Заметки о теоретической физике → Ключевые слова → бозонная струна

бозонная струна

Михаил Гойхман

Квантовая теория поля с константами связи, зависящими от времени

8 августа 2012 года, 14:22

Вы наверное заметили что некоторое время назад появилась несколько любопытная статья (на тему которой Сильверштейн говорила на Strings 2012) Xi Dong, Bart Horn, Eva Silverstein, Gonzalo Torroba Unitarity bounds and RG flows in time dependent quantum field theory.

1. Как видно из названия статьи, а также из заголовка этого поста, главная идея — рассмотреть квантовую теорию поля с константами связи, зависящими от времени. Насколько оригинальна такая идея?

Одна из первых морально схожих ситуаций, которая приходит в голову, это теория бозонной струны в фоновом гравитационном поле. Действие Полякова для струны при этом:

$$S=-T\int d^2\sigma\sqrt{-h}h^{\alpha\beta}g_{\mu\nu}(X)\partial_\alpha X^\mu\partial_\beta X^\nu\,.$$

Напомню, что Xμ(σα) — это поле на двумерной поверхности мирового листа струны, параметризованного координатами σα, α=1,2, описывающее вложение струны в пространство-время с координатами xμ. Метрика на мировом листе струны hαβ содержит только один независимый параметр, являющийся одновременно параметром конформных преобразований Вейля (нетрудно убедиться, что не существует динамических уравнений на метрику h). Поэтому геометрия мирового листа — чисто алгебраическая, то есть сводится к топологии.

С другой стороны метрика gμν (метрика в пространстве отображения) является динамическим полем в эффективной теории. Что это значит? Теория струн конформно инвариантна, и потому определена на всех масштабах энергии. Действительно, конформная инвариантность в принципе не позволяет отличить один масштаб энергии от другого. Таким образом теория струн избегает проблемы неопределенности квантовой теории поля на планковском масштабе. Для описания конкретных физических явлений нам нужно сосредоточиться на отдельных модах возбуждения струны. Расстояние между различными модами возбуждения струны по порядку величины равно планковской энергии (если струнная константа связи по порядку величины равна единице). Поэтому сосредоточимся на низшем уровне возбуждений.

В теории замкнутых струн низшие моды возбуждения струны формируют мультиплет гравитации (супергравитации, в теории суперструн). В этот мультиплет, естественно, входит гравитон gμν (а также антисимметричное B-поле с двумя индексами и дилатон). Каждое отдельное возбуждение струны есть квант поля, которое описывается своей эффективной теорией, справедливой при малых масштабах энергии. Это верно и для мультиплета гравитации. Чтобы получить эффективную теорию гравитации, следующую из теории струн, можно воспользоваться следующим трюком.

Теория струн должна быть свободна от конформных аномалий: квантовые поправки не должны нарушать симметрию лагранжиана по отношению к конформным преобразованиям. В теории на мировом листе это обеспечивается тем, что пространство-время, в которое вкладывается мировой лист струны, имеет размерность 26 (или 10, в теории суперструн). Какой эффект зануления конформной аномалии на эффективной теории, описывающей поля, соотстветствующие модам возбуждения струны? Квантовая теория поля конформно инвариантна, если бета-функция всех ее констант связи равна нулю. В случае гравитации, выведенной как эффективная теория из теории струн, мы тоже имеем нечто, что играет роль константы связи.

Действительно, посмотрим на действие Полякова струны в гравитационном поле, написанное выше. Как мы только что обсудили, гравитационное поле создается струнами. Тогда это действие описывает взаимодействие струн со струнами. А именно, кусок взаимодействия — это отклонение метрики пространства-времени от плоской метрики, свернутое с производными координат вложения струны. Соответствующая «константа связи» — это флуктуирующая метрика δgμν, и вычисление бета-функции для нее дает βμν ~ Rμν, то есть тензор Риччи. Так что зануление бета-функции приводит к уравнениям Эйнштейна. Мы видим, таким образом, что идея константы связи, зависящий от (пространства-)времени, не оригинальная в статье Сильверштейн и др.

Однако, из того, что они объясняют приложении А своей работы, следует, что их подход к зависящей от времени константе связи прямо противоположен «струнному подходу», который я только что описал. В струнном подходе на низких энергиях имеется нетривиальная «динамика константы связи». Другой пример из теории струн, на этот раз открытых струн: заряд Чана-Патона на конце струны, обеспечивающий взаимодействие открытой струны с внешним калибровочным полем (U(1)-полем на мировом объеме D-браны, к которой прикреплена открытая струна) через лагранжиан $$L\sim\dot{X}^\mu A_\mu$$. В низкоэнергетической теории, за счет диаграмм поляризации вакуума, сгенерируется лагранжиан Янга-Миллса, в то время как в фундаментальной теории (теории струн) он отсутствует. Однако, в противоположность приведенному примеру, авторы рассматриваемой статьи считают константу связи динамическим полем в ультрафиолетовой теории, записывая полный лагранжиан

$$L=L_{CFT}-\frac{1}{2}\left((\partial\phi)^2+m^2\phi^2\right)+\lambda_0g\phi {\cal O}_+-\frac{1}{2}(\partial g)^2-V(g)$$

и потом переходят к низкоэнергетической теории

$$L=L_{CFT}-\frac{1}{2}\left((\partial\phi)^2+m^2\phi^2\right)+\lambda_0g\phi {\cal O}_+$$

в которой осцилляциями g над минимумом потенциала V можно пренебречь.

2. Главный вклад статьи в физику, наверное, состоит в том чтобы исследовать вопросы унитарности теории; а именно — сделать это в той ситуации, когда константы связи теории зависят от времени (вообще говоря, когда они являются функцией пространственно-временных координат).

Что значит унитарность теории? Унитарность — это когда все процессы рассеяния имеют хорошо определенную амплитуду вероятности, равную амплитуде обратного процесса, причем сумма всех вероятностей равна единице. С точки зрения квантовой теории поля такие системы описываются унитарной S-матрицей. Чтобы получить конкретные выражения для амплитуд, надо записать S-матрицу между какими-то асимптотическими (свободными) состояниями системы.

Однако, например, в калибровочно-инвариатной теории мы хотим исключить все чисто калибровочные (и потому нефизические) состояния из рассмотрения, а также временные компоненты калибровочных бозонов, имеющие отрицательную норму. Тогда возникнет проблема того, полна ли система оставшихся состояний, то есть полон ли базис по которому мы теперь будем раскладывать состояния системы. Он полон, и прямое доказательство в теории БРСТ основывается на нильпотентности оператора БРСТ (Пескин и Шредер, 16.4 — это фактически как ссылка на Библию ;) ).

Для полноты обсудим кратко доказательство БРСТ унитарности теории в которой S-матрица рассматривается только между физическими асимптотическими состояниями: т.е. состояниями с поперечными калибровочными бозонами. Будем обозначать такие состояния как |A;tr>. В формализме БРСТ (в котором вводится оператор БРСТ-преобразований Q, удовлетворяющий свойству нильпотентности, или «грассамновости», Q2=0) это состояния, которые зануляются при действии БРСТ-оператора Q, но непредставимы как результат действия Q на некоторое (нефизическое) состояние. Тогда теория унитарна, если выполняется соотношение полноты

$$\sum_A|A;{\rm tr}\rangle\langle A;{\rm tr}|=I\,.$$

Это соотношение, разумеется не выполняется во всем гильбертовом пространстве, так как у нас есть еще продольные состояния калибровочных бозонов, полученные действием Q на состояния не уничтожаемые Q. И  у нас есть сами состояния, которые не уничтожаются Q: состояния с отрицательными нормами (временные компоненты калибровочных бозонов) и духи Фадеева — Попова. Однако унитарность теории означает, что это соотношение выполняется для всех уравнений, которые определяют вероятности процессов рассеяния.

Действительно, чтобы доказать унитарность, нам нужно показать, что выражение SS=1 выполняется когда S-матрица записана в базисе физических состояний системы. Для начала нужно вставить единичный оператор

$$I=\sum_A|A\rangle\langle A|$$

между S и S. Потом нужно взять матричный элемент между поперечными (физическими) асимптотическими состояниями. В силу нильпотентнтсти БРСТ-оператора нетрудно убедиться, что в представлении I тогда выживает только сумма по физическим состояниям системы.

Другой пример унитарного ограничения следует из оптической теоремы, когда амлитуда лежит внутри круга на комплексной плоскости. Действительно, согласно оптической теореме сечение σ = |A|2 процесса с амплитудой A дается выражением σ=с Im(A), где c есть некоторая величина. Получаем тогда

$$\left({\rm Re}(A)\right)^2+\left({\rm Im}(A)-\frac{c}{2}\right)^2\leq\frac{c^2}{4}$$

Мы видим, что оптическая теорема, следующая из унитарности, ограничивает величину возможной амплитуды процесса рассеяния в диск.

Теперь, допустим мы знаем эффективную теорию. Она может быть даже неперенормируема. Сильверштейн и др. приводят пример, когда такая эффективная теория, которая унитарна в ИК, оказывается неунитарной в УФ. Обратная ситуация не возникла бы: фундаментальная теория, определенная унитарно в УФ, не породила бы неунитарную теорию в ИК. Это означает что РГ поток имеет ограничения — унитарные ограничеения — такие как ограничения на аномальную размерность операторов. Мы можем не решать РГ уравнения, а применить шнурочный принцип (bootsrtap), чтобы сразу наложить существенные ограничения на теорию в ИК режиме.

Сильверштейн и др. однако больше интересуются проблемой унитарности ультрафиолетовго дополнения данной ИК теории. Они показываю, что эту проблему удобно адресовать если сделать константы связи зависящими от времени. Это и естественно, так как это добавляет естественный размерный параметр в теорию. В принципе это самая главная идея и самая главная мотивация статьи, причем все остальное есть технические детали и попытки применения этой идее к разным теориям.

3. Итак, иллюстративный пример, на котором начинает довольно успешно работать идея о константах связи, зависящих от времени, есть пример теории скалярного поля, вроде того, для которого выше был написан Лагранжиан. Эта теория при достаточно низких энергиях (то, что это означает поток из ИК в ИК, обсудим ниже) есть двухследовая деформация конформной теории поля. Пусть теперь константа связи зависит от времени,

$$g(t)=g_0t^\alpha\,.$$

Пусть масса m скалярного поля очень велика, так что можно явно проинтегрировать по скалярному полю и действительно получить двухследовый член в лагранжиане

$$\int d^dx\frac{g(x)^2}{m^2}{\cal O}_+^2=\int d^dx\frac{g_0^2t^{2\alpha}}{m^2}{\cal O}_+^2$$

Видно, что зависимость константы связи от времени сыграла свою роль: теперь при достаточно малых импульсах, или на достаточно больших промежутках времени, при которых вариация константы связи со временем важна, мы имеем

$$[g_0^2/m^2]=2(\alpha-\nu)$$

так что мы имеем возможность использовать степень временной зависимости константы связи для управления тем, какова размерность статической константы двухследового взаимодействия. Заметим, что если бы константа связи не зависела бы от времени, то взаимодействие было бы несущественным.

Тонкость состоит в том, что мы должны решить проблему унитарности, т.е. двинуться в ультрафиолет и посмотреть что там происходит. Если же константа связи зависит от времени недостаточно резко (с малой степенью α), то мы можем попасть в статический режим в УФ, и проблема унитарности будет такая же как и в обычной квантовой теории поля с константами связи, не зависящими от времени. Так что нужно позаботиться об иерархии масштабов. Сильверштейн и др. объясняют, что можно добиться удобной иерархии.

4. Вот еще несколько комментариев по статье:

1. То, что в статье называется полу-голографическим подходом, есть несколько неточное использование терминологии. Полуголографический подход — это когда вы считаете часть пропагаторов (а именно, пропагаторы сильновзаимодействующей конформной теории поля) с помощью AdS/CFT соответствия, а часть пропагаторов выводите из лагранжиана слабо-взаимодействующей теории (это не Глэшоу — Вайнберг — Салам: просто теория с малой константой связи, или свободная теория). Потом, допустим CFT и слабо-взаимодействующая КТП взаимодействуют друг с другом, и константа взаимодействия мала. Тогда квантовые пропагаторы КТП получаются суммированием геометрической прогрессии: вы вставляете пропагаторы CFT между пропагаторами КТП и суммируете все возможные диаграммы. При это количество цветов N в CFT большое, так что можно пренебречь всеми петлями с полями КТП в них.

2. При выводе перенормировки размерности CFT оператора (то, что называется Δ  → Δ + перенормировка) поток, который на самом деле рассматривается, в большинстве случае есть поток из ИК в ИК, потому что даже в «ультрафиолетовой» части рассматриваемой области энергии авторы пренебрегают кинетическим членом для полей. Тем не менее конформная размерность оператора считывается с импульсной зависимости корреляционной функции (конформно-инвариатной, т.е. с обратной степенной зависимостью, т.е. без юкавских множителей для взаимодействий с массивными частицами-переносчиками). Примечательно что при этом в конформной неподвижной точке ренормгруппового потока (conformal fixed point) лагранжиан судя по всему содержит размерные множители (чтобы дать правильную корреляционную функцию, которая тоже содержит размерные множители). [Спасибо Б. Галило за разъяснение этого момента.]

3. Кто нибудь понимает контекст ссылки на Толстого (в начале пункта 5)? Ну и заодно если честно то само утверждение Толстого мне тоже кажется необоснованным.

Ключевые слова: квантовая теория поля, бозонная струна | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Бозонная струна

13 февраля 2011 года, 20:14

Что рассматривается в этом посте

В этом посте предоставляется обзор бозонной струны. Изложение в большей степени подчеркивает общие черты физики теории без дальнейших деталей. Любые детали можно либо найти в литературе либо уточнить в комментариях.

Литература

В первую очередь рекомендуется пользоваться следующими книгами (первая является обновлением второй):

  • K. Becker, M. Becker, J.H. Shwarz String Theory and M-theory (Modern Introduction),
  • M. Green, J.H. Schwarz, E. Witten Superstring Theory (two volumes).

За дополнительным сведениями и альтернативным к указанному выше изложением можно обращаться к

  • E. Kiritsis String Theory in a Nutshell.

Для получения исчерпывающих сведений по бозонной струне и D-бранам рекомендуется пользоваться

  • J. Polchinski String Theory (two volumes).

Введение

Рассмотрим релятивистскую физическую систему, представляющую собой одномерный объект некоторой (малой) протяженности, возможно замкнутый, — бозонную струну. Пусть этот объект погружен в плоское пространство-время Минковского, которое мы назовем фоновым пространством (или таргет-пространством по причине, описанной ниже). Как и всякая струна, объект характеризуется натяжением, которое мы обозначим через T. Благодаря наличию натяжения струна может колебаться, так что, помимо поступательного движения центра масс, свободная струна характеризуется каким-то колебательным состоянием с энергией колебания, зависящей от натяжения струны. Поскольку мы планируем интерпретировать различные моды колебания струны как различные частицы, в дальнейшем вместо энергии колебания мы рассматриваем массу, очевидно связанную с энергией по формуле Эйнштейна ;) Размерность натяжения есть [T] = L−2, поэтому по порядку величины масса струнных возбуждений будет равна $$\inline M\sim\hbar c\sqrt{T}$$. Разумеется дальше мы считаем ħ = 1.

В теории струн натяжение принято связывать со струнным масштабом расстояний $$\ell _s$$ по формуле $$\inline T=1/\pi\ell _S^2$$ и с параметром Редже α′ по формуле T = 1/2πα′.

Динамика свободной струны

Чтобы описать конкретную динамику струны, можно (даже нужно) воспользоваться лагранжевым формализмом. А именно, мы хотим, чтобы решением уравнений Лагранжа были колебательные состояния струны. Тогда уравнением Лагранжа должно быть волновое уравнение. Когда мы записываем действие, мы интегрируем по пространству-времени, в котором эволюционирует описываемая этим действием система. Что эволюционирует в случае струны? Какие конкретно поля описываются Лагранжианом струны? Так как мы хотим описать, как струна движется в фоновом пространстве-времени, то эти поля есть координаты точек струны в фоновом пространстве. Каждая точка струны характеризуется, в свою очередь, двумя координатами на мировой поверхности струны, заметаемой при ее движении. Мировая поверхность (или мировой лист) — тоже пространство-время, но двумерное, с координатами σ1 = σ, σ2 = τ — собственными пространственными и временными координатами струны. Сравните это с точечной релятивистской частицей, которая, будучи нуль-мерным объектом, имеет только :) собственное время. Это собственное время свободной частицы максимально (вспомните парадокс близнецов), так что действие точечной релятивистской частицы пропорционально интегралу собственного времени с обратным знаком и с коэффициентом — массой (что дает правильное выражение импульса). Как вы можете догадаться, действие для струны тогда должно быть пропорционально площади поверхности мирового листа с обратным знаком и натяжением в качестве множителя (что обобщает массу). Это будет правильная догадка, такое действие называется действием Намбу-Гото и это первое записанное действие релятивистской струны. Это один из независимых подходов приводящих к нужному результату.

Другой подход больше соответствует пути, который мы наметили выше для поиска действия, — поиск на основании колебательных уравнений движения. На таком пути мы получим действие Полякова:

$$S=-\frac{T}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}h^{\alpha\beta}\partial _\alpha X^\mu\partial _\beta X_\mu{}.$$

Это действие имеет сигма модельный вид с базовым пространством-временем, являющимся мировой поверхностью струны, и таргет пространством-временем Xμ, являющимся фоновым пространством. Это действие также включает метрику на мировом листе hαβ, исключение которой с помощью уравнений движения вернет нас к действию Намбу-Гото. Решением уравнений движения для метрики hαβ является, как можно догадаться,

$$h_{\alpha\beta}=\partial _\alpha X\cdot \partial _\beta X{},$$

где точка означает свертку в таргет пространстве-времени. То есть метрика полностью индуцируется специфическим вложением струны Xμ(στ) в пространство-время.

Выше мы отметили что, решив уравнение движения для метрики на мировом листе, мы можем вернуться к действию Намбу-Гото. Однако это не то, что мы хотим, если нашей целю является квантование струны. Для квантования удобней пользоваться действием Полякова, найти импульсы, канонически сопряженные полям Xμ(σα), записать скобки Пуассона и перейти к коммутационным соотношениям: записать коммутационные соотношения для амплитуд Фурье, то есть ввести операторы рождения и уничтожения и т. д. Но перед тем как это сделать, нам надо привести действие Полякова к наиболее простому виду. Надо закрепить нединамическое поле hαβ(σ, τ). Это можно сделать, воспользовавшись репараметризационной симметрией на мировой поверхности, то есть группой двумерных диффеоморфизмов (обратите внимание, что действие Полякова ковариантно). Эта симметрия позволяет зафиксировать два из трех независимых параметров метрики hαβ. Можно зафиксировать и третий, если заметить, что действие инвариантно относительно группы локальных рескейлингов метрики (преобразований Вейля) hαβ → Ωhαβ. В результате можно положить метрику на мировом листе равной ηαβ — плоской метрике двумерного пространства-времени. Это называется конформной калибровкой. Уравенения движения струны тогда будут выглядить как

$$(-\partial _\tau ^2+\partial _\sigma ^2)X^\mu=0{},$$

что есть искомое волновое уравнение. Не следует забывать также, что необходимо учесть уравнения движения для поля hαβ. Чтобы их записать, мы должны приравнять вариацию действия по hαβ нулю. Если представить это как

$$T_{\alpha\beta}=\frac{2}{\sqrt{-h}}\frac{\delta S}{\delta h^{\alpha\beta}}=0,$$

то мы получим равенство нулю тензора-энергии импульса. В частности, энергия и импульс — Нетеровские токи, следующие из симметрии трансляции по координатам на мировой поверхности, — равны нулю. Постольку поскольку энергия составляется из энергии колебательного движения и квадрата массы (равного квадрату импульса движения центра масс струны в таргет-пространстве с противоположным знаком), то из равенства нулю полной энергии можно вывести массовую формулу для струны — связь массы струны M с ее колебательным состоянием (число возбуждений равно N; для замкнутой струны число возбуждений решений, зависящих от τ − σ, равно числу возбуждений Ñ решений, зависящих от τ + σ):

αM2 = N − 1 для открытой струны,

αM2 = 4(N − 1) = 4(Ñ − 1) для замкнутой струны.

Квантование

Выше уже отмечались основные этапы канонического квантования струны. Процедура здесь отчасти стандартная. Мы, во-первых, решаем уравнения движения для струны в конформной калибровке, записав самое общее решение в виде суммы ряда Фурье по всем модам, удовлетворяющим граничным условия (замкнутая или открытая струны с граничными условиями Неймана или Дирихле). Затем амплитуды Фурье заменяются на операторы рождения и уничтожения. Тензор энергии-импульса тоже можно разложить в ряд Фурье. Амплитуды Lm этого разложения являются элементами алгебры Вирасоро. Особенностью квантования струны является то, что мы квантуем систему со связями, так что все физические состояния должны удовлетворять условию равенства нулю ТЭИ. Поэтому действие операторов Вирасоро на физических состояниях должно давать ноль. Непротиворечиво можно наложить это условие на половину (то есть на операторы с положительным индексом разложения Фурье) операторов Вирасоро из-за специфики коммутационных соотношений:

$$[L_m,\,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}m(m^2-1),$$

где c есть центральный заряд алгебры Вирасоро, равный D — размерности фонового пространства-времени. Последний член в правой части этой формулы выражает собой конформную аномалию — чисто квантовое явление, естественно означающее нарушение трансляционной симметрии на мировой поверхности (конформной симметрии, генерируемой по теореме Нетер ТЭИ) на квантовом уровне. Чтобы избавиться от конформной симметрии и проквантовать систему со связями ковариантно, в одно и то же время можно ввести духовые поля, фиксирующие конформную калибровку (процедура квантования БРСТ), и потребовать, чтобы полный ТЭИ для струнных полей Xμ и духовых полей равнялся нулю. Вклад духовых полей равен −26, так что только при D = 26 конформная аномалия отсутствует.

Спектр

Допустим, мы канонически проквантовали струну. Каждое квантовое состояния струны получается действием операторов рождения на вакуумное состояние (при действии на которое всеми операторами уничтожения мы получаем ноль). Вместо процедуры БРСТ нагляднее пользоваться квантованием в световом конусе, когда только поперечные амплитуды αi, i = 1, …, 24, дают вклад в построение спектра, а временная α0 и продольная α25 вклада не дают. В результате довольно легко описать спектр состояний струны.

Рассмотрим для начала открытую струну:

  • $$|0,k\rangle$$ - тахионный вакуум αM2 = −1,
  • $$\alpha^i_{-1}|0,k\rangle$$ - безмассовое векторное поле в представлении SO(24) безмассовой малой группы Лоренца,
  • $$\alpha^i_{-1}\alpha^j_{-1}|0,k\rangle, \alpha^i_{-2}|0,k\rangle$$ — массивное поле со спином 2 в представлении SO(25) (массивной малой группы Лоренца).

И так далее. Вакуумное состояние $$|0,k\rangle$$ есть осцилляторный вакуум, в то время как импульс центра масс, вообще говоря, ненулевой и равен k.

В случае замкнутой струны мы по сути формируем прямое произведение состояний открытой струны построенных с помощью разных повышающих операторов $$\inline \alpha ^i_{-n}$$ и $$\inline \tilde\alpha ^i_{-n}$$:

  • $$|0,k\rangle$$ — тахионный вакуум αM2 = −4,
  • $$|\Omega^{ij}\rangle =\alpha ^i_{-1}\tilde\alpha ^j_{-1}|0,k\rangle$$ — безмассовое поле.

И так далее. Безмассовое состояние Ωij можно разложить на симметричную бесследовую часть — гравитон gij, антисимметичную часть — поле Bij и след — дилатон $$\phi$$.

Имеет смысл предоставить обоснование тому, почему мы так назвали поля спектра колебаний замкнутой струны. Например, откуда мы взяли, что симметричная бесследовая часть состояния Ωij является гравитоном. Хорошо, во-первых это безмассовая частица с двумя симметризованными индексами, каждый из которых находится в представлении малой безмассовой подгруппы SO(24) группы Лоренца таргет-пространства, что совпадает с характеристиками гравитона. Значит, если мы собираемся описать низшие колебания струны в некоторой эффективной теории, то мы должны записать общековариантное действие для полей $$\phi$$, gij, Bij в пространстве-времени. Если ограничиться только полем gij, то простейшим будет действие Эйнштейна, анализируя которое, скажем, в низко-энергетическом пределе, мы можем найти решение, представляющее собой гравитационную волну, находящуюся в представлении группы Лоренца со спином 2, то есть гравитон. Все эти выводы, особенно сведения о том, каким конкретно эффективным действием описываются безмассовые состояния струны, можно получить и строго математически, потребовав зануление бета-функции для струны, что означает отсутствие конформной аномалии и перенормируемость квантовой теории (что мы обеспечили выбором подходящей размерности пространства-времени, и потому для поиска эффективного действия логично воспользоваться таким методом). Для начала нужно модифицировать действие Полякова, записав его в искривленном фоновом пространстве-времени с метрикой gμν:

$$S=-\frac{T}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}h^{\alpha\beta}g_{\mu\nu}\partial _\alpha X^\mu\partial _\beta X^\nu{}.$$

Бета-функция пропорциональна Римановой кривизне: βμν ~ Rμν, так что равенство нулю бета-функции в точности приводит к уравнению Эйнштейна для свободного гравитационного поля. В этом и состоит, пожалуй, самое удивительное свойство бозонной струны (суперструна расширяет предсказание гравитации до предсказания супергравитации): исходя из простейших соображений струна предсказывает существование гравитации, которая (без учета чисто струнных поправок) описывается уравнениями Эйнштейна.

Ключевые слова: бозонная струна | Комментарии (16)