Заметки о теоретической физике → Ключевые слова → конформная теория поля

конформная теория поля

Михаил Гойхман

Соответствие между теорией высших спинов и векторными сигма-моделями

28 мая 2012 года, 20:01

Хочу прокомментировать недавнюю статью

Robert de Mello Kocha, Antal Jevickib, Kewang Jinc, Joao P. Rodriguesa, and Qibin Yeb S = 1 in O(N)/HS duality

которая продолжает исследования в одном из направлений соотвествия между теорией струн в объёме и квантовой теорией поля на границе анти де Ситтер — подобного пространства-времени. Это направление довольно любопытно: теория в объёме есть теория высших спинов в AdS4. Я не большой эксперт именно в этой деятельности, однако попробую обрисовать то, что я знаю, начиная с самого простого.

Это длинный пост, и он представляет собой обзор значительной части материала, сопряженного O(N)/HS соответствию.

1. Спин — это квантовое число, характеризующее представление группы вращения. Выберем плоскость вращения, и назовём её (1,2). После вращения на угол φ она переходит в плоскость (1',2'), так что элементы матрицы вращения (подгруппа SO(2) группы Лоренца SO(1,d-1) для d-мерного пространства-времени) есть

$$\omega_{1'}^{\;\;1}=\cos\varphi\,,\quad\omega_{1'}^{\;\;2}=-\sin\varphi\,,\quad\omega_{2'}^{\;\;1}=\sin\varphi\,,\quad\omega_{2'}^{\;\;2}=\cos\varphi$$

Применим эти параметры вращения к преобразованию ковариантного тензора

$$A_{\mu_1\cdots\mu_n}\rightarrow A_{\mu_1'\cdots\mu_n'}=\omega_{\mu_1'}^{\;\;\mu_1}\cdots\omega_{\mu_n'}^{\;\;\mu_n}A_{\mu_1\cdots\mu_n}$$

Отщепим n-1 индексов и обозначим их как «(...)». Посмотрим как преобразуется оставшийся индекс, когда он обозначает направление на плоскости, которую мы вращаем на угол φ:

$$A_{(...)'1'}=A_{(...)'1}\cos\varphi -A_{(...)'2}\sin\varphi\,,$$ 

$$A_{(...)'2'}=A_{(...)'1}\sin\varphi +A_{(...)'2}\cos\varphi\,.$$

Поэтому объект $$A_{(...)\pm}=A_{(...)1}\pm iA_{(...)2}$$ при вращении в плоскости (1,2) преобразуется следующим образом: весь тензор умножается на e±iφ, и если среди индексов «(...)» есть 1 или 2, то они преобразуются с помощью Лоренцевских параметров ω. К преобразованию этих «(...)» индексов можно применить то же правило что мы только что применили к последнему индексу, группируя его два возможных значения 1 и 2 в плоскости вращения в индекс ±. Каждый фактор e±iφ характеризует спин-1 представление вращений, т.е. минимальный угол на который надо повернуть плоскость чтобы тензор перешел сам в себя есть 2π. Знак плюс или минус — это знак проекции спина вдоль оси «перпендикулярной» плоскости вращения (перпендикулярность плоскости вращения есть понятие, однозначно определенное только в трехмерии).

Допустим мы интересуемся неприводимыми представлениями группы Лоренца. Тогда все индексы тензора A либо симметризованны, либо антисимметризованны, либо взяты в след (свёрнуты попарно). Допустим тензор A симметричен. Тогда все его компоненты, которые обладают всеми индексами, лежащими в плоскости вращения (1,2), перепишем в терминах индексов ±. После этого становится очевидным закон преобразования такого тензора: это преобразование поля с целым спином, и максимальный возможный спин есть n — ранк тензора.

2. Приведем пример тензоров с разными, в том числе высшими (большими, чем 1), спинами. Скаляр — поле без индексов — сразу заключаем что он имеет нулевой спин. Антисимметричный тензор — не преобразуется при вращениях (умножается на детерминант матрицы преобразования, который равен единице при вращениях) — потому тоже имеет нулевой спин. Тензор энергии-импульса — имеет два индекса, потому является сохраняющимся током со спином 2. Гравитон — симметричный тензор с двумя индексами — имеет спин 2.

Более конкретно о том, что имеет непосредственное отношение к данному посту. Рассмотрим свободное скалярное поле в d-мерном пространстве-времене, живущее в фундаментальном представлении O(N) группы вращений (индекс a есть векторный индекс, преобразующийся под действием O(N) группы):

$$L=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^a)^2+\frac{1}{2}m^2(\phi^a)^2\,.$$

Если s — чётное число, то нетрудно убедиться что ток со спином s,

$$J_{\mu_1\cdots\mu_s}=\phi^a\partial_{(\mu_1}\cdots\partial_{\mu_s)}\phi^a$$

сохраняется на массовой оболочке (и является синглетом O(N)). Под скобками понимается анти-симметризованной действие на поля справа и на поля слева (из-за антисимметризации возникает ограничение на спин — чтобы он был чётным числом), например

$$J_{\mu\nu}=\phi^a\partial_\mu\partial_\nu\phi^a-\partial_\mu\phi^a\partial_\nu\phi^a$$

есть сохраняющийся ток со спином 2. Как я уже сказал в общем случае, и теперь покажу в конкретном, другой сохраняющийся ток со спином 2 есть тензор энергии-импульса:

$$T_{\mu\nu}=\partial_\mu\phi^a\partial_\nu\phi^a-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\partial_\lambda\phi^a\partial^\lambda\phi^a\,.$$

Среди сохраняющихся токов со спином 2 есть только один ток — тензор энергии-импульса. Выше я привел два тока: тензор энергии-импульса Tμν и Jμν. Утверждение состоит в том что любой из них может быть равноправно взят как ТЭИ, и они оба эквивалентны. В данном контексте симметрий с высшими спинами выбор Jμν, разумеется, предпочтительнее, так как он записан в такой форме, которая легко обобщается для построения токов с высшими четными спинами.

Итак, вспомним, что если Tμν — сохраняющийся ток, то к нему можно прибавить λΣμνλ, так что если тензор Σμνλ антисимметричен по индексам μ и λ, то Θμν=Tμν+λΣμνλ тоже есть сохраняющийся ток со спином 2, μΘμν=0. Такое преобразование обычно используется чтобы сделать ТЭИ симметричным по его индексам. Выберем

$$\Sigma ^{\mu\nu\lambda}=\eta^{\mu\nu}\phi\partial^\lambda\phi-\eta^{\lambda\nu}\phi\partial^\mu\phi\,,$$

где для краткости я опускаю явное обозначение суммирования по векторному индексу a. Тогда очевидно, что

$$T_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\left(\eta_{\mu\nu}\phi\partial^2\phi-\partial^\lambda\Sigma_{\mu\nu\lambda}-J_{\mu\nu}\right)\,.$$

Здесь $$\eta_{\mu\nu}\phi\partial^2\phi$$ — это совершенно  неинформативный объект, который сохраняется на массовой оболочке просто потому, что равен на ней нулю. Таким образом мы показали эквивалентность Tμν и Jμν определений ТЭИ.

3.  Исходная статья, которая положила начало исследованию соотвествия между векторными сигма-моделями и теорией высших спинов в AdS, есть статья

I.R. KlebanovA.M. Polyakov AdS Dual of the Critical O(N) Vector Model

Впоследствии было много других работ, тестирующих и использующих это соответствие, см. например

S. Giombi and X. Yin Higher Spin Gauge Theory and Holography: The Three-Point Functions

где было продемонстрированно равенство трех-точечных функций, посчитанных независимо голографически и в теории поля (см. также пост Любоша Мотла). Для меня не очевидно сейчас есть ли HS/O(N) какой-то независимый пример голографической дуальности, или он связан в том или ином смысле, с соотвествием между теорией струн в объеме и теорией поля на границе. А именно, мне не ясно в какой именно роли струны применяются при таком установлении голографической дуальности. Теория гравитации с высшими спинами есть нечто такое, что я никогда не изучал, так что на поставленный вопрос я не могу ответить сколько нибудь конкретно.

Вполне возможно, что теория Васильева проявляется как самосогласованное редуцирование эффективной теории гравитации, а векторная сигма-модель — как самосогласованное редуцирование теории Янга-Миллса. Если это действительно так, то именно это указывает на то как HS/O(N) соответствие выводится из теории струн.

Хорошо, КП предлагают взять O(N)-инвариантную модель вроде той, что я описал в пункте 2, и дают рецепт голографического вычисления сохраняющихся токов с высшими спинами, которые присутствуют в этой теории. Основное наблюдение состоит в возможности установления соответствия между полями hμ1...μs с чётными спинами в теории Васильева в AdS4 и сохраняющимися токами с четными спинами в векторной 3d модели на границе. AdS/CFT соответствие предписывает квантование

$$\langle\exp\int d^3xh_0^{(\mu _1\dots\mu _s)}J_{(\mu _1\dots\mu _s)}\rangle =e^{S[h_0]}\,,$$

т.е. значение h0 поля h на границе AdS является источником для тока J в дуальной 3d теории поля. Похоже на стандартное квантование, так как генерирующий функционал в левой части построен с помощью граничного значения поля в объёме. Однако, это не так. В стандартном квантовании размерность дуального оператора теории поля наибольшая (из двух возможных Δ±, когда две возможны, т.е. когда Δ->(d-2)/2), в то время как здесь она наименьшая. Квантование таким образом есть т.н. альтернативное квантование.

Чтобы пояснить, возьмём «ток» $$J_0=\phi^a\phi^a$$ со спином ноль. Заметим, что он имеет размерность 1. С другой стороны дуальное массивное скалярное поле в AdSd+1 (у нас d=3) имеет два возможных решения

$$h\simeq z^{\Delta_\pm}h_0$$

вблизи границы AdS, z=0:

$$\Delta_\pm=\frac{d}{2}\pm\sqrt{\frac{d^2}{4}+m^2}\,,$$

причем сумма размерностей дуального поля и скалярного оператора в теории поля должна быть равна d (чтобы генерирующий функционал в формуле КП представлял собой экспоненту от безразмерной величины; скалярное поле в AdS считается при этом безразмерным, [h]=0). Тогда единственный возможный (из двух) вариант представить размерность J0 через массу дуального скалярного поля в AdS есть 

$$1=\Delta_-=\frac{d}{2}-\sqrt{\frac{d^2}{4}+m^2}\,,$$

и потому m2=-2, что действительно есть масса скалярного поля в AdS4, возникающая из члена взаимодействия скаляра кривизны со скалярным полем. Обычно в простейших применениях AdS/CFT соответствия аргументы вроде этого о взаимодействии скалярного поля с гравитационным полем в AdS не применяются: гравитационый фон считается фиксированным и не влияющим на динамику полей. Однако в данном случае вероятно следующее. Мы начинаем с того, что формулируем теорию поля, для которой хотим построить голографическое описание. Берём в качестве этой теории поля O(N) векторную модель с бесконечным набором токов с четно-значными спинами. Берём эти сохраняющиеся токи и ищем голографически-дуальные к ним поля. Первый этап: ток со спином ноль. Обнаруживаем, что дуальное скалярное поле тогда имеет массу m2=-2. Второй этап: ток со спином 2, в качестве которого мы можем (в том числе) взять тензор энергии-импульса. Дуальное поле — гравитон. Далее, мы хотим чтобы всё взаимодействовало наиболее общим возможным образом. Тогда учитываем взаимодействие скалярного поля в AdS с массой m2=-2 и гравитона. Замечаем «удачное совпадение» (не случайное, разумеется), что m2=-2 есть значение массы скалярного поля в AdS, возникающее из лагранжиана скалярного поля в искривленном пространстве-времени, когда это пространство-время есть AdS4.

При ренорм-групповом потоке размерность оператора в квантовой теории поля меняется. Если O — это оператор с размерностью Δ-, и мы добавим к UV Лагранжиану член O2 (являющийся существенным оператором, т.к. его размерность есть 2Δ-<d, и потому стоящая перед ним константа взаимодействия имеет положительную массовую размерность и следовательно не вымирает при ренормгрупповом потоке), то ренормгрупповой поток принесёт нас к IR Лагранжиану, в котором O будет иметь размерностью Δ+. Этот факт независим от голографии и говорит о том, что в IR мы имеем стандартное квантование и квантовую конформную теорию CFTIR (эффективную конформную теорию поля скалярного оператора O с размерностью Δ+), в то время как в UV мы имеем альтернативное квантование и квантовую конфомрную теорию CFTUV («эффективную» конформную теорию поля скалярного оператора O с размерностью Δ-).

Но этот факт может быть в том числе также явно продемонстрирован с помощью голографической перенормировки (когда ренормгрупповой поток в теории поля изображается как изменение параметров теории поля в зависимости от того, какому значению радиальной координаты в AdS она соотвествует; например UV режим теории поля соответствует границе AdS и IR режим соответствует Пуанкаре-горизонту AdS), в простейшем случае — на примере скалярного поля в AdS.

На основании этого простейшего примера КП предлагают включить J02 член в Лагранжиан дуальной теории поля. Сделав это становится понятным когда J0 имеет «стандартную» размерность Δ+ — это просто результат ренормгруппового потока из «альтернативного» значения Δ-. Итак, O(N) векторная модель обладает тем, что называется двухследовое взаимодействие (вообще то такой термин применяется когда поля живут в присоединенном представлении, но тут принцип тот же):

$$S[\phi]=\int d^3x\left(\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^a)^2+\frac{\lambda}{2N}(\phi^a\phi^a)^2\right)$$

Выбор обозначения для константы двухследового взаимодействия λ, при котором соответствующий член в лагранжиане имеет в знаменателе явно N обусловлен тем, что при этом оба члена действия имеют одинаковый порядок по N, что важно при рассмотрении теории при больших N.

Это было введение.

3.1. Посмотрим сперва не теоретико-полевую сторону дуальности. Первое что мы сделаем, это применим метод Хаббарда-Стратоновича, введя вспомогательное поле σ,

$$S_0[\phi,\sigma]=\int d^3x\left(\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^a)^2+\sigma\phi^a\phi^a-\frac{N}{2\lambda}\sigma^2\right)$$

Тогда

$$Z_0=\int{\cal D}\phi{\cal D}\sigma\exp\left(-S_0[\phi,\sigma]\right)=\int{\cal D}\phi{\cal D}\sigma\exp\left(-S[\phi]\right)\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3x\sigma^{\prime 2}\right)\,,$$

где сдвинутое вспомогательное поле есть

$$\sigma'=\sigma-\frac{\lambda}{N}\phi^a\phi^a\,.$$

Ясно что

$${\cal D}\phi{\cal D}\sigma={\cal D}\phi{\cal D}\sigma'\,,$$

и потому Z0Z с точностью до нормировочной константы, где

$$Z=\int{\cal D}\phi\exp\left(-S[\phi]\right)\,.$$

Конкретно

$$Z_0=Z\int{\cal D}\sigma\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3x\sigma^2\right)=Z\prod_x\sqrt{\frac{2\pi\lambda}{N}}\,.$$

Классически, конечно, поле σ просто явно исключается с помощью его нединамического уравнения движения и мы возвращаемся от действия S0 к действию S. Хорошо, будем тогда исседовать нашу векторную модель с двухследовым взаимодействием с помощью действия S0. Это удобно. Почему? Взаимодействующая теория на квантовом уровне описывается диаграммами с петлями. В нашем случае из действия S мы находим пропагатор и четвертичную вершину самодействия, и потом рисуем разные возможные диаграммы. Довольно сложно суммировать их всех. Например, пропагатор

$$\langle\phi^a(x)\phi^b(y)\rangle=\frac{\delta^{ab}}{|x-y|}$$

получает всевозможные петлевые поправки. Однако, если N большое, то можно все разложить по 1/N. Почему нас интересует большое N? Первую причину я только что указал — вычисления упрощаются когда мы ограничиваемя ведущим порядком по 1/N. Вторая причина в том, что мы устанавливаем голографическое соответствие, и желательно, чтобы радиус дуального AdS был большим (этот радиус пропорционален степени N) и потому мы бы имели возможность применять классическую гравитацию в объеме. Так что «простая» (но сильновзаимодействующая) теория поля соотвествует простой (и слабовзаимодействующей) теории в объеме. Утверждение состоит в том, что рассмотрение действия S0 вместо действия S делает 1/N разложение явным. Действительно, из действия S0 мы находим классические пропагаторы

$$\langle\phi^a(x)\phi^b(y)\rangle=\frac{\delta^{ab}}{|x-y|}\,,$$

$$\langle\sigma(x)\sigma(y)\rangle=\frac{1}{Z_\sigma}\int{\cal D}\sigma\sigma(x)\sigma(y)\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3x\sigma^2\right)=\frac{1}{Z_\sigma}\delta(x-y)\sqrt{2\pi}\lambda^{3/2}\frac{1}{N^{3/2}}\int\left[{\cal D}\sigma\right]_{z\neq x}\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3z\sigma^2\right)\,,$$

где мы ввели статсумму свободного поля σ

$$Z_\sigma=\int{\cal D}\sigma\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3x\sigma^2\right)=\prod_x\sqrt{\frac{2\pi\lambda}{N}}$$

и выразили

$$\int\left[{\cal D}\sigma\right]_{z\neq x}\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3z\sigma^2\right)=\sqrt{\frac{N}{2\pi\lambda}}\prod_x\sqrt{\frac{2\pi\lambda}{N}}=\sqrt{\frac{N}{2\pi\lambda}}Z_\sigma\,,$$

из чего следует

$$\langle\sigma(x)\sigma(y)\rangle=\delta(x-y)\frac{\lambda}{N}\,,$$

и классическую вершину (напомню обозначение $$J_0=\phi^a\phi^a$$)

$$\Gamma_{J_0\sigma}=1\,.$$

Да, я знаю что оба пропагатора и вершина выводятся из действия методом пристального взгляда гораздо быстрее чем я это сейчас сделал с помощью интеграла по путям, и нет, я не просто так демонстрирую что круто считать все с помощью интеграла по путям. Я применил интеграл по путям, потому что в квантовой взаимодействующей теории именно с помощью него считаются перенормированные пропагаторы и перенормированные вершины — т.е. пропагаторы и вершины с петлями внутри.

В петлях мы можем иметь либо поле $$\phi^a$$ либо поле $$\sigma$$. Однако, каждый пропагатор поля $$\sigma$$ в силу показанного выше дает множитель $$1/N$$, и потому соотвествующая диаграмма подавлена по сравенению с диаграммами в которых в петлях находятся поля $$\phi^a$$. Вот почему введение поля $$\sigma$$ удобно при рассмотрении теорий с большим N. Данный факт является следствием более общего правила, применямого в том числе в случае когда (некоторые) поля теории живут в присоединенном представлении группы симметрии: диаграммы с пропагаторами полей без индексов подавлены. 

3.2. В 3d CFT сохраняющийся ток имеет размерность 2. Например «сохраняющийся ток» J0 в IR режиме CFT имеет размерность Δ+=2. При этом «масса» (массовый член — это член взаимодействия со скаляром кривизны) дуального скалярного поля была «специально» выбранна m2=-2, чтобы обеспечить правильную UV размерность Δ-=1. Думаю, что для токов с высшими четными спинами и соответствующих полей в AdS с высшими четными спинами ситуация аналогична. Тогда (при больших N) все токи с высшими спинами имеют размерность 2.

Мне не известен явный вид Лагранжиана теории четных спинов в AdS4, так что я не могу продемонстрировать какие именно два возможных решения теория имеет вблизи горизонта AdS. Приветствуются полезные комментарии читателей блога, знакомых с теорией Васильева.

То что дальше описывают КП по сути сводится к следующему. Предположим вы начинаете с теории поля в которой есть односледовое взаимодействие. Это значит, что  если это калибровочная теория (поля матричные, т.е. живут в присоединенном представлении калибровочной группы), то члены Лагранжиана представляют собой след произведения матриц. А если это векторная модель, то каждый член Лагранжиана есть квадратичный синглет. Тогда, как заключают КП, в квантовой теории всегда будут сгенерированы члены Лагранжиана, которые представляют собой существенное мультиследовое взаимодействие. Они показывают это исследуя то, когда операторное взаимодействие самосогласованно.

Однако, то же самое утверждение можно продемонстрировать и на примере диаграмм, соответствующих среднему произведения операторов. Например, упомянутое выше двухследовое взаимодействие будет сгенерировано за счет непланарных диаграмм односледового. Возьмите налибровочную терию $$\text{Tr}\phi ^4$$, где поле $$\phi$$ живет в присоединенном представлении калибровочной группы. Тогда однопетлевые процессы сгенеририруют член эфеективного Лагражиана $$(\text{Tr}\phi ^2)^2$$ (картинка отсюда, каждое поле изображается полоской («мировым листом струны»), где края полоски соответствуют двум индексам калибровочного поля в присоединенном представлении калибровочной группы — или двум «зарядам Чана-Патона» на концах струны)

Здесь каждая из двух диаграмм имеет две $$\text{Tr}\phi ^4$$ вершины, между которыми есть одна петля. Правая диаграмма не может быть изображена на плоскости, и ее четыре внешние ноги отличаются по своей структуре от четырех внешних ног левой. У левой эта структура есть опять же $$\text{Tr}\phi ^4$$, т.е. левая диаграмма просто перенормирует односледовое взаимодействие. Однако структура внешних ног правой диаграммы сводится к двум полоскам, т.е. произведению двух полей, что соответствуют Лагранжиану $$(\text{Tr}\phi ^2)^2$$. То, что подписано под диаграммами, есть напоминание того, что планарная петля в N раз больше чем непланарная (т.к. в самом центре диаграммы есть замкнутая линия — что означает суммирование по всем значениям индекса этой линии, всего N таких значений, как видите на правой диаграмме такой петли нет). При этом каждый след дает фактор N, так что след в квадрате, т.е. правая диаграмма, имеет порядок N2.  Левая диаграмма, т.е. след умноженный на N, тоже имеет порядок N2, и потому обе диаграммы одного порядка в пределе больших N.

4. После того как мы более-менее ознакомились с предпосылками HS/O(N) соответствия, начнем переходить к обсуждению недавнего прогресса в этой деятельности. А именно, с точки зрения теоретико-полевой стороны дуальности, посмотрим на то, как наличие бесконечного количества токов с высшими спинами согласуется с теоремой Колемана-Мандулы. Последняя, как известно, утверждает что Лоренц-инвариантная теория с высшими бозонными пространственно-временными симметриями (т.е. с генераторами, нетривиально преобразующимися под действием группы Лоренца и образующими бозонную алгебру) имеет тривиальную S матрицу. То, что эта теорема подразумевает для теоретико-полевой стороны HS/O(N) соответствия впервые было исследовано в работе

Juan Maldacena and Alexander Zhiboedov Constraining conformal field theories with a higher spin symmetry

Во-первых, в конформной теории поля нет S матрицы. Собственно по этой причине конформная теория поля как таковая обходит теорему Колемана-Мандулы: в теории есть симметрии конформных преобразований, которые не являются Лоренцевскими синглетами и представляют собой бозонные преобразования. Однако, оператор дилатаций (оператор скейлинга, собственные значения которого по определению  задают все поля конформной теории поля) не коммутирует с оператором квадрата импульса (массой), поэтому масса больше не является квантовым числом, характеризующим неприводимые представления группы симметрии теории. Такими квантовыми числами в CFT являются спин и размерность скейлинга. Асимпотические состояния больше не определены как состояния с определенной массой и импульсом, так что S матрица рассеяния таких состояний тоже больше не определена.

Вместо S матрицы в конформной теории поля есть корреляционые функции. Последние могут получать всевозможные нетривиальные квантовые поправки — если теория взаимодействующая. Такие поправки соответствуют нетривиальному (S≠1) рассеянию «обычной» квантовой теории поля. Однако, что произойдет если конформная теория поля вдобавок обладает высшими симметриями? В случае O(N)/HS соответствия работа Малдасены и Жибоедова показывает что корреляционные функции сводятся к таковым для свободных полей: т.е. всегда можно перейти к таким полям, для которых корреляциооные функции имеют вид таковых, полученных из свободного Лагранжиана. Свободный Лагранжиан соответствует тривиальной S матрице.

4.1. Малдасена и Жибоедов, для доказательства того что корреляционные функции свободны, используют «шнурочный» принцип (bootstrap) — исходные предположения ограничивают возможные выводы до такой степени, что главные заключения однозначно следуют из этих ограничений. В применении к данной работе: корреляциооные функции с необходимостью свободны.

-1. Итак, в качестве первого исходного предположения потребуем, чтобы теория была унитарной. Унитарность ограничивает конформную размерность операторов снизу, что естетственно доказывается с помощью оптической теоремы. Допустим, вы начинаете со свободной теории в ультрафиолете. Точнее, допустим у вас есть теория, которая асимпотически свободна в ультрафиолете (вроде двухследовой векторной теории, описанной выше), т.е. в ультрафиолете все константы взаимодействия стремятся к нулю. Хорошо, тогда в ультрафиолете размерности всех операторов совпадают с таковыми в свободной теории. Утверждение состоит в том, что если теория унитарна, то размерности полей свободной теории являются ограничением снизу на размерности полей эффективной теории. Т.е. в инфракрасной эффективной взаимодействующей теории размерности полей не меньше размерности полей свободной ультрафиолетовой теории.

-2. Второе исходное предположение: наличие сохраняющегося тока с высшим спином s.

Если ток сохраняется в d-мерной теории, то его размерность ограничена. Размерность тока со спином 1 равна d-1. Допустим теория имеет высшие симметрии, с параметрами преобразования симметрии (тензором Киллинга) $$\epsilon_{\nu_1\cdots\nu_{s-1}}$$ с размерностью s-1 и спином s-1. Если это глобальные параметры, то действие инвариантно. Чтобы найти ток сделаем их локальными и посчитаем вариацию действия:

$$\delta S=\int d^dxJ^{\mu_1\cdots\mu_s}\partial_{(\mu_1}\epsilon_{\mu_2\cdots\mu_s)}\,.$$

Действие инвариантно, если выполнено условие Киллинга $$\partial_{(\mu_1}\epsilon_{\mu_2\cdots \mu_{s-1})}=0$$, (которое в случае сохраняющегося тока со спином 2 (тензора энергии-импульса), переходит в известное уравнение Киллинга $$\partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\nu\epsilon_\mu=0$$), которое также сопровождается условием бесследовости

$$\epsilon^\mu_{\;\;\mu \mu_{2} \cdots \mu_{s-1}}=0\,.$$

Допустим тензор Киллинга удовлетворяет условию Киллинга, как в вариации действия δS, написанной выше. Посчитаем теперь эту вариацию действия при выполнении уравнений движения. Если уравнения движения выполняются, то действие по определению инвариантно относительно любых преобразований. Тогда, требуя δS=0, находим, что ток с высшим спином необходимо сохраняется,

$$\partial_\mu J^{\mu_1\cdots \mu_s}=0\,.$$

Размерные соображения тогда указывают на то, что размерность Δ сохраняющегося тока J равна

$$\Delta =s+d-2\,.$$

Малдасена и Жибоедов опрелеляют твистовое число

$$\tau=\Delta -s$$

для тока со спином s и размерностью Δ и замечают, что ток сохраняется в трех измерениях если это число равно 1.

4.2. Перед тем как продолжить с доказательством тривиальности корреляционных функций, рассмотрим, следуя Малдасене и Жибоедову, некоторые основные положения теории сохраняющихся токов с высшими спинами. Как я уже указал выше, если у нас имеется тензор Киллинга $$\epsilon_{\nu_1\cdots\nu_{s-1}}$$ со спином s-1, то в теории есть сохраняющийся ток J со спином s. Чтобы посчитать соответствующий сохраняющийся заряд Qs (со спином s-1), нужно проинтегрировать поток тока

$$\hat{J}^\mu=J^{\mu\nu_1\cdots\nu_{s-1}}\epsilon_{\nu_1\cdots\nu_{s-1}}$$

через поверхность с фиксированным временем. Условие сохранения тока $$\partial_\mu\hat{J}^\mu=0$$ гарантированно благодаря уравнению Киллинга.

Малдасена и Жибоедов находят удобным параметризацию 3d пространства-времени x=(x+, x, y), и выбирают x+ в качестве временной координаты. Тогда

$$Q_s=\int_{x^+=const}dx^-dy(\star\hat{J})_{-y}=\int_{x^+=const}dx^-dyg^{+-}\hat{J}_{-...-}$$

Кроме того, они предлагают для простоты рассмотреть случай тензора Киллинга с единственной ненулевой компонентой ε-...-=1, следовательно

$$Q_s=\int_{x^+=const}dx^-dyJ_{--\cdots-}$$

Постолько поскольку мы считаем что единственная ненулевая компонента тока есть таковая со всеми минусами, js=J-...-, то уравнение сохранения тока есть просто +js=0. Аналогичным образом сохранение заряда дается уравнением +Qs=0.  В дальнейшем ∂ будет означать производную по x-.

Тензор энергии-импульса j2 является генератором конформных преобразований. Тогда в квантовой теории его коммутатор с некоторым оператором, имеющим нетривиальное конфомрное преобразование, сводится к двум членам: внешнее скейлингово преобразование (которое в случае коммутатора [j2,Qs] нетривиально, т.к. Qs имеет размерность s-1) и координатное преобразование,

$$[Q_s,j_2(x')]=\int_{x^+=const}dx^-dy[J_{-...-}(x),T_{\mu\nu}(x')]=c\partial J_{-...-\mu\nu}+f\partial_\mu J_{\nu -...-}$$

Нетрудно показать, что второй член в правой части последнего уравнения, который описывает координатное конформное преобразование, равен нулю. Действительно, в силу

$$\partial^\mu [Q_s,T_{\mu\nu}]=c\partial_-\partial^\mu J_{-...-\mu\nu}+\tilde{c}\partial^2J_{\nu -...-}\,,$$

сохранения тензора энергии-импульса и того, что Qs есть константа (сохраняющийся заряд), заключаем, что для выполнения последнего равенства необходимо чтобы f=0. При этом, конечно, c≠0, в силу того что Qs имеет нетривиальную скейлингову размерность s-1. Единственное следствие этих рассуждений, которым мы будем пользоваться, состоит в том, что сохраняющийся заряд Qs, соответствующей симметрии с высшим спином s, действует нетривиально на поля Φ рассматриваемой теории. Действительно, поля Φ входят в выражение для тензора энергии-импульса j2, и потому тривиальность [Qs,Φ] = 0 означала бы [j2,Qs] = 0, но мы только что показали, что это не так. 

4.3. Теперь, как рассуждают Малдасена и Жибоедов, допустим 2 верно и у нас есть сохраняющийся ток, скажем для определенности, со спином 4 (вообще то они утверждают что наличие одного тока с высшим спином гарантирует наличие бесконечного множества других токов со всевозможными четными спинами). Тогда 2 означает, что размерность тока есть 5, и потому размерность заряда есть 3 (заряд получается интегрированием «временной» компоненты тока по 2-поверхности в рассматриваемом 3d пространстве-времени). Тогда, если Φ(x) — поле, то данный сохраняющийся заряд Q (нетривиально, что показано в общем случае выше) преобразует его как,

$$[Q,\Phi]\simeq\partial^3\Phi\,,$$

где мы воспользовались тем, что правая часть должна иметь тот же спин что и левая («спин поля Φ» при этом, разумеется, меняется; простейший пример изменения спина поля это преобразование трансляции в системе с сохраняющимся импульсом, когда [Pμ , Φ]=-i[μ , Φ] имеет спин 1; однако после свертки с параметрами преобразования со спином s-1 получаем вариацию δΦ, являющуюся скаляром), тогда правая часть должна иметь три индекса x-, что и реализовано с помощью 3. Заметим, что скейлинговая размерность обоих частей равенства тоже, разумеется, одинаковая,  и потому действие сохраняющегося заряда симметрии высшего спина сохраняет твистовое число.

Рассмотрим корреляционную функцию

$$C_4=\langle\Phi(x_1)\Phi(x_2)\Phi(x_3)\Phi(x_4)\rangle\,,$$

и потребуем ее инвариантности относительно преобразований, генерируемых Q. Тогда, если в импульсном представлении (нет суммирования по i, разумеется)

$$\Phi(x_i)=\int d^3k\Phi(k_i)e^{ik_ix_i}\,,$$

то тогда

$$k_1^3+k_2^3+k_3^3+k_4^3=0\,.$$

С другой стороны, используя закон сохранения импульса, находим

$$k_1^3+k_2^3+k_3^3+k_4^3=-3(k_1+k_2)(k_2+k_3)(k_1+k_3)\,,$$

что означает, что импульсы сохраняются попарно (я, конечно, просто явно показал то, что очевидно верно для любого спина s). Поэтому четырехточечная функция C4 на самом деле факторизуется в произведение двух двух-точечных,

$$C_4=\langle\Phi(x_1)\Phi(x_2)\rangle\langle\Phi(x_3)\Phi(x_4)\rangle+\langle\Phi(x_1)\Phi(x_3)\rangle\langle\Phi(x_2)\Phi(x_4)\rangle+\langle\Phi(x_1)\Phi(x_4)\rangle\langle\Phi(x_2)\Phi(x_3)\rangle\,,$$

Рассмотрим поведение C4 при x12→0. Первый член содержит произведение двух 2-точечных функций, одна из которых, $$\langle\Phi(x_1)\Phi(x_2)\rangle$$, в ведущем порядке ведет себя как сингулярная степенная зависимость (с аномальной, вообще говоря, степенью, если теория взаимодействующая), помноженная на единичный оператор, а вторая, $$\langle\Phi(x_3)\Phi(x_4)\rangle$$, на зависит от x12. Остальные слагаемые регулярны при x12→0.

Нас интересует сингулярное поведение обеих частей равенства при x12→0. В левой части равенства мы при этом имеем

$$C_4=\langle\Phi(x_1)\Phi(x_1)\Phi(x_3)\Phi(x_4)\rangle\,,$$

причем операторное разложение идентичных полей $$\Phi(x_1)\Phi(x_1)$$ включает в себя тензор энергии импульса. Это очень удобно, потому что тензор энергии-импульса сохраняется, и потому его размерность не перенормируется взаимодействием: сохраняющийся ток в трех измерениях имеет твистовое число, равное 1. Следовательно в правой части выражения для C4 мы тоже должны иметь вклад в твистовое число от x12 равное 1. «От» означает просто напросто что только $$\langle\Phi(x_1)\Phi(x_2)\rangle\langle\Phi(x_3)\Phi(x_4)\rangle$$  в правой части равенства ведет себя сингулярно, и потому мы можем пренебречь остальными слагаемыми.

Теперь нам нужно воспользоваться предположением 1 об унитарности теории. В унитарной взаимодействующей теории конформная размерность поля ограничена конформной размерностью свободного поля. Это утверждение может быть переформулировано в терминах твистового числа в трех измерениях: для бозонных и фермионных полей унитарной теории мы имеем τ≥1/2. Тогда, в силу того что твистовое число обоих частей равенства должно быть одинаковым, в правой части равенства мы должны иметь не аномальное поведение $$\langle\Phi(x_1)\Phi(x_2)\rangle$$, когда оба поля «насыщают» унитарное гораничение τ=1/2, образуя в результате оператор с твистовым числом, равным единице. Т.е. эти поля должны быть свободными: их корреляционная функция свободна, т.е. не получает квантовых поправок к размерности операторов. Замечу, что про размерность самих полей никаких утверждений не делается.

5. Теперь обсудим статью R. de Mello Kocha, A. Jevickib, K. Jinc, J. P. Rodriguesa, and Q. Ye S = 1 in O(N)/HS duality. Как следует из названия, авторы продолжают исследования тривиальности рассеяния в теории с симметриями высших спинов. Авторы рассматривают то, что называют би-локальными полями, $$\Phi(x,y)=\phi^a(x)\phi^a(y)$$, и исследуют их рассеяние, составляя таким образом элементы S матрицы. Их главный вывод состоит в том, что полученная S матрица является тривиальной. Они также приводят преобразования полей, которые линеаризуют уравнения движения, явно демонстрируя тривиальность соответствующей теории рассеяния.

Ключевые слова: AdS/CFT, конформная теория поля | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

AdS/CFT соответствие. Некоторые примеры вычисления корреляционных функций.

22 марта 2011 года, 02:18

Предыдущий пост был посвящен описанию основ AdS/CFT соответствия. В конце я пообещал привести примеры конкретных расчетов корреляционных функций методом голографии, когда корреляционные функции теории поля вычисляются с помощью супергравитации в объеме, в пространстве-времени большей на единицу размерности. Этим и займемся в этом посте. Будем тесно следовать результатам, приведенным в работе Эдварда Виттена «Anti de Sitter Space and Holography», которая лежит в основе всего обсуждаемого ниже. В той работе развивается идея голографии в качестве описания того, что представляет собой AdS/CFT соответствие. Суть этой идеи понять легко, по крайней мере на классическом уровне. Действительно, возьмите обычное скалярное поле. Оно удовлетворяет уравнению Лапласа. Если рассматривать краевую задачу в шаре, то ясно, что, задав граничные условия на сфере, мы полностью определим динамику поля внутри шара. Совершенно аналогичное утверждение верно в применении к евклидовой форме пространства AdS и его границе.

Обратите внимание на то, что on-shell величины объема соответствуют off-shell величинам границы. В примере выше мы действительно решили уравнение Лапласа в объеме при произвольных (off-shell) условиях на границе.

В некотором роде AdS можно тоже представить как открытый шар, так что координатная область задания AdS есть открытый шар $$\inline \sum _{i=0}^dy_i^2<1$$, а физическое расстояние — интервал — определяемый метрикой в данных координатах yi — расходится при приближении к границе шара:

$$ds^2=\frac{4\sum\limits_{i=0}^ddy_i^2}{(1-|y|^2)^2}.$$

Отсюда известная картинка, изображающая AdS и показывающая координатные расстояния, а не физическое расстояния:

  

Введение

1. Итак, наша задача состоит в установлении соответствия между теорией поля на границе AdSd+1 и супергравитацией (приближающей суперструну) в AdSd+1. Для этого напомним обозначения.

Мы рассматриваем Евклидово пространство AdS, то есть пространство-время с метрикой AdS, но с положительной сигнатурой. Выберем координатную систему Пуанкаре, в которой эта метрика записывается следующим образом:

(1)$$ds^2=\frac{1}{x_0^2}\sum _{i=0}^d(dx_i)^2.$$

Здесь x0 > 0. Пространство AdS в таких координатах имеет границу, представляющую собой Rd при x0 = 0 и бесконечно удаленную точку P при x0 = ∞ (в этой точке расстояние между любыми точками, как видно из выражения для метрики, просто равно нулю).

2. Теперь выведем формулу, которой будем пользоваться в расчетах корреляционных функций. Пусть φ есть любое поле в объеме, а φ0 - его значение на границе. В силу дуальности между теориями в объеме и на границе, полю φ в объеме должен соответствовать некий оператор  $${\cal O}$$, описывающий калибровочно-инвариантным образом некую величину в теории на границе. Замечу, что из простого примера голографии выше вовсе не следует что φ0 и есть то самое граничное поле, которое соответствует полю в объеме φ. Действительно, это всего лишь граничное значение того же самого поля из суперструной части соответствия, в то время как QFT-часть соответствия содержит свои собственные поля.

Далее, со струнной стороны мы имеем статистическую сумму для всевозможных конфигураций поля φ в объеме, при данном граничном значении φ0 (в дальнейшем перейдем в объеме on-shell для конкретных расчетов):

$$Z_{string}(\varphi _0)=\int\limits_{\varphi _0}\! D\varphi\, e^{-S_{string}}.$$

Постольку поскольку квантовая теория определяется статистической суммой, и одновременно эта же квантовая теория дуальным образом должна выражаться в терминах теории поля на границе, значение Z(φ0) должно быть выражаемо через нечто из CFT, также зависящее от φ0. В этом месте выдвигается ключевая формула соответствия:

$$Z_{string}(\varphi _0)=\langle\exp{\int\limits_{boundary}\varphi _0 \,{\cal O}}\rangle.$$

Это довольно формальное выражение,  и должно сопровождаться конкретными указаниями для расчетов, когда возникают расходимости. На примерах ниже подтверждается, что формула дает правильные корреляционные функции для $${\cal O}$$. Однако сейчас уже стоит заметить, что формула имеет именно такой вид потому, что именно так она будет отражать идею голографии, при которой поле $${\cal O}$$ со стороны QFT на границе посредством минимального взаимодействия (обратите внимание, что граничное значение φ0 функции φ из объемной теории играет роль источника для полей $${\cal O}$$ из граничной теории, что используется, естественно, при вычислении корреляционных функций в граничной теории) воздействует на динамику поля φ в объеме. Например, в теории супер-Янга-Миллса мы имеем константу связи gYM2. Качественный анализ AdS/CFT соответствия приводит к тому, что gYM2 = 4πgs. Здесь gs = eΦ есть струнная константа связи (точнее константа связи действие супергравитации), где Φ есть дилатон (синглет Лоренцевой калибровочной группы из бозонного сектора мультиплета супергравитации). Мы тогда видим, что действие SYM на границе содержит в качестве множителя струнную константу связи, выражаемую через дилатон. Естественно тогда, что весь Лагранжиан CFT (уже без константы связи) есть калибровочно-инвариантный оператор, соответствующий полю дилатона в супергравитации в объеме. Другой пример — соответствие между тензором энергии-импульса в CFT и метрикой в AdS.

3. Теперь мы переходим on-shell в объеме. Поле φ не интегрируется по всевозможным конфигурациям, а просто рассматривается как решение классических уравнений супергравитации с данным граничным услвоием φ0. Хочу напомнить, что в данном контексте φ — любое поле из мультиплета супегравитации, не обязательно дилатон (не обязательно — скаляр). Так вот, подобный классический переход подразумевает, разумеется, малость константы связи в супергравитации, валидирующей его. В результате просто имеем

$$Z_{string}(\varphi _0)=e^{-I_S(\varphi)}.$$

Теперь мы полностью готовы к расчету корреляционных функций в теории на границе. Мы должны просто взять классическое решение в объеме, подставить его в действие, потенцировать, получив таким образом классическую аппроксимацию стат. суммы, и потом проварьировать по φ0, являющимся источником для калибровочного поля $${\cal O}$$ на границе. С последующим занулением источников (когда необходимо) получаем корреляционные функции.

Скалярное поле

Рассмотрим классическую динамику свободного безмассового скалярного поля φ (скажем, дилатона, поскольку мы рассматриваем супергравитацию) в объеме AdSd+1. Она описывается действием

$$I(\varphi)=\frac{1}{2}\int d^{d+1}y\sqrt{g}|d\varphi|^2.$$

Мы фиксируем граничное условие φ0 и записываем уравнение Лапласа — являющееся уравнением движения нашего скалярного поля — в метрике (1) для функции Грина K(x0), которая зависит только от x0 в силу независимости постановки задачи от трансляций пространственных координат:

$$\frac{d}{dx_0}x_0^{-d+1}\frac{d}{dx_0}K(x_0)=0.$$

Выписываем решение

$$K(x_0)=cx_0^d.$$

Это решение расходится в точке P на границе (x0 = ∞), причем на самом деле K становится дельта-функцией. Пока неясно, как так происходит, поэтому сделаем замену координат, представляющую собой конформную инверсию:

$$x_i\rightarrow\frac{x_i}{x_0^2+\sum _{j=1}^dx_j^2}$$

для всех координат: i = 0, ..., d. Тогда получаем, что P переходит в точку xi = 0, i = 0, ..., d, а также

$$K(x)=c\frac{x_0^d}{(x_0^2 +\sum _{j=1}^dx_j^2)^d}.$$

Тут стоит вспомнить, что писал Рома в посте про ультрабуст. А именно, представление для дельта-функции, упомянутое там. Адаптация к нынешнему d-мерному случаю дает K(x) являющуюся дельта-функцией от xi = 0, i = 1, ..., d, когда x0 → 0.

В результате решение уравнения Лапласа с данным граничным значением в x0 = 0 выглядит следующим образом:

$$\varphi (x_0,x_i)=c\int d{\bf x}'\frac{x_0^d}{(x_0^2+|{\bf x}-{\bf x}'|^2)^d}\varphi _0(x_i').$$

Подставляя это выражение в on-shell действие I(φ), получаем после некотрых простых вычислений

$$I(\varphi)=\frac{cd}{2}\int d{\bf x}d{\bf x}'\frac{\varphi _0({\bf x})\varphi _0({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|^{2d}}.$$

Очевидно, что теперь, варьируя по граничным значениям φ0, мы действительно получим правильные корреляционные функции для оператора $${\cal O}$$ с конформной размерностью d. Действительно, в силу лагранжиана взаимодействия $$\varphi _0{\cal O}$$, усредняемого в CFT-части по путям, получаем, что для скалярного поля с нулевой конформной размерностью поле $${\cal O}$$ с необходимостью имеет конформную размерность d. Поэтому двухточечные функции имеют совершенно правильный вид, когда выводятся таким методом.

Ключевые слова: гравитация, конформная теория поля, AdS/CFT | Оставить комментарий

AdS/CFT соответствие

18 марта 2011 года, 17:01

После небольшого отступления от современной теоретической физики, осуществленного Ромой, давайте вернемся к тому, что было разработано относительно недавно.

Введение

В конце 1997 года Х. Малдасена опубликовал работу под названием «The Large N limit of superconformal field theories and supergravity», которая отчасти основывалась на ранних работах т'Хуфта касательно упрощения расчетов в калибровочных SU(N) теориях в пределах большого количества цветов N. В этой статье был сделан ряд наблюдений, суммирующихся в гипотетическое (на том этапе, и существенно обоснованное впоследствии) соответствие между конформной SU(N) теорией поля и теорией суперструн в пространстве-времени большей размерности (существенно пространством AdS в прямом произведении с компактным пространством, скажем сферой). Результаты этой работы впоследствии были детально изложены в обстоятельной (~250-ти страничной) статье Малдасены и др. «Large N field theories, string theory and gravity». Интересные конкретные расчеты, подтверждающие соответствие, были проведены в работе Виттена «Anti de Sitter space and holography». В этом посте я преимущественно следую именно последним двум статьям.

Соответствие между двумя теориями, в данном случае между конформной теорией поля и теорией суперструн (или приблизительно — теории супергравитации) в пространстве-времени с размерностью большей на единицу (умноженного вдобавок на некоторое компактное многообразие, скажем сферу, или деление сферы группой дискретных симметрий — орбифолдность, и т.д., дабы получить теорию суперструн именно в десятимерии) называется дуальностью. Вообще говоря, если есть две теории, между которыми можно установить 1-1 соответствие путем сопоставления различных физических параметров одной теории и параметров другой теории, то такие теории называются дуальными. Простейший пример из теории струн есть T-дуальность, которая устанавливает эквивалентность теории струн с одним из пространственных измерений компактифицированном на окружности радиуса R и на окружность радиуса 1/R. При этом спектр обоих теорий совершенно одинаков (напомню что для замкнутых струн необходимо одновременно также переставить КК квантовое число и число обмоток вокруг компактного направления). То есть две теории с по сути разными физическими параметрами совершенно эквивалентны (дуальны) друг другу. Излишне напоминать, что слово дуальность известно из принципа корпускулярно-волнового дуализма, когда два принципиально различных способа описания квантов применяются дополнительно друг к другу в зависимости от конкретики рассматриваемого явления. Этот последний пример очень важен в данном контексте. Действительно, среди физических дуальностей имеется так назывемая S-дуальность, которая устанавливает соответсвтие между сильно и слабо взаимодействующими теориями (пример из QED с монополем — симметрия относительно замены электрических и магнитных величин — в вакууме сводящаяся к замене электрических и магнитных полей — с учетом условия квантования Дирака eg ~ n для электорического заряда e и магнитного заряда g). Тогда для описания сильновзаимодействующей теории можно на самом деле воспользоваться теорией возмущения со стороны слабовзаимодействующей дуальной теории. В AdS/CFT ситуация аналогична (хотя, насколько я знаю, S-дуальностью она не именуется) в том смысле, что сильносвязанная CFT дуальна именно слабосвязанной теории струн, и наоборот.

BPS состояния

Для начала стоит напомнить некоторые факты из теории суперструн. Как известно в теории суперструн типа-IIB существуют солитонные решения, являющиеся Dp-бранами, т.е. протяженными объектами с p продольными измерениями. В теории типа-IIB число p должно быть нечетным. Устойчивость подобного решения обеспечивается тем, что Dp-брана имеет RR-заряд, благодаря которому она взаимодействует с полем замкнутых струн, а именно с RR-сектором безмассовых возбуждений замкнутых струн. Одного заряда не достаточно для стабильности, ключевым является специальное соотношение между массой и зарядом, называемое насыщением BPS-ограничения, или BPS-состоянием. Это понятие из $${\cal N}$$-расширенной суперсимметрии, когда (часть) центральных зарядов совпадает по величине с массой частиц супермультиплета, и потому число повышающий операторов, сформированных из генераторов суперсимметрии и строящих супермультиплет, снижается. Простейший пример — киральный супермультиплет $${\cal N}=1$$ суперсимметрии — когда имеется (в D = 4) только один повышающий оператор, вместо двух — как для массивного (и потому некирального) $${\cal N} =1$$, D = 4 супермультиплета. В случае кирального $${\cal N}=1$$ супермультиплета суперсимметрия нерасширенна и потому все центральные заряды (отождествляемые с RR-зарядами в случае суперструн) просто равны нулю, соответственно насыщение BPS-ограничения просто означает нулевую массу. Пропорциональность (в подходящих единицах и нормировках — равенство) между центральным зарядом и массой обеспечивает стабильность Dp-браны при условии одновременного сохранения заряда и энергии-импульса.

Черные p-браны и предел их геометрии вблизи горизонта

Далее, Dp-браны теории суперструн на самом деле могут рассматриваться как решения супергравитации, являющейся низкоэнергетическим пределом соответствующей теории суперструн. В нашем случае это супергравитация типа-IIB. Среди ее решений имеются статические объекты, являющиеся прямым аналогом Шварцшильдовской черной дыры (вообще говоря, заряженной черной дыры Керра) — черные p-браны. Критическая (стабильная, имеющая нулевую температуру излучения Хокинга, и потому отождествляемая со стабильной Dp-браной теории суперструн) черная p-брана, как и Dp-брана теории суперструн, имеет массу, равную заряду. За счет массы (и заряда) p-брана искривляет геометрию, которую можно найти решая совместную систему уравнений Максвелла-Эйнштейна. А именно, метрика выглядит следующим образом:

$$ds^2=\frac{1}{\sqrt{H(r)}}\left(-dt^2+\sum _{i=1}^pdx^idx^i\right)+\sqrt{H(r)}\sum _{a=1}^{9-p}dr^adr^a$$

(dp есть некий численный фактор) и представляет собой обобщение решения заряженной черной дыры Керра. Здесь введены обозначения

$$H(r)=1+\frac{r_p^{7-p}}{r^{7-p}},\quad r_p^{7-p}=d_pg_sNl_s^{7-p}.$$

При этом связь между дилатоном (скаляр из мультиплета супергравитации) Φ и струнной константой связи gs следующая:

$$e^\Phi =g_sH^{(3-p)/4}$$

Решение имеет горизонт в r = 0 (по сути решение в такой форме определено до горизонта).

Черная брана с такой метрикой имеет RR заряд N, создающий поток через окружающую ее (8 − p)-сферу:

$$\int _{S^{8-p}}F_{8-p}=N$$

С точки зрения Dp-бран тут мы имеем просто напросто N совпадающих Dp-бран, каждая из которых имеет заряд, равный единице.

В специальном случае p=3 мы имеем постоянный дилатон, связанный со струнной константой связи как gs = eΦ . Также R = r3 = 4π gs'2 есть характерный масштаб длины в такой пространственно-временной конфигурации. Вблизи горизонта r → 0 решение для черной 3-браны имеет вид

$$ds^2=(r/R)^2dx\cdot dx +(R/r)^2dr^2+R^2d\Omega _5^2.$$

Здесь под координатами x подразумеваются координаты вдоль браны, как и раньше r есть радиальная координата «от браны к окружающей ее» сфере S5. Вводя переменную z = R2/r мы получаем метрику

$$ds^2=R^2\frac{dx\cdot dx+dz^2}{z^2}+R^2d\Omega_5^2.$$

Эта метрика пространства AdS5×S5, где метрика AdS5 записана в Пуанкаре-координатах, покрывающих половину всего пространства. Как AdS, так и сфера имеют одинаковый «радиус» R.

Пространство AdS5×S5

Такое пространство-время сохраняет все суперсимметрии теории. Чтобы это доказать, нужно вспомнить как вообще определить число суперсимметрий, сохраняемых неким решением уравнений супергравитации, т.е. неким конкретным гравитационном фоном (это особенно полезно при изучении компактификации, когда например теория суперструн в десяти измерениях компактифицируется на некотором многообразии Калаби-Яу, которое сохраняет только четверть от всех суперсимметрий. В результате низкоэнергетический вакуум имеет 4 суперсимметрии в = 4, т.е. получаем $${\cal N}=1$$ MSSM, вместо 16 исходных суперсимметрий гетеротической суперструны. Аналогичные реузультаты имеют место и для других компактификаций, в том числе суперструн типа-II с 32 суперсимметриями).

Сосредоточимся для примера на $${\cal N}=1$$ D = 4 супегравитации с космологической постоянной Λ. Следуя Малдасене запишем действие теории:

$$S=\int d^4x\left(-\sqrt{g}({\cal R}-2\Lambda)+\frac{1}{2}\epsilon ^{\mu\nu\rho\sigma}\bar\psi _\mu\gamma ^5\gamma _\nu\tilde D_\rho\psi _\sigma\right).$$

Классический фон не содержит гравитино ψμ, а просто представляет собой некий фон искривленного пространства-времени. Так что поле гравитино нужно занулить. Однако, тогда возникает вопрос о суперсимемтричности подобного фона без гравитино. Нужно вспомнить преобразования локальной суперсимметрии:

$$\delta V_{a\mu}=-i\bar\epsilon (x)\gamma _a\psi _\mu,$$

$$\delta\psi _\mu =\tilde D_\mu\epsilon (x),$$

где

$$\tilde D_\mu =D_\mu+\frac{i}{2}\sqrt{\frac{\Lambda}{3}}\gamma _\mu.$$

Теперь ясно, что если гравитино исчезает, то тетрады V не преобразуются, так что бозонная часть фона симметрична. Однако фермионная часть фона симметрична только при условии того что локальный параметр суперсимметрии является, как говорят, спинором Киллинга (по естественной аналогии с вектором Киллинга): Dμε = 0. Ясно, что, вообще говоря, только часть компонент спинора может удовлетворять такому условию (в случае многообразия Калаби-Яу с тремя комплексными измерениями — только одна спинорная компонента из четырех). Потому доля сохраняющихся суперсимметрий равна доле компонент спинорного параметра суперсимметрии, удовлетворяющих условию Киллинга. От этого условия можно перейти к следующему:

$$0=[\tilde D_\mu,\,\tilde D_\nu]\epsilon =\frac{1}{2}({\cal R}_{\mu\nu\rho\sigma}\sigma ^{\rho\sigma}-\frac{2}{3}\Lambda\sigma _{\mu\nu})\epsilon$$

(здесь введен следующий элемент «искривленной» алгебры Дирака $$\inline \sigma _{\mu\nu}=\frac{1}{2}\gamma _{[\mu}\gamma _{\nu]}$$).

Для максимально симметричного (то есть симметричного относительно группы с D(D+1)/2 параметрами) AdS имеет место

$${\cal R}_{\mu\nu\rho\sigma}=\frac{1}{R^2}(g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}).$$

Теперь самое время вспомнить, что в теории с данной космологической постоянной Λ решение AdS с радиусом R будет удовлетворять уравнениям Эйнштейна только при условии Λ = 3/R2. Однако при этом же условии легко заметить, что спинор ε удовлетворяет условию Киллинга (точнее его следствию с тензором криизны, которое является условием интегрируемости для уравнения Киллинга).

Как мы видим, пространство AdS сохраняет все суперсимметрии.

Далее, нас на самом деле интересует сколько суперсимметрий сохраняет пространство-время AdS5×S5, а не просто AdS. Здесь имеется нетривиальность по сравнению с обычным подсчетом суперсимметрий в компактифицированных теориях. Обычно, когда мы просто имеем прямое произведение некого компактного многообразия с нулевым потоком RR-полей через компактное многообразие, число сохраняемых суперсимметрий вычисяется с помощью подсчета числа спиноров Киллинга на компактном многообразии. Если применить наивно такой подход в данном случае, стартуя с D=10 гравитации с нулевой космологической постоянной (это тоже выводимое условие исходя из требования сохранения суперсимметрий), то получим, что все суперсимметрии нарушаются, ибо сфера имеет максимальную группу голономии SO(5), не оставляющую неподвижным ни один спинор (который бы таким образом генерировал бы ненарушенные суперсимметрии). Однако, такой подход в данном случае неприменим, ибо мы изначально предполагаем ненулевой поток. Обратите внимание, что выше мы тоже используем ковариантную производную $$\tilde D$$, а не $$D$$, т.е. принимающую во внимание ненулевую космологическую постоянную на уровне AdS. В D=10 космологическая постоянная равна нулю. Однако, мы производим не обычную компактификацию на сферу, а т.н. flux compactification (компактификацию с ненулевым потоком), в данном случае с ненулевым потоком F5 через сферу. Наличие этого потока модифицирует услвоие $$D\epsilon =0$$ на условие $$\tilde D\epsilon$$, модифицированное наличием ненулевого потока. На уровне AdS это условие выражается условием спинора Киллинга с ковариантной производной, постороенной уже с участием космологической постоянной.

Объединяя суперсимметрии с бозонными симметриями пространственно-временной конфигурации, получаем полную группу симметрий теории суперструн на AdS5×S5 являющуюся группой PSU(2, 2 | 4). В нее входят группа SU(2, 2) ~ SO(2, 4), являющаяся симметрией AdS5, группа SU(4) ~ SO(6), являющаяся симметрией S5, а также 32 киральных фермионных генератора IIB суперсимметрии, которые расширяют эти группы до полной супергруппы PSU(2, 2 | 4) и преобразуются под действием спинорных представлений бозонных подгрупп пространственно-временных симметрий.

Конформная теория поля

Теперь стоит вспомнить какую еще роль играют Dp-браны в теории суперструн. Собственно первичная цель их введения состояла в последовательном Пуанкаре-инвариантном способе описания открытых струн с граничными условиями Дирихле, т.е. с зафиксированными концами. Без бран, на которых струны могли бы оканчиваться, было бы совершенно непонятно, что держит их концы, и потому теория оказалось бы не Пуанкаре-инвариантной.

После введения Dp-бран возникает еще одна возможность. Если мы имеем стопку совпадающих друг с другом N Dp-бран, то для открытых струн, которые оканчиваются на бранах из такой стопки, необходимо ввести дополнительные степени свободы — заряды Чана-Патона на концах струны — которые будут обеспечивать описание симметрии по отношению к различным бранам из стопки. В результате спектр открытых суперструн на самом деле становится калибровочным супермультиплетом, ибо два конца струны вместе объединяются в присоединенное представление калибровочной группы U(N) (после введения ориентифолдной плоскости можно получить нужную для сокращения калибровочных аномалий группу SO(32)).

Таким образом теория N совпадающих Dp-бран (точнее теория мирового объема этих бран) есть по сути D = p + 1 U(N) калибровочная теория поля. В случае D3-бран это D = 4 теория супер-Янга-Миллса. Так как это конформная теория, то отсюда CFT часть в названии соответствия.

Следует прокомментировать суперсимметричность такой теории. Dp-браны сохраняют половину суперсимметрий теорий суперструн типа-II (и потому собственно говоря являются BPS-объектами в первую очередь, откуда уже для них следует равенсто RR заряда и массы — натяжения), то есть 16 суперсимметрий. Соответственно получаем в случае D3-бран $${\cal N}=4$$, D = 4 теорию SYM. Однако, будучи конформно-инвариантной теорией, она содержит еще генераторы специальных конформных преобразований, которые в замыкании с 16 суперсимметриями дают 16  дополнительных суперсимметрий. Полная алгебра симметрий есть PSU(2, 2 | 4).

Как мы видим, группы симметрий совпадают с обоих сторон соответствия.

Переход от четырехмерной конформной теории поля к суперструнам в пятимерном пространстве AdS

Следуя Малдасене («TASI lectures on AdS/CFT») проведем следующее простое рассуждение. Допустим, у нас есть четырехмерная конформная теория поля, CFT4. Например, максимально суперсимметричная теория $${\cal N}=4$$ супер-Янг-Миллса. Эта теория обладает группой конформных симметрий SO(2, 4), которая в частности содержит в качестве подгруппы 4d группу Пуанкаре. Поэтому, если теперь мы хотим найти дуальную теорию струн в неком пятимерном (на одно пространственное измерение больше — следуя идее голографии, или точнее — по той простой причине что в четырех измерениях теория струн имеет конформную аномалию, а введение компенсирующего поля Лиувилля может интерпретироваться как дополнительное измерение) пространстве-времени, то метрика в нем должна уважать в первую очередь эту самую 4d Пуанкаре-симметрию. Репараметризацией пятой координаты z можно записать ее как

$$ds^2=w(z)^2(dx_{1+3}^2+dz^2).$$

Наконец, эта метрика должна уважать симметрию скейлинга, тоже являющуюся подгруппой четырехмерной конформной группы: x → λx. Тогда получаем z → λz и необходимо w = R/z. В результате получаем метрику AdS5 в координатах Пуанкаре:

$$ds^2=R^2\frac{dx_{1+3}^2+dz^2}{z^2}.$$

Конкретные расчеты

Аргументы в пользу истинности соответствия, приведенные выше, не приводят сами по себе к конкретным возможностям для вычислений (проверяемых экспериментально — сравнением наблюдений с расчетами столкновений тяжелых ионов с помощью методов квантовой гравитации (!) в пятимерном пространстве-времени AdS5). Таковые возникают после установления соответствия между стат. суммой теории гравитации в AdS5 и конформной теорией поля CFT4. Об этом в следующий раз.

Ключевые слова: суперсимметрия, D браны, конформная теория поля, гравитация, AdS/CFT | Комментарии (2)
Михаил Гойхман

Задача по конформной теории поля

15 февраля 2011 года, 20:46

В прошлом семестре я рассказывал на лекциях конформную теорию поля, в особенности в применении к теории струн, то есть d = 2 CFT. Рассказ велся по материалам гл. 3 BBS. Информации, которую я тогда предоставил слушателям, вполне достаточно, чтобы доказать следующую (известную) теорему.

Пусть действие некоторой d-мерной CFT обладает глобальной симметрией с током Jμ. Тогда оператор Jμ с необходимостью имеет конформную размерность d − 1.

Докажите эту теорему ;)

Ключевые слова: задачи, конформная теория поля | Комментарии (2)