Заметки о теоретической физике → Ключевые слова → M-теория

M-теория

Михаил Гойхман

Полчинский: обзор дуальностей

19 декабря 2014 года, 07:42

Джо Полчинский опубликовал сегодня интересный обзор дуальностей в квантовой теории поля и теории струн:

Joseph Polchinksi Dualities

Приятного прочтения.

Ключевые слова: квантовая теория поля, M-теория | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Как посчитать число суперсимметрий, сохраняемых данной конфигурацией Dp-бран и M2-бран

18 февраля 2011 года, 23:06

Более ранние посты на эту тему можно найти здесь и здесь. Вопросы со стороны читателей побудили меня написать эту дополнительную заметку.

1. Итак, задача состоит в том, чтобы найти число суперсимметрий, то есть долю исходных суперсимметрий теории , которая сохраняется неким решением теории, представляющим собой определенную конфигурацию (мем)бран. При этом помимо решений типа «набор (мем)бран в плоском пространстве-времени» можно рассматривать еще решения типа «набор мембран в пространстве-времени, компактифицированном на Риччи-плоское многообразие». Сразу хочу заметить, что условие Риччи-плоскосности берется из того, чтобы такой вакуум удовлетворял уравнениям супергравитации в D = 10 (D = 11) пространстве-времени (для интересующихся — да, космологическая постоянная равна нулю, но если вы допускаете ненулевой поток RR полей через компактное многообразие (flux compactification, потоковая компактификация), то в некомпактной части генерируется космологическая постоянная).

2. Начну сразу с выводов, которые доказываются в остальной части этого поста. Существует несколько связанных друг с другом способов определить число сохраняющихся суперсимметрий:

  1. Прямой подсчет спиноров сохраняющихся данной конфигурацией Dp-бран. При этом используется формула (см. ниже) для суперсимметрий, сохраняющихся любой данной Dp-браной, и потом, с помощью этой формулы, анализируется какие спиноры удовлетворяют всем формулам одновременно.
  2. Использование того факта, что Dp-браны и M2-браны являются BPS-объектами. Это означает, что их масса равна центральному заряду (зарядам) алгебры суперсимметрий, что есть условие стабильности, как я доказал в пункте 4 здесь. В свою очередь условие BPS, как видно (см. ниже) из супералгебры, оставляет только половину суперзарядов, аннигилирующих данное решение, т.е. являющихся суперсимметриями. Комбинация условий для разных (мем)бран позволяет выяснить, какие суперсимметрии сохраняются всеми присутствующими (мем)бранами.
  3. Каппа-симметрия действия. Это то же, что имеется и в действии суперструны GS, и где она тоже снижает количество динамических фермионов. Однако в случае солитонных (мем)бран это условие позволяет воздействовать на половину всех компонент спинора, и потому супервариация половины компонент оказывется полностью компенсируемой каппа-преобразованием, то есть (мем)бранный солитон оказывется наполовину суперсимметричен.

Вс три условия, если подумать, имеют одну и ту же причину.

2. Не стоит ожидать, что данная конфигурация (мем)бран сохранит все исходные суперсимметрии. Исходные суперсимметрии — это:

  • $${\cal N}$$ = 2, D = 10 SUSY в теории суперструн типа-II (2×16 = 32 суперзаряда)
  • $${\cal N}$$ = 1, D = 10 SUSY в теории суперструн типа-I (16 суперзарядов)
  • $${\cal N}$$ = 1, D = 11 SUSY в одиннадцати-мерной супергравитации и M-теории (32 суперзаряда)

Хочу подчеркнуть, что указанные здесь суперсимметрии $${\cal N}$$ = 2 в D = 10 и $${\cal N}$$ = 1 в D = 11 — обе с 32 суперзарядами — являются максимально возможными суперсимметриями в природе, ибо порождают наиболее длинный диапазон проекций киральностей от −2 до +2 (до гравитона), не выходя при этом к высшим спинам.

3. Простейший пример нарушения числа суперсимметрий — это переход от теории суперструн типа-II к теории суперструн типа-I. Это то же самое что и переход от теории с только замкнутыми струнами к теории с и замкнутыми и открытыми струнами. Почему? Теория суперструн типа-II описывает динамику замкнутых струн, которые допускают 2 независимых граничных условия, в отличии от открытых струн. Действительно, в случае открытых струн мы имеем два независимых конца, на каждом из которых независимо должны выполняться граничные условия. В простейшем случае можно записать GS суперструну в калибровке светового конуса, где мы вообще говоря имеем два 8-компонентных М.-В. спинора S1, S2. Эти спиноры входят в действие суперструны через свободные Дираковские члены, поэтому инвариантность действия по отношению к SUSY требует выполнения граничных условий

$$S^1|_{\sigma=0}=S^2|_{\sigma=0}\,,\quad\quad S^1|_{\sigma=\pi}=S^2|_{\sigma=\pi},$$

как видите — независимых на концах струны. Каждый из двух М.-В. спиноров подвергается действию преобразований суперсимметрии с постоянными параметрами ε1 и ε2, соответственно. Но из-за граничных условий, а именно из требования их суперсимметричности, мы получаем условие ε1 = ε2, и потому теория, содержащая открытые струны, не может быть теорией суперструн типа-II, т.е. она не может быть $${\cal N}$$ = 2 суперсимметричной. В отличии от теории суперструн, содержащей содержащей только замкнутые струны. В такой теории мы просто имеем граничные условия

$$S^{1,2}(\sigma,\tau)=S^{1,2}(\sigma+\pi,\tau),$$

которые записываются независимо для обеих $${\cal N}$$ = 1 суперсимметрий, и потому обе подразумеваются независимо.

4. Какое отношение предыдущий пункт имеет к Dp-бранам? Пусть мы начинаем с теории суперструн типа-II, с 2×16=32 суперсимметриями, реализуемыми двумя Майорана-Вейлевскими 16-компонентными спинорами Q, Q′ десятимерной алгебры Дирака. Хорошо, тогда мы имеем право посмотреть, какой спектр у нашей теории. Посмотрим на самый нижний, безмассовый уровень. Мы получаем 64 бозонных степени свободы из мультиплета гравитации (гравитон, B2 и дилатон), 2×(56+8)=128 степеней свободы гравитино и дилатино и 64 бозонных состояния биспинорного происхождения. Эти биспинорные состояния разбиваются не неприводимые представления малой группы Лоренца (безмассовой группы стабильности SO(8)), являющиеся отдельными полями, p-формами Cp+1. В отличии от 64 гравитационных бозонных собратьев, взаимодействующих с фундаментальными струнами (просто создавая для них искривленный пространственно-временной фон), эти RR-поля не взаимодействуют с фундаментальными струнами таким нелинейно-сигма-модельным способом. Вместо этого они взаимодействуют с соответствующими Dp-бранами, прикрепляясь к их мировому объему:

$$S_{int}\sim\int C_{p+1}$$

Являются ли тогда Dp-браны дополнительными, независимыми от струн объектами, которые мы должны ввести руками для того, чтобы нашим RR-полям было с кем взаимодействовать? Напротив! Наше рассуждение как раз показывает, что Dp-браны — это продукт замкнутых струн. Действительно, подобное введение Dp-бран — как источника RR-полей — по сути означает, что Dp-браны взаимодействуют с окружающими объектами с помощью этих самых RR-полей, которые в свою очередь являются модами замкнутых струн. Таким образом все эффекты Dp-бран на фундаментальном уровне сводятся к замкнутым струнам, и потому Dp-браны сделаны из замкнутых струн.

Далее, Dp-браны, представляющие собой таким образом солитонные решения теории замкнутых струн, т.е. теории суперструн типа-II, являются, в силу своего механизма взаимодействия с RR-полями, протяженными объектами. Тогда их можно использовать как фиксатор граничных условий для открытых струн. Динамика открытых струн с фиксированными граничными условиями (условиями Дирихле) теперь обретает физический смысл и перестает нарушать закон сохранения импульса (симметрию трансляций). Колебания открытых струн теперь согласуются с «колебаниями» Dp-бран, к которым они прикрепляются. Тогда динамика Dp-бран есть динамика открытых струн, причем Dp-браны есть источники для замкнутых струн (источники для RR-полей, являющихся модами замкнутых струн).

Но подождите, откуда у нас взялись открытые струны? Ведь мы рассматривали теорию типа-II, а там разрешены только замкнутые струны. Однако, когда в нашей теории появились Dp-браны, нам потребовалось описывать их динамику. В силу сказанного в предыдущем абзаце это делается с помощью открытых струн, которые прикрепляются к этим бранам. Если у нас есть Dp-браны, то у нас необходимо есть открытые струны. И тогда суперсимметрия автоматически падает до $${\cal N}$$ = 1.

5. Как именно? Чтобы это уточнить можно воспользоваться T-дуальностью и начать с того случая, когда все открытые струны удовлетворяют граничным условиям Неймана. Это означает, что эти открытые струны просто оканчиваются на D9-бране, заполняющей все пространство-время. Число сохраняемых суперсимметрий при этом равно, очевидно Q+Q′ . Далее мы совершаем преобразование T-дуальности в неком компактном направлении. В результате в этом самом направлении граничные условия открытых струн становятся фиксированными условиями Дирихле, и потому происходит переход от исходной D9-браны к D8-бране: одно из пространственных измерений браны сворачивается в точку (на том самом компактном одномерном многообразии, вдоль которого мы совершили преобразование T-дуальности). И так далее. С помощью достаточного числа T-дуальностей можно получить любую Dp-брану. Конечно, вопрос в том, будет ли она стабильна в данной теории суперструн. Но у нас другая задача — даны стабильные  браны и нужно определить, сколько они сохраняют суперсимметрий. Когда мы совершаем преобразование T-дуальности в направлении ν, правый суперзаряд Q′ подвергается преобразованию (следствие суперсимметрии, а именно ковариантности преобразований суперсимметрии по отношению к T-дуальности)

$$Q'\rightarrow\Gamma\Gamma^\nu Q',$$

где $$\Gamma$$ — киральная матрица Дирака из D = 10 алгебры Дирака. Тогда после совершения 9−p преобразований дуальности мы получим следующий набор суперсимметрий, сохраняемых полученной в результате Dp-браной:

$$Q+\prod\beta^\nu Q',$$

где я обозначил βν=ΓΓν,  и произведение берется по всем 9-p направлениям, ортогональным Dp-бране.

С помощью выведенной формулы уже можно производить конкретные расчеты в D=10 теории суперструн и находить в результате число суперсимметрий, сохраняемых любой данной конфигурацией Dp-бран.

6. А как же M-теория? Там нет открытых струн. Там вообще нет струн. Фундаментальным объектом там является M2-брана и магнитно-сопряженная к ней M5-брана. Разумеется, при редукции к десятимерной теории должны вопроизводиться указанные выше результаты теории суперструн. Но число суперсимметрий можно также посчитать, исходя из требования суперсимметричности вакуумного решения теории, то есть найдя число суперзарядов, аннигилирующих вакуум D = 11 супергравитации, представляющий собой данную конфигурацию мембран.

Будем следовать лекциям P. Townsend «M-theory from its superalgebra».

В D=11 спиноры могут быть Майорановскими, но не могут быть Вейлевскими. В каком случае спиноры не могут быть Вейлевскими? В том если киральная матрица

$$\Gamma=\Gamma^0\Gamma^1\cdots\Gamma^{D-1}$$

пропорциональна единичной и потому не может разбить спинорное представление группы Лоренца не неприводимые представления разной киральности с помощью оператора проекции P = (1+Γ)/2. Именно такая сиуация имеет место в D = 3 тоже, где Γ0 = 2Γ1 = σ1, Γ2 = σ3, и в силу того, что произведение трех матриц Паули дает матрицу пропорциональную единичной (кватернионное свойство), киральную матрицу построить невозможно. В высших размерностях алгебры Дирака строятся грубо говоря прямым произведением алгебр из низшей размерности, поэтому нетрудно сделать вывод о том, что D = 11 допускает аналогичную ситуацию, что и D = 3. Так что киральную матрицу просто считаем равной единице.

Итак, мы имеем 32-компонетный Майорановский суперзаряд Qα, удовлетворяющий антикоммутационным соотношению алгебры суперсимметрии:

$$\{Q_\alpha,\,Q_\beta\}=(\Gamma^0\Gamma ^M)_{\alpha\beta}P_M.$$

Если у нас есть некое состояние, сохраняющее часть суперсимметрий, то это состояние необходимо безмассовое, что есть простейший пример насыщения BPS-ограничения. Действительно, сохранение части суперсимметрий данным состоянием означает то, что эта часть суперсимметрий не меняет данного состояния, что в свою очередь означает, что соответсвующие суперзаряды имеет данное состояние в качестве собственного состояния с нулевым собственным значением. Но тогда в силу алгебры суперсимметрии получаем, что матрица Γ·P вырожденная, поэтому ее детерминант равен нулю, следовательно P2 = 0. С помощью симметрии вращений пространства мы можем выбрать импульс центра масс системы равным

$$P_M=\frac{1}{2}(-1,\pm 1,0,\dots,0),$$

и в результате антикомматационное соотношение алгебры суперсимметрии запишется в виде

$$\{Q_\alpha,\,Q_\beta\}=\frac{1}{2}(1\mp\Gamma_{01})_{\alpha\beta}.$$

В результате мы заключаем, что только половина суперсимметрий, определяемых условием

$$\Gamma_{01}\varepsilon=\pm\varepsilon$$

являются симметрией данного решения D = 11 супергравитации.

Это универсальное рассуждение применимо в частности к решению супергравитации, являющимся M2-браной. Поэтому каждая M2-брана сохраняет половину суперсимметрий, получаемых проецированием исходного спинорного параметра суперсимметрии посредством оператора Pab = (1±Γab)/2, где Xa, Xb есть направления, в которых растягивается рассматриваемая солитонная M2-брана. Соответственно, если у нас есть несколько мембран, то необходимо подействовать произведением всех таких проекционных операторов на исходный параметр суперсимметрии ε.

Пример.

Допустим, у нас есть три M2-бран в направлениях (12), (34), (56). Число сохраняемых суперсииметрий таким солитонным решением D = 11 супергравитации равно 32/8 = 4, ибо это как раз число независимых компонент спинора

$$P_{12}P_{34}P_{56}\varepsilon$$

где 32 есть число компонент Майорановского спинора ε.

7. Можно ли провести связь между методом вычисления суперсимметрий по формуле для Dp-бран и указанным методом для M2-бран? Конечно же можно! Ведь рассуждение для D = 11 теории можно дословно переписать для Майорана-Вейлевских спиноров D = 10 теории. В результате мы получим совершенно тот же самый ответ. Действительно, вернемся опять к примеру из конца предыдущего пункта. Но на этот раз будем анализировать его методом Dp-бран. Т.е. суперзаряд, сохраняемый данной M2-браной с пространственными направлениями (ab), равен

$$Q+4\beta S^aS^bQ'.$$

В D=11 оба спинора Q, Q' Майорановские и равны друг другу, поэтому на самом деле имеем

$$(1+4\beta S^aS^b)Q.$$

Здесь (см. пример конкретного решения тутβ=β7β8β9β10, Sa2a-1β2a

Тогда ясно, что суперзаряды, сохраняемые всеми M2-бранами определяются условием

$$S^1S^2Q=S^3S^4Q=S^5S^6Q,$$

что в силу определения Sa можно переписать как

$$Q_p=P_{12}P_{34}P_{56}Q.$$

8. Действие для (мем)бран и аргументы с каппа-симметрией полностью формализуют все сказанное выше для описания системы вне массовой оболочки. Напомню сперва, что для равенства числа динамических бозонных и фермионных степеней свободы в теории суперструн Грина-Шварца, в теории Dp-бран и в M-теории вводится механизм калибрования части фермионных степеней свободы с помощью κ-симметрии. Возьмите, например, суперструну Грина-Шварца. Изначально она имеет 32 фермионные степени вободы, что есть сумма независимых компонент двух М.-В. спиноров в D=10. Мы знаем, что число динамических бозонных степеней свободы равно 8, что есть 10 координат таргет-пространства-времени минус 2 продольные и временные компоненты, исключаемые бозонными связями Вирасоро. Далее, уравнение Дирака сокращает число фермионных степеней свободы вдвое, оставляя нас с 16 фермионами. Однако, для суперсимметричности нам нужно убрать еще половину фермионов. Это достигается с помощью κ-симметрии. Чтобы действие было инвариантно относительно κ-симметрии нужно к обычному действию суперсимметричной сигма-модели, описывающей струну Грина-Шварца (или (мем)брану), добавить еще член Весса-Зумино, суперсимметричный сам по себе. В случае Dp-бран или мембран надо дабавить член Черна-Саймонса.

В результате действие Dp-бран и M2-бран (и суперструн) приобретает помимо суперсимметрии

$$\delta_\varepsilon\Theta=\varepsilon\,,\quad\delta_\varepsilon X^M=i\bar\varepsilon\Gamma^M\Theta$$

еще свойство инвариантности относительно локальной κ-симметрии:

$$\delta _\kappa\Theta=2P_+\kappa(\sigma)\,,\quad\delta _\kappa X^M=2i\bar\Theta\Gamma^M P_+\kappa(\sigma).$$ 

Здесь введен проекционный оператор

$$P_+=\frac{1}{2}\left(1+\frac{i}{6}\epsilon^{\alpha\beta\gamma}\partial_\alpha X^M\partial_\beta X^N\partial_\gamma X^P\Gamma_{MNP}\right),$$

где греческие индексы соответсвуют координатам, параметризующим мировой объем (мем)браны. В нашем случае мы выбираем статическую параметризацию, когда часть координат бозонного таргет-пространства параметризуют мировой объем (мем)браны. В результате для M2-браны в направлениях (ab) мы получим

$$P_+=\frac{1}{2}(1+\Gamma_{ab}),$$

т.е. ту же формулу для проекционного оператора, что и раньше. Осталось выяснить, почему именно этот проекционный оператор выделяет сохраняющиеся суперсимметрии. Фактически, это уже самоочевидно: данная конфигурация (мем)бран сохраняет суперсимметрии, если она инвариантна относительно действия этих суперсимметрий. Классический фон подразумевает равенство всех фермионов нулю, сохранение этого условия означает

$$(\delta_\varepsilon+\delta_\kappa)\Theta=\varepsilon+2P_+\kappa=0,$$

следовательно

$$P_-\varepsilon=0.$$

В свою очередь равенство нулю фермионов гарантирует инвариантность бозонного фона, т.е. самой пространственно-временной конфигурации. 

Ключевые слова: суперсимметрия, D браны, задачи, M-теория | Комментарии (1)