо чтобы поле мультиплета супергравитации φ (дуальное $${\cal O}$$) было скаляром.

В случае супергравитации в d=5 имеется 42 скаляра. Чтобы это понять, нужно вспомнить, какие поля имеются в супергравитации типа-IIB в AdS5×S5, и потом совершить КК редукцию на сфере S5. Итак, мы имеем суперсимметричный полевой состав 128+128. Здесь 128 бозонов (это 35 степеней свободы гравитона, 28 степеней свободы поля B2, 1 дилатон) и RR поля (1 компонента поля С0, 28 компонент поля C2 и 35 компонент поля C4 (половина от 70 из-за условия самодуальности соответствующего тензора напряженностей F5)). Далее, при КК редукции на сферу S5 все индексы этих пяти редуцированных направлений редуцируются, в результате чего генерируются скаляры. Каждому из этих скаляров соответствует один из 42 скаляров теории YM на границе. Например, дилатон φ и аксион C0 соответствуют кинетическому члену Λ*F и топологическому члену Λ F теории на границе соответственно.

Метрика генерирует 15 скаляров, параметризующих группу внутренних симметрий SO(6) ~ SU(4). Соответственно действие N=8 D=5 супергравитации в AdS5 выглядит следующим образом:

$$S=\cfrac{1}{16\pi G_{5}}\int d^5x\sqrt{-g}[{\cal R}+\frac{12}{R^2}-G_{ij}\partial_\mu\varphi^i\partial^\mu\varphi^j-V(\varphi)+\cdots].$$

Чтобы посчитать что-то конкретное (см. Kiritsis, String theory in a nutshell, 13.12.2) оставим только один скаляр, соответсвующий оператору $${\cal O}$$, добавленному к лагранжиану. Итак, рассмотрим действие в объеме

$$S=\cfrac{1}{16\pi G_5}\int d^5x\sqrt{-g}[{\cal R}-2\partial_{\mu}\varphi\partial^{\mu}\varphi-V(\varphi)]$$

с наиболее общей метрикой, обладающей 4d Пуанкаре-инвариантностью:

$$ds^2=d\gamma^2+e^{2A(\gamma)}(-dt^2+dx\cdot dx).$$

Можно вернуться к AdS метрике в координатах Пуанкаре если заменить = eγ/R и подставить A(γ) = γ/R. Горизонт (т.е. то, что является границей, отделяющей половину AdS, покрываемую координатами Пуанкаре, от другой половины, см. рисунок здесь) соответсвует γ = ∞, а граница = 0 соответствует γ = . Если A(γ) → γ/R при γ → , то пространство является асимптотически AdS, т.е. AAdS. Такой анзатц соответсвует тому, что теория на границе является N=4 SYM CFT в ультрафиолете (E → ∞ соответсвует z → 0 или γ → ). Действие переписанное для предложенного азатца выглядит следующим образом (знак перед потенциалом правильный :) )

$$S=\frac{1}{16\pi G_5}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!d\gamma\,e^{4A}[2(\varphi')^2-12(A')^2+V(\varphi)].$$

В 4d суперсимметричных теориях потенциал скалярного поля выражается через суперпотенциал следующим образом:

$$V(\varphi)=\frac{4}{R^2}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial\varphi}\right)^2-\frac{4}{3}W^2\right].$$

В данном случае это удобство обозначения, однако стоит напомнить, что суперпотенциал это голоморфная функция киральных суперполей, что обеспечивает суперсимметричность F-члена действия ∫d2θ W(Φ). Далее, после того как исключаются нединамические вспомогательные скалярные компонентные поля суперполя Ф, в компонентном действии остается потенциальный член V, выраженный через суперпотенциал как указано выше.

Хорошо, переписываем действие используя понятие суперпотенциала:

$$S=\frac{1}{16\pi G_5}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\gamma e^{4A}\left[2\left(\varphi'\pm\frac{1}{R}\frac{\partial W}{\partial\varphi}\right)^2-12\left(A'\mp\frac{2}{3R}W\right)^2\right]\mp\frac{1}{4\pi G_5R}e^{4A}W|_{\gamma=-\infty}^{\gamma=+\infty}$$

и записываем уравнения движения

$$A'=-\frac{2}{3R}W\,,\quad\quad\varphi'=\frac{1}{R}\frac{\partial W}{\partial\varphi}\,.$$

Эти уравнения представляют собой специальные уравнения, экстремизирующие действие, ибо они являются уравнениями первого, а не второго порядка. Мы выбрали именно специальное решение, ибо мы хотим сравнить динамику в объеме в зависимости от радиальной координаты с RG потоком на границе, а уравнения RG есть уравнения первого порядка (т.е. необратимы, потому RG есть не вполне группа, ибо не имеет обратного преобразования).

Ключевые слова: AdS/CFT, квантовая теория поля | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Голографическая перенормировка (2)

1 мая 2011 года, 12:58

Продолжим изучение перенормировок в квантовой теории поля, в данном посте — методом AdS/CFT соответствия (Holographic renormalization group — HRG). Напомню, что в предыдущем посте был сформулирован Вильсоновский подход к теории перенормировок, при котором функциональный интеграл разбивается на высокоэнергетическую bΛ < |k| < Λ и низкоэнергетическую |k| < bΛ части, причем явное интегрирование по высокоэнергетическим модам дает эффективную низкоэнергетическую теорию с эффективными константами, зависящими от b. Вопрос в том, что происходит при этом с дуальной (согласно AdS/CFT соответствию) супергравитацией в = 5 пространстве-времени.

Другая мотивация к исследованию HRG состоит в том, что AdS/CFT соответствие позволяет описывать дуальным образом гравитацию в AdS, в то время как не очевидно как перейти к дуальному без-гравитационному полевому описанию гравитации в другом фоне. На самом деле существенным для дуальности является наличие границы (которую можно иногда и руками добавить, на самом деле) пространства-времени, и потому ближайшим расширение AdS является AAdS (см. ниже) — тоже пространство, топологически эквивалентное шару, отличающееся от AdS фактором искривления (warp factor) вдали от границы. При этом дуальная теория поля не CFT, а просто QFT.

Разумеется мотивацию предыдущего абзаца можно обратить и заинтересоваться в первую очередь описанием гравитационным образом неконформной теории поля.

1. Начнем с напоминания наиболее распространенного примера AdS/CFT соответствия, т.е. соответствия между теорией суперструн в AdS5×S5 и= 4 теорией супер Янг-Миллса. Последняя конформно-инвариантна, поэтому не зависит от энергетического масштаба b. Кроме того скейлинговое преобразование CFT соответствует рескейлингу радиальной координаты z. А именно ~ 1/z. Детали я описал в предпоследнем пункте здесь. Таким образом конформная инвариантность теории на границе напрямую связана с голографической природой радиальной координаты z.

Допустим теперь, что теория на границе — просто QFT, не обязательно конформно-инвариантная. Ясно, что при этом дуальная гравитация живет не в AdS5×S5. Некоторые исследования были проведены для AAdS — асимптотически AdS фона. Асимптотически — т.е. AdS при приближении к конформной границе, наличие которой является существенной для рассмотрения дуальной QFT. Теперь параметры QFT (константы и напряженности) зависят от масштаба b. По-прежнему энергетическому масштабу QFT соответствует радиальная координата в объеме. Соответствие между гравитацией и теорией поля при этом приобретает более утонченный характер — теперь значение радиальной координаты z существенно с точки зрения соответствия тому или иному энергетическому масштабу теории поля на границе. Доказательство дано в п. 3 ниже.

2. Следуя работе Heemskerk, Polchinski «Holographic and Wilsonian renormalization groups» разобьем интеграл по путям теории супергравитации в объеме на участки z < l, z l, z > l, где l — некое данное расстояние до границы AAdS:

$$Z=\int{\cal D}\varphi e^{-\kappa^{-2}S}=\int{\cal D}\varphi|_{z>l}{\cal D}\tilde\varphi{\cal D}\varphi|_{z<l}e^{-\kappa^{-2}S|_{z>l}-\kappa^{-2}S|_{z<l}}$$

где $$\tilde\varphi ^i=\varphi^i(l,x)$$ есть значение рассматриваемых полей мультиплета супергравитации при z = l. Такое разбиение прямо соответствует Вильсоновскому разбиению после введения масштаба b. Соответственно формула, постулируемая для вычисления корреляционных функций в AdS/CFT соответствии здесь, обобщается для AAdS/QFT соответствия следующим образом:

$$\left\langle\exp\left(\frac{1}{\kappa^2}\int d^dx\tilde\varphi^i(x){\cal O}_i(x)\right)\right\rangle_{b\Lambda<1}=\int{\cal D}\varphi |_{z>l}e^{-\kappa^{-2}S|_{z>l}}$$

где как обычно

$$\left\langle\exp\left(\frac{1}{\kappa^2}\int d^dx\tilde\varphi^i(x){\cal O}_i(x)\right)\right\rangle_{b\Lambda<1}=\frac{1}{{\cal Z}}\int{\cal D}M_{b\Lambda<1}\exp\left(-S_0+\frac{1}{\kappa^2}\int d^dx\tilde\varphi^i(x){\cal O}_i(x)\right)$$

Здесь M - поля QFT, $${\cal O}$$ — построенные из них калибровочно-инвариантные операторы, дуальные полям в объеме φ.

3. Таким образом видно, что как и в случае AdS/CFT соответствия мы исходим из постулирования того факта, что поля в объеме «взаимодействуют» (то есть влияют количественно на дуальность) с полями на границе посредством простейшего члена через граничные значения. В то время как в AdS/CFT соответствии эти граничные значения берутся в z = 0, в AAdS/QFT соответствии они берутся в = l, причем l может меняться. Таким образом изменение значения полей супергравитации φi|z=l соответствует изменению константы связи «членов взаимодействия» с операторами $${\cal O}_i$$ дуальной теории поля.

Вот как проявляется голографическая перенормировка: каждой константе связи теории поля соответствует скалярное поле в объеме, причем изменение величины скалярного поля в зависимости от радиальной координаты z соответствует изменению эффективной константы связи в зависимости от диапазона изменения энергии распространяющихся мод теории поля.

4. Далее будем следовать книге Kiritsis, String theory in a nutshell. Допустим мы хотим деформировать конформную теорию поля на границе и посмотреть как эта деформация отражается на супергравитации в объеме. Итак, к действию S0 конформно-инвариантной теории на границе мы добавляем неинвариантный относительно конформных преобразований член, выраженный через оператор $${\cal O}$$ с конформной размерностью Δ. В результате получаем действие

$$S=S_0+\mu\int d^4x{\cal O}(x)$$

квантовой теории поля, не обязательно конформно инвариатной. Если Δ ≠ 4, то теория с действием S не является конформно инвариантной и константа связи μ размерна. А именно, если Δ > 4, то μ < 0 и соответствующий член взаимодействия является несущественным в соответствии с классификацией в предыдущем посте о перенормировках. Такое взаимодействие расходится в UV и неперенормируемо (т.к. перенормируемое взаимодействие должно иметь бесконечные перенормированные константы связи в IR и конечные в UV). С другой стороны допустим скалярное поле φ как указано выше соответствует оператору $${\cal O}$$ «через» свое значение на границе φ0. Тогда постольку поскольку вблизи границы пространство-время в объеме все равно AdS, то решая там уравнение Лапласа для безмассового скалярного поля получаем

$$\varphi(z,x)\sim z^{4-\Delta}\varphi_0(x)+z^\Delta\langle{\cal O}\rangle.$$

Ясно тогда, что несущественному оператору теории поля соответствует скалярное поле расходящееся на границе z = 0, т.е. в объемной части соответствующей UV на границе. Чтобы иметь конечные генерирующие функционалы $$\sim\exp(\varphi(z){\cal O})$$ нужно выбрать φ0 бесконечно малым, что очевидно уничтожит генерирующий функционал соответствия в UV, т.е. в z = 0. Разве что таких полей будет бесконечно много, что соответствует бесконечному числу контрчленов неперенормируемых теорий.

***

В следующем посте проделаем некоторые конкретные вычисления RG потока в объеме.

Ключевые слова: гравитация, квантовая теория поля, геометрия, AdS/CFT | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Голографическая перенормировка (1)

24 апреля 2011 года, 19:14

Is your coupling constant running?

Логично продолжить изучение AdS/CFT соответствия рассмотрением голографической перенормировки (HR). HR показывает, как изменение энергетического масштаба теории сказывается на величинах этой теории методом супергравитации в объеме. Действительно, масштаб теории поля связан с радиальной координатой, поэтому изменение радиальной голографируемой координаты соответствует изменению энергетического масштаба. Существуют теории поля, в которой этой координаты вообще нет.

Перед тем как изучать HR, стоит вспомнить, что такое перенормировка в обычной теории поля. На этом и сосредоточимся в данном посте. Я не буду писать много формул, просто объясню идею с физической точки зрения. Формулы можно найти в книге Пескина и Шредера.

Введение

Допустим, у нас есть некая физическая система. Классически она описывается с помощью какого-то гамильтониана или (что эквивалентно в силу преобразования Лежандра) лагранжиана (действия). Также необходимо задать начальные и (или) граничные условия. После этого мы способны предсказать всё, что будет происходить с этой классической системой.

Исчерпывается ли знание действия этой системы только возможностью описания ее классической эволюции? Как известно, нет. Действительно, квантовая эволюция описывается с помощью уравнения Шредингера, в которое входит гамильтониан. Зная классический гамильтониан, мы можем построить квантовый и таким образом описать квантовую динамику системы.

Однако, можно воспользоваться подходом Фейнмана и отказаться от гамильтонова описания квантовой динамики. Тогда эволюция квантовой системы описывается с помощью интеграла по путям. При таком подходе берутся классические (не операторные) поля φ, берется классическое действие S[φ] и вычисляется функциональный интеграл (мнимую единицу i опускаем, то есть рассматриваем евклидово пространство)

$$Z=\int{\cal D}\varphi e^{-S[\varphi]}$$

по всем возможным полевым конфигурациям с данными граничными условиями. Значение интеграла равно амплитуде перехода системы из начального состояния в конечное.

Точное вычисление функционального интеграла Z — трудная задача. Вместо этого можно разложить экспоненту в ряд и ограничиться каким-то конечным числом членов разложения. Когда это возможно? Тогда, когда ряд сходится, соответственно теория называется пертурбативной (теория возмущений). Чтобы проверить, сходится ли ряд или нет, нужно в том числе сравнить величину безразмерной константы связи с единицей (ясно, что количество диаграмм на каждом шагу теории возмущений растет примерно как факториал, что в целом существенно отражается на расходимости всего ряда теории возмущений). Константа связи является множителем лагранжиана, поэтому каждый следующий член разложения экспоненты e−S в ряд содержит константу связи в увеличивающейся степени.

Вычисление функционального интеграла по теории возмущений сводится к вычислению конечного числа фундаментальных вычисляемых величин. Совокупность их значений называется правилами Фейнмана. Каждый член разложения Z представляется как некая комбинация этих фундаментальных блоков, и изображается с помощью диаграммы. Соответственно, диаграмма есть совокупность конечного числа фундаментальных диаграмм. Таковыми являются вершины взаимодействия, пропагаторы (двухточечные корреляционные функции) и внешние линии. Их числовые значения однозначно выводимы из классического действия системы. Таким образом, казалось бы, что в идеале, зная классическое действие системы, можно просуммировать все диаграммы Фейнмана и получить амплитуду квантовой эволюции.

Однако, даже на первых шагах суммирования (в первых слагаемых разложения экспоненты) возникают проблемы. Эти проблемы связаны с расходимостью интегралов по импульсам в пропагаторах (в петлях). Чтобы избавиться от бесконечностей, применяется процедура перенормировки. Физическая теория должна быть перенормируемой. Это значит, что во всех диаграммах бесконечные слагаемые представляют собой отдельные члены, которые можно полностью вычесть из выражения. Делать это нужно аккуратно.

Нельзя просто добавить или вычесть бесконечность. Сперва нужно ввести некие ограничения на теорию — при расходимости в интегрировании по импульсу это ограничения на максимальное (при UV расходимостях) или минимальное (при IR расходимостях) значение энергии. Впоследствии эти ограничения будут устремляться к своим предельным значениям. Можно увидеть, какие члены при этом устремляются в бесконечность, и модифицировать теорию так, чтобы эти члены сокращались. Возможность осуществить такую модификацию называется перенормируемостью.

Как видно, свойство перенормируемости зависит от поведения системы при изменении границ ее энергетического масштаба. Для изучения деталей, важных впоследствии при рассмотрении подхода Вильсона, введем понятие кажущейся степени расходимости (кажущейся — потому, что в некотором числе случаев она неправильно описывает реальное положение дел, однако такие случаи классифицируемы, и их присутствие не важно для анализа поведения бесконечного числа диаграмм).

Пусть D есть разность числа степеней импульса в числителе выражения для амплитуды минус разница степеней импульса в знаменателе этого выражения. Рассмотрим скалярную теорию для поля φ и будем изучать свойство перенормируемости произвольного члена взаимодействия в лагранжиане, содержащего N степеней φ, и M производных φ. Также оставим размерность пространства-времени d нефиксированной. Число интегрирований по импульсам в произвольной данной диаграмме обозначим за L, и оно равно числу пропагаторов P минус число вершин V (каждая из вершин содержит дельта-функцию и потому снимает интегрирование по импульсу) плюс 1 (одна дельта-функция есть просто равенство начального и конечного импульсов процесса, описываемого диаграммой). Возьмите, например, однопетлевую поправку к пропагатору. В ней имеется одно интегрирование по импульсу 1 = 2 − 2 + 1. Итак,P − V + 1.

Если n — число внешних линий диаграммы, то полное число пропагаторов P можно найти как P = ½(NV − n), что есть отражение того факта, что в каждой вершине сходятся N линий, причем n из общего числа линий являются внешними, а половина оставшихся — пропагаторами (ибо пропагатор соединяет две вершины). Наконец, если ≠ 0, то каждая вершина добавляет M степеней импульса в числитель. Тогда получаем следующее выражение для кажущейся степени расходимости

D = dL − 2P + MV = d + [N(d/2 − 2) + M − d]V − (d/2 − 1)n.

Ясно, что сходимость диаграммы требует D < 0. В физически состоятельной теории могут иметься расходящиеся диаграммы, но они должны быть регуляризуемы. Чтобы это было так, мы должны иметь конечное число типов расходящихся диаграмм, что позволит поглотить все расходимости за счет перенормировки константы связи (а также напряженности поля и его массы).

Это требование можно удовлетворить, только если константа при V в выражении для кажущейся степени расходимости D равна нулю либо отрицатаельна. Если она отрицательна, то чем больше вершин (то есть чем глубже мы исследуем ряд теории возмущений), тем меньше становится D, и потому число расходящихся диаграмм конечно и теория суперперенормируема. С другой стороны, если константа при V равна нулю, то расходимость не зависит от порядка теории возмужений, хотя в каждом порядке могут иметься расходящиеся диаграммы, содержащие расходящиеся поддиаграммы, причем число типов этих расходящихся поддиаграмм конечно и теория перенормируема. Если константа при V положительна, то каждый шаг теории возмущений генерирует всё новые расходящиеся диаграммы, не сводящиеся к старым, что нельзя регуляризовать модификацией конечного числа параметров исходного лагранжиана — теория неперенормируема.

С другой стороны, скалярное поле φ имеет размерность d/2 − 1, поэтому константа связи λ при рассматриваемом члене взаимодействия должна иметь размерность d − N(d/2 − 2) − M, что есть коэффициент при V в выражении для D с обратным знаком. Таким образом, заключение о перенормируемости взаимодействия можно сделать, исходя из размерности константы связи этого взаимодействия (например, константа Ньютона в пространстве-времени размерности d имеет размерность 2 − d, так что гравитация неперенормируема при любых уместных для существования гравитации размерностях d. В теории струн это несущественно, ибо там гравитация есть просто низкоэнергетическая эффективная теория в объеме для конформно-инвариантной теории струн на мировой поверхности).

Все эти выводы, полученные на примере скалярного поля, на самом деле легко обобщаются для произвольной теории. Пусть di есть массовая размерность i-ого члена взаимодействия лагранжиана. Ясно тогда, что константа связи λi при этом члене взаимодействия имеет размерность d − di. Каждая вершина диаграммы содержит эту константу связи, поэтому если величина d − di положительна, то каждая новая вершина добавляет отрицательную степень импульсов di − d и теория оказывается суперперенормируемой. И т. д.

Вильсоновский подход

Идея подхода Вильсона состоит в объяснении природы расходимостей с помощью анализа поведения теории при различных энергетических масштабах. Когда мы строим квантовую теорию исходя из классического лагранижиана, мы получаем бесконечности в высших энергетических петлевых процессах. Тогда мы перенормируем константы и напряженности полей исходной классической теории, так что они становятся бесконечными. Зато все амплитуды теперь конечны и фундаментальная квантовая теория последовательна. В результате оказывается, что мы не обязательно должны знать, как выглядит «правильный» лагранжиан теории. Нам просто достаточно знать, как изменяются константы связи в зависимости от того, в каком энергетическом пределе мы рассматриваем теорию.

Ясно, что при таком подходе наличие большого обрезания сверху Λ является существенным (скажем, можно взять планковскую энергию в качестве Λ), ибо только тогда можно менять энергетический масштаб теории с помощью рескейлинга на величину < 1.

Итак, пусть мы строим квантовую теорию исходя из классического действия методом функционального интеграла. Но предположим, что мы интересуемся низкоэнергетической квантовой теорией, то есть теорией с импульсами полей в пределах 0 < |k| < bΛ (рассматриваем Евклидову теорию, иначе близкий к световому малый импульс может все еще соответствовать большим энергиям). Тогда в функциональном интеграле нужно явно проинтегрировать по всем модам $$\hat{\varphi}$$ с большими импульсами bΛ < |k| < Λ:

$$Z_0=\int\limits_{|k|<b\Lambda}{\cal D}\varphi e^{-S_0[\varphi]}=\int\limits_{|k|<b\Lambda}{\cal D}\varphi\int\limits_{b\Lambda<|k|<\Lambda}{\cal D}\hat\varphi e^{-S[\varphi+\hat\varphi]},$$

что, очевидно, просто означает переход к эффективному действию S0[φ] по формуле

$$e^{-S_0[\varphi]}=\int\limits_{b\Lambda<|k|<\Lambda}{\cal D}\hat{\varphi} e^{-S[\varphi+\hat\varphi]}.$$

Таким образом, результат явного интегрирования по высокоэнергетическим модам можно представить как модификацию действия, зависящего только от полей φ с низкоэнергетическими импульсами. Легко понять, как именно модифицируется исходное действие. Если взять какой-то член (например, взаимодействия) из исходного действия, то его можно представить как произведение мод полей с большими и малыми импульсами. Мы явно интегрируем по большим импульсам, то есть сводим все пропагаторы по большим импульсам в точку. Подобная процедура, во-первых, естественно, добавляет новые типы взаимодействий: там, где раньше был пропагатор, теперь генерируется вершина, ибо мы не различаем пропагаторы с большими импульсами bΛ < |k| < Λ. Во-вторых, происходит перенормировка тех членов взаимодействия и массовых членов, которые уже имелись в исходном действии. Особенность в том, что новые генерируемые вершины неперенормируемого типа вымирают в низкоэнергетическом пределе b → 0.

В эффективном действии S0[φ] интегрирование производится только по импульсам в пределах 0 < |k| < bΛ. Если мы хотим сравнить эффективное действие с исходным и посмотреть, как отличаются константы связи различных взаимодействий в этих двух выражениях для действия, то мы должны сделать замену k' = k/b, x' = xb. В результате в новых импульсных переменных k' инетгрирование снова производится до Λ, хотя теперь это чисто «координатный» импульс, не физический (то есть это не импульс, канонически сопряженной координате плоского, а не конформно-плоского, пространства). Ясно что при таком преобразовании мы получим тот же член лагранжиана взаимодействия, только константа связи будет умножена на b(d/21)+Md, давая эффективную константу связи низкоэнергетической теории. В результате мы заключаем, что в суперперенормируемых теориях эффективная константа связи растет при уменьшении энергетического масшата теории b, и потому называется существенной, в перенормируемых не меняется, и называется маргинальной, в то время как в неперенормируемых теория вымирает, и называется несущественной.

Уравнение ренормализационной группы

Рассмотрим безмассовое скалярное поле с четвертичным самодействием φ4. Функции Грина в такой теории

$$\langle\Omega|T\varphi_0(x_1)\varphi_0(x_2)\cdots\varphi_0(x_n)|\Omega\rangle$$

являются расходящимися, но перенормируемыми. Перенормировка означает изменение константы λ взаимодействия φ4 и напряженности поля φ0. (Перенормированное поле уже обозначается как φ.)

Конкретная схема перенормировки напоминает выбор единиц измерения. В данном случае нужно выбрать масштаб перенормировки M,  то есть некоторое значение энергии, при котором точно определяется, чему равны конечные выражения для пропагатора и вершины. Переход от одного значения M к другому есть просто вопрос выбора «единиц измерения». При этом изменению M соответствует изменение перенормированной константы связи и напряженности поля:

M → δM,

λ  λ + δλ,

φ → (1 + δη)φ.

Связь между вариациями этих величин описывается уравнением Каллана-Симанчика:

$$[M\frac{\partial}{\partial M}+\beta{\lambda}\frac{\partial}{\partial\lambda}+\eta\gamma(\lambda)]G^{(n)}(\{x_i\};M,\lambda)=0.$$

Здесь введена перенормированная функция Грина

$$G^{(n)}(x_1,\cdots, x_n)=\langle\Omega|T\varphi(x_1)\cdots\varphi(x_n)|\Omega\rangle$$

и функции

$$\beta=M\frac{\partial\lambda}{\partial M},\quad\gamma=-M\frac{\partial\eta}{\partial M}.$$

Ключевые слова: квантовая теория поля | Оставить комментарий
Роман Парпалак

Эффект Унру

28 февраля 2011 года, 15:37

Суть эффекта Унру заключается в том, что равноускоренный наблюдатель начинает видеть вокруг себя равновесное тепловое излучение, в то время как наблюдатель в инерциальной системе отсчета не видит ничего. В работе «Is there Unruh radiation?» авторов G. W. Ford и R. F. O'Connell есть вывод формулы для температуры Унру. Проследим за этим выводом.

Модель

Рассмотрим струну в пространстве (1 + 1) с лагранжианом

$$L=\int dy \left[ {\frac{\sigma }{2}}\left({\frac{\partial u}{\partial t}}\right)^{2}-{\frac{\tau }{2}}\left({\frac{\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\right].$$

Для случая скалярного поля нужно взять σ = 1/4π, τ = с2/4π. Несложно получить уравнение движения

$${\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$$

Его решение выписывается через ряд Фурье

$$u(y,t)=\sum_{k}\sqrt{{\frac{\hbar }{2\sigma L\omega }}}\left(a_{k}e^{i(ky- \omega t)}+a_{k}^{\dag }e^{-i(ky-\omega t)}\right),$$

где L — длина струны; частота и импульс связаны дисперсионным соотношением ω c|k|; сумма по импульсам пробегает значения, кратные 2π/L.

Квантование

Теперь проквантуем эту систему, потребовав выполнения коммутационных соотношений

$$\lbrack a_{k},a_{k^{\prime }}^{\dag }]=\delta _{k^{\prime}k},\quad\lbrack a_{k},a_{k^{\prime }}]=0.$$

Как утверждается, для струны в тепловом равновесии при температуре T можно определить следующие вакуумные средние:

$$\left\langle a_{k}a_{k^{\prime }}^{\dag }+a_{k^{\prime }}^{\dag}a_{k}\right\rangle =\,\mbox{cth}\, \frac{\hbar \omega }{2kT}\,\delta_{k^{\prime}k}, \quad\left\langle a_{k}a_{k^{\prime }}+a_{k^{\prime }}a_{k}\right\rangle =0.$$

Действительно, в первом выражении легко распознать $$2\bar{n}_k + 1$$. Среднее число квантов $$\bar{n}_k$$ дается статистикой Бозе — Эйнштейна, откуда и получается гиперболический котангенс.

Термодинамическое равновесие

Мы будем изучать поведение корреляционной функции поля

$$C(\Delta y,\Delta t)\equiv {\frac{1}{2}}\left\langle u(y_{1},t_{1}) u(y_{2},t_{2}) + u(y_{2},t_{2}) u(y_{1},t_{1}) \right\rangle ,$$

где Δy = y1 − y2, Δt = t1 − t2. Рассматривать спектральную плотность и пространственное распределение излучения было бы нагляднее. Но можно заниматься и корреляционной функцией, ведь она связана со спектральной плотностью (и, видимо, пространственным распределением) преобразованием Фурье.

После выполнения вычислений и перехода к бесконечной длине (→ ∞), связанного с заменой суммирования интегрированием, получаем

$$C(\Delta y,\Delta t)=\frac{\hbar }{4\pi \sigma }\int\limits_{-\infty }^{\infty }dk \frac{1}{\omega }\,\mbox{cth}\, \frac{\hbar \omega }{2kT}\cos \left( k\Delta y-\omega \Delta t\right).$$

Это выражение, вообще-то, расходится в области больших длин волн (или малых k). Но его можно, как обычно, разделить на сумму конечной части, зависящей от Δy и Δt, и бесконечной, не зависящей от этих переменных:

$$C(\Delta y,\Delta t) = const -\frac{\hbar }{4\pi \sigma c}\left(\ln \mbox{sh} \frac{\pi kT}{\hbar }\left(\Delta t-\frac{\Delta y}{c}\right)+ \ln \mbox{sh} \frac{\pi kT}{\hbar }\left(\Delta t+\frac{\Delta y}{c}\right)\right).$$

Корреляционная функция в фиксированной точке (Δy = 0) принимает вид

(1)$$C(0,\Delta t)=const-\frac{\hbar }{2\pi \sigma c}\ln \mbox{sh}\, \frac{\pi kT\Delta t}{\hbar }.$$

Еще нам понадобится корреляционная функция при нулевой температуре

$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)\equiv {\frac{\hbar }{4\pi \sigma }}\int\limits_{-\infty}^{\infty }\frac{dk}{\omega }\cos (k\Delta y-\omega \Delta t).$$

Здесь нужно выделять конечную часть по-другому. После преобразований получается

(2)$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)=const-{\frac{\hbar }{4\pi \sigma c}}\ln \left\vert\Delta t^{2}-\frac{\Delta y^{2}}{c^{2}}\right\vert.$$

Равноускоренное движение

Движение под действием постоянной силы F описывается в СТО известным уравнением

$${\frac{d}{dt}}{\frac{mv}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}}=F,$$

где под скоростью v понимается dy/dt. Его решение легко найти:

$$y={\frac{mc^{2}}{F}} \, \mbox{ch}\, \frac{F\tau }{mc},\quad t={\frac{mc}{F}}\,\mbox{sh}\, \frac{F\tau }{mc},\quad -\infty <\tau <\infty .$$

Параметр τ совпадает с собственным временем ∫dt (1 − v2/c2)1/2. Отсюда для двух точек на мировой линии можно получить, что

(3)$$\sqrt{\Delta t^{2}-\Delta y^{2}/c^{2}}={\frac{2mc}{F}}\,\mbox{sh}\, \frac{F\Delta\tau }{2mc},$$

где Δτ = τ1 − τ2.

Температура Унру

Из (2) и (3) получаем, что функция корреляции поля с нулевой температурой для точек вдоль мировой линии равноускоренного наблюдателя зависит только от Δτ:

$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)=const-{\frac{\hbar }{2\pi \sigma c}}\ln \mbox{sh}\, \frac{F\Delta \tau }{2mc}.$$

Сравнение последнего выражения с (1) показывает, что поле с нулевой температурой будет выглядеть для движущегося равноускоренно наблюдателя так, как будто обладает температурой Унру

$$kT={\frac{\hbar F}{2\pi mc}}.$$

Выводы

Отметим, что температура Унру очень мала. Так, для ускорения, совпадающего с ускорением свободного падения, температура Унру равна 4·10−20 К.

Эффект Унру в некотором смысле аналогичен излучению Хокинга. Действительно, для равноускоренного наблюдателя существует так называемый риндлеровский горизонт, аналогичный горизонту событий черной дыры.

Были предложения проверить эффект Унру, наблюдая дополнительное излучение за счет тепловых флуктуаций ускоренно движущейся частиц, например, электронов, освещенных мощными лазерами. Однако ряд авторов опровергает наличие дополнительного излучения, заявляя о компенсации возможного испускания поглощением энергии вакуумных (уже теплых!) полей. Например, далее в упомянутой статье разбирается пример осциллятора, связанного со скалярным полем, и прямым вычислением показывается отсутствие излучения.

Несмотря на малую величину, эффект Унру имеет важное философское значение. Действительно, этот эффект позволяет в принципе определить абсолютное ускорение системы отсчета. Таким образом опровергается принцип Маха в формулировке, утверждающей, что «имеет значение только ускорение относительно неподвижных звезд».

Ключевые слова: равновесное излучение, квантовая теория поля, гравитация | Комментарии (19)