Заметки о теоретической физике → Ключевые слова → задачи

задачи

Михаил Гойхман

Дуальность Зайберга: сопоставление аномалий

28 мая 2013 года, 19:02

1. Будем иметь дело с N=1 суперсимметричной SU(N) калибровочной теорией поля с F киральными суперполями (кварками) Aif, f=1,...F, i=1,...N материи в фундаментальном представлении калибровочной группы, и F киральными суперполями (анти-кварками) Bjf, f=1,...,F,j=1,...,N в анти-фундаментальном представлении калибровочной группы SU(N). В том случае когда F>N+1, данная теория S-дуальна (т.е. если одна теория сильно-взаимодействующая, то дуальная теория слабо-взаимодействующая) другой калибровочной N=1 суперсимметричной теории поля с материей. Две дуальные теории эквивалентны в ИК режиме.

Дуальная теория поля имеет калибровочную группу SU(F-N). Полями материи являются киральные суперполя aif, f=1,...F, i=1,...F-N в фундаментальном представлении калибровочной группы, и киральные суперполя bjff=1,...,F,j=1,...,F-N в анти-фундаментальном представлении калибровочной группы SU(F-N). А также мезонное суперполе Mef, в фундаментальном представлении ароматной группы глобальной симметрии SU(F)L (индекс e) и анти-фундаментальном представлении ароматной группы SU(F)R (индекс f). Обратите внимание, что мезонное суперполе фундаментально, а не является композитным полем из двух кварков.

Зайберг-дуальность была показана Зайбергом в этой статье:

N. Seiberg, Electric-Magnetic Duality in Supersymmetric Non-Abelian Gauge Theories

Дуальные теории должны иметь одинаковую группу глобальных симметрий, свободную от аномалий. Группой глобальных симметрий является прямое произведение лево-киральной и право-киральной ароматных групп, группы барионного заряда и группы преобразований R-симметрии:

$$SU(F)_L\times SU(F)_R\times U(1)_B\times U(1)_R$$

Каждое киральное поле, Aif, живет в фундаментальном представлении ароматной группы SU(F)L, вращающей индекс f, и является синглетом группы SU(F)R. Каждое киральное анти-поле, Bif, будучи эквивалентным анти-киральному полю (эквивалентным посредством обычного комплексного сопряжения; комплексное сопряжение спинора четырехмерии меняет киральность спинора на противоположную; ну и очевидно что все заряды поля при этом тоже меняет знак, т.е. частица переходит в анти-частицу), живет в анти-фундаментальном представлении SU(F)R и является синглетом SU(F)L. Для киральных суперполей a и b дуальной теории ситуация аналогичная, но с анти-фундаментальным представлением SU(F)L и фундаментальном представлением SU(F)R; почему, будет ясно ниже, на примере сопоставления SU(F)L3 аномалии.

Далее, каждое киральное и анти-киральное суперполе обладает одним и тем же барионным U(1)B зарядом. Он выбирается из тех соображений чтобы (антисимметризованное) произведение N киральных/анти-киральных суперполей (барион, являющийся синглетом калибровочной группы) имело барионный заряд 1. Тогда в исходной теории поля A,B имеют U(1)B заряд 1/N, а в Зайберг-дуальной теории поля a,b имеют U(1)B заряд 1/(F-N). Мезонное суперполе M не имеет U(1)B заряда.

N=1 суперсимметричная теория обладает группой U(1)R R-симметрий, преобразующих координаты суперпространства. Ясно что киральное поле и киральное анти-поле материи должны иметь один и тот же R-заряд, т.к. они зависят от одних и тех же киральных координат суперпространства. Тогда анти-киральное поле имеет R- заряд, противоположный R-заряду кирального поля. В результате U(1)R симметрия киральна и потому потенциально является аномальной, и нам нужно позаботиться о том, чтобы вклад в аномалию от всех киральных полей теории сокращался. U(1)R заряд суперполей материи (равный (F-N)/F) находится именно из соображения сокращения киральной U(1)R аномалии. (Обратите внимание, что поля разной киральности приеобразуются относительно U(1)B одинаковым образом, так что барионная симметрия свободна от аномалий. Также, в силу специальности киральных групп SU(F)L и SU(F)R, т.е. в силу бесследовости их генераторов, эти группы также свободны от аномалий, см. Пескина-Шредера.)

2. Про аксиальную аномалию советую почитать где-то еще, к примеру в Пескине-Шредере. Касательно U(1)R кратко напомню что происходит, т.к. это имеет отношение к главной теме поста, обсуждаемой в следующем пункте. Глобалной симметрии U(1)R соответствует сохранющийся киральный ток

$$j_R^\mu (q)=\sum _aQ_a\psi_a^\dagger\gamma^\mu\psi_a$$

где суммирование производится по всем киральным фермионам с U(1)R зарядами Qa. Формула также неявно подразумевает суммирование по всем SU(N)  цветам, когда фермионы цветные.

Рассмотрим треугольную однопетлевую диаграмму, в одной вершине которой находится этот ток, а в двух других — калибровочные бозоны теории, в данном случае это SU(N) клей (картинка отсюда):

 

Киральнй ток находится в нижней вершине (с импульсом q). В данном случае обе диаграммы пропорциональны фактору

$$\Gamma^{mn}=\sum_aQ_a{\rm Tr}(T_{r_a}^mT_{r_a}^n)$$

помноженному на интергал по импульсу в петле, одинаковый для всех фермионов (не связанный с представлением калибровочной группы и U(1)R зарядом). Опять, суммирование идет по всем киральным фермионам: фермионы бегают в петле. Фермион ψa живет в представлении ra цветной группы SU(N) с генераторами Tm, m=1,...,N2-1.

Происхождение фактора Γmn легко понять. Фиксируем один фермион ψa и посчитаем его вклад в треугольную диаграмму. Во первых, когда этот фермион пробегает мимо нижней вершины диаграммы, где сидит ток jRμ(q), он выделяет только один член из суммы по всем фермионам в выражении для этого тока, и даиграмма получает множитель Qa. Когда фермион пробегает мимо любой из двух других вершин диаграммы, он выделяет генератор Tm калибровочной группы. Фермион живет в некотором представлении этой группы, т.е. предоставляется в нескольких цветах. Суммируете по цветам, и получаете в результате трейс произведения двух SU(N) генераторов.

Индекс представления r группы SU(N) определяется как

$$T(r)\delta^{mn}={\rm Tr}(T^mT^n)$$

Так что киральная аномалия есть просто сумма произведения заряда фермиона в треугольной петле на индекс представления калибровочной группы, в котором он живет, осуществленная по всей киральной материи:

$$A=\sum_aT(r_a)Q_a$$

Возвращаясь собственно к суперсимметричной КХД, которую мы рассматриваем, мы должны просуммировать по следующей киральной материи: F кваркам с R-зарядом

(F-N)/F-1=-N/F

(заряд фермионного компонентного поля в киральном суперполе на 1 меньше чем заряд самого суперполя, т.к. в выражении для суперполя фермионное поле сворачивается с координатой суперпространства), живущим в фундаментальном представлении (T=1/2),  столько же антикваркам с тем же зарядом и в том же представлении. Глюино имеет тот же R-заряд что и координаты суперпространства, т.е. (условно) 1, для него T=N: глюино живет в присоединенном представлении. Итак,

$$A=2F\frac{1}{2}\left(-\frac{N}{F}\right)+N=0$$

Упражнение для читателей: то же самое для Зайберг-дуальной теории. Напишите одну строчку, которая докажет что для следующих R-зарядов материи Зайберг-дуальной теории аномалия U(1)R равна нулю: дуальные кварковые суперполя с R-зарядом N/F и мезонное суперполе ;) с R-зарядом 2(F-N)/F.

3. Рассмотрим теперь треугольную диаграмму во всех вершинах которой находятся токи (калибруя соответствующую глобальную симметрию, можно считать что внешние линии изображают соответствующие, теперь взаимодействующие с токами, калибровочные бозоны), картинка из Википедии

Рассуждения аналогичны произведенным в предыдущем пункте. Обозначим генератор некой глобальной группы симметрии G как ta, a=1,...,rank(G). В каждой вершине диаграммы находится по такому генератору. В общем случае в каждой вершине помещаются токи разных групп глобальных симметрий. Или в части вершин помещаются токи глобальных симметрий, а в части — калибровочные бозоны группы локальных симметрий (как выше, с током R-симметрии и двумя глюонами). Мы рассмотрим все такие случаи. 

Вдобавок, как мы сделали выше, к диграмме нужно добавить похожую диаграмму с переставленными индексами двух вершин (если в обоих вершинах токи одной и той же группы). Допустим, некий фермион живет в представлении r группы G с генераторами tar, и обладают зарядом Q относительно преобразований G. Его вклад в диаграмму тогда равен (опять же, нужно домножить этот фактор на интегал по импульсу в петле, который одинаков для всех фермионов)

$$Q{\rm Tr}(t^a_r\{t^b_r,t^c_r\})=Qd^{abc}$$

Нужно просуммировать такие факторы для всех фермионов. Легко заметить симметричность dabc по перестановке (abc). Антикоммутатор, который обеспечивает эту симметричность (вместе с симметрией трейса по отношению к циклической перестановке матриц в нем), появляется из-за того, что, как я отметил, нужно просуммировать две треугольные диаграммы, с переставленными индексами в двух вершинах.

Отнормируем все факторы dabc на таковой в фундаментальном представлении группы G.

Обратите внимание на следующее важное отличие от предыдущего пункта. След здесь берется в представлении группы глобальной симметрии G, а не локальной цветной группы SU(N), как в пункте 2. Так что вклад каждого фермиона, надо домножить на N, учтя что в петле бегут фермионы со всеми цветами и дают при этот один и тот же вклад.

3.1. Скажем, возьмем группу G=SU(F)L и поместим токи G во все три веришны треугольника: во всех трех вершинах SU(F)L3 диаграммы (степень указывает на число вершин диаграммы с током указанной группы) находятся токи лево-киральной группы SU(F)L. В петле соответственно могут бегать только те фермионы, которые преобразуются под действием SU(F)L. Это лево-киральные кварки A, они живут в фундаментальном представлении группы SU(F)L. Каждый кварк имеет N цветов, диаграмма тогда равна N.

(Я просил обратить внимание на то от каких именно матриц мы берем след при вычислении диаграммы. В данном случае учет того что у нас есть несколько ароматов кварков осуществляется тем, что мы взяли след произведения матриц ароматной SU(F)L группы. Когда мы считали аномалию U(1)R тока в п.2 мы брали след произведения генераторов калибровочной группы, а учет наличия разных ароматов сводился к домножению на фактор 2F.)

Что насчет этой диаграммы в Зайберг-дуальной теории? В ней под действием SU(F)L преобразуются F-N цветов лево-киральных кварков, но они живут в анти-фундаментальном представлении SU(F)L, как отмечалось выше. Так что каждая вершина диаграммы дает фактор -1. Дуальные кварки тогда дают вклад в диаграмму, равный (-1)3(F-N)=N-F.

Далее, Зайберг-дуальная теория также содержит киральное суперполе мезонов Mef. Оно преобразуется в фундаментальном представлении группы SU(F)L. Фермионная компонента (мезино) этого суперполя бегает в треугольной петле. Мезонное поле не имеет цвета, но индекс f принимает F значений и синглетен по отношению SU(F)L (он, однако, преобразуется в анти-фундаментальном представлении SU(F)R). Для лево-киральной SU(F)L3 диаграммы мы просто суммируем по всем значениям этого индекса домножением диаграммы на фактор F. В результате мезино дает вклад F в аномальную диаграмму.

Полный вклад всей лево-киральной материи в лево-киральную SU(F)L3 аномалию равен N-F+F=N, такой же как и для исходной суперсимметричной КХД.

Упражнение для читателей: то же самое для SU(F)R3, обратите внимание на знаки.

3.2. Доказательство равенства аномалий является проверкой состоятельности дуальности. Зайберг-дуальность устанавливает эквивалентность двух суперсимметричных калибровочных теорий с материей в ИК режиме, а не при всех масштабах энергии. Но в ИК режиме теория, вообще говоря, сильно-взаимодействующая (в случае S-дуальности одна из них сильно-взаимодействующая), и мы не знаем какие там степени свободы: поля кварков и глюонов есть только свободные асимптотические состояния в УФ.

Однако в силу условия тХуфта о сопоставлении аномалий, аномалии в ИК (полученные суммированием по ИК фермионам в петле треугольной диаграммы) равны аномалиям в УФ (полученные, как мы это сделали, суммированием вкладов фундаментальных УФ фермионных степеней свободы в петлю). Так что если теории эквивалентны в ИК (как в случае Зайбрег-дуальности), то аномалии их УФ степеней свободы (кварков и глюонов) должны быть одинаковы, в силу условия тХуфта, что мы и проверям тут. (Вообще для двух теорий, связанных S-дуальностью, довольно удобно сразу проверить утверждаемую дуальность сопоставив аномалии: это одна из простейших непертурбативных проверок, применяемых также в AdS/CFT, см., к примеру, п.9 здесь.)

3.3. Теперь рассмотрим диаграмму, аналогичную таковой в п.2. Только теперь двумя внешними калибровочными бозонами будут не глюоны, а гравитоны. В принципе, подобная диаграмма может оказаться ненулевой если в вершине с током находится U(1) ток. Действительно, при суммировании по всем фермионам с одинаковым зарядом и в данном представлении группы глобальной симметрии в петле мы получаем что диаграмма равна следу генератора группы, т.е. нулю. (Гравитоны в двух других вершинах не дают никаких генераторов.) Если это одна из специальных унитарных групп, мы сразу получаем ноль.

Рассмотрим тогда U(1)R диаграмму: треугольную диаграмму в одной вершине которой находится U(1)R ток, а в двух других — гравитоны. Начнем с SU(N) теории. У нас есть F+F кварков с R-зарядом (F-N)/F-1=-N/F. Суммирование по всем цветам для данной диаграммы означает просто домножение на N. Далее, у нас есть N2-1 глюино с R-зарядом 1. Диаграмма в результате равна

$$2FN\left(-\frac{N}{F}\right)+N^2-1=-N^2-1$$

В гравитационном инстантонном фоне U(1)R заряд не сохраняется.

Теперь рассмотрим Зайберг-дуальную SU(F-N) теорию. У нас есть F+F кварков с R-зарядом (который читателю нужно было проверить в конце п.2.) равным N/F-1, и их вклад нужно помножить на количество F-N возможных цветов. У нас есть (F-N)2-1 глюино с R-зарядом 1. И у нас есть мезино с R-зарядом 2(F-N)/F-1. Мезино живет в фундаменталном представлении SU(F)L и анти-фундаментальном представлении SU(F)R. Для рассматриваемой U(1)R диаграммы это просто означает, что у нас F2 мезино, каждый из которых дает один и тот же вклад в аномалию. Суммируем:

$$2F(F-N)\left(\frac{N}{F}-1\right)+(F-N)^2-1+F^2\left(\frac{2(F-N)}{F}-1\right)=-N^2-1$$

Тривиальное упражнение для читателей: то же самое для U(1)B и двух гравитонов.

3.4. Рассмотрим теперь U(1)RSU(F)L2 треугольную диаграмму: в одной вершине имеется U(1)R ток, в двух других SU(F)L токи; нужно добавить также присутствующую в природе диаграмму в которой индексы присоединенного представления SU(F)L в двух SU(F)L вершинах переставлены. Две SU(F)L вершины дают фактор

$${\rm Tr}(T_r^mT_r^n)=T(r)\delta^{mn}$$

когда в петле бежит фермион в представлении r группы SU(F)L. Если этот фермион имеет R-заряд Q, то пробегая через вершину диаграммы с U(1)R током он цепляет фактор Q, так что вклад фермиона в диаграмму равен

$$QT(r)$$

Начнем с SU(N) теории. У нас имеется кварки в фундаментальном представлени SU(F)L, для которых T(r)=1/2 и R-заряд равен (F-N)/F-1=-N/F. Каждый кварк имеет N цветов, так что вклад  в диаграмму от кварка домножается на N. Больше никакие фермионы в петле такой диаграммы не бегают, так что U(1)RSU(F)L2 аномалия равна

$$N\frac{1}{2}\left(-\frac{N}{F}\right)=-\frac{N^2}{2F}$$

Теперь рассмотрим SU(F-N) Зайберг-дуальную теорию. У нас имеется кварки в анти-фундаментальном представлении SU(F)L («анти» в данном случае роли не играет: у нас две SU(F)L вершины, общий вклад «анти» от которых равен (-1)2=1), T=1/2; каждый кварк имеет R-заряд N/F-1 и существует в F-N цветах. Далее, у нас есть мезино в фундаментальном представлении SU(F)L, по фундаменталному SU(F)R индексу мезино мы суммируем в данной диаграмме путем обычного домножения на F. R-заряд мезино равен 2(F-N)/F-1. В результате, U(1)RSU(F)L2 аномалия Зайберг-дуальной теории равна

$$(F-N)\frac{1}{2}\left(\frac{N}{F}-1\right)+F\frac{1}{2}\left(\frac{2(F-N)}{F}-1\right)=-\frac{N^2}{2F}$$

Упражнение для читателей: то же самое для U(1)BSU(F)L2 аномалии.

3.5. Бонусные упражнения: сопоставить U(1)B3, U(1)R3, U(1)BU(1)R2 и U(1)RU(1)B2 аномалии :)

Ключевые слова: суперсимметричная теория поля, квантовая теория поля, суперсимметрия, задачи | Комментарии (2)
Михаил Гойхман

Решения задач из учебника K. Becker, M. Becker, J.H. Schwarz, String theory and M theory

11 декабря 2011 года, 18:20

Если вы инетересуетесь теорией струн, то вам может оказаться полезным следующий файл с решениями 154 задач из учебника String theory and M theory по теории струн (pdf, 729 Кб). Наслаждайтесь ;)

Ключевые слова: задачи | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Открытая струна со смешанными граничными условиями. Решение

10 декабря 2011 года, 20:51

Некоторое время назад я предложил задачу об открытой струне, удовлетворяющей разным граничным условиям на концах. В этом посте я покажу, как можно решить эту задачу.

Введение. Струна и граничные условия

Во-первых, напомню, что открытая струна со свободными (незакрепленными) концами должна удовлетворять граничному условию Неймана на этих концах. Так обычно начинается построение теории бозонной струны во всех учебниках по теории струн. Для напоминания рекомендую прочитать этот пост. Кратко: суть состоит в том, что условие стационарности действия бозонной струны дает волновое уравнение движения, но, кроме того, стационарность действия требует исчезновения граничных членов, получающихся при вариации действия. Граничные члены пропорциональны произведению δXμσXμ, и потому условие Неймана σXμ=0 в сочетании с уравнениями движения обеспечивает стационарность действия бозонной струны. Особенностью такого граничного условия является его Пуанкаре-ковариантность.

Однако альтернативным способом зануления граничных членов является фиксация концов струны. Тогда положение концов струны является данным  внешним условием, так что стационарность струнного действия с положением концов струны никак не связана, и мы имеем δXμ=0. Фиксированные граничные условия — это условия Дирихле. Физически струна прикрепляется к D-бране (D от Дирихле), которая держит конец струны зафиксированным. Такое граничное условие нарушает инварианость по отношениям к трансялциям той координаты, которая закреплена. Наличие D-браны делает такое нарушение физически обоснованным.

В принципе, разумеется, часть полей Xμ может удовлетворять граничному условию Дирихле, в то время как часть — более «стандартным» условиям Неймана. Стандартным — потому что не нужно думать о D-бране, которая бы держала конец струны. В простейшем случае пусть у нас имеется десятимерная струна с координатными полями на мировом листе Xμ(στ), причем поле Xудовлетворят граничному условию Дирихле, а все остальные поля — условию Неймана. Тогда в нашем пространстве-времени есть D8-брана, «перпендикулярная» девятому базисному вектору, и содержащая остальные 8 координат пространства как координаты своего мирового объема (отсюда 8 в обозначении «D8-брана»). Конец струны может свободно перемещаться по мировому объему D8-браны, так что все остальные граничные условия действительно неймановские. Для справки: если девятая координата компактифицирована на окружность, то можно совершить преобразование T-дуальности в этом направлении, при котором граничное условие Дирихле для X9 перейдет в граничное условие Неймана, в то время как все остальные граничные условия (Неймана) останутся нетронутыми, и спектр струны не изменится. Уничтожение граничного условия Дирихле означает, что D8 брана «поглотила» девятое направление (свернулась на этом направлении, wraps compact direction) и «превратилась» в D9-брану с мировым объемом, являющимся всем десятимерным пространством-временем. По-прежнему все открытые струны оканчиваются на бране, но в теперь нет ни одного направления, которое было бы перпендикулярно бране, и потому ни в каких направлениях нет граничного условия Дирихле.

Разложение по модам для открытой струны с разными типами граничных условий

Пусть (στ) есть координаты, параметризующие мировую поверхность струны, где σ периодична с периодом 2π. Совершим переход к евклидовому времени с помощью виковского поворота: τ → −, и представим мировую поверхность открытой струны как комплексную плоскость, параметризуя ее координатами $$(z,\bar{z})$$, определенными формулой

$$z=e^{\tau+i\sigma}$$.

Пусть открытая струна удовлетворяет граничным условиям Неймана на обоих концах, что мы будем обозначать как NN. Тогда разложение по модам для бозонного поля на мировой поверхности, являющегося координатой вложения струны в пространство-время, дается выражением

$$NN:\quad\quad~X^\mu(\sigma,\tau)=x^\mu+2\alpha'p^\mu\tau+i\sqrt{2\alpha'}\sum_{n\ne0}\frac{1}{n}\alpha_\mu^{~n}e^{-in\tau}\cos n\sigma.$$

После Виковского поворота и перехода к комплексным координатам это выражение принимает вид

$$NN:\quad\quad~X^\mu(z,\bar{z})=x^\mu -i\alpha'p^\mu\ln z\bar{z}+i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{n\ne 0}\frac{1}{n}\alpha_\mu^{n}(z^{-n}+\bar{z}^{-n}).$$

Производная по координате на мировой поверхности связана с производными по (голоморфным и антиголоморфным) комплексным координатам формулой

$$\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}=i(z\partial X^\mu-\bar{z}\bar\partial X^\mu),$$

так что легко убедиться, что NN выражение действительно удовлетворяет условиям Неймана на обоих концах.

Дальше мы просто обобщаем этот результат на другие виды граничных условий. Постольку поскольку открытая струна вообще говоря ориентирована (имеет заряды унитарной калибровочной группы противоположных знаков на разных концах, хотя суперструны типа I неориентированны, ибо калибровочная группа необходимо должна быть SO(32) — вещественная), то граничные условия DN (условие Неймана на конце σ = π и отсутствие осцилляций, выражающее условие Дирихле, на конце σ = 0) и ND (наоборот) вообще говоря разные, хотя в конечное выражение для нулевой энергии будет входить сумма ν числа граничных условий DN+ND:

$$DN:\quad\quad X^\mu(z,\bar{z})=i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{r\in Z+1/2}\frac{1}{n}\frac{\alpha_\mu^r}{r}(z^{-r}-\bar{z}^{-r})\,,$$

$$ND:\quad\quad X^\mu(z,\bar{z})=i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{r\in Z+1/2}\frac{1}{n}\frac{\alpha_\mu^r}{r}(z^{-r}+\bar{z}^{-r})\,.$$

Если оба конца удовлетворяют условию Дирихле, то решение волнового уравнения для струны дается выражением:

$$DD:\quad\quad X^\mu(z,\bar{z})=-i\frac{\delta X^\mu}{2\pi}\ln(z/\bar{z})+i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{n\ne 0}\frac{1}{n}\alpha_\mu^{~n}(z^{-n}+\bar{z}^{-n})\,.$$

Далее, имеются разложения по модам для фермионных полей из R сектора и NS сектора, которые я приводить не буду. Для целей данной задачи имеет смысл помнить о следующих вещах. В RNS суперструне у нас есть 10 двухкомпонентных фермионов на мировой поверхности. Каждая из двух компонент соответствует одной из двух киральностей d=2 спинора, и рассматривается как независимое фермионное поле на мировой поверхности. Уравнение движения для каждого из этих полей есть приведенная форма уравнения Дирака. Помимо уравнений движения необходимо наложить граничные условия, чтобы RNS действие было стационарным. Оказывается, что эти граничные условия связывают фермионные поля противоположных киральностей на концах струны. Существует два типа граничных условий. В первом случае, R секторе RNS суперструны,  граничные условия одинаковы на обоих концах. Во втором случае, NS секторе, граничные условия имеют противоположный знак. Как обычно, граничные условия определяют то, по каким типам мод раскладывается решение уравнения движения. Как объясняется, например, в параграфе 4.4 (стр. 122-123) рекомендуемой книги K. Becker, M. Becker, J.H. Schwarz String theory and M theory (BBS), для R сектора моды целые, а для NS сектора — полуцелые.

Нулевая энергия

Нулевая энергия возникает как константа нормального упорядочивания в выражении для L0 коэффициента ряда Лорана

$$T(z)=-\frac{2}{\alpha'}\,\partial X\cdot\partial  X=\sum_n\frac{L_n}{z^{n+2}},\quad\tilde{T}(\bar{z})=-\frac{2}{\alpha'}\,\bar\partial X\cdot\bar\partial X=\sum_n\frac{\tilde{L}_n}{{\bar{z}}^{n+2}}$$

для тензора энергии-импульса (ТЭИ). В случае суперструны в ТЭИ дают вклад как бозонные поля — координаты вложения, так и фермионные поля — спиноры в D = 10 измерениях в формализме Грина-Шварца, или D спиноров на d = 2 мерном мировом листе в RNS формализме. Будем работать в RNS формализме. Удобно то, что для того, чтобы посчитать нулевую энергию, нужно знать полевой состав, и какие поля раскладываются по целым модам, а какие по полуцелым. Зная нулевую энергию для каждого типа моды можно посчитать нулевую энергию всей системы.

По целым модам раскладываются фермионы из R сектора, а также NN и DD бозоны. Фермионы из NS сектора, и ND, DN бозоны раскладываются по полуцелым модам. 

Регуляризация бесконечных сумм

Чтобы продолжить с вычислением нулевой энергии, нужно знать, как регуляризовать бесконечные расходящиеся суммы. Выше мы уже отметили, что нулевая энергия возникает когда мы выполняем нормальное упорядочивание в выражении для L0. Схематически, это выглядит как

$$L_0\sim\sum_n\alpha_{-n}\alpha_n\,,$$

причем αn с положительным n есть оператор рождения струнной моды, а с отрицательным — уничтожения. Нормальное упорядочивание подразумевает, что все операторы рождения должны стоять слева от операторов рождения, так что естественно, что при всех отрицательных n в сумме, нам нужно переставить операторы αn и  αn. В квантовой теории коммутатор этих двух операторов равен n, так что мы автоматически получаем бесконечную сумму, равную ζ(−1), где ζ-функция Римана дается выражением

$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty~n^{-s}\,.$$

Регуляризованное выражение для нее есть

$$\zeta (-1)=-\frac{1}{12}\,.$$

Далее, введем сумму четных чисел

$$S_{even}=\sum _{n=0}^\infty 2n=2\zeta (-1)=-\frac{1}{6}\,,$$

которая позволяет посчитать сумму нечетных чисел

$$S_{odd}=\sum _{n=0}^\infty (2n+1)=\zeta (-1)-S_{odd}=\frac{1}{12}\,.$$

Вычисление нулевой энергии

Сумма нечетных чисел полезна, когда мы считаем вклад полуцелых мод в нулевую энергию

$$a_{bos\,ND,\,DN}=-\frac{1}{2}\sum _{r\in Z+\frac{1}{2},\,r>0}r=-\frac{1}{4}S_{odd}=-\frac{1}{48}\,.$$

Из выражения для ζ(−1) мы заключаем, что каждая NN бозонная мода дает вклад 1/24 в нулевую энергию, и, ясно, что то же самое верно для DD бозонов. Также известно, что NS фермионы в NN и DD направлениях дают вклад 1/48, как в полностью NN теории (см. стр. 134 BBS), а R фермионы дают вклад −1/24.

Вспоминим, что требование суперсимметрии налагает условие нулевой энергии в R секторе всегда. Например, если все бозонные поля удовлетворяют NN граничным условия, то тогда нулевая энергия, равная сумме вкладов восьми (D − 2 = 8) бозонов и восьми фермионов, в R секторе равна $$\inline 8\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{24}\right)=0$$. Заметим, однако, что если в каком то направлении бозонное поле удовлетворяет ND или DN граничным условиям, то каждая бозонная мода дает вклад в нулевую энергию −1/48, как мы нашли выше, считая регуляризованную сумму нечетых чисел. Поэтому, чтобы в R секторе нулевая энергия по-прежнему равнялась нулю, необходимо, чтобы каждый R фермион в ND или DN направлении имел нулевую энергию 1/48, как NS фермион. Таким образом, в ND и DN направлениях R фермионы определяются (разложением по модам, или, эквивалентно, соотношением между граничными условиями на обоих концах) как NS фермионы в NN и DD направлениях. Для сохранения состава бозонных и фермионных степеней свободы необходимо также сделать противоположную вещь: определить NS фермионы в ND и DN направлениях как R фермионы в NN и DD направлениях.

Суммируя последний запутанный абзац, получаем, что  NS фермионы в DN, ND направлениях дают вклад −1/24 в нулевую энергию, в то время как R фермионы дают вклад 1/48. Тогда нулевая энергия в NS секторе дается выражением

$$a_{NS}=(8-\nu)\left(\frac{1}{24}+\frac{1}{48}\right)+\nu\left(-\frac{1}{48}-\frac{1}{24}\right)\,.$$

Иными словами, массовая формула для струнных возбуждений в NS секторе есть

$$\alpha 'M^2=\text{oscillators}+\frac{\nu}{8}-\frac{1}{2}\,.$$

Об актуальности этой задачи

Задача о нулевой энергии открытой струны важна в силу следующей простой причины. Всякая (правильная) теория поля, описывающая какие бы то ни было поля материи или калибровочные поля, является эффективной теорией для мод колебаний струны. Струна сама по себе имеет, как мы знаем, бесконечно много осцилляторных состояний, но расстояние между этими состояниями по энергетической шкале очень велико, поэтому как правило все сводится к тому, чтобы взять низшее колебательное состояние струны и построить эффективную теорию для него. Низшее состояние имеет энергию, равную нулевой энергии, вычислением которой мы занимались в этой задаче. Так что нужно позаботиться о том, чтобы это низшее состояние было «хорошим». Во-первых, лучше, чтобы оно не было тахионным, т.е. чтобы нулевая энергия была неотрицательной. Во-вторых, фермионный сектор (R сектор) всегда имеет нулевую энергию, равную нулю, так что эффективная теория всегда содержит безмассовые фермионы. Если мы хотим, чтобы теория была суперсимметричной, нулевая энергия в бозонном секторе тоже должна быть равна нулю. Если же мы хотим «отодвинуть» все бозоны в область высших энергий, желая получить из теории струн низкоэнергетическую теорию поля только для фермионов, тогда мы должны устроить все так, чтобы нулевая энергия бозонного сектора была положительной.

Альтернативно, суперсимметричность построенной конфигурации D бран может изучаться прямо с помощью выражения для супергенераторов, сохраняемых каждой конкретной D браной. Мы это обсуждали здесь, здесь и здесь.

Ключевые слова: задачи, открытая струна | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Нулевая энергия открытой струны со смешанными граничными условиями

7 августа 2011 года, 13:28

Рассмотрим открытую RNS суперструну с бозонными координатами $$X^\mu~(\sigma,\tau)$$ пространства вложения и фермионными полями $$\psi~^\mu~(\tau,\sigma)$$ на мировой поверхности суперструны. В обычном RNS формализме бозонные поля удовлетворяют граничным условиям Неймана на обоих концах, т.е. $$\partial~_\sigma~X^\mu~|_{\sigma=0,\pi}=0$$ (и потому раскладываются по целым модам), а фермионные поля удовлетворяют двум типам граничных условий. Первый – это $$\psi~^+|_\pi=-\psi~^-|_\pi$$, второй – это $$\psi~^+|_\pi=+\psi~^-|_\pi$$.  Соответственно в первом случае строится NS сектор RNS суперструны, в котором фермионные поля раскладываются по полуцелым модам, а во втором случае  -R сектор, в котором фермионы раскладываются по целым модам.

Можно рассматривать бозонные поля с граничными условиями Дирихле на обоих концах (т.е. оба конца закреплены). В этом случае бозонные моды тоже целые. Можно рассматривать смешанные граничные условия – DN или ND. В этом случае моды полуцелые.

Инвариантность действия суперструны по отношению к трансляциям мирового времени приводит к сохранению Гамильтониана. Гамильтониан является нулевой компонентой L0 разложения тензора энергии-импульса в ряд Лорана: $$\inline T(z,\bar z)=\sum _nL_n\left(\frac{1}{z^{n+2}}+\frac{1}{\bar z^{n+2}}\right)$$. Мы подставляем разложение бозонных и фермионных полей по модам в определение ТЭИ и получаем выражение для L0 как бесконечную сумму произведений операторов рождения и уничтожения возбуждений бозонных и фермионных полей. Они должны быть нормально упорядочены и после этого приравнены к нулю – как условие инвариантности по отношению к трансляциям для физических квантовых состояний струны. Посмотрите (4.103) и (4.109) (учебника Becker, Becker, Schwarz String theory and M theory), где фигурирует константа нормального упорядочивания aNS = 1/2 для NS сектора, в то время как для R сектора она равна нулю (последнее является также следствием того, что состояние суперсимметрично и потому аннигилируется модами Лорана для супертока, в тов время как нулевая мода в квадрате дает как раз нулевую моду Лорана для ТЭИ - см. BBS самый низ страницы 127). Цитируемые формулы записаны как массовые формулы для колебаний струны с Неймановскими граничными условиями. Поэтому константа упорядочивания aNS является энергией нулевых возбуждений (регуляризованной, в отличии от бесконечности в случае гармонического осциллятора). Про регуляризацию бесконечных  сумм можно почитать на сайте Любоша Мотла.

Задача

Пусть открытая RNS суперструна имеет n координат, удовлетворяющих смешанным граничным условиям на концах. Выведите энергию нулевых возбуждений NS сектора в этом случае (для R сектора она по-прежнему равна нулю). Учтите требование суперсимметрии для некоторых подобных возбуждений (не всех, ибо не все конфигурации  D-бран, обеспечивающих такие граничные условия, сохраняют хотя бы часть суперсимметрии).

Ключевые слова: задачи, открытая струна | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

DBI действие для D3-браны и AdS/CFT соответствие

31 марта 2011 года, 20:13

Продолжим изучение AdS/CFT соответствия. В этом посте продолжим изучать аспекты описания действия для D3-браны, геометрии решения D = 10 супергравитации, являющегося черной 3-браной, и как все это связано с AdS/CFT соответствием. Некоторые вещи повторю из того, что уже было ранее в вводном посте про AdS/CFT, но под несколько иным углом и подробнее.

1. В первом посте про AdS/CFT я уже показал, что = 10 супергравитация имеет решение, представляющее собой прямой аналог черной дыры Рейснера-Нордстрема, т.е. заряженной черной дыры. Это решение есть черная p-брана. Ясно из соображений симметрии, что постольку поскольку исходная симметрия плоского десятимерного пространства-времени образует группу Лоренца SO (1, 9), то p-брана оставляет SO (1, p) × SO (9 − p) симметрий, в то время как остальная часть бозонных симметрий группы Лоренца оказывается спонтанно нарушенной. Симметрия SO (9 − p) есть просто аналог сферической симметрии черной дыры. Например, в = 4 пространстве-времени 9 надо заменить на 3 (число пространственных измерений), а p на 0, в результате получаем известную SO (3) симметрию геометрии статической черной дыры.

2. Далее рассмотрим вопрос в том, сколько суперсимметрий сохраняет черная p-брана. В теории суперструн типа-II, с которой мы имеем здесь дело, мы начинаем с = 2,= 10 суперсимметрии, то есть с 2 × 16 = 32 суперзарядов. Как известно (см. задачи здесь и здесь), Dp-брана сохраняет половину исходных суперсимметрий, так что мы остаемся с 16 суперзарядами. Теперь вопрос в том, сколько симметрий сохраняет черная p-брана. Если отождествить экстремальную черную p-брану и Dp-брану, то есть если считать, что Dp-брана (введенная как носитель RR-заряда, источник замкнутых струн и объект, на котором могут заканчиваться открытые струны) на самом деле также является сферически-симметричным и заряженным решением уравнений супергравитации, то вывод о половине сохраняемых суперсимметрий Dp-браны на языке p-браны переформулируется в терминах экстремальности этого решения. Тут опять вспоминаем про черную дыру Рейснера-Нордстрема. Существует три вида соотношения между ее массой и зарядом. В подходящих единицах масса либо равна заряду (и тогда черная дыра называется экстремальной), либо больше заряда (тогда — неэкстремальной). Если масса меньше заряда, то черная дыра имеет голую сингулярность и запрещена принципом космической цензуры Пенроуза (сформулированным им для нашей D = 4 космологии, и как я слышал, :) недавно опровергнутым контрпримером в D = 3), который гласит, что унитарная космологическая эволюция не может породить из обычного исходного состояния некое состояние с голой сингулярностью, которое таким образом будет приводить к непредсказуемой эволюции. Так или иначе, оказывается, что если посчитать температуру излучения Хокинга для экстремальной черной дыры, то она окажется равной в точности нулю. Это означает, что такая черная дыра не испаряется.

3. Прокомментируем этот момент подробнее. Для начала нужно вспомнить, как описывать квантовые объекты термодинамическим образом. Если у нас есть изолированная квантовая система, то ее эволюция определяется уравнением Шредингера. Допустим, что наша квантовая система находится в состоянии термодинамического равновесия, например черная дыра и ее равновесное планковское излучение с температурой Хокинга. Теперь нужно провести связь между этими двумя аспектами описания системы. Для этого вспомним, что амплитуда перехода системы из одного состояния в другое определяется фейнмановским интегралом по путям. Записанная так амплитуда является статистической суммой системы (пока что используем этот термин без отношения к термодинамике):

$$Z=\int {\cal D}\phi e^{-iHT}.$$

Тут система переходит из начального состояния в момент времени = 0 в конечное в момент времени = T. Наша система просто переходит из одного своего макроскопического состояния в то же самое состояние по всем возможным путям. Если считать статсумму уже с термодинамическими целями, то нужно просуммировать по всем этим стационарным состояниям:

$$Z=\sum _ne^{-\beta E_n}=\sum _n\langle n|e^{-\beta H}|n\rangle .$$

Теперь замечаем, что среднее от экспоненцированного гамильтониана есть просто амплитуда перехода из одного состояния в то же самое состояние, определяемый квантовой статсуммой за время = −i/β, или евклидово время T = 1/β. Таким образом, чтобы посчитать обычную термодинамическую статсумму, можно позволить системе проэволюционировать между одним и тем же стационарным состоянием за время, равное температуре (в подходящих единицах), и просуммировать по всем этим стационарным состояниям. Термодинамическая статсумма оказывается при этом в точности равной фейнмановскому интегралу по траекториям за конечное время = 1/β, после суммирования по всем начальным (совпадающим с конечными) состояниям.

Итак, если мы имеем некую квантовую физическую систему, то ее температура равна периоду ее евклидова времени. Как получить этот период? Возьмем, например, евклидову шварцшильдову черную дыру в сферически симметричных координатах. Введем координату вблизи горизонта: r = rH(1 + ρ2). Метрика при малых ρ примет вид

$$ds^2\sim 4r_H^2\left(d\rho ^2+\rho ^2\left(\frac{d\tau}{2r_H}\right)^2+\frac{1}{4}d\Omega _2^2\right).$$

Самое главное, что мы видим из этой метрики четырехмерного евклидова пространства, так это то, что время периодично с периодом β = 4πrH.

Однако, если взять метрику заряженной экстремальной черной дыры Рейснера-Нордстрема и применить к ней вышеописанную процедуру, то окажется, что период Евклидова времени равен бесконечности, а потому температура — нулю. Это есть содержание задачи 11.5 BBS.

4. Стабильность имеет прямое отношение к равенству массы и заряда, которое делает невозможным одновременный распад дыры и сохранение заряда и энергии-импульса. В то же время равенство массы и заряда есть BPS-условие для Dp-браны, как я тоже писал в первом посте про AdS/CFT, так что стабильность Dp-браны, или экстремальной черной p-браны, имеет также прямое отношение к сохранению половины суперсимметрий пространства-времени.

Будем следовать параграфу 11.2 книги E. Kiritsis «String Theory in a Nutshell» (сайт с халявными книгами перестал работать, возможно временно, так что если нужна книга, напишите об этом в комментариях). Упростим рассмотрение там до очевидного примера. Начнем с суперсимметричной частицы массы M и заряда q, насыщающей BPS-ограничение, то есть = q. Пусть эта частица распадается на составляющие части с массами mi и зарядами qi. Если частицы разлетаются (как в излучении Хокинга), то

$$M>\sum m_i.$$

При этом BPS-ограничение на каждую конечную частицу и BPS условие для исходной частицы дают

$$q>\sum q_i,$$

в противоречии с законом сохранения заряда. В цитированной книге не накладывается условие необходимости разлета частиц, а используются более тонкие аргументы с особенностями фундаментальных значений модулярного параметра суперсимметричной теории, присутствующем в формуле для BPS ограничения.

Действие Борна-Инфелда

Рассмотрим Dp-брану в некотором пространственно-временном фоне с метрикой gμν. Пусть σα есть координаты мирового объема Dp-браны, поэтому α = 0, ..., p. Запишем действие Намбу-Гото для Dp-браны, максимизирующее мировой объем:

$$S_1=-T_{Dp}\int d^{p+1}\sigma[-\det(G_{\alpha\beta}+kF_{\alpha\beta})]^{1/2}.$$

В формуле фигурирует индуцированная метрика на мировом объеме: Gαβ = gμναXμβXν. Ясно, что динамическими полями являются координаты вложения Xμ, которые полностью определяют метрику на бране. Далее в формуле фигурирует Максвелловский тензор напряженностей Fαβ. Замечу, что в действии Намбу-Гото для струны, которое эквивалентно действию Полякова, такого объекта нет. Это связано с тем, что на струне Полякова (называемой фундаментальной струной, или F-струной) не могут оканчиваться другие струны, в то время как на одномерной D1-бране (называемой D-струной) — могут по определению D-браны. Почему D-брана содержит Максвелловское поле на мировом объеме, а фундаментальная струна нет? Есть несколько способов ответить на этот вопрос, и один из них — требование суперсимметрии (p + 1)-мерной теории, а именно — для обеспечения восьми физических бозонов (ибо мы уже имеем 8 физических киральных фермионов), что образует максимально-суперсимметричную теорию Максвелла с 16 сохраняющимися суперзарядами. Но мы пока не ввели суперсимметрию для описания Dp-браны. На бозонном уровне главная причина наличия Максвелловского поля есть T-дуальность. На самом деле именно благодаря T-дуальности мы генерируем низкоразмерные Dp-браны (т.е. не D9-брану, заполняющую все пространство-время и гарантирующую Неймановские условия для открытых струн по всем координатам), стартуя из Неймановских открытых струн. Поэтому многие свойства Dp-бран связаны именно с T-дуальностью. И наличие Максвелловского поля на мировом объеме — одно из них. Действительно, совершив преобразования T-дуальности по всем p направлениям вдоль Dp-браны, то есть по всем направлениям в которых граничные уловия Неймановские, мы свернем все эти направления и получим D0-брану. Теперь все граничные условия есть граничные условия Дирихле. Вопрос в том, в какую именно точку прежнего (p + 1)-мерного мирового объема осядет D0-брана? То есть, как в прежнем, до-дуальном описании Dp-браны, содержится информация об этой точке. Ясно, что ответ — это наличие некоторого поля на мировой поверхности, а именно — абелева векторного поля Aα. Абелева — потому что соответствует коммутирующим координатам, векторного — потому что соответствует координатам в векторном представлении группы Лоренца на мировом объеме.

Теперь наконец можно перейти к суперсимметричной теории. Также как и в теории суперструн Грина-Шварца (см. начало главы 5 BBS, если интересны детали) сделаем замену

$$\partial_\alpha X^\mu\rightarrow\Pi_\alpha ^\mu=\partial_\alpha X^\mu-\bar\Theta^A\Gamma^\mu\partial_\alpha\Theta^A,$$

где ΘA (A = 1, 2) есть 16-компонентные Майорана-Вейлевские спиноры десятимерного пространства-времени. Следующий этап суперсимметризации — это переход

$$F_{\alpha\beta}\rightarrow{\cal F}_{\alpha\beta}=F_{\alpha\beta}+b_{\alpha\beta},$$

где

$$b=(\bar\Theta^1\Gamma_\mu d\Theta ^1-\bar\Theta^2\Gamma_\mu d\Theta^2)(dX^\mu-\frac{1}{2}\Bar\Theta^A\Gamma^\mu d\Theta^A).$$

Каждая из величин Gαβ и Fαβ теперь суперсимметрична относительно 32 суперзарядов. Так что пока это еще не вполне Dp-брана, она слишком суперсимметрична для того, чтобы 16-суперсимметричные открытые струны могли на ней заканчиваться. Второй член, снижающий количество сохраняемых суперсимметрий до 16-ти, есть член Черна-Саймонса, удобно записываемый как интеграл по (p + 2)-мерному пространству M, содержащему мировой объем WV рассматриваемой Dp-браны в качестве своей границы, от формы dΩp+1:

$$S_2=\int\limits_Md\Omega_{p+2}=\int\Omega_{WV}.$$

Этот член суперсимметричен сам по себе, однако с его наличием полное действие приобретает κ-симметрию, делающую половину фермионных координат калибруемыми. В результате в мировом объеме Dp-браны остается 16 суперсимметрий, и любая теория суперструн (или супергравитации), записанная в метрике, создаваемой Dp-браной, будет содержать 16 спонтанно нарушенных суперсимметрий.

В бозонной теории член S2 переходит просто в

$$S_2=\mu_{p+1}\int C_{p+1},$$

где Cp+1 есть RR-поле, а μp+1 — соответствующий RR-заряд. Подчеркну, что для перехода к классическим теориям именно такое действие и рассматривается, ибо весь фермионный фон кладется равным нулю.

Напоследок замечу, что построенное действие называется DBI действием (помимо Борна и Инфелда — еще Дирак).

Практика

Задача (12.9 из BBS).

Рассмотрим действие Борна-Инфелда для одной пробной D3-браны в AdS5×S5 фоне. Покажите, что когда метрика выражается в терминах координаты u = r/α′, зависимость от α′ аннулируется. Каково значение этого результата?

Хорошо, как мы знаем, SO (1, 3) × SO (6) симметричная метрика экстремальной черной p-браны вблизи горизонта дается выражением

$$ds^2\sim\left(\frac{r}{R}\right)^2dx\cdot dx+\left(\frac{R}{r}\right)^2dr^2+R^2d\Omega_5^2.$$

Эта же метрика может представляться как результат искривления геометрии стопкой из N D3-бран, тогда R4 = 4gs2 (см. BBS (12.28), (12.29)) В принципе количество бран просто дает выражение для заряда, с точки зрения влияния только на геометрию. С точки зрения теории мирового объема, или теории открытых струн, которые прикрепляются к бранам из стопки, мы конечно получаем еще U(N) калибровочную группу теории поля в мировом объеме.

(Эта же метрика оказывется метрикой пространства-времени AdS5×S5, что легко видно введением координаты R2/r:

$$ds^2=R^2\frac{dx\cdot dx+dz^2}{z^2}+R^2d\Omega_5^2.$$

В принципе, мы это уже обсуждали в первом посте про AdS/CFT.)

Итак, мы имеем пространственно-временную метрику

$$g_{\mu\nu}=\text{diag}\left\{-\left(\frac{r}{R}\right)^2, \left(\frac{r}{R}\right)^2,\left(\frac{r}{R}\right)^2, \left(\frac{r}{R}\right)^2, \left(\frac{R}{r}\right)^2,R^2g_{ij}\right\},$$

где gij обозначает метрику единичной сферы, а также оба AdS5 и S5 имеют одинаковый радиус R. Обозначим f = R4/r4. Если мы хотим построить DBI действие для пробной D3-браны в AdS5 × S5 фоне то во первых мы должны совершить pullback этой фоновой метрики на мировой объем D3-браны. Так как фон зафиксирован, мы можем выбрать статические координаты для параметризации мирового объема D3-браны. Мы также должны принять во внимание возможность движения D3-браны по r координате и на сфере S5. Поэтому pullback фоновой метрики на мировой объем D3-браны выглядит следующим образом:

$$g_{\alpha\beta}=f^{-1/2}\eta _{\alpha\beta}+f^{1/2}\partial_\alpha r\partial_\beta r+r^2f^{1/2}g_{ij}\partial_\alpha\theta^i\partial _\beta\theta ^j$$

где я обозначил координаты 5-сферы как θi. Бозонная часть DBI действия выведена выше, и именно ей мы будем пользоваться. Натяжение равно

$$T_{D3}=\frac{1}{(2\pi)^3\alpha ^{\prime 2}g_s},$$

как следует из BBS (6.115). В результате получаем действие

$$S_1=-\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}\int d^4xf^{-1}\sqrt{-\det\left(\eta_{\alpha\beta}+f\partial_\alpha r\partial_\beta r+r^2fg_{ij}\partial_\alpha\theta^i\partial_\beta\theta^j+2\pi\alpha'\sqrt{f}F_ {\alpha\beta}\right)}.$$

Здесь x обозначает первые четыре координаты AdS5 — координаты «на границе». Детерминант взят для 4×4 матрицы с индексами α, β.

Как отмечено выше, в DBI действии имеется еще второй член S2, который в бозонном действии сводится чисто к описанию взаимодействия D3-браны с полем C4:

$$S_2=\mu_3\int C_4.$$

В силу того, что D3-брана есть BPS-объект, заряд и натяжение для нее взаимосвязаны:

$$\mu _3=T_{D3}=\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}.$$

В силу соображений симметрии (вообще то это следует из точного решения уравнений IIB-супергавитации, предоставленного в BBS (12.25)) мы выбираем

$$C_{\mu\nu\lambda\rho}=\sqrt{|g_4|}\varepsilon_{\mu\nu\lambda\rho}= f^{-1}\varepsilon_{\mu\nu\lambda\rho},$$

и тогда находим

$$S_2=\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}\int d^4xf^{-1}.$$

В результате получаем следующее бозонное DBI-действие:

$$S=-\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}\int d^4xf^{-1}\left[\sqrt{-\det\left(\eta_{\alpha\beta}+f\partial_\alpha r\partial_\beta r+r^2fg_{ij}\partial_\alpha\theta^i\partial_\beta\theta^j+2\pi\alpha'\sqrt{f}F_{\alpha\beta}\right)}-1\right].$$

Можно легко устранить зависимость действия от α′ путем простой замены координат r = ′, т.к. ~ (α′)2. При изучении гравитационной части AdS/CFT соответствия мы (можем быть) заинтересованы в низкоэнергетическом пределе теории суперструн (и потому в переходе к супергравитации), что может быть достигнуто путем отправки энергетического расстояния между уровнями возбуждения струны в бесконечность: α′ → 0. В этом пределе теория в объеме (гравитация) полностью отщепляется от теории на границе, ибо ньютоновская константа связи между ними стремится к нулю: κ ~ gsα2 → 0. Энергия Eb любого возбуждения в объеме с радиальной координатой r дает значение E = gtt(r)Eb = rEb/α′, когда измеряется наблюдателем на бесконечности (в силу красного смещения). Если мы держим энергию E и энергию Eb фиксированной в струнных единицах, то это приведет к требованию фиксированной координаты u = r/α′.

Ключевые слова: гравитация, D браны, AdS/CFT, задачи | Комментарии (4)
Михаил Гойхман

Как посчитать число суперсимметрий, сохраняемых данной конфигурацией Dp-бран и M2-бран

18 февраля 2011 года, 23:06

Более ранние посты на эту тему можно найти здесь и здесь. Вопросы со стороны читателей побудили меня написать эту дополнительную заметку.

1. Итак, задача состоит в том, чтобы найти число суперсимметрий, то есть долю исходных суперсимметрий теории , которая сохраняется неким решением теории, представляющим собой определенную конфигурацию (мем)бран. При этом помимо решений типа «набор (мем)бран в плоском пространстве-времени» можно рассматривать еще решения типа «набор мембран в пространстве-времени, компактифицированном на Риччи-плоское многообразие». Сразу хочу заметить, что условие Риччи-плоскосности берется из того, чтобы такой вакуум удовлетворял уравнениям супергравитации в D = 10 (D = 11) пространстве-времени (для интересующихся — да, космологическая постоянная равна нулю, но если вы допускаете ненулевой поток RR полей через компактное многообразие (flux compactification, потоковая компактификация), то в некомпактной части генерируется космологическая постоянная).

2. Начну сразу с выводов, которые доказываются в остальной части этого поста. Существует несколько связанных друг с другом способов определить число сохраняющихся суперсимметрий:

  1. Прямой подсчет спиноров сохраняющихся данной конфигурацией Dp-бран. При этом используется формула (см. ниже) для суперсимметрий, сохраняющихся любой данной Dp-браной, и потом, с помощью этой формулы, анализируется какие спиноры удовлетворяют всем формулам одновременно.
  2. Использование того факта, что Dp-браны и M2-браны являются BPS-объектами. Это означает, что их масса равна центральному заряду (зарядам) алгебры суперсимметрий, что есть условие стабильности, как я доказал в пункте 4 здесь. В свою очередь условие BPS, как видно (см. ниже) из супералгебры, оставляет только половину суперзарядов, аннигилирующих данное решение, т.е. являющихся суперсимметриями. Комбинация условий для разных (мем)бран позволяет выяснить, какие суперсимметрии сохраняются всеми присутствующими (мем)бранами.
  3. Каппа-симметрия действия. Это то же, что имеется и в действии суперструны GS, и где она тоже снижает количество динамических фермионов. Однако в случае солитонных (мем)бран это условие позволяет воздействовать на половину всех компонент спинора, и потому супервариация половины компонент оказывется полностью компенсируемой каппа-преобразованием, то есть (мем)бранный солитон оказывется наполовину суперсимметричен.

Вс три условия, если подумать, имеют одну и ту же причину.

2. Не стоит ожидать, что данная конфигурация (мем)бран сохранит все исходные суперсимметрии. Исходные суперсимметрии — это:

  • $${\cal N}$$ = 2, D = 10 SUSY в теории суперструн типа-II (2×16 = 32 суперзаряда)
  • $${\cal N}$$ = 1, D = 10 SUSY в теории суперструн типа-I (16 суперзарядов)
  • $${\cal N}$$ = 1, D = 11 SUSY в одиннадцати-мерной супергравитации и M-теории (32 суперзаряда)

Хочу подчеркнуть, что указанные здесь суперсимметрии $${\cal N}$$ = 2 в D = 10 и $${\cal N}$$ = 1 в D = 11 — обе с 32 суперзарядами — являются максимально возможными суперсимметриями в природе, ибо порождают наиболее длинный диапазон проекций киральностей от −2 до +2 (до гравитона), не выходя при этом к высшим спинам.

3. Простейший пример нарушения числа суперсимметрий — это переход от теории суперструн типа-II к теории суперструн типа-I. Это то же самое что и переход от теории с только замкнутыми струнами к теории с и замкнутыми и открытыми струнами. Почему? Теория суперструн типа-II описывает динамику замкнутых струн, которые допускают 2 независимых граничных условия, в отличии от открытых струн. Действительно, в случае открытых струн мы имеем два независимых конца, на каждом из которых независимо должны выполняться граничные условия. В простейшем случае можно записать GS суперструну в калибровке светового конуса, где мы вообще говоря имеем два 8-компонентных М.-В. спинора S1, S2. Эти спиноры входят в действие суперструны через свободные Дираковские члены, поэтому инвариантность действия по отношению к SUSY требует выполнения граничных условий

$$S^1|_{\sigma=0}=S^2|_{\sigma=0}\,,\quad\quad S^1|_{\sigma=\pi}=S^2|_{\sigma=\pi},$$

как видите — независимых на концах струны. Каждый из двух М.-В. спиноров подвергается действию преобразований суперсимметрии с постоянными параметрами ε1 и ε2, соответственно. Но из-за граничных условий, а именно из требования их суперсимметричности, мы получаем условие ε1 = ε2, и потому теория, содержащая открытые струны, не может быть теорией суперструн типа-II, т.е. она не может быть $${\cal N}$$ = 2 суперсимметричной. В отличии от теории суперструн, содержащей содержащей только замкнутые струны. В такой теории мы просто имеем граничные условия

$$S^{1,2}(\sigma,\tau)=S^{1,2}(\sigma+\pi,\tau),$$

которые записываются независимо для обеих $${\cal N}$$ = 1 суперсимметрий, и потому обе подразумеваются независимо.

4. Какое отношение предыдущий пункт имеет к Dp-бранам? Пусть мы начинаем с теории суперструн типа-II, с 2×16=32 суперсимметриями, реализуемыми двумя Майорана-Вейлевскими 16-компонентными спинорами Q, Q′ десятимерной алгебры Дирака. Хорошо, тогда мы имеем право посмотреть, какой спектр у нашей теории. Посмотрим на самый нижний, безмассовый уровень. Мы получаем 64 бозонных степени свободы из мультиплета гравитации (гравитон, B2 и дилатон), 2×(56+8)=128 степеней свободы гравитино и дилатино и 64 бозонных состояния биспинорного происхождения. Эти биспинорные состояния разбиваются не неприводимые представления малой группы Лоренца (безмассовой группы стабильности SO(8)), являющиеся отдельными полями, p-формами Cp+1. В отличии от 64 гравитационных бозонных собратьев, взаимодействующих с фундаментальными струнами (просто создавая для них искривленный пространственно-временной фон), эти RR-поля не взаимодействуют с фундаментальными струнами таким нелинейно-сигма-модельным способом. Вместо этого они взаимодействуют с соответствующими Dp-бранами, прикрепляясь к их мировому объему:

$$S_{int}\sim\int C_{p+1}$$

Являются ли тогда Dp-браны дополнительными, независимыми от струн объектами, которые мы должны ввести руками для того, чтобы нашим RR-полям было с кем взаимодействовать? Напротив! Наше рассуждение как раз показывает, что Dp-браны — это продукт замкнутых струн. Действительно, подобное введение Dp-бран — как источника RR-полей — по сути означает, что Dp-браны взаимодействуют с окружающими объектами с помощью этих самых RR-полей, которые в свою очередь являются модами замкнутых струн. Таким образом все эффекты Dp-бран на фундаментальном уровне сводятся к замкнутым струнам, и потому Dp-браны сделаны из замкнутых струн.

Далее, Dp-браны, представляющие собой таким образом солитонные решения теории замкнутых струн, т.е. теории суперструн типа-II, являются, в силу своего механизма взаимодействия с RR-полями, протяженными объектами. Тогда их можно использовать как фиксатор граничных условий для открытых струн. Динамика открытых струн с фиксированными граничными условиями (условиями Дирихле) теперь обретает физический смысл и перестает нарушать закон сохранения импульса (симметрию трансляций). Колебания открытых струн теперь согласуются с «колебаниями» Dp-бран, к которым они прикрепляются. Тогда динамика Dp-бран есть динамика открытых струн, причем Dp-браны есть источники для замкнутых струн (источники для RR-полей, являющихся модами замкнутых струн).

Но подождите, откуда у нас взялись открытые струны? Ведь мы рассматривали теорию типа-II, а там разрешены только замкнутые струны. Однако, когда в нашей теории появились Dp-браны, нам потребовалось описывать их динамику. В силу сказанного в предыдущем абзаце это делается с помощью открытых струн, которые прикрепляются к этим бранам. Если у нас есть Dp-браны, то у нас необходимо есть открытые струны. И тогда суперсимметрия автоматически падает до $${\cal N}$$ = 1.

5. Как именно? Чтобы это уточнить можно воспользоваться T-дуальностью и начать с того случая, когда все открытые струны удовлетворяют граничным условиям Неймана. Это означает, что эти открытые струны просто оканчиваются на D9-бране, заполняющей все пространство-время. Число сохраняемых суперсимметрий при этом равно, очевидно Q+Q′ . Далее мы совершаем преобразование T-дуальности в неком компактном направлении. В результате в этом самом направлении граничные условия открытых струн становятся фиксированными условиями Дирихле, и потому происходит переход от исходной D9-браны к D8-бране: одно из пространственных измерений браны сворачивается в точку (на том самом компактном одномерном многообразии, вдоль которого мы совершили преобразование T-дуальности). И так далее. С помощью достаточного числа T-дуальностей можно получить любую Dp-брану. Конечно, вопрос в том, будет ли она стабильна в данной теории суперструн. Но у нас другая задача — даны стабильные  браны и нужно определить, сколько они сохраняют суперсимметрий. Когда мы совершаем преобразование T-дуальности в направлении ν, правый суперзаряд Q′ подвергается преобразованию (следствие суперсимметрии, а именно ковариантности преобразований суперсимметрии по отношению к T-дуальности)

$$Q'\rightarrow\Gamma\Gamma^\nu Q',$$

где $$\Gamma$$ — киральная матрица Дирака из D = 10 алгебры Дирака. Тогда после совершения 9−p преобразований дуальности мы получим следующий набор суперсимметрий, сохраняемых полученной в результате Dp-браной:

$$Q+\prod\beta^\nu Q',$$

где я обозначил βν=ΓΓν,  и произведение берется по всем 9-p направлениям, ортогональным Dp-бране.

С помощью выведенной формулы уже можно производить конкретные расчеты в D=10 теории суперструн и находить в результате число суперсимметрий, сохраняемых любой данной конфигурацией Dp-бран.

6. А как же M-теория? Там нет открытых струн. Там вообще нет струн. Фундаментальным объектом там является M2-брана и магнитно-сопряженная к ней M5-брана. Разумеется, при редукции к десятимерной теории должны вопроизводиться указанные выше результаты теории суперструн. Но число суперсимметрий можно также посчитать, исходя из требования суперсимметричности вакуумного решения теории, то есть найдя число суперзарядов, аннигилирующих вакуум D = 11 супергравитации, представляющий собой данную конфигурацию мембран.

Будем следовать лекциям P. Townsend «M-theory from its superalgebra».

В D=11 спиноры могут быть Майорановскими, но не могут быть Вейлевскими. В каком случае спиноры не могут быть Вейлевскими? В том если киральная матрица

$$\Gamma=\Gamma^0\Gamma^1\cdots\Gamma^{D-1}$$

пропорциональна единичной и потому не может разбить спинорное представление группы Лоренца не неприводимые представления разной киральности с помощью оператора проекции P = (1+Γ)/2. Именно такая сиуация имеет место в D = 3 тоже, где Γ0 = 2Γ1 = σ1, Γ2 = σ3, и в силу того, что произведение трех матриц Паули дает матрицу пропорциональную единичной (кватернионное свойство), киральную матрицу построить невозможно. В высших размерностях алгебры Дирака строятся грубо говоря прямым произведением алгебр из низшей размерности, поэтому нетрудно сделать вывод о том, что D = 11 допускает аналогичную ситуацию, что и D = 3. Так что киральную матрицу просто считаем равной единице.

Итак, мы имеем 32-компонетный Майорановский суперзаряд Qα, удовлетворяющий антикоммутационным соотношению алгебры суперсимметрии:

$$\{Q_\alpha,\,Q_\beta\}=(\Gamma^0\Gamma ^M)_{\alpha\beta}P_M.$$

Если у нас есть некое состояние, сохраняющее часть суперсимметрий, то это состояние необходимо безмассовое, что есть простейший пример насыщения BPS-ограничения. Действительно, сохранение части суперсимметрий данным состоянием означает то, что эта часть суперсимметрий не меняет данного состояния, что в свою очередь означает, что соответсвующие суперзаряды имеет данное состояние в качестве собственного состояния с нулевым собственным значением. Но тогда в силу алгебры суперсимметрии получаем, что матрица Γ·P вырожденная, поэтому ее детерминант равен нулю, следовательно P2 = 0. С помощью симметрии вращений пространства мы можем выбрать импульс центра масс системы равным

$$P_M=\frac{1}{2}(-1,\pm 1,0,\dots,0),$$

и в результате антикомматационное соотношение алгебры суперсимметрии запишется в виде

$$\{Q_\alpha,\,Q_\beta\}=\frac{1}{2}(1\mp\Gamma_{01})_{\alpha\beta}.$$

В результате мы заключаем, что только половина суперсимметрий, определяемых условием

$$\Gamma_{01}\varepsilon=\pm\varepsilon$$

являются симметрией данного решения D = 11 супергравитации.

Это универсальное рассуждение применимо в частности к решению супергравитации, являющимся M2-браной. Поэтому каждая M2-брана сохраняет половину суперсимметрий, получаемых проецированием исходного спинорного параметра суперсимметрии посредством оператора Pab = (1±Γab)/2, где Xa, Xb есть направления, в которых растягивается рассматриваемая солитонная M2-брана. Соответственно, если у нас есть несколько мембран, то необходимо подействовать произведением всех таких проекционных операторов на исходный параметр суперсимметрии ε.

Пример.

Допустим, у нас есть три M2-бран в направлениях (12), (34), (56). Число сохраняемых суперсииметрий таким солитонным решением D = 11 супергравитации равно 32/8 = 4, ибо это как раз число независимых компонент спинора

$$P_{12}P_{34}P_{56}\varepsilon$$

где 32 есть число компонент Майорановского спинора ε.

7. Можно ли провести связь между методом вычисления суперсимметрий по формуле для Dp-бран и указанным методом для M2-бран? Конечно же можно! Ведь рассуждение для D = 11 теории можно дословно переписать для Майорана-Вейлевских спиноров D = 10 теории. В результате мы получим совершенно тот же самый ответ. Действительно, вернемся опять к примеру из конца предыдущего пункта. Но на этот раз будем анализировать его методом Dp-бран. Т.е. суперзаряд, сохраняемый данной M2-браной с пространственными направлениями (ab), равен

$$Q+4\beta S^aS^bQ'.$$

В D=11 оба спинора Q, Q' Майорановские и равны друг другу, поэтому на самом деле имеем

$$(1+4\beta S^aS^b)Q.$$

Здесь (см. пример конкретного решения тутβ=β7β8β9β10, Sa2a-1β2a

Тогда ясно, что суперзаряды, сохраняемые всеми M2-бранами определяются условием

$$S^1S^2Q=S^3S^4Q=S^5S^6Q,$$

что в силу определения Sa можно переписать как

$$Q_p=P_{12}P_{34}P_{56}Q.$$

8. Действие для (мем)бран и аргументы с каппа-симметрией полностью формализуют все сказанное выше для описания системы вне массовой оболочки. Напомню сперва, что для равенства числа динамических бозонных и фермионных степеней свободы в теории суперструн Грина-Шварца, в теории Dp-бран и в M-теории вводится механизм калибрования части фермионных степеней свободы с помощью κ-симметрии. Возьмите, например, суперструну Грина-Шварца. Изначально она имеет 32 фермионные степени вободы, что есть сумма независимых компонент двух М.-В. спиноров в D=10. Мы знаем, что число динамических бозонных степеней свободы равно 8, что есть 10 координат таргет-пространства-времени минус 2 продольные и временные компоненты, исключаемые бозонными связями Вирасоро. Далее, уравнение Дирака сокращает число фермионных степеней свободы вдвое, оставляя нас с 16 фермионами. Однако, для суперсимметричности нам нужно убрать еще половину фермионов. Это достигается с помощью κ-симметрии. Чтобы действие было инвариантно относительно κ-симметрии нужно к обычному действию суперсимметричной сигма-модели, описывающей струну Грина-Шварца (или (мем)брану), добавить еще член Весса-Зумино, суперсимметричный сам по себе. В случае Dp-бран или мембран надо дабавить член Черна-Саймонса.

В результате действие Dp-бран и M2-бран (и суперструн) приобретает помимо суперсимметрии

$$\delta_\varepsilon\Theta=\varepsilon\,,\quad\delta_\varepsilon X^M=i\bar\varepsilon\Gamma^M\Theta$$

еще свойство инвариантности относительно локальной κ-симметрии:

$$\delta _\kappa\Theta=2P_+\kappa(\sigma)\,,\quad\delta _\kappa X^M=2i\bar\Theta\Gamma^M P_+\kappa(\sigma).$$ 

Здесь введен проекционный оператор

$$P_+=\frac{1}{2}\left(1+\frac{i}{6}\epsilon^{\alpha\beta\gamma}\partial_\alpha X^M\partial_\beta X^N\partial_\gamma X^P\Gamma_{MNP}\right),$$

где греческие индексы соответсвуют координатам, параметризующим мировой объем (мем)браны. В нашем случае мы выбираем статическую параметризацию, когда часть координат бозонного таргет-пространства параметризуют мировой объем (мем)браны. В результате для M2-браны в направлениях (ab) мы получим

$$P_+=\frac{1}{2}(1+\Gamma_{ab}),$$

т.е. ту же формулу для проекционного оператора, что и раньше. Осталось выяснить, почему именно этот проекционный оператор выделяет сохраняющиеся суперсимметрии. Фактически, это уже самоочевидно: данная конфигурация (мем)бран сохраняет суперсимметрии, если она инвариантна относительно действия этих суперсимметрий. Классический фон подразумевает равенство всех фермионов нулю, сохранение этого условия означает

$$(\delta_\varepsilon+\delta_\kappa)\Theta=\varepsilon+2P_+\kappa=0,$$

следовательно

$$P_-\varepsilon=0.$$

В свою очередь равенство нулю фермионов гарантирует инвариантность бозонного фона, т.е. самой пространственно-временной конфигурации. 

Ключевые слова: суперсимметрия, D браны, задачи, M-теория | Комментарии (1)
Михаил Гойхман

Пример нахождения суперсимметрий, сохраняющихся при данной конфигурации D-бран

17 февраля 2011 года, 01:06

Ранее я опубликовал задачу, в которой требовалось найти суперсимметрии, сохраняемые данной конфигурацией D-бран. В этом посте рассмотрим похожую задачу. А именно, найдем суперсимметрии сохраняемые конфигурацией D2-D6-NS5-KK; где D2-брана (индексуемая как объект 1) имеет продольные направления (49), D6-брана (объект 2) — (456789), NS5-брана (объект 3) — (45678) и KK возбуждение (объект 4) имеется в направлении 4.

Тогда суперсимметрии, сохраняемые D2-браной, даются выражением

$$Q_1 = Q + \beta \beta ^5 \beta ^6 \beta ^7 \beta ^8 Q' .$$

D6-браной:

$$Q_2 = Q + \beta Q'.$$

KK модой:

$$Q_4 = Q + \beta\beta^5 \beta^6 \beta ^7 \beta ^8 \beta ^9 Q' .$$

Здесь используется обозначение β = β1β2β3. При этом NS5-брана, будучи S-дуальным объектом к фундаментальной струне, сохраняет все суперсимметрии.

Далее введем 5 матриц S, строящих представление алгебры Дирака в D = 10 пространстве-времени (см. Polchinski, String Theory, vol. II, App. B):

$$2iS_a=\beta ^{2a}\beta ^{2a+1}$$

Тогда получим

$$Q_1=Q+8i\beta\beta ^4S_2S_3S_4\beta ^9 Q^{\prime},$$(1)

$$Q_2= Q+\beta Q^{\prime},$$(2)

$$Q_4=Q+8i\beta\beta ^4S_2S_3S_4 Q^{\prime}.$$(3)

Очевидно, что каждое из условий нарушает половину суперсимметрий исходной N = 2 суперсимметричной теории. Так что начнем с условия (3), которое нарушит половину суперсимметрий, и посмотрим, какие суперсимметрии тогда сохранят оставшиеся условия (1) и (2). Ясно, что согласованность (1) и (3) требует β9ζs = ζs, где ζs есть один из спиноров, сохраняющих суперсимметрию, то есть все спиноры мы параметризуем 5-компонентным вектором s, каждая из координат которого принимает значения ±½ (и в результате получаем 32-компонентные спиноры ζs, в частности Q = ∑Qsζs, Q′ = ∑Q′sζs), но нас интересуют только те спиноры, которые сохраняют суперсимметрию. Таким образом, количество суперсимметрий уменьшится еще вдвое. Наконец, согласованность (2) и (3) ограничивает число возможных значений ζs в совокупности с условием собственности спинора по отношению к матрице β4 до

$$(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},1),\;(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1),\;(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-1),\;(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},-1),$$

$$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1),\;(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1),\;(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1),\;(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1).$$

Ясно, что 16 возможностей урезаны до 8-ми, ибо теперь только одно собственное значение β4 соответствует данному набору (s1s2s3) вместо двух.

Вот так решаются задачи подобного характера.

Ключевые слова: задачи, суперсимметрия, D браны | Комментарии (9)
Михаил Гойхман

Задача по конформной теории поля

15 февраля 2011 года, 20:46

В прошлом семестре я рассказывал на лекциях конформную теорию поля, в особенности в применении к теории струн, то есть d = 2 CFT. Рассказ велся по материалам гл. 3 BBS. Информации, которую я тогда предоставил слушателям, вполне достаточно, чтобы доказать следующую (известную) теорему.

Пусть действие некоторой d-мерной CFT обладает глобальной симметрией с током Jμ. Тогда оператор Jμ с необходимостью имеет конформную размерность d − 1.

Докажите эту теорему ;)

Ключевые слова: задачи, конформная теория поля | Комментарии (2)