Заметки о теоретической физике → Ключевые слова → суперсимметрия

суперсимметрия

Михаил Гойхман

GUT

15 сентября 2013 года, 18:12

Интересный обзор Виттена о теориях великого объединения:

Edward Witten, Quest for Unification

Стандартный материал, конечно, но может кому то будет полезно.

Я кстати писал про модель Джорджи-Глэшоу. Конечно рекомендую прочитать Любоша Мотла на эту же тему.

Ключевые слова: квантовая теория поля, суперсимметрия, МССМ | Комментарии (4)
Михаил Гойхман

Дуальность Зайберга: сопоставление аномалий

28 мая 2013 года, 19:02

1. Будем иметь дело с N=1 суперсимметричной SU(N) калибровочной теорией поля с F киральными суперполями (кварками) Aif, f=1,...F, i=1,...N материи в фундаментальном представлении калибровочной группы, и F киральными суперполями (анти-кварками) Bjf, f=1,...,F,j=1,...,N в анти-фундаментальном представлении калибровочной группы SU(N). В том случае когда F>N+1, данная теория S-дуальна (т.е. если одна теория сильно-взаимодействующая, то дуальная теория слабо-взаимодействующая) другой калибровочной N=1 суперсимметричной теории поля с материей. Две дуальные теории эквивалентны в ИК режиме.

Дуальная теория поля имеет калибровочную группу SU(F-N). Полями материи являются киральные суперполя aif, f=1,...F, i=1,...F-N в фундаментальном представлении калибровочной группы, и киральные суперполя bjff=1,...,F,j=1,...,F-N в анти-фундаментальном представлении калибровочной группы SU(F-N). А также мезонное суперполе Mef, в фундаментальном представлении ароматной группы глобальной симметрии SU(F)L (индекс e) и анти-фундаментальном представлении ароматной группы SU(F)R (индекс f). Обратите внимание, что мезонное суперполе фундаментально, а не является композитным полем из двух кварков.

Зайберг-дуальность была показана Зайбергом в этой статье:

N. Seiberg, Electric-Magnetic Duality in Supersymmetric Non-Abelian Gauge Theories

Дуальные теории должны иметь одинаковую группу глобальных симметрий, свободную от аномалий. Группой глобальных симметрий является прямое произведение лево-киральной и право-киральной ароматных групп, группы барионного заряда и группы преобразований R-симметрии:

$$SU(F)_L\times SU(F)_R\times U(1)_B\times U(1)_R$$

Каждое киральное поле, Aif, живет в фундаментальном представлении ароматной группы SU(F)L, вращающей индекс f, и является синглетом группы SU(F)R. Каждое киральное анти-поле, Bif, будучи эквивалентным анти-киральному полю (эквивалентным посредством обычного комплексного сопряжения; комплексное сопряжение спинора четырехмерии меняет киральность спинора на противоположную; ну и очевидно что все заряды поля при этом тоже меняет знак, т.е. частица переходит в анти-частицу), живет в анти-фундаментальном представлении SU(F)R и является синглетом SU(F)L. Для киральных суперполей a и b дуальной теории ситуация аналогичная, но с анти-фундаментальным представлением SU(F)L и фундаментальном представлением SU(F)R; почему, будет ясно ниже, на примере сопоставления SU(F)L3 аномалии.

Далее, каждое киральное и анти-киральное суперполе обладает одним и тем же барионным U(1)B зарядом. Он выбирается из тех соображений чтобы (антисимметризованное) произведение N киральных/анти-киральных суперполей (барион, являющийся синглетом калибровочной группы) имело барионный заряд 1. Тогда в исходной теории поля A,B имеют U(1)B заряд 1/N, а в Зайберг-дуальной теории поля a,b имеют U(1)B заряд 1/(F-N). Мезонное суперполе M не имеет U(1)B заряда.

N=1 суперсимметричная теория обладает группой U(1)R R-симметрий, преобразующих координаты суперпространства. Ясно что киральное поле и киральное анти-поле материи должны иметь один и тот же R-заряд, т.к. они зависят от одних и тех же киральных координат суперпространства. Тогда анти-киральное поле имеет R- заряд, противоположный R-заряду кирального поля. В результате U(1)R симметрия киральна и потому потенциально является аномальной, и нам нужно позаботиться о том, чтобы вклад в аномалию от всех киральных полей теории сокращался. U(1)R заряд суперполей материи (равный (F-N)/F) находится именно из соображения сокращения киральной U(1)R аномалии. (Обратите внимание, что поля разной киральности приеобразуются относительно U(1)B одинаковым образом, так что барионная симметрия свободна от аномалий. Также, в силу специальности киральных групп SU(F)L и SU(F)R, т.е. в силу бесследовости их генераторов, эти группы также свободны от аномалий, см. Пескина-Шредера.)

2. Про аксиальную аномалию советую почитать где-то еще, к примеру в Пескине-Шредере. Касательно U(1)R кратко напомню что происходит, т.к. это имеет отношение к главной теме поста, обсуждаемой в следующем пункте. Глобалной симметрии U(1)R соответствует сохранющийся киральный ток

$$j_R^\mu (q)=\sum _aQ_a\psi_a^\dagger\gamma^\mu\psi_a$$

где суммирование производится по всем киральным фермионам с U(1)R зарядами Qa. Формула также неявно подразумевает суммирование по всем SU(N)  цветам, когда фермионы цветные.

Рассмотрим треугольную однопетлевую диаграмму, в одной вершине которой находится этот ток, а в двух других — калибровочные бозоны теории, в данном случае это SU(N) клей (картинка отсюда):

 

Киральнй ток находится в нижней вершине (с импульсом q). В данном случае обе диаграммы пропорциональны фактору

$$\Gamma^{mn}=\sum_aQ_a{\rm Tr}(T_{r_a}^mT_{r_a}^n)$$

помноженному на интергал по импульсу в петле, одинаковый для всех фермионов (не связанный с представлением калибровочной группы и U(1)R зарядом). Опять, суммирование идет по всем киральным фермионам: фермионы бегают в петле. Фермион ψa живет в представлении ra цветной группы SU(N) с генераторами Tm, m=1,...,N2-1.

Происхождение фактора Γmn легко понять. Фиксируем один фермион ψa и посчитаем его вклад в треугольную диаграмму. Во первых, когда этот фермион пробегает мимо нижней вершины диаграммы, где сидит ток jRμ(q), он выделяет только один член из суммы по всем фермионам в выражении для этого тока, и даиграмма получает множитель Qa. Когда фермион пробегает мимо любой из двух других вершин диаграммы, он выделяет генератор Tm калибровочной группы. Фермион живет в некотором представлении этой группы, т.е. предоставляется в нескольких цветах. Суммируете по цветам, и получаете в результате трейс произведения двух SU(N) генераторов.

Индекс представления r группы SU(N) определяется как

$$T(r)\delta^{mn}={\rm Tr}(T^mT^n)$$

Так что киральная аномалия есть просто сумма произведения заряда фермиона в треугольной петле на индекс представления калибровочной группы, в котором он живет, осуществленная по всей киральной материи:

$$A=\sum_aT(r_a)Q_a$$

Возвращаясь собственно к суперсимметричной КХД, которую мы рассматриваем, мы должны просуммировать по следующей киральной материи: F кваркам с R-зарядом

(F-N)/F-1=-N/F

(заряд фермионного компонентного поля в киральном суперполе на 1 меньше чем заряд самого суперполя, т.к. в выражении для суперполя фермионное поле сворачивается с координатой суперпространства), живущим в фундаментальном представлении (T=1/2),  столько же антикваркам с тем же зарядом и в том же представлении. Глюино имеет тот же R-заряд что и координаты суперпространства, т.е. (условно) 1, для него T=N: глюино живет в присоединенном представлении. Итак,

$$A=2F\frac{1}{2}\left(-\frac{N}{F}\right)+N=0$$

Упражнение для читателей: то же самое для Зайберг-дуальной теории. Напишите одну строчку, которая докажет что для следующих R-зарядов материи Зайберг-дуальной теории аномалия U(1)R равна нулю: дуальные кварковые суперполя с R-зарядом N/F и мезонное суперполе ;) с R-зарядом 2(F-N)/F.

3. Рассмотрим теперь треугольную диаграмму во всех вершинах которой находятся токи (калибруя соответствующую глобальную симметрию, можно считать что внешние линии изображают соответствующие, теперь взаимодействующие с токами, калибровочные бозоны), картинка из Википедии

Рассуждения аналогичны произведенным в предыдущем пункте. Обозначим генератор некой глобальной группы симметрии G как ta, a=1,...,rank(G). В каждой вершине диаграммы находится по такому генератору. В общем случае в каждой вершине помещаются токи разных групп глобальных симметрий. Или в части вершин помещаются токи глобальных симметрий, а в части — калибровочные бозоны группы локальных симметрий (как выше, с током R-симметрии и двумя глюонами). Мы рассмотрим все такие случаи. 

Вдобавок, как мы сделали выше, к диграмме нужно добавить похожую диаграмму с переставленными индексами двух вершин (если в обоих вершинах токи одной и той же группы). Допустим, некий фермион живет в представлении r группы G с генераторами tar, и обладают зарядом Q относительно преобразований G. Его вклад в диаграмму тогда равен (опять же, нужно домножить этот фактор на интегал по импульсу в петле, который одинаков для всех фермионов)

$$Q{\rm Tr}(t^a_r\{t^b_r,t^c_r\})=Qd^{abc}$$

Нужно просуммировать такие факторы для всех фермионов. Легко заметить симметричность dabc по перестановке (abc). Антикоммутатор, который обеспечивает эту симметричность (вместе с симметрией трейса по отношению к циклической перестановке матриц в нем), появляется из-за того, что, как я отметил, нужно просуммировать две треугольные диаграммы, с переставленными индексами в двух вершинах.

Отнормируем все факторы dabc на таковой в фундаментальном представлении группы G.

Обратите внимание на следующее важное отличие от предыдущего пункта. След здесь берется в представлении группы глобальной симметрии G, а не локальной цветной группы SU(N), как в пункте 2. Так что вклад каждого фермиона, надо домножить на N, учтя что в петле бегут фермионы со всеми цветами и дают при этот один и тот же вклад.

3.1. Скажем, возьмем группу G=SU(F)L и поместим токи G во все три веришны треугольника: во всех трех вершинах SU(F)L3 диаграммы (степень указывает на число вершин диаграммы с током указанной группы) находятся токи лево-киральной группы SU(F)L. В петле соответственно могут бегать только те фермионы, которые преобразуются под действием SU(F)L. Это лево-киральные кварки A, они живут в фундаментальном представлении группы SU(F)L. Каждый кварк имеет N цветов, диаграмма тогда равна N.

(Я просил обратить внимание на то от каких именно матриц мы берем след при вычислении диаграммы. В данном случае учет того что у нас есть несколько ароматов кварков осуществляется тем, что мы взяли след произведения матриц ароматной SU(F)L группы. Когда мы считали аномалию U(1)R тока в п.2 мы брали след произведения генераторов калибровочной группы, а учет наличия разных ароматов сводился к домножению на фактор 2F.)

Что насчет этой диаграммы в Зайберг-дуальной теории? В ней под действием SU(F)L преобразуются F-N цветов лево-киральных кварков, но они живут в анти-фундаментальном представлении SU(F)L, как отмечалось выше. Так что каждая вершина диаграммы дает фактор -1. Дуальные кварки тогда дают вклад в диаграмму, равный (-1)3(F-N)=N-F.

Далее, Зайберг-дуальная теория также содержит киральное суперполе мезонов Mef. Оно преобразуется в фундаментальном представлении группы SU(F)L. Фермионная компонента (мезино) этого суперполя бегает в треугольной петле. Мезонное поле не имеет цвета, но индекс f принимает F значений и синглетен по отношению SU(F)L (он, однако, преобразуется в анти-фундаментальном представлении SU(F)R). Для лево-киральной SU(F)L3 диаграммы мы просто суммируем по всем значениям этого индекса домножением диаграммы на фактор F. В результате мезино дает вклад F в аномальную диаграмму.

Полный вклад всей лево-киральной материи в лево-киральную SU(F)L3 аномалию равен N-F+F=N, такой же как и для исходной суперсимметричной КХД.

Упражнение для читателей: то же самое для SU(F)R3, обратите внимание на знаки.

3.2. Доказательство равенства аномалий является проверкой состоятельности дуальности. Зайберг-дуальность устанавливает эквивалентность двух суперсимметричных калибровочных теорий с материей в ИК режиме, а не при всех масштабах энергии. Но в ИК режиме теория, вообще говоря, сильно-взаимодействующая (в случае S-дуальности одна из них сильно-взаимодействующая), и мы не знаем какие там степени свободы: поля кварков и глюонов есть только свободные асимптотические состояния в УФ.

Однако в силу условия тХуфта о сопоставлении аномалий, аномалии в ИК (полученные суммированием по ИК фермионам в петле треугольной диаграммы) равны аномалиям в УФ (полученные, как мы это сделали, суммированием вкладов фундаментальных УФ фермионных степеней свободы в петлю). Так что если теории эквивалентны в ИК (как в случае Зайбрег-дуальности), то аномалии их УФ степеней свободы (кварков и глюонов) должны быть одинаковы, в силу условия тХуфта, что мы и проверям тут. (Вообще для двух теорий, связанных S-дуальностью, довольно удобно сразу проверить утверждаемую дуальность сопоставив аномалии: это одна из простейших непертурбативных проверок, применяемых также в AdS/CFT, см., к примеру, п.9 здесь.)

3.3. Теперь рассмотрим диаграмму, аналогичную таковой в п.2. Только теперь двумя внешними калибровочными бозонами будут не глюоны, а гравитоны. В принципе, подобная диаграмма может оказаться ненулевой если в вершине с током находится U(1) ток. Действительно, при суммировании по всем фермионам с одинаковым зарядом и в данном представлении группы глобальной симметрии в петле мы получаем что диаграмма равна следу генератора группы, т.е. нулю. (Гравитоны в двух других вершинах не дают никаких генераторов.) Если это одна из специальных унитарных групп, мы сразу получаем ноль.

Рассмотрим тогда U(1)R диаграмму: треугольную диаграмму в одной вершине которой находится U(1)R ток, а в двух других — гравитоны. Начнем с SU(N) теории. У нас есть F+F кварков с R-зарядом (F-N)/F-1=-N/F. Суммирование по всем цветам для данной диаграммы означает просто домножение на N. Далее, у нас есть N2-1 глюино с R-зарядом 1. Диаграмма в результате равна

$$2FN\left(-\frac{N}{F}\right)+N^2-1=-N^2-1$$

В гравитационном инстантонном фоне U(1)R заряд не сохраняется.

Теперь рассмотрим Зайберг-дуальную SU(F-N) теорию. У нас есть F+F кварков с R-зарядом (который читателю нужно было проверить в конце п.2.) равным N/F-1, и их вклад нужно помножить на количество F-N возможных цветов. У нас есть (F-N)2-1 глюино с R-зарядом 1. И у нас есть мезино с R-зарядом 2(F-N)/F-1. Мезино живет в фундаменталном представлении SU(F)L и анти-фундаментальном представлении SU(F)R. Для рассматриваемой U(1)R диаграммы это просто означает, что у нас F2 мезино, каждый из которых дает один и тот же вклад в аномалию. Суммируем:

$$2F(F-N)\left(\frac{N}{F}-1\right)+(F-N)^2-1+F^2\left(\frac{2(F-N)}{F}-1\right)=-N^2-1$$

Тривиальное упражнение для читателей: то же самое для U(1)B и двух гравитонов.

3.4. Рассмотрим теперь U(1)RSU(F)L2 треугольную диаграмму: в одной вершине имеется U(1)R ток, в двух других SU(F)L токи; нужно добавить также присутствующую в природе диаграмму в которой индексы присоединенного представления SU(F)L в двух SU(F)L вершинах переставлены. Две SU(F)L вершины дают фактор

$${\rm Tr}(T_r^mT_r^n)=T(r)\delta^{mn}$$

когда в петле бежит фермион в представлении r группы SU(F)L. Если этот фермион имеет R-заряд Q, то пробегая через вершину диаграммы с U(1)R током он цепляет фактор Q, так что вклад фермиона в диаграмму равен

$$QT(r)$$

Начнем с SU(N) теории. У нас имеется кварки в фундаментальном представлени SU(F)L, для которых T(r)=1/2 и R-заряд равен (F-N)/F-1=-N/F. Каждый кварк имеет N цветов, так что вклад  в диаграмму от кварка домножается на N. Больше никакие фермионы в петле такой диаграммы не бегают, так что U(1)RSU(F)L2 аномалия равна

$$N\frac{1}{2}\left(-\frac{N}{F}\right)=-\frac{N^2}{2F}$$

Теперь рассмотрим SU(F-N) Зайберг-дуальную теорию. У нас имеется кварки в анти-фундаментальном представлении SU(F)L («анти» в данном случае роли не играет: у нас две SU(F)L вершины, общий вклад «анти» от которых равен (-1)2=1), T=1/2; каждый кварк имеет R-заряд N/F-1 и существует в F-N цветах. Далее, у нас есть мезино в фундаментальном представлении SU(F)L, по фундаменталному SU(F)R индексу мезино мы суммируем в данной диаграмме путем обычного домножения на F. R-заряд мезино равен 2(F-N)/F-1. В результате, U(1)RSU(F)L2 аномалия Зайберг-дуальной теории равна

$$(F-N)\frac{1}{2}\left(\frac{N}{F}-1\right)+F\frac{1}{2}\left(\frac{2(F-N)}{F}-1\right)=-\frac{N^2}{2F}$$

Упражнение для читателей: то же самое для U(1)BSU(F)L2 аномалии.

3.5. Бонусные упражнения: сопоставить U(1)B3, U(1)R3, U(1)BU(1)R2 и U(1)RU(1)B2 аномалии :)

Ключевые слова: суперсимметричная теория поля, квантовая теория поля, суперсимметрия, задачи | Комментарии (2)
Михаил Гойхман

Теория Клебанова-Виттена

15 мая 2013 года, 00:22

Под теорией Клебанова-Виттена подразумевается соответствие между теорией струн в AdS5×X5 и N=1 суперсимметричной калибровочной теорией поля. Основы теории были положены в этой статье:

I.R. Klebanov, E. Witten Superconformal Field Theory on Threebranes at a Calabi-Yau Singularity

Это одна из наиболее интересных статей в теорфизике; за последние 15 лет она набрала более 730 цитирований. В любом случае это крайне примечательный пример применения AdS/CFT соответствия: со стороны теории поля (в данном случае N=1 SUSY калибровочной теории) известен ряд нетривиальных непертурбативных результатов, которые в точности подтверждаются вычислениями со стороны теории гравитации в AdS. Несколько феноменологическим ответвлением этой области деятельности является AdS/QCD соответствие, тоже крайне интересное применение голографии. Для полноты напомню что есть, наконец, AdS/CMT соотетствие (CMT означает condensed matter theory), которое выявляет наиболее общие и формальные свойства физики конденсированных сред.

Это длинный пост, местами я буду делать значительные ответления, разъясняя те вещи, которые нужно знать чтобы понять статью Клебанова-Виттена.

1. Напомню что исходным классическим примером AdS/CFT соответствия является соответствие между теорией струн в пространстве AdS5×S5 и N=4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса. При этом количество суперсимметрий (равное, разумеется, по обе стороны соответствия) максимально: 32 суперсимметрии. Это число максимально если вы хотите объединять в мультиплеты поля со спином не выше 2 (для теории в объеме, где есть гравитация) и поля со спином не выше 1 (для теории на границе, являющейся низкоэнергетическим приближением открытых струн, и потому не обладающей гравитацией).

В объеме — пространстве AdS5×S5 — группу симметрий легко увидеть посмотрев на группу изометрий пространства-времени, расширенного впоследствии до суперпространства. Группа симметрий сферы S5 — это группа SO(6) вращений шестимерного пространства, в которое эта сфера погружается. Пространство AdS5 явялется другим пятимерным пространством с макисмальным количеством симметрий (пятнадцать), группой симметрий является SO(2,4). Далее, в формализме Грина-Шварца для описания суперструны типа-IIB к десяти пространственным координатам нужно добавить два спинора в D=10, одинаковой киральности; каждый спинор (Майорана-Вейлевский спинор) имеет 16 вещественных компонент. Полная группа (супер)симметрий суперпространства  AdS5×S5 поотому есть SU(2,2|4). Мы воспользовались тем фактом что SU(4)~SO(6) и SU(2,2)~SO(2,4).

С другой стороны, суперсимметричная N=4 D=4 теория Янга — Миллса на границе AdS имеет бозонную группу конформных преобразований симметрии SO(2,4) и группу R-симметрий, вращающий 4 суперзаряда (по четыре компоненты каждый), SO(6). Коммутирование четырех суперзарядов с генераторами специальных конфромных преобразований порождает еще 4 суперзаряда — генераторы суперконформных преобразований (другой способ увидеть появление четырех дополнительных суперзарядов основывается на размерности спинорного представления группы SO(2,4), которое вдвое больше спинорного представления группы SO(1,3)). Полная группа (супер)симметрий в результате та же что и в объеме, SU(2,2|4), с точки зрения теории поля это N=4 суперконформная группа в четырехмерии. Заметим в частности что R-симметрия SU(4) теории поля на границе реализуется как группа симметрий внутреннего пространства — сферы S5 — теории в объеме.

2. Теория Клебанова-Виттена занимается голографическим описанием N=1 суперсимметричной теории, суперконформная группа при этом есть SU(2,2|1), где бозонная подгруппа U(1) есть группа R-симметрий. Таким образом, нам нужно нарушить 3/4 суперсимметрий N=4 суперсимметричной теории. Например, шесть измерений теории суперструн можно компактифицировать на многообразие Калаби-Яу (с SU(3) группой голономий), нарушающее как раз 3/4 суперсимметрий, в результате чего эффективная теория в D=4 оказывается N=1 суперсииметричной, и из нее уже можно начать выводить феноменологию МССМ. При этом используются, естественно, компактные многообразия Калаби-Яу.

Примером многообразий Калаби-Яу являются орбифолды. Например тор. Другой пример это когда многообразие Калаби-Яу имеет коническую сингулярность, тогда окрестность сингулярности конуса есть кусок компактного многообразия Калаби-Яу (весь конус некомпактен). Шестимерный конус имеет пятимерное основание и одну радиальную координату. В точке где радиальная координата равна нулю, имеется коническая сингулярность: окрестность этой точки не может быть отображена на плоское шестимерное пространство. Конус, построенный с помощью цилической группы являющейся подгруппой группы SU(3), сохраняет только два суперзаряда. В шестиметрии имеется восемь суперзарядов, поэтому конус нарушает как раз 3/4 суперсимметрий. Конус и используется в теории Клебанова-Виттена для нарушения 3/4 суперсимметрий в объеме.

Десятимерное решение IIB супергравитации должно иметь форму AdS5×X5. Настоящее решение — решение стопки экстремальных черных 3-бран —  записано ниже, произведение AdS5×X5 — это геометрия вблизи горизонта стопки бран; граница AdS соответствует горизонту стопки бран. Причем собственно AdS появляется вблизи горизонта бран, а вот X5 видно всегда.  Наличие пятимерного подпространства AdS необходимо для существования дуальной конформной теории поля. Посмотрим какие простые решения уравнений IIB супергравитации (какую метрику) можно получить для X5. Потребуем чтобы  X5 было пространством Эйнштейна, т.е. чтобы для него тензор Риччи был пропорционален метрике. Скажем, плоское пространство есть пространство Эйнштейна с коэффициентом пропорциональности ноль, для AdS этот коэффициент равен -4, для сферы S5 и для основания X5 шестимерного конуса (я использую одно и то же обозначение для наиболее общего пятимерного компактного подпространства и для основания пятимерного конуса, которое используется в теории Клебанова-Виттена ;) ), который мы построим ниже, он равен 4.

Причина по который мы хотим чтобы пятимерное компактное пространство X5 было пространством Эйнштейна состоит в том что мы ищем простые решения уравнений супергравитации. Допустим все динамические поля это метрика и напряженность F5  RR-поля C4. Как  в случае AdS5×S5  решения N единиц поля F5  пронизывают X5 . Это следует из того что для AdS части решения поле  F5  необходимо: т.е. для создания AdS геометрии это поле точно должно быть поляризовано в направлении AdS, т.е. Ftxyzr0. Но это поле самодуально, так что независимо от X5 всегда имеется один и тот же поток F5  также и через X5. Сфера является пространством Эйнштейна с Rij=4gij. Она решает соответствующие уравнения Эйнштейна с F5  в качестве материи. Для основания шестимерного конуса также имеет место Rij=4gij. Так что различие между  AdS5×Sи AdS5×X5 сводится к различию в масштабах кривизны.

Более конкретно, интересующим нас решением IIB супергравитации является некое заданное поле F5 и метрика

$$ds^2=H^{-1/2}(r)(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)+H^{1/2}ds_6^2$$

где как и для AdS5×S5

$$H=1+\frac{L^4}{r^4}$$

только на этот раз ds62 есть метрика на конусе (ds52 есть метрика на X5)

$$ds_6^2=dr^2+r^2ds_5^2$$

Масштаб кривизны в объеме определяется следующим образом:

$$\left(\frac{L}{\ell_s}\right)^4=\frac{N\sqrt{\pi}}{{\rm Vol}(X_5)}$$

Вблизи r=0 (приближении супергравитации, т.е. пренебрежение струнностью: $$\ell_s/L\ll 1$$) метрика принимает вид AdS5×X5:

$$ds^2=\frac{r^2}{L^2}(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)+L^2\frac{dr^2}{r^2}+L^2ds_5^2$$

Итак, вот что происходит. Берутся бозонные уравнения IIB-супергравитации. К ним находится решение, которое вблизи r=0 выглядит как AdS5×X— произведение AdS и основания конуса X5. Физически сингулярная точка объясняется наличием стопки 3-бран в ней (стопка бран также объясняет наличие потока поля F5). Голографически дуальная теория тогда живет на мировом объеме стопки D3-бран, локализованных на конической сингулярности. Причем если группа голономий конуса есть SU(3) (из того что конус является Риччи-плоским многообразием следует что группа голономий есть либо SU(3) либо ее подгруппа) то одна четверть суперсимметрий сохраняется, так что дуальная теория поля (теория на мировом объеме D3-бран в низкоэнергетическом пределе) обладает N=1 суперсимметрий.

Клебанов-Виттен кстати явно показывают как уравнение на спинор Киллинга на шестимерном конусе (их уравнение (5)) эквивалентно уравнению на спинор Киллинга на основании конуса (6), причем в последнем имеется нетривиальный вклад от F5. Напомню для полноты что уравнение на спинор Киллинга η есть уравнение $$\nabla\eta=0$$. Если имеются нетривиальные p-формы, вроде F5, то они тоже дают вклад в это уравнение. Суть состоит в том чтобы преобразование суперсимметрии для гравитино равнялась нулю.  Уравнение Киллинга определяет какие параметры преобразования суперсимметрии удовлетворяют этому свойству. Эти же спиноры тривиально преобразуются при действии группы голономий. Максимальная группа голономий в шести измерениях есть SO(6)~SU(4), так что для Калаби-Яу с группой голономий SU(3) только один (из четырех комплексно-значных) спиноров не преобразуется под действием группы голономий.

3. Есть теорема, согласно которой пятимерное пространство является пространством Эйнштейна тогда и только тогда когда шестимерный конус, построенный с этим пятимерным пространством в качестве основания, является Риччи-плоским. Это акутальная теорема, т.к. мы знаем что шестимерный конус сохраняет 1/4 суперсимметрий и потому является трехмерным многообразием Калаби-Яу. Следовательно, он является Риччи-плоским. Так или иначе, напрямую эта теорема доказывается в общем следующим образом. Рассмотрим конус, с интервалом

$$ds^2=h_{mn}dx^mdx^n=dr^2+r^2g_{ij}dx^idx^j$$

Сделаем замену радиальной координаты, r=eφ(r), после чего запишем компоненты метрического тензора:

$$h_{\phi\phi}=e^{2\phi}\,,\quad h_{ij}=e^{2\phi}g_{ij}\,,\quad h_{\phi i}=0$$

где индексы $$i,j\neq \phi$$ принимают n-1 значений. Совершим конформное преобразование метрики

$$\hat{h}_{mn}=e^{-\phi}h_{mn}$$

где индексы m,n ринимают n значений.

Теперь вспомним что в общем, если $$\hat{h}_{ab}=\Omega^2h_{ab}$$, то тогда в n-мерном пространстве

$$R_{bd}=\Omega^2\hat{R}_{bd}+(n-2)\Omega\Omega_{;b;d}-\frac{1}{n-2}\Omega^n(\Omega^{2-n})_{;a}^{;a}\hat{h}_{bd}$$

Здесь слева записан тензор Риччи в метрике $$h_{ab}$$, в то время как справа все (в том числе ковариантные производные) посчитано для метрики $$\hat{h}_{ab}$$. Метрика со шляпкой описывает пространство $$R^{\phi}\times M^{n-1}$$. Рассмотрим Mn-1. Мы знаем что

$$(\Omega^{2-n})_{;a}^{;a}=(e^{n-2}\phi)_{,\phi}^{,\phi}=(n-2)^2e^{n-2}\phi\,,\quad\Omega_{;i;j}=0\,,$$

и потому

$$R_{ij}=e^{-2\phi}(\hat{R}_{ij}-(n-2)\hat{h}_{ij})\,.$$

Тогда метрика для конуса $$h_{ij}$$ является Риччи-плоской тогда и только тогда когда

$$\hat{R}_{ij}=(n-2)\hat h_{ij}\,.$$

Теперь, очевидно, для n-1-мерного основания конуса $$\hat{R}_{ij}=R_{ij}$$, т.к. с точки зрения основания конуса конформоное преобразование которое мы сделали, зависящее только от r, эквивалентно рескейлингу метрики константой, а при таком преобразовании тензор Риччи не меняется.  Также, $$\hat{h}_{ij}=g_{ij}$$, и потому

$$R_{ij}=(n-2)g_{ij}$$

что завершает доказательство.

4. Простым примером многообразия Эйнштейна X5, берущимся в качестве основанием конуса, явлется многообразие

$$T^{1,1}=\frac{SU(2)\times SU(2)}{U(1)}$$

где U(1) в знаменателе есть сумма двух U(1) генераторов, взятых из каждой группы SU(2) в числителе. Многообразие группы SU(2) есть сфера S3, которая представляется как расслоение S1 с основанием S2 (Hopf fibration). Т.к. мы калибруем одну подгруппу S1, то T1,1 есть расслоение оставшейся S1~U(1) (общей для обеих S2 из двух SU(2)) с основанием S2×S2. Каждая S2 симметричная относительно преобразований SO(3)~SU(2), и еще у нас есть группа симметрий U(1), вращающая волокно Sиз расслоения. После того как мы представили  T1,1 в качестве расслоения, очевидно что группой симметрий T1,1 является U(1)×SU(2)×SU(2).

Опишем соответствующее трехмерное пространство Калаби-Яу, имеющее коническую сингулярность с основанием конуса T1,1. Клебанов и Виттен определяют это многообразие как поверхность в пространстве с четырьмя комплексными координатами:

$$z_1^4+z_2^4+z_3^4+z_4^4=0$$

Это уравнение задает конус, так как оно инвариантно относительно преобразований $$z_a\rightarrow tz_a$$. Группа симметрий есть группа SO(4)=SU(2)×SU(2), вращающая четыре координаты za. При этом основание, полученное делением конуса на радиальную координату (после устранения точки r=0) топологически эквивалентно, к примеру,

$$|z_1|^4+|z_2|^4+|z_3|^4+|z_4|^4=1$$

Постолько поскольку это уравнение инвариатно относительно $$U(1)\in SO(4)$$ в каждой точке (z1,z2,z3,z4), то оно задает основание SO(4)/U(1)=SU(2)×SU(2)/U(1) конуса.

Нашей целью является установление голографического соотвествия между теорией струн, компактифицированной на основание конифолда, и N=1 суперсимметричной теорией поля. Впоследствии мы покажем что если добавить киральные суперполя в N=1 суперсимметричную калибровочную теорию поля, то модульное пространство теории будет конифолдом. Для этого удобно параметризовать конифолд несколько иными координатами (полям  (A1,A2) и (B1,B2) ниже будут соответствовать киральные поля N=1 суперсимметричной теории поля). Сперва заменим координаты:

$$M=\left({z_1+iz_4\atop iz_2-z_3}\;{iz_2+z_3\atop z_1-iz_4}\right)\rightarrow \left({z_1\atop z_4}\;{z_3\atop z_2}\right)=\left({A_1B_1\atop A_2B_1}\;{A_1B_2\atop A_2B_2}\right)$$

Видно что уравнение для конуса это det(M)=0. Можно далее переписать

$$M=\left({A_1\atop A_2}\right)\left(B_1,B_2\right)$$

Так что det(M) инвариантен относительно вращений (A1,A2) и (B1,B2); каждый вращается своей SU(2) матрицей (слева и справа соответственно). Далее, уравнение det(M)=0 инвариантно относительно рескейлинга всех zi на одно и то же число; что означает что оно инвариатно относительно рескейлинга всех Ai, Bk на одно и то же число λ. Наконец, определение z через A, B инвариантно относительно

$$A_k\rightarrow se^{i\varphi}A_k\,,\quad B_l\rightarrow s^{-1}e^{-i\varphi}B_l$$

Используя симметрию с параметром s и симметрию с параметром λ можно записать

$$|A_1|^2+|A_2|^2=|B_1|^2+|B_2|^2=1$$

что есть многообразие SU(2)×SU(2). У нас осталось U(1) преобразование симметрии с параметром φ, в результате чего получаем многообразие T1,1=SU(2)×SU(2)/U(1). Обратите внимание что мы начали с уравнения конуса но получили в результате основание конуса. Радиальная координата пропала в тот момент когда мы воспользовались симметрией уравнения конуса относительно преобразований zi→ λ2zi.

5. Итак, в предыдущих пунктах мы описали построение конифолда в такой форме, в которой его удобно будет сравнивать с соответствующими объектами в N=1 суперсимметричной теории поля на границе AdS. Теперь мы сперва сформулируем саму дуальную теорию поля а потом проведем проверку AdS/CFT соответствия по ряду вопросов.

Итак, допустим у нас есть N=1 суперсимметричная теория Янга-Миллса с калибровочной группой U(1)×U(1). Добавим к ней четыре киральных суперполя, A1, A2,  в представлении $$(1,\bar{1})$$ калибровочной группы и B1, B2 в представлении $$(\bar{1},1)$$ калибровочной группы. С точки зрения мирвого объеме D3-браны скалярные поля описывают вложение D3-браны в десятимерное пространство, т.е. описывают положение D3-браны в шестимерном трансверсальном пространстве. 

Ясно что поля A и B не преобразуются под действием диагональной U(1) подгруппы U(1)×U(1) калибровочной группы, так что соответствующее U(1) калибровочное поле свободно, и соответствующая U(1) калибровочная симметрия не нарушается конденсатом киральным полей. Это калибровочное поле есть вектороное поле, которое всегда присутсвует на мировом объеме (обеспечивая нужное число 8 бозонных степеней свободы).

Оставшееся U(1) калибровочное поле взаимодействует с киральными полями. Напомню что векторное N=1 суперполе содержит вспомогательный скаляр D с потенциалом V(D)=D2. Этот скаляр взаимодействует с каждым киральным полем Φ=φ+θψ+... посредством члена в qD|φ|2 лагранжиане где q есть калибровочный заряд кирального поля Φ. Так что уравнение движения для поля D дает, для нашего случая

$$D=|A_1|^2+|A_2|^2-|B_1|^2-|B_2|^2$$

Вакуум тогда опредеяется условием D=0, т.е.

$$|A_1|^2+|A_2|^2=|B_1|^2+|B_2|^2$$

что есть уравнением конифолда. Таким образом киральные поля A и B  в ваукуумном состоянии параметризуют конифолд, т.е. описывают положение D3-браны в конифолде. Реализация SU(2)×SU(2) симметрии и U(1) калибровочной симметрии (с параметром φ) такая же как описано в предыдущем пукте для конифолда.

6. Для того чтобы иметь голографическое соответствие между сильно-взаимодействующей теорией поля на границе и теорией IIB супергравитации в объеме нам нужно перейти к пределу большого N, что означает что нам нужно рассмотреть стопку N D3-бран, с RR-зарядом поля C4 равным N. Калибровочная группа тогда заменяется на U(N)×U(N). Поля A живут в представлении $$({\bf N},\bar{\bf N})$$,  а поля B живут в представлении $$(\bar{\bf N},{\bf N})$$ калибровочной группы.

Суперпотенциал (необходимый для придания массы ряду киральных суперполей, не описывающих положение D3-браны в трансверсальном пространстве), инвариантный относительно конифолдной группы симметрий SU(2)×SU(2)×U(1)R, которая должна быть группой симметрий теории поля, есть

$$W=\lambda\epsilon^{ij}\epsilon^{kl}{\rm Tr}A_iB_kA_jB_l$$

6.1. Небольшое отступление. R-симметрия суперсимметричной теории поля порождает соответствующий сохраняющийся суперток. В фиксированных точках ренормгруппового потока теория находится в конформном режиме — это суперконформная теория поля. В этом случае она инвариантна относительно суперконформной группы SU(2,2|1), каждая суперконформная теория поля харакатеризуется своими зарядами относительно генераторов суперконформной группы.

Во-первых в ультрафиолете, где константа связи равна нулю (асимпотическая свобода), бета-функция равна нулю и теория конформна. Она не просто конформна, она еще свободна, так что масштабная размерность кирального поля равна Δ=1 (посмотрите на размерность свободного скаляра). Далее, в силу суперконформной симметрии для первичных полей (primary fields), коими являются киральные поля, имеем соотношение между масштабной размерностью и R-зарядом:

$$\Delta=\frac{3}{2}R$$

Так что в ультрафиолете R=2/3. Однако конформная теория поля в ультрафиолете (с группой (супер)симметрии SU(2,2|1)UV) свободна, и потому не описывается дуальной слабой IIB-супергравитацией в объеме (AdS/CFT — это сильно-слабая дуальность). Так что нас интересует другая конформная фиксированная точка — та, что в инфра-красном режиме. Ниже мы докажем что R-заряд киральных суперполей на самом деле равен 1/2, в ИК суперконформной теории поля с группой (супер)симметрии SU(2,2|1)IR, что дает правильный R-заряд суперпотенциала: +2, так что

$$\int d^2\theta W$$

есть инварант относительно R-преобразований U(1).

Кстати говоря, с точки зрения УФ теории записанный суперпотенциал является несущественным оператором, в то время как с точки зрения ИК теории он является маргинальным оператором. Поэтому CFT-дуальная теория к слабой IIB супергравитации на конусе есть фиксированная точка ренорм-группового потока N=1 суперсимметричной теории к которой добавляется масштабно-инвариантный суперотенциал W.

6.2. Суперсимметричная теория поля хороша тем что в ней многие вещи известны точно. Например, бета-функция N=1 суперсимметричной клабировочной теории поля с материей дается NSVZ формулой. Бета-функция пропорциональна константе связи. Когда константа связи равна нулю, что по сути имеет место в ультрафиолете, теория конформно-инвариантна и свободна. Постолько поскольку NSVZ формула точная, она позволяет определить нули бета-функции в ИК режиме, где теория сильно-взаимодействующая.

Особенностью NSVZ бета-функции является то, что условие равенства ее нулю эквивалентно условию сокращения киральной аномалии для U(1) R-симметрии. Действительно, мы имеем (индекс представления r определяется как $${\rm tr}(T_r^aT_r^b)=T(r)\delta^{ab}$$)

$$\beta\sim 3T(Ad)-\sum_iT(r_i)(1-2\gamma_i)$$

где суммирование производится по всем полям материи, и аномальная размерность определяется как

$$\gamma_i=\Delta_i-1$$

Подставляя $$\Delta=\frac{3}{2}R$$ (для конформных фиксированных точек) находим что условие конформности β=0 эквивалетно условию сокращения киральной аномалии сохранения U(1) тока R-симметрии:

$$T(Ad)+\sum_iT(r_i)(R_i-1)=0$$

6.3. В нашем случае в силу SU(2)×SU(2) симметрии получаем

$$\gamma_{A_1}=\gamma_{A_2}\,,\quad \gamma_{B_1}=\gamma_{B_2}$$

Напомню что

$$T(Ad)=2N\,,\quad T(A)=T(B)=N$$

и у нас есть два поля A и два поля B, так что

$$6N-2N(1-2\gamma_A+1-2\gamma_B)=0$$

откуда вытекает что

$$\gamma_A+\gamma_B+\frac{1}{2}=0$$

Тогда размерность суперпотенциала в ИК фиксированной точке на 1 меньше размерности в УФ, т.е. равна 3, что есть размерность маргинального оператора (размерность $$\int d^2\theta$$ равна 1). Т.е. потребовав исчезновение бета-функции мы и впрямь получили масштабно-инфариантный оператор (то что он не является маргинально-существенным или маргинально-несущественным доказывается с помощью теоремы о неперенормируемости).

7. Сравним R-симметрии. Мы уже видели что и со стороны конифолда и со стороны теории поля у нас имеется U(1) R-симметрия. С точки зрения теории поля есть однозначный способ определить чему должен равняться R-заряд киральных полей. Он основывается на требовании сокращения аномалий.

Каждое киральное поле имеет некий R-заряд. Такой же R-заряд имеет каждое киральное антиполе (R-заряд определяется через преобразования координат суперспрстранства, которые берзразличны к заряду полей материи по отношению к калибровочным полям, и потому R-заряд полей материи тоже одинаков для материи и анти-материи), т.е. спинор той же киральности, но с противоположными зарядами относительно калибровочных групп. В четырех измерениях спиноры противоположной киральности комплексно сопряжены друг другу. Так что произведя комплексное сопряжение кирального антиполя, мы получаем антикиральное поле, причем оно имеет противоположный киральному полю R-заряд. Таким образом, группа R-симметрий действует на поля разной киральности по-разному, и потому в общем случае подвержена киральной аномалии.

Точное значение киральной аномалии дается треугольной диаграммой с киральными фермионами в цикле, киральным током в одной вершине и двумя калибровочными бозонами в других вершинах. Это могут быть два произвольных калибровочных бозона, Aa и Ab. Я опустил векторные индексы, индексы ab живут в присоединенном представлении калибровочной группы (нумеруют калибровочные бозоны). Если Ta есть генератор калибровочной группы в том представлении r, в котором живет данный фермион, то суммирование по всем таким фермионам в петле в данной диаграмме производит, очевидно, фактор T(r), определяемый из

$$T^a_{mn}T^b_{nm}=T(r)\delta^{ab}.$$

Из третьей вершины диаграммы, в которой находится киральный ток, получаем пропорциональный заряду фермиона вклад (слагаемое в токе пропорционально заряду фермиона, появляющегося в этом слагаемом). Всё остальное одинаково для всех фермионов. Итак, киральная аномалия, которую считает треугольная диаграмма, исчезает если

$$\sum_iT(r_i)q_i=0,$$
где суммирование производится по всем частицам.

Покажем что отсутствие аномалии U(1) R-симметрии означает что киральные поля A и B имеют R-заряд, равный +½. На самом деле так. R-симметрия по определению есть симметрия действующая на суперзаряды, или, что то же самое, на фермионные координаты суперпространства. Определим тогда R-симметрию с параметром α как преобразование суперкоординат с зарядом 1:

$$\theta\rightarrow e^{i\alpha\theta}\theta.$$

Тогда, в силу разложения киральных суперполей в ряд по нечетным координатам

$$\Phi=\phi+\theta\psi+\ldots$$

ясно, что спиноры материи имеют заряд, равный заряду кирального поля минус 1. Мы таким образом хотим доказать, что киральный заряд спиноров материи должен равняться −½.

В силу разложения кирального суперполя, являющегося напряженностью калибровочного суперполя,

$$W=\lambda+\theta F+\ldots$$

ясно, что глюино λ имеет R-заряд +1, так чтобы действие калибровочных степеней свободы (векторного суперполя)

$$S_{gauge}\sim\int d^2\theta W^2$$

было инвариантно относительно преобразований R-симметрии. 

Глюино живет в присоединенном представлении U(N)×U(N), так что для него T(r)=2N. Два спинорных поля из полей A живут в представлении $$(N\bar{N})$$ группы U(N)×U(N), т.е. фактически в присоединенном представлении U(N), поэтому для них T(r)=N. Аналогично для двух полей B. Аномалия тогда действительно сокращается:

$$-\frac{1}{2}4N+2N=0.$$

Итак, чисто с точки зрения теории поля мы вывели, что R-заряд киральных суперполей A и B равен +½. Что предсказывает дуальная теория струн для этого кирального заряда? Мы знаем что согласно дуальной теории струн поля A и B решают уравнения для конифолда, задавая его координаты z~AB. Значит нам нужно найти заряд координат z относительно U(1) преобразований в объеме, соответствующим U(1) R-симметрии на границе. Допустим, это какой то заряд q:

$$z\rightarrow e^{iq\phi}z$$

для преобразования R-симметрии с параметром $$\phi$$.

Трехмерное Кэлерово многообразие является многообразием Калаби-Яу тогда и только тогда когда на нем можно определить голоморфную 3-форму. Для многообразия

$$z_1z_2-z_3z_4=0$$

(это уравнение определяет рассматриваемый нами конифолд) голоморфмная 3-форма равна

$$\Omega=-\frac{dz_2\wedge dz_3\wedge dz_4}{z_1}$$

и потому имеет R-заряд 2q. Другим определением Калаби-Яу, которое упомяналось выше, является комплексное многообразие на котором есть ковариантно-постоянный спинор, $$\nabla\eta=0$$. Два определения эквивалентны в силу выражения

$$\Omega_{ijk}=\eta^T\Gamma_{ijk}\eta.$$

Ковариантно-постоянный спинор задает ту координату суперпространства в направлении которой суперсимметрия не нарушена (симметрия относительно трансляции этой суперкоординаты). Тогда координаты суперпространства имеют R-заряд равный половине R-заряда голоморфной 3-формы, т.е. q. Но мы определили R-заряд координат суперпространства равным 1, так что q=1. В силу z~AB ясно что R-заряд полей A и B равен ½, что совпадает с результатом из теории поля. Это довольно нетривиальное согласие: с одной стороны мы рассуждали про построение теории струн на конусе, а с другой про сокращение киральной аномалии в суперсимметричной теории поля.

8. Выше мы описали конифолд с основанием T1,1=SU(2)×SU(2)/U(1) с помощью поверхности

$$z_1^4+z_2^4+z_3^4+z_4^4=0$$

инвариантной относительно группы вращений SO(4). Далее, мы знаем что SO(4)=SU(2)×SU(2). На самом деле это не вполне правильно, равенство имеет место только локально, с точки зрения соответствующих алгебр. Глобальная групповая структура подразумевает SO(4)=SU(2)×SU(2)/Z2. Каждая SU(2) группа имеет центральную подгруппу Z2={I,-I}. Тензоры в представлении SO(4) можно представить с помощью двух спиноров. Тензоры с четным числом индексов представляются с помощью спиноров одной киральности, например скаляр имеет форму $$\phi=\psi^\dagger\psi$$ или $$\phi=\bar{\psi}^\dagger\bar{\psi}$$, где $$\psi$$ есть лево-киральный спинор, а $$\bar{\psi}$$ есть право-киральный спинор. Тензоры с нечетным числом индексов представляются с помощью спиноров разной киральности, например вектор $$A^\mu =\psi\sigma^\mu\bar{\psi}$$. Лево-киральный спинор преобразуются под действием одной SU(2), а право-киральный спинор преобразуются под действием другой SU(2). Ясно тогда что диагональная Z2 подгруппа произведения двух цетнтров Z2×Z2 двух SU(2) не меняет представления SO(6), так что SO(4)=SU(2)×SU(2)/Z2.

Итак, группа симметрий конифолда есть

$$U(1)\times \frac{SU(2)\times SU(2)}{Z_2}$$

Но мы видели что группа симметрий модульного пространства теории поля есть $$U(1)\times SU(2)\times SU(2)$$. Однако на самом деле, в силу U(N)×U(N) калибровочной инвариантности, а именно в силу U(1)×U(1) подгруппы группы калибровочной инвариатности, мы имеем калибровочную эквивалентность

$$A_k\rightarrow e^{i\alpha}A_k\,,\quad B_l\rightarrow e^{i\alpha}B_l\,,$$

так что в частности

$$A_k\rightarrow -A_k\,,\quad B_l\rightarrow-B_l\,,$$

что как раз есть действие диагональной подгруппы Z2  произведения двух цетнтров Z2×Z2 двух SU(2).

9. Теперь самое интересное. Рассмотрим теорию суперструн типа-IIB в пространстве $$AdS_5\times S^5/\Gamma$$. Сферический орбифолд строится следующим образом. Берется пятимерная сфера

$$\sum_{i=1}^6x_i^2=1$$

и производится отождествление

$$\Gamma:\quad x_{1,2,3,4}\rightarrow -x_{1,2,3,4}\,,\quad x_{5,6}\rightarrow x_{5,6}$$

В данном случае сохраняется не четверть суперсимметрий а половина: было 4 суперзаряда на сфере, процесс орбифолдизации оставляет два. Действительно, введем комплексные координаты

$$z_1=x_1+ix_2\,,\quad z_2=x_3+ix_4\,,\quad z_3=x_5+ix_6$$

Тогда Γ поворачивает z1,2 на угол π, оставляя z3 нетронутой. Постолько поскольку сумма двух углов вращения в плоскостях z1 и z2 равна нулю по модулю 2π, то орбифолдизация сохраняет половину суперсимметрий, и потому на сфере тоже выживает половина суперсимметрий.

9.1. Теперь на время отвлечемся от теории в объеме и перейдем к теории поля на границе. Калибровочная группа и набор полей такой же как и в конифолдном случае, рассмотренном выше. Только в данном случае у нас вдвое больше суперсимметрий. Так что мы имеем N=2 суперсимметричную калибровочную теорию поля. Суперпотенциал дается неким выражением, которое можно найти у Клебанова-Виттена. Далее, идея состоит в следующем. У нас имеется киральное суперполе в присоединенном представлении калибровочной группы, которое дополняет N=1 векторный супермультилет до N=2 вектороного супермультиплета. Нам нужна только N=1 суперсимметрия. Поэтому мы добавляем в лагранжиану существенный суперпотенциал являющийся массовым членом для этого кирального суперполя в присоединенном представлении, который явно нарушает N=2 суперсимметрию до N=1 суперсимметрии.

В результате включается ренорм-групповой поток, который заканчивается в фиксированной точке в ИК. Оказывается, что если явно решить уравнения движения для кирального суперполя, которое мы сделали массивным, то для оставшихся киральных суперполей сгенерируется суперпотенциал, такой же как и для суперструны, компактифицированный на основании конифолда (записанный выше). Т.е. теория из сферического орбифолда перетекает в конический орбифолд.

9.2. Теперь собственно к чему все это. Постолько поскольку у нас имеется ренорм-групповой поток из CFT в УФ в CFT в ИК, то можно задаться стандартным вопросом о том, работает ли a-теорема. Согласно a-теореме, центральный заряд a, появляющийся в аномальном следе тензора энергии-импульса, уменьшается при ренорм-групповом потоке. В случае двух конформных теорий поля, описанных выше, оба центральных заряда известны, нам интересно то что

$$\frac{a_{IR}}{a_{UV}}=\frac{27}{32}$$

Теперь вернемся в объем. Десятимерная метрика имеет общий вид

$$ds_{10}^2=L^2d\hat{s}_5^2+L^2d\hat{s}_{M_5}^2$$

Здесь шляпка означает что метрика записана для безразмерных координат, вся размерность вынесена явно в фактор L, формула для которого записана выше. Важно то что

$$L^4\sim\frac{N}{{\rm Vol}(M_5)}$$

Действие, редуцированное к пяти измерениям пространства AdS, записанное в терминах безразмерной метрики, имеет вид

$$S=\frac{\pi^2L^8}{16G_{10}}{\rm Vol}(M_5)\int d^5x\sqrt{\hat{g}}(\hat{R}+12+\ldots)\simeq\frac{N^2}{{\rm Vol}(M_5)}\int d^5x\sqrt{\hat{g}}(\hat{R}+12+\ldots)$$

Согласно AdS/CFT соответсвию корреляционные функции в теории поля на границе считаются с помощью классического действия в объеме. Тогда в частности среднее $$\langle T^\mu_\mu\rangle$$, выражающее конформную аномалию, обратно пропорционально объему компактного пространства. (Объем основания конифолда легко посчитать воспользовавшись явно его метрикой (10.120) в Бекер-Бекер-Шварц.) В результате

$$\frac{a_{IR}}{a_{UV}}=\frac{{\rm Vol}(S^5/Z_2)}{{\rm Vol}(M_5)}=\frac{27}{32}$$

что совпадает с результатом из теории поля.

Ключевые слова: AdS/CFT, суперсимметрия, D браны, квантовая теория поля, геометрия | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Нарушение суперсимметрии орбифолдами

10 мая 2012 года, 18:16

Орбифолд — это когда вы берёте какое то многообразие и производите отождествление его точек. Самые простые примеры на которых это понятие можно объяснить — это тор и конус. Возьмите комплексную плоскость C и фиксируйте комплексное число τ — называемое модулярным параметром тора. Произведите отождествление точек C по правилу z∼z+τ, z∼z+1. В результате вы получите тор. Если Im τ≠ 0, то тор «подкручен». Или, отождествите точки комплексной плоскости по правилу z∼ze2πi/N, где N — некоторое целое число. В результате получится конус. Существенным отличием конуса от тора в смысле орбифолда является наличие сингулярной точки — конической сингулярности z=0.

Рассмотрим комплексное пространство с тремя комплексными координатами za. Это пространство также может быть представлено как вещественное пространство с группой (локальных; однако, в дальнейшем будем считать, что мы начинаем с плоского евклидова пространства) вращений SO(6). Спиноры в этом пространстве преобразуются в спинорном представлении, Spin(6), экивалентно представимой как SU(4) группа преобразований 4х-компонентных комплексных спиноров в 6ти мерии (число комплексных компонентов спинора определяется числом плоскостей независимых и коммутирующих вращений, равным  [d/2], в каждой из которых спин равен ±1/2, тогда число компонент спинора равно 2[d/2], где d — размерность пространства(-времени); например в d=3=(4-1) нерелятивистской квантовой механике спиноры 2х-компонентны).  Введём соответственно базис четырёх комплексных суперзарядов Q в пространстве представления этой группы, и пометим каждый из них индексом α.  Каждый суперзаряд имеет две вещественные степени свободы, соответсвующие двум возможным проекциям спина. Всего получаем 8 степеней свободы, что есть, конечно, число степеней свободы спинора в шести измерениях, или число независимых вращений в трёх комплексных плоскостях.

Каждый набор

$$\varepsilon ^\alpha_{(i)}=(\varepsilon ^\alpha _{1(i)}, \varepsilon ^\alpha _{2(i)}, \varepsilon ^\alpha _{3(i)})$$

задаёт как соответствующий суперзаряд преобразуется при вращении

$$z^a\rightarrow e^{i\phi _a}z^a$$

в трех комплексных плоскостях. А именно, $$\varepsilon ^\alpha _{a(i)}$$ есть вес вращения za координаты для iй (i=1,2) степени свободы спинора Qα. Полное преобразование спинора Qα при вращении пространственных координат на углы φa тогда имеет вид (суммирование по a но не по α)

$$Q_\alpha\rightarrow\exp\{i\varepsilon^\alpha_{i(a)}\phi^a\}Q_\alpha$$

Теперь, построим конифолд. Конифолд — это пример орбифолда, «многомерный конус», полученный идентификацией нескольких комплексных координат по правилу

$$z_a\rightarrow e^{i\frac{2\pi}{N}n^a}z_a$$

Такая идентификация по сути есть факторизация по группе ZN, осуществленная на комплексных координатах рассматриваемого пространства. Точка z=0 — конифолдная сингулярность — при этом фиксирована. Также определим  ZN как подгруппу группы унитарных преобразований симметрии нашего исходного плоского комплексного пространства, т.е. если мы орбифолдим m из трёх комплексных координат, то мы берём ZN⊂SU(m). Что требует только одного:

$$\sum_{a=1}^m\phi^a=0\quad\text{mod\; N}$$

для $$\phi^a=\frac{2\pi}{N}n^a$$. Это уравнение очень важно в вопросе о том, какие суперсимметрии выживают орбифолдинг. Действительно, из него следует, что для того, чтобы суперзаряд был инвариантен относительно орбифолдной идентификации, необходимо, чтобы

$$\sum_a\varepsilon^\alpha_{i(a)}\phi^a=0$$

Что означает, что все $$\varepsilon$$ должны быть равны друг другу.

Если мы орбифолдим все комплексные координаты, то это условие оставляет только два суперзаряда, которые инвариантны: со спинами (1/2, 1/2, 1/2) и (-1/2, -1/2, -1/2). Изначально было 23=8 различных спиновых конфигураций (различных спиноров). Таким образом только 1/4 суперсимметрий сохранилась.

Другой пример — это выбрать 2 комплексные плоскости и орбифолдить их. Тогда в двух плоскостях спины должны быть одинаковыми, что с учётом двух возможных спинов в третьей плоскости даёт 4 независимых спинора, т.е. половина суперсимметрий нарушена.

Наконец замечу, что условие того, что группа орбифолдных преобразований принадлежит SU(3) не является необходимым. Если она не принадлежит SU(3), то условие

$$\sum_{a=1}^m\phi^a=0\quad\text{mod\; N}$$

не выполняется и таким образом всю суперсимметрию можно нарушить.

Ключевые слова: суперсимметрия | Комментарии (2)

AdS/CFT соответствие

18 марта 2011 года, 17:01

После небольшого отступления от современной теоретической физики, осуществленного Ромой, давайте вернемся к тому, что было разработано относительно недавно.

Введение

В конце 1997 года Х. Малдасена опубликовал работу под названием «The Large N limit of superconformal field theories and supergravity», которая отчасти основывалась на ранних работах т'Хуфта касательно упрощения расчетов в калибровочных SU(N) теориях в пределах большого количества цветов N. В этой статье был сделан ряд наблюдений, суммирующихся в гипотетическое (на том этапе, и существенно обоснованное впоследствии) соответствие между конформной SU(N) теорией поля и теорией суперструн в пространстве-времени большей размерности (существенно пространством AdS в прямом произведении с компактным пространством, скажем сферой). Результаты этой работы впоследствии были детально изложены в обстоятельной (~250-ти страничной) статье Малдасены и др. «Large N field theories, string theory and gravity». Интересные конкретные расчеты, подтверждающие соответствие, были проведены в работе Виттена «Anti de Sitter space and holography». В этом посте я преимущественно следую именно последним двум статьям.

Соответствие между двумя теориями, в данном случае между конформной теорией поля и теорией суперструн (или приблизительно — теории супергравитации) в пространстве-времени с размерностью большей на единицу (умноженного вдобавок на некоторое компактное многообразие, скажем сферу, или деление сферы группой дискретных симметрий — орбифолдность, и т.д., дабы получить теорию суперструн именно в десятимерии) называется дуальностью. Вообще говоря, если есть две теории, между которыми можно установить 1-1 соответствие путем сопоставления различных физических параметров одной теории и параметров другой теории, то такие теории называются дуальными. Простейший пример из теории струн есть T-дуальность, которая устанавливает эквивалентность теории струн с одним из пространственных измерений компактифицированном на окружности радиуса R и на окружность радиуса 1/R. При этом спектр обоих теорий совершенно одинаков (напомню что для замкнутых струн необходимо одновременно также переставить КК квантовое число и число обмоток вокруг компактного направления). То есть две теории с по сути разными физическими параметрами совершенно эквивалентны (дуальны) друг другу. Излишне напоминать, что слово дуальность известно из принципа корпускулярно-волнового дуализма, когда два принципиально различных способа описания квантов применяются дополнительно друг к другу в зависимости от конкретики рассматриваемого явления. Этот последний пример очень важен в данном контексте. Действительно, среди физических дуальностей имеется так назывемая S-дуальность, которая устанавливает соответсвтие между сильно и слабо взаимодействующими теориями (пример из QED с монополем — симметрия относительно замены электрических и магнитных величин — в вакууме сводящаяся к замене электрических и магнитных полей — с учетом условия квантования Дирака eg ~ n для электорического заряда e и магнитного заряда g). Тогда для описания сильновзаимодействующей теории можно на самом деле воспользоваться теорией возмущения со стороны слабовзаимодействующей дуальной теории. В AdS/CFT ситуация аналогична (хотя, насколько я знаю, S-дуальностью она не именуется) в том смысле, что сильносвязанная CFT дуальна именно слабосвязанной теории струн, и наоборот.

BPS состояния

Для начала стоит напомнить некоторые факты из теории суперструн. Как известно в теории суперструн типа-IIB существуют солитонные решения, являющиеся Dp-бранами, т.е. протяженными объектами с p продольными измерениями. В теории типа-IIB число p должно быть нечетным. Устойчивость подобного решения обеспечивается тем, что Dp-брана имеет RR-заряд, благодаря которому она взаимодействует с полем замкнутых струн, а именно с RR-сектором безмассовых возбуждений замкнутых струн. Одного заряда не достаточно для стабильности, ключевым является специальное соотношение между массой и зарядом, называемое насыщением BPS-ограничения, или BPS-состоянием. Это понятие из $${\cal N}$$-расширенной суперсимметрии, когда (часть) центральных зарядов совпадает по величине с массой частиц супермультиплета, и потому число повышающий операторов, сформированных из генераторов суперсимметрии и строящих супермультиплет, снижается. Простейший пример — киральный супермультиплет $${\cal N}=1$$ суперсимметрии — когда имеется (в D = 4) только один повышающий оператор, вместо двух — как для массивного (и потому некирального) $${\cal N} =1$$, D = 4 супермультиплета. В случае кирального $${\cal N}=1$$ супермультиплета суперсимметрия нерасширенна и потому все центральные заряды (отождествляемые с RR-зарядами в случае суперструн) просто равны нулю, соответственно насыщение BPS-ограничения просто означает нулевую массу. Пропорциональность (в подходящих единицах и нормировках — равенство) между центральным зарядом и массой обеспечивает стабильность Dp-браны при условии одновременного сохранения заряда и энергии-импульса.

Черные p-браны и предел их геометрии вблизи горизонта

Далее, Dp-браны теории суперструн на самом деле могут рассматриваться как решения супергравитации, являющейся низкоэнергетическим пределом соответствующей теории суперструн. В нашем случае это супергравитация типа-IIB. Среди ее решений имеются статические объекты, являющиеся прямым аналогом Шварцшильдовской черной дыры (вообще говоря, заряженной черной дыры Керра) — черные p-браны. Критическая (стабильная, имеющая нулевую температуру излучения Хокинга, и потому отождествляемая со стабильной Dp-браной теории суперструн) черная p-брана, как и Dp-брана теории суперструн, имеет массу, равную заряду. За счет массы (и заряда) p-брана искривляет геометрию, которую можно найти решая совместную систему уравнений Максвелла-Эйнштейна. А именно, метрика выглядит следующим образом:

$$ds^2=\frac{1}{\sqrt{H(r)}}\left(-dt^2+\sum _{i=1}^pdx^idx^i\right)+\sqrt{H(r)}\sum _{a=1}^{9-p}dr^adr^a$$

(dp есть некий численный фактор) и представляет собой обобщение решения заряженной черной дыры Керра. Здесь введены обозначения

$$H(r)=1+\frac{r_p^{7-p}}{r^{7-p}},\quad r_p^{7-p}=d_pg_sNl_s^{7-p}.$$

При этом связь между дилатоном (скаляр из мультиплета супергравитации) Φ и струнной константой связи gs следующая:

$$e^\Phi =g_sH^{(3-p)/4}$$

Решение имеет горизонт в r = 0 (по сути решение в такой форме определено до горизонта).

Черная брана с такой метрикой имеет RR заряд N, создающий поток через окружающую ее (8 − p)-сферу:

$$\int _{S^{8-p}}F_{8-p}=N$$

С точки зрения Dp-бран тут мы имеем просто напросто N совпадающих Dp-бран, каждая из которых имеет заряд, равный единице.

В специальном случае p=3 мы имеем постоянный дилатон, связанный со струнной константой связи как gs = eΦ . Также R = r3 = 4π gs'2 есть характерный масштаб длины в такой пространственно-временной конфигурации. Вблизи горизонта r → 0 решение для черной 3-браны имеет вид

$$ds^2=(r/R)^2dx\cdot dx +(R/r)^2dr^2+R^2d\Omega _5^2.$$

Здесь под координатами x подразумеваются координаты вдоль браны, как и раньше r есть радиальная координата «от браны к окружающей ее» сфере S5. Вводя переменную z = R2/r мы получаем метрику

$$ds^2=R^2\frac{dx\cdot dx+dz^2}{z^2}+R^2d\Omega_5^2.$$

Эта метрика пространства AdS5×S5, где метрика AdS5 записана в Пуанкаре-координатах, покрывающих половину всего пространства. Как AdS, так и сфера имеют одинаковый «радиус» R.

Пространство AdS5×S5

Такое пространство-время сохраняет все суперсимметрии теории. Чтобы это доказать, нужно вспомнить как вообще определить число суперсимметрий, сохраняемых неким решением уравнений супергравитации, т.е. неким конкретным гравитационном фоном (это особенно полезно при изучении компактификации, когда например теория суперструн в десяти измерениях компактифицируется на некотором многообразии Калаби-Яу, которое сохраняет только четверть от всех суперсимметрий. В результате низкоэнергетический вакуум имеет 4 суперсимметрии в = 4, т.е. получаем $${\cal N}=1$$ MSSM, вместо 16 исходных суперсимметрий гетеротической суперструны. Аналогичные реузультаты имеют место и для других компактификаций, в том числе суперструн типа-II с 32 суперсимметриями).

Сосредоточимся для примера на $${\cal N}=1$$ D = 4 супегравитации с космологической постоянной Λ. Следуя Малдасене запишем действие теории:

$$S=\int d^4x\left(-\sqrt{g}({\cal R}-2\Lambda)+\frac{1}{2}\epsilon ^{\mu\nu\rho\sigma}\bar\psi _\mu\gamma ^5\gamma _\nu\tilde D_\rho\psi _\sigma\right).$$

Классический фон не содержит гравитино ψμ, а просто представляет собой некий фон искривленного пространства-времени. Так что поле гравитино нужно занулить. Однако, тогда возникает вопрос о суперсимемтричности подобного фона без гравитино. Нужно вспомнить преобразования локальной суперсимметрии:

$$\delta V_{a\mu}=-i\bar\epsilon (x)\gamma _a\psi _\mu,$$

$$\delta\psi _\mu =\tilde D_\mu\epsilon (x),$$

где

$$\tilde D_\mu =D_\mu+\frac{i}{2}\sqrt{\frac{\Lambda}{3}}\gamma _\mu.$$

Теперь ясно, что если гравитино исчезает, то тетрады V не преобразуются, так что бозонная часть фона симметрична. Однако фермионная часть фона симметрична только при условии того что локальный параметр суперсимметрии является, как говорят, спинором Киллинга (по естественной аналогии с вектором Киллинга): Dμε = 0. Ясно, что, вообще говоря, только часть компонент спинора может удовлетворять такому условию (в случае многообразия Калаби-Яу с тремя комплексными измерениями — только одна спинорная компонента из четырех). Потому доля сохраняющихся суперсимметрий равна доле компонент спинорного параметра суперсимметрии, удовлетворяющих условию Киллинга. От этого условия можно перейти к следующему:

$$0=[\tilde D_\mu,\,\tilde D_\nu]\epsilon =\frac{1}{2}({\cal R}_{\mu\nu\rho\sigma}\sigma ^{\rho\sigma}-\frac{2}{3}\Lambda\sigma _{\mu\nu})\epsilon$$

(здесь введен следующий элемент «искривленной» алгебры Дирака $$\inline \sigma _{\mu\nu}=\frac{1}{2}\gamma _{[\mu}\gamma _{\nu]}$$).

Для максимально симметричного (то есть симметричного относительно группы с D(D+1)/2 параметрами) AdS имеет место

$${\cal R}_{\mu\nu\rho\sigma}=\frac{1}{R^2}(g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}).$$

Теперь самое время вспомнить, что в теории с данной космологической постоянной Λ решение AdS с радиусом R будет удовлетворять уравнениям Эйнштейна только при условии Λ = 3/R2. Однако при этом же условии легко заметить, что спинор ε удовлетворяет условию Киллинга (точнее его следствию с тензором криизны, которое является условием интегрируемости для уравнения Киллинга).

Как мы видим, пространство AdS сохраняет все суперсимметрии.

Далее, нас на самом деле интересует сколько суперсимметрий сохраняет пространство-время AdS5×S5, а не просто AdS. Здесь имеется нетривиальность по сравнению с обычным подсчетом суперсимметрий в компактифицированных теориях. Обычно, когда мы просто имеем прямое произведение некого компактного многообразия с нулевым потоком RR-полей через компактное многообразие, число сохраняемых суперсимметрий вычисяется с помощью подсчета числа спиноров Киллинга на компактном многообразии. Если применить наивно такой подход в данном случае, стартуя с D=10 гравитации с нулевой космологической постоянной (это тоже выводимое условие исходя из требования сохранения суперсимметрий), то получим, что все суперсимметрии нарушаются, ибо сфера имеет максимальную группу голономии SO(5), не оставляющую неподвижным ни один спинор (который бы таким образом генерировал бы ненарушенные суперсимметрии). Однако, такой подход в данном случае неприменим, ибо мы изначально предполагаем ненулевой поток. Обратите внимание, что выше мы тоже используем ковариантную производную $$\tilde D$$, а не $$D$$, т.е. принимающую во внимание ненулевую космологическую постоянную на уровне AdS. В D=10 космологическая постоянная равна нулю. Однако, мы производим не обычную компактификацию на сферу, а т.н. flux compactification (компактификацию с ненулевым потоком), в данном случае с ненулевым потоком F5 через сферу. Наличие этого потока модифицирует услвоие $$D\epsilon =0$$ на условие $$\tilde D\epsilon$$, модифицированное наличием ненулевого потока. На уровне AdS это условие выражается условием спинора Киллинга с ковариантной производной, постороенной уже с участием космологической постоянной.

Объединяя суперсимметрии с бозонными симметриями пространственно-временной конфигурации, получаем полную группу симметрий теории суперструн на AdS5×S5 являющуюся группой PSU(2, 2 | 4). В нее входят группа SU(2, 2) ~ SO(2, 4), являющаяся симметрией AdS5, группа SU(4) ~ SO(6), являющаяся симметрией S5, а также 32 киральных фермионных генератора IIB суперсимметрии, которые расширяют эти группы до полной супергруппы PSU(2, 2 | 4) и преобразуются под действием спинорных представлений бозонных подгрупп пространственно-временных симметрий.

Конформная теория поля

Теперь стоит вспомнить какую еще роль играют Dp-браны в теории суперструн. Собственно первичная цель их введения состояла в последовательном Пуанкаре-инвариантном способе описания открытых струн с граничными условиями Дирихле, т.е. с зафиксированными концами. Без бран, на которых струны могли бы оканчиваться, было бы совершенно непонятно, что держит их концы, и потому теория оказалось бы не Пуанкаре-инвариантной.

После введения Dp-бран возникает еще одна возможность. Если мы имеем стопку совпадающих друг с другом N Dp-бран, то для открытых струн, которые оканчиваются на бранах из такой стопки, необходимо ввести дополнительные степени свободы — заряды Чана-Патона на концах струны — которые будут обеспечивать описание симметрии по отношению к различным бранам из стопки. В результате спектр открытых суперструн на самом деле становится калибровочным супермультиплетом, ибо два конца струны вместе объединяются в присоединенное представление калибровочной группы U(N) (после введения ориентифолдной плоскости можно получить нужную для сокращения калибровочных аномалий группу SO(32)).

Таким образом теория N совпадающих Dp-бран (точнее теория мирового объема этих бран) есть по сути D = p + 1 U(N) калибровочная теория поля. В случае D3-бран это D = 4 теория супер-Янга-Миллса. Так как это конформная теория, то отсюда CFT часть в названии соответствия.

Следует прокомментировать суперсимметричность такой теории. Dp-браны сохраняют половину суперсимметрий теорий суперструн типа-II (и потому собственно говоря являются BPS-объектами в первую очередь, откуда уже для них следует равенсто RR заряда и массы — натяжения), то есть 16 суперсимметрий. Соответственно получаем в случае D3-бран $${\cal N}=4$$, D = 4 теорию SYM. Однако, будучи конформно-инвариантной теорией, она содержит еще генераторы специальных конформных преобразований, которые в замыкании с 16 суперсимметриями дают 16  дополнительных суперсимметрий. Полная алгебра симметрий есть PSU(2, 2 | 4).

Как мы видим, группы симметрий совпадают с обоих сторон соответствия.

Переход от четырехмерной конформной теории поля к суперструнам в пятимерном пространстве AdS

Следуя Малдасене («TASI lectures on AdS/CFT») проведем следующее простое рассуждение. Допустим, у нас есть четырехмерная конформная теория поля, CFT4. Например, максимально суперсимметричная теория $${\cal N}=4$$ супер-Янг-Миллса. Эта теория обладает группой конформных симметрий SO(2, 4), которая в частности содержит в качестве подгруппы 4d группу Пуанкаре. Поэтому, если теперь мы хотим найти дуальную теорию струн в неком пятимерном (на одно пространственное измерение больше — следуя идее голографии, или точнее — по той простой причине что в четырех измерениях теория струн имеет конформную аномалию, а введение компенсирующего поля Лиувилля может интерпретироваться как дополнительное измерение) пространстве-времени, то метрика в нем должна уважать в первую очередь эту самую 4d Пуанкаре-симметрию. Репараметризацией пятой координаты z можно записать ее как

$$ds^2=w(z)^2(dx_{1+3}^2+dz^2).$$

Наконец, эта метрика должна уважать симметрию скейлинга, тоже являющуюся подгруппой четырехмерной конформной группы: x → λx. Тогда получаем z → λz и необходимо w = R/z. В результате получаем метрику AdS5 в координатах Пуанкаре:

$$ds^2=R^2\frac{dx_{1+3}^2+dz^2}{z^2}.$$

Конкретные расчеты

Аргументы в пользу истинности соответствия, приведенные выше, не приводят сами по себе к конкретным возможностям для вычислений (проверяемых экспериментально — сравнением наблюдений с расчетами столкновений тяжелых ионов с помощью методов квантовой гравитации (!) в пятимерном пространстве-времени AdS5). Таковые возникают после установления соответствия между стат. суммой теории гравитации в AdS5 и конформной теорией поля CFT4. Об этом в следующий раз.

Ключевые слова: суперсимметрия, D браны, конформная теория поля, гравитация, AdS/CFT | Комментарии (1)
Михаил Гойхман

Как посчитать число суперсимметрий, сохраняемых данной конфигурацией Dp-бран и M2-бран

18 февраля 2011 года, 23:06

Более ранние посты на эту тему можно найти здесь и здесь. Вопросы со стороны читателей побудили меня написать эту дополнительную заметку.

1. Итак, задача состоит в том, чтобы найти число суперсимметрий, то есть долю исходных суперсимметрий теории , которая сохраняется неким решением теории, представляющим собой определенную конфигурацию (мем)бран. При этом помимо решений типа «набор (мем)бран в плоском пространстве-времени» можно рассматривать еще решения типа «набор мембран в пространстве-времени, компактифицированном на Риччи-плоское многообразие». Сразу хочу заметить, что условие Риччи-плоскосности берется из того, чтобы такой вакуум удовлетворял уравнениям супергравитации в D = 10 (D = 11) пространстве-времени (для интересующихся — да, космологическая постоянная равна нулю, но если вы допускаете ненулевой поток RR полей через компактное многообразие (flux compactification, потоковая компактификация), то в некомпактной части генерируется космологическая постоянная).

2. Начну сразу с выводов, которые доказываются в остальной части этого поста. Существует несколько связанных друг с другом способов определить число сохраняющихся суперсимметрий:

  1. Прямой подсчет спиноров сохраняющихся данной конфигурацией Dp-бран. При этом используется формула (см. ниже) для суперсимметрий, сохраняющихся любой данной Dp-браной, и потом, с помощью этой формулы, анализируется какие спиноры удовлетворяют всем формулам одновременно.
  2. Использование того факта, что Dp-браны и M2-браны являются BPS-объектами. Это означает, что их масса равна центральному заряду (зарядам) алгебры суперсимметрий, что есть условие стабильности, как я доказал в пункте 4 здесь. В свою очередь условие BPS, как видно (см. ниже) из супералгебры, оставляет только половину суперзарядов, аннигилирующих данное решение, т.е. являющихся суперсимметриями. Комбинация условий для разных (мем)бран позволяет выяснить, какие суперсимметрии сохраняются всеми присутствующими (мем)бранами.
  3. Каппа-симметрия действия. Это то же, что имеется и в действии суперструны GS, и где она тоже снижает количество динамических фермионов. Однако в случае солитонных (мем)бран это условие позволяет воздействовать на половину всех компонент спинора, и потому супервариация половины компонент оказывется полностью компенсируемой каппа-преобразованием, то есть (мем)бранный солитон оказывется наполовину суперсимметричен.

Вс три условия, если подумать, имеют одну и ту же причину.

2. Не стоит ожидать, что данная конфигурация (мем)бран сохранит все исходные суперсимметрии. Исходные суперсимметрии — это:

  • $${\cal N}$$ = 2, D = 10 SUSY в теории суперструн типа-II (2×16 = 32 суперзаряда)
  • $${\cal N}$$ = 1, D = 10 SUSY в теории суперструн типа-I (16 суперзарядов)
  • $${\cal N}$$ = 1, D = 11 SUSY в одиннадцати-мерной супергравитации и M-теории (32 суперзаряда)

Хочу подчеркнуть, что указанные здесь суперсимметрии $${\cal N}$$ = 2 в D = 10 и $${\cal N}$$ = 1 в D = 11 — обе с 32 суперзарядами — являются максимально возможными суперсимметриями в природе, ибо порождают наиболее длинный диапазон проекций киральностей от −2 до +2 (до гравитона), не выходя при этом к высшим спинам.

3. Простейший пример нарушения числа суперсимметрий — это переход от теории суперструн типа-II к теории суперструн типа-I. Это то же самое что и переход от теории с только замкнутыми струнами к теории с и замкнутыми и открытыми струнами. Почему? Теория суперструн типа-II описывает динамику замкнутых струн, которые допускают 2 независимых граничных условия, в отличии от открытых струн. Действительно, в случае открытых струн мы имеем два независимых конца, на каждом из которых независимо должны выполняться граничные условия. В простейшем случае можно записать GS суперструну в калибровке светового конуса, где мы вообще говоря имеем два 8-компонентных М.-В. спинора S1, S2. Эти спиноры входят в действие суперструны через свободные Дираковские члены, поэтому инвариантность действия по отношению к SUSY требует выполнения граничных условий

$$S^1|_{\sigma=0}=S^2|_{\sigma=0}\,,\quad\quad S^1|_{\sigma=\pi}=S^2|_{\sigma=\pi},$$

как видите — независимых на концах струны. Каждый из двух М.-В. спиноров подвергается действию преобразований суперсимметрии с постоянными параметрами ε1 и ε2, соответственно. Но из-за граничных условий, а именно из требования их суперсимметричности, мы получаем условие ε1 = ε2, и потому теория, содержащая открытые струны, не может быть теорией суперструн типа-II, т.е. она не может быть $${\cal N}$$ = 2 суперсимметричной. В отличии от теории суперструн, содержащей содержащей только замкнутые струны. В такой теории мы просто имеем граничные условия

$$S^{1,2}(\sigma,\tau)=S^{1,2}(\sigma+\pi,\tau),$$

которые записываются независимо для обеих $${\cal N}$$ = 1 суперсимметрий, и потому обе подразумеваются независимо.

4. Какое отношение предыдущий пункт имеет к Dp-бранам? Пусть мы начинаем с теории суперструн типа-II, с 2×16=32 суперсимметриями, реализуемыми двумя Майорана-Вейлевскими 16-компонентными спинорами Q, Q′ десятимерной алгебры Дирака. Хорошо, тогда мы имеем право посмотреть, какой спектр у нашей теории. Посмотрим на самый нижний, безмассовый уровень. Мы получаем 64 бозонных степени свободы из мультиплета гравитации (гравитон, B2 и дилатон), 2×(56+8)=128 степеней свободы гравитино и дилатино и 64 бозонных состояния биспинорного происхождения. Эти биспинорные состояния разбиваются не неприводимые представления малой группы Лоренца (безмассовой группы стабильности SO(8)), являющиеся отдельными полями, p-формами Cp+1. В отличии от 64 гравитационных бозонных собратьев, взаимодействующих с фундаментальными струнами (просто создавая для них искривленный пространственно-временной фон), эти RR-поля не взаимодействуют с фундаментальными струнами таким нелинейно-сигма-модельным способом. Вместо этого они взаимодействуют с соответствующими Dp-бранами, прикрепляясь к их мировому объему:

$$S_{int}\sim\int C_{p+1}$$

Являются ли тогда Dp-браны дополнительными, независимыми от струн объектами, которые мы должны ввести руками для того, чтобы нашим RR-полям было с кем взаимодействовать? Напротив! Наше рассуждение как раз показывает, что Dp-браны — это продукт замкнутых струн. Действительно, подобное введение Dp-бран — как источника RR-полей — по сути означает, что Dp-браны взаимодействуют с окружающими объектами с помощью этих самых RR-полей, которые в свою очередь являются модами замкнутых струн. Таким образом все эффекты Dp-бран на фундаментальном уровне сводятся к замкнутым струнам, и потому Dp-браны сделаны из замкнутых струн.

Далее, Dp-браны, представляющие собой таким образом солитонные решения теории замкнутых струн, т.е. теории суперструн типа-II, являются, в силу своего механизма взаимодействия с RR-полями, протяженными объектами. Тогда их можно использовать как фиксатор граничных условий для открытых струн. Динамика открытых струн с фиксированными граничными условиями (условиями Дирихле) теперь обретает физический смысл и перестает нарушать закон сохранения импульса (симметрию трансляций). Колебания открытых струн теперь согласуются с «колебаниями» Dp-бран, к которым они прикрепляются. Тогда динамика Dp-бран есть динамика открытых струн, причем Dp-браны есть источники для замкнутых струн (источники для RR-полей, являющихся модами замкнутых струн).

Но подождите, откуда у нас взялись открытые струны? Ведь мы рассматривали теорию типа-II, а там разрешены только замкнутые струны. Однако, когда в нашей теории появились Dp-браны, нам потребовалось описывать их динамику. В силу сказанного в предыдущем абзаце это делается с помощью открытых струн, которые прикрепляются к этим бранам. Если у нас есть Dp-браны, то у нас необходимо есть открытые струны. И тогда суперсимметрия автоматически падает до $${\cal N}$$ = 1.

5. Как именно? Чтобы это уточнить можно воспользоваться T-дуальностью и начать с того случая, когда все открытые струны удовлетворяют граничным условиям Неймана. Это означает, что эти открытые струны просто оканчиваются на D9-бране, заполняющей все пространство-время. Число сохраняемых суперсимметрий при этом равно, очевидно Q+Q′ . Далее мы совершаем преобразование T-дуальности в неком компактном направлении. В результате в этом самом направлении граничные условия открытых струн становятся фиксированными условиями Дирихле, и потому происходит переход от исходной D9-браны к D8-бране: одно из пространственных измерений браны сворачивается в точку (на том самом компактном одномерном многообразии, вдоль которого мы совершили преобразование T-дуальности). И так далее. С помощью достаточного числа T-дуальностей можно получить любую Dp-брану. Конечно, вопрос в том, будет ли она стабильна в данной теории суперструн. Но у нас другая задача — даны стабильные  браны и нужно определить, сколько они сохраняют суперсимметрий. Когда мы совершаем преобразование T-дуальности в направлении ν, правый суперзаряд Q′ подвергается преобразованию (следствие суперсимметрии, а именно ковариантности преобразований суперсимметрии по отношению к T-дуальности)

$$Q'\rightarrow\Gamma\Gamma^\nu Q',$$

где $$\Gamma$$ — киральная матрица Дирака из D = 10 алгебры Дирака. Тогда после совершения 9−p преобразований дуальности мы получим следующий набор суперсимметрий, сохраняемых полученной в результате Dp-браной:

$$Q+\prod\beta^\nu Q',$$

где я обозначил βν=ΓΓν,  и произведение берется по всем 9-p направлениям, ортогональным Dp-бране.

С помощью выведенной формулы уже можно производить конкретные расчеты в D=10 теории суперструн и находить в результате число суперсимметрий, сохраняемых любой данной конфигурацией Dp-бран.

6. А как же M-теория? Там нет открытых струн. Там вообще нет струн. Фундаментальным объектом там является M2-брана и магнитно-сопряженная к ней M5-брана. Разумеется, при редукции к десятимерной теории должны вопроизводиться указанные выше результаты теории суперструн. Но число суперсимметрий можно также посчитать, исходя из требования суперсимметричности вакуумного решения теории, то есть найдя число суперзарядов, аннигилирующих вакуум D = 11 супергравитации, представляющий собой данную конфигурацию мембран.

Будем следовать лекциям P. Townsend «M-theory from its superalgebra».

В D=11 спиноры могут быть Майорановскими, но не могут быть Вейлевскими. В каком случае спиноры не могут быть Вейлевскими? В том если киральная матрица

$$\Gamma=\Gamma^0\Gamma^1\cdots\Gamma^{D-1}$$

пропорциональна единичной и потому не может разбить спинорное представление группы Лоренца не неприводимые представления разной киральности с помощью оператора проекции P = (1+Γ)/2. Именно такая сиуация имеет место в D = 3 тоже, где Γ0 = 2Γ1 = σ1, Γ2 = σ3, и в силу того, что произведение трех матриц Паули дает матрицу пропорциональную единичной (кватернионное свойство), киральную матрицу построить невозможно. В высших размерностях алгебры Дирака строятся грубо говоря прямым произведением алгебр из низшей размерности, поэтому нетрудно сделать вывод о том, что D = 11 допускает аналогичную ситуацию, что и D = 3. Так что киральную матрицу просто считаем равной единице.

Итак, мы имеем 32-компонетный Майорановский суперзаряд Qα, удовлетворяющий антикоммутационным соотношению алгебры суперсимметрии:

$$\{Q_\alpha,\,Q_\beta\}=(\Gamma^0\Gamma ^M)_{\alpha\beta}P_M.$$

Если у нас есть некое состояние, сохраняющее часть суперсимметрий, то это состояние необходимо безмассовое, что есть простейший пример насыщения BPS-ограничения. Действительно, сохранение части суперсимметрий данным состоянием означает то, что эта часть суперсимметрий не меняет данного состояния, что в свою очередь означает, что соответсвующие суперзаряды имеет данное состояние в качестве собственного состояния с нулевым собственным значением. Но тогда в силу алгебры суперсимметрии получаем, что матрица Γ·P вырожденная, поэтому ее детерминант равен нулю, следовательно P2 = 0. С помощью симметрии вращений пространства мы можем выбрать импульс центра масс системы равным

$$P_M=\frac{1}{2}(-1,\pm 1,0,\dots,0),$$

и в результате антикомматационное соотношение алгебры суперсимметрии запишется в виде

$$\{Q_\alpha,\,Q_\beta\}=\frac{1}{2}(1\mp\Gamma_{01})_{\alpha\beta}.$$

В результате мы заключаем, что только половина суперсимметрий, определяемых условием

$$\Gamma_{01}\varepsilon=\pm\varepsilon$$

являются симметрией данного решения D = 11 супергравитации.

Это универсальное рассуждение применимо в частности к решению супергравитации, являющимся M2-браной. Поэтому каждая M2-брана сохраняет половину суперсимметрий, получаемых проецированием исходного спинорного параметра суперсимметрии посредством оператора Pab = (1±Γab)/2, где Xa, Xb есть направления, в которых растягивается рассматриваемая солитонная M2-брана. Соответственно, если у нас есть несколько мембран, то необходимо подействовать произведением всех таких проекционных операторов на исходный параметр суперсимметрии ε.

Пример.

Допустим, у нас есть три M2-бран в направлениях (12), (34), (56). Число сохраняемых суперсииметрий таким солитонным решением D = 11 супергравитации равно 32/8 = 4, ибо это как раз число независимых компонент спинора

$$P_{12}P_{34}P_{56}\varepsilon$$

где 32 есть число компонент Майорановского спинора ε.

7. Можно ли провести связь между методом вычисления суперсимметрий по формуле для Dp-бран и указанным методом для M2-бран? Конечно же можно! Ведь рассуждение для D = 11 теории можно дословно переписать для Майорана-Вейлевских спиноров D = 10 теории. В результате мы получим совершенно тот же самый ответ. Действительно, вернемся опять к примеру из конца предыдущего пункта. Но на этот раз будем анализировать его методом Dp-бран. Т.е. суперзаряд, сохраняемый данной M2-браной с пространственными направлениями (ab), равен

$$Q+4\beta S^aS^bQ'.$$

В D=11 оба спинора Q, Q' Майорановские и равны друг другу, поэтому на самом деле имеем

$$(1+4\beta S^aS^b)Q.$$

Здесь (см. пример конкретного решения тутβ=β7β8β9β10, Sa2a-1β2a

Тогда ясно, что суперзаряды, сохраняемые всеми M2-бранами определяются условием

$$S^1S^2Q=S^3S^4Q=S^5S^6Q,$$

что в силу определения Sa можно переписать как

$$Q_p=P_{12}P_{34}P_{56}Q.$$

8. Действие для (мем)бран и аргументы с каппа-симметрией полностью формализуют все сказанное выше для описания системы вне массовой оболочки. Напомню сперва, что для равенства числа динамических бозонных и фермионных степеней свободы в теории суперструн Грина-Шварца, в теории Dp-бран и в M-теории вводится механизм калибрования части фермионных степеней свободы с помощью κ-симметрии. Возьмите, например, суперструну Грина-Шварца. Изначально она имеет 32 фермионные степени вободы, что есть сумма независимых компонент двух М.-В. спиноров в D=10. Мы знаем, что число динамических бозонных степеней свободы равно 8, что есть 10 координат таргет-пространства-времени минус 2 продольные и временные компоненты, исключаемые бозонными связями Вирасоро. Далее, уравнение Дирака сокращает число фермионных степеней свободы вдвое, оставляя нас с 16 фермионами. Однако, для суперсимметричности нам нужно убрать еще половину фермионов. Это достигается с помощью κ-симметрии. Чтобы действие было инвариантно относительно κ-симметрии нужно к обычному действию суперсимметричной сигма-модели, описывающей струну Грина-Шварца (или (мем)брану), добавить еще член Весса-Зумино, суперсимметричный сам по себе. В случае Dp-бран или мембран надо дабавить член Черна-Саймонса.

В результате действие Dp-бран и M2-бран (и суперструн) приобретает помимо суперсимметрии

$$\delta_\varepsilon\Theta=\varepsilon\,,\quad\delta_\varepsilon X^M=i\bar\varepsilon\Gamma^M\Theta$$

еще свойство инвариантности относительно локальной κ-симметрии:

$$\delta _\kappa\Theta=2P_+\kappa(\sigma)\,,\quad\delta _\kappa X^M=2i\bar\Theta\Gamma^M P_+\kappa(\sigma).$$ 

Здесь введен проекционный оператор

$$P_+=\frac{1}{2}\left(1+\frac{i}{6}\epsilon^{\alpha\beta\gamma}\partial_\alpha X^M\partial_\beta X^N\partial_\gamma X^P\Gamma_{MNP}\right),$$

где греческие индексы соответсвуют координатам, параметризующим мировой объем (мем)браны. В нашем случае мы выбираем статическую параметризацию, когда часть координат бозонного таргет-пространства параметризуют мировой объем (мем)браны. В результате для M2-браны в направлениях (ab) мы получим

$$P_+=\frac{1}{2}(1+\Gamma_{ab}),$$

т.е. ту же формулу для проекционного оператора, что и раньше. Осталось выяснить, почему именно этот проекционный оператор выделяет сохраняющиеся суперсимметрии. Фактически, это уже самоочевидно: данная конфигурация (мем)бран сохраняет суперсимметрии, если она инвариантна относительно действия этих суперсимметрий. Классический фон подразумевает равенство всех фермионов нулю, сохранение этого условия означает

$$(\delta_\varepsilon+\delta_\kappa)\Theta=\varepsilon+2P_+\kappa=0,$$

следовательно

$$P_-\varepsilon=0.$$

В свою очередь равенство нулю фермионов гарантирует инвариантность бозонного фона, т.е. самой пространственно-временной конфигурации. 

Ключевые слова: суперсимметрия, D браны, задачи, M-теория | Комментарии (1)
Михаил Гойхман

Пример нахождения суперсимметрий, сохраняющихся при данной конфигурации D-бран

17 февраля 2011 года, 01:06

Ранее я опубликовал задачу, в которой требовалось найти суперсимметрии, сохраняемые данной конфигурацией D-бран. В этом посте рассмотрим похожую задачу. А именно, найдем суперсимметрии сохраняемые конфигурацией D2-D6-NS5-KK; где D2-брана (индексуемая как объект 1) имеет продольные направления (49), D6-брана (объект 2) — (456789), NS5-брана (объект 3) — (45678) и KK возбуждение (объект 4) имеется в направлении 4.

Тогда суперсимметрии, сохраняемые D2-браной, даются выражением

$$Q_1 = Q + \beta \beta ^5 \beta ^6 \beta ^7 \beta ^8 Q' .$$

D6-браной:

$$Q_2 = Q + \beta Q'.$$

KK модой:

$$Q_4 = Q + \beta\beta^5 \beta^6 \beta ^7 \beta ^8 \beta ^9 Q' .$$

Здесь используется обозначение β = β1β2β3. При этом NS5-брана, будучи S-дуальным объектом к фундаментальной струне, сохраняет все суперсимметрии.

Далее введем 5 матриц S, строящих представление алгебры Дирака в D = 10 пространстве-времени (см. Polchinski, String Theory, vol. II, App. B):

$$2iS_a=\beta ^{2a}\beta ^{2a+1}$$

Тогда получим

$$Q_1=Q+8i\beta\beta ^4S_2S_3S_4\beta ^9 Q^{\prime},$$(1)

$$Q_2= Q+\beta Q^{\prime},$$(2)

$$Q_4=Q+8i\beta\beta ^4S_2S_3S_4 Q^{\prime}.$$(3)

Очевидно, что каждое из условий нарушает половину суперсимметрий исходной N = 2 суперсимметричной теории. Так что начнем с условия (3), которое нарушит половину суперсимметрий, и посмотрим, какие суперсимметрии тогда сохранят оставшиеся условия (1) и (2). Ясно, что согласованность (1) и (3) требует β9ζs = ζs, где ζs есть один из спиноров, сохраняющих суперсимметрию, то есть все спиноры мы параметризуем 5-компонентным вектором s, каждая из координат которого принимает значения ±½ (и в результате получаем 32-компонентные спиноры ζs, в частности Q = ∑Qsζs, Q′ = ∑Q′sζs), но нас интересуют только те спиноры, которые сохраняют суперсимметрию. Таким образом, количество суперсимметрий уменьшится еще вдвое. Наконец, согласованность (2) и (3) ограничивает число возможных значений ζs в совокупности с условием собственности спинора по отношению к матрице β4 до

$$(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},1),\;(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1),\;(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-1),\;(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},-1),$$

$$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1),\;(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1),\;(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1),\;(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1).$$

Ясно, что 16 возможностей урезаны до 8-ми, ибо теперь только одно собственное значение β4 соответствует данному набору (s1s2s3) вместо двух.

Вот так решаются задачи подобного характера.

Ключевые слова: задачи, суперсимметрия, D браны | Комментарии (9)