Заметки о теоретической физике → Ключевые слова → открытая струна

открытая струна

Михаил Гойхман

Инстантоны и барионы

29 июня 2012 года, 05:45

Недавно появилась очень интересная статья

A. Gorsky and A. Krikun, Baryon as dyonic instanton

которая посвящена исследованию голографического описания барионов. Область деятельности, AdS/QCD соответствие — дуальность между некоторой согласованной редукцией теории суперструн типа-IIB в AdS5×S5 и квантовой хромодинамикой — является довольно успешной: физика КХД элегантно описывается струнной физикой в пространстве анти — де Ситтера.

1. Постолько поскольку эта работа принадлежит к деятельности AdS/QCD, т.е. к ряду работ, посвященных объяснению наблюдаемых природных явлений, связанных с сильным взаимодействием, есть смысл начать с того, чтобы объяснить, какова феноменологическая роль AdS/CFT соответствия в общем.

Существует два возможных подхода к AdS/QCD: фундаментальный (струнный) и феноменологический (эффективный). В фундаментальном подходе теория в объеме — теория в AdS — есть теория струн и D-бран, и мы описываем их низшие моды возбуждения. Т.е. мы точно знаем, какие степени свободы этих фундаментальных физических объектов мы описываем. Этот подход, таким образом, устанавливает соответствие между двумя фундаментальными концепциями: теорий замкнутых струн (гравитация) в AdS и теорией открытых струн (суперсимметричный Янг-Миллс) на границе AdS. Таким образом то, что именуется gauge/gravity duality является следствием фундаментального open/closed string correspondence. (Русскоязычной литературы на эти темы практически не существует, поэтому эти ключевые слова не имеют общепринятого перевода на русский язык, и я не планирую тут придумывать новые словосочетания.)

Феноменологический подход — это когда мы концентрируемся на динамике общего набора полей в AdS (везде, где я ссылаюсь на AdS, я имею в виду вобще говоря любое достаточно симметричное пространство с конформной границей, так что вблизи границы оно асимпотически приближается к AdS геометрии), не уточняя то, каким именно возбуждениям струн соответствуют рассматриваемые поля, и/или, какую дуальную теоретико-полевую конструкцию описывает модель в AdS. Вы можете написать общий Лагранжиан со скалярными и векторными (а также спинорными и тензорными (конкрентная теория)) полями в AdS, решить классические уравнения движения ваших полей и воспользоваться предписаниями AdS/CFT чтобы сделать из найденного выводы о том, что происходит в теории поля на границе. Если ваши выводы согласуются с ожиданиями (я считаю, что вы знаете, какую теорию вы хотите описать голографически) и теория самосогласованна, то есть большая вероятность того что ваша теория правильная.

Под правильной теорией в контексте AdS/CFT я имею в виду теорию, которая принадлежит к классу open/closed string correspondence: вся динамика должна быть выводима из теории струн: и в объеме (из теории замкнутых струн) и на границе (из теории открытых струн). В данном случае тот Лагранжиан для полей в AdS, который вы записали, должен описывать динамику струн и бран в AdS, и a priori вы просто не знаете каких именно струн и бран. Но в случае AdS/QCD вы знаете что теория на границе — это КХД: вы выделяете только те теории в AdS которые воспроизводят известную феноменологию КХД (такие явления как нарушение киральной симметрии, и описание спектра мезонов и барионов). Под КХД я понимаю калибровочную теорию с группой SU(Nc) и кварками в фундаментальном представлении этой группы.

На самом деле феноменологическое AdS/CFT соовтетствие может быть еще более ослабленым чем в случае AdS/QCD: когда вы даже не заботитесь о том, чтобы описать какую то конкретную теорию поля на границе, а вместо этого ищете любые теоретико-полевые проявления теории в AdS. Т.е. вы записываете Лагранжиан в AdS, применяете AdS/CFT чтобы вывести свойства дуальной теории поля и замечаете, что дуальная теория поля не совпадает по своей феноменологии ни с одной известной теорией поля. Такой слабый феноменологический подход характерен в AdS/CMT соотвествии. Тогда вам также нужно позаботиться о следующей проверке состоятельности вашей голографической модели: убедитесь что дуальная теория поля на границе допускает правильное ультрафиолетовое дополнение. Эту проверку можно свести к тому чтобы убедиться в корректности теории в объеме. Действительно, теория поля на границе будет допускать перенормируемое ультрафиолетовое  дополнение если дуальная теория в объеме имеет корректное поведение вблизи границы AdS.

Итак, AdS/CMT применение голографии может быть феноменологическим и с точки зрения теории в объеме и с точки зрения теории на границе. Это не удивительно, физика конденсированных сред — это «феноменология феноменологии»: вы берете теорию поля, которая есть эффективная но перенормируемая теория (следствие струн; например — квантовая электродинамика) — и строите к ней опять эффективную неперенормируемую теорию, например, 4х-фермионное взаимодействие БКШ (фонон — это не фундаментальная частица ;) разумеется). Феноменологических теорий может быть много, а фундаментальная — только одна, так что чем больше вы углубляетесь в феноменологию, тем более вероятность того, что ваша теория будет слишком приближенной, или лучше сказать — идеализированной — чтобы быть относящейся к нашему миру. И не важно, как вы строите свою феноменологию — голографически или нет, хотя, конечно, голографическая феноменология сильно-взаимодействующих систем — самый разумный способ адресовать эти проблемы физики конденсированных сред. Как я отмечал, тестирование феноменологических теорий и тестирование фундаментальных теорий — принципиально разные вещи.

2.1. Хорошо, как нас на Физтехе учил Ю.И. Семёнов (я перефразирую немного), после того как разобрались что такое познание, перейдем к самому познанию истины. ;)

Известно, что киральная симметрия в КХД нарушена. В ультрафиолете чистая КХД описывается лагранижаном с голыми параметрами. У вас есть теория Янга-Миллса с калибровочной группой SU(Nc) взаимодействующая с Nf ароматами кварковых полей. Кварки безмассовые в ультрафиолете, и поэтому динамика левых кварков независима от динамики правых кварков. Это называется киральной симметрией: теория инвариантна относительно группы глобальных преобразований SU(Nf)L×SU(Nf)R, вращающих независимо левые и правые кварковые поля. Безмассовая теория таким образом обладает двумя сохраняющимися кварковыми токами: векторным и аксиальным (существуют векторный и аксиальный токи в присоединенном представлении SU(Nf) группы и векторный и аксиальный токи, являющиеся синглетом SU(Nf) группы).

Низкоэнергетические процессы с сильным взаимодействием описываются эффективной КХД. В эффективной КХД за счет петель с фермионами и внешними глюонными полями аксиальная симметрия $$U(1)_A$$ нарушена: закон сохранения аксиального тока аномален. Аналогичным образом киральная аномалия нарушена из за электромагнитного взаимодействия, нарушающего абелеву подгруппу киральной симметрии (скажем, U(1) подгруппа SU(2) киральной симметрии нарушена за счет электромагнитного взаимодействия). Если a — индекс в присоединенном представлении ароматной группы, то киральные токи есть 

$$j^{\mu 5a}=\bar\psi_f\gamma^\mu\gamma^5\tau^a_{ff'}\psi_{f'}\,,\quad\quad j^{\mu 5}=\bar\psi_f\gamma^\mu\gamma^5\psi_{f}\,,$$

где индекс f нумерует ароматы кварков. Классический закон сохранения $$\partial_\mu j^{\mu 5}=0$$ аномален за счет сильного взаимодействия, а закон сохранения $$\partial_\mu j^{\mu 53}=0$$ аномален за счет электромагнитного взаимодействия.

Допустим, ваша теория не страдает киральной аномалией. Даже эффективный лагранжиан теории тогда обладает киральной симметрией. Вы тем не менее хотите нарушить закон сохранения киральной симметрии. Для этой цели надо ввести кварковый конденсат. Формирование такого конденсата относится к классу спонтанного нарушения симметрии: если вакуум |0> таков, что

$$\langle 0|\bar{\psi}\psi |0\rangle =\langle 0|\bar\psi_L\psi_R +\bar\psi_R\psi_L|0\rangle\neq 0\,,$$

т.е. если вакуум заполнен связанными состояниями левых кварков и античастиц правых кварков, то вы больше не можете независимо преобразовывать левые кварки через левые, а правые через правые: именно из-за этой самой связанности. Киральная симметрия, таким образом, оказывается спонтанно нарушенной.

Замечу, что при спонтанном нарушении киральной симметрии есть определенный характерный масштаб энергии для эффективной теории поля, в которой киральная симметрия нарушена (как, например, вакуумное среднее поля Хиггса, равное по порядку величины массам W и Z бозонов, дает масштаб нарушения электрослабой симметрии). Этот масштаб дается записанным выше вакуумным средним. Замечу также, что это вакуумное среднее имеет структуру масс псевдоскалярных мезонов (такие как π-мезоны, ρ-мезоны и K-мезоны), что имеет отдельное значение ниже в контексте динамического нарушения киральной симметрии.

Каждая спонтанно нарушенная симметрия параметризует позицию в пространстве вакуумов теории, которые мы обозначим |πa(k)>, что выражается формулой

$$\langle 0|j^{\mu 5a}(x)|\pi^b(p)\rangle =-ip^\mu f_\pi\delta^{ab}e^{-ip\cdot x}\,.$$

Постолько поскольку киральный ток исходный теории сохраняется, то сворачивая обе части равенства с pμ мы получаем p2=0, т.е. пионные вакуумные состояния безмассовы, что согласуется с теоремой Голдстоуна.

Итак, мы получили, что на определенном масштабе энергии, даваемом вакуумным средним кваркового биленейного оператора, киральная симметрия становится спонтанно нарушенной. Однако, как и полагается по теореме Голдстоуна, соответствующие (псевдоскалярные) бозоны безмассовы. Это не похоже на правду: пионы массивны. Чтобы получить массивные пионы надо рассматривать квантовую теорию. В этом случае киральная симметрия становится аномальной. На уровне эффективного Лагранжиана это соответствует тому, что кварки приобретают массовые слагаемые:

$$i\gamma^\mu Q={\bf m}Q\,,\quad Q=\left({\psi_u\atop\psi_d}\right)\,,\quad {\bf m}=\left({m_u\atop 0}\;{0\atop m_d}\right)\,,$$

где я для простоты рассмотрел КХД с двумя ароматами кварков. Дивергенция аксиального тока тогда равна источнику: аксиальному заряду,

$$\partial _\mu j^{\mu 5a}=i\bar{Q}\{{\bf m},\tau^a\}Q\quad\Rightarrow\quad -p^2f_\pi \delta^{ab}=\langle 0|i\bar{Q}\{{\bf m},\tau^a\}\gamma^5Q|\pi^b(p)\rangle\,.$$

Теперь пионы массивны:

$$m_\pi^2=(m_u+m_d)\frac{M^2}{f_\pi}\,.$$

Для полноты замечу, что частным случаем спонтанного нарушения киральной симметрии является динамическое нарушение киральной симметрии. В этом случае вы добавляете в теорию (тяжелые) фермионные поля, так что наблюдаемый сектор КХД теперь является открытой системой. Это называется техниколор: а добавленные фермионные поля называются техникварками. Так вот, техникварки образуют фермионный конденсат, так что киральная симметрия оказывается спонтанно нарушенной. Кстати говоря, взаимодействуя с калибровочными полями, техникварки также нарушают электрослабую симметрию.

2.2. Все, что я только что написал, можно реализовать в простых голографических моделях. В терминах D-бран это описывается D4-D8-D8 моделью

T. Sakai, S. Sugimoto, Low energy hadron physics in holographic QCD

За объяснениями этой модели обращайтесь к Любошу Мотлу и тем, на кого он ссылается.
 
Феноменологическая модель была построена в статье
 
 
Вот что делается в феноменологической работе. Для начала, в ИК режиме КХД находится в фазе конфайнмента. В ультрафиолете КХД свободна. Переходный масшта энергии - ΛQCD~150МэВ - должен соотвтествовать какому-то значению радиальной координаты z=zm в пространстве AdS5. Это называется жесткой стенкой. Итак, теория в объеме, дуальная QCD4, живет в пространстве AdS5, задаваемом геометрией между двумя границами: границей AdS (соответствующей UV режиму теории поля) и жесткой стенкой (соответствующей ИК масштабу конфайнмента)
 
$$ds_5^2=\frac{1}{z^2}(-dt^2+dx_1^2+dx_2^2+dx_3^3+dz^2)\,\quad\quad 0\leq z\leq z_m\,.$$
 
Наша основная цель — описать аномальное нарушение киральной симметрии. В ультрафиолете кварки безмассовы и теория обрадает киральной симметрией SU(Nf)L×SU(Nf)R. Соответствующией сохраняющиеся токи обозначим jLμ и jRμ. Согласно AdS/CFT соответствию, каждая глоабальная симметрия в теории поля на границе AdS соответствует локальной симметрии в объеме AdS. Т.е. токи jLμ и jRμ взаимодействуют с калибровочноыми полями ALμ и ARμ калибровочной группы SU(Nf)L×SU(Nf)R в объеме AdS.
 
Движению от границы AdS, z=0,  в глубь объема AdS соответствует движение в ИК режим КХД. В то время как в AdS мы смотрим при этом движении просто на зависимоть полей от радиальной координаты, в КХД это соответствует ренормгрупповому потоку: суммированию всех диагррамм с высшими импульсами и получению эффективного Лагранжиана. В этом состоит сила AdS/CFT соответствия. Мы хотим получить аномальное нарушение киральной симметрии КХД. Тогда, мы должны описать аномальное нарушение дуальной калибровочной инвариантности, т.е. нарушение калибровочной симметрии с аксиальным векторным полем Aμ =ALμ - ARμ. В объеме AdS это можно реализовать уже с помощью спонтанного нарушения симметрии. Это легко получить, прикрепив калибровочные поля к скалярному полю X в би-фундаментальном представлении калибровочной группы.  Рассмотрим, таким образом, действие
 
$$S=\int d^5x\sqrt{g}\text{Tr}\{|DX|^2+3|X|^2-\frac{1}{4g_5^2}(F_L^2+F_R^2)\}\,.$$
 
Допустим, теперь, что скалярное поле X выпадает в конденсат: просто решим для него классические уравнения движения в отсуствии калибровочных полей (последние все равно рассматриваются как флуктуации в AdS/CFT). Причем потребуем граничное условие на границе AdS: чтобы X(z=0)=0, что соответствует киральной симметрии КХД в ультрафиолете. Простейшее решение с формой X(z)=x(z)I, где x(z) — синглет калибровочной группы с нетривиальным профилем в AdS — взаимодействует только с аксиальным векторным полем. Тогда киральная симметрия оказывается спонтанно нарушенной. Можно посчитать соответствующий спектр пи-мезонов, а также векторных мезонов, что довольно хорошо согласуется с наблюдениями (последнее, разумеется, не говорит, что построенная теория на 100% верна, а скорее предоставляет пример возможности реальной феноменологии AdS/QCD соответствия).
 

3.1. В пункте 2 мы разобрались с тем, как голографически описать важные явления КХД. А именно, как с помощью AdS/CFT соответствия можно описать нарушение киральной симметрии. Мы также описали физику мезонов. Однако есть второй тип адронов, которые мы еще не описали. Это барионы.

Барион — это связанное состояние N кварков — фермионных полей в фундаментальном представлении калибровочной группы — и глюонного поля, в калибровочной теории с калибровочной группой SU(N). Такое состояние антисимметрично по отношению к перестановке кварков и потому является синглетом специальной унитарной группы SU(N). Тогда необходимо, чтобы все кварки преобразовывались в одном и том же представлении SU(N) — либо фундаментальном, либо анти-фундаментальном (комплексно-сопряженном фундаментальному). Сразу же исключается калибровочная группа U(N), потому что иначе барион преобразовывался бы с зарядом N (или -N в случае анти-бариона), и потому барионное состояние не было бы калиброчно-инвариантным, следовательно не существовало бы в природе.

На масштабе энергий бариона (150 МэВ или 1 Ферми) цветное глюонное взаимодействие SU(N) очень сильное, так что пертурбативное описание квантовой динамики бариона невозможно. Сильное взаимодействие в калибровочной теории может быть описано с помощью слабо-взаимодействующей теории гравитации, с помощью AdS/CFT соответствия. Оказывается, что барион голографически соответсвует инстантону в AdS.

3.2. Что такое инстантон? Инстантон — это решение классической Евклидовой калибровочной теории, такое что действие, посчитанное не решении, конечно, а напряженность поля самодуальна. Важные свойства инстантона, следующие из его определения:

— Евклидовость и потому мнимость времени имеют квантовомеханическую интерпретацию туннелирования, а также Евклидовость обеспечивает локализацию инстантона во времени;

— Конечность действия имеет квантовую теоретико-полевую интерпретацию существенного вклада этой классической конфигурации в квантовую динамику, описываемую интегралом по путям;

— Требование конечности действия накладывает ограничения на граничное поведение решения: оно должно убывать достаточно быстро, и локализовываться в пространстве. Поэтому если есть скалярные поля, взаимодействующие с калибровочным полем, то они должны минимизировать свой потенциал на бесконечности. Это требование — солитонность решения — относит инстантон к классу солитонов. Статья Горский-Крикун, которой посвящен этот пост, рассматривает именно такую солитонную конфигурацию в двух измерениях. 

 

2600 years of history of physics... anyone needs to go to the bathroom too? ;)

3.3. Теперь перейдем к реализации инстантонов в теории струн. Виттен указал на простой способ описать барион с помощью D бран в контексте AdS/CFT соответствия:

E. Witten, Baryons and branes in AdS space

Мы хотим описать барионные состояния в пространстве-времени Минковского, точнее его компактификации S3×R. 

Голографически дуальное описание калибровочных теорий в S3×R предоставляется теорией суперструн типа-IIB в пространстве-времени с AdS5×S5 геометрией; граница AdS5 есть компактифицированное пространство-время Минковского S3×R. Ранк N (на самом деле, конечно, ранк плюс один) калибровочной группы SU(N) равен количеству D3-бран, которые создают геометрию с около-горизонтной асимптотикой AdS5×S5. Каждая D3-брана является источником RR поля C4 и потому несет RR заряд этого поля, равный единице. В десяти пространственно-временных измерениях 3-браны окружаются 5-сферой, и это, конечно, S5 часть AdS5×S5 геометрии. По теореме Гаусса поток поля F5=dC4 через эту сферу тогда равен RR заряду стопки N бран, $$\int_{S^5}F_5=N$$.

Теперь допустим вы хотите описать поведение кварков в AdS/CFT дуальной теории поля, которая живет в S3×R. Кварковые поля — это низшие моды возбуждения открытых струн. Допустим вы хотите собрать барион из ваших кварков.  С точки зрения открытых струн это означает что N открытых струн протянуты в AdS и заканчиваются одним концом на границе AdS, т.е. на S3×R, причем все струны должны быть одинаково ориентированы.

Напомню, что настоящая теория открытых струн, теория типа-I с калибровочной группой SO(32), есть, разумеется, теория неориентированных струн. Оба конца струны одинаковы, струнное состояние симметрично по отношению к перестановке концов струны, что есть необходимое условие для того, чтобы калибровочная группа теории открытых струн была вещественной группой SO(32). Последнее есть условие сокращения калибровочных аномалий. Однако когда вы вводите калибровочную симметрию в теорию открытых струн, вы приписываете каждому концу струны заряд Чана-Патона, помещая в результате каждый конец струны в представление группы SU(M). Далее, чтобы получить SO(32) из SU(M) надо выбрать M=16, поместив в вакуум Минковского 16 заполняющих D9 бран (сделав по умолчанию все граничные условия Неймановскими), и потом поместить 16 ориентифолдных плоскостей O9, компенсирующих вакуумную энергию D9 бран и симметризующих концы открытых струн. Это все между прочим: в AdS/CFT эти вопросы не возникают.

Другая особенность: вместо струн, которые одним концом оканчиваются на границе AdS, мы можем протянуть D1 браны. Отличие D1 бран от фундаментальных струн, или F1 струн, состоит в том, что фундаментальные струны несут NSNS заряд поля B2 бозонного сектора мультиплета IIB супергравитации, а D1 браны несут RR заряд поля C2 биспинорной части бозонного RR сектора мультиплета IIB супергравитации. Однако, теория суперструн типа-IIB обладает S-дуальностью. Возьмите 1-мерный объект с зарядом (p,q) по отношению к указанным NSNS и RR полям. Оказывается, что теория суперструн типа-IIB инвариантна по отношению к SL(2,Z) преобразованиям этого заряда.

В то время как Чан-Патоновские заряды «электрические», и потому F1 струна описывает кварк на границе AdS, D1 брана имеет топологический заряд RR поля и описывает монополь на границе AdS. Тогда S-дуальность теории суперструн типа-IIB есть общий пример электро-магнитной дуальности, обменивающей кварки и монополи.

Slipknot, S-duality

Второй конец струн должен заканчиваться где-то в AdS. Открытые струны могут заканчиваться только на D-бранах. Виттен предлагает взять D5-брану, обернуть ее вокруг S5 и прикрепить к ней концы струн. Тогда D5-брана представляет собой голографическое описание бариона. Обоснование следующее. Действие D5-браны в AdS5×S5 геометрии включает член Черна-Саймонса

$$S_{CS}=\int F_5\wedge A\,,$$

где A — калибровочное поле на мировом объеме D5-браны. Но так как D5 брана обварачивает S5, то через нее проходит весь поток RR поля C4, и потому

$$S_{CS}=N\int A\,.$$

Следовательно D5-брана поляризуется в поле  C4, на ней индуцируется N единиц заряда поля A. Мы находимся в замкнутой геометрии AdS5×S5, так что нам надо компенсировать этот заряд (полный заряд замкнутой вселенной по теореме Гаусса равен нулю). Это осуществляется прикреплением N открытых струн к D5-бране.

4. В отличии от того, что я только что описал, Горский, Крикун конструируют инстантон в феноменологической AdS/QCD, о которой я говорил в пункте 2. Их главный результат состоит в описании барионного состояния с двумя квантовыми числами: помимо барионного заряда они также имеют возможность описать аксиальный заряд бариона.

Итак, барион в КХД описывается как инстантон киральной калибровочной группы в AdS. Барионный заряд при этом равен топологическому заряду инстантона (как видно, он ненулевой только если киральная симметрия нарушена)

$$B=\frac{1}{32\pi^2}\int _0^{z_m}\int d^3x(F_L\star F_L-F_R\star F_R)\,.$$

Горский, Крикун вводят цилиндрический анзац для калибровочных полей и скалярного поля, что позволяет свести задачу к двумерной: с координатами (r,z), где r — радиус в трех пространственных измерениях. Рассматриваемый ими анзац не зависит от времени, так что решение с конечным действием, минимизирующее потенциал на бесконечности (на самом деле на части бсекончено-удаленной границы), есть солитон.

Конкретно, требование конечности действия и регулярности уравнений движения на границе (r,z), даваемой четырьмя сторонами квадрата

$$r=0\,,\quad z\in (0,z_m)\,,$$

$$z=z_m\,,\quad r\in(0,\infty)\,,$$

$$r=\infty\,,\quad z\in (z_m,0)\,,$$

$$z=0\,,\quad r\in (\infty,0)\,,$$

требует, чтобы поле $$\gamma=\alpha-\beta-\frac{\pi}{2}$$, где α и β есть фазы векторного и скалярного полей соответственно, удовлетворяло вакуумному условию

$$\gamma=\pi n\,,\quad n\in Z\,,$$

минимизирующему один из потенциальных членов теории, на всех сторонах квадратной границы (r,z) плоскости, кроме z=0. При этом на r=∞ существует точка z=z0, в которой γ может прыгнуть между двумя вакуумными значениями. Это очень важно: благодаря этому контур поля γ замыкается при обходе квадратной границы пространства: т.е. это поле непрерывно.

И наконец, нетривиальная зависимость фазы β от радиальной координаты r, что является новшеством статьи среди других исследований солитонных решений в AdS, позволяет описать аксиальный заряд бариона: он пропорционален $$J_r=\partial_r\beta$$. Поле β связано с полем γ, а последнее имеет топологическое решение с новым топологическим числом n, так что Горский, Крикун указали на возможность описания аксиального заряда новым топологическим числом.

Ключевые слова: AdS/CFT, открытая струна | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Открытая струна со смешанными граничными условиями. Решение

10 декабря 2011 года, 20:51

Некоторое время назад я предложил задачу об открытой струне, удовлетворяющей разным граничным условиям на концах. В этом посте я покажу, как можно решить эту задачу.

Введение. Струна и граничные условия

Во-первых, напомню, что открытая струна со свободными (незакрепленными) концами должна удовлетворять граничному условию Неймана на этих концах. Так обычно начинается построение теории бозонной струны во всех учебниках по теории струн. Для напоминания рекомендую прочитать этот пост. Кратко: суть состоит в том, что условие стационарности действия бозонной струны дает волновое уравнение движения, но, кроме того, стационарность действия требует исчезновения граничных членов, получающихся при вариации действия. Граничные члены пропорциональны произведению δXμσXμ, и потому условие Неймана σXμ=0 в сочетании с уравнениями движения обеспечивает стационарность действия бозонной струны. Особенностью такого граничного условия является его Пуанкаре-ковариантность.

Однако альтернативным способом зануления граничных членов является фиксация концов струны. Тогда положение концов струны является данным  внешним условием, так что стационарность струнного действия с положением концов струны никак не связана, и мы имеем δXμ=0. Фиксированные граничные условия — это условия Дирихле. Физически струна прикрепляется к D-бране (D от Дирихле), которая держит конец струны зафиксированным. Такое граничное условие нарушает инварианость по отношениям к трансялциям той координаты, которая закреплена. Наличие D-браны делает такое нарушение физически обоснованным.

В принципе, разумеется, часть полей Xμ может удовлетворять граничному условию Дирихле, в то время как часть — более «стандартным» условиям Неймана. Стандартным — потому что не нужно думать о D-бране, которая бы держала конец струны. В простейшем случае пусть у нас имеется десятимерная струна с координатными полями на мировом листе Xμ(στ), причем поле Xудовлетворят граничному условию Дирихле, а все остальные поля — условию Неймана. Тогда в нашем пространстве-времени есть D8-брана, «перпендикулярная» девятому базисному вектору, и содержащая остальные 8 координат пространства как координаты своего мирового объема (отсюда 8 в обозначении «D8-брана»). Конец струны может свободно перемещаться по мировому объему D8-браны, так что все остальные граничные условия действительно неймановские. Для справки: если девятая координата компактифицирована на окружность, то можно совершить преобразование T-дуальности в этом направлении, при котором граничное условие Дирихле для X9 перейдет в граничное условие Неймана, в то время как все остальные граничные условия (Неймана) останутся нетронутыми, и спектр струны не изменится. Уничтожение граничного условия Дирихле означает, что D8 брана «поглотила» девятое направление (свернулась на этом направлении, wraps compact direction) и «превратилась» в D9-брану с мировым объемом, являющимся всем десятимерным пространством-временем. По-прежнему все открытые струны оканчиваются на бране, но в теперь нет ни одного направления, которое было бы перпендикулярно бране, и потому ни в каких направлениях нет граничного условия Дирихле.

Разложение по модам для открытой струны с разными типами граничных условий

Пусть (στ) есть координаты, параметризующие мировую поверхность струны, где σ периодична с периодом 2π. Совершим переход к евклидовому времени с помощью виковского поворота: τ → −, и представим мировую поверхность открытой струны как комплексную плоскость, параметризуя ее координатами $$(z,\bar{z})$$, определенными формулой

$$z=e^{\tau+i\sigma}$$.

Пусть открытая струна удовлетворяет граничным условиям Неймана на обоих концах, что мы будем обозначать как NN. Тогда разложение по модам для бозонного поля на мировой поверхности, являющегося координатой вложения струны в пространство-время, дается выражением

$$NN:\quad\quad~X^\mu(\sigma,\tau)=x^\mu+2\alpha'p^\mu\tau+i\sqrt{2\alpha'}\sum_{n\ne0}\frac{1}{n}\alpha_\mu^{~n}e^{-in\tau}\cos n\sigma.$$

После Виковского поворота и перехода к комплексным координатам это выражение принимает вид

$$NN:\quad\quad~X^\mu(z,\bar{z})=x^\mu -i\alpha'p^\mu\ln z\bar{z}+i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{n\ne 0}\frac{1}{n}\alpha_\mu^{n}(z^{-n}+\bar{z}^{-n}).$$

Производная по координате на мировой поверхности связана с производными по (голоморфным и антиголоморфным) комплексным координатам формулой

$$\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}=i(z\partial X^\mu-\bar{z}\bar\partial X^\mu),$$

так что легко убедиться, что NN выражение действительно удовлетворяет условиям Неймана на обоих концах.

Дальше мы просто обобщаем этот результат на другие виды граничных условий. Постольку поскольку открытая струна вообще говоря ориентирована (имеет заряды унитарной калибровочной группы противоположных знаков на разных концах, хотя суперструны типа I неориентированны, ибо калибровочная группа необходимо должна быть SO(32) — вещественная), то граничные условия DN (условие Неймана на конце σ = π и отсутствие осцилляций, выражающее условие Дирихле, на конце σ = 0) и ND (наоборот) вообще говоря разные, хотя в конечное выражение для нулевой энергии будет входить сумма ν числа граничных условий DN+ND:

$$DN:\quad\quad X^\mu(z,\bar{z})=i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{r\in Z+1/2}\frac{1}{n}\frac{\alpha_\mu^r}{r}(z^{-r}-\bar{z}^{-r})\,,$$

$$ND:\quad\quad X^\mu(z,\bar{z})=i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{r\in Z+1/2}\frac{1}{n}\frac{\alpha_\mu^r}{r}(z^{-r}+\bar{z}^{-r})\,.$$

Если оба конца удовлетворяют условию Дирихле, то решение волнового уравнения для струны дается выражением:

$$DD:\quad\quad X^\mu(z,\bar{z})=-i\frac{\delta X^\mu}{2\pi}\ln(z/\bar{z})+i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{n\ne 0}\frac{1}{n}\alpha_\mu^{~n}(z^{-n}+\bar{z}^{-n})\,.$$

Далее, имеются разложения по модам для фермионных полей из R сектора и NS сектора, которые я приводить не буду. Для целей данной задачи имеет смысл помнить о следующих вещах. В RNS суперструне у нас есть 10 двухкомпонентных фермионов на мировой поверхности. Каждая из двух компонент соответствует одной из двух киральностей d=2 спинора, и рассматривается как независимое фермионное поле на мировой поверхности. Уравнение движения для каждого из этих полей есть приведенная форма уравнения Дирака. Помимо уравнений движения необходимо наложить граничные условия, чтобы RNS действие было стационарным. Оказывается, что эти граничные условия связывают фермионные поля противоположных киральностей на концах струны. Существует два типа граничных условий. В первом случае, R секторе RNS суперструны,  граничные условия одинаковы на обоих концах. Во втором случае, NS секторе, граничные условия имеют противоположный знак. Как обычно, граничные условия определяют то, по каким типам мод раскладывается решение уравнения движения. Как объясняется, например, в параграфе 4.4 (стр. 122-123) рекомендуемой книги K. Becker, M. Becker, J.H. Schwarz String theory and M theory (BBS), для R сектора моды целые, а для NS сектора — полуцелые.

Нулевая энергия

Нулевая энергия возникает как константа нормального упорядочивания в выражении для L0 коэффициента ряда Лорана

$$T(z)=-\frac{2}{\alpha'}\,\partial X\cdot\partial  X=\sum_n\frac{L_n}{z^{n+2}},\quad\tilde{T}(\bar{z})=-\frac{2}{\alpha'}\,\bar\partial X\cdot\bar\partial X=\sum_n\frac{\tilde{L}_n}{{\bar{z}}^{n+2}}$$

для тензора энергии-импульса (ТЭИ). В случае суперструны в ТЭИ дают вклад как бозонные поля — координаты вложения, так и фермионные поля — спиноры в D = 10 измерениях в формализме Грина-Шварца, или D спиноров на d = 2 мерном мировом листе в RNS формализме. Будем работать в RNS формализме. Удобно то, что для того, чтобы посчитать нулевую энергию, нужно знать полевой состав, и какие поля раскладываются по целым модам, а какие по полуцелым. Зная нулевую энергию для каждого типа моды можно посчитать нулевую энергию всей системы.

По целым модам раскладываются фермионы из R сектора, а также NN и DD бозоны. Фермионы из NS сектора, и ND, DN бозоны раскладываются по полуцелым модам. 

Регуляризация бесконечных сумм

Чтобы продолжить с вычислением нулевой энергии, нужно знать, как регуляризовать бесконечные расходящиеся суммы. Выше мы уже отметили, что нулевая энергия возникает когда мы выполняем нормальное упорядочивание в выражении для L0. Схематически, это выглядит как

$$L_0\sim\sum_n\alpha_{-n}\alpha_n\,,$$

причем αn с положительным n есть оператор рождения струнной моды, а с отрицательным — уничтожения. Нормальное упорядочивание подразумевает, что все операторы рождения должны стоять слева от операторов рождения, так что естественно, что при всех отрицательных n в сумме, нам нужно переставить операторы αn и  αn. В квантовой теории коммутатор этих двух операторов равен n, так что мы автоматически получаем бесконечную сумму, равную ζ(−1), где ζ-функция Римана дается выражением

$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty~n^{-s}\,.$$

Регуляризованное выражение для нее есть

$$\zeta (-1)=-\frac{1}{12}\,.$$

Далее, введем сумму четных чисел

$$S_{even}=\sum _{n=0}^\infty 2n=2\zeta (-1)=-\frac{1}{6}\,,$$

которая позволяет посчитать сумму нечетных чисел

$$S_{odd}=\sum _{n=0}^\infty (2n+1)=\zeta (-1)-S_{odd}=\frac{1}{12}\,.$$

Вычисление нулевой энергии

Сумма нечетных чисел полезна, когда мы считаем вклад полуцелых мод в нулевую энергию

$$a_{bos\,ND,\,DN}=-\frac{1}{2}\sum _{r\in Z+\frac{1}{2},\,r>0}r=-\frac{1}{4}S_{odd}=-\frac{1}{48}\,.$$

Из выражения для ζ(−1) мы заключаем, что каждая NN бозонная мода дает вклад 1/24 в нулевую энергию, и, ясно, что то же самое верно для DD бозонов. Также известно, что NS фермионы в NN и DD направлениях дают вклад 1/48, как в полностью NN теории (см. стр. 134 BBS), а R фермионы дают вклад −1/24.

Вспоминим, что требование суперсимметрии налагает условие нулевой энергии в R секторе всегда. Например, если все бозонные поля удовлетворяют NN граничным условия, то тогда нулевая энергия, равная сумме вкладов восьми (D − 2 = 8) бозонов и восьми фермионов, в R секторе равна $$\inline 8\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{24}\right)=0$$. Заметим, однако, что если в каком то направлении бозонное поле удовлетворяет ND или DN граничным условиям, то каждая бозонная мода дает вклад в нулевую энергию −1/48, как мы нашли выше, считая регуляризованную сумму нечетых чисел. Поэтому, чтобы в R секторе нулевая энергия по-прежнему равнялась нулю, необходимо, чтобы каждый R фермион в ND или DN направлении имел нулевую энергию 1/48, как NS фермион. Таким образом, в ND и DN направлениях R фермионы определяются (разложением по модам, или, эквивалентно, соотношением между граничными условиями на обоих концах) как NS фермионы в NN и DD направлениях. Для сохранения состава бозонных и фермионных степеней свободы необходимо также сделать противоположную вещь: определить NS фермионы в ND и DN направлениях как R фермионы в NN и DD направлениях.

Суммируя последний запутанный абзац, получаем, что  NS фермионы в DN, ND направлениях дают вклад −1/24 в нулевую энергию, в то время как R фермионы дают вклад 1/48. Тогда нулевая энергия в NS секторе дается выражением

$$a_{NS}=(8-\nu)\left(\frac{1}{24}+\frac{1}{48}\right)+\nu\left(-\frac{1}{48}-\frac{1}{24}\right)\,.$$

Иными словами, массовая формула для струнных возбуждений в NS секторе есть

$$\alpha 'M^2=\text{oscillators}+\frac{\nu}{8}-\frac{1}{2}\,.$$

Об актуальности этой задачи

Задача о нулевой энергии открытой струны важна в силу следующей простой причины. Всякая (правильная) теория поля, описывающая какие бы то ни было поля материи или калибровочные поля, является эффективной теорией для мод колебаний струны. Струна сама по себе имеет, как мы знаем, бесконечно много осцилляторных состояний, но расстояние между этими состояниями по энергетической шкале очень велико, поэтому как правило все сводится к тому, чтобы взять низшее колебательное состояние струны и построить эффективную теорию для него. Низшее состояние имеет энергию, равную нулевой энергии, вычислением которой мы занимались в этой задаче. Так что нужно позаботиться о том, чтобы это низшее состояние было «хорошим». Во-первых, лучше, чтобы оно не было тахионным, т.е. чтобы нулевая энергия была неотрицательной. Во-вторых, фермионный сектор (R сектор) всегда имеет нулевую энергию, равную нулю, так что эффективная теория всегда содержит безмассовые фермионы. Если мы хотим, чтобы теория была суперсимметричной, нулевая энергия в бозонном секторе тоже должна быть равна нулю. Если же мы хотим «отодвинуть» все бозоны в область высших энергий, желая получить из теории струн низкоэнергетическую теорию поля только для фермионов, тогда мы должны устроить все так, чтобы нулевая энергия бозонного сектора была положительной.

Альтернативно, суперсимметричность построенной конфигурации D бран может изучаться прямо с помощью выражения для супергенераторов, сохраняемых каждой конкретной D браной. Мы это обсуждали здесь, здесь и здесь.

Ключевые слова: задачи, открытая струна | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Нулевая энергия открытой струны со смешанными граничными условиями

7 августа 2011 года, 13:28

Рассмотрим открытую RNS суперструну с бозонными координатами $$X^\mu~(\sigma,\tau)$$ пространства вложения и фермионными полями $$\psi~^\mu~(\tau,\sigma)$$ на мировой поверхности суперструны. В обычном RNS формализме бозонные поля удовлетворяют граничным условиям Неймана на обоих концах, т.е. $$\partial~_\sigma~X^\mu~|_{\sigma=0,\pi}=0$$ (и потому раскладываются по целым модам), а фермионные поля удовлетворяют двум типам граничных условий. Первый – это $$\psi~^+|_\pi=-\psi~^-|_\pi$$, второй – это $$\psi~^+|_\pi=+\psi~^-|_\pi$$.  Соответственно в первом случае строится NS сектор RNS суперструны, в котором фермионные поля раскладываются по полуцелым модам, а во втором случае  -R сектор, в котором фермионы раскладываются по целым модам.

Можно рассматривать бозонные поля с граничными условиями Дирихле на обоих концах (т.е. оба конца закреплены). В этом случае бозонные моды тоже целые. Можно рассматривать смешанные граничные условия – DN или ND. В этом случае моды полуцелые.

Инвариантность действия суперструны по отношению к трансляциям мирового времени приводит к сохранению Гамильтониана. Гамильтониан является нулевой компонентой L0 разложения тензора энергии-импульса в ряд Лорана: $$\inline T(z,\bar z)=\sum _nL_n\left(\frac{1}{z^{n+2}}+\frac{1}{\bar z^{n+2}}\right)$$. Мы подставляем разложение бозонных и фермионных полей по модам в определение ТЭИ и получаем выражение для L0 как бесконечную сумму произведений операторов рождения и уничтожения возбуждений бозонных и фермионных полей. Они должны быть нормально упорядочены и после этого приравнены к нулю – как условие инвариантности по отношению к трансляциям для физических квантовых состояний струны. Посмотрите (4.103) и (4.109) (учебника Becker, Becker, Schwarz String theory and M theory), где фигурирует константа нормального упорядочивания aNS = 1/2 для NS сектора, в то время как для R сектора она равна нулю (последнее является также следствием того, что состояние суперсимметрично и потому аннигилируется модами Лорана для супертока, в тов время как нулевая мода в квадрате дает как раз нулевую моду Лорана для ТЭИ - см. BBS самый низ страницы 127). Цитируемые формулы записаны как массовые формулы для колебаний струны с Неймановскими граничными условиями. Поэтому константа упорядочивания aNS является энергией нулевых возбуждений (регуляризованной, в отличии от бесконечности в случае гармонического осциллятора). Про регуляризацию бесконечных  сумм можно почитать на сайте Любоша Мотла.

Задача

Пусть открытая RNS суперструна имеет n координат, удовлетворяющих смешанным граничным условиям на концах. Выведите энергию нулевых возбуждений NS сектора в этом случае (для R сектора она по-прежнему равна нулю). Учтите требование суперсимметрии для некоторых подобных возбуждений (не всех, ибо не все конфигурации  D-бран, обеспечивающих такие граничные условия, сохраняют хотя бы часть суперсимметрии).

Ключевые слова: задачи, открытая струна | Оставить комментарий