Заметки о теоретической физике
Михаил Гойхман

Эволюция черепах

17 ноября 2014 года, 02:37

В ноябре 2008го года в статье 

Chun Li, Xiao-Chun Wu, Olivier Rieppel, Li-Ting Wang & Li-Jun Zhao  An ancestral turtle from the Late Triassic of southwestern China

было объявлено открытие ранее неизвестного вида черепах Odontochelys: ископаемое возраста 220 млн. лет. Это новое ископаемое оказалось древнее вида Proganochelys, который ранее являлся самым древним найденным ископаемым черепах. Odontochelys оказались старше Proganochelys на 15 млн. лет. Помимо этого, Proganochelys были сухопутными черепахами (tortoise), в то время как Odontochelys оказались водными черепахами (turtle). Кроме этого, Odontochelys не обладали верхней частью панциря, и были закрыты только снизу. Это открытие требовало пересмотра представления о том, как эволюционировали черепахи. Вот почему.

Жизнь произошла в воде. В процессе эволюции некоторые виды вышли на сушу. Одним из таких новых видов считались черепахи, к которым в том числе принадлежат сухопутные черепахи Proganochelys. До открытия Odontochelys, таким образом, считалось что черепахи как вид возникли на суше. В том числе, на суше полностью эволюционировал их панцирь. Кроме Proganochelys известно множество других видов ископаемых черепах, из разных периодов. Однако особенность всех этих ископаемых состоит в том, что они все ископаемые водных черепах. Сухопутные черепахи не встречаются вплоть до Testudinidae, к которым в том числе принадлежат современные живые черепахи.

Таким образом, складывается следующая картина. Черепахи возникли на суше. Впоследствии они вернулись обратно в воду. Те, которые остались на суше, вымерли. Предположительно, это объяснят отсутствие ископаемых сухопутных черепах, вплоть до Testudinidae, при наличии большого количества ископаемых водных черепах. В какой то момент в прошлом, какой то вид водных черепах расщепился, и часть черепах вернулась на сушу, дав начало виду Testudinidae современных сухопутных черепах. Часть черепах осталась в воде, дав начало современным водным черепахам. В данной картине черепахи представляют собой вид, который возник на суше, эволюционировал там до полностью развитого панциря, потом полностью вернулся в воду, а потом частично вышел на сушу, во второй раз.

Разумеется, открытый в 2008м году вид водных черепах Odontochelys, с частично развитым панцирем, и старше сухопутных черепах Proganochelys с полностью развитым панцирем, находится в конфликте с этой картиной. Ричард Докинз, в The Greatest Show on Earth, резюмирует три предложенных решения очевидного парадокса.

Первый, наименее радикальный вариант был предложен рецензентами статьи Робертом Райзем и Джейсоном Хэдем. Они предположили, что черепахи действительно возникли на суше, где и эволюционировал полностью их панцирь, как и считалось раньше. Допустим одним из древнейших видов таких сухопутных черепах принадлежал вид X. Впоследствии вид X эволюционировал и привел, в том числе, к известному сухопутному виду Proganochelys, который сохранил панцирь, и к к виду Odontochelys черепах, которые вернулись обратно в воду, и потеряли часть панциря. Подобная картина основана на предположении о том, что черепахам, которые вернулись в воду, не нужен был панцирь сверху. Для черепах, плавающих у поверхности воды, наибольшая угроза снизу: нет идущих по поверхности существ, которые могут напасть на черепаху сверху, и наибольшая опасность исходит от глубоководных рыб. Видимо, опасность от птиц была менее значимой чем «стоимость» выращивания панциря. Далее история развивается также как и считалось ранее. Потомки Proganochelys, которые остались на суше, вымерли, и остались (на некоторое время) только те их потомки, которые вернулись в воду. И т.д.

Второй вариант был предложен авторами статьи.  Они предположили, что черепахи появились в воде как вид Y. Первые черепахи произошли от видов, которые еще не выходили из воды на сушу. Odontochelys принадлежит к ближайшим водным потомкам вида Y. Таким образом, недоразвитость панциря Odontochelys интерпретируется не с точки зрения целесообразности полного панциря водных черепах, а просто как этап эволюции. Потомки Odontochelys вышли на сушу. Впоследствии сухопутные и морские черепахи завершили эволюцию панциря независимо. Из сухопутных черепахи в т.ч. возник вид Proganochelys. После Proganochelys история такая же, как и раньше.

Третий вариант был предложен Докинзом в The Greatest Show on Earth. Он состоит в следующем. Как и в первом варианте (Райз и Хэд) предположим, что черепахи возникли на суше, где они полностью эволюционировали свой панцирь. Пусть вид Z принадлежит к таким черепахам. Впоследствии предположим, что черепахи не могли выжить на земле, и вынуждены были вернуть в воду. Получившийся вид водных черепах назовем видом W. Впоследствии вид W дал начало виду Odontochelys, который потерял часть панциря за ненадобностью, и виду Proganochelys, который вернулся обратно на сушу, со своим полностью развитым панцирем.

Этот сценарий похож на вариант 1, однако есть существенная разница. И в варианте 1 (Райз и Хэд) и в варианте 3 (Докинз), черепахи возникли на суше. Однако в варианте 1 исходный вид сухопутных черепах X эволюционировал в вид Proganochelys сухопутных черепах, не исчезнув в суши. В то время как в варианте 3 исходный вид сухопутных черепах Z не мог выжить на суше. Он не связан непрерывно на суше с видом Proganochelys сухопутных черепах, между ними есть щель вымерших сухопутных черепах.

Эта конструкция Докинза, возможно, необоснованно сложна. Однако она подразумевает интереснейшее следствие, что черепахи относятся к виду, которые пришли на землю три раза! Сперва они возникли на суше как вид Z. Потом они ушли в воду, и вернулись на сушу, в том числе в виде Proganochelys. Потом они снова ушли в воду (помните большой пробел ископаемых сухопутных черепах после Proganochelys вплоть до современных Testudinidae). И, наконец, они вернулись на сушу, в т.ч. в виде Testudinidae.

Стоит оговорить что все это варианты, которые согласуется с теми ископаемыми, которые были открыты, и с представлениями об эволюции в тех или иных условиях. Разумеется нет никакой гарантии что гипотетические виды X, Y, Z или W (точнее, виды, наиболее родственные к ним), когда либо будут найдены. Отсутствие ископаемых гипотетических видов есть наиболее слабое возражение против любой эволюционной модели (если бы все ископаемые отсутствовали, теория эволюции не пострадала бы вообще). Однако находка новых видов может привести к пересмотру картины о том, как эволюционировали виды.

 

Ключевые слова: биология | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Дегенерация руководства ИТЭФ

18 апреля 2014 года, 02:17

Александра Горского уволили из ИТЭФа. Горский известен читателям этого блога по этому обзору его статьи об инстантоне в пространстве AdS. «Причина» увольнения — за прогул. Горский отправился на месяц на воркшоп в Центре Саймонса в Стони Бруке, где он делал доклад по этой статье. А вот оказалось что нельзя одному из наиболее значимых физиков в мире контактировать с коллегами с загнивающего запада.

Сразу скажу следующее. Любой физический институт в котором могут уволить за поездку на физический воркшоп управляется посредственными сволочами, которых необходимо ликвидировать как можно скорее. Но если вы не заметили, статья, по которой Горский делал доклад, была им написана вместе с Андреем Заякиным, также известным под псевдонимом Doctor Z, известным разоблачителем путинского режима.

Ключевые слова: политика | Комментарии (13)
Михаил Гойхман

Дуальности ADE теорий

25 марта 2014 года, 17:45

1. Мы закончили предыдущее обсуждение выяснив что $$A$$ теория, т.е. суперсимметричная КХД с кварками $$(Q,\tilde{Q})$$ и полем материи $$X$$ в присоединенном представлении калибровочной группы, при достаточно большом $$x=N_c/N_f>x_k$$ притекает в ИК в конформную фиксированную точку, в которой суперпотенциал

$$W_{A_k}={\rm Tr}X^{k+1}$$

является существенным оператором. Если сидя в этой конформной фиксированной точке мы добавим суперпотенциал  $$W_k$$, включится новый РГ поток, который закончится тогда когда суперпотенциал $$W_{A_k}$$ станет маргинальным, т.е. R-заряд поля $$X$$ станет равным

$$R(X)=\frac{2}{k+1}$$

В силу условия сокращения аксиальной аномалии (зануление диаграммы $$U(1)_RSU(N_c)^2$$) R-заряд кварков тогда равен

$$R(Q)=R(\tilde{Q})=1-\frac{2x}{k+1}$$

Полученная ИК теория называется теорией $$A_k$$. 

Теория $$A_k$$ имеет Зайберг-дуальную теорию, найденную Кутасовым.

Типичная схема нахождения Зайберг-дуальных теорий следующая. Допустим мы стартуем с электрической теории с калибровочной группой $$SU(N_c)$$ и всевозможными полями материи. Физические наблюдаемые являются калибровчно-инвариатными операторами. Таковыми являются всевозможные операторы следа, операторы мезонов и операторы барионов.

Первое конструктивное (но, вероятно, не всегда обязательное) утверждение состоит в том что Зайберг-дуальная магнитная теория имеет те же фундаментальные степени свободы материи что и электрическая теория, плюс набор фундаментальных мезонов. В электрической теории мезоны не фундаментальны: они являются композитными калибровочно-инвариатными объектами. Каждому композитному мезону электрической теории должен соответствовать фундаментальный мезон магнитной теории.

Мезоны электрической теории есть

$$M_j=\tilde{Q}X^{j-1}Q\,,\quad j=1,\dots,k$$

Ограничение сверху на количество мезонов проистекает из F-уравнения

$$X^k=0$$

следующего из суперпотенциала $$W_{A_k}$$. Каждый мезон является $$N_f\times N_f$$ матрицей (не показано явно) в би-фундаментальном представлении киральной группы $$SU(N_f)_L\times SU(\bar{N}_f)_R$$.

Магнитная теория тогда обладает фундаментальными мезонами

$$\hat{M}_j\,,\quad j=1,\dots,k$$

помимо кварков $$(q,\tilde{q})$$ и поля $$\hat{X}$$.

Далее, дуальность требует равенства аномалий тХуфта. Вот и начнем с $$SU(N_f)_L^3$$ аномалии, т.к. это самый быстрый способ выяснить ранк $$\hat{N}_c$$ дуальной калиброчной группы $$SU(\hat{N}_c)$$. В электрической теории $$SU(N_f)_L^3$$ треугольной диаграмме бегают только лево-киральные кварки $$Q$$, каждый из которых имеет $$N_c$$ цветов и живет в фундаментальном представлении группы $$SU(N_f)_L$$. Если $$T^a,\;a=1,…,N_f^2$$ есть матрицы $$su(N_f)_L$$ в фундаментальном представлении, то диаграмма $$SU(N_f)_L^3$$ пропорциональна $$d^{(abc)}_{fund}={\rm Tr}(T^a\{T^b,T^c\})$$, т.е. трехточечному индексу в фундаментальном представлении. Будем считать что он равен единице. Диаграмма тогда равна $$N_c$$.

В магнитной теории в $$SU(N_f)_L^3$$ диаграмме опять же во-первых бегают магнитные кварки $$q$$, давая вклад $$-\hat{N}_c$$, ибо каждый кварк имеет $$\hat{N}_c$$ цветов и живет в анти-фундаментальном представлении $$SU(N_f)_L$$. Во-вторых, в этой диаграмме бегают фундаментальные магнитные мезоны $$\hat{M}_j,\;j=1,…,k$$. Каждый мезон живет в фундаментальном представлении $$SU(N_f)_L$$, и в  анти-фундаментальном представлении $$SU(N_f)_R$$. С точки зрения $$SU(N_f)_L^3$$ он просто $$N_f$$-кратно вырожден, так что каждый мезон дает вклад в диаграмму, равный $$N_f$$. У нас имеется $$k$$ мезонов, так что диаграмма $$SU(N_f)_L^3$$ равна $$-\hat{N}_c+kN_f$$. Сопоставление с электрическим результатом дает ранк магнитной калибровочной группы

$$\hat{N}_c=kN_f-N_c$$

Заметим что $$k=1$$ воспроизводит результат обычной супер-КХД, т.к. в этом случае $$A_1$$ суперпотенциал есть просто массовый член $$X$$, так что в ИК это поле отсутствует и мы получаем полевой состав обычной супер-КХД. 

Также как и в электрической теории, в магнитной теории мы имеет суперпотенциал $${\rm Tr}\hat{X}^{k+1}$$ поля $$\hat{X}$$, дуального полю $$X$$. Тогда в ИК фиксированной точке магнитной теории мы имеем

$$R(\hat{X})=\frac{2}{k+1}\,,\quad R(q)=R(\tilde{q})=1-\frac{2\hat{x}}{k+1}\,,\;\;\hat{x}=\frac{\hat{N}_c}{N_f}=\frac{kN_f-N_c}{N_f}$$

Следующая вещь которую остается выяснить про магнитную теорию это R-заряд мезонов $$\hat{M}_j$$ Помимо сопоставления групп глобальных симметрий $$U(1)_R\times U(1)_B\times SU(N_f)_L\times SU(N_f)_R$$ и аномалий тХуфта соответствующих им диаграмм, дуальность также требует сопоставление калибровочно-инвариантных операторов и их зарядов по отношению к действию этой группы. Электрические мезоны $$M_j$$ соответствуют магнитным мезонам $$\hat{M}_j$$, так что получаем

$$R(\hat{M}_j)=R(M_j)=2R(Q)+(j-1)R(X)=2\frac{k+j-2x}{k+1}$$

На этом нахождение полевого состава и зарядов всех степеней свободы дуальной теории заканчивается. Чтобы закончить формулировку магнитной теории нужно позаботиться о том чтобы она перетекала в ту же ИК фиксированную точку что и электрическая теория. Ясно что на данном этапе это не так, хотя бы потому что в магнитной теории вдвое больше мезонов чем в электрической: в магнитной теории у нас есть как композитные мезоны

$$N_j=\tilde{q}\hat{X}^{j-1}q\,,\quad j=1,\dots,k$$

так и фундаментальные мезоны $$\hat{M}_j$$. Эта проблема разрешается добавлением суперпотенциала в магнитную теорию, маргинального в ИК фиксированной точке:

$$W={\rm Tr}\hat{X}^{k+1}+\sum_{j=1}^k\hat{M}_jN_{k+1-j}$$

где

$$R(\hat{M}_j)+R(N_{k+1-j})=2\frac{k+j-2x}{k+1}+2\frac{k+(k+1-j)-2\hat{x}}{k+1}=2$$

как и было обещано. Теперь магнитная теория полностью сформулирована.

Все остальные вычисления осуществляют проверку того что найденная магнитная теория действительно дуальна исходной электрической. Например, можно убедиться что все остальные аномалии тХуфта действительно равны. В качестве упражнения читатель может взять любую из аномалий, обсуждаемых тут, и убедиться в соответствии.

Ну вот, к примеру, весьма нетривиальное соотношение $$U(1)_R^3$$ аномалий, т.е. сумма кубов R-зарядов фермионов равна в обоих теориях. Удобно проверить с помощью Математики (помните что $$U(1)_R$$ заряды имеются в виду таковые для фермионных компонент суперполей, который на один меньше заряда всего суперполя):

$$2N_fN_c\left(1-\frac{2N_c}{N_f(k+1)}-1\right)^3+(N_c^2-1)\left(\frac{2}{k+1}-1\right)^3+N_c^2-1=\frac{-16N_c^4+2(1+3k^2)(-1+N_c^2)N_f^2}{(1+k)^3N_f^2}$$

$$2N_f(kN_f-N_c)\left(1-\frac{2(kN_f-N_c)}{N_f(k+1)}-1\right)^3+((kN_f-N_c)^2-1)\left(\frac{2}{k+1}-1\right)^3+(kN_f-N_c)^2-1+$$

$$+N_f^2\sum_{j=0}^k\left(2\frac{N_f(k+j)-2N_c}{N_f(k+1)}-1\right)^3=\frac{-16N_c^4+2(1+3k^2)(-1+N_c^2)N_f^2}{(1+k)^3N_f^2}$$

Вместо полного сопоставления аномалий я хочу здесь обсудить соответствие между барионами. Мы уже сопоставили операторы следа $$({\rm Tr}X^{i},{\rm Tr}\hat{X}^{i})$$ и мезоны $$(M_j,\hat{M}_j)$$, убедившись что они преобразуются одинаково под действием идентичных групп глобальных симметрий. Остается сопоставить барионы, к чему мы и переходим.

Барион является синглетом группы $$SU(N_c)$$ по следующей причине. Берется $$N_c$$ кварков, каждый из которых обладает индексом в фундаментальном представлении $$SU(N_c)$$, и потом эти индексы антисимметризуются. Постолько поскольку мы антисимметризуем коммутирующие суперполя (а не анти-коммутирующие фермионы, как в КХД), все кварковые суперполя должны быть разных ароматов.

Далее, если у нас есть поле материи в присоединенном представлении калибровочной группы, то обычный кварк $$Q^i$$ (фундаментальный $$SU(N_c)$$ индекс показан явно) можно обобщить на одетый кварк

$$Q_{(n)}^i=(X^{n-1})^i_{\;\;\bar{j}}Q^j\,,\quad n=1,\dots,k$$

Тогда наиболее общий барион дается выражением

$$B_{(l_1\dots l_k)}=Q^{l_1}_{(1)}\cdots Q^{l_n}_{(k)}\,,\quad \sum_{i=1}^kl_i=N_c$$

Барион обладает $$N_c$$ антисимметризованными ароматными индексами, которые не выписаны явно.

Учитывая R-заряд одетого кварка

$$R(Q_{(n)})=(n-1)R(X)+R(Q)=\frac{N_f(2n+k-1)-2N_c}{N_f(k+1)}$$

находим R-заряд бариона

$$R(B_{(l_1\dots l_k)})=\sum_{n=1}^kl_nR(Q_{(n)})=\sum_{n=1}^kl_n\frac{N_f(2n+k-1)-2N_c}{N_f(k+1)}$$

Как построить барион в магнитной теории? Кварки в барионе антисимметризованны. Для каждого $$n$$ мы антисимметризуем $$l_n$$ одетых кварков одного типа $$Q_{(n)}=(X)^nQ$$. Тогда соответствующие голые кварки должны иметь разные ароматы. Всего имеется $$N_f$$ ароматов голых кврков. Тогда ковариантный способ перейти от $$l_n$$ антисимметризованных электрических кварков $$Q_{(n)}$$ к $$N_f-l_n$$ антисимметризованным магнитным кваркам осуществляется чем то вроде преобразования Ходжа: $$\epsilon_{i_1\cdots i_{l_n}i_{l_n+1}\cdots i_{N_f}}Q_{(n)}^{\bar{i}_1}\cdots Q_{(n)}^{\bar{i}_{l_n}}$$.

[Черта над ароматными индексами электрических кварков и отсутствие черты над ароматными индексами $$(i_{l_{n}+1},\cdots i_{N_f})$$ дуальных магнитных кварков является тонкостью, следующей из требования $$SU(N_f)_L$$ инвариантности (для получения инварианта необходимо сворачивать фундаментальный и анти-фундаментальный индексы). Поэтому собственно магнитные киральные кварки преобразуются в анти-фундаментальном представлении ароматной группы $$SU(N_f)_L$$, в то время как электрические кварки преобразуются в фундаментальном представлении $$SU(N_f)_L$$. Этот факт использовался выше при обсуждении $$SU(N_f)_L^3$$ аномалии.]

Магнитный мезон дается выражением

$$\hat{B}_{(r_1\dots r_k)}=q^{r_1}_{(1)}\cdots q^{r_n}_{(k)}\,,\quad \sum_{i=1}^kr_i=N_c$$

Причем $$r_n=N_f-l_{k+1-n}$$. Легко убедиться что при таком сопоставлении барионов получаем

$$R(\hat{B}_{(r_1\dots r_k)})=\sum_{n=1}^kr_n\frac{N_f(2n+k-1)-2(kN_f-N_c)}{N_f(k+1)}=R(B_{(l_1\dots l_k)})$$.

Опять же, можно воспользоваться Математикой.

2. Будем теперь обсуждать суперсимметричную КХД в которой есть два поля материи $$X$$, $$Y$$ в присоединенном представлении калибровочной группы. Тут уже возникает большое множество суперпотенциалов которые в принципе можно было бы добавить. Однако нам нужно позаботиться о том чтобы полученный суперотенциал был существенным оператором. Классификация всех существенных суперпотенциалов для двух полей в присоединенном представлении называется ADE классификацией Интрилигатора-Вехта.

Применив a-максимизацию к теории без суперпотенциала можно доказать, что двумя нетривиальными деформациями являются

$$W_{D}={\rm Tr}XY^2$$

$$W_{E}={\rm Tr}Y^3$$

и соотвествующие теории называются D и E теориями. Каждая из этих теорий, после перетекания в соответствующую конформную фиксированную точку, характеризуется R-зарядами полей. Эти R-заряды опять таки определяются с помощью a-максимизации. В результате оказывается что возможны три дальнейшие существенные деформации E теории и одна возможная деформация D теории:

$$W_{D_k}={\rm Tr}(XY^2+X^{k+1})$$

$$W_{E_6}={\rm Tr}(Y^3+X^4)$$

$$W_{E_7}={\rm Tr}(Y^3+YX^3)$$

$$W_{E_8}={\rm Tr}(Y^3+X^5)$$

Суперпотенциалы имеют такие названия потому что точно такими же выражениями дается классификация сингулярностей Арнольда. Детальная причина совпадения мало изучена, см. также и объяснения Любоша Мотла (Как я понял суть в том что сперва дискретные подгруппы SU(2) классифицируются в группы симметрий многогранников, и эта классификация называется ADE. Причина такого названия состоит в том что сингулярные многообразия, построеные как орбифолды по этим дискретным подгруппам, играют интересную роль в теории струн: если вы компактифицируете десятимерную теорию струн на шестимерное многообразие КЯ с такими сингулярностями, то полученная четырехмерная калибровочная группа будет иметь группу калибровочной симметрии как раз соответствующего ADE класса. Т.е. название ADE для сингулярных поверхностей является следствием компактификации теории струн. Комментарии знающих читателей приветствуются.)

Каждая из этих теорий притекает в конформную фиксированную точку в которой ее суперотенциал является маргинальным оператором, что фиксирует R-заряд обоих полей $$X$$, $$Y$$. На данный момент вопрос о Зайберг-дуальных теориях для $$E_6$$ и $$E_8$$ является открытым. Теория дуальная $$D_k$$ была найдена Броди вскоре после открытия дуальности Зайберга, теория дуальная $$E_7$$ была найдена Кутасовым и Лин в январе этого года.

3. Построение дуальности Броди очень похоже на построение дуальности Кутасова. Отличие состоит в том что при четных $$k$$ (считается что) ограничение на спектр мезонов является квантовым свойством. Остальной принцип построения тот же: сперва находятся связи на поля $$X$$, $$Y$$, которые мы будем обсуждать. Потом строится спектр мезонов, который ограничен, в силу этих связей. Вводятся магнитный мезоны, дуальные электрическим. Это дает достаточно информации чтобы определить R-заряды магнитных мезонов и ранк дуальной калибровочной группы.

Ранк дуальной калибровочной группы в таком случае дается общим выражением $$\hat{N}_c=\alpha N_f-N_c$$ (подчеркнуто в работе Кутасов-Лин), где $$\alpha$$ есть число мезонов. Эта формула является прямым следствием сопоставления $$SU(N_f)_L^3$$ аномалии, как я объяснил выше на пример дуальности Кутасова для $$A_k$$ теорий.

Так что единственным нетривиальным элементом построения дуальности Броди является определение ограничения на спектр мезонов. Из суперпотенциала $$W_{D_k}$$ (после удобной нормировки) следуют уравнения

$$\{X,Y\}=0$$

$$X^k-Y^2=0$$

Из первого уравнения сразу вытекает что самый общий мезон имеет вид $$\tilde{Q}X^{m-1}Y^{n-1}Q$$, причем $$m=1,\dots,k$$, так что о некоммутативности $$X$$ и $$Y$$  в данном случае можно больше не беспокоится. У нас все еще бесконечное число мезонов. Заметим однако что

$$Y^3=Y\cdot Y^2=Y\cdot X^k=(-1)^kX^k\cdot Y=(-1)^kY^3$$

При нечетном $$k$$ сразу вытекает что $$Y^3=0$$. Считается что при четном $$k$$ уравнение $$Y^3=0$$ появляется на квантовом уровне. Понимание как пока отсутствует.

В результате мезоны даются выражением

$$M_{m,n}=\tilde{Q}X^{m-1}Y^{n-1}Q\,,\quad m=1,\dots,k,\;\;n=1,2,3$$

Имеется $$3k$$ мезонов, так что Броди-дуальная группа есть $$SU(3kN_f-N_c)$$.

4. Дуальность Кутасова-Лин для $$E_7$$ теорий выводится аналогично дуальности Броди. Это значительно менее тривиально в силу того что уравнения следующие из суперпотенциала не позволяют ограничить простым образом спектр мезонов. Аккуратное описание происходящего и последующее введение квантовой связи (аналогичной связи $$Y^3=0$$ для дуальности Броди) можно найти в их статье. Ответ: 30 мезонов, так что магнитная группа есть $$SU(30N_f-N_c)$$.

Ключевые слова: суперсимметричная теория поля | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

ADE классификация N=1 суперсимметричных теорий

19 марта 2014 года, 14:58

На данный момент если гуглить «Дуальность Зайберга», в первую очередь открывается моя запись в этом блоге. Забавно.

Квантовая хромодинамика (КХД) описывает фермионную материю взаимодействующую с неабелевыми калибровочными полями. В нашем мире КХД − это теория шести кварков (именуемых u, d, c, s, t, b) и шести соответствующих анти-кварков, взаимодействующих с глюонным калибровочным полем группы SU(3). Таким образом каждый кварк имеет три цвета и взаимодействует с восемью глюонами. Соответствующий лагранжиан это калибровочно-инвариантный лагранжиан Дирака для полей материи плюс лагранжиан неабелевого калибровочного поля:

$$L_{QCD}=Q\sigma^\mu D_\mu Q+\tilde{Q}\sigma^\mu D_\mu\tilde{Q}-\frac{1}{4g^2}{\rm Tr}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

Каждый кварк $$Q$$ и анти-кварк $$\tilde Q$$ преобразуется как вектор под действием калибровочной группы SU(3), т.е. (анти)кварки живут в (анти)фундаментальном представлении калибровочной группы. Глюоны живут в присоединенном представлении калибровочной группы, т.е. поле $$F_{\mu\nu}$$ есть эрмитова матрица. Будем считать для простоты что кварки безмассовы, что является довольно хорошим приближением для u, d и s кварков.

Этот лагранжиан описывает систему кварков и глюонов при малой константе взаимодействия $$g$$. Как известно константа взаимодействия зависит от масштаба энергии $$\mu$$, т.е. является функцией $$g(\mu)$$. Типичная неабелева калибровочная теория является асимптотически свободной, что означает что при большом масштабе энергии, в ультрафиолете, константа взаимодействия равна нулю. При движении в область низких энергий, инфра-красный режим, константа взаимодействия растет. Так что при низких энергиях лагранжиан $$L_{QCD}$$ и теория возмущений, основанная на нем, неприменимы.

Более того, при низких энергиях КХД может оказаться в другой фазе взаимодействия чем при высоких. Из лагранжиана $$L_{QCD}$$ следует что кварки взаимодействуют по закону Кулона, т.е. сила взаимодействия между кварками определяется потенциалом $$V(r)=-g(\mu)/r$$. При низких энергиях однако потенциал взаимодействия между кварками в ряде теорий принимает другую форму, $$V=\alpha r$$, приводя к явлению конфайнмента. 

Мы будем обсуждать именно низкоэнергетические (ИК) свойства неабелевых калибровочных теорий с материей. Ясно что обычные пертурбативные методы квантовой теории поля не помогут сказать ничего про ИК фазу. Оказывается весьма полезным если теория суперсимметрична. Ограничения налагаемые суперсимметрией позволяют сделать однозначные выводы о ИК свойствах теории. Мы будем обсуждать $${\cal N}=1$$ суперсимметричную КХД с материей.

На самом деле в этом блоге мы уже обсуждали подобную теорию. Здесь было показано, путем сопоставления аномалий тХуфта, что $${\cal N}=1$$ суперсимметричная КХД, с $$N_f$$ поколениями кварков и анти-кварков и $$SU(N_c)$$ калибровочной группой, Зайберг-дуальна $${\cal N}=1$$ суперсимметричной КХД с $$N_f$$ поколениями кварков и анти-кварков, фундаментальным мезонным суперполем и калибровочной группой $$SU(N_f-N_c)$$. Не считая пары исключений, сопоставление аномалий тХуфта является ключевым моментом сопоставлений теорий по Зайбергу.

В этом посте мы задаемся целью классифицировать более общие $${\cal N}=1$$ суперсимметричные калибровочные теории с материей. Т.е. мы рассмотрим теории с полями материи в других представлениях калибровочной группы, помимо фундаментального. А именно, мы будем обсуждать теории с материей в присоединенном, симметричном и анти-симметричном представлениях. Соответствующие модели были решены в статьях

Kutasov, Schwimmer, Seiberg Chiral rings, singularity theory and electric-magnetic duality

Intriligator, Leigh, Strassler New examples of duality in chiral and non-chiral supersymmetric gauge theories

Brodie Duality in supersymmetric SU(N©) gauge theory with two adjoint chiral superfields

Brodie, Strassler Patterns of duality in N=1 SUSY gauge theories

Intriligator, Wecht RG fixed points and flows in SQCD with adjoints

Kutasov, Lin Exceptional N=1 duality

Общая картина следующая. Допустим для начала нет никакой материи. Мы просто имеем дело с $${\cal N}=1$$ суперсимметричной теорией глюонов. (Точнее, пусть количество степеней свободы материи мало, так что теория имеет стабильный вакуум.) Такая теория в ИК неизбежно находится в фазе конфайнмента. Начнем добавлять материю. Типичное поведение следующее. Когда число полей материи становится достаточно велико, ИК фаза больше не в фазе конфайнмента. Теперь взаимодействие в ИК такое же как и взаимодействие в УФ, т.е. кулоновское. Дальнейшее повышение числа степеней свободы материи в конце концов приводит к тому что теория перестает быть асимптотически свободной.

Когда теория в ИК находится в кулоновской фазе, ее можно описать Зайберг-дуальной магнитной теорией, которая в ИК притекает в точно такую же кулоновскую фазу. Обе Зайберг-дуальные теории в этом случае конформны. Если теория в ИК находится в фазе конфайнмента, то Зайберг-дуальная теория не является асимпотически свободной, т.е. является свободной в ИК. И наоборот, если электрическая теория не является асимпотически свободной, то магнитная теория находится в фазе конфайнмента.

Так что мы будем рассматривать асимптотически свободные теории, и следить за числом полей материи, ограничивая его сверху. Ограничимся обсуждением того как мы можем добавить поля материи в присоединенном представлении калибровочной группы (т.е. поля материи которые как и глюонные поля являются эрмитовыми матрицами). Ситуацию с антисимметричными и симметричными тензорами второго ранка можно рассмотреть аналогичным образом. Поля материи преобразующиеся в тензорном представлении ранка выше чем два добавлять не будем, т.к. полученная теория не будет асимптотически свободной.

Бета-функция $${\cal N}=1$$ суперсимметричной КХД, известная как NSVZ (Новиков, Шифман, Вайнштейн, Захаров) бета-функция, описывает точно пертурбативную перенормировку константы взаимодействия, схематично:

$$\beta(g)=-\frac{bg^2}{1-cg^2}$$

$$b=T(G)+\sum_iT(r_i)(R_i-1)$$

(Постолько поскольку электрическое описание верно, знаменатель выражения бета-функции не равен нулю. Он может оказаться равным нулю только когда электрическое описание все равно не применимо, а в этом случае мы должны описывать систему посредством дуальной магнитной теории, которая свободна в ИК.)

Я записал выражение для бета-функции вблизи конформной фиксированной точки, где аномальные размерности полей можно выразить через их R-заряды $$R_i$$. Сумма осуществляется по всем полям материи, живущим в представлении $$r_i$$ калибровочной группы $$G$$, которую мы берем $$G=SU(N_c)$$. Индексы присоединенного и фундаментального представлений равны $$T(G)=T({\rm Ad})=N_c$$, $$T({\rm fund})=1/2$$.

Чтобы теория была асимпотически свободной, необходимо чтобы бета-функция была отрицательной, т.е. $$b>0$$. Начнем с $${\cal N}=1$$ суперсимметричной КХД с $$N_f$$ поколениями кварков и анти-кварков, которую мы обсуждали тут. Вопрос в том какие к ней еще можно добавить поля материи. Легко убедиться что для того чтобы не потерять асимптотическую свободу мы должны добавить не больше двух полей в присоединенном представлении калибровочной группы. Как я уже написал, добавление полей в (анти)симметричном представлении второго ранка по больше части аналогично (когда теория не киральна), а добавление полей высшего ранка нарушит асимптотическую свободу.

Итак, мы добавляем два киральных суперполя, $$X$$, $$Y$$, в присоединенном представлении калибровочной группы. Этот случай включает теорию только с одним киральным супреполем $$X$$ (помимо $$2N_f$$ кварков и анти-кварков), т.к. мы всегда можем придать массу полю $$Y$$, исключив его таким образом из ИК физики.

В режиме УФ все поля почти свободны, так что их R-заряд равен 2/3.  Для рассматриваемой теории тогда $$b=\frac{N_c-N_f}{3}$$, при больших энергиях. Обозначим $$x=N_c/N_f$$, тогда требование асимптотической свободы означает $$x>1$$. Чем больше $$x$$, тем меньше кварков.

Когда $$x=1+\epsilon$$, $$\epsilon\ll 1$$, теория притекает в ИК фиксированную точку с малой константой взаимодействия, называемую фиксированной точкой Банкса-Закса. Такая теория может быть изучена пертурбативно на всем РГ потоке.

Повышение $$x$$, т.е. снижение числа кварков, выводит теорию в ИК из пертурбативного режима. Тогда для изучения ИК фазы теории нужны другие методы. Актуальный вопрос состоит в том каковы R-заряды и конформные размерности операторов в ИК. Предположим что при неком $$x>1$$, теория перетекает в нетривиальную ИК фиксированную точку. Т.е. теория в ИК является конформной теорией поля, с группой симметрий $$SO(2,4)$$, покрываемой группой $$SU(2,2)$$. Однако в силу суперсимметрии эта группа симметрий расширена до супергруппы суперконформных симметрий $$SU(2,2|1)$$. Помимо добавления $$4+4$$ фермионных генераторов суперсимметрии, теория также инвариатна относительно дополнительной группы бозонных преобразований $$U(1)$$. Эта группа называется группой R-симметрий.

Соответствующий сохраняющийся ток $$j^{(R)}_\mu$$ тогда оказывается в одном супермультиплете с тензором энергии-импульса $$T_{\mu\nu}$$. Конформная размерность оператором является собственным числом оператора следа тенхора-энергии импульса, $$T^\mu_\mu$$. Это приводит к связи между конформной размерностью и R-зарядом операторов $${\cal N}=1$$ суперконформных теорий поля:

$$\Delta=\frac{3}{2}R$$

Посмотрим как это уравнение оказывается полезным. Придадим массу полю $$Y$$, т.е. будем рассматривать суперсимметричную КХД с $$N_f$$ парами кварков-антикварков $$(Q,\tilde Q)$$ и безмассовым полем $$X$$ в присоединенном представлении калибровочной группы $$SU(N_c)$$. Такие КХД принадлежат классу $$A$$. Мы стартуем с масштабов энергии занчительно меньших массы поля $$Y$$, так что пересчитаем коэффициент в бета-функции: теперь он равен $$b=\frac{2N_c-N_f}{3}$$. Теория асимптотически свободна если $$x>1/2$$.

Начинаем повышать $$x$$. Мы довольно быстро выходим из пертурбативной области, в которой теория в ИК находится в кулоновской фазе Банкса-Закса. Благодаря суперсимметрии однако мы можем без труда найти конформные размерности всех калибровочно-инвариатных операторов, $$\Delta=3R/2$$.

Таковыми являются операторы $${\rm Tr}\,X^{j}$$, мезоны $$M_j=\tilde{Q}X^{j}Q$$ и барионы $$B=Q\dots Q$$. Барион состоит из анти-симметричного произведения $$N_c$$ кварков, и (не написано явно), между кварками можно вставлять произвольные степени поля $$X$$. Довольно много полей. Упростим жизнь рассмотрев предел Венециано: предел больших $$N_f$$ и $$N_c$$ и конечного отношения $$x=N_c/N_f$$. Тогда вкладом полей  $${\rm Tr}\,X^{j}$$ в какие то ни было функции R-зарядов калибровочно-инвариантных операторов можно пренебречь (т.к. число полей с такими зарядами есть $${\cal O}(1/N_c^2)$$ по сравнению с с числом мезонов). При этом R-заряд бариона при любом конечном R-заряде кварка всегда будет большим.

Теперь время вспомнить что унитарная конформная теория требует чтобы размерности всех скалярных операторов были больше чем один. Размерность равная единице означает что оператор становится свободным. Сразу замечаем что суперсимметрия позволяет переформулировать это условие в терминах R-зарядов:

$$R>\frac{2}{3}$$

Из обсуждения выше следует что R-заряд бариона скорее всего не пересечет унитарной ограничение (после того как все расчеты достаточно проверить только что R-заряд кварка положителен). Так что нас интересует только чему равны R-заряды мезонов $$M_j$$, и мы будем знать унитарна ли теория или нет.

Первый шаг к определению R-заряда состоит в том что надо потребовать сокращения ABJ аномалии. Обозначим R-заряд кварков Q (равный R-заряду анти-кварков $$\tilde{Q}$$) как $$y$$, а R-заряд поля $$X$$ как $$z$$. Сокращений аномалий тогда требует

$$T(SU(N_c))+\sum_iT(r_i)(R_i-1)=0\quad\Rightarrow\quad N_c+2N_f\frac{1}{2}(y-1)+N_c(z-1)\quad\Rightarrow\quad z=\frac{1-y}{x}$$

Для обычной SQCD (без поля $$X$$) на этом бы все R-заряды были бы определены. Но теперь мы все еще не знаем R-заряд кварка, $$y$$.

Определить его нужно с помощью простой процедуры, называемой a-максимизацией, разработанной Интрилигатором и Вехтом в этой статье:

Intriligator, Wecht The exact superconformal R symmetry maximizes a

В этой статье выводится следующая теорема. R-симметрия полей суперконформной теории поля такова что функция

$$a=3{\rm Tr}R^3-{\rm Tr}R$$

максимальна. Эта функция (с точностью до пефактора 3/32) является a-коэффициентом суперконформной аномалии. След берется по всем фундаментальным полям теории. Скажем влад от $$N_f$$ кварков $$Q$$, $$N_f$$ анти-кварков $$\tilde{Q}$$, каждый из которых имеет $$N_c$$ цветов, равен

$$2N_fN_c(3(y-1)^3-(y-1))$$

вклад от $$N_c^2$$ глюонов равен

$$N_c^2(3-1)=2N_c^2$$

и вклад от поля $$X$$ равен

$$N_c^2(3(z-1)^3-(z-1))=N_c^2\left(3\left(\frac{1-y}{x}-1\right)^3-\left(\frac{1-y}{x}-1\right)\right)$$

Суммируем все вместе. Для удобства рассматриваем $$a/N_f^2$$ и вспоминаем определение $$x=N_c/N_f$$:

$$\frac{a_0}{N_f^2}=2x(3(y-1)^3-(y-1))+x^2\left[2+3\left(\frac{1-y}{x}-1\right)^3-\left(\frac{1-y}{x}-1\right)\right]$$

Применение a-максимизации дает $$y(x)$$.

Дальше возникает тонкость. Допустим что $$x=x_0$$ таково что $$2y(x_0)=2/3$$, т.е. размерность мезона $$M_0=\tilde{Q}Q$$ доходит до унитарной границы. В обычной КХД это означало бы что электрическое описание теории перестает быть правильным и нужно переключиться к магнитной теории. Чтобы точно это определить нужно посмотреть на магнитную теорию: электрическая суперконформная теория перестает быть унитарной тогда когда магнитная перестает быть асимптотически свободной. В данном случае оказывается что переключаться на ИК-свободное магнитное описание еще рано, что мы покажем ниже, после вывода магнитной теории.

Напомню еще раз, что в конформном окне суперконформную фиксированную точку можно описывать как электрической так и магнитной теорией. В обычной SQCD конформное окно это $$1/2<x<2/3$$. Однако при $$x>2/3$$ суперконформную теорию можно описывать только магнитной теорией.

Для теорий типа $$A$$, которые мы сейчас обсуждаем, переход через точку $$x=x_0$$, в которой мезон $$M_0$$ доходит до унитарного ограничения, означает, что мезон $$M_0$$ становится свободным полем. Дальнейшее повышение $$x$$ вовсе не продолжает менять R-заряд $$M_0$$, опуская его все ниже свободного значения $$2/3$$. Напротив, этот R-заряд остается равным $$2/3$$. Мы должны это учесть, модифицировав a-функцию соответственно:

$$a_0\quad\Rightarrow\quad a_1=a_0+\left[a(2/3)-a(2y)\right]$$

т.е. процедура по сути сводится к тому что мы вычитаем a-функцию, посчитанную для R-заряда компонент отсоединившегося мезона $$M_0$$, и добавляем a-функцию свободного мезона.

Оказывается что все остальные мезоны $$M_j=\tilde{Q}X^jQ$$ становятся свободными по очереди, $$j=1,2,\dots$$, и когда это происходит, к ним нужно применить процедуры, описанную выше. В результате мы получаем зависимость от $$x$$ всех R-зарядов.

Оказывается что R-заряд кварков, $$y$$, при $$x\rightarrow\infty$$ стремится к конечному числу, так что R-заряд $$X$$, $$z=\frac{1-y}{x}$$, стремится к нулю. Так что для теорий с большими $$x$$ мы заключаем что $$X$$ имеет большую аномальную размерность в ИК. На самом деле при достаточно большом $$x>x_k$$, оказывается что суперпотенциал

$$W_k={\rm Tr}X^k$$

становится существенным, причем это верно для произвольного $$k$$. Что расходится с наивными УФ представлениями о том что только суперпотенциалы порядка не выше третьего могут быть существенными.

Итак, вот что произошло. Мы начали в УФ рассматривать суперсимметричную КХД с одним полем материи в присоединенном представлении калибровочной группы. Мы двинулись в ИКи добрались до конфомрной фиксированной точки. Оказалась что если теория удовлетворяет $$x>x_k$$, то находясь в этой точке, мы можем включить суперпотенциал $$W_k$$. Это снова включит РГ поток, который будет продолжаться до тех пор пока потенциал $$W_k$$ не станет маргинальным, т.е., пока теория не притечет в новую фиксированную точку, в которой R-заряд $$W_k$$ равен $$2$$, а конформная размерность равна $$\frac{3}{2}\cdot 2=3$$.

Это теория типа $$A_k$$.

На этом классификация $$A$$-теорий заканчивается. $$D$$-теории и $$E$$-теории имеют два поля материи в присоединенном представлении. Продолжим следующий раз, будем рассматривать дуальность $$A_k$$ теории (Кутасов), $$D$$-теории (дуальность Броди, только не из Homeland ;) ) и $$E$$-теории (дуальность Кутасов-Лин).

P.S. Написано полностью на английской клавиатуре.

Ключевые слова: суперсимметричная теория поля | Оставить комментарий
Роман Парпалак

Круговая трактриса

29 января 2014 года, 11:52

Я люблю задачки, в которых нужно искать траектории частиц или уравнения необычных линий. К сожалению, они не всегда решаются аналитически. Разберем задачу, у которой аналитическое решение существует.

Задача

По окружности небольшого радиуса едет трактор. К нему на жестком стержне прикреплен груз (например, прицеп). По какой траектории будет двигаться груз?

При движении трактора по прямой траектория груза известна — это трактриса. В нашем случае движение будет более сложным. Я сделал анимацию искомой траектории — круговой трактрисы. Посмотрите на эту красоту.

Решение

Будем считать трактор точкой, движущейся по окружности радиуса r, и обозначать на рисунках зеленым кружком. К нему с помощью стержня длины L прикреплен груз (красный кружок).

Из кинематических связей координаты груза определяются формулами

$$x=r\cos\varphi+L\cos\theta,\quad y=r\sin\varphi+L\sin\theta.$$

Еще одна кинематическая связь дает ограничение на скорость груза. По условию вектор скорости всегда направлен на трактор. Поэтому угол θ в прямоугольном треугольнике совпадает с точностью до знака с углом наклона касательной:

$${dy\over dx}=\text{tg\,}\theta.$$

Мы выразим θ через φ и получим уравнение траектории в параметрической форме. Введем новый параметр β = L/r, возьмем дифференциалы первых двух уравнений и подставим в последнее:

$$-{\cos\varphi\,d\varphi+\beta\cos\theta\,d\theta\over \sin\varphi\,d\varphi+\beta\sin\theta\,d\theta}=\text{tg\,}\theta.$$

Приведя к общему знаменателю и воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством и формулой косинуса разности, получаем дифференциальное уравнение

$$\beta{d\theta\over d\varphi}+\cos(\theta-\varphi)=0.$$

Оно решается разделением переменных после замены θ = α + φ. Решение имеет разный вид в зависимости от параметра β:

$$\theta(\varphi)=\left\{\begin{array}{l}\varphi-2\,\text{arctg}\left[\sqrt{\dfrac{\beta+1}{\beta-1}}\,\text{tg}\left(\varphi\,\dfrac{\sqrt{\beta^2-1}}{2\beta}\right)\right],\quad\beta>1,\\\vphantom{\dfrac{1}{1}}\varphi-2\,\text{arctg}\,\varphi,\quad\beta=1,\\\varphi-2\,\text{arctg}\left[\sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}}\,\text{th}\left(\varphi\,\dfrac{\sqrt{1-\beta^2}}{2\beta}\right)\right],\quad\beta<1.\end{array}\right.$$

Анализ решения

Если β < 1, движение непериодическое. Груз следует за трактором. Интересный режим возникает при β = 1. Тогда груз неограниченно приближается к центру окружности:

Если β > 1, движение будет периодическим по звездообразной траектории:

Чтобы найти угол между направлениями на соседние максимум и минимум, заметим, что груз находится дальше всего от центра, когда θ и φ совпадают, и ближе всего к центру, когда отличаются на π. В первом случае тангенс равен нулю, во втором — расходится. Возьмем направление на максимум θ = φ = 0 и направление на первый минимум φ = θ + π, определяющийся условием

$$(\pi+\theta)\,{\sqrt{\beta^2-1}\over 2\beta}={\pi\over 2}.$$

Угол между направлениями составляет

$$\theta=\pi\left({\beta\over\sqrt{\beta^2-1}}-1\right).$$

Если параметр удовлетворяет условию

$${1\over N}={\beta\over\sqrt{\beta^2-1}}-1,$$

то груз описывает замкнутую линию — N-конечную звезду. Вот пример для $$N=5,\beta=6/\sqrt{11}$$:

На демо-странице с анимацией вы можете посмотреть на траектории при разных значениях β.

Ключевые слова: кинематика | Оставить комментарий

← сюда туда →