Заметки о теоретической физике → Ключевые слова → AdS/CMT

AdS/CMT

Михаил Гойхман

О феноменологии и AdS/CMT

18 мая 2013 года, 23:15

Голографическое AdS/CFT соответствие находит свое применение в том числе в описании наиболее общих свойств в физике конденсированных сред. Соответствующая область деятельности называется AdS/CMT соответствие. Я уже дал некий перечень того на сколько успешно работает AdS/CMT в этом посте, написанном больше года назад, см. там второй абзац. Повторять перечень здесь не имеет смысла.

Сам пост, на который я сослался выше, посвящен голографическому описанию системы сильновзаимодействующих частиц при конечно плотности. Конкретный пример голографии, используемый в той статье, позволяет описывать теорию поля с помощью теории струн, а не в приближении супергравитации. Он основывается на голографическом описании того что известно как little string theory — теории на мировом объеме NS5-бран (объект, электро-магнитно дуальный струне, за объяснением читайте упомянутый пост). Дуальная теория есть теория струн на косете SL(2,R)/U(1). Теория струн на SL(2,R) решается точно, так что на указанном косете тоже можно записать спектр и посчитать корреляционные функции. Так как нас интересует голографическое описание сильновзаимодействующей теории (калибровочное SU(N) взаимодействие с большой константой связи), то вполне достаточно ограничиться рассмотрением свободной голографически-дуальной теорией струн в объеме, т.е. классической калибровочной ВЗВ моделью. При этом геометрия в объеме, это, кстати, вовсе на AdS, а «сигара» с линейным дилатоном, горизонт NS5-бран расположен в вершине сигары а асимптотическая область с цилиндрической геометрией играет ту же роль что и граница AdS в AdS/CFT соответствии.

Подобное применение голографической дуальности я нахожу наиболее удачным по двум причинам. Первая состоит в том что голография при этом точная, т.к. теория в объеме является теорией замкнутых струн, а не ее низкоэнергетическим пределом — теорией супергравитации. Оказывается что для ряда эффектов струнные поправки к гравитации совершенно существенны, без учетов струнности некоторые вещи просто не видны. Конкретный пример, обсужденный в той статье, связан с сингулярностю корреляционных функций токов при конечном импульсе и нулевой частоте. В супергравитационном дуальном описании little string theory вы никогда не увидите эту сингулярность. Вторая причина чисто прагматическая: с помощью теории струн проще считать эти самые корреляционные функции, значительно.

Несмотря на струнность приведенного примера, указанная статья все таки относится к «феноменологической» категории. Напомню терминологию. Физика бывает теоретическая и экспериментальная. Теоретическая физика бывает фундаментальная и феноменологическая. Феноменологическая физика должна, в конце концов, описывать природные явления, который наблюдает экспериментальная физика, а также делать предсказания касательно того что может произойти, а что не может. С той или иной степенью точности. Фундаментальная физика есть набор однозначных принципов, согласно которым устроена природа. Например, то что все процессы подчиняются квантовой механике — фундаментальный принцип. Если есть несколько фундаментальных теорий для одного и того же вопроса, то они обязательно дуальны друг другу. Феноменологические теории бывают лучше, или хуже. Например, можно учесть поправки к закону всемирного тяготения исходя из теории гравитации Эйнштейна, или наоборот можно вообще пренебречь гравитацией тех или иных тел. Фундаментальные теории однозначны.

Мы живем в мире с гравитацией, и мы живем в квантовом мире. Поэтому нам нужно согласовать и гравитацию и квантовую механику в рамках одной теории. Иными словами, теория должна быть верна в том числе на планковском масштабе энергии. Это дает определение фундаментальности для теории, описывающей квантовый мир с гравитацией. Если теория, описывающая явления в таком мире, не определена на планковском масштабе — она не может быть фундаментальна в принципе. Единственная теория, которая определена на планковском масштабе — это теория струн. Это единственная фундаментальная теория природы. Люди, не знакомые с теорией струн, могут быть удивлены что есть физические теории, которые абсолютно точны, и ни в коей мере не приближенны, а также не могут быть заменены более точными и лучшими теориями в принципе.

Феноменологические теории появляются после определенного количества шагов из фундаментальной теории. Первый шаг — пренебречь струнными поправками, или учесть только часть струнных поправок. Вы записываете интеграл по путям для суперструнного действия, и в интересующем вас порядке (по струнной длине) выводите эффективное действие для, скажем, электромагнитного поля, глюонного поля, или гравитационного поля. После того как вы получили, скажем, электродинамику, мы можете углубляться дальше в феноменологию, объясняя массу природных явлений.

В том числе вы можете строить модели в физике конденсированных сред. Это приближенные модели, которые справедливы, в некоторой степени точности, для описания какого то класса явлений. Первое, то что мы пренебрегли эффектами струнности, маловажно для явлений, которые изучает физика конденсированных сред. Второе, специфика той или иной модели физики конденсированных сред делает описание «по настоящему» приближенным. Другой, «менее феноменологический» пример — это Стандартная модель (СМ), или ее минимальное суперсимметричное расширение — МССМ. Опять же, эти теории следуют из теории струн в пренебрежении эффектами струнности (и при нулевой гравитации), но они значительно более ограничены, чем те или иные модели физики конденсированных сред. Фактически вы ничего не можете поменять в лагранжиане СМ так чтобы теория стала лучше (до некотрого масштаба энергий). Но теория все равно требует дополнений, скажем СМ требует супресимметрию, т.е. должна быть частью МССМ.

С настоящего момента и до конца поста разговор пойдет о более феноменологических моделях, чем СМ. Собственно причина, по которой я решил написать этот текст, состоит в том, чтобы прокомментировать некоторый конкретный пример феноменологии — AdS/CMT феноменологии. AdS/CMT в принципе не ставит себе таких целей как описание реальных сложных объектов, вроде высокотемпературных сверхпроводников. Однако оказывается что ряд общих свойств, вроде формирования бозонного конденсата, можно описать с помощью дуальной теории гравитации в AdS.

Означает ли то, что мы используем гравитацию в AdS для описания системы сильновзаимодействующих электронов, что мы пользуемся неестественными моделями? Означает ли это что данные модели хуже или что они более приближенны? Во-первых, строго говоря, сравнивать особо не с чем, т.к. сильновзаимодействующие системы не описываются с помощью теории возмущений (можно, однако, сравнивать с моделями на решетках). Во-вторых, ключевым моментом является то, что это феноменология. Первый шаг к феноменологии, как я написал, это переход от струн к калибровочной теоории. Или от струн к гравитации. А вот второй — это переход от калибровочной теории к конкретной модели. Нет никаких критериев обоснованности этого второго шага, точнее предпочтения той или иной модели, кроме как экспериментальное подтверждение (конечно, разумные теоретические критерии тоже должны быть применены собственно при поиске нужной модели).

Так вот, этим вторым шагом с тем же успехом может быть и переход от другой феноменологической теории к конкретной модели: не от калибровочной теории, а от теории гравитации. То есть если оказывается так, что теория гравитации в AdS адекватно описывает то или иное явление системы с большим числом сильновзаимодействующих частиц, то это такой же хороший пример феноменологии, как и более стандартная (на данный момент) физика конденсированных сред. Предпочитать «стандартную» феноменологию по сравнению с AdS/CMT феноменологией для объяснения общих явлений потому неразумно и совершенно ненаучно. Априори нет никаких чисто теоретических причин предпочитать ту или иную феноменологическую теорию.

Особенно забавно слышать возражения против AdS/CMT феноменологии от тех людей, которые не занимаются теорией струн. Во-первых, такие люди, как я объяснил, не занимаются фундамельнальной физикой, так что они собственно сами занимаются феноменологией. Во-вторых, я могу вас заверить, что ни одна феноменологическмя модель этих людей ничего не опсиывает, то есть их феноменология ну уж точно не лучше AdS/CMT феноменологии.

Не говоря уже о том, что само возражение против AdS/CMT феноменологии как правило имеет корни в недоверии к AdS/CFT соответствию как таковому. Излишне, наверное, еще раз напоминать, что теорфизик, возражающий против AdS/CFT, является не теорфизиком, а является бесполезным бездельником, который точно не понимает что такое AdS/CFT в частности и теория струн вообще.

Ключевые слова: AdS/CMT, политика | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Голографическое пространство модулей

7 октября 2012 года, 19:51

Из возможных подходов к применению AdS/CFT соответствия к физике конденсированных сред наиболее последовательным является фундаментальный (top-down) подход, основанный на рассмотрении пробных бран в AdS геометрии. Иными словами, большое число Nc D3-бран создает геометрию AdS5×S5, в которую погружается некоторое (малое) число Dp-бран. Т.е. объемная сторона голографической дуальности есть система D3/Dp пересекающихся D-бран. Последовательность голографии пересекающихся D-бран состоит в том, что мы знаем фундаментальные (ультрафиолетовые) степени свободы обоих дуальных теорий. Наиболее существенно то, что мы знаем как теория в объеме связана с IIB-суперструнами. В дуальной теории поля известно какие степени свободы играют роль при слабой связи — в ультрафиолете — это фундаментальные поля теории. Настоящее применение голографии начинается при переходе в ИК режим, где теория поля сильно-взаимодействующая, степени свободы не известны, и мы используем дуальную слабо-взаимодействующую гравитацию в объеме (эффективно приближающую IIB-суперструны) для описания того, что происходит в теории поля.

Открытые струны, которые прикрепляются обоими концами к D3-бране, представляют калибровочные поля N=4 суперсимметричной теории Янга-Миллса с калибровочной группой SU(Nc), в 3+1 измерениях мирового объема D3-бран. Эта теория дуальна теории суперструн типа-IIB в AdS5×S5. Чтобы описать голографически поля материи, т.е. поля в фундаментальном представлении калибровочной группы SU(Nc), в геометрию AdS5×S5 погружаются Dp-браны; при простейшем рассмотрении количество Dp-бран мало, так что можно пренебречь их влиянием на геометрию. Открытые струны, протянутые между D3-бранами и Dp-бранами, дуальны, очевидно, полям материи (кваркам) в теории поля. Если Dp-брана имеет n+1-мерное пересечение с D3-бранами, то кварковые поля живут в n+1 измерениях. В то время как с точки зрения размерностей и симметрий теории поля в УФ и ИК идентичны, физические степени свободы тем не менее различны. Например, в ультрафиолете теория поля фактически свободна, так что имеет смысл говорить о свободных кварковых полях как динамических степенях свободы. В то время как в ИК режиме, в который мы переходим для изучения конденсированных сред, в силу сильного взаимодействия (и возможно конфайнмента), не известно, вообще говоря, какие составные поля входят в эффективный лагранжиан.

Выше мы добавили материю к чисто калибровочной теории Янга-Миллса посредством введения пробных бран в геометрию, создаваемую большим количеством D3-бран. В зависимости от конкретного значения p и от размерности пересечения D3-бран и Dp-бран, такая конфигурация сохраняет 8 вещественных суперзарядов или нарушает всю суперсимметрию. Задача о нахождении числа сохраненных суперсимметрий теории таким образом сведена к задаче о числе суперсимметрий, сохраняемых данной конфигурацией D-бран. Эта задача неоднократно обсуждалась в блоге. Одним из способов ее решить является нахождение нулевой энергии NS сектора возбуждений открытой струны, т.е. нахождение массы низшего бозонного возбуждения открытой струны (Это векторное поле. На самом деле как раз таки этот метод не является правильным, т.е. иногда он дает правильный ответ, а иногда нет. В рассматриваемом случае ответ получается правильный, но может оказаться так что, скажем, все безмассовые фермионы инвариантны по отношению к преобразованию суперсимметрии, поэтому не важно что нет безмассовых бозонов. Однозначный метод определить число сохраняющихся суперсимметрий это написать явно суперзаряды для каждой отдельной D-браны и потом найти общие суперзаряды для всех D-бран.) Напомню, что масса низшего вобуждения R сектора (спинорного поля) всегда равна нулю. Если нулевая энергия NS сектора равна нулю, то теория, очевидно, суперсимметрична: суперпартнеры имеют одинаковую массу. Чтобы определить число сохраненных суперсиммерий остается вспомнить что каждая D-брана суперсимметричной конфигурации уменьшает число суперсимметрий вдвое, так что введение Dp-бран в N=4 суперсимметричную калибровочную теорию приводит нас к N=2 суперсимметричной калибровочной теории с материей.

Не сложно показать, что D3/Dp-конфигурация с p=2n+1 и n+1 мерным пересечением суперсимметрична. Ниже рассматриваются такие конфигурации с n=1,2,3. Суперсимметричность теории важна, т.к. обеспечивает существование безмассовых скаляров, а не только безмассовых бозонов. Нам интересны безмассовые скаляры так как они могут быть модульным параметрами теории. Массивные поля можно получить с помощью механизма КК. На самом деле ниже скаляры получаются редукцией КК. Такие поля все еще безмассовы. Масса, которая может быть приобретена за счет механизма КК, значительно меньше массы которую имели бы все бозонные поля если бы они были высшими модами возбуждения струны, что имело бы место в несуперсимметричной теории.

Наличие безмассовых бозонных полей, таких как скаляры суперсимметричного гипермультиплета, поднимает вопрос о модульном пространстве теории: описание конфигурационного пространства скалярных полей, таких что потенциальная энергия для любой точки этого конфигурационного пространства одинакова. Этот вопрос исследуется с помощью дуальной голографической теории в статье

Martin AmmonKristan JensenKeun-Young KimJoão LaiaAndy O'Bannon Moduli Spaces of Cold Holographic Matter

о которой я и собираюсь говорить в этом посте.

Модульные скалярные поля теории поля описываются в статье посредством дуального скалярного поля в объеме, полученного КК редукцией векторного поля на сфере. Авторы рассматривают D3/Dp систему. Динамика в объеме — это динамика полей на мирвом объеме Dp-браны. На мировом объеме Dp-браны живет U(1) калибровочное поле, которое балансирует число бозонных степеней свободы для суперсимметричности каждой отдельной браны. В статье рассматривается тривиальное вложение Dp-бран, так что нет никакой динамики координат вложения. Тогда вся (бозонная) динамика сводится к динамике U(1) векторного поля.

Чем это векторное поле интересно с точки зрения голографически-дуальной теории поля? Калибровочное поле в объеме означает наличие калибровочной симметрии в объеме. Т.е. мы имеем локальную U(1) симметрию в объеме. Локальная симметрия в объеме соответствует глобальной симметрии на границе: так что калибровочное поле в объеме является источником для Нетеровского тока глобальной симметрии в теории поля на границе. В конденсированных средах мы интересуемся рассмотрением систем с ненулевой плотностью материи. Чтобы посчитать число частиц материи, припишем каждой частице U(1) заряд — барионный заряд — так что ненулевая плотность на самом деле исчисляется U(1) барионным зарядом. Свойства конденсированных сред закодированы в корреляционных функциях соотвествующего U(1) тока. Эти корреляционные функции описываются голографически с помощью классической динамики U(1) поля в объеме.

Более наглядно: в силу того, что было написано выше, пробная D-брана в AdS геометрии нам нужна для описания материи. Материя живет в фундаментальном представлении калибровочной группы SU(Nc), что обеспечивается открытыми струнами, которые прикрепляются одним концом к стопке Nc D3-бран. Другим концом эти струны прикреплены к Dp-бране. Тогда каждая отдельная (фундаментальная) частица материи представляется струной, причем в силу того, что второй конец каждой струны прикреплен к Dp-бране, каждая частица имеет также симметрию внутренних U(1) «вращений» этого второго конца. Таким образом каждая отдельная частица обладает U(1) зарядом, причем для описания динамики плотности этого заряда, т.е. плотности частиц, нам нужно описать динамику соответствующего U(1) калибровочного поля на мировом объеме Dp-браны, в объеме AdS! Это простой наглядный пример как AdS/CFT соответствие следует из теории струн.

Для классического описания U(1) поля используется DBI действие, плюс WZ действие. Авторы находят такое решение этих уравнений, которое является инстантоном в объеме. Оперирование инстантонным решением проще, так как вместо нелинейных уравнений для того чтобы экстремизировать действие достаточно решить линейное уравнение на само-дуальность векторного поля. Более того, самодуальность инстантонного решения полностью исключает соответствующий тензор напряженности поля из действия (обсудим это в еще одном наиболее и принципиально полезном контексте основной идеи статьи ниже), что делает уравнение движения на временную компоненту векторного поля A0(ρ), описывающую голографически ненулевую плотность материи в дуальной теории поля, исключительно простым. 

В D3/D7-конфигурации с 3+1 мерным пересечением авторы рассматривают анзатц с нетривиальным векторным полем в сферических и радиальном направлениях мирового объема D7-браны. А также они рассматривают ненулевую временную компоненту векторного поля. Сферические компоненты векторного поля после КК редукции являются скалярами в объеме, дуальные билинейным комбинациям скварков гипермультиплета в теории поля. (Доказательство этой дуальности есть нечто, что было произведено в другой статье. Главная идея состоит в том, чтобы сопоставить представления дуальных полей и операторов относительно действия группы R-симметрии. Поле в объеме раскладывается по сферическим гармоникам, где каждая гармоника характеризуется квадратичным Казимиром l соответствующей ортогональной группы R-симметрии, реализуемой в объеме геометрическим образом просто как группа симметрий сферы; тогда дуальный оператор имеет заряд l относительно группы R-симметрий.)

Чтобы найти термодинамический потенциал теории поля при данном значении хим-потенциала нам нужно посчитать действие в объеме на массовой оболочке. Важное наблюдение состоит в том что вклад сферических компонент векторного поля в член WZ сокращается с вкладом этих компонент в член DBI, так что свободная энергия зависит только от временной компоненты векторного поля. Причина этого сокращения содержится в самодуальности сферической части тензора напряженности векторного поля; само-дуальность есть характерное свойство векторного инстантонного решения.

Тогда с точки зрения теории поля термодинамический потенциал зависит только от плотности заряда и не зависит от вакуумного среднего полей, дуальных сферическим компонентам векторного поля в объеме. Таким образом эти поля являются модульными полями теории поля. Так как теория поля живет в 3+1 измерениях вдоль пересечения мирового объема D3-браны и мирового объема D7-браны, то векторные индексы в сферических направлениях должны быть подвержены КК редукции, так что в результате мы получаем модульные скалярные поля теории поля. И мы знаем что эти модульные скалярные поля дуальны инстантонной конфигурации U(1) векторного поля на мировом объеме D7-браны.

Немного технических деталей того, что описано выше. DBI+WZ действие для D7-браны выглядит следующим образом:

$$S_7=-T_7\int d^4z\left[\sqrt{\det(g_{ij}+Z^{-1/2}f_{ij})}-\frac{1}{8}Z^{-1}\epsilon^{ijkl}f_{ij}f_{kl}\right]\,.$$

Координаты z есть радиальная координата ρ в AdS и сферические координаты S3 части мирового объема D7-браны. Рассматриваемая теория поля трансляционно-инвариантна, поэтому дальные поля независимы от координат x 3+1-мерной части мирового объема D7-браны. Как я написал выше, для описания ненулевой плотности материи нам необходим нетривиальный профиль временной компоненты A0 калибровочного поля. В записанное действие оно входит через эффективную метрику:

$$g_{ij}=\delta_{ij}-\partial _iA_0\partial _jA_0\,.$$

В действии также фигурируют антисимметричный символ ε0123=1 и искривляющий фактор AdS, Z=1/ρ4. Для само-дуальной напряженности U(1) векторного поля

$$f_{ij}=\partial_iA_j-\partial_jA_i\quad\quad f_{ij}=\frac{1}{2}\epsilon_{ijkl}\sqrt{\det\;g_{ij}}f^{kl}$$

действие становится равным

$$S=-T_7\int d^4z\sqrt{\det\;g_{ij}}\,,$$

т.е. сводится чисто к DBI члену для эффективной метрики.

Это ключевое наблюдение, стоящее за всей статьей: DBI+WZ действие D-браны, посчитанное на инстантонной конфигурации векторного поля в сферических направлениях, не зависит от параметров этого инстантонного решения. Важность этого наблюдения для голографического описания дуальной теории поля состоит в том, что оно немедленно подразумевает независимость термодинамического потенциала дуальной теории поля от вакуумного среднего скалярных операторов, дуальных инстантонному векторному полю. Таким образом, авторы статьи идентефицируют голографически модульные поля в сильно-взаимодействующей теории поля.

Это очень нетривиальный результат: если вы решаете такую задачу только с помощью методов теории поля, то вам нужно найти эффективный потенциал сильновзаимодействующей эффективной ИК теории поля (чтобы потом найти модульные направления конфигурационного пространства полей для этого потенциала) интегрируя явно по всем высокоэнергетическим модам. Нахождение потенциала эффективной сильновзаимодействующей теории — крайне сложная задача, которая может быть решена точно только при условии достаточного количества симметрий, которые просто напросто однозначно фиксируют единственный возможный вариант эффективного потенциала, так что не нужно явно интегрировать по всем высокоэнергетическим модам.

Решение этой задачи с помощью голографии в некоторых ситуациях, таких, как рассматриваемая в статье, может быть крайне просто: классическая динамика в AdS автоматически учитывает все квантовые эффекты в теории поля, так что классическое действие в AdS сразу дает вам эффективное действие (при ненулевой плотности — термодинамический потенциал) дуальной теории поля в сильновзаимодействующем ИК режиме. Так что все что нужно сделать это найти нетривиальные конфигурации полей в AdS, таких что действие, посчитанное на этой конфигурации, не зависит от конкретных параметров конфигурации.

Другой технической деталью статьи является переход к эффективной метрике, которая оказывается конформно-плоской. Как написано выше, для инстантонной конфигурации действие на массовой оболочке сводится к простому DBI действию для эффективной метрики, причем эффективная метрика определена через метрику AdS и поле A0(ρ). Последнее связано с плотностью материи d в теории поля выражением

$$A_0'(\rho)=\frac{1}{\sqrt{1+\rho^6/\rho_0^6}}\,.$$

Это решение DBI уравнения движения для поля A0(ρ), такое что плотность материи дается выражением $$d=\delta S/\delta A_0'$$. Последнее обеспечивается связью координатного параметра ширины профиля A0(ρ) и плотностью d:

$$\rho_0^6=\frac{d^2}{T_7^2\text{vol}(S^3)^2}\,.$$

Точное соотношение между d и плотностью материи дается выражением

$$\langle J^0\rangle=2\pi\alpha 'd\,,$$

и натяжение D7-браны равно

$$T_7=(2\pi\sqrt{\alpha'})^{-8}\,.$$

Комбинируя все эти выражения вместе замечаем, что т.к. <J0> будучи плотностью материи в трех пространственных измерениях (по другому: будучи сохраняющимся током в четырех пространственно-временных измерениях) имеет размерность 3, то d имеет размерность 5 (т.к. α' есть квардрат струнной длины), тогда т.к. T7, разумеется, имеет размерность 8 (число измерений мирового объема D7-браны), то ρ0 имеет размерность -1. Т.е. из размерных соображений особенная радиальная координата ρ0 определяется величиной плотности материи дуальной теории поля.

Эффективная метрика на мировом объеме в координатной системе с новой радиальной координатой

$$\bar\rho=\rho\left(\frac{1+\sqrt{1+\rho_0^6/\rho^6}}{2}\right)^{1/3}$$

принимает вид

$$g_{ij}dz^idz^j=\Omega (\bar\rho)^2(d\bar\rho^2+\bar\rho^2 ds_{S^3}^3)\,,\quad\Omega(\bar\rho)=\left(1-\frac{\rho_0^6}{4\bar\rho^6}\right)^{1/3}$$

из которого следует что она конформно-плоская. Причем искривляющий фактор метрики имеет (координатную) сингулярность когда  $$\bar\rho =2^{-1/3}\rho _0$$, однако, в силу того что это просто образ Пуанкаре-горизонта в новой координатной системе (в терминах новой радиальной координаты), то область $$\bar\rho <2^{-1/3}\rho _0$$ вообще рассматривать не нужно. Соответственно инстантонные решения с сингулярностью внутри этого шара по-прежнему физические, так как не имеют сингулярности в физическом пространстве AdS. [Спасибо К. Дженсену за разъяснение этого момента.]

Ключевые слова: AdS/CMT, AdS/CFT | Комментарии (5)
Михаил Гойхман

Шляпа

9 мая 2012 года, 12:33

Benny Hill: It is the most meaningful thing I've ever said: life is like a double bed.

«Joanna Bakewell-Tart»: Why?

Benny Hill: Why what?

Хочу обсудить то, по какой наиболее вероятной причине люди делают комментарии определённого рода на лекциях. Например, допустим на струнной лекции, расчитанной на широкую аудиторию (в том числе не-струнщиков), вроде лекции по применению голографии к физике конденсированного состояния, человек встаёт и говорит, что хочет заметить, что AdS/CFT  - это гипотеза, а не теорема. Во-первых замечу, что AdS/CFT  - это действительно не теорема. Это физическая теория, которая прошла все возможные тесты, и потому на данный момент совершенно надёжная. [Не говоря уже о том, что как следствие теории струн AdS/CFT по определению верная теория, однако тут я пожалуй воздержусь от этой аргументации, ибо это не предмет данного обсуждения.] В принципе это то как работает физика — вводится теория, если она самосогласованна, не противоречит другим установленным теориям и эксперименту, то эту теорию начинают применять. Поэтому комментарий о том, что «AdS/CFT — это гипотеза», совершенно неуместен на лекции по AdS/CMT. Извините, но в указанном мной выше смысле все разумные люди в аудитории это и так знают. Поэтому единственная причина, по которой человек может вставить такой комментарий, состоит в том, что он хочет оправдать себя в том, что сам не потрудился ни заниматься ни изучить что такое AdS/CFT или теория струн. И этот человек хочет, чтобы струнщики официально «простили» ему это и признали то, что они просто дурачатся со своей голографией.

Ключевые слова: AdS/CMT, политика | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Сингулярности при конечном импульсе и little string theory

19 марта 2012 года, 01:02

Возьмите взаимодействующую систему фермионов — ферми-жидкость — при нулевой температуре. В равновесии фермионы заполняют фазовое пространство внутри ферми-сферы, с радиусом kF.  Среди возбуждений такой жидкости можно выделить возбуждение квазичастиц-квазидырок и нулевой звук. Нулевой звук — это коллективное возбуждение квазичастиц взаимодействующей ферми-жидкости, он имеет непрерывный спектр, ω = u0k. Возбуждение квазичастиц-квазидырок — это хаотичные, неколлективные возбуждения над поверхностью Ферми, и область фазового пространства, где частоты и импульсы таких возбуждений принимают значения, называется континуумом Линдхарда. При малых частотах ω диапазон импульсов возбуждённых квазичастиц из континуума Линдхарда — от нуля до k = 2kF. Так что спектральная функция квазичастиц Ферми жидкости имеет сингулярность при двух импульсах Ферми.

Сильновзаимодействующая Ферми-жидкость — это система, которая должна описываться дуальной теорией гравитации в режиме слабой связи. Такое применение AdS/CFT соотвествия называется AdS/CMT, где CMT означает condensed matter theory. Эта область теории струн получила довольно широкое распространение в последние несколько лет. Наиболее выдающиеся результаты включают вывод отношения вязкости и плотности энтропии при нулевой температуре η/= 1/4π (см. недавний обзор), имеющие довольно хорошее согласие с экспериментом RHIC по измерению вязкости кварк-глюонной плазмы, описание сверхпроводников, наблюдение поверхности Ферми в «AdS2-металле», описание эффекта Холла.  И, наконец, наиболее близкое (в смысле желательно описываемой системы) к данной статье — это описание нулевого звука.

Недостающим элементом было голографическое описание континуума Линдхарда, то есть наблюдение сингулярности при двух импульсах Ферми в голографически посчитанной спектральной функции квазичастичных возбуждений Ферми-жидкости. Недавно появившаяся работа Джозефа Польчински и Евы Сильверштейн «Large-density field theory, viscosity and „2kF“ singularities from string duals» — это попытка решить эту задачу.

Система, которую они рассматривают, состоит из N5 NS5 бран и N1 F1-струн. Напомню терминологию. F1-струна, это, конечно, обычная суперструна, или фундаментальная струна. В бозонном секторе мультиплета супергравитации — низшего уровня струнных возбуждений — есть так называемое NS-NS поле Bμν, антисимметричное по своим индексам. Оно получается как антисимметричный сектор непривидомых представлений, в сумму которых разбивается произведение left-movers и right-movers

$$\alpha_\mu|0\rangle_L\times\tilde\alpha_\nu|0\rangle_R$$

Так или иначе, этому полю соответствует врешинный оператор, тоже антисимметричный по двум индексам, и соответственно в эффективном действии вы получаете взаимодействие открытой струны с NS-NS полем

$$S_{NS}\sim\int d^2\tau B_{\mu\nu}\partial^\mu X\cdot\partial^\nu X$$

Так что одна F1-струна имеет NS-NS заряд, равный единице. Соответственно N1 фундаментальных струн имеют такой заряд, равный N1. Если у вас есть струны, и вы хотите посчитать их NS-NS заряд, то вы можете воспользоваться теоремой Гаусса: окружить струны сферой и проинтегрировать поток Ходж-дуальной напряженности H(7) = H(3) = (dB(2)) через эту сферу. Чтобы окружить струну в 9+1 измерениях, вам нужна (9−1−1=7)-сфера, в результате

$$N_1=\int_{S^7}\star (dB_{(2)})$$

Но вы всегда можете задаться вопросом об электромагнитно дуальной системе. Чтобы получить магнитный заряд, вам нужно найти поток Fμν через сферу. В случае точечной частицы в 3+1 измерениях это та же самая сфера, S2 (где 2=3−0−1), что вы используете для того, чтобы проинтегрировать Fμν и найти электрический заряд. В случае фундаментальной струны, вы должны проинтегрировать H(3) по 3-сфере. В  9+1 измерениях 3-сфера окружает (9−3−1=5)-брану. Такая брана называется NS5 брана, ибо она носит магнитный NS5-заряд. Это объект, который электромагнитно сопряжен фундаментальной струне.

К слову, замечу, что другой тип слабо-сильной дуальности в теории струн (типа IIB) — это S дуальность, которая обменивает NS-NS заряд и R-R заряд. Например, фундаментальная струна взаимодействует с NS-NS полем Bμν через лагранжиан, выписанный выше, но вы можете взять тот же лагранжиан, заменить в нем NS-NS поле Bμν на R-R поле Cμν, присутствующее в теории суперструн типа IIB, и вы просто получите лагранжиан взаимодействия D1-браны с R-R полем C(2). Так что S-дуальность обменивает «струнные объекты» и «D-бранные объекты». В том числе S-дуальность обменивает D5- и NS5-браны. Ну и, наконец, электромагнитная дуальность обменивает D1- и D5-браны, что замыкает весь цикл.

Вообще говоря, у вас конечно есть SL(2, Z) группа S-дуальности, которая переводит (p, q) заряд (R-R, NS-NS) в (p', q') заряд (это целочисленная группа, ибо заряды должны быть целыми в силу правила квантования Дирака, и детерминант равен единице, чтобы обратные преобразования тоже давали вам целые заряды).  И дальше вы можете следуя Вафе добавить два измерения, и компактифицировать (11+1)-мерную теорию на 2-тор, для того чтобы сделать группу S-дуальности SL(2, Z) геометрической — это просто будет группа модулярных преобразований тора. Полученная теория в результате задаёт основу F-теории.

Струнная конструкция Польчински и Сильверштейн подразумевает разложение при большой плотности. Что это значит? В AdS/CFT люди обычно берут калибровочную теорию с большим количеством цветов N, и производят разложение корреляционных функций по 1/N. В низшем порядке этого разложения вы просто суммируете все планарные диаграммы (всё то, что вы можете нарисовать на плоскости, когда будете изображать пропагатор калибровочного поля с помощью полоски, где края полоски соответствуют двум индексам калибровочного поля, живущего в присоединённом представлении калибровочной группы). В AdS/CFT существуют определённые соотношения между параметрами калибровочной теории и параметрами дуальной теории струн. Например, в AdS5/CFT4 у вас есть N = 4 суперконформная калибровочная теория поля, и у вас есть AdS5×S5 геометрия, которая создаётся стопкой D3-бран. Радиус кривизны пространства AdS и сферы даётся выражением

$$R^4\sim N\,\ell_s^4\,g_s$$

где $$\ell_s$$ — это струнная длина, и gs — струнная константа связи, связанная с константой связи Янга — Миллса выражением gs ~ gYM2. Наконец, константа связи тХуфта есть λ = gYM2, так что большая константа тХуфта означает, что радиус кривизны AdS значительно больше струнной длины. Все поправки струнной теории возмущений (поправки, учитывающие поля, эффективно описывающие высшие возбуждения струны — то, что лежит выше низшего уровня, дающего мультиплет супергравитации) даются в порядке обратной константы связи тХуфта, а все поправки, связанные со струнными петлями, например петли в теории гравитации, заносятся в категорию поправок, связанных с обратным количеством цветов. Если вы хотите использовать AdS/CFT «по назначению», вам желательно обеспечить дуальную теорию в объёме AdS такой, чтобы это была классическая теория гравитации. Для этого вам нужно добиться того, чтобы радиус кривизны пространства AdS был большим. Тогда вы берёте двойной предел большой константы связи тХуфта и большого количества цветов. 

Польчински и Сильверштейн предлагают сделать радиус кривизны AdS большим введя конечную плотность F1-струн, размазанных по четырем пространственным направлениям мирового объёма NS5-бран. Размазанных означает, что у вас есть конечная плотность струн в четырехмерном подпространстве мирового объёма NS5-бран. Специфика именно этой выбранной конфигурации струнных объектов состоит в том, что струнное решение для неё известно точно, во всех порядках теории возмущений по струнным разложениям. Т.е. тут не обязательно ограничиваться классической супергравитацией — вы можете сказать чему равно голографическое выражение для корреляционной функции тока материи в теории поля точно, решив дуальную теорию струн. Мы вернёмся к этому ниже, а пока посмотрим, как вводится конечная плотность струн.

Для начала, следуя Польчински и Сильверштейн, рассмотрим решение IIA-супергравитации, соответствующее D0-бранам, размазанным в p пространственных измерениях. Итак, пространство-время искривляется энергией (и R-R зарядом) D0-бран. На сколько сильно? Хорошо если не особо сильно, чтобы теория гравитации была слабой и мы могли применить теорию возмущений для струнных петель. Чтобы  сделать оценку величины кривизны в зависимости от плотности ρ0 размазывания D0-бран в p измерениях, и в ~Lp объёме, запишем действие супергравитации

$$S\sim\int\frac{d^{10}x}{\alpha^{\prime 4}}\left(\frac{{\cal R}}{g_s^2}+\frac{|H_{(3)}|^2}{g_s^2}+\sum_{\tilde p}|F_{(\tilde p)}|^2\right),$$

где в IIA супегравитации суммирование осуществляется по R-R полям с нечётным рангом $$\tilde p$$. Если N0 — количество D0-бран, то ρ0~N0/Lp, и $$\inline \int_{S^8}F_{(8)}=N_0\sim L^p\rho_0$$. Здесь мы учли то, что D0-брана является источником для R-R поля C1 с напряжённостью F(2) и для того, чтобы найти полный RR заряд D0-бран мы должны окружить их сферой S8 и проинтегрировать по ней поток Ходж-дуальной напряжённости F(8).

Какую геометрию мы ожидаем получить в качестве решения? Ответ на этот вопрос известен. Понять происхождение этого решения можно следующим образом. Будем следовать идеи матричного подхода к M теории. Как известно, M теория, которая описывает  M2-браны (и магнитно-дуальные к ним M5-браны), может быть сформулирована как матричная квантовая механика, описывающая D0-браны. Матрицы получаются когда вы рассамтриваете эффективные поля, описывающие калибровочный сектор возбуждений открытых струн, соединяющих D0-браны, так что каждый конец струны вводит индекс матрицы. Один из концов струны живёт в фундаментальном представлении калибровочной группы (к нему приписывается индекс зарядов Чана-Патона), а другой — в антифундаментальном (Чан-Патоновский индекс «с чертой»). Таким образом, вы можете описать M2-браны с помощью D0-бран, размазанных по пространству с некоторой конечной плотностью. Но геометрия, создаваемая M2-бранами — это AdS4×S7, так что мы можем обобщить этот результат и заключить, что D0-браны, размазанные по p пространственным направлениям, ведут себя как p-брана, по крайней мере в «нулевом приближении» То есть они создают некоторую «AdS × S» геометрию. В некотором смысле вы можете размазать D0-браны по p = 3 измерениям, и получить решений с геометрией, напоминающей AdS5/CFT4 в знаменитом решении, используемым в AdS5/CFT4 соответствии. Решение даётся уравнением (2.10) в статье Польчински и Сильверштейн.

Если R — это радиус кривизны «AdS × S» геометрии, создаваемой  рассматриваемыми D0-бранами, то мы можем оценить кривизну Риччи как $${\cal R}\sim 1/R^2$$. Эта кривизна создаётся «материей» D0-бран с плотностью ρ0, и потому, сопоставляя члены кривизны (действие Эйнштейна-Гильберта) и материи (действие для R-R поля) в действии супергравитации, мы получаем

$$R^{7-p}\sim g_s\rho_0$$

Восстанавливая струнную дину, получаем

$$(R/\ell_s)^{7-p}\sim g_s\ell_s^p\rho_0\quad\Rightarrow\quad R^{7-p}\sim g_s\rho_0\ell_s^7$$

Таким образом, можно добиться большого радиуса кривизны R и потому пертурбативного режима теории в объёме, введя большую плотность D0-бран ρ0. Сравнивая это выражение со стандартным выражением из AdS5/CFT4, приведённым выше,

$$R^4\sim N_c\,\ell_s^4\,g_s$$

замечаем, что количество цветов Nc калибровочного сектора дуальной теории поля больше не должно быть большим для того, чтобы мы могли применить теорию возмущений с петлями струн в дуальной теории гравитации (хотя планарный подход тХуфта разумеется оказывается утерянным, что не важно, судя по всему, ибо мы всё равно исследуем теорию поля голографически). И мы не считаем что константа связи тХуфта бесконечно большая (что обычно используется для применении теории возмужений по струнным возбуждениям), ибо мы знаем, что в той системе, которую мы в конце концов хотим рассмотреть, пертурбативное решение по всем струнным возбуждениям и так известно точно.

Стоит заметить, что большая плотность D0-бран, разумеется, в некотором смысле эффективно тоже подразумевает большое количество цветов. Это легко увидеть если применить аналогию с матричной теорией струн, приведённой выше: вы всегда можете рассмотреть открытые струны, прикреплённые к D0-бранам, и низший уровень возбуждения таких струн эффективно описывается полями суперсимметричной калибровочной теории. Так что в данном примере с D0-бранами в некотором смысле большое количество цветов всё равно присутствует. Однако, теория, которую рассматривают Польчински и Сильверштейн, на самом деле описывает конечную плотность фундаменатальных струн, к которым уже никакие струны не прикрепляются.

Важным следствием AdS/CFT является возможность описывать взаимодействующую материю. Сами по себе D3-браны AdS5/CFT4 соответствия дают калибровочные поля, описывающими эффективно открытые струны, которые начинаются на одной из Nc D3-бран и заканчиваются, вообще говоря, на другой D3-бране. Чтобы добавить материю — возбуждение открытых струн в фундаментально представлении калибровочной группы — можно, например, ввести пробные браны в AdS5×S5 геометрии цветовых D3-бран.  Несколько таких бран добавляет ароматную симметрию к теории. Полчински и Сильверштейн вместо этого рассматривают конечную плотность Dp-бран (на примере D0-бран, описанном выше) и конечную плотность F1-струн. В дуальной теории поля это соответствует конечной плотности материи.

В таком подходе мы, наоборот, начинаем с материи, которую теперь хотим заставить взаимодействовать. В AdS/CFT есть так называемый семиголографический метод, позволяющий это осуществить. Суть метода состоит в том, что вы считаете часть пропагаторов голографически с помощью теории в объёме, и потом прикрепляете теорию к калибровочным полям, с известным теоретико-полевым пропагатором. Существенным элементом является большое количество цветов — только тогда вы можете точно просуммировать все возможные диаграммы взаимодействия сектора материи и калибровочного сектора (эффект факторизации при больших N). Нечто подобное было применено  для N = 4 плазмы. Применимость этого метода к системе Польчински и Сильверштейн однако довольно сомнительна, ибо количество цветов в их модели вовсе не является большим.

Просто ввести цветовые браны тоже не правильно, ибо тогда цветовые браны тоже будуте искривлять геометрию, и малая константа связи в теории струн будет требовать большого количества цветов, так же как и в AdS5/CFT4, где вам нужно рассмотреть предел больших Nc, чтобы получить большой радиус кривизны R и малую константу струнного взаимодействия gs. Польчински и Сильверштейн считают, что цветовые браны, которые вы добавляете в теории помимо размазанных бран, существенны для геометрии ровно на столько на сколько и размазанные браны. Если это так то действительно, количество цветовых бран должно быть большим, а Польчински и Сильверштейн избегают этого требования.

Вместо всего этого они вводят N5 количество NS5-бран. Сопоставляя член Эйнштейна-Гильберта $${\cal R}/g_s^2$$ и член NS-NS материи $$|H_{(3)}|/g_s^2$$, где $$H_{(3)}\sim N_5/R^3$$, получаем $$R^2\sim N_5$$. Далее, т.к. $$H_{(7)}\sim \rho_1/R^3$$, то сопоставляя этот член с членом Эйнштейна-Гильберта, получим $$g_s\sim R^2/\rho_1$$. Восстанавливая единицы изерения (восстанавливая струнную длину $$\ell_s=\sqrt{\alpha'}$$), находим

$$R^2\sim N_5\alpha’\,,\quad\quad g_s^2\sim\frac{N_5}{\rho_1\alpha^{\prime 2}}$$

где ρесть плотность размазывания F1-струн по 4х-мерному подпространству мирового объёма NS5-бран. Большая плотность ρ1 обеспечивает одновременно сильное взаимодействие материи в теории поля и малость струнной константы взаимодействия gs, в то время как N5 ~ 1. И что самое главное, струнное решение такой системы, создающей геометрию AdS3×T4×S3 (в инфракрансом режиме: «около горизонта» чёрной браны, в то время как в ультрафиолетовом режиме это так называемая little string theory) точно известно. Фундаментальные струны размазаны по T4 подпространству, радиус тора впоследствии устремляется к бесконечности, давая четыре некомпактных измерения теории поля с конечной плотностью материи в них.

Одна из основных идей статьи Польчински и Сильверштейн состоит в том, что сингулярности известных голографических корреляционных функций при конечно импульсе вдоль T4 могут быть проинтерпретированы как 2kF сингулярности в ферми-жидкости — которые я упомянул здесь в самом начале в связи с обсуждением континуума Линдхарда. Другим результатом является то, что отношение вязкости к плотности энтропии, посчитанное голографически в данной модели, не получает никакие поправки за пределами классической супегравитации. Интересно, что данные результаты не зависят от конкретного значения частоты (сингулярность точно в 2kF имеет место только при нулевой частоте, в то время как при увеличении частоты значение импульса при котором корреляционная функция сингулярна тоже увеличивается), и что дуальная система не обладает нулевым звуком.

Я пока не вижу никаких однозначных аргументов, которые бы указывали независимым образом на то, почему струнная конструкция Польчински и Сильверштейн не поддерживает коллективных возбуждений. Вот некоторые соображения по этому поводу. Геометрия AdS3×T4×S3 создаётся N5 NS5-бранами, и N1 F1-струнами, причём струны «протянуты» вдоль одного из пространственных направлений NS5-бран. Решая такую теорию струн мы рассматривает (1+1)-мерную CFT на мировой поверхности струны. Т.е. вы можете начать с теории F1-струны (нескольких таких струн, введя некий произвольный уровень WZW модели, описывающей бозонный сектор суперструны, и соответствующий количеству F1-струн), добавив к ней NS5-брану, которая в силу электро-магнтиной дуальности возникает естественным образом. И дальше решать теорию струн пертурбативно. На уровне супегравитации можно провести следующую аналогию: в то время как стопка чёрных 3-бран создаёт AdS3+2 геометрию (умножить на сферу), F1-струны создают AdS1+2 геометрию (умножить на сферу и на тор). Суммирование размерности тут это не обозначение для сигнатуры метрики а просто сопоставление размерности AdS и размерности бран. Отличие случая с D3 бранами от данного случая состоит в том, что для D3-бран не известно точно струнное решение — так что ограничиваются супергравитацией в AdS5×S5, в то время как теория струн в AdS3 решается точно.

В то время как в случае AdS5 геометрии мы рассматриваем дуальную теорию поля в CFT4 на границе AdS, в данном случае фундаментальных струн дуальная CFT на границе AdS есть CFT2, но мы рассматриваем теорию поля в 6+1 измерениях мирового объёма NS5-бран. И затем конечная плотность — плотность струн — имеется только в T4 направлениях (в которых производятся вычисления корреляционных функций для тока и для тензора энергии-импульса), в то время как в двух направлениях CFT на границе AdS такой конечной плотности вовсе нет. Я бы ожидал что нулевой звук появился бы именно в этих направлениях, но так как там нет конечной плотности, то это не представляется возможным.

Другой спецификой построения Польчински и Сильверштейн является то, что их плотность в дуальной ферми-жидкости не может флуктуировать, и потому в таком описании невозможно получить нулевой звук. Действительно, в классическом применении AdS/CFT конечная плотность материи в теории поля соответствует потоку электромагнитного потенциала в объёме, так что динамика потока (малые флуктуации) в объёме описывают флуктуации плотности в теории на границе. В то время как конфигурация Польчински и Сильверштейн кажется «фиксированной» в этом отношении.

Обсудим некоторые шаги, которые приводят Польчински и Сильверштейн от теории струн, решённой точно в AdS3, к двухточечным функциям в (6+1)-мерной little string theory на  AdS3×T4×S3. Теория суперструн описывает поля конформной теории поля CFT1+1 на мировом объёме струны. В теории бозонной струны на AdS3 (дающей те же резултаты касательно корреляционных функций, что и суперструна на AdS3) вы записываете действие Полякова с пространством отображения, имеющим геометрию AdS3. Естетсвенный способ сформулировать такую теорию — это записать WZW действие SL(2, R) сигма-модели с элементами

$$g=\left({{X_{-1}+X_1}\atop {-X_0-X_2}}\;{X_0-X_2\atop X_{-1}-X_1}\right)\quad X_{-1}^2+X_0^2-X_1^2-X_2^2=1$$

Последнее равенство определяет AdS2+1. Хорошо, дальше вы решаете теорию пертурбативно. Как я заметил выше, уровень WZW модели соостветсвенно переформулируется как количество N5 NS5-бран. Физическая интерпретация проста — чем больше бран, тем тяжелее и «классичнее» теория, соответсвенно множитель перед действием (уровень WZW модели) увеличивается пропорционально. Далее, AdS3 теперь находится в прямом произведении с S3 и T4, так что полный вершинный оператор струнных возбуждений есть произведение вершинных операторов в трёх подпространствах. И потому конформная размерность операторов струнных возбуждений есть сумма конформных размерностей в этих трёх подпространствах. Согласно теории струн в AdS3 вклад AdS в конформную размерность есть

$$\Delta_{ws}=-\frac{2j(j-1)}{N_5}$$

где j ∈ (1/2, (N5+1)/2) описывает вершинный оператор Φj в AdS (ниже будет сопоставлен с конформной размерностью дуального оператора в теории поля, и потом с импульсом возбуждения в теории поля). Индекс «ws» означает. что это конформная размерность в CFT на мировом листе струны. Конформная размерность первичного оператора Φ(z) — это собственное значение оператора алгебры Вирасоро L0 (для left-movers заменить на L˜0) при соответствующем состоянии $$\inline |\Phi\rangle=\lim_{z\rightarrow0}\Phi(z)|0\rangle$$. Одновременно это соотношение переформулируется как условие физичности состояния

$$(L_0-1)|\Phi\rangle=0,\quad\quad (\bar L_0-1)|\Phi\rangle=0$$

В случае струны в плоском пространстве отображения вы просто получаете отсюда выражение для спектра возбуждений струны,

$$\alpha'M^2=N_L-1=N_R-1$$

в то время как в случае струны на AdS3×T4×S3 с учётом «плоского» выражения на торе

$$\Delta _{ws,T^4}=\frac{q^2\alpha'}{2}+2,$$

вы получаете условие физичности струнных состояний в форме

$$-\frac{2j(j-1)}{N_5}+\frac{q^2\alpha'}{2}+\Delta_{ws,S^3}=2$$

Если на сфере S3 импульс равен нулю, то в результате получаем

$$j=\frac{1}{2}(1\pm\sqrt{1+N_5q^2\alpha'})$$

Это как раз половина конформной размерности скалярного оператора

$$\Delta _\pm=\frac{d}{2}\pm\sqrt{\frac{d^2}{4}+m^2R^2}$$

в AdS/CFT (d = 2 для  AdS3). Половина — это вклад либо от left-movers, либо от right-movers. Так что можно заключить, что оператор Φj описывает голографически дуальный оператор $${\cal O}$$ с конформной размерностью

$$\Delta=2j=1\pm\sqrt{1+N_5q^2\alpha'}.$$

Это довольно универсальный результат, когда он применяется к произвольному оператору с индексами в направлении T4: такой оператор является скаляром для двумерной CFT, дуальной AdS3. Все соотстветствующие двухточечные корреляционные функции пропорциональны

$$\text{Im}(G_j^R)\sim \hat B(j)\sim \Gamma\left(1-\frac{2j-1}{N_5}\right)$$

Гамма-функция сингулярна, когда j → (N5+1)/2, что в силу условия физичности состояния приведённого выше означает, что

$$q=q^\star= \left(\frac{N_5}{4}-\frac{1}{4N_5}\right)\frac{1}{\alpha'}\simeq g_s\sqrt{\hat\rho_1}\left(\frac{\sqrt{N_5}}{4}-\frac{1}{4N_5^{3/2}}\right)$$

Импульсы всех возбуждений рассматриваются вплоть до этого предела, который таким образом интерпретируется как 2kF. Заметим, что конечность N5 существенна для наблюдаемости этой сингулярности.

Ключевые слова: AdS/CFT, AdS/CMT | Оставить комментарий