Заметки о теоретической физике → Ключевые слова → МССМ

МССМ

Михаил Гойхман

GUT

15 сентября 2013 года, 18:12

Интересный обзор Виттена о теориях великого объединения:

Edward Witten, Quest for Unification

Стандартный материал, конечно, но может кому то будет полезно.

Я кстати писал про модель Джорджи-Глэшоу. Конечно рекомендую прочитать Любоша Мотла на эту же тему.

Ключевые слова: квантовая теория поля, суперсимметрия, МССМ | Комментарии (4)
Роман Парпалак

Лагранжиан МССМ

13 января 2012 года, 00:05

Мы применим развитый в предыдущий раз математический аппарат для суперсимметричного обобщения стандартной модели. МССМ — это модель, в которой добавляется меньше всего новых полей.

Состав полей МССМ

В суперсимметричных моделях все поля должны входить в состав супермультиплетов. При суперсимметричном расширении стандартной модели необходимо проанализировать, могут ли ее частицы быть суперпартнерами друг друга, или же придется к известным частицам добавлять новые.

В стандартной модели нет фермионов с квантовыми числами калибровочных бозонов. Хиггсовские поля приобретают вакуумные средние, поэтому они не могут быть суперпартнерами кварков или лептонов (иначе происходило бы спонтанное нарушение сохранения барионных и лептонных чисел). Эти соображения приводят нас к тому, что в МССМ число частиц удваивается: каждая частица стандартной модели приобретает своего суперпартнера.

Кроме того, присутствия одного хиггсовского дублета недостаточно. Для придания масс «верхним» и «нижним» кваркам в лагранжиан стандартной модели входит как дублет хиггсовских полей, так и его эрмитово сопряжение. В суперсимметричном случае так сделать нельзя, потому что суперпотенциал может содержать только киральные суперполя, а эрмитово сопряжение переводит киральное поле в антикиральное. В МССМ вводится еще один дублет хиггсовских полей с противоположным гиперзарядом.

Состав полей МССМ приведен в таблицах (тильда над символом обозначает суперпартнера обычной частицы).

Киральные поля

Векторные поля

Суперпотенциал МССМ и R-четность

В прошлый раз мы убедились, что, кроме выбора полей и калибровочных групп, для построения теории нужно выбрать суперпотенциал, после чего ее лагранжиан однозначно определяется требованиями суперсимметрии. Обычно суперпотенциал выбирается в виде, повторяющем юкавские взаимодействия стандартной модели:

$${\cal W}_R = y_{\rm u}^{ij}{\bar{ u}}_i Q_j \cdot H_{\rm u} -y_{\rm d}^{ij}{\bar{ d}}_i Q_j \cdot H_{\rm d} -y_{\rm e}^{ij} {\bar{ e}}_i L_j\cdot H_{\rm d} + \mu H_{\rm u}\cdot H_{\rm d},$$

где через символ «·» обозначена свертка SU(2)-дублетов с помощью антисимметричного тензора (например, $$H_{\rm u} \cdot H_{\rm d} = H^+_{\rm u} H^-_{\rm d} -H^0_{\rm u}H^0_{\rm d}$$), yu,d,e — юкавские константы связи, i, j = 1, 2, 3 — индексы поколений, а цветовые индексы опущены. Эта часть лагранжиана почти полностью повторяет стандартную модель, за исключением замены обычных полей на суперполя. Единственная разница состоит в наличии слагаемого, описывающего смешивание хиггсовских полей. Оно отсутствует в стандартной модели, поскольку там имеется только один хиггсовский дублет.

В принципе, суперпотенциал может содержать и другие слагаемые

$$W_{\Delta L=1}=\lambda_{e}^{ijk}L_i \cdot L_j {\bar{e}}_k +\lambda_{L}^{ijk} L_i \cdot Q_j {\bar{d}}_k +\mu_{L}^i L_i \cdot H_{\rm u},$$

$$W_{\Delta B=1}=\lambda_{B}^{ijk}{\bar{u}}_i {\bar{d}}_j {\bar{d}}_k.$$

Подобные взаимодействия в стандартной модели отсутствуют. Причина проста: невозможно заменить суперполя в этих выражениях на обычные поля вследствие требования релятивистской инвариантности лагранжиана.

Эти новые слагаемые нарушают лептонное или барионное число. Так как оба эффекта в природе до сих пор не наблюдались, то эти взаимодействия должны быть сильно подавлены либо исключены. От них можно избавиться, потребовав сохранения так называемой R-четности, определяемой как

$$R=(-1)^{3(B-L)+2S},$$

где B — барионное число, L — лептонное число, а S — спин частицы. Это обычно и делается, так как сохранение R-четности ведет к стабильности легчайшей суперсимметричной частицы, которая может служить прекрасным кандидатом на роль частицы темной материи, что, как уже отмечалось, является феноменологически привлекательным свойством суперсимметрии.

Нарушение суперсимметрии

Важным свойством суперсимметричных моделей является нарушение суперсимметрии. Если бы такого нарушения не было, суперпартнеры были бы вырождены по массе с обычными частицами. Однако новые частицы с массами известных частиц стандартной модели никогда не наблюдались. Также не работал бы хиггсовский механизм нарушения электрослабой симметрии.

Чтобы применять суперсимметричные модели в физике высоких энергий, необходимо потребовать нарушение суперсимметрии. При этом вырождение по массе исчезает, и суперпартнеры могут приобрести большие массы.

Конкретный механизм нарушения суперсимметрии в настоящий момент неизвестен. Несмотря на это, в лагранжиан можно ввести различные слагаемые, в явном виде нарушающие суперсимметрию. Ниже перечислен возможный вид подобных слагаемых, не нарушающих калибровочную инвариантность и перенормируемость модели.

  1. Массы гейджино (суперпартнеры калибровочных бозонов) $$\inline -1/2 (M_3 {\tilde{g}}^\alpha {\tilde{g}}^\alpha + M_2 {\tilde{W}}^\alpha {\tilde{W}}^\alpha + M_1 {\tilde{B}} {\tilde{B}} + {\rm h.c.})$$, где индекс α пробегает значения от 1 до 8 в первом слагаемом (глюино) и от 1 до 3 во втором слагаемом (вино).
  2. Массовые слагаемые скварков $$\inline -m^2_{{\tilde{\rm Q}}ij} {\tilde{Q}}^\dagger_i \cdot {\tilde{Q}}_j -m^2_{{\tilde{\bar{\rm u}}}ij} {\tilde{\bar{u}}}^\dagger_i{\tilde{\bar{u}}}_j -m^2_{{\tilde{\bar{\rm d}}}ij} {\tilde{\bar{d}}}^\dagger_i {\tilde{\bar{d}}}_j,$$ где i и j — индексы поколений.
  3. Массовые слагаемые слептонов $$\inline -m^2_{{\tilde{\rm L}}ij} {\tilde{L}}^\dagger_i \cdot {\tilde{L}}_j -m^2_{{\tilde{\bar{\rm e}}}ij} {\tilde{\bar{e}}}^\dagger_i {\tilde{\bar{e}}}_j.$$
  4. Массовые слагаемые хиггсовских полей $$\inline -m^2_{{\rm H}_{\rm u}} H_{\rm u}^\dagger \cdot H_{\rm u} -m^2_{{\rm H}_{\rm d}} H^\dagger_{\rm d} \cdot H_{\rm d} -(b H_{\rm u} \cdot H_{\rm d} + {\rm h.c.}).$$
  5. Трёхскалярные взаимодействия $$\inline -a_{\rm u}^{ij} {\tilde{\bar{u}}}_i {\tilde{Q}}_j \cdot H_{\rm u} + a_{\rm d}^{ij} {\tilde{\bar{d}}}_i {\tilde{Q}}_j \cdot H_{\rm d} + a_{\rm e}^{ij} {\tilde{\bar{e}}}_i {\tilde{L}}_j \cdot H_{\rm d} + {\rm h.c.}$$

Отметим, что в этих формулах определения SU(2)L-инвариантых произведений «·» для эрмитово-сопряженного и обычного дублетов и для двух дублетов, не содержащих эрмитовых сопряжений, отличаются. Например, $$H^\dagger_{\rm u} \cdot H_{\rm u} = |H^{+}_{\rm u}|^2 + | H^0_{\rm u}|^2$$, в то время как $$H_{\rm u} \cdot H_{\rm d} = H^+_{\rm u} H^-_{\rm d} -H^0_{\rm u} H^0_{\rm d}$$.

Все перечисленные здесь слагаемые в явном виде нарушают суперсимметрию, так как содержат не суперполя, а компонентные поля. Единственное требование к таким слагаемым — калибровочная инвариантность. Эти слагаемые часто называют слагаемыми мягкого нарушения суперсимметрии, так как они являются операторами размерности 2 и 3.

Матрицы квадратов масс в общем случае комплексные, но они обязаны быть эрмитовыми.

Как видим, после введения слагаемых мягкого нарушения суперсимметрии в модели появляется множество дополнительных свободных параметров, которые снижают ее предсказательную силу.

Тем не менее, если привлечь некоторые другие соображения, например, гипотезу объединения взаимодействий, удается сократить число свободных параметров и увеличить предсказательную силу модели. В перспективе я покажу, как это делается в модели mSUGRA, а в следующем посте рассмотрим нарушение электрослабой симметрии и хиггсовский сектор МССМ.

Ключевые слова: МССМ | Оставить комментарий
Роман Парпалак

Математический аппарат МССМ

6 декабря 2011 года, 00:25

После первого знакомства с МССМ и обсуждения ее достоинств остановимся на некоторых математических подробностях построения суперсимметричных лагранжианов. Более полное изложение формализма МССМ и связанных вопросов можно найти в лекциях Яна Эйтчисона, предполагающих наличие у читателя только базовых знаний квантовой теории поля.

Простейший суперсимметричный лагранжиан, описывающий взаимодействия спинорного и скалярного поля, можно подобрать «вручную». Однако для стандартной модели из-за большого количества полей это сделать крайне затруднительно. Чтобы свободно конструировать разные варианты суперсимметричных теорий, был разработан интересный математический формализм, в основе которого лежат суперполя и суперпространство.

Суперпространство и преобразования суперсимметрии

Как известно, оператор импульса Pμ является генератором трансляций в пространстве Минковского. По аналогии с этим оператор суперсимметрии Qα, введенный в прошлый раз, можно трактовать как дополнительный генератор трансляций в некотором расширенном пространстве. С учетом фермионной природы оператора Qα легко сделать вывод о том, что и новые координаты должны иметь фермионную природу, то есть быть антикоммутирующими.

Суперпространство — это обобщение пространства Минковского, получающееся путем добавления к обычным координатам xμ двух новых грассмановых (антикоммутирующих) координат $$\theta_\alpha,\bar {\theta }_{\dot{\alpha }}$$:

(1)$$\left\{ {\theta _\alpha ,\theta _\beta } \right\}=0,\quad \{ {\bar {\theta }_{\dot {\alpha }} ,\bar {\theta }_{\dot {\beta }} } \}=0,\quad \theta _\alpha ^2 =0,\quad \theta _\beta ^2 =0,\quad \alpha ,\beta ,\dot {\alpha },\dot {\beta }=1,2.$$

Преобразования суперсимметрии образуют группу, представляющую собой обобщение трансляций в пространстве Минковского. Групповой элемент

$$G(a_\mu,\varepsilon_\alpha, \bar{\varepsilon}_{\dot \alpha}) =\exp\left\{i(-a^\mu P_\mu + \varepsilon_\alpha Q_\alpha + \bar{\varepsilon}_{\dot \alpha}\bar{Q}_{\dot \alpha})\right\}$$

порождает супертрансляции:

$$x_\mu \to x_\mu + a_\mu +i\theta \sigma_{\mu} \bar{\varepsilon} +i\varepsilon \sigma_\mu \bar{\theta},$$

$$\theta_\alpha \to \theta_\alpha +\varepsilon_\alpha,$$

$$\bar{\theta }_{\dot \alpha} \to \bar{\theta }_{\dot \alpha}+\bar{\varepsilon }_{\dot \alpha}.$$

Киральные суперполя

Суперполе — это поле, определенное на суперпространстве. Формальное разложение суперполей в ряд Тейлора по грассмановым переменным в силу (1) содержит лишь несколько первых членов, а более старшие члены зануляются. При построении суперсимметричного расширения стандартной модели нам понадобится всего два типа суперполей: киральное и векторное.

Определим киральное суперполе как поле, зависящее только от x и θ:

(2)$$\bar {D}_{\dot {\alpha }} \,\Phi(x,\theta , \bar{\theta} )=0,\quad \bar{D}_{\dot {\alpha }} =-\frac{\partial }{\partial \bar {\theta }_{\dot {\alpha }} }-i\left( {\theta \sigma ^\mu } \right)_{\dot {\alpha }} \partial_\mu .$$

Добавка к дифференциальному оператору возникает при опускании спинорного индекса и связана в конечном итоге с некоммутативностью суперсимметричных генераторов.

Грассманово разложение для кирального суперполя имеет вид

$$\Phi(x,\theta ) =A(x)+\sqrt 2 \theta \psi (x)+\theta \theta F(x).$$

Выбор численных множителей сделан из соображений удобства. Коэффициенты разложения, которые представляют собой функции координат x, называются компонентными полями. A(x) — комплексное скалярное поле, ψ(x) — вейлевское спинорное поле, F(x) — вспомогательное скалярное поле. Физические поля A(x) и ψ(x) образуют киральный супермультиплет. Присутствие вспомогательного поля F(x) необходимо в теории, так как скалярное и спинорное поле имеют разное количество степеней свободы, в то время как число бозонных и фермионных степеней должно быть одим и тем же. Поле F(x) не имеет физического смысла и, как мы увидим ниже, может быть исключено с помощью уравнений движения.

Под действием преобразований суперсимметрии компонентные поля переходят друг в друга:

$$\delta _\varepsilon A =\sqrt 2 \varepsilon \psi ,$$

$$\delta _\varepsilon \psi =i\sqrt 2 \sigma ^\mu \bar{\varepsilon}\partial _\mu A+\sqrt 2 \varepsilon F,$$

$$\delta _\varepsilon F =i\sqrt 2 \bar {\varepsilon }\sigma ^\mu \partial _\mu \psi .$$

Видно, что вариация F-компоненты кирального суперполя есть полная производная.

Суперпотенциал

Рассмотрим произвольную функцию киральных суперполей $${\cal W}$$. Ясно, что эта функция по определению (2) также будет киральным полем. Разложим ее в ряд по грассмановым переменным (для простоты здесь рассмотрен случай одного аргумента)

$${\cal W}\left(\Phi\right)={\cal W}\!\left(A+\sqrt2 \theta\psi +\theta \theta F \right)={\cal W}\left(A\right)+\frac{\partial {\cal W}}{\partial A}\sqrt{2}\theta\psi+\theta\theta \left(\frac{\partial {\cal W}}{\partial A}F-{1\over 2}\frac{\partial^2 {\cal W}}{\partial A^2}\psi\psi\right).$$

Как отмечалось выше, вариация F-компоненты суперполя (множитель при θθ) представляет собой полную производную. Это означает, что F-компонента $${\cal W}$$ может являться частью лагранжиана, инвариантной относительно суперсимметричных преобразований, потому что вариация действия будет нулевой. Функцию $${\cal W}$$ будем называть суперпотенциалом.

С учетом требования перенормируемости суперпотенциал должен быть многочленом по суперполям, степень которого не выше трех. Следовательно, самый общий вид суперпотенциала есть

(3)$${\cal W} = \lambda_i \Phi_i + \frac{1}{2}m_{ij}\Phi_i \Phi_j + \frac{1}{3} y_{ijk} \Phi_i \Phi_j \Phi_k.$$

Построение суперсимметричного лагранжиана

Введем следующие правила интегрирования по грассмановым переменным, учитывая соображения линейности интеграла и антикоммутируемости грассмановых переменных (1)

$$\int d\theta _\alpha =0 , \quad \int \theta _\alpha d\theta _\beta =\delta _{\alpha \beta } .$$

Интересно отметить, что при таком определении результат интегрирования и  дифференцирования совпадает. 

Как мы видели выше, лагранжиан суперсимметричной теории может быть выписан через суперполя. При этом суперсимметричное действие оказывается интегралом по суперпространству от комбинации суперполей, в полной аналогии с обычной теорией поля, когда действие выражается через интеграл от плотности функции Лагранжа по пространству Минковского.

Определим пространственно-временную плотность функции Лагранжа как

$${\cal L} = \int d^2\theta \,d^2\bar \theta \,\Phi_i^\dag \Phi_i+ \left[\int d^2\theta \,{\cal W} + {\rm h.c.}\right].$$

В этом выражении первая часть — это кинетическое слагаемое, которое описывает свободные поля. Вторая часть определяется суперпотенциалом и отвечает взаимодействиям полей. Из разложения суперполя по компонентам и из правил интегрирования легко видеть, что интегрирование суперпотенциала по d2θ выделяет его F-компоненту, поэтому, как было сказано выше, такой лагранжиан инвариантен относительно суперсимметричных преобразований.

После подстановки выражения для суперпотенциала (3), раскладывания суперполей по компонентам и интегрирования, получаем

$${\cal L} = i\partial_{\mu}\bar \psi_i \bar \sigma^{\mu}\psi_i + A_i^{\dagger} \Box A_i + F_i^{\ast}F_i + \\ + [\lambda_i F_i + m_{ij}(A_iF_j — \frac{1}{2}\psi_i \psi_j ) + y_{ijk}(A_iA_jF_k — \psi_i \psi_j A_k ) + {\rm h.c.}].$$

Вспомогательное поле F не имеет кинетических слагаемых и не описывает динамические степени свободы. Его можно исключить с помощью уравнений движения

$$\frac{\partial {\cal L}}{\partial F_k^*} = F_k + \lambda_k^* + m_{ik}^*A_i^\dagger + y_{ijk}^* A_i^\dagger A_j^\dagger =0,$$
$$\frac{\partial {\cal L}}{\partial F_k} = F_k^* + \lambda_k + m_{ik}A_i + y_{ijk} A_iA_j=0.$$

Выражая из этих уравнений F и F*, окончательно получаем

$${\cal L}= i\partial_{\mu}\bar \psi_i \bar \sigma^{\mu}\psi_i + A_i^\dagger \Box A_i -\frac{1}{2}m_{ij}\psi_i \psi_j -\frac{1}{2}m_{ij}^* \bar \psi_i \bar \psi_j -\\ -y_{ijk}\psi_i \psi_j A_k -y_{ijk}^* \bar \psi_i \bar \psi_j A_k^\dagger -{\cal V}(A_i, A_j^\dagger),$$

где последнее слагаемое — это скалярный потенциал $${\cal V} = F_k^* F_k $$. Мы вернемся к обсуждению скалярного потенциала, когда завершим построение суперсимметричного лагранжиана, инвариантного относительно калибровочных преобразований.

Векторные суперполя

Для построения калибровочной теории нам необходимо действительное векторное суперполе $$V=V^\dag$$. Это поле зависит от всех переменных и разлагается по грассмановым переменным определенным образом, для краткости это разложение мы опустим. Среди компонент можно выделить векторное поле Vμ и спинорное поле χ. Они являются физическими степенями свободы. Другие компоненты нефизические и их можно исключить выбором калибровки.

Суперсимметричные калибровочные преобразования определяются следующим образом. Под их действием векторное суперполе V должно меняться как

$$V\to V+\Phi +\Phi ^\dag ,$$

а киральное суперполе X преобразуется как

$$X \to e^{q\Phi }X, \quad \bar{X} \to e^{q\Phi ^\dag}\bar{X}.$$

Здесь Φ — некоторое киральное суперполе. Как видно, величина $$\bar {X}e^{-qV}X$$ инвариантна относительно таких преобразований.

В специально выбранной калибровке, называемой калибровкой Весса-Зумино, остаются только физические степени свободы и вспомогательное поле D, а все остальные компоненты зануляются. В этой калибровке

$$V =-\theta \sigma ^\mu \bar{\theta} V_\mu (x)+i\theta \theta \bar{\theta} \bar{\lambda} (x)-i\bar{\theta} \bar{\theta} \theta \lambda (x)+\frac{1}{2}\theta \theta \bar{\theta} \bar{\theta} D(x),$$

$$V^2 =-\frac{1}{2}\theta \theta \bar{\theta} \bar{\theta} \,V_\mu (x)V^\mu (x),$$

$$V^3 =0.$$

Поэтому выражение вида eqV тоже содержит несколько первых членов разложения в компонентных полях.

В общем (неабелевом) случае тензор напряженности суперполя принимает вид

$$W_\alpha =-\frac{1}{4}\bar {D}^2e^VD_\alpha e^{-V}, \quad \bar{W} {}_{\dot \alpha} =-\frac{1}{4}D^2e^V\bar {D}_{\dot \alpha} e^{-V},$$

Здесь стоит отметить, что сложившиеся обозначения не очень удачны. Символ D обозначает и дифференциальный оператор сдвига по грассмановым переменным, и вспомогательное поле, и ковариантную производную. Символ W обозначает и суперпотенциал, и напряженность калибровочного суперполя. Изменить обозначения мы не в силах, поэтому приходится быть внимательнее.

Разложение напряженности по компонентам есть

$$W_\alpha =T^a\left( {-i\lambda _\alpha ^a +\theta _\alpha D^a- {i \over 2}\left( {\sigma ^\mu \bar {\sigma }^\nu \theta } \right)_\alpha F_{\mu \nu }^a +\theta ^2\left( {\sigma ^\mu D_\mu \bar {\lambda }^a} \right)_\alpha } \right),$$

где Ta — генераторы калибровочной группы, подчиняющиеся коммутационным соотношениям [TaTb] = fabc Tc (напомним, что числа fabc называются структурными константам калибровочной группы), $$F_{\mu \nu }^a =\partial _\mu v_\nu -\partial _\nu v_\mu +f^{abc}v_\mu ^b v_\nu ^c$$ — аналог тензора напряженности для компонентного поля vμ, $$D_\mu \bar {\lambda }^a=\partial _\mu \bar {\lambda }^a+f^{abc}v_\mu ^b \bar {\lambda }^c$$ — ковариантная производная.

Суперсимметричная теория Янга-Миллса

Калибровочно-инвариантный суперсимметричный лагранжиан должен содержать кинетические слагаемые, взаимодействия полей материи и калибровочных полей, а также самодействие калибровочных полей.

Начнем с рассмотрения кинетических слагаемых калибровочных полей. В калибровке Весса-Зумино

$$W^{\alpha}W_{\alpha}|_{\theta \theta}= -2i\lambda \sigma^{\mu}D_{\mu}\bar \lambda -\frac{1}{2}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}+\frac{1}{2}D^2 +i \frac{1}{4}F^{\mu \nu}F^{\rho \sigma}\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma }.$$

Последнее слагаемое представляет собой полную производную, и его можно не включать в лагранжиан. Кинетические слагаемые калибровочных полей лагранжиана принимают вид

$${\cal L}= \frac{1}{4}\!\int\!d^2\theta\,W^{\alpha}W_{\alpha} + \frac{1}{4}\!\int\!d^2\bar \theta \,\bar{W}^{\dot \alpha}\bar W_{\dot \alpha} = \frac{1}{2}D^2 -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} -i \lambda \sigma^{\mu}D_{\mu}\bar \lambda.$$

Чтобы получить калибровочные взаимодействия киральных полей, достаточно изменить их кинетическое слагаемое

$$\Phi_i^\dagger \Phi_i \rightarrow \Phi_i^\dagger e^{gV} \Phi_i.$$

Полный лагранжиан, инвариантный относительно калибровочных преобразований и преобразований суперсимметрии, имеет вид

$${\cal L}_{\rm SUSY~YM} = \frac{1}{4}\int d^2 \theta\,Tr(W^{\alpha}W_{\alpha}) + \frac{1}{4}\int d^2 \bar{\theta}\,Tr(\bar{W}^{\alpha}\bar{W}_{\alpha}) + \\ + \int d^2 \theta d^2 \bar \theta \, \Phi_{ia}^\dagger(e^{gV})_b^a\Phi_i^b+\int d^2 \theta \,{\cal W}(\Phi_i) +\int d^2 \bar{\theta}\,\bar{{\cal W}}({\Phi}_i^\dagger) ,$$

где $${\cal W}$$ — это суперпотенциал, который должен быть инвариантен относительно калибровочной группы теории. Этот лагранжиан можно выразить через компонентные поля, выполнив интегрирования

$${\cal L}_{\rm SUSY~YM} = -\frac{1}{4}F^a_{\mu \nu }F^{a\mu \nu}-i\lambda^a\sigma^\mu D_\mu \bar{\lambda}^a+\frac{1}{2}D^aD^a +$$

$$+(\partial_\mu A_i -igv^a_\mu T^aA_i)^\dagger (\partial_\mu A_i -igv^{a}_\mu T^aA_i) -i\bar{\psi}_i\bar{\sigma}^\mu (\partial_\mu \psi_i -igv^{a}_\mu T^a\psi_i) +$$

$$+gD^aA^\dagger_i T^aA_i-i\sqrt{2}A^\dagger_iT^a\lambda^a\psi_i + i\sqrt{2}\bar{\psi}_iT^aA_i\bar{\lambda}^a+F^\dagger_iF_i +$$

$$+ \frac{\partial {\cal W}}{\partial A_i} F_i+ \frac{\partial \bar{\cal W}}{\partial A_i^\dagger}F^\dagger_i -\frac{1}{2}\frac{\partial^2 {\cal W}}{\partial A_i \partial A_j}\psi_i\psi_j -\frac{1}{2}\frac{\partial^2 \bar{{\cal W}}}{\partial A_i^\dagger \partial A_j^\dagger}\bar{\psi}_i\bar{\psi}_j.$$

От вспомогательных полей Da и Fi можно избавиться с помощью уравнений движения (по аналогии с тем, как поле Fi было устранено ранее) и получить окончательный лагранжиан суперсимметричной теории Янга-Миллса.

Скалярный потенциал

В отличие от стандартной модели, где скалярный потенциал — взаимодействие скалярных полей — можно выбирать произвольно (единственное требование — калибровочная инвариантность), скалярный потенциал $${\cal V}$$ суперсимметричных теорий полностью определяется суперпотенциалом. Он состоит из двух частей, происходящих из D-слагаемых и F-слагаемых.

Выпишем часть лагранжиана, зависящую от поля Da

$${\cal L}_D=\frac{1}{2}D^aD^a + g D^a A^\dag_i T^a A_i.$$

Отсюда легко найти уравнение движения

$$D^a=-g A^\dag_iT^aA_i.$$

Аналогично для части лагранжиана, зависящей от полей Fi

$${\cal L}_F=F^*_iF_i+(\frac{\partial \cal W}{\partial A_i}F_i + {\rm h.c.}),$$

можно найти уравнение движения

$$F^*_i=-\frac{\partial \cal W}{\partial A_i}.$$

Подставив полученные выражения в лагранжиан, получим окончательное выражение для скалярного потенциала суперсимметричных моделей

$${\cal{V}}(A_1, A_2, \ldots, A_1^\dagger, A_2^\dagger, \ldots ) = \left|{\partial {\cal W} \over \partial A_i}\right|^2 + \frac{1}{2} g^2 (A_i^\dagger T^a A_i) (A_j^\dagger T^a A_j).$$

Таким образом, в суперсимметричных теориях нет большой свободы в построении лагранжиана. Можно выбирать только состав полей, калибровочные группы (и соответствующие константы взаимодействий) и суперпотенциал. Этим выбором и будет определен лагранжиан.

Ключевые слова: МССМ | Комментарии (4)
Роман Парпалак

Преимущества МССМ

10 ноября 2011 года, 00:02

Стандартная модель фундаментальных взаимодействий в силу определенных теоретических причин не может быть окончательной физической теорией. По сравнению с ней МССМ обладает рядом преимуществ и является более предпочтительной. Сейчас мы рассмотрим главные аргументы в пользу суперсимметричного расширения стандартной модели.

Объединение калибровочных констант связи

Согласно гипотезе великого объединения взаимодействий калибровочная симметрия возрастает с энергией. Все известные взаимодействия являются различными ветвями единого взаимодействия, связанного с простой калибровочной группой, включающей в себя группу стандартной модели. Объединение (или расщепление) происходит при высоких энергиях (1015 — 1016 ГэВ).

Хотя в пользу этой гипотезы свидетельств практически нет, уже сейчас можно проверить, приближаются ли друг к другу константы калибровочных взаимодействий стандартной модели с ростом энергии. Их изменение описывается уравнениями ренормгруппы. В однопетлевом приближении

$$\frac{1}{\alpha_i(Q^2)}= \frac{1}{\alpha_i(\mu^2)}- b_i \ln \frac{Q^2}{\mu^2},$$

где индекс i пробегает группы U(1), SU(2) и SU(3), а коэффициенты bi в рамках стандартной модели равны (41/10, −19/6, −7). Константы калибровочных взаимодействий на масштабе энергии нарушения электрослабой симметрии (100 ГэВ) известны с достаточной точностью для решения этих уравнений.

Результат изображен на рисунке. Видно, что в стандартной модели объединение констант связи невозможно. А в минимальном суперсимметричном расширении стандартной модели другие коэффициенты bi = (33/5, 1, −3), и в ней действительно происходит объединение калибровочных констант: существует такой масштаб ∼ 1016 ГэВ, на котором константы принимают одинаковые значения.

Объединение с гравитацией

Вероятно, это самый главный аргумент в пользу суперсимметрии в рамках объединительной парадигмы — идеи объединения всех сил природы в одну. Дело в том, что эта идея сталкивается с определенной трудностью. Переносчик гравитационного взаимодействия, гравитон, имеет спин 2, в то время как спин переносчиков остальных взаимодействий (фотон, W- и Z-бозоны, глюоны) равен 1. Следовательно, они лежат в разных представлениях группы Пуанкаре. Чтобы их перемешать, можно воспользоваться преобразованием суперсимметрии. Это преобразование уменьшает спин частицы на ½ и, следовательно, может перемешивать частицы с разными спинами.

С другой стороны, в суперсимметричных моделях комбинация двух локальных преобразований суперсимметрии приводит к локальной трансляции координат. В итоге мы получаем теорию, инвариантную относительно локальных координатных преобразований, то есть теорию гравитации.

Стоит отметить, что этот аргумент касается не столько МССМ, сколько других суперсимметричных моделей: в МССМ как в минимальном расширении стандартной модели нет гравитона (спин 2) и его суперпартнера гравитино (спин 3/2).

Решение проблемы иерархий

Несмотря на огромные успехи cтандартной модели в объяснении экспериментальных данных, она не может описывать все явления природы, хотя бы из-за того, что не включает гравитацию. Следовательно, начиная с некоторой энергии работает другая, более общая теория. Однако появление двух различных масштабов энергии в теориях великого объединения, а именно MEW ≪ MGUT, MEW ≈ 102 ГэВ, MGUT ≈ 1016 ГэВ, приводит к серьезной проблеме, называемой «проблемой иерархий».

Во-первых, это само существование иерархии — отличающихся на столько порядков масштабов энергий в рамках одной теории. Во-вторых, сохранение существующей иерархии при учете радиационных поправок. Поправки к квадратичному (массовому) слагаемому $$\phi^{}2$$ хиггсовского поля, возникающие из-за самодействия $$\phi^4$$ и пропорциональные MGUT2, разрушают иерархию, если только они не сокращаются.

Единственным способом получения такого сокращения квадратичных массовых членов (также известного как сокращение квадратичных расходимостей) является суперсимметрия. Более того, суперсимметрия автоматически сокращает все квадратичные поправки во всех порядках теории возмущений благодаря вкладам суперпартнеров обычных частиц. Вклады бозонных петель сокращаются со вкладами фермионных в силу наличия дополнительного множителя (−1), следующего из ферми-статистики.

Радиационное нарушение электрослабой симметрии

Как известно, в стандартной модели электрослабая симметрия разрушается за счет механизма Хиггса, когда специально введенное в теорию скалярное поле выпадает в конденсат, нарушающий симметрию. При этом важен потенциал хиггсовского поля. В стандартной модели он выбирается так, чтобы его минимум соответствовал ненулевому значению поля. В суперсимметричном случае потенциал больше не является произвольным. Его вид фиксирован суперсимметрией. При определенных обстоятельствах этот потенциал может иметь нетривиальный минимум.

Более того, разрушение электрослабой симметрии за счет радиационных поправок позволяет объяснить само существование иерархии. Если начинать решения уравнений ренормгруппы на масштабе великого объединения и идти в область меньших энергий, нужно пройти много порядков, прежде чем коэффициент перед квадратичным (массовым) слагаемым хиггсовского поля сменит знак.

Природа темной материи

Видимая (светящаяся) материя составляет не всю материю во Вселенной. Значительное количество материи составляет так называемая темная материя. Прямым указанием на существование темной материи являются кривые вращения спиральных галактик. Для объяснения этих кривых обычно предполагают существование галактического гало, состоящего из несветящейся материи, которая участвует в гравитационном взаимодействии.

Согласно данным WMAP, материя во Вселенной распределена следующим образом: 73% приходится на темную энергию, 23% на темную материю и 4% на обычную барионную материю. Темная материя составляет значительную часть, превосходящую во много раз долю видимой материи, которая составляет всего лишь десятую часть от барионной материи.

Рассматриваются различные варианты небарионной темной материи: горячая, состоящая из легких релятивистских частиц, и холодная, состоящая из массивных слабовзаимодействующих частиц (WIMPs — Weakly Interacting Massive Particles).

Горячая темная материя могла бы состоять из нейтрино, но это проблематично с точки зрения механизма образования галактик. Кроме того, нейтрино слишком легки для образования достаточного количества темной материи.

Что касается холодной темной материи, то в стандартной модели нет подходящей для этой цели частицы. В то же время в некоторых суперсимметричных моделях, в частности, в МССМ, есть прекрасный кандидат на роль холодной темной материи — нейтралино — легчайшая суперсимметричная частица. Она стабильна, так что реликтовые нейтралино могли бы сохраниться во Вселенной со времен большого взрыва.

В следующий раз я напишу подробнее о математическом аппарате МССМ.

Ключевые слова: МССМ | Комментарии (17)
Роман Парпалак

Введение в МССМ

7 ноября 2011 года, 18:18

Суперсимметрия

Суперсимметрия — симметрия между бозонами и фермионами. Идея суперсимметрии была предложена около 40 лет назад в работах Гольфанда и Лихтмана, Волкова и Акулова, а также Весса и Зумино. За это время были написаны тысячи статей, суперсимметризации были подвергнуты все модели квантовой теории поля, был разработан новый математический аппарат, позволяющий работать с грассмановыми (антикоммутирующими) переменными. Причина такой активности заключается в особой математической природе суперсимметрии, позволяющей, например, решить ряд проблем стандартной модели.

Поиски различных проявлений суперсимметрии являлись одной из главных задач многочисленных экспериментов на коллайдерах и в неускорительных экспериментах на протяжении нескольких десятилетий. К сожалению, результат пока отрицательный, в том числе и на LHC. Тем не менее, различные суперсимметричные модели активно исследуются: исключаются модели, в которых новые частицы уже могли быть обнаружены. Также вкладом суперсимметрии пытаются объяснить расхождения некоторых экспериментальных данных и теоретических предсказаний стандартной модели.

Супералгебра

По теореме Коулмана — Мандулы группа Пуанкаре является наиболее общей группой пространственных симметрий квантовых теорий поля с нетривиальной S-матрицей. Однако алгебру Пуанкаре можно расширить, добавляя новые генераторы Qi, подчиняющиеся не коммутационным, а антикоммутационным соотношениям. В результате получается супералгебра.

Определение супресимметричных операторов Qi заключается в требовании выполнения следующих антикоммутационных соотношений

$$\{ {Q_\alpha^i,\bar{Q}_{\dot{\beta}}^j} \}= 2\delta^{ij}\sigma_{\alpha \dot{\beta}}^\mu P_\mu.$$

Оператор Q — фермионный. Он переводит фермионы в бозоны и наоборот

$$Q\vert boson\rangle=\vert fermion\rangle,\quad Q\vert fermion\rangle =\vert boson\rangle .$$

Если суперсимметрия является точной симметрией лагранжиана, то оператор Q, очевидно, коммутирует с операторами энергии и импульса:

$$[Q_\alpha^i, P_\mu]=0.$$

О простейшем случае, когда имеется один суперсимметричный оператор Qi, говорят как о N = 1 суперсимметрии. Если N > 1, это расширенная суперсимметрия. Чтобы понять, каким может быть N, рассмотрим так называемые супермультиплеты.

Супермультиплеты

Пусть имеется безмассовое состояние $$\vert E,\lambda \rangle$$ с энергией E и спиральностью λ, которое зануляется при действии оператора Qi

$$Q^{i}\vert E, \lambda \rangle=0.$$

Действуя на это состояние сопряженными операторами, мы можем получить остальные состояния в мультиплете:

  • $$\bar{Q}^{i}\vert E, \lambda \rangle= \vert E, \lambda+1/2 \rangle_i$$ (N состояний),
  • $$\bar{Q}^{i}\bar{Q}^{j}\vert E, \lambda \rangle= \vert E, \lambda+1 \rangle_{ij}$$ (N(N−1)/2 состояний),
  • $$\bar{Q}^{1}\bar{Q}^{2}\ldots\bar{Q}^{N}\vert E, \lambda \rangle= \vert E, \lambda+N/2 \rangle$$ (одно состояние).

Количество состояний на каждом этапе определяется биномиальными коэффициентами. Это легко понять, если учесть, что все операторы, действующие на состояние, в силу антикоммутации должны быть различными. Количество бозонных состояний совпадает с количеством фермионных состояний и равно 2N−1, а общее количество состояний есть 2N.

Кроме того, энергия каждого состояния одинакова, потому что Qi коммутирует с оператором четырехимпульса.

Если мы собираемся строить теорию, инвариантную относительно CPT-преобразований, нужно учесть, что преобразование пространственной четности меняет знак спиральности. Таким образом, к перечисленным выше состояниям необходимо добавлять состояния с противоположной спиральностью.

Рассмотрим простейший пример = 1, λ = 0. Тогда имеется 2 состояния (λ = 0 и λ = ½). После учета противоположной спиральности получается по одному состоянию со спиральностью ±½ и два состояния со спиральностью 0, что соответствует одному комплексному скаляру и одному фермиону с двумя состояниями спиральности.

Рассмотрим пример посложнее (SUSY YM) = 4, λ = −1. В таком мультиплете есть состояния со следующими спиральностями:

  • λ = −1 — одно состояние,
  • λ = −½ — четыре состояния,
  • λ = 0 — шесть состояний,
  • λ = ½ — четыре состояния,
  • λ = 1 — одно состояние.

Ясно, что максимальный спин S в мультиплете ограничен снизу: N ≤ 4S. Если мы хотим рассматривать перенормируемые теории, спин частиц не должен превышать 1, тогда N ≤ 4. В теориях супергравитации спин не должен превышать 2, поэтому для них N ≤ 8.

Идея МССМ

Как мы убедились выше, в суперсимметричных теориях возникают вырожденные по всем квантовым числам (кроме спина) 2N частиц. В природе такого не наблюдается. Поэтому в физике элементарных частиц применяется простейшая суперсимметрия = 1.

Поскольку в стандартной модели нет частиц с одинаковыми квантовыми числами, но разным спином, в МССМ (минимальной суперсимметричной стандартной модели) каждая частица приобретает суперпартнера — частицу с такими же квантовыми числами и спином, отличающимся на ½.

Для построения МССМ достаточно всего двух мультиплетов: рассмотренного выше кирального мультиплета (с физическими состояниями, обладающими спином 0 и ½) и векторного мультиплета (с физическими состояниями, обладающими спином ½ и 1). Это обусловлено тем, что в стандартной модели нет частиц со спином, превышающим 1.

Важным свойством МССМ является нарушение суперсимметрии. Если бы такого нарушения не было, суперпартнеры были бы вырождены по массе с обычными частицами. Однако новые частицы с массами известных частиц стандартной модели никогда не наблюдались.

В следующий раз мы рассмотрим преимущества МССМ по сравнению со стандартной моделью.

Ключевые слова: МССМ | Комментарии (2)