Заметки о теоретической физике → Ключевые слова → геометрия

геометрия

Роман Парпалак

Метод наименьших квадратов во многомерном пространстве

17 ноября 2013 года, 17:35

Я собираюсь применить метод наименьших квадратов для проведения гиперплоскости через набор точек во многомерном пространстве. Для начала вспомним суть метода и поймем, в чем состоит задача.

В простейшем случае метод наименьших квадратов применяется для проведения прямой линии через набор экспериментальных точек и состоит в минимизации суммы квадратов отклонений $$\inline\sum(y_i-ax_i-b)^2$$, которые списываются на погрешность измерений. В результате минимизации для коэффициентов a и b получается простая система линейных уравнений. Здесь важно предположение о том, что ошибки по оси x пренебрежимо малы по сравнению с ошибками по оси y. Если это не так, то минимизировать нужно более сложное выражение.

Иногда возникает задача другого рода — провести геометрическую прямую через набор геометрических точек «наилучшим образом». Для этой задачи метод наименьших квадратов нужно адаптировать, так как поспешное применение формул для коэффициентов a и b будет давать разные прямые в разных системах координат. Теперь отклонения по осям должны быть одинаковы. Правильный подход заключается в минимизации суммы квадратов расстояний $$\inline\sum(y_i-ax_i-b)^2/(1+a^2)$$ от точек (xi, yi) до проводимой прямой. Он дает нелинейную систему уравнений, которую можно решать численно. Однако этот подход тяжело обобщается на интересующий меня многомерный случай. Поэтому мы с самого начала будем рассматривать задачу во многомерном пространстве.

Задача

Пусть задан набор точек $$\vec{x}^k$$. Мы хотим провести гиперплоскость $$(\vec{n}\cdot\vec{x}) = d$$ такую, что сумма квадратов расстояний от точек $$\vec{x}^k$$ до нее будет минимальна. Расстояние до гиперплоскости находится с помощью проекции на единичный вектор нормали $$\vec{n}$$, и выражение для минимизации принимает вид

$$\sum_k\left((\vec{n}\cdot\vec{x}^k)-d\right)^2\to\text{min}.$$

При этом нужно учитывать уравнение связи $$(\vec{n}\cdot\vec{n}) = 1$$, которое уменьшает на 1 количество степеней свободы в неизвестных величинах ni, d. Учет связи выполняется с помощью метода множителей Лагранжа. Однако мы пойдем другим путем, который сократит выкладки и напрямую приведет к выражениям, подходящим для численного счета. Мы разрешим вектору $$\vec{n}$$ иметь произвольную длину, и введем явную нормировку:

$$\sum_k\left({(\vec{n}\cdot\vec{x}^k)\over|\vec{n}|}-d\right)^2\to\text{min}.$$

Параллельный перенос

Продифференцируем по d:

$$\sum_k\left({(\vec{n}\cdot\vec{x}^k)\over|\vec{n}|}-d\right)={(\vec{n}\cdot\sum_k\vec{x}^k)\over|\vec{n}|}-\sum_kd=0.$$

Как видим, «центр масс» набора точек $$\inline\sum\vec{x}^k/\sum 1$$ находится на искомой плоскости. Выполним параллельный перенос системы координат таким образом, чтобы ее начало совпало с центром набора точек $$\inline\sum\vec{x}^k=0$$. В этой системе координат d=0.

Условие на вектор нормали

Перейдем к индексным обозначениям и продифференцируем по na:

$${\partial\over\partial n_a}\left({n_ix_i^k\,n_jx_j^k\over n_ln_l}\right)={2x_a^k\,n_jx_j^k\over n_ln_l}-{2n_a\,n_ix_i^k\,n_jx_j^k\over n_ln_l\,n_pn_p}=0,$$

$$n_jx_j^k\left[x_a^k(n_pn_p)-n_a(n_ix_i^k)\right]=0,$$

$$\sum_k\vec{n}\cdot\vec{x}^k\left[\vec{x}^k(\vec{n}\cdot\vec{n})-\vec{n}(\vec{n}\cdot\vec{x}^k)\right]=0.$$

Вычислительный аспект

Нелинейное уравнение относительно вектора $$\vec{n}$$ можно решать методом итераций:

$$\sum_k\vec{n}_{i+1}\cdot\vec{x}^k\left[\vec{x}^k(\vec{n}_i\cdot\vec{n}_i)-\vec{n}_i(\vec{n}_i\cdot\vec{x}^k)\right]=0.$$

С помощью матрицы $$A_{aj}(\vec{n})=\left[x_a^k(n_pn_p)-n_a(n_ix_i^k)\right]x_j^k$$ оно представляется в виде

$$A(\vec{n}_i)\,\vec{n}_{i+1}=0$$

и сводится к поиску ядра линейного оператора. Нетривиальность ядра связана с «лишней» степенью свободы, появившейся из-за отбрасывания условия нормировки вектора нормали. Читатели могут самостоятельно проверить с помощью формулы Бине — Коши, что определитель матрицы $$A(\vec{n}_i)$$ равен нулю.

По теореме Фредгольма ядро оператора ортогонально образу сопряженного оператора, то есть линейной оболочке, натянутой на строки $$\vec{a}_a$$ матрицы $$A_{aj}(\vec{n}_i)$$. Алгоритм поиска ортогонального дополнения состоит в выборе произвольного вектора $$\vec{r}$$ и ортогонализации набора векторов $$\vec{r}, \vec{a}_a$$:

$$\vec{r}^{\,\prime}=\vec{r}-\vec{a}_1{(\vec{r}\cdot\vec{a}_1)\over(\vec{a}_1\cdot\vec{a}_1)},$$

$$\vec{a}_2^{\,\prime}=\vec{a}_2-\vec{a}_1{(\vec{a}_2\cdot\vec{a}_1)\over(\vec{a}_1\cdot\vec{a}_1)},\quad\vec{r}^{\,\prime\prime}=\vec{r}^{\,\prime}-\vec{a}_2^{\,\prime}{(\vec{r}^{\,\prime}\cdot\vec{a}_2^{\,\prime})\over(\vec{a}_2^{\,\prime}\cdot\vec{a}_2^{\,\prime})}\ldots$$

Так как строки матрицы $$A(\vec{n}_i)$$ линейно зависимы, один из векторов $$\vec{a}_a$$ при ортогонализации из набора исключается. Для большей определенности алгоритма в качестве начального приближения перебираем базисные векторы, пока в результате ортогонализации не получится ненулевой вектор следующего приближения $$\vec{n}_{i+1}$$. В двумерном и трехмерном случае процесс ортогонализации значительно упрощается. Например, в трехмерном случае нетривиальный элемент ядра найдется среди тройки векторов $$\vec{a}_1\times\vec{a}_2, \vec{a}_1\times\vec{a}_3, \vec{a}_2\times\vec{a}_3$$.

Как показывают практические вычисления, последовательные приближения $$\vec{n}_i$$ быстро сходятся к искомому вектору нормали.

Ключевые слова: геометрия | Комментарии (5)
Михаил Гойхман

Теория Клебанова-Виттена

15 мая 2013 года, 00:22

Под теорией Клебанова-Виттена подразумевается соответствие между теорией струн в AdS5×X5 и N=1 суперсимметричной калибровочной теорией поля. Основы теории были положены в этой статье:

I.R. Klebanov, E. Witten Superconformal Field Theory on Threebranes at a Calabi-Yau Singularity

Это одна из наиболее интересных статей в теорфизике; за последние 15 лет она набрала более 730 цитирований. В любом случае это крайне примечательный пример применения AdS/CFT соответствия: со стороны теории поля (в данном случае N=1 SUSY калибровочной теории) известен ряд нетривиальных непертурбативных результатов, которые в точности подтверждаются вычислениями со стороны теории гравитации в AdS. Несколько феноменологическим ответвлением этой области деятельности является AdS/QCD соответствие, тоже крайне интересное применение голографии. Для полноты напомню что есть, наконец, AdS/CMT соотетствие (CMT означает condensed matter theory), которое выявляет наиболее общие и формальные свойства физики конденсированных сред.

Это длинный пост, местами я буду делать значительные ответления, разъясняя те вещи, которые нужно знать чтобы понять статью Клебанова-Виттена.

1. Напомню что исходным классическим примером AdS/CFT соответствия является соответствие между теорией струн в пространстве AdS5×S5 и N=4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса. При этом количество суперсимметрий (равное, разумеется, по обе стороны соответствия) максимально: 32 суперсимметрии. Это число максимально если вы хотите объединять в мультиплеты поля со спином не выше 2 (для теории в объеме, где есть гравитация) и поля со спином не выше 1 (для теории на границе, являющейся низкоэнергетическим приближением открытых струн, и потому не обладающей гравитацией).

В объеме — пространстве AdS5×S5 — группу симметрий легко увидеть посмотрев на группу изометрий пространства-времени, расширенного впоследствии до суперпространства. Группа симметрий сферы S5 — это группа SO(6) вращений шестимерного пространства, в которое эта сфера погружается. Пространство AdS5 явялется другим пятимерным пространством с макисмальным количеством симметрий (пятнадцать), группой симметрий является SO(2,4). Далее, в формализме Грина-Шварца для описания суперструны типа-IIB к десяти пространственным координатам нужно добавить два спинора в D=10, одинаковой киральности; каждый спинор (Майорана-Вейлевский спинор) имеет 16 вещественных компонент. Полная группа (супер)симметрий суперпространства  AdS5×S5 поотому есть SU(2,2|4). Мы воспользовались тем фактом что SU(4)~SO(6) и SU(2,2)~SO(2,4).

С другой стороны, суперсимметричная N=4 D=4 теория Янга — Миллса на границе AdS имеет бозонную группу конформных преобразований симметрии SO(2,4) и группу R-симметрий, вращающий 4 суперзаряда (по четыре компоненты каждый), SO(6). Коммутирование четырех суперзарядов с генераторами специальных конфромных преобразований порождает еще 4 суперзаряда — генераторы суперконформных преобразований (другой способ увидеть появление четырех дополнительных суперзарядов основывается на размерности спинорного представления группы SO(2,4), которое вдвое больше спинорного представления группы SO(1,3)). Полная группа (супер)симметрий в результате та же что и в объеме, SU(2,2|4), с точки зрения теории поля это N=4 суперконформная группа в четырехмерии. Заметим в частности что R-симметрия SU(4) теории поля на границе реализуется как группа симметрий внутреннего пространства — сферы S5 — теории в объеме.

2. Теория Клебанова-Виттена занимается голографическим описанием N=1 суперсимметричной теории, суперконформная группа при этом есть SU(2,2|1), где бозонная подгруппа U(1) есть группа R-симметрий. Таким образом, нам нужно нарушить 3/4 суперсимметрий N=4 суперсимметричной теории. Например, шесть измерений теории суперструн можно компактифицировать на многообразие Калаби-Яу (с SU(3) группой голономий), нарушающее как раз 3/4 суперсимметрий, в результате чего эффективная теория в D=4 оказывается N=1 суперсииметричной, и из нее уже можно начать выводить феноменологию МССМ. При этом используются, естественно, компактные многообразия Калаби-Яу.

Примером многообразий Калаби-Яу являются орбифолды. Например тор. Другой пример это когда многообразие Калаби-Яу имеет коническую сингулярность, тогда окрестность сингулярности конуса есть кусок компактного многообразия Калаби-Яу (весь конус некомпактен). Шестимерный конус имеет пятимерное основание и одну радиальную координату. В точке где радиальная координата равна нулю, имеется коническая сингулярность: окрестность этой точки не может быть отображена на плоское шестимерное пространство. Конус, построенный с помощью цилической группы являющейся подгруппой группы SU(3), сохраняет только два суперзаряда. В шестиметрии имеется восемь суперзарядов, поэтому конус нарушает как раз 3/4 суперсимметрий. Конус и используется в теории Клебанова-Виттена для нарушения 3/4 суперсимметрий в объеме.

Десятимерное решение IIB супергравитации должно иметь форму AdS5×X5. Настоящее решение — решение стопки экстремальных черных 3-бран —  записано ниже, произведение AdS5×X5 — это геометрия вблизи горизонта стопки бран; граница AdS соответствует горизонту стопки бран. Причем собственно AdS появляется вблизи горизонта бран, а вот X5 видно всегда.  Наличие пятимерного подпространства AdS необходимо для существования дуальной конформной теории поля. Посмотрим какие простые решения уравнений IIB супергравитации (какую метрику) можно получить для X5. Потребуем чтобы  X5 было пространством Эйнштейна, т.е. чтобы для него тензор Риччи был пропорционален метрике. Скажем, плоское пространство есть пространство Эйнштейна с коэффициентом пропорциональности ноль, для AdS этот коэффициент равен -4, для сферы S5 и для основания X5 шестимерного конуса (я использую одно и то же обозначение для наиболее общего пятимерного компактного подпространства и для основания пятимерного конуса, которое используется в теории Клебанова-Виттена ;) ), который мы построим ниже, он равен 4.

Причина по который мы хотим чтобы пятимерное компактное пространство X5 было пространством Эйнштейна состоит в том что мы ищем простые решения уравнений супергравитации. Допустим все динамические поля это метрика и напряженность F5  RR-поля C4. Как  в случае AdS5×S5  решения N единиц поля F5  пронизывают X5 . Это следует из того что для AdS части решения поле  F5  необходимо: т.е. для создания AdS геометрии это поле точно должно быть поляризовано в направлении AdS, т.е. Ftxyzr0. Но это поле самодуально, так что независимо от X5 всегда имеется один и тот же поток F5  также и через X5. Сфера является пространством Эйнштейна с Rij=4gij. Она решает соответствующие уравнения Эйнштейна с F5  в качестве материи. Для основания шестимерного конуса также имеет место Rij=4gij. Так что различие между  AdS5×Sи AdS5×X5 сводится к различию в масштабах кривизны.

Более конкретно, интересующим нас решением IIB супергравитации является некое заданное поле F5 и метрика

$$ds^2=H^{-1/2}(r)(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)+H^{1/2}ds_6^2$$

где как и для AdS5×S5

$$H=1+\frac{L^4}{r^4}$$

только на этот раз ds62 есть метрика на конусе (ds52 есть метрика на X5)

$$ds_6^2=dr^2+r^2ds_5^2$$

Масштаб кривизны в объеме определяется следующим образом:

$$\left(\frac{L}{\ell_s}\right)^4=\frac{N\sqrt{\pi}}{{\rm Vol}(X_5)}$$

Вблизи r=0 (приближении супергравитации, т.е. пренебрежение струнностью: $$\ell_s/L\ll 1$$) метрика принимает вид AdS5×X5:

$$ds^2=\frac{r^2}{L^2}(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)+L^2\frac{dr^2}{r^2}+L^2ds_5^2$$

Итак, вот что происходит. Берутся бозонные уравнения IIB-супергравитации. К ним находится решение, которое вблизи r=0 выглядит как AdS5×X— произведение AdS и основания конуса X5. Физически сингулярная точка объясняется наличием стопки 3-бран в ней (стопка бран также объясняет наличие потока поля F5). Голографически дуальная теория тогда живет на мировом объеме стопки D3-бран, локализованных на конической сингулярности. Причем если группа голономий конуса есть SU(3) (из того что конус является Риччи-плоским многообразием следует что группа голономий есть либо SU(3) либо ее подгруппа) то одна четверть суперсимметрий сохраняется, так что дуальная теория поля (теория на мировом объеме D3-бран в низкоэнергетическом пределе) обладает N=1 суперсимметрий.

Клебанов-Виттен кстати явно показывают как уравнение на спинор Киллинга на шестимерном конусе (их уравнение (5)) эквивалентно уравнению на спинор Киллинга на основании конуса (6), причем в последнем имеется нетривиальный вклад от F5. Напомню для полноты что уравнение на спинор Киллинга η есть уравнение $$\nabla\eta=0$$. Если имеются нетривиальные p-формы, вроде F5, то они тоже дают вклад в это уравнение. Суть состоит в том чтобы преобразование суперсимметрии для гравитино равнялась нулю.  Уравнение Киллинга определяет какие параметры преобразования суперсимметрии удовлетворяют этому свойству. Эти же спиноры тривиально преобразуются при действии группы голономий. Максимальная группа голономий в шести измерениях есть SO(6)~SU(4), так что для Калаби-Яу с группой голономий SU(3) только один (из четырех комплексно-значных) спиноров не преобразуется под действием группы голономий.

3. Есть теорема, согласно которой пятимерное пространство является пространством Эйнштейна тогда и только тогда когда шестимерный конус, построенный с этим пятимерным пространством в качестве основания, является Риччи-плоским. Это акутальная теорема, т.к. мы знаем что шестимерный конус сохраняет 1/4 суперсимметрий и потому является трехмерным многообразием Калаби-Яу. Следовательно, он является Риччи-плоским. Так или иначе, напрямую эта теорема доказывается в общем следующим образом. Рассмотрим конус, с интервалом

$$ds^2=h_{mn}dx^mdx^n=dr^2+r^2g_{ij}dx^idx^j$$

Сделаем замену радиальной координаты, r=eφ(r), после чего запишем компоненты метрического тензора:

$$h_{\phi\phi}=e^{2\phi}\,,\quad h_{ij}=e^{2\phi}g_{ij}\,,\quad h_{\phi i}=0$$

где индексы $$i,j\neq \phi$$ принимают n-1 значений. Совершим конформное преобразование метрики

$$\hat{h}_{mn}=e^{-\phi}h_{mn}$$

где индексы m,n ринимают n значений.

Теперь вспомним что в общем, если $$\hat{h}_{ab}=\Omega^2h_{ab}$$, то тогда в n-мерном пространстве

$$R_{bd}=\Omega^2\hat{R}_{bd}+(n-2)\Omega\Omega_{;b;d}-\frac{1}{n-2}\Omega^n(\Omega^{2-n})_{;a}^{;a}\hat{h}_{bd}$$

Здесь слева записан тензор Риччи в метрике $$h_{ab}$$, в то время как справа все (в том числе ковариантные производные) посчитано для метрики $$\hat{h}_{ab}$$. Метрика со шляпкой описывает пространство $$R^{\phi}\times M^{n-1}$$. Рассмотрим Mn-1. Мы знаем что

$$(\Omega^{2-n})_{;a}^{;a}=(e^{n-2}\phi)_{,\phi}^{,\phi}=(n-2)^2e^{n-2}\phi\,,\quad\Omega_{;i;j}=0\,,$$

и потому

$$R_{ij}=e^{-2\phi}(\hat{R}_{ij}-(n-2)\hat{h}_{ij})\,.$$

Тогда метрика для конуса $$h_{ij}$$ является Риччи-плоской тогда и только тогда когда

$$\hat{R}_{ij}=(n-2)\hat h_{ij}\,.$$

Теперь, очевидно, для n-1-мерного основания конуса $$\hat{R}_{ij}=R_{ij}$$, т.к. с точки зрения основания конуса конформоное преобразование которое мы сделали, зависящее только от r, эквивалентно рескейлингу метрики константой, а при таком преобразовании тензор Риччи не меняется.  Также, $$\hat{h}_{ij}=g_{ij}$$, и потому

$$R_{ij}=(n-2)g_{ij}$$

что завершает доказательство.

4. Простым примером многообразия Эйнштейна X5, берущимся в качестве основанием конуса, явлется многообразие

$$T^{1,1}=\frac{SU(2)\times SU(2)}{U(1)}$$

где U(1) в знаменателе есть сумма двух U(1) генераторов, взятых из каждой группы SU(2) в числителе. Многообразие группы SU(2) есть сфера S3, которая представляется как расслоение S1 с основанием S2 (Hopf fibration). Т.к. мы калибруем одну подгруппу S1, то T1,1 есть расслоение оставшейся S1~U(1) (общей для обеих S2 из двух SU(2)) с основанием S2×S2. Каждая S2 симметричная относительно преобразований SO(3)~SU(2), и еще у нас есть группа симметрий U(1), вращающая волокно Sиз расслоения. После того как мы представили  T1,1 в качестве расслоения, очевидно что группой симметрий T1,1 является U(1)×SU(2)×SU(2).

Опишем соответствующее трехмерное пространство Калаби-Яу, имеющее коническую сингулярность с основанием конуса T1,1. Клебанов и Виттен определяют это многообразие как поверхность в пространстве с четырьмя комплексными координатами:

$$z_1^4+z_2^4+z_3^4+z_4^4=0$$

Это уравнение задает конус, так как оно инвариантно относительно преобразований $$z_a\rightarrow tz_a$$. Группа симметрий есть группа SO(4)=SU(2)×SU(2), вращающая четыре координаты za. При этом основание, полученное делением конуса на радиальную координату (после устранения точки r=0) топологически эквивалентно, к примеру,

$$|z_1|^4+|z_2|^4+|z_3|^4+|z_4|^4=1$$

Постолько поскольку это уравнение инвариатно относительно $$U(1)\in SO(4)$$ в каждой точке (z1,z2,z3,z4), то оно задает основание SO(4)/U(1)=SU(2)×SU(2)/U(1) конуса.

Нашей целью является установление голографического соотвествия между теорией струн, компактифицированной на основание конифолда, и N=1 суперсимметричной теорией поля. Впоследствии мы покажем что если добавить киральные суперполя в N=1 суперсимметричную калибровочную теорию поля, то модульное пространство теории будет конифолдом. Для этого удобно параметризовать конифолд несколько иными координатами (полям  (A1,A2) и (B1,B2) ниже будут соответствовать киральные поля N=1 суперсимметричной теории поля). Сперва заменим координаты:

$$M=\left({z_1+iz_4\atop iz_2-z_3}\;{iz_2+z_3\atop z_1-iz_4}\right)\rightarrow \left({z_1\atop z_4}\;{z_3\atop z_2}\right)=\left({A_1B_1\atop A_2B_1}\;{A_1B_2\atop A_2B_2}\right)$$

Видно что уравнение для конуса это det(M)=0. Можно далее переписать

$$M=\left({A_1\atop A_2}\right)\left(B_1,B_2\right)$$

Так что det(M) инвариантен относительно вращений (A1,A2) и (B1,B2); каждый вращается своей SU(2) матрицей (слева и справа соответственно). Далее, уравнение det(M)=0 инвариантно относительно рескейлинга всех zi на одно и то же число; что означает что оно инвариатно относительно рескейлинга всех Ai, Bk на одно и то же число λ. Наконец, определение z через A, B инвариантно относительно

$$A_k\rightarrow se^{i\varphi}A_k\,,\quad B_l\rightarrow s^{-1}e^{-i\varphi}B_l$$

Используя симметрию с параметром s и симметрию с параметром λ можно записать

$$|A_1|^2+|A_2|^2=|B_1|^2+|B_2|^2=1$$

что есть многообразие SU(2)×SU(2). У нас осталось U(1) преобразование симметрии с параметром φ, в результате чего получаем многообразие T1,1=SU(2)×SU(2)/U(1). Обратите внимание что мы начали с уравнения конуса но получили в результате основание конуса. Радиальная координата пропала в тот момент когда мы воспользовались симметрией уравнения конуса относительно преобразований zi→ λ2zi.

5. Итак, в предыдущих пунктах мы описали построение конифолда в такой форме, в которой его удобно будет сравнивать с соответствующими объектами в N=1 суперсимметричной теории поля на границе AdS. Теперь мы сперва сформулируем саму дуальную теорию поля а потом проведем проверку AdS/CFT соответствия по ряду вопросов.

Итак, допустим у нас есть N=1 суперсимметричная теория Янга-Миллса с калибровочной группой U(1)×U(1). Добавим к ней четыре киральных суперполя, A1, A2,  в представлении $$(1,\bar{1})$$ калибровочной группы и B1, B2 в представлении $$(\bar{1},1)$$ калибровочной группы. С точки зрения мирвого объеме D3-браны скалярные поля описывают вложение D3-браны в десятимерное пространство, т.е. описывают положение D3-браны в шестимерном трансверсальном пространстве. 

Ясно что поля A и B не преобразуются под действием диагональной U(1) подгруппы U(1)×U(1) калибровочной группы, так что соответствующее U(1) калибровочное поле свободно, и соответствующая U(1) калибровочная симметрия не нарушается конденсатом киральным полей. Это калибровочное поле есть вектороное поле, которое всегда присутсвует на мировом объеме (обеспечивая нужное число 8 бозонных степеней свободы).

Оставшееся U(1) калибровочное поле взаимодействует с киральными полями. Напомню что векторное N=1 суперполе содержит вспомогательный скаляр D с потенциалом V(D)=D2. Этот скаляр взаимодействует с каждым киральным полем Φ=φ+θψ+... посредством члена в qD|φ|2 лагранжиане где q есть калибровочный заряд кирального поля Φ. Так что уравнение движения для поля D дает, для нашего случая

$$D=|A_1|^2+|A_2|^2-|B_1|^2-|B_2|^2$$

Вакуум тогда опредеяется условием D=0, т.е.

$$|A_1|^2+|A_2|^2=|B_1|^2+|B_2|^2$$

что есть уравнением конифолда. Таким образом киральные поля A и B  в ваукуумном состоянии параметризуют конифолд, т.е. описывают положение D3-браны в конифолде. Реализация SU(2)×SU(2) симметрии и U(1) калибровочной симметрии (с параметром φ) такая же как описано в предыдущем пукте для конифолда.

6. Для того чтобы иметь голографическое соответствие между сильно-взаимодействующей теорией поля на границе и теорией IIB супергравитации в объеме нам нужно перейти к пределу большого N, что означает что нам нужно рассмотреть стопку N D3-бран, с RR-зарядом поля C4 равным N. Калибровочная группа тогда заменяется на U(N)×U(N). Поля A живут в представлении $$({\bf N},\bar{\bf N})$$,  а поля B живут в представлении $$(\bar{\bf N},{\bf N})$$ калибровочной группы.

Суперпотенциал (необходимый для придания массы ряду киральных суперполей, не описывающих положение D3-браны в трансверсальном пространстве), инвариантный относительно конифолдной группы симметрий SU(2)×SU(2)×U(1)R, которая должна быть группой симметрий теории поля, есть

$$W=\lambda\epsilon^{ij}\epsilon^{kl}{\rm Tr}A_iB_kA_jB_l$$

6.1. Небольшое отступление. R-симметрия суперсимметричной теории поля порождает соответствующий сохраняющийся суперток. В фиксированных точках ренормгруппового потока теория находится в конформном режиме — это суперконформная теория поля. В этом случае она инвариантна относительно суперконформной группы SU(2,2|1), каждая суперконформная теория поля харакатеризуется своими зарядами относительно генераторов суперконформной группы.

Во-первых в ультрафиолете, где константа связи равна нулю (асимпотическая свобода), бета-функция равна нулю и теория конформна. Она не просто конформна, она еще свободна, так что масштабная размерность кирального поля равна Δ=1 (посмотрите на размерность свободного скаляра). Далее, в силу суперконформной симметрии для первичных полей (primary fields), коими являются киральные поля, имеем соотношение между масштабной размерностью и R-зарядом:

$$\Delta=\frac{3}{2}R$$

Так что в ультрафиолете R=2/3. Однако конформная теория поля в ультрафиолете (с группой (супер)симметрии SU(2,2|1)UV) свободна, и потому не описывается дуальной слабой IIB-супергравитацией в объеме (AdS/CFT — это сильно-слабая дуальность). Так что нас интересует другая конформная фиксированная точка — та, что в инфра-красном режиме. Ниже мы докажем что R-заряд киральных суперполей на самом деле равен 1/2, в ИК суперконформной теории поля с группой (супер)симметрии SU(2,2|1)IR, что дает правильный R-заряд суперпотенциала: +2, так что

$$\int d^2\theta W$$

есть инварант относительно R-преобразований U(1).

Кстати говоря, с точки зрения УФ теории записанный суперпотенциал является несущественным оператором, в то время как с точки зрения ИК теории он является маргинальным оператором. Поэтому CFT-дуальная теория к слабой IIB супергравитации на конусе есть фиксированная точка ренорм-группового потока N=1 суперсимметричной теории к которой добавляется масштабно-инвариантный суперотенциал W.

6.2. Суперсимметричная теория поля хороша тем что в ней многие вещи известны точно. Например, бета-функция N=1 суперсимметричной клабировочной теории поля с материей дается NSVZ формулой. Бета-функция пропорциональна константе связи. Когда константа связи равна нулю, что по сути имеет место в ультрафиолете, теория конформно-инвариантна и свободна. Постолько поскольку NSVZ формула точная, она позволяет определить нули бета-функции в ИК режиме, где теория сильно-взаимодействующая.

Особенностью NSVZ бета-функции является то, что условие равенства ее нулю эквивалентно условию сокращения киральной аномалии для U(1) R-симметрии. Действительно, мы имеем (индекс представления r определяется как $${\rm tr}(T_r^aT_r^b)=T(r)\delta^{ab}$$)

$$\beta\sim 3T(Ad)-\sum_iT(r_i)(1-2\gamma_i)$$

где суммирование производится по всем полям материи, и аномальная размерность определяется как

$$\gamma_i=\Delta_i-1$$

Подставляя $$\Delta=\frac{3}{2}R$$ (для конформных фиксированных точек) находим что условие конформности β=0 эквивалетно условию сокращения киральной аномалии сохранения U(1) тока R-симметрии:

$$T(Ad)+\sum_iT(r_i)(R_i-1)=0$$

6.3. В нашем случае в силу SU(2)×SU(2) симметрии получаем

$$\gamma_{A_1}=\gamma_{A_2}\,,\quad \gamma_{B_1}=\gamma_{B_2}$$

Напомню что

$$T(Ad)=2N\,,\quad T(A)=T(B)=N$$

и у нас есть два поля A и два поля B, так что

$$6N-2N(1-2\gamma_A+1-2\gamma_B)=0$$

откуда вытекает что

$$\gamma_A+\gamma_B+\frac{1}{2}=0$$

Тогда размерность суперпотенциала в ИК фиксированной точке на 1 меньше размерности в УФ, т.е. равна 3, что есть размерность маргинального оператора (размерность $$\int d^2\theta$$ равна 1). Т.е. потребовав исчезновение бета-функции мы и впрямь получили масштабно-инфариантный оператор (то что он не является маргинально-существенным или маргинально-несущественным доказывается с помощью теоремы о неперенормируемости).

7. Сравним R-симметрии. Мы уже видели что и со стороны конифолда и со стороны теории поля у нас имеется U(1) R-симметрия. С точки зрения теории поля есть однозначный способ определить чему должен равняться R-заряд киральных полей. Он основывается на требовании сокращения аномалий.

Каждое киральное поле имеет некий R-заряд. Такой же R-заряд имеет каждое киральное антиполе (R-заряд определяется через преобразования координат суперспрстранства, которые берзразличны к заряду полей материи по отношению к калибровочным полям, и потому R-заряд полей материи тоже одинаков для материи и анти-материи), т.е. спинор той же киральности, но с противоположными зарядами относительно калибровочных групп. В четырех измерениях спиноры противоположной киральности комплексно сопряжены друг другу. Так что произведя комплексное сопряжение кирального антиполя, мы получаем антикиральное поле, причем оно имеет противоположный киральному полю R-заряд. Таким образом, группа R-симметрий действует на поля разной киральности по-разному, и потому в общем случае подвержена киральной аномалии.

Точное значение киральной аномалии дается треугольной диаграммой с киральными фермионами в цикле, киральным током в одной вершине и двумя калибровочными бозонами в других вершинах. Это могут быть два произвольных калибровочных бозона, Aa и Ab. Я опустил векторные индексы, индексы ab живут в присоединенном представлении калибровочной группы (нумеруют калибровочные бозоны). Если Ta есть генератор калибровочной группы в том представлении r, в котором живет данный фермион, то суммирование по всем таким фермионам в петле в данной диаграмме производит, очевидно, фактор T(r), определяемый из

$$T^a_{mn}T^b_{nm}=T(r)\delta^{ab}.$$

Из третьей вершины диаграммы, в которой находится киральный ток, получаем пропорциональный заряду фермиона вклад (слагаемое в токе пропорционально заряду фермиона, появляющегося в этом слагаемом). Всё остальное одинаково для всех фермионов. Итак, киральная аномалия, которую считает треугольная диаграмма, исчезает если

$$\sum_iT(r_i)q_i=0,$$
где суммирование производится по всем частицам.

Покажем что отсутствие аномалии U(1) R-симметрии означает что киральные поля A и B имеют R-заряд, равный +½. На самом деле так. R-симметрия по определению есть симметрия действующая на суперзаряды, или, что то же самое, на фермионные координаты суперпространства. Определим тогда R-симметрию с параметром α как преобразование суперкоординат с зарядом 1:

$$\theta\rightarrow e^{i\alpha\theta}\theta.$$

Тогда, в силу разложения киральных суперполей в ряд по нечетным координатам

$$\Phi=\phi+\theta\psi+\ldots$$

ясно, что спиноры материи имеют заряд, равный заряду кирального поля минус 1. Мы таким образом хотим доказать, что киральный заряд спиноров материи должен равняться −½.

В силу разложения кирального суперполя, являющегося напряженностью калибровочного суперполя,

$$W=\lambda+\theta F+\ldots$$

ясно, что глюино λ имеет R-заряд +1, так чтобы действие калибровочных степеней свободы (векторного суперполя)

$$S_{gauge}\sim\int d^2\theta W^2$$

было инвариантно относительно преобразований R-симметрии. 

Глюино живет в присоединенном представлении U(N)×U(N), так что для него T(r)=2N. Два спинорных поля из полей A живут в представлении $$(N\bar{N})$$ группы U(N)×U(N), т.е. фактически в присоединенном представлении U(N), поэтому для них T(r)=N. Аналогично для двух полей B. Аномалия тогда действительно сокращается:

$$-\frac{1}{2}4N+2N=0.$$

Итак, чисто с точки зрения теории поля мы вывели, что R-заряд киральных суперполей A и B равен +½. Что предсказывает дуальная теория струн для этого кирального заряда? Мы знаем что согласно дуальной теории струн поля A и B решают уравнения для конифолда, задавая его координаты z~AB. Значит нам нужно найти заряд координат z относительно U(1) преобразований в объеме, соответствующим U(1) R-симметрии на границе. Допустим, это какой то заряд q:

$$z\rightarrow e^{iq\phi}z$$

для преобразования R-симметрии с параметром $$\phi$$.

Трехмерное Кэлерово многообразие является многообразием Калаби-Яу тогда и только тогда когда на нем можно определить голоморфную 3-форму. Для многообразия

$$z_1z_2-z_3z_4=0$$

(это уравнение определяет рассматриваемый нами конифолд) голоморфмная 3-форма равна

$$\Omega=-\frac{dz_2\wedge dz_3\wedge dz_4}{z_1}$$

и потому имеет R-заряд 2q. Другим определением Калаби-Яу, которое упомяналось выше, является комплексное многообразие на котором есть ковариантно-постоянный спинор, $$\nabla\eta=0$$. Два определения эквивалентны в силу выражения

$$\Omega_{ijk}=\eta^T\Gamma_{ijk}\eta.$$

Ковариантно-постоянный спинор задает ту координату суперпространства в направлении которой суперсимметрия не нарушена (симметрия относительно трансляции этой суперкоординаты). Тогда координаты суперпространства имеют R-заряд равный половине R-заряда голоморфной 3-формы, т.е. q. Но мы определили R-заряд координат суперпространства равным 1, так что q=1. В силу z~AB ясно что R-заряд полей A и B равен ½, что совпадает с результатом из теории поля. Это довольно нетривиальное согласие: с одной стороны мы рассуждали про построение теории струн на конусе, а с другой про сокращение киральной аномалии в суперсимметричной теории поля.

8. Выше мы описали конифолд с основанием T1,1=SU(2)×SU(2)/U(1) с помощью поверхности

$$z_1^4+z_2^4+z_3^4+z_4^4=0$$

инвариантной относительно группы вращений SO(4). Далее, мы знаем что SO(4)=SU(2)×SU(2). На самом деле это не вполне правильно, равенство имеет место только локально, с точки зрения соответствующих алгебр. Глобальная групповая структура подразумевает SO(4)=SU(2)×SU(2)/Z2. Каждая SU(2) группа имеет центральную подгруппу Z2={I,-I}. Тензоры в представлении SO(4) можно представить с помощью двух спиноров. Тензоры с четным числом индексов представляются с помощью спиноров одной киральности, например скаляр имеет форму $$\phi=\psi^\dagger\psi$$ или $$\phi=\bar{\psi}^\dagger\bar{\psi}$$, где $$\psi$$ есть лево-киральный спинор, а $$\bar{\psi}$$ есть право-киральный спинор. Тензоры с нечетным числом индексов представляются с помощью спиноров разной киральности, например вектор $$A^\mu =\psi\sigma^\mu\bar{\psi}$$. Лево-киральный спинор преобразуются под действием одной SU(2), а право-киральный спинор преобразуются под действием другой SU(2). Ясно тогда что диагональная Z2 подгруппа произведения двух цетнтров Z2×Z2 двух SU(2) не меняет представления SO(6), так что SO(4)=SU(2)×SU(2)/Z2.

Итак, группа симметрий конифолда есть

$$U(1)\times \frac{SU(2)\times SU(2)}{Z_2}$$

Но мы видели что группа симметрий модульного пространства теории поля есть $$U(1)\times SU(2)\times SU(2)$$. Однако на самом деле, в силу U(N)×U(N) калибровочной инвариантности, а именно в силу U(1)×U(1) подгруппы группы калибровочной инвариатности, мы имеем калибровочную эквивалентность

$$A_k\rightarrow e^{i\alpha}A_k\,,\quad B_l\rightarrow e^{i\alpha}B_l\,,$$

так что в частности

$$A_k\rightarrow -A_k\,,\quad B_l\rightarrow-B_l\,,$$

что как раз есть действие диагональной подгруппы Z2  произведения двух цетнтров Z2×Z2 двух SU(2).

9. Теперь самое интересное. Рассмотрим теорию суперструн типа-IIB в пространстве $$AdS_5\times S^5/\Gamma$$. Сферический орбифолд строится следующим образом. Берется пятимерная сфера

$$\sum_{i=1}^6x_i^2=1$$

и производится отождествление

$$\Gamma:\quad x_{1,2,3,4}\rightarrow -x_{1,2,3,4}\,,\quad x_{5,6}\rightarrow x_{5,6}$$

В данном случае сохраняется не четверть суперсимметрий а половина: было 4 суперзаряда на сфере, процесс орбифолдизации оставляет два. Действительно, введем комплексные координаты

$$z_1=x_1+ix_2\,,\quad z_2=x_3+ix_4\,,\quad z_3=x_5+ix_6$$

Тогда Γ поворачивает z1,2 на угол π, оставляя z3 нетронутой. Постолько поскольку сумма двух углов вращения в плоскостях z1 и z2 равна нулю по модулю 2π, то орбифолдизация сохраняет половину суперсимметрий, и потому на сфере тоже выживает половина суперсимметрий.

9.1. Теперь на время отвлечемся от теории в объеме и перейдем к теории поля на границе. Калибровочная группа и набор полей такой же как и в конифолдном случае, рассмотренном выше. Только в данном случае у нас вдвое больше суперсимметрий. Так что мы имеем N=2 суперсимметричную калибровочную теорию поля. Суперпотенциал дается неким выражением, которое можно найти у Клебанова-Виттена. Далее, идея состоит в следующем. У нас имеется киральное суперполе в присоединенном представлении калибровочной группы, которое дополняет N=1 векторный супермультилет до N=2 вектороного супермультиплета. Нам нужна только N=1 суперсимметрия. Поэтому мы добавляем в лагранжиану существенный суперпотенциал являющийся массовым членом для этого кирального суперполя в присоединенном представлении, который явно нарушает N=2 суперсимметрию до N=1 суперсимметрии.

В результате включается ренорм-групповой поток, который заканчивается в фиксированной точке в ИК. Оказывается, что если явно решить уравнения движения для кирального суперполя, которое мы сделали массивным, то для оставшихся киральных суперполей сгенерируется суперпотенциал, такой же как и для суперструны, компактифицированный на основании конифолда (записанный выше). Т.е. теория из сферического орбифолда перетекает в конический орбифолд.

9.2. Теперь собственно к чему все это. Постолько поскольку у нас имеется ренорм-групповой поток из CFT в УФ в CFT в ИК, то можно задаться стандартным вопросом о том, работает ли a-теорема. Согласно a-теореме, центральный заряд a, появляющийся в аномальном следе тензора энергии-импульса, уменьшается при ренорм-групповом потоке. В случае двух конформных теорий поля, описанных выше, оба центральных заряда известны, нам интересно то что

$$\frac{a_{IR}}{a_{UV}}=\frac{27}{32}$$

Теперь вернемся в объем. Десятимерная метрика имеет общий вид

$$ds_{10}^2=L^2d\hat{s}_5^2+L^2d\hat{s}_{M_5}^2$$

Здесь шляпка означает что метрика записана для безразмерных координат, вся размерность вынесена явно в фактор L, формула для которого записана выше. Важно то что

$$L^4\sim\frac{N}{{\rm Vol}(M_5)}$$

Действие, редуцированное к пяти измерениям пространства AdS, записанное в терминах безразмерной метрики, имеет вид

$$S=\frac{\pi^2L^8}{16G_{10}}{\rm Vol}(M_5)\int d^5x\sqrt{\hat{g}}(\hat{R}+12+\ldots)\simeq\frac{N^2}{{\rm Vol}(M_5)}\int d^5x\sqrt{\hat{g}}(\hat{R}+12+\ldots)$$

Согласно AdS/CFT соответсвию корреляционные функции в теории поля на границе считаются с помощью классического действия в объеме. Тогда в частности среднее $$\langle T^\mu_\mu\rangle$$, выражающее конформную аномалию, обратно пропорционально объему компактного пространства. (Объем основания конифолда легко посчитать воспользовавшись явно его метрикой (10.120) в Бекер-Бекер-Шварц.) В результате

$$\frac{a_{IR}}{a_{UV}}=\frac{{\rm Vol}(S^5/Z_2)}{{\rm Vol}(M_5)}=\frac{27}{32}$$

что совпадает с результатом из теории поля.

Ключевые слова: AdS/CFT, суперсимметрия, D браны, квантовая теория поля, геометрия | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Планковская энергия и квантовая гравитация

28 апреля 2012 года, 19:45

В этом посте я хочу разъяснить некоторые фундаментальные вещи, связывающие понятие о квантовании гравитации и теорию струн. Утверждение состоит в том, что теория струн — это единственный возможный способ проквантовать гравитацию, при этом не лишаясь предсказательной силы из-за введения бесконечного количества подстроечных параметров.

В то время как идея о каноническом квантовании гравитации является, очевидно, абсолютно глупой с самого начала, и любая теория, с ней связанная, есть набор совершенно бесполезной писанины, есть ещё другой популярный «способ» построить альтернативу теории струн. Он основывается на наивной и любительской по своей сути надежде на то, что существует другая фундаментальная теория, не являющаяся теорией струн, которая сводится к классической гравитации Эйнштейна как эффективной теории, определенной до некоторого масштаба энергии (такой как планковская энергия).

Для начала напомню о том, что такое планковская энергия и какое значение она имеет. В физике высоких энергий для формулировки физических принципов всегда разумно пользоваться естественной системой единиц, в которой постоянная Планка и скорость света равны единице. Это означает, что длина и время имеют одну и ту же размерность, обратную размерности массы.

Если c — это скорость света в вакууме, ħ — это постоянная Планка, а m — это какая то масса в системе единиц ħ = c = 1, такая что в этой системе постоянная Ньютона — единственная размерная константа связи среди сильного, электрослабого и гравитационного взаимодействий с размерностью −2 (размерность массы равна 1) — есть G = 1/m2, то в исходной системе единиц, такой как СИ или СГС, постоянная Ньютона есть G = ħc/m2. Вы можете это легко проверить, записав размерности постоянной Планка, постоянной Ньютона и скорости света через размерности длины, времени и массы.

Также можно оценить величину множителя ħc = 10−26 [сила в ньютонах умножить на квадрат длины в метрах] в системе СИ. Довольно мало. Существует так называемая планковская система единиц. Её отличие от естественной ħ = c = 1 системы состоит в том, что в ней всё безразмерно: теперь не просто масса есть обратная длина, а длина есть временной интервал, но ещё и постоянная Ньютона кладётся равной единице. Это означает что для такой системы m = 1. Сколько это весит в СИ? Это (ħc/G)1/2=10−8 килограмм. Не особо много, но для элементарной частицы оказывается очень много, даже слишком много для простоты описания. В гигаэлектронвольтах это 1019.

Всё это более или менее пока была дискуссия о том, как правильно выбрать систему единиц в физике высоких энергий, чтобы не таскать за собой бесполезным образом фундаментальные константы, и как потом вернуться, скажем, в СИ, и сравнить результаты с экспериментом. Какой физический смысл планковской энергии? Короткий ответ на этот вопрос — это характерный масштаб энергии, при котором эффекты квантовой гравитации нарушают теорию гравитации Эйнштейна. Поскольку классическая гравитация Эйнштейна описывает геометрию пространства-времени и связь этой геометрии с распределением материи, то мы видим, что на планковском масштабе классическое понимание искривлённой геометрии неприменимо.

Теперь о физической стороне, объясняющей этот короткий ответ. Мы живём в квантовом мире. Любое классическое описание так или иначе применимо только на больших расстояниях по сравнению с длиной волны де Бройля. Это утверждение касается всего, в том числе и гравитации, потому что оно применимо ко всем объектам, а все объекты, обладая энергией, создают гравитационное поле. Каков критерий классичности гравитации? Этот критерий такой же по своей сути, как и критерий классичности механики, и связан со сравнением масштаба длины с длиной волны де Бройля. Он определяется масштабом энергии, до которого можно применять классическую гравитацию Эйнштейна, и этот масштаб находится из требования того, что длина волны де Бройля высокоэнергетической частицы становится равной радиусу Шварцшильда этой частицы. Когда это происходит, гравитацию больше нельзя считать слабой, ей больше нельзя пренебречь. И эта трансформация её роли — чисто квантовый эффект.

Вы можете придти к этому же выводу, исходя из того, что при ренормгрупповом потоке константа гравитационного взаимодействия уменьшается, и потому она больше при увеличении энергии (обоснованность существования ренормгруппового потока для гравитации такая же как и обоснованность его существования для любой другой теории — в квантовом мире ко всякой теории можно применить описание с помощью интеграла по путям, и потому ввести понятие эффективного действия). Поэтому вопрос о том, какова квантовая теория гравитации — актуальный вопрос, который требует решения. Гравитация должна быть квантовой теорией, и общая теория относительности должна быть эффективной теорией поля, выводимой из квантовой теории гравитации после того как вы, грубо говоря, явно проинтегрируете по всем высокоэнергетическим степеням свободы.

В квантовой теории поля есть понятие о перенормируемости. Это понятие уже обсуждалось в блоге в контексте голографической перенормировки, сейчас я просто кратко напомню о том, какое это имеет отношение к квантовой гравитации. Итак, наиболее высокая цель физики фундаментальных взаимодействий — это построение фундаментальных теорий (такие как теория струн — в нашей вселенной, стандартная модель — в несуществующем мире без гравитации и суперсимметрии; я не говорю о внутренних проблемах допланковского характера, вроде нестабильности хиггсовского потенциала и непредсказуемости времени жизни протона), которые сводятся к некоторым эффективным теориям (таким как стандартная модель в правильной физике высоких энергий, или теории ферми-жидкости Ландау и теории Гинзбурга-Ландау, да и самой БКШ, из которой выводится эффективно же теория Гинзбурга-Ландау; эффективность можно распространить в известном смысле на всю физику конденсированных сред).

Получить фундаментальную теорию из эффективной, не вводя никаких дополнительных предположений, невозможно, и это одно из проявлений необратимости ренормгруппового потока. (В некоторых случаях дополнительные аргументы позволяют в некоторой степени однозначно угадать фундаментальную теорию, но при этом всегда надо прибегать к условиям ненарушения существенных принципов.) Пример вытекающей проблемы — построение однозначного ультрафиолетовго дополнения МССМ. Ренормгрупповой поток — это то, что даёт эффективную теорию, исходя из фундаментальной (определенной на всех масштабах энергии), когда вы «усредняете» по всем масштабам длины короче определённого. В реальных экспериментах всё, что измеряется, — это как раз длиннее определённого масштаба, так что непосредственно с экспериментом связываются именно предсказания эффективной теории. Утверждение о том, что теория струн в самом фундаментальном смысле непосредственно должна подтверждаться экспериментом потому является чушью. А вот утверждение о том, что эта нетестируемость на эксперименте означает, что вместо теории струн должна существовать другая «более простая» фундаментальная теория всего, которая отличается от теории струн в лучшую сторону тем, что проверяется экспериментом — является следствием совершенного непонимания того, что есть фундаментальная физика.

Поэтому «тестирование» на правильность фундаментальной физической теории — это в большей степени сугубо теоретический процесс, и утверждение состоит в том, что этот процесс может выдержать только одна теория — теория струн. В силу этого утверждения любая фундаментальная подтеория, включенная в теорию струн, является правильной по определению теории, описывающей природу на фундаментальном уровне. Любая эффективная теория, не выводимая из теории струн, должна быть исключена из числа серьёзных теорий. И я уже не говорю о том, что любая фундаментальная теория, отличающаяся от теорией струн, сразу становится неверной. Все эти утверждения можно обобщить в одно: согласие с теорией струн и согласие с экспериментом — это одно и то же. Если вы хотите, чтобы ваша теория имела отношения к реальной физике — убедитесь в том, что она следует из теории струн. Если вы убедились в обратном — забудьте об этой теории, она точно неверна, и представляет собой скорее всего какую-то хаотичную символьную флуктуацию. Я даже не хочу заменять слово «символьную» на слово «математическую», потому что понятие «математика» зарезервировано за тем, что несёт за собой некую абстрактную ценность (как математика теории струн), в то время как ложные физические теории бесполезны на всех уровнях.

Далее, я хочу прокомментировать лекции Польчинского в летней школе при Стэнфордском ускорителе в 1998 году. Это хорошая статья, и там есть множество аргументов в поддержку теории струн, или лучше сказать — помогающих понять теорию струн (я рекомендую её всю для прочтения, как чёткий и объективный источник стандартной информации касательно теории струн, и в другом посте я бы с удовольствием обсудил такие вещи как электромагнитную дуальность и прочие сильно-слабые дуальности в теории струн, которые невероятно чётко объясняются Польчинским фактически «на пальцах»), но я хочу обсудить только то, что связано с ультрафиолетовым дополнением квантовой гравитации.

Итак, специфицируемся в секцию 5 цитированной статьи. То, что Польчинский пытается сделать, собственно, состоит в том, чтобы построить более-менее общую теорию, которая учтёт тот факт, что гравитация приносит ещё одно соотношение неопределенности, помимо соотношения Гейзенберга δxδp≥1, а именно обрезание на геометрию δx≥Lp, что Польчинский переписывает в стиле соотношения Гейзенберга: δxδx≥Lp2 (в такой форме это что-то вроде простейшего примера UV/IR связи, можете посмотреть главу 10 книжки Susskind «Introduction to black holes, information and string theory revolution»; как вы знаете, более продвинутый пример такой связи — это ads/cft соответствие, где UV теории поля на границе соответствует IR теории в объёме (в смысле радиальной координаты), грубо говоря, и наоборот).

Так или иначе, Польчинский записывает гамильтониан матричной квантовой механики N нерелятивистских частиц. Замена координат Xmi для i-й частицы с пространственным индексом m матрицами Xmij с обоими нижними индексами, принимающими значения от 1 до N — обычное матричное представление некоммутирующих операторов, которое в «классическом» пределе сводится к коммутирующим диагональным матрицам, с координатами частиц на диагонали. Далее, к гамильтониану добавляется потенциальный член, который должен уничтожаться в классическом пределе, и быть большим, когда квантовые эффекты существенны. Такой член, существование которого должно быть учтено в гамильтониане, есть ~M[X, X]2. Он пропорционален некоторой большой массе M и коммутатору двух разных координатных матриц X (чтобы получить ненулевой O(N) скаляр, из соображений симметрии надо этот коммутатор возвести в квадрат), и этот член удовлетворяет обоим условиям, описанным выше. Итак, просто требуя описание динамики частиц в некоторой геометрии и до-планковских энергиях, а также нарушение геометрии на планковском масштабе, мы серьёзно ограничили вид возможного гамильтониана. Дальше следует наблюдение — записанный гамильтониан есть просто бозонная часть BFSS матричной теории струн, а именно построения M теории как матричной квантовой механики. По сути это 0+1 мерная редукция N=16 суперсимметричной калибровочной теории в десятимерии,  описывающая динамику D0 бран. Таким образом, вывод состоит в том, что любая квантовая теория гравитации — это теория струн.

Ключевые слова: гравитация, геометрия | Комментарии (30)
Михаил Гойхман

Тахионы и причинность

8 февраля 2012 года, 22:19

Тахион — это частица, которая движется со скоростью, большей скорости света в вакууме. Последнюю будем считать равной единице, так что тахион движется со скоростью u > 1. Как многие из вас наверняка слышали, результаты эксперимента OPERA, опубликованные в сентябре прошлого года, описывают тахионные нейтрино. Иными словами, если бы между ЦЕРНом и Гран Сассо был бы вакуум, то свету понадобилось бы больше времени для путешествия между этими двумя лабораториями, чем понадобилось нейтрино для преодоления того же расстояния через толщу Земли. Перед тем как выдвигать наиболее очевидный (и потому наиболее наивный) аргумент против подобных результатов (то есть перед тем как начать утверждать, что в эксперименте были допущены ошибки), замечу, что был предложен ряд теоретических объяснений эксперимента OPERA, см., например, статью Любоша Мотла про использование для этой цели некоммутативной геометрии.

В дальнейшем будем полагать, что лоренц-инвариантность — точная штука. Допустим у нас есть какое-то локально плоское пространство-время, и мы можем применять преобразования Лоренца локально, для того, чтобы переходить из описания явлений в одной системе отсчёта, к другой системе отсчёта. Пусть все сигналы, и все системы отсчёта движутся относительно друг друга в направлении оси x, и пусть t — это координата времени. Двигаясь вдоль x со скоростью v вы можете совершить преобразование лоренцевского буста — перейти в систему отсчёта (t', x'), повёрнутую относительно (t, x) на угол ψ = arctanh v. С учётом предложения о лоренц-инвариантности — всё это законные процедуры.

Теперь допустим, что в системе (tx) в момент t = 0 была послана частица в положительном направлении x со скоростью v>1 Назовём это — событие A. В момент t эта частица создаёт событие B.

Мы видим, что события A и B — пространственно-подобны, так что мы можем совершить такой буст, с параметром v < 1 — скоростью штрихованной системы отсчёта относительно изначальной, что в новой системе отсчёта ситуация (положение событий в координатах пространства-времени) будет выглядеть следующим образом.

Так что теперь B имеет координату времени, меньше нуля — то есть меньше координатного времени A. Вы бы никогда не смогли так сделать, если бы B было в верхнем световом конусе A (и потому AB интервал был бы времениподобным), переходя к системе отсчёта, двигающейся относительно исходной со скоростью v < 1. Это уже нарушение причинности — следствие B имеет меньшую временную координату чем причина A. Во Вселенной, где теория относительности верна и скорость ограничена скоростью света — такого не бывает.

То, что видит наблюдатель в штрихованной системе отсчёте, это тахион, который движется из одной точки в другую, и назад во времени — из точки в момент штрихованного времени 0 — в точку в момент штрихованного времени −t'. В силу принципа относительности штрихованная и исходная системы отсчёта эквивалентны, так что время в исходной системе отсчёта время тоже может идти в обратном направлении, а в штрихованной — в правильном (увеличивающемся ;) ) направлении.

Наконец, давайте пошлём сигнал себе в прошлое, ну или давайте убьём своего пра-пра-пра-пра-дедушку. Я добавил лишние пра- для верности, на случай если у вас в роду большая продолжительность жизни ;) Может ли B, на которое мы смотрим в новой системе координат, быть причиной A? Нет, так как они по-прежнему пространственно-подобны? Но теперь это не проблема — мы можем двигаться со скоростью, большей скорости света, так что пространственно-подобные интервалы теперь могут быть причинно связаны — мы с этого начали. Так что мы создали причинно-следственную петлю.

Причинность — это когда последствие (эффект) всегда позже по времени чем причина. В теории относительности причинно-следственные отношения инвариантны относительно смены системы отсчёта — вы родились позже своих родителей в любой системе отсчёта. Относительность того, что раньше, а что позже, возможно только для событий, которые разделены пространственно-подобными интервалами — такие события независимы друг от друга, и одно из них ни в коей мере не влияет на другое. Если вы допускаете путешествие со скоростью, большей скорости света, и при этом продолжаете утверждать, что преобразования Лоренца для перехода из одной системы отсчёта в другую верны, то вы нарушаете причинность, что по понятным соображениям недопустимо для физики.

Ключевые слова: геометрия | Оставить комментарий
Степан Сидоров

Сигма-модели: начало

2 сентября 2011 года, 01:17

Впервые сигма-модель была введена Гелл-Манном и Леви в работе «The axial vector current in beta decay», Nuovo Cimento 16, 705. В этой работе рассматривались три скалярных пионных поля πa с лагранжианом

$$ {\cal L}=-\frac{1}{2}g_{ab}(\pi^{c})\partial_{\mu}\pi^{a}\partial^{\mu}\pi^{b},$$

где gab(πc) — это метрика на сфере S3 = SO(4)/SO(3),

$$g_{ab}(\pi^c)=\delta_{ab}-\frac{\pi_a\pi_b}{f^2-\overrightarrow{\pi}\cdot\overrightarrow{\pi}}\,.$$

Сначала был введён лагранжиан следующего вида:

$${\cal L}=-\frac{1}{2}\left[(\partial \overrightarrow{\pi})^2+(\partial\sigma^\prime)^2\right]+ g\left[(\overrightarrow{\pi})^2 + {\sigma^{\prime}}^2\right]\,.$$

Потом было введено ограничение для сохранения инвариантности лагранжиана при четырехмерных поворотах (πx, πy, πz, σ′):

$$(\overrightarrow{\pi})^2 + {\sigma^{\prime}}^2 = f^2\,.$$

Это есть уравнение сферы S3 с радиусом f, то есть эти скалярные поля описывают сферу. Потом, использовав уравнение сферы, скалярное поле σ′ исключили из лагранжиана. Получили при этом соответствующий лагранжиан (константа опущена).

Из этого примера видно, как обобщить сигма-модели на другие Римановы многообразия или супермногообразия $${\cal M}$$. Рассматриваем скалярные поля $$\phi^a$$ как отображение из пространства-времени в $${\cal M}$$,

$$\phi^a : spacetime\rightarrow {\cal M}.$$

Лагранжиан имеет вид

$${\cal L}=-\frac{1}{2}g_{ab}(\phi^{c})\partial_{\mu}\phi^{a}\partial^{\mu}\phi^{b},$$

где $$g_{ab}(\phi^{c})$$ это метрика на пространстве-отображения $${\cal M}$$. Скалярные поля можно принять как локальные координаты на пространстве-отображения $${\cal M}$$ с метрикой

$$ds^2=g_{ab}\,d\phi^{a}d\phi^{b}.$$

Заметим, что лагранжиан состоит из векторов $$\partial_{\mu}\phi^{a}$$ на касательном пространстве многообразия $${\cal M}$$. Лагранжиан построен из геометрических объектов, и преобразуется как скаляр при преобразованиях координат на $${\cal M}$$. Соответствующее действие для двумерной нелинейной сигма-модели (NLSM)

$$S=-\frac{1}{2} \int\,d^2 x \,g_{ab}(\phi^{c})\partial_{\mu}\phi^{a}\partial^{\mu}\phi^{b},$$

Уравнения движения находим из инвариантности действия,

$$\delta S=0 \rightarrow \partial_{\mu} \partial_{\mu} \phi^c +\Gamma_{a b}^{c}\partial_{\mu}\phi^a \partial_{\mu} \phi^b =0 \,,$$

где

$$\Gamma_{a b}^{c} = \frac{1}{2} g^{c d}\left(\frac{\partial g_{d a}}{\partial \phi^b } + \frac{\partial g_{d b}}{\partial \phi^a }-\frac{\partial g_{a b}}{\partial \phi^d }\right)$$

символы Кристоффеля. Это уравнение есть обобщение уравнения геодезической.

Ключевые слова: геометрия | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Голографическая перенормировка (2)

1 мая 2011 года, 12:58

Продолжим изучение перенормировок в квантовой теории поля, в данном посте — методом AdS/CFT соответствия (Holographic renormalization group — HRG). Напомню, что в предыдущем посте был сформулирован Вильсоновский подход к теории перенормировок, при котором функциональный интеграл разбивается на высокоэнергетическую bΛ < |k| < Λ и низкоэнергетическую |k| < bΛ части, причем явное интегрирование по высокоэнергетическим модам дает эффективную низкоэнергетическую теорию с эффективными константами, зависящими от b. Вопрос в том, что происходит при этом с дуальной (согласно AdS/CFT соответствию) супергравитацией в = 5 пространстве-времени.

Другая мотивация к исследованию HRG состоит в том, что AdS/CFT соответствие позволяет описывать дуальным образом гравитацию в AdS, в то время как не очевидно как перейти к дуальному без-гравитационному полевому описанию гравитации в другом фоне. На самом деле существенным для дуальности является наличие границы (которую можно иногда и руками добавить, на самом деле) пространства-времени, и потому ближайшим расширение AdS является AAdS (см. ниже) — тоже пространство, топологически эквивалентное шару, отличающееся от AdS фактором искривления (warp factor) вдали от границы. При этом дуальная теория поля не CFT, а просто QFT.

Разумеется мотивацию предыдущего абзаца можно обратить и заинтересоваться в первую очередь описанием гравитационным образом неконформной теории поля.

1. Начнем с напоминания наиболее распространенного примера AdS/CFT соответствия, т.е. соответствия между теорией суперструн в AdS5×S5 и= 4 теорией супер Янг-Миллса. Последняя конформно-инвариантна, поэтому не зависит от энергетического масштаба b. Кроме того скейлинговое преобразование CFT соответствует рескейлингу радиальной координаты z. А именно ~ 1/z. Детали я описал в предпоследнем пункте здесь. Таким образом конформная инвариантность теории на границе напрямую связана с голографической природой радиальной координаты z.

Допустим теперь, что теория на границе — просто QFT, не обязательно конформно-инвариантная. Ясно, что при этом дуальная гравитация живет не в AdS5×S5. Некоторые исследования были проведены для AAdS — асимптотически AdS фона. Асимптотически — т.е. AdS при приближении к конформной границе, наличие которой является существенной для рассмотрения дуальной QFT. Теперь параметры QFT (константы и напряженности) зависят от масштаба b. По-прежнему энергетическому масштабу QFT соответствует радиальная координата в объеме. Соответствие между гравитацией и теорией поля при этом приобретает более утонченный характер — теперь значение радиальной координаты z существенно с точки зрения соответствия тому или иному энергетическому масштабу теории поля на границе. Доказательство дано в п. 3 ниже.

2. Следуя работе Heemskerk, Polchinski «Holographic and Wilsonian renormalization groups» разобьем интеграл по путям теории супергравитации в объеме на участки z < l, z l, z > l, где l — некое данное расстояние до границы AAdS:

$$Z=\int{\cal D}\varphi e^{-\kappa^{-2}S}=\int{\cal D}\varphi|_{z>l}{\cal D}\tilde\varphi{\cal D}\varphi|_{z<l}e^{-\kappa^{-2}S|_{z>l}-\kappa^{-2}S|_{z<l}}$$

где $$\tilde\varphi ^i=\varphi^i(l,x)$$ есть значение рассматриваемых полей мультиплета супергравитации при z = l. Такое разбиение прямо соответствует Вильсоновскому разбиению после введения масштаба b. Соответственно формула, постулируемая для вычисления корреляционных функций в AdS/CFT соответствии здесь, обобщается для AAdS/QFT соответствия следующим образом:

$$\left\langle\exp\left(\frac{1}{\kappa^2}\int d^dx\tilde\varphi^i(x){\cal O}_i(x)\right)\right\rangle_{b\Lambda<1}=\int{\cal D}\varphi |_{z>l}e^{-\kappa^{-2}S|_{z>l}}$$

где как обычно

$$\left\langle\exp\left(\frac{1}{\kappa^2}\int d^dx\tilde\varphi^i(x){\cal O}_i(x)\right)\right\rangle_{b\Lambda<1}=\frac{1}{{\cal Z}}\int{\cal D}M_{b\Lambda<1}\exp\left(-S_0+\frac{1}{\kappa^2}\int d^dx\tilde\varphi^i(x){\cal O}_i(x)\right)$$

Здесь M - поля QFT, $${\cal O}$$ — построенные из них калибровочно-инвариантные операторы, дуальные полям в объеме φ.

3. Таким образом видно, что как и в случае AdS/CFT соответствия мы исходим из постулирования того факта, что поля в объеме «взаимодействуют» (то есть влияют количественно на дуальность) с полями на границе посредством простейшего члена через граничные значения. В то время как в AdS/CFT соответствии эти граничные значения берутся в z = 0, в AAdS/QFT соответствии они берутся в = l, причем l может меняться. Таким образом изменение значения полей супергравитации φi|z=l соответствует изменению константы связи «членов взаимодействия» с операторами $${\cal O}_i$$ дуальной теории поля.

Вот как проявляется голографическая перенормировка: каждой константе связи теории поля соответствует скалярное поле в объеме, причем изменение величины скалярного поля в зависимости от радиальной координаты z соответствует изменению эффективной константы связи в зависимости от диапазона изменения энергии распространяющихся мод теории поля.

4. Далее будем следовать книге Kiritsis, String theory in a nutshell. Допустим мы хотим деформировать конформную теорию поля на границе и посмотреть как эта деформация отражается на супергравитации в объеме. Итак, к действию S0 конформно-инвариантной теории на границе мы добавляем неинвариантный относительно конформных преобразований член, выраженный через оператор $${\cal O}$$ с конформной размерностью Δ. В результате получаем действие

$$S=S_0+\mu\int d^4x{\cal O}(x)$$

квантовой теории поля, не обязательно конформно инвариатной. Если Δ ≠ 4, то теория с действием S не является конформно инвариантной и константа связи μ размерна. А именно, если Δ > 4, то μ < 0 и соответствующий член взаимодействия является несущественным в соответствии с классификацией в предыдущем посте о перенормировках. Такое взаимодействие расходится в UV и неперенормируемо (т.к. перенормируемое взаимодействие должно иметь бесконечные перенормированные константы связи в IR и конечные в UV). С другой стороны допустим скалярное поле φ как указано выше соответствует оператору $${\cal O}$$ «через» свое значение на границе φ0. Тогда постольку поскольку вблизи границы пространство-время в объеме все равно AdS, то решая там уравнение Лапласа для безмассового скалярного поля получаем

$$\varphi(z,x)\sim z^{4-\Delta}\varphi_0(x)+z^\Delta\langle{\cal O}\rangle.$$

Ясно тогда, что несущественному оператору теории поля соответствует скалярное поле расходящееся на границе z = 0, т.е. в объемной части соответствующей UV на границе. Чтобы иметь конечные генерирующие функционалы $$\sim\exp(\varphi(z){\cal O})$$ нужно выбрать φ0 бесконечно малым, что очевидно уничтожит генерирующий функционал соответствия в UV, т.е. в z = 0. Разве что таких полей будет бесконечно много, что соответствует бесконечному числу контрчленов неперенормируемых теорий.

***

В следующем посте проделаем некоторые конкретные вычисления RG потока в объеме.

Ключевые слова: гравитация, квантовая теория поля, геометрия, AdS/CFT | Оставить комментарий
Сергей Белёв

Как вывернуть сферу наизнанку, или парадокс Смейла

16 апреля 2011 года, 18:38

Представим, что «обычная» двумерная сфера S2 сделана из эластичного материала, который может проходить сквозь себя. Можно ли вывернуть сферу наизнанку в обычном трехмерном пространстве $$\mathbb{R}^3$$ без изломов и разрывов, но с возможным самопересечением (то есть в классе погружений)?

Стивен Смейл в 1958 году доказал, что это можно сделать. Точнее, он доказал следующее утверждение:
Пусть есть стандартное вложение $$f: S^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$$, тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство гладких погружений $$f_t: S^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3, ~t \in [0,1]$$ такое, что f0 = f и f1 = f.

Согласно легенде, когда Смейл попытался опубликовать эту теорему, он получил отзыв, который говорил, что утверждение очевидно неверно. Как видим, Смейл не привел конкретного примера того, как это сделать, но доказал, что это возможно. Вот пример явного выворачивания, который придумал Терстон:

 

В 2000 году Смейл составил список из 18 задач, которые, по его мнению, должны быть решены в XXI веке. Этот список составлен в духе проблем Гильберта, и, как и составленные позднее задачи тысячелетия, включает гипотезу Римана, вопрос о равенстве классов P и NP, проблему решения уравнений Навье — Стокса, а также ныне доказанную Перельманом гипотезу Пуанкаре. Смейл составил свой список по просьбе Арнольда, занимавшего тогда пост президента международного математического союза, который скорее всего, взял идею этого списка из списка проблем Гильберта.

И, наконец, вопрос: можно ли «вывернуть» окружность в плоскости, то есть найти непрерывное семейство погружений, как выше?

Ключевые слова: геометрия | Комментарии (7)
Михаил Гойхман

Пространство AdS

23 марта 2011 года, 12:20

Имеет смысл на всякий случай суммировать в отдельном посте основные факты касательно пространства AdS. В первую очередь пространство AdSd+1 — это максимально-симметричное (число параметров симметрии равно числу вращений плюс трансляций по всем координатам в плоском пределе или числу вращений в пространстве вложения в целом, то есть ½ (d + 1) (d + 2)) решение уравнений Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной Λ. Введя радиус R пространства AdS, связанный с космологической постоянной по формуле Λ = −3/R2, можем представить AdS как вложение (d + 1)-мерного пространства-времени в (d + 2)-мерное пространство Минковского с сигнатурой (2, d):

$$y_1^2+\cdots +y_d^2-t_1^2-t_2^2=-R^2$$

Для конкретных вычислений метрики в разных координатных системах просто положим R = 1. Тогда все координаты будут безразмерными и мы получаем возможность совершать конформные преобразования и всяческие замены координат, не противоречащие размерным соображениям. Вполне очевидно что при таком описании SO (2, d) симметрия AdS становится явной.

1. Переходя к координатам Пуанкаре по формуле

$$(z,x^0,x^i)=((t_1+y_d)^{-1},t_2(t_1+y_d)^{-1},y_i(t_1+y_d)^{-1})$$

получим выражение для метрики

$$ds^2=\frac{1}{z^2}((dx^2)_{d+1}+dz^2).$$

Обратите внимание, что в такой форме имеется явная симметрия по отношению к действию глобальных преобразований подгруппы SO (1, 1) полной группы симметрий SO (2, d):

(x, z) → (cx, cz).

Также видна явная симметрия по отношению к SO (1, d), вращающей координаты x между собой.

В координатах Пуанкаре граница AdSd+1 представляет собой пространство Минковского R1,d−1 в z = 0 и точку P в z = ∞.

Далее, в координатах Пуанкаре можно изобразить только половину всего пространства AdS. Об этом подробнее в пункте 3.

2. Введем сферические координаты на пространственной и временной части (d + 2)-мерного пространтсва-времени вложения по-отдельности:

$$\sum _{i=1}^ddy_i^2=dv^2+v^2d\Omega _d^2,$$

$$\sum_{j=1,2}dt_j^2=d\tau ^2+\tau ^2d\theta^2.$$

Здесь dv и  есть элементы радиальных расстояний, а d и  — элементы угловых расстояний. Поверхность AdS, вложенная в (d + 2)-мерное пространство-время, задается тогда формулой

$$v^2-\tau ^2=-1.$$

Из этой формулы мы можем сразу же выразить τ и  через v и dv, после чего получаем

$$dv^2-d\tau ^2-\tau ^2d\theta ^2=\frac{dv^2}{1+v^2}-(1+v^2)d\theta ^2.$$

Как видно у нас имеется периодичное время θ. Это нам совершенно ни к чему, поэтому мы развертываем окружность, на которой θ принимает значения, до бесконечного радиуса. Такое пространство-время называется CAdS (covering AdS). Именно оно и имеется в виду в AdS/CFT соответствии.

3. Рассмотрим глобальную параметризацию координат пространства вложения координатами пространства AdS:

$$t_1=\cosh\rho\cos\tau,\quad t_2=\cosh\rho\sin\tau,\quad y_i=\sinh\rho\,\Omega_i,$$

где = 1, ..., d, ρ ≥ 0, 0 ≤ τ < 2π, а также ∑Ωi2 = 1. Ясно, что мы имеем d + 1 независимых координат (τ, ρ, Ωi), параметризующих AdS, и метрика записывается в виде

$$ds^2=-\cosh ^2\rho\, d\tau ^2+d\rho ^2+\sinh ^2\rho\, d\Omega ^2.$$

Опять же область значений времени τ должна быть развернута до окружности с бесконечным радиусом.

Перейдем теперь от координаты θ к координате ρ по формуле tan θ = sinh ρ. Тогда 0 ≤ θ < π/2, и метрика приобретает вид

$$ds^2=\frac{1}{\cos ^2\theta}(-d\tau ^2+d\theta ^2+\sin ^2\theta\, d\Omega ^2).$$

Теперь для изучения причинной структуры и построения диаграммы Пенроуза можно совершить конформное преобразование метрики, получая:

$$ds^2=-d\tau ^2+d\theta ^2+\sin ^2\theta\, d\Omega ^2,$$

откуда будет следовать что AdS есть просто половина сферической Вселенной Эйнштейна (у Эйнштейна 0 ≤ θ < π — сферическая координата) с границей в θ = π/2, имеющей топологию сферы (в координатах Пуанкаре мы получили границу с топологией пространства Минковского, что однако просто сфера с бесконечным радиусом). Диаграмма Пенроуза для AdS2 представляет собой прямоугольник с координатами (τθ).

Наконец, координаты Пуанкаре, описанные в пункте 1, покрывают только половину этого прямоугольника, а именно его треугольную часть с одной из сторон, являющейся сферической границей θ = π/2 (или z = 0), а двумя другими сторонами — точечной границей z = ∞. На рисунке ниже, взятом из BBS, обозначение ρ соответсвует нашему обозначению θ.

Диаграмма Пенроуза для AdS


Для большинства практических целей мы будем пользоваться именно координатами Пуанкаре. Тогда мы просто накладываем нулевые граничные условия в точке P, отделяющей треугольник от всего прямоугольника AdS (на диаграмме Пенроуза P представляется в виде двух сторон треугольника, отделяющих область, покрываемую координатами Пуанкаре, от той области AdS, которую они не покрывают), так что динамику можно рассматривать только в Пуанкаре-треугольнике. Поэтому, кстати, точку P иногда называют горизонтом AdS в координатах Пуанкаре. Соответственно в глобальных координатах, в отличии от координат Пуанкаре, пространство AdS не имеет горизонта.

Также полезно порешать задачки из главы 12 BBS по соответствующей тематике. В секции комментариев можно указать те задачи, которые читателям интересно разобрать здесь. Там есть пара задач чисто про AdS и несколько задач по AdS/CFT соответствию.

Ключевые слова: гравитация, AdS/CFT, геометрия | Оставить комментарий