Заметки о теоретической физике → Ключевые слова → AdS/CFT

AdS/CFT

Михаил Гойхман

Голографическая перенормировка С.-С. Ли

14 ноября 2013 года, 18:21

Вчера обсуждали на семинаре вот эту статью:

Sung-Sik Lee, Quantum Renormalization Group and Holography

У меня есть несколько личных комментариев касательно всего подхода, который выдвигается в этой статье.

Для начала, о чем собственно статья. Допустим у вас есть взаимодействующая квантовая теория поля. Тогда теория перенормируется. При движении из ультрафиолетового режима в инфракрасный режим осуществляется перенормировка констант связи и размерностей операторов. В инфракрасном режиме появляются новые операторы. Т.е. эффективный лагранжиан теории при низких энергиях содержит члены взаимодействия, которые отсутствовали в изначальном ультрафиолетовом лагранжиане.

С.-С. Ли хочет описать этот ренорм-групповой поток в наиболее общем виде при помощи теории гравитации в пятимерном пространстве. Разумеется, его идея основывается на AdS/CFT соответсвии и голографической перенормировке, хотя в статье вы найдете мало ссылок на методику AdS/CFT. Так или иначе, идея статьи — описать ренорм-групповой поток с помощью классической гравитации. Это полезная цель, в некотором смысле, так как ренорм-групповой поток в большей части непертурбативен и (в несуперсимметричных теориях) затруднительно много про него сказать точно.

Однако, на мой взгляд, вся идеология статьи ошибочна по ряду причин.

1. Правильный способ описать голографическую перенормировку — это использовать AdS/CFT соответствие. Ясно, что AdS/CFT соответствие описывает РГ поток в КТП с помощью классических уравнений гравитации, и потому фактически решает задачу, поставленную С.-С. Ли. Однако, есть ограничения. AdS/CFT утверждает что вы можете описывать теорию поля с помощью теории гравитации в AdS только если теория поля берется при большой константе взаимодействия тХуфта. Строго говоря — бесконечно большой. Любая конечная константа взаимодействия означает что вы должны учесть струнные поправки в AdS. Константа взаимодействия, равная 1, по порядку величины, означает что теория супрегравитации полностью неверна (вообще говоря), и нужно использовать всю теорию струн. Это элементарное AdS/CFT.

С другой стороны, калибровочная теория поля в УФ (при достаточно большом ранке калибровочной группы), скажем, КХД, свободна в УФ. Т.е. константа взаимодействия там равна нулю. Так что ультрафиолетовый режим никогда не будет описываться гравитацией в AdS. Гравитация в AdS описывает только, в лучшем случае, ИК фазу и ее окрестность.

2. Как собственно работает голографическая перенормировка в AdS/CFT? Допустим, несмотря на то что написано в предыдущем пункте, вы хотите описать весь РГ поток из УФ в ИК только с помощью теории гравитации, без использования теории струн. Это можно сделать. Чтобы это сделать вы берете конформную теорию поля при большой константе тХуфта. Такая теория дуальна теории гравитации в AdS пространстве. Т.к. теория поля конформна, она никуда не течет.

Так что вы добавляете к ней, скажем, двухследовое возмущение. Такая пертурбация включает ренормгрупповой поток, выведя теорию из критической (конформной) точки. При определенных значениях параметров теории однако включенный ренорм-групповой поток остановится в новой критической точке. Теория перетечет из одного конформного режима в другой.

Важно заметить что константа связи тХуфта в этом рассмотрении остается постоянной, не перенормируется. Перенормируется только константа двухследового взаимодействия, которое мы включили, и, возможно, все остальные константы мультиследовых взаимодействий. Принципиально важно что (односледовая) константа тХуфта всегда остается большой, и потому теория гравитации всегда остается верной. У С.С. Ли это не так, поэтому его теория поля не описывается гравитацией, а должна описываться теорией струн.

3. Классическая гравитация в AdS описывает сильную теорию поля только если теория поля берется при большом ранке калибровочной группы. Любой конечный ранк означает что гравитация в AdS должна быть квантовой. Единственная правильная квантовая теория гравитации — это теория струн, со всеми дополнительными степенями свободы, которые она приносит. С.С. Ли должен рассматривать теорию струн в AdS, если он хочет чтобы его конструкции работали.

4. Опять, рассмотрим КХД. В ультрафиолете КХД — это совсем другая теория чем КХД в ИК. В УФ КХД описывается лагранжианом СМ. Динамическими полями являются кварки и глюоны. В ИК нет кварков и глюонов, но есть мезоны, барионы, глюболы и т.д. — в силу конфайнмента ИК фаза полностью отлична от УФ фазы. Даже если предположить что С.С. Ли может ловко переключиться на описание совершенно новых степеней свободы в ИК чем в УФ (сомневаюсь), его конструкция все равно имеет принципиальную трудность.

Дело в том, что КХД обладает бесконечным числом мезонов с высшими спинами. Поэтому, собственно, AdS/QCD, где в AdS у вас теория супергравитации, никогда не сможет описать КХД. Просто потому что супергравитация в AdS не содержит полей со спином выше чем 2, и потому никогда не сможет описать мезоны с высшими спинами.

5. Резюмируя, нужно быть более аккуратным в том что такое голографическая перенормировка. Ясно, что пространство AdS дуально конформной теории поля, которая не перенормируется. Пространство, которое только асимптотически является AdS, может описывать РГ поток, так что радиальная координата AdS соответсвует масштабу энергии теории поля. Например, AdS-солитон — пространство, которое асимптотически AdS с «двух сторон» — вблизи границы и горизонта Пуанкаре. Такое пространство описывает поток из одной конформной теории поля (в УФ) в другую конформную теорию поля (в ИК).

Однако, не всякое пространство, которое асимпотически AdS, описывает РГ поток. Скажем, (заряженная) черная дыра в AdS не описывает РГ поток. Она описывает конформную теорию поля в которой включена температура (и добавлен заряд). Она описывает одну фиксированную точку РГ потока, а не весь поток! Пространство AdS с ИК стенкой тоже не описывает РГ поток. Оно описывает ИК фазу КХД с нарушенной конформной симметрией.

6. Ренорм-групповой поток — это квантовое свойство теории поля. В классической теории поля все диаграммы — древесные, петель с виртуальными частицами нет, так что теория не перенормируется. Я сильно подозреваю, что подход Малдасены-Сасскинда для описания квантовых свойств теории поля с помощью голографически-дуальной классической теории значительно более полезен чем подход С.С. Ли. Как, скажем, в этой статье описывается запутанная пара квар-анти-кварк в рамках AdS/CFT соответствия.

Ключевые слова: AdS/CFT, квантовая теория поля | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Конфайнмент и теория струн

28 сентября 2013 года, 01:13

Если у вас есть четыре часа времени, можете посмотреть три лекции Дэвида Кутасова в Институте Исаака Ньютона, прочитанные в сентябре 2007 года.

Лекции посвящены описанию конфайнмента в теории Янга-Миллса (без суперсимметрии) при помощи теории струн. В том числе объясняется известная статья Виттена, голографическое вычисление энтропии запутывания и модель Сакай-Сугимото.

Ключевые слова: квантовая теория поля, AdS/CFT | Комментарии (5)
Михаил Гойхман

Теория Клебанова-Виттена

15 мая 2013 года, 00:22

Под теорией Клебанова-Виттена подразумевается соответствие между теорией струн в AdS5×X5 и N=1 суперсимметричной калибровочной теорией поля. Основы теории были положены в этой статье:

I.R. Klebanov, E. Witten Superconformal Field Theory on Threebranes at a Calabi-Yau Singularity

Это одна из наиболее интересных статей в теорфизике; за последние 15 лет она набрала более 730 цитирований. В любом случае это крайне примечательный пример применения AdS/CFT соответствия: со стороны теории поля (в данном случае N=1 SUSY калибровочной теории) известен ряд нетривиальных непертурбативных результатов, которые в точности подтверждаются вычислениями со стороны теории гравитации в AdS. Несколько феноменологическим ответвлением этой области деятельности является AdS/QCD соответствие, тоже крайне интересное применение голографии. Для полноты напомню что есть, наконец, AdS/CMT соотетствие (CMT означает condensed matter theory), которое выявляет наиболее общие и формальные свойства физики конденсированных сред.

Это длинный пост, местами я буду делать значительные ответления, разъясняя те вещи, которые нужно знать чтобы понять статью Клебанова-Виттена.

1. Напомню что исходным классическим примером AdS/CFT соответствия является соответствие между теорией струн в пространстве AdS5×S5 и N=4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса. При этом количество суперсимметрий (равное, разумеется, по обе стороны соответствия) максимально: 32 суперсимметрии. Это число максимально если вы хотите объединять в мультиплеты поля со спином не выше 2 (для теории в объеме, где есть гравитация) и поля со спином не выше 1 (для теории на границе, являющейся низкоэнергетическим приближением открытых струн, и потому не обладающей гравитацией).

В объеме — пространстве AdS5×S5 — группу симметрий легко увидеть посмотрев на группу изометрий пространства-времени, расширенного впоследствии до суперпространства. Группа симметрий сферы S5 — это группа SO(6) вращений шестимерного пространства, в которое эта сфера погружается. Пространство AdS5 явялется другим пятимерным пространством с макисмальным количеством симметрий (пятнадцать), группой симметрий является SO(2,4). Далее, в формализме Грина-Шварца для описания суперструны типа-IIB к десяти пространственным координатам нужно добавить два спинора в D=10, одинаковой киральности; каждый спинор (Майорана-Вейлевский спинор) имеет 16 вещественных компонент. Полная группа (супер)симметрий суперпространства  AdS5×S5 поотому есть SU(2,2|4). Мы воспользовались тем фактом что SU(4)~SO(6) и SU(2,2)~SO(2,4).

С другой стороны, суперсимметричная N=4 D=4 теория Янга — Миллса на границе AdS имеет бозонную группу конформных преобразований симметрии SO(2,4) и группу R-симметрий, вращающий 4 суперзаряда (по четыре компоненты каждый), SO(6). Коммутирование четырех суперзарядов с генераторами специальных конфромных преобразований порождает еще 4 суперзаряда — генераторы суперконформных преобразований (другой способ увидеть появление четырех дополнительных суперзарядов основывается на размерности спинорного представления группы SO(2,4), которое вдвое больше спинорного представления группы SO(1,3)). Полная группа (супер)симметрий в результате та же что и в объеме, SU(2,2|4), с точки зрения теории поля это N=4 суперконформная группа в четырехмерии. Заметим в частности что R-симметрия SU(4) теории поля на границе реализуется как группа симметрий внутреннего пространства — сферы S5 — теории в объеме.

2. Теория Клебанова-Виттена занимается голографическим описанием N=1 суперсимметричной теории, суперконформная группа при этом есть SU(2,2|1), где бозонная подгруппа U(1) есть группа R-симметрий. Таким образом, нам нужно нарушить 3/4 суперсимметрий N=4 суперсимметричной теории. Например, шесть измерений теории суперструн можно компактифицировать на многообразие Калаби-Яу (с SU(3) группой голономий), нарушающее как раз 3/4 суперсимметрий, в результате чего эффективная теория в D=4 оказывается N=1 суперсииметричной, и из нее уже можно начать выводить феноменологию МССМ. При этом используются, естественно, компактные многообразия Калаби-Яу.

Примером многообразий Калаби-Яу являются орбифолды. Например тор. Другой пример это когда многообразие Калаби-Яу имеет коническую сингулярность, тогда окрестность сингулярности конуса есть кусок компактного многообразия Калаби-Яу (весь конус некомпактен). Шестимерный конус имеет пятимерное основание и одну радиальную координату. В точке где радиальная координата равна нулю, имеется коническая сингулярность: окрестность этой точки не может быть отображена на плоское шестимерное пространство. Конус, построенный с помощью цилической группы являющейся подгруппой группы SU(3), сохраняет только два суперзаряда. В шестиметрии имеется восемь суперзарядов, поэтому конус нарушает как раз 3/4 суперсимметрий. Конус и используется в теории Клебанова-Виттена для нарушения 3/4 суперсимметрий в объеме.

Десятимерное решение IIB супергравитации должно иметь форму AdS5×X5. Настоящее решение — решение стопки экстремальных черных 3-бран —  записано ниже, произведение AdS5×X5 — это геометрия вблизи горизонта стопки бран; граница AdS соответствует горизонту стопки бран. Причем собственно AdS появляется вблизи горизонта бран, а вот X5 видно всегда.  Наличие пятимерного подпространства AdS необходимо для существования дуальной конформной теории поля. Посмотрим какие простые решения уравнений IIB супергравитации (какую метрику) можно получить для X5. Потребуем чтобы  X5 было пространством Эйнштейна, т.е. чтобы для него тензор Риччи был пропорционален метрике. Скажем, плоское пространство есть пространство Эйнштейна с коэффициентом пропорциональности ноль, для AdS этот коэффициент равен -4, для сферы S5 и для основания X5 шестимерного конуса (я использую одно и то же обозначение для наиболее общего пятимерного компактного подпространства и для основания пятимерного конуса, которое используется в теории Клебанова-Виттена ;) ), который мы построим ниже, он равен 4.

Причина по который мы хотим чтобы пятимерное компактное пространство X5 было пространством Эйнштейна состоит в том что мы ищем простые решения уравнений супергравитации. Допустим все динамические поля это метрика и напряженность F5  RR-поля C4. Как  в случае AdS5×S5  решения N единиц поля F5  пронизывают X5 . Это следует из того что для AdS части решения поле  F5  необходимо: т.е. для создания AdS геометрии это поле точно должно быть поляризовано в направлении AdS, т.е. Ftxyzr0. Но это поле самодуально, так что независимо от X5 всегда имеется один и тот же поток F5  также и через X5. Сфера является пространством Эйнштейна с Rij=4gij. Она решает соответствующие уравнения Эйнштейна с F5  в качестве материи. Для основания шестимерного конуса также имеет место Rij=4gij. Так что различие между  AdS5×Sи AdS5×X5 сводится к различию в масштабах кривизны.

Более конкретно, интересующим нас решением IIB супергравитации является некое заданное поле F5 и метрика

$$ds^2=H^{-1/2}(r)(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)+H^{1/2}ds_6^2$$

где как и для AdS5×S5

$$H=1+\frac{L^4}{r^4}$$

только на этот раз ds62 есть метрика на конусе (ds52 есть метрика на X5)

$$ds_6^2=dr^2+r^2ds_5^2$$

Масштаб кривизны в объеме определяется следующим образом:

$$\left(\frac{L}{\ell_s}\right)^4=\frac{N\sqrt{\pi}}{{\rm Vol}(X_5)}$$

Вблизи r=0 (приближении супергравитации, т.е. пренебрежение струнностью: $$\ell_s/L\ll 1$$) метрика принимает вид AdS5×X5:

$$ds^2=\frac{r^2}{L^2}(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)+L^2\frac{dr^2}{r^2}+L^2ds_5^2$$

Итак, вот что происходит. Берутся бозонные уравнения IIB-супергравитации. К ним находится решение, которое вблизи r=0 выглядит как AdS5×X— произведение AdS и основания конуса X5. Физически сингулярная точка объясняется наличием стопки 3-бран в ней (стопка бран также объясняет наличие потока поля F5). Голографически дуальная теория тогда живет на мировом объеме стопки D3-бран, локализованных на конической сингулярности. Причем если группа голономий конуса есть SU(3) (из того что конус является Риччи-плоским многообразием следует что группа голономий есть либо SU(3) либо ее подгруппа) то одна четверть суперсимметрий сохраняется, так что дуальная теория поля (теория на мировом объеме D3-бран в низкоэнергетическом пределе) обладает N=1 суперсимметрий.

Клебанов-Виттен кстати явно показывают как уравнение на спинор Киллинга на шестимерном конусе (их уравнение (5)) эквивалентно уравнению на спинор Киллинга на основании конуса (6), причем в последнем имеется нетривиальный вклад от F5. Напомню для полноты что уравнение на спинор Киллинга η есть уравнение $$\nabla\eta=0$$. Если имеются нетривиальные p-формы, вроде F5, то они тоже дают вклад в это уравнение. Суть состоит в том чтобы преобразование суперсимметрии для гравитино равнялась нулю.  Уравнение Киллинга определяет какие параметры преобразования суперсимметрии удовлетворяют этому свойству. Эти же спиноры тривиально преобразуются при действии группы голономий. Максимальная группа голономий в шести измерениях есть SO(6)~SU(4), так что для Калаби-Яу с группой голономий SU(3) только один (из четырех комплексно-значных) спиноров не преобразуется под действием группы голономий.

3. Есть теорема, согласно которой пятимерное пространство является пространством Эйнштейна тогда и только тогда когда шестимерный конус, построенный с этим пятимерным пространством в качестве основания, является Риччи-плоским. Это акутальная теорема, т.к. мы знаем что шестимерный конус сохраняет 1/4 суперсимметрий и потому является трехмерным многообразием Калаби-Яу. Следовательно, он является Риччи-плоским. Так или иначе, напрямую эта теорема доказывается в общем следующим образом. Рассмотрим конус, с интервалом

$$ds^2=h_{mn}dx^mdx^n=dr^2+r^2g_{ij}dx^idx^j$$

Сделаем замену радиальной координаты, r=eφ(r), после чего запишем компоненты метрического тензора:

$$h_{\phi\phi}=e^{2\phi}\,,\quad h_{ij}=e^{2\phi}g_{ij}\,,\quad h_{\phi i}=0$$

где индексы $$i,j\neq \phi$$ принимают n-1 значений. Совершим конформное преобразование метрики

$$\hat{h}_{mn}=e^{-\phi}h_{mn}$$

где индексы m,n ринимают n значений.

Теперь вспомним что в общем, если $$\hat{h}_{ab}=\Omega^2h_{ab}$$, то тогда в n-мерном пространстве

$$R_{bd}=\Omega^2\hat{R}_{bd}+(n-2)\Omega\Omega_{;b;d}-\frac{1}{n-2}\Omega^n(\Omega^{2-n})_{;a}^{;a}\hat{h}_{bd}$$

Здесь слева записан тензор Риччи в метрике $$h_{ab}$$, в то время как справа все (в том числе ковариантные производные) посчитано для метрики $$\hat{h}_{ab}$$. Метрика со шляпкой описывает пространство $$R^{\phi}\times M^{n-1}$$. Рассмотрим Mn-1. Мы знаем что

$$(\Omega^{2-n})_{;a}^{;a}=(e^{n-2}\phi)_{,\phi}^{,\phi}=(n-2)^2e^{n-2}\phi\,,\quad\Omega_{;i;j}=0\,,$$

и потому

$$R_{ij}=e^{-2\phi}(\hat{R}_{ij}-(n-2)\hat{h}_{ij})\,.$$

Тогда метрика для конуса $$h_{ij}$$ является Риччи-плоской тогда и только тогда когда

$$\hat{R}_{ij}=(n-2)\hat h_{ij}\,.$$

Теперь, очевидно, для n-1-мерного основания конуса $$\hat{R}_{ij}=R_{ij}$$, т.к. с точки зрения основания конуса конформоное преобразование которое мы сделали, зависящее только от r, эквивалентно рескейлингу метрики константой, а при таком преобразовании тензор Риччи не меняется.  Также, $$\hat{h}_{ij}=g_{ij}$$, и потому

$$R_{ij}=(n-2)g_{ij}$$

что завершает доказательство.

4. Простым примером многообразия Эйнштейна X5, берущимся в качестве основанием конуса, явлется многообразие

$$T^{1,1}=\frac{SU(2)\times SU(2)}{U(1)}$$

где U(1) в знаменателе есть сумма двух U(1) генераторов, взятых из каждой группы SU(2) в числителе. Многообразие группы SU(2) есть сфера S3, которая представляется как расслоение S1 с основанием S2 (Hopf fibration). Т.к. мы калибруем одну подгруппу S1, то T1,1 есть расслоение оставшейся S1~U(1) (общей для обеих S2 из двух SU(2)) с основанием S2×S2. Каждая S2 симметричная относительно преобразований SO(3)~SU(2), и еще у нас есть группа симметрий U(1), вращающая волокно Sиз расслоения. После того как мы представили  T1,1 в качестве расслоения, очевидно что группой симметрий T1,1 является U(1)×SU(2)×SU(2).

Опишем соответствующее трехмерное пространство Калаби-Яу, имеющее коническую сингулярность с основанием конуса T1,1. Клебанов и Виттен определяют это многообразие как поверхность в пространстве с четырьмя комплексными координатами:

$$z_1^4+z_2^4+z_3^4+z_4^4=0$$

Это уравнение задает конус, так как оно инвариантно относительно преобразований $$z_a\rightarrow tz_a$$. Группа симметрий есть группа SO(4)=SU(2)×SU(2), вращающая четыре координаты za. При этом основание, полученное делением конуса на радиальную координату (после устранения точки r=0) топологически эквивалентно, к примеру,

$$|z_1|^4+|z_2|^4+|z_3|^4+|z_4|^4=1$$

Постолько поскольку это уравнение инвариатно относительно $$U(1)\in SO(4)$$ в каждой точке (z1,z2,z3,z4), то оно задает основание SO(4)/U(1)=SU(2)×SU(2)/U(1) конуса.

Нашей целью является установление голографического соотвествия между теорией струн, компактифицированной на основание конифолда, и N=1 суперсимметричной теорией поля. Впоследствии мы покажем что если добавить киральные суперполя в N=1 суперсимметричную калибровочную теорию поля, то модульное пространство теории будет конифолдом. Для этого удобно параметризовать конифолд несколько иными координатами (полям  (A1,A2) и (B1,B2) ниже будут соответствовать киральные поля N=1 суперсимметричной теории поля). Сперва заменим координаты:

$$M=\left({z_1+iz_4\atop iz_2-z_3}\;{iz_2+z_3\atop z_1-iz_4}\right)\rightarrow \left({z_1\atop z_4}\;{z_3\atop z_2}\right)=\left({A_1B_1\atop A_2B_1}\;{A_1B_2\atop A_2B_2}\right)$$

Видно что уравнение для конуса это det(M)=0. Можно далее переписать

$$M=\left({A_1\atop A_2}\right)\left(B_1,B_2\right)$$

Так что det(M) инвариантен относительно вращений (A1,A2) и (B1,B2); каждый вращается своей SU(2) матрицей (слева и справа соответственно). Далее, уравнение det(M)=0 инвариантно относительно рескейлинга всех zi на одно и то же число; что означает что оно инвариатно относительно рескейлинга всех Ai, Bk на одно и то же число λ. Наконец, определение z через A, B инвариантно относительно

$$A_k\rightarrow se^{i\varphi}A_k\,,\quad B_l\rightarrow s^{-1}e^{-i\varphi}B_l$$

Используя симметрию с параметром s и симметрию с параметром λ можно записать

$$|A_1|^2+|A_2|^2=|B_1|^2+|B_2|^2=1$$

что есть многообразие SU(2)×SU(2). У нас осталось U(1) преобразование симметрии с параметром φ, в результате чего получаем многообразие T1,1=SU(2)×SU(2)/U(1). Обратите внимание что мы начали с уравнения конуса но получили в результате основание конуса. Радиальная координата пропала в тот момент когда мы воспользовались симметрией уравнения конуса относительно преобразований zi→ λ2zi.

5. Итак, в предыдущих пунктах мы описали построение конифолда в такой форме, в которой его удобно будет сравнивать с соответствующими объектами в N=1 суперсимметричной теории поля на границе AdS. Теперь мы сперва сформулируем саму дуальную теорию поля а потом проведем проверку AdS/CFT соответствия по ряду вопросов.

Итак, допустим у нас есть N=1 суперсимметричная теория Янга-Миллса с калибровочной группой U(1)×U(1). Добавим к ней четыре киральных суперполя, A1, A2,  в представлении $$(1,\bar{1})$$ калибровочной группы и B1, B2 в представлении $$(\bar{1},1)$$ калибровочной группы. С точки зрения мирвого объеме D3-браны скалярные поля описывают вложение D3-браны в десятимерное пространство, т.е. описывают положение D3-браны в шестимерном трансверсальном пространстве. 

Ясно что поля A и B не преобразуются под действием диагональной U(1) подгруппы U(1)×U(1) калибровочной группы, так что соответствующее U(1) калибровочное поле свободно, и соответствующая U(1) калибровочная симметрия не нарушается конденсатом киральным полей. Это калибровочное поле есть вектороное поле, которое всегда присутсвует на мировом объеме (обеспечивая нужное число 8 бозонных степеней свободы).

Оставшееся U(1) калибровочное поле взаимодействует с киральными полями. Напомню что векторное N=1 суперполе содержит вспомогательный скаляр D с потенциалом V(D)=D2. Этот скаляр взаимодействует с каждым киральным полем Φ=φ+θψ+... посредством члена в qD|φ|2 лагранжиане где q есть калибровочный заряд кирального поля Φ. Так что уравнение движения для поля D дает, для нашего случая

$$D=|A_1|^2+|A_2|^2-|B_1|^2-|B_2|^2$$

Вакуум тогда опредеяется условием D=0, т.е.

$$|A_1|^2+|A_2|^2=|B_1|^2+|B_2|^2$$

что есть уравнением конифолда. Таким образом киральные поля A и B  в ваукуумном состоянии параметризуют конифолд, т.е. описывают положение D3-браны в конифолде. Реализация SU(2)×SU(2) симметрии и U(1) калибровочной симметрии (с параметром φ) такая же как описано в предыдущем пукте для конифолда.

6. Для того чтобы иметь голографическое соответствие между сильно-взаимодействующей теорией поля на границе и теорией IIB супергравитации в объеме нам нужно перейти к пределу большого N, что означает что нам нужно рассмотреть стопку N D3-бран, с RR-зарядом поля C4 равным N. Калибровочная группа тогда заменяется на U(N)×U(N). Поля A живут в представлении $$({\bf N},\bar{\bf N})$$,  а поля B живут в представлении $$(\bar{\bf N},{\bf N})$$ калибровочной группы.

Суперпотенциал (необходимый для придания массы ряду киральных суперполей, не описывающих положение D3-браны в трансверсальном пространстве), инвариантный относительно конифолдной группы симметрий SU(2)×SU(2)×U(1)R, которая должна быть группой симметрий теории поля, есть

$$W=\lambda\epsilon^{ij}\epsilon^{kl}{\rm Tr}A_iB_kA_jB_l$$

6.1. Небольшое отступление. R-симметрия суперсимметричной теории поля порождает соответствующий сохраняющийся суперток. В фиксированных точках ренормгруппового потока теория находится в конформном режиме — это суперконформная теория поля. В этом случае она инвариантна относительно суперконформной группы SU(2,2|1), каждая суперконформная теория поля харакатеризуется своими зарядами относительно генераторов суперконформной группы.

Во-первых в ультрафиолете, где константа связи равна нулю (асимпотическая свобода), бета-функция равна нулю и теория конформна. Она не просто конформна, она еще свободна, так что масштабная размерность кирального поля равна Δ=1 (посмотрите на размерность свободного скаляра). Далее, в силу суперконформной симметрии для первичных полей (primary fields), коими являются киральные поля, имеем соотношение между масштабной размерностью и R-зарядом:

$$\Delta=\frac{3}{2}R$$

Так что в ультрафиолете R=2/3. Однако конформная теория поля в ультрафиолете (с группой (супер)симметрии SU(2,2|1)UV) свободна, и потому не описывается дуальной слабой IIB-супергравитацией в объеме (AdS/CFT — это сильно-слабая дуальность). Так что нас интересует другая конформная фиксированная точка — та, что в инфра-красном режиме. Ниже мы докажем что R-заряд киральных суперполей на самом деле равен 1/2, в ИК суперконформной теории поля с группой (супер)симметрии SU(2,2|1)IR, что дает правильный R-заряд суперпотенциала: +2, так что

$$\int d^2\theta W$$

есть инварант относительно R-преобразований U(1).

Кстати говоря, с точки зрения УФ теории записанный суперпотенциал является несущественным оператором, в то время как с точки зрения ИК теории он является маргинальным оператором. Поэтому CFT-дуальная теория к слабой IIB супергравитации на конусе есть фиксированная точка ренорм-группового потока N=1 суперсимметричной теории к которой добавляется масштабно-инвариантный суперотенциал W.

6.2. Суперсимметричная теория поля хороша тем что в ней многие вещи известны точно. Например, бета-функция N=1 суперсимметричной клабировочной теории поля с материей дается NSVZ формулой. Бета-функция пропорциональна константе связи. Когда константа связи равна нулю, что по сути имеет место в ультрафиолете, теория конформно-инвариантна и свободна. Постолько поскольку NSVZ формула точная, она позволяет определить нули бета-функции в ИК режиме, где теория сильно-взаимодействующая.

Особенностью NSVZ бета-функции является то, что условие равенства ее нулю эквивалентно условию сокращения киральной аномалии для U(1) R-симметрии. Действительно, мы имеем (индекс представления r определяется как $${\rm tr}(T_r^aT_r^b)=T(r)\delta^{ab}$$)

$$\beta\sim 3T(Ad)-\sum_iT(r_i)(1-2\gamma_i)$$

где суммирование производится по всем полям материи, и аномальная размерность определяется как

$$\gamma_i=\Delta_i-1$$

Подставляя $$\Delta=\frac{3}{2}R$$ (для конформных фиксированных точек) находим что условие конформности β=0 эквивалетно условию сокращения киральной аномалии сохранения U(1) тока R-симметрии:

$$T(Ad)+\sum_iT(r_i)(R_i-1)=0$$

6.3. В нашем случае в силу SU(2)×SU(2) симметрии получаем

$$\gamma_{A_1}=\gamma_{A_2}\,,\quad \gamma_{B_1}=\gamma_{B_2}$$

Напомню что

$$T(Ad)=2N\,,\quad T(A)=T(B)=N$$

и у нас есть два поля A и два поля B, так что

$$6N-2N(1-2\gamma_A+1-2\gamma_B)=0$$

откуда вытекает что

$$\gamma_A+\gamma_B+\frac{1}{2}=0$$

Тогда размерность суперпотенциала в ИК фиксированной точке на 1 меньше размерности в УФ, т.е. равна 3, что есть размерность маргинального оператора (размерность $$\int d^2\theta$$ равна 1). Т.е. потребовав исчезновение бета-функции мы и впрямь получили масштабно-инфариантный оператор (то что он не является маргинально-существенным или маргинально-несущественным доказывается с помощью теоремы о неперенормируемости).

7. Сравним R-симметрии. Мы уже видели что и со стороны конифолда и со стороны теории поля у нас имеется U(1) R-симметрия. С точки зрения теории поля есть однозначный способ определить чему должен равняться R-заряд киральных полей. Он основывается на требовании сокращения аномалий.

Каждое киральное поле имеет некий R-заряд. Такой же R-заряд имеет каждое киральное антиполе (R-заряд определяется через преобразования координат суперспрстранства, которые берзразличны к заряду полей материи по отношению к калибровочным полям, и потому R-заряд полей материи тоже одинаков для материи и анти-материи), т.е. спинор той же киральности, но с противоположными зарядами относительно калибровочных групп. В четырех измерениях спиноры противоположной киральности комплексно сопряжены друг другу. Так что произведя комплексное сопряжение кирального антиполя, мы получаем антикиральное поле, причем оно имеет противоположный киральному полю R-заряд. Таким образом, группа R-симметрий действует на поля разной киральности по-разному, и потому в общем случае подвержена киральной аномалии.

Точное значение киральной аномалии дается треугольной диаграммой с киральными фермионами в цикле, киральным током в одной вершине и двумя калибровочными бозонами в других вершинах. Это могут быть два произвольных калибровочных бозона, Aa и Ab. Я опустил векторные индексы, индексы ab живут в присоединенном представлении калибровочной группы (нумеруют калибровочные бозоны). Если Ta есть генератор калибровочной группы в том представлении r, в котором живет данный фермион, то суммирование по всем таким фермионам в петле в данной диаграмме производит, очевидно, фактор T(r), определяемый из

$$T^a_{mn}T^b_{nm}=T(r)\delta^{ab}.$$

Из третьей вершины диаграммы, в которой находится киральный ток, получаем пропорциональный заряду фермиона вклад (слагаемое в токе пропорционально заряду фермиона, появляющегося в этом слагаемом). Всё остальное одинаково для всех фермионов. Итак, киральная аномалия, которую считает треугольная диаграмма, исчезает если

$$\sum_iT(r_i)q_i=0,$$
где суммирование производится по всем частицам.

Покажем что отсутствие аномалии U(1) R-симметрии означает что киральные поля A и B имеют R-заряд, равный +½. На самом деле так. R-симметрия по определению есть симметрия действующая на суперзаряды, или, что то же самое, на фермионные координаты суперпространства. Определим тогда R-симметрию с параметром α как преобразование суперкоординат с зарядом 1:

$$\theta\rightarrow e^{i\alpha\theta}\theta.$$

Тогда, в силу разложения киральных суперполей в ряд по нечетным координатам

$$\Phi=\phi+\theta\psi+\ldots$$

ясно, что спиноры материи имеют заряд, равный заряду кирального поля минус 1. Мы таким образом хотим доказать, что киральный заряд спиноров материи должен равняться −½.

В силу разложения кирального суперполя, являющегося напряженностью калибровочного суперполя,

$$W=\lambda+\theta F+\ldots$$

ясно, что глюино λ имеет R-заряд +1, так чтобы действие калибровочных степеней свободы (векторного суперполя)

$$S_{gauge}\sim\int d^2\theta W^2$$

было инвариантно относительно преобразований R-симметрии. 

Глюино живет в присоединенном представлении U(N)×U(N), так что для него T(r)=2N. Два спинорных поля из полей A живут в представлении $$(N\bar{N})$$ группы U(N)×U(N), т.е. фактически в присоединенном представлении U(N), поэтому для них T(r)=N. Аналогично для двух полей B. Аномалия тогда действительно сокращается:

$$-\frac{1}{2}4N+2N=0.$$

Итак, чисто с точки зрения теории поля мы вывели, что R-заряд киральных суперполей A и B равен +½. Что предсказывает дуальная теория струн для этого кирального заряда? Мы знаем что согласно дуальной теории струн поля A и B решают уравнения для конифолда, задавая его координаты z~AB. Значит нам нужно найти заряд координат z относительно U(1) преобразований в объеме, соответствующим U(1) R-симметрии на границе. Допустим, это какой то заряд q:

$$z\rightarrow e^{iq\phi}z$$

для преобразования R-симметрии с параметром $$\phi$$.

Трехмерное Кэлерово многообразие является многообразием Калаби-Яу тогда и только тогда когда на нем можно определить голоморфную 3-форму. Для многообразия

$$z_1z_2-z_3z_4=0$$

(это уравнение определяет рассматриваемый нами конифолд) голоморфмная 3-форма равна

$$\Omega=-\frac{dz_2\wedge dz_3\wedge dz_4}{z_1}$$

и потому имеет R-заряд 2q. Другим определением Калаби-Яу, которое упомяналось выше, является комплексное многообразие на котором есть ковариантно-постоянный спинор, $$\nabla\eta=0$$. Два определения эквивалентны в силу выражения

$$\Omega_{ijk}=\eta^T\Gamma_{ijk}\eta.$$

Ковариантно-постоянный спинор задает ту координату суперпространства в направлении которой суперсимметрия не нарушена (симметрия относительно трансляции этой суперкоординаты). Тогда координаты суперпространства имеют R-заряд равный половине R-заряда голоморфной 3-формы, т.е. q. Но мы определили R-заряд координат суперпространства равным 1, так что q=1. В силу z~AB ясно что R-заряд полей A и B равен ½, что совпадает с результатом из теории поля. Это довольно нетривиальное согласие: с одной стороны мы рассуждали про построение теории струн на конусе, а с другой про сокращение киральной аномалии в суперсимметричной теории поля.

8. Выше мы описали конифолд с основанием T1,1=SU(2)×SU(2)/U(1) с помощью поверхности

$$z_1^4+z_2^4+z_3^4+z_4^4=0$$

инвариантной относительно группы вращений SO(4). Далее, мы знаем что SO(4)=SU(2)×SU(2). На самом деле это не вполне правильно, равенство имеет место только локально, с точки зрения соответствующих алгебр. Глобальная групповая структура подразумевает SO(4)=SU(2)×SU(2)/Z2. Каждая SU(2) группа имеет центральную подгруппу Z2={I,-I}. Тензоры в представлении SO(4) можно представить с помощью двух спиноров. Тензоры с четным числом индексов представляются с помощью спиноров одной киральности, например скаляр имеет форму $$\phi=\psi^\dagger\psi$$ или $$\phi=\bar{\psi}^\dagger\bar{\psi}$$, где $$\psi$$ есть лево-киральный спинор, а $$\bar{\psi}$$ есть право-киральный спинор. Тензоры с нечетным числом индексов представляются с помощью спиноров разной киральности, например вектор $$A^\mu =\psi\sigma^\mu\bar{\psi}$$. Лево-киральный спинор преобразуются под действием одной SU(2), а право-киральный спинор преобразуются под действием другой SU(2). Ясно тогда что диагональная Z2 подгруппа произведения двух цетнтров Z2×Z2 двух SU(2) не меняет представления SO(6), так что SO(4)=SU(2)×SU(2)/Z2.

Итак, группа симметрий конифолда есть

$$U(1)\times \frac{SU(2)\times SU(2)}{Z_2}$$

Но мы видели что группа симметрий модульного пространства теории поля есть $$U(1)\times SU(2)\times SU(2)$$. Однако на самом деле, в силу U(N)×U(N) калибровочной инвариантности, а именно в силу U(1)×U(1) подгруппы группы калибровочной инвариатности, мы имеем калибровочную эквивалентность

$$A_k\rightarrow e^{i\alpha}A_k\,,\quad B_l\rightarrow e^{i\alpha}B_l\,,$$

так что в частности

$$A_k\rightarrow -A_k\,,\quad B_l\rightarrow-B_l\,,$$

что как раз есть действие диагональной подгруппы Z2  произведения двух цетнтров Z2×Z2 двух SU(2).

9. Теперь самое интересное. Рассмотрим теорию суперструн типа-IIB в пространстве $$AdS_5\times S^5/\Gamma$$. Сферический орбифолд строится следующим образом. Берется пятимерная сфера

$$\sum_{i=1}^6x_i^2=1$$

и производится отождествление

$$\Gamma:\quad x_{1,2,3,4}\rightarrow -x_{1,2,3,4}\,,\quad x_{5,6}\rightarrow x_{5,6}$$

В данном случае сохраняется не четверть суперсимметрий а половина: было 4 суперзаряда на сфере, процесс орбифолдизации оставляет два. Действительно, введем комплексные координаты

$$z_1=x_1+ix_2\,,\quad z_2=x_3+ix_4\,,\quad z_3=x_5+ix_6$$

Тогда Γ поворачивает z1,2 на угол π, оставляя z3 нетронутой. Постолько поскольку сумма двух углов вращения в плоскостях z1 и z2 равна нулю по модулю 2π, то орбифолдизация сохраняет половину суперсимметрий, и потому на сфере тоже выживает половина суперсимметрий.

9.1. Теперь на время отвлечемся от теории в объеме и перейдем к теории поля на границе. Калибровочная группа и набор полей такой же как и в конифолдном случае, рассмотренном выше. Только в данном случае у нас вдвое больше суперсимметрий. Так что мы имеем N=2 суперсимметричную калибровочную теорию поля. Суперпотенциал дается неким выражением, которое можно найти у Клебанова-Виттена. Далее, идея состоит в следующем. У нас имеется киральное суперполе в присоединенном представлении калибровочной группы, которое дополняет N=1 векторный супермультилет до N=2 вектороного супермультиплета. Нам нужна только N=1 суперсимметрия. Поэтому мы добавляем в лагранжиану существенный суперпотенциал являющийся массовым членом для этого кирального суперполя в присоединенном представлении, который явно нарушает N=2 суперсимметрию до N=1 суперсимметрии.

В результате включается ренорм-групповой поток, который заканчивается в фиксированной точке в ИК. Оказывается, что если явно решить уравнения движения для кирального суперполя, которое мы сделали массивным, то для оставшихся киральных суперполей сгенерируется суперпотенциал, такой же как и для суперструны, компактифицированный на основании конифолда (записанный выше). Т.е. теория из сферического орбифолда перетекает в конический орбифолд.

9.2. Теперь собственно к чему все это. Постолько поскольку у нас имеется ренорм-групповой поток из CFT в УФ в CFT в ИК, то можно задаться стандартным вопросом о том, работает ли a-теорема. Согласно a-теореме, центральный заряд a, появляющийся в аномальном следе тензора энергии-импульса, уменьшается при ренорм-групповом потоке. В случае двух конформных теорий поля, описанных выше, оба центральных заряда известны, нам интересно то что

$$\frac{a_{IR}}{a_{UV}}=\frac{27}{32}$$

Теперь вернемся в объем. Десятимерная метрика имеет общий вид

$$ds_{10}^2=L^2d\hat{s}_5^2+L^2d\hat{s}_{M_5}^2$$

Здесь шляпка означает что метрика записана для безразмерных координат, вся размерность вынесена явно в фактор L, формула для которого записана выше. Важно то что

$$L^4\sim\frac{N}{{\rm Vol}(M_5)}$$

Действие, редуцированное к пяти измерениям пространства AdS, записанное в терминах безразмерной метрики, имеет вид

$$S=\frac{\pi^2L^8}{16G_{10}}{\rm Vol}(M_5)\int d^5x\sqrt{\hat{g}}(\hat{R}+12+\ldots)\simeq\frac{N^2}{{\rm Vol}(M_5)}\int d^5x\sqrt{\hat{g}}(\hat{R}+12+\ldots)$$

Согласно AdS/CFT соответсвию корреляционные функции в теории поля на границе считаются с помощью классического действия в объеме. Тогда в частности среднее $$\langle T^\mu_\mu\rangle$$, выражающее конформную аномалию, обратно пропорционально объему компактного пространства. (Объем основания конифолда легко посчитать воспользовавшись явно его метрикой (10.120) в Бекер-Бекер-Шварц.) В результате

$$\frac{a_{IR}}{a_{UV}}=\frac{{\rm Vol}(S^5/Z_2)}{{\rm Vol}(M_5)}=\frac{27}{32}$$

что совпадает с результатом из теории поля.

Ключевые слова: AdS/CFT, суперсимметрия, D браны, квантовая теория поля, геометрия | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

AdS/CFT соответствие и теория струн

22 марта 2013 года, 18:59

AdS/CFT соответствие, которому посвящено существенное количество постов в этом блоге, есть дуальность между физикой замкнутых струн в пространстве анти-де Ситтера и физикой открытых струн. Открытые струны прикрепляются одним концом к D3-бранам, создающим AdS геометрию, другой конец открытых струн описывает ароматный заряд ультрафиолетовых степеней свободы полей на границе AdS (материя); или обоими концами к D3-бранам (калибровочный супермультиплет). Прикрепленность одним концом к D3-бранами придает струне цветовой заряд.

Для большинства целей физику струн, в объеме и/или на границе, можно заменить эффективной физикой, описывающей моды колебаний струны. Считая, что мы имеем дело с энергиями, значительно меньшими планковской энергии, в большинстве случаев можно описать физику низко-энергетическим эффективным действием. К примеру, если теория в AdS рассматривается при низких энергиях, то теорию суперструн типа IIB можно приблизить теорией IIB-супергравитации.

Во-первых, вы игнорируете все моды возбуждения струны с ненулевой массой. Оставляете только безмассовые, низшие, возбуждения струны. Безмассовые моды суперструны типа IIB составляют полевой набор IIB-супергравитации. Во-вторых, правильная струнная динамика этих мод описывается действием Грина-Шварца для IIB-суперструны. Это означает, что для того, чтобы посчитать ампилитуду процесса рассеяния некоторых полей IIB-супергравитации точно, нужно посчитать эту амплитуду в двумерной конформной теории поля на мировом листе суперструны. Действие этой двумерной конформной теории поля — это действие Грина-Шварца (для суперструны типа I и типа II).

Ту же амплитуду можно посчитать с помощью десятимерного действия теории супергравитации типа IIB. Связь между этими двумя результатами — струнным и гравитационным — состоит в том, что гравитационный результат есть струнный результат в нулевом порядке разложения в ряд по струнной длине (равной планковской длине при нулевом фоновом поле дилатона). Учитывать струнные поправки к гравитации означает учитывать члены с высшими производными, пропорциональные степени струнной длины (даже из размерных соображений увеличение числа производных должно компенсироваться домножением на величину с размерностью длины).

Скажем, гравитация Эйнштейна — неперенормируемая теория, определенная только при низких энергиях и требующая добавления бесконечного ряда поправок с высшими производными. При этом действие Эйнштейна есть эффективное действие, выведенное из действия бозонной струны Полякова, оборванное на низшем члене разложения по струнной длине. Струна не имеет проблем с перенормируемостью, так как является двумерной конформной теорией поля. Поэтому правильный способ считать амплитуды процессов с участием гравитонов — это считать эти амплитуды в двумерной конформной теории поля, описывающей струны, для которых гравитон — это безмассовая мода возбуждения. Если вы хотите считать амплитуды этих процессов не в двумерной теории, а в пространстве-времени, то вы пользуетесь эффективным действием для гравитации плюс струнные поправки, являющиеся рядом по струнной длине с членами, содержащими высшие производные метрики. Чем больше членов вы учтете, тем ближе вы к правильной физике, то есть к теории струн.

Обсуждение в предыдущем параграфе касается только одного примера струнности физики фундаментальных взаимодействий. Вообще говоря, любая правильная физика фундаментальных взаимодействий (к примеру, супергравитация и суперсимметричный Янг-Миллс с материей) содержится в теории струн. Супергравитация содержится в суперструне типа II и в гравитационном секторе гетеротической суперструны, и суперсимметричный Янг-Миллс содержится в суперструне типа I и в калибровочном секторе гетеротической суперструны. Содержится в том смысле, что с одной стороны динамика полей супергравитации и супер-Янг-Миллса описывается эффективным действием супергравитации и супер-Янг-Миллса в десятимерном пространстве-времени, а с другой стороны эта динамика описывается двумерной конформной теорией поля на мировом листе суперструны.

Причем первое является приближением второго. Приближением в смысле учитывания эффектов струнности. Еще раз, эффекты струнности связаны с разложением эффективного действия по струнной длине. Правильная фундаментальная физика, опредененная на всех масштабах энергии, это физика гравитонов, калибровочных полей Янга-Миллса и остальных полей, описанная в теории струн, в двумерной теории поля на мировом листе. Вы можете ничего не знать про существование теории гравитации Эйнштейна или про теорию Янга-Миллса, приступая к расчетам амплитуд процессов рассеяния с участием гравитонов и полей Янга-Миллса в теории струн, и получая правильный и экспериментально-проверенный результат. Приближенная физика, описываемая эффективным действием в пространстве-времени, это физика тех же полей без учета ряда струнных поправок.

Это все было обсуждение классической физики: классической теории суперструн и классической эффективной физики в пространстве-времени. Конечно процедура получения эффективного действия в пространстве-времени из действия для суперструны включает в себя вычисление интеграла по путям для теории, описываемой суперструнным действием. Но этот интеграл по путям просто учитывает струнность физики, оставляя ее при этом на классическом уровне. Учитывать струнность физики — означает учесть физику на планковском масштабе, произвести ультрафиолетовое дополнение теории.

Учесть струнность не означает учесть квантовые эффекты. Несмотря на то, что учесть струнность означает посчитать интеграл по путям для двумерной теории на мировом листе (в том или ином порядке по струнной длине, если говорить о теории возмущений), подобная процедура просто квантует струну, это первичное квантование; в отличии от вторичного квантования, при котором потребовалось бы записать интеграл по путям для полей, пердставляющих моды возбуждения струны. Учесть квантовые эффекты означает учесть вклад петель виртуальных частиц в процессы рассеяния (и учесть непертурбативные эффекты). Учесть квантовые эффекты в теории возмущений означает сделать разложение по степеням константы (струнного) взаимодействия (а не по степеням струнной длины). С точки зрения теории струн учесть квантовые эффекты означает учесть струнные диаграммы с большим числом g (genus), т.е. рассматривать тороподобные струнные диаграммы. Константа разложения при этом есть струнная константа взаимодействия gs=eΦ, где Ф — дилатон.

AdS/CFT соответствие устанавливает дуальность между слабовзаимодействующими и сильновзаимодействующими теориями. Хорошим применением голографической дуальности является исследование сильновзаимодействующей квантовой теории поля «на границе» AdS с помощью слабовзаимодействуюшей теории в объеме AdS. Для таких целей константу взаимодействия замкнутых струн в объеме AdS можно считать равной нулю. Так что разложение по gs обрывается на нулевом порядке. Остается разложение по струнной длине, которое мы обсудили выше. Точное AdS/CFT соответствие означает учет всех струнных эффектов в объеме. То есть поля в объеме должны описываться двумерной конформной теорией поля. Всё остальное (всё, что правильно) есть приближение AdS/CFT соответствия, не учитывающее струнность физики фундаментальных взаимодействий.

Update: 24 января 2014. Любош Мотл наконец написал про AdS/CFT  и теорию струн, как и следовало ожидать, его точка зрения на этот вопрос такая же. Лучше всего она выражается в этом его утверждении: «So please, if you hear a Sh(mo)ithead talking about the AdS/CFT correspondence's not being dependent on string/M-theory again, reach for your firearm and press the trigger.»

Ключевые слова: AdS/CFT | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Голографическое пространство модулей

7 октября 2012 года, 19:51

Из возможных подходов к применению AdS/CFT соответствия к физике конденсированных сред наиболее последовательным является фундаментальный (top-down) подход, основанный на рассмотрении пробных бран в AdS геометрии. Иными словами, большое число Nc D3-бран создает геометрию AdS5×S5, в которую погружается некоторое (малое) число Dp-бран. Т.е. объемная сторона голографической дуальности есть система D3/Dp пересекающихся D-бран. Последовательность голографии пересекающихся D-бран состоит в том, что мы знаем фундаментальные (ультрафиолетовые) степени свободы обоих дуальных теорий. Наиболее существенно то, что мы знаем как теория в объеме связана с IIB-суперструнами. В дуальной теории поля известно какие степени свободы играют роль при слабой связи — в ультрафиолете — это фундаментальные поля теории. Настоящее применение голографии начинается при переходе в ИК режим, где теория поля сильно-взаимодействующая, степени свободы не известны, и мы используем дуальную слабо-взаимодействующую гравитацию в объеме (эффективно приближающую IIB-суперструны) для описания того, что происходит в теории поля.

Открытые струны, которые прикрепляются обоими концами к D3-бране, представляют калибровочные поля N=4 суперсимметричной теории Янга-Миллса с калибровочной группой SU(Nc), в 3+1 измерениях мирового объема D3-бран. Эта теория дуальна теории суперструн типа-IIB в AdS5×S5. Чтобы описать голографически поля материи, т.е. поля в фундаментальном представлении калибровочной группы SU(Nc), в геометрию AdS5×S5 погружаются Dp-браны; при простейшем рассмотрении количество Dp-бран мало, так что можно пренебречь их влиянием на геометрию. Открытые струны, протянутые между D3-бранами и Dp-бранами, дуальны, очевидно, полям материи (кваркам) в теории поля. Если Dp-брана имеет n+1-мерное пересечение с D3-бранами, то кварковые поля живут в n+1 измерениях. В то время как с точки зрения размерностей и симметрий теории поля в УФ и ИК идентичны, физические степени свободы тем не менее различны. Например, в ультрафиолете теория поля фактически свободна, так что имеет смысл говорить о свободных кварковых полях как динамических степенях свободы. В то время как в ИК режиме, в который мы переходим для изучения конденсированных сред, в силу сильного взаимодействия (и возможно конфайнмента), не известно, вообще говоря, какие составные поля входят в эффективный лагранжиан.

Выше мы добавили материю к чисто калибровочной теории Янга-Миллса посредством введения пробных бран в геометрию, создаваемую большим количеством D3-бран. В зависимости от конкретного значения p и от размерности пересечения D3-бран и Dp-бран, такая конфигурация сохраняет 8 вещественных суперзарядов или нарушает всю суперсимметрию. Задача о нахождении числа сохраненных суперсимметрий теории таким образом сведена к задаче о числе суперсимметрий, сохраняемых данной конфигурацией D-бран. Эта задача неоднократно обсуждалась в блоге. Одним из способов ее решить является нахождение нулевой энергии NS сектора возбуждений открытой струны, т.е. нахождение массы низшего бозонного возбуждения открытой струны (Это векторное поле. На самом деле как раз таки этот метод не является правильным, т.е. иногда он дает правильный ответ, а иногда нет. В рассматриваемом случае ответ получается правильный, но может оказаться так что, скажем, все безмассовые фермионы инвариантны по отношению к преобразованию суперсимметрии, поэтому не важно что нет безмассовых бозонов. Однозначный метод определить число сохраняющихся суперсимметрий это написать явно суперзаряды для каждой отдельной D-браны и потом найти общие суперзаряды для всех D-бран.) Напомню, что масса низшего вобуждения R сектора (спинорного поля) всегда равна нулю. Если нулевая энергия NS сектора равна нулю, то теория, очевидно, суперсимметрична: суперпартнеры имеют одинаковую массу. Чтобы определить число сохраненных суперсиммерий остается вспомнить что каждая D-брана суперсимметричной конфигурации уменьшает число суперсимметрий вдвое, так что введение Dp-бран в N=4 суперсимметричную калибровочную теорию приводит нас к N=2 суперсимметричной калибровочной теории с материей.

Не сложно показать, что D3/Dp-конфигурация с p=2n+1 и n+1 мерным пересечением суперсимметрична. Ниже рассматриваются такие конфигурации с n=1,2,3. Суперсимметричность теории важна, т.к. обеспечивает существование безмассовых скаляров, а не только безмассовых бозонов. Нам интересны безмассовые скаляры так как они могут быть модульным параметрами теории. Массивные поля можно получить с помощью механизма КК. На самом деле ниже скаляры получаются редукцией КК. Такие поля все еще безмассовы. Масса, которая может быть приобретена за счет механизма КК, значительно меньше массы которую имели бы все бозонные поля если бы они были высшими модами возбуждения струны, что имело бы место в несуперсимметричной теории.

Наличие безмассовых бозонных полей, таких как скаляры суперсимметричного гипермультиплета, поднимает вопрос о модульном пространстве теории: описание конфигурационного пространства скалярных полей, таких что потенциальная энергия для любой точки этого конфигурационного пространства одинакова. Этот вопрос исследуется с помощью дуальной голографической теории в статье

Martin AmmonKristan JensenKeun-Young KimJoão LaiaAndy O'Bannon Moduli Spaces of Cold Holographic Matter

о которой я и собираюсь говорить в этом посте.

Модульные скалярные поля теории поля описываются в статье посредством дуального скалярного поля в объеме, полученного КК редукцией векторного поля на сфере. Авторы рассматривают D3/Dp систему. Динамика в объеме — это динамика полей на мирвом объеме Dp-браны. На мировом объеме Dp-браны живет U(1) калибровочное поле, которое балансирует число бозонных степеней свободы для суперсимметричности каждой отдельной браны. В статье рассматривается тривиальное вложение Dp-бран, так что нет никакой динамики координат вложения. Тогда вся (бозонная) динамика сводится к динамике U(1) векторного поля.

Чем это векторное поле интересно с точки зрения голографически-дуальной теории поля? Калибровочное поле в объеме означает наличие калибровочной симметрии в объеме. Т.е. мы имеем локальную U(1) симметрию в объеме. Локальная симметрия в объеме соответствует глобальной симметрии на границе: так что калибровочное поле в объеме является источником для Нетеровского тока глобальной симметрии в теории поля на границе. В конденсированных средах мы интересуемся рассмотрением систем с ненулевой плотностью материи. Чтобы посчитать число частиц материи, припишем каждой частице U(1) заряд — барионный заряд — так что ненулевая плотность на самом деле исчисляется U(1) барионным зарядом. Свойства конденсированных сред закодированы в корреляционных функциях соотвествующего U(1) тока. Эти корреляционные функции описываются голографически с помощью классической динамики U(1) поля в объеме.

Более наглядно: в силу того, что было написано выше, пробная D-брана в AdS геометрии нам нужна для описания материи. Материя живет в фундаментальном представлении калибровочной группы SU(Nc), что обеспечивается открытыми струнами, которые прикрепляются одним концом к стопке Nc D3-бран. Другим концом эти струны прикреплены к Dp-бране. Тогда каждая отдельная (фундаментальная) частица материи представляется струной, причем в силу того, что второй конец каждой струны прикреплен к Dp-бране, каждая частица имеет также симметрию внутренних U(1) «вращений» этого второго конца. Таким образом каждая отдельная частица обладает U(1) зарядом, причем для описания динамики плотности этого заряда, т.е. плотности частиц, нам нужно описать динамику соответствующего U(1) калибровочного поля на мировом объеме Dp-браны, в объеме AdS! Это простой наглядный пример как AdS/CFT соответствие следует из теории струн.

Для классического описания U(1) поля используется DBI действие, плюс WZ действие. Авторы находят такое решение этих уравнений, которое является инстантоном в объеме. Оперирование инстантонным решением проще, так как вместо нелинейных уравнений для того чтобы экстремизировать действие достаточно решить линейное уравнение на само-дуальность векторного поля. Более того, самодуальность инстантонного решения полностью исключает соответствующий тензор напряженности поля из действия (обсудим это в еще одном наиболее и принципиально полезном контексте основной идеи статьи ниже), что делает уравнение движения на временную компоненту векторного поля A0(ρ), описывающую голографически ненулевую плотность материи в дуальной теории поля, исключительно простым. 

В D3/D7-конфигурации с 3+1 мерным пересечением авторы рассматривают анзатц с нетривиальным векторным полем в сферических и радиальном направлениях мирового объема D7-браны. А также они рассматривают ненулевую временную компоненту векторного поля. Сферические компоненты векторного поля после КК редукции являются скалярами в объеме, дуальные билинейным комбинациям скварков гипермультиплета в теории поля. (Доказательство этой дуальности есть нечто, что было произведено в другой статье. Главная идея состоит в том, чтобы сопоставить представления дуальных полей и операторов относительно действия группы R-симметрии. Поле в объеме раскладывается по сферическим гармоникам, где каждая гармоника характеризуется квадратичным Казимиром l соответствующей ортогональной группы R-симметрии, реализуемой в объеме геометрическим образом просто как группа симметрий сферы; тогда дуальный оператор имеет заряд l относительно группы R-симметрий.)

Чтобы найти термодинамический потенциал теории поля при данном значении хим-потенциала нам нужно посчитать действие в объеме на массовой оболочке. Важное наблюдение состоит в том что вклад сферических компонент векторного поля в член WZ сокращается с вкладом этих компонент в член DBI, так что свободная энергия зависит только от временной компоненты векторного поля. Причина этого сокращения содержится в самодуальности сферической части тензора напряженности векторного поля; само-дуальность есть характерное свойство векторного инстантонного решения.

Тогда с точки зрения теории поля термодинамический потенциал зависит только от плотности заряда и не зависит от вакуумного среднего полей, дуальных сферическим компонентам векторного поля в объеме. Таким образом эти поля являются модульными полями теории поля. Так как теория поля живет в 3+1 измерениях вдоль пересечения мирового объема D3-браны и мирового объема D7-браны, то векторные индексы в сферических направлениях должны быть подвержены КК редукции, так что в результате мы получаем модульные скалярные поля теории поля. И мы знаем что эти модульные скалярные поля дуальны инстантонной конфигурации U(1) векторного поля на мировом объеме D7-браны.

Немного технических деталей того, что описано выше. DBI+WZ действие для D7-браны выглядит следующим образом:

$$S_7=-T_7\int d^4z\left[\sqrt{\det(g_{ij}+Z^{-1/2}f_{ij})}-\frac{1}{8}Z^{-1}\epsilon^{ijkl}f_{ij}f_{kl}\right]\,.$$

Координаты z есть радиальная координата ρ в AdS и сферические координаты S3 части мирового объема D7-браны. Рассматриваемая теория поля трансляционно-инвариантна, поэтому дальные поля независимы от координат x 3+1-мерной части мирового объема D7-браны. Как я написал выше, для описания ненулевой плотности материи нам необходим нетривиальный профиль временной компоненты A0 калибровочного поля. В записанное действие оно входит через эффективную метрику:

$$g_{ij}=\delta_{ij}-\partial _iA_0\partial _jA_0\,.$$

В действии также фигурируют антисимметричный символ ε0123=1 и искривляющий фактор AdS, Z=1/ρ4. Для само-дуальной напряженности U(1) векторного поля

$$f_{ij}=\partial_iA_j-\partial_jA_i\quad\quad f_{ij}=\frac{1}{2}\epsilon_{ijkl}\sqrt{\det\;g_{ij}}f^{kl}$$

действие становится равным

$$S=-T_7\int d^4z\sqrt{\det\;g_{ij}}\,,$$

т.е. сводится чисто к DBI члену для эффективной метрики.

Это ключевое наблюдение, стоящее за всей статьей: DBI+WZ действие D-браны, посчитанное на инстантонной конфигурации векторного поля в сферических направлениях, не зависит от параметров этого инстантонного решения. Важность этого наблюдения для голографического описания дуальной теории поля состоит в том, что оно немедленно подразумевает независимость термодинамического потенциала дуальной теории поля от вакуумного среднего скалярных операторов, дуальных инстантонному векторному полю. Таким образом, авторы статьи идентефицируют голографически модульные поля в сильно-взаимодействующей теории поля.

Это очень нетривиальный результат: если вы решаете такую задачу только с помощью методов теории поля, то вам нужно найти эффективный потенциал сильновзаимодействующей эффективной ИК теории поля (чтобы потом найти модульные направления конфигурационного пространства полей для этого потенциала) интегрируя явно по всем высокоэнергетическим модам. Нахождение потенциала эффективной сильновзаимодействующей теории — крайне сложная задача, которая может быть решена точно только при условии достаточного количества симметрий, которые просто напросто однозначно фиксируют единственный возможный вариант эффективного потенциала, так что не нужно явно интегрировать по всем высокоэнергетическим модам.

Решение этой задачи с помощью голографии в некоторых ситуациях, таких, как рассматриваемая в статье, может быть крайне просто: классическая динамика в AdS автоматически учитывает все квантовые эффекты в теории поля, так что классическое действие в AdS сразу дает вам эффективное действие (при ненулевой плотности — термодинамический потенциал) дуальной теории поля в сильновзаимодействующем ИК режиме. Так что все что нужно сделать это найти нетривиальные конфигурации полей в AdS, таких что действие, посчитанное на этой конфигурации, не зависит от конкретных параметров конфигурации.

Другой технической деталью статьи является переход к эффективной метрике, которая оказывается конформно-плоской. Как написано выше, для инстантонной конфигурации действие на массовой оболочке сводится к простому DBI действию для эффективной метрики, причем эффективная метрика определена через метрику AdS и поле A0(ρ). Последнее связано с плотностью материи d в теории поля выражением

$$A_0'(\rho)=\frac{1}{\sqrt{1+\rho^6/\rho_0^6}}\,.$$

Это решение DBI уравнения движения для поля A0(ρ), такое что плотность материи дается выражением $$d=\delta S/\delta A_0'$$. Последнее обеспечивается связью координатного параметра ширины профиля A0(ρ) и плотностью d:

$$\rho_0^6=\frac{d^2}{T_7^2\text{vol}(S^3)^2}\,.$$

Точное соотношение между d и плотностью материи дается выражением

$$\langle J^0\rangle=2\pi\alpha 'd\,,$$

и натяжение D7-браны равно

$$T_7=(2\pi\sqrt{\alpha'})^{-8}\,.$$

Комбинируя все эти выражения вместе замечаем, что т.к. <J0> будучи плотностью материи в трех пространственных измерениях (по другому: будучи сохраняющимся током в четырех пространственно-временных измерениях) имеет размерность 3, то d имеет размерность 5 (т.к. α' есть квардрат струнной длины), тогда т.к. T7, разумеется, имеет размерность 8 (число измерений мирового объема D7-браны), то ρ0 имеет размерность -1. Т.е. из размерных соображений особенная радиальная координата ρ0 определяется величиной плотности материи дуальной теории поля.

Эффективная метрика на мировом объеме в координатной системе с новой радиальной координатой

$$\bar\rho=\rho\left(\frac{1+\sqrt{1+\rho_0^6/\rho^6}}{2}\right)^{1/3}$$

принимает вид

$$g_{ij}dz^idz^j=\Omega (\bar\rho)^2(d\bar\rho^2+\bar\rho^2 ds_{S^3}^3)\,,\quad\Omega(\bar\rho)=\left(1-\frac{\rho_0^6}{4\bar\rho^6}\right)^{1/3}$$

из которого следует что она конформно-плоская. Причем искривляющий фактор метрики имеет (координатную) сингулярность когда  $$\bar\rho =2^{-1/3}\rho _0$$, однако, в силу того что это просто образ Пуанкаре-горизонта в новой координатной системе (в терминах новой радиальной координаты), то область $$\bar\rho <2^{-1/3}\rho _0$$ вообще рассматривать не нужно. Соответственно инстантонные решения с сингулярностью внутри этого шара по-прежнему физические, так как не имеют сингулярности в физическом пространстве AdS. [Спасибо К. Дженсену за разъяснение этого момента.]

Ключевые слова: AdS/CMT, AdS/CFT | Комментарии (5)
Михаил Гойхман

Инстантоны и барионы

29 июня 2012 года, 05:45

Недавно появилась очень интересная статья

A. Gorsky and A. Krikun, Baryon as dyonic instanton

которая посвящена исследованию голографического описания барионов. Область деятельности, AdS/QCD соответствие — дуальность между некоторой согласованной редукцией теории суперструн типа-IIB в AdS5×S5 и квантовой хромодинамикой — является довольно успешной: физика КХД элегантно описывается струнной физикой в пространстве анти — де Ситтера.

1. Постолько поскольку эта работа принадлежит к деятельности AdS/QCD, т.е. к ряду работ, посвященных объяснению наблюдаемых природных явлений, связанных с сильным взаимодействием, есть смысл начать с того, чтобы объяснить, какова феноменологическая роль AdS/CFT соответствия в общем.

Существует два возможных подхода к AdS/QCD: фундаментальный (струнный) и феноменологический (эффективный). В фундаментальном подходе теория в объеме — теория в AdS — есть теория струн и D-бран, и мы описываем их низшие моды возбуждения. Т.е. мы точно знаем, какие степени свободы этих фундаментальных физических объектов мы описываем. Этот подход, таким образом, устанавливает соответствие между двумя фундаментальными концепциями: теорий замкнутых струн (гравитация) в AdS и теорией открытых струн (суперсимметричный Янг-Миллс) на границе AdS. Таким образом то, что именуется gauge/gravity duality является следствием фундаментального open/closed string correspondence. (Русскоязычной литературы на эти темы практически не существует, поэтому эти ключевые слова не имеют общепринятого перевода на русский язык, и я не планирую тут придумывать новые словосочетания.)

Феноменологический подход — это когда мы концентрируемся на динамике общего набора полей в AdS (везде, где я ссылаюсь на AdS, я имею в виду вобще говоря любое достаточно симметричное пространство с конформной границей, так что вблизи границы оно асимпотически приближается к AdS геометрии), не уточняя то, каким именно возбуждениям струн соответствуют рассматриваемые поля, и/или, какую дуальную теоретико-полевую конструкцию описывает модель в AdS. Вы можете написать общий Лагранжиан со скалярными и векторными (а также спинорными и тензорными (конкрентная теория)) полями в AdS, решить классические уравнения движения ваших полей и воспользоваться предписаниями AdS/CFT чтобы сделать из найденного выводы о том, что происходит в теории поля на границе. Если ваши выводы согласуются с ожиданиями (я считаю, что вы знаете, какую теорию вы хотите описать голографически) и теория самосогласованна, то есть большая вероятность того что ваша теория правильная.

Под правильной теорией в контексте AdS/CFT я имею в виду теорию, которая принадлежит к классу open/closed string correspondence: вся динамика должна быть выводима из теории струн: и в объеме (из теории замкнутых струн) и на границе (из теории открытых струн). В данном случае тот Лагранжиан для полей в AdS, который вы записали, должен описывать динамику струн и бран в AdS, и a priori вы просто не знаете каких именно струн и бран. Но в случае AdS/QCD вы знаете что теория на границе — это КХД: вы выделяете только те теории в AdS которые воспроизводят известную феноменологию КХД (такие явления как нарушение киральной симметрии, и описание спектра мезонов и барионов). Под КХД я понимаю калибровочную теорию с группой SU(Nc) и кварками в фундаментальном представлении этой группы.

На самом деле феноменологическое AdS/CFT соовтетствие может быть еще более ослабленым чем в случае AdS/QCD: когда вы даже не заботитесь о том, чтобы описать какую то конкретную теорию поля на границе, а вместо этого ищете любые теоретико-полевые проявления теории в AdS. Т.е. вы записываете Лагранжиан в AdS, применяете AdS/CFT чтобы вывести свойства дуальной теории поля и замечаете, что дуальная теория поля не совпадает по своей феноменологии ни с одной известной теорией поля. Такой слабый феноменологический подход характерен в AdS/CMT соотвествии. Тогда вам также нужно позаботиться о следующей проверке состоятельности вашей голографической модели: убедитесь что дуальная теория поля на границе допускает правильное ультрафиолетовое дополнение. Эту проверку можно свести к тому чтобы убедиться в корректности теории в объеме. Действительно, теория поля на границе будет допускать перенормируемое ультрафиолетовое  дополнение если дуальная теория в объеме имеет корректное поведение вблизи границы AdS.

Итак, AdS/CMT применение голографии может быть феноменологическим и с точки зрения теории в объеме и с точки зрения теории на границе. Это не удивительно, физика конденсированных сред — это «феноменология феноменологии»: вы берете теорию поля, которая есть эффективная но перенормируемая теория (следствие струн; например — квантовая электродинамика) — и строите к ней опять эффективную неперенормируемую теорию, например, 4х-фермионное взаимодействие БКШ (фонон — это не фундаментальная частица ;) разумеется). Феноменологических теорий может быть много, а фундаментальная — только одна, так что чем больше вы углубляетесь в феноменологию, тем более вероятность того, что ваша теория будет слишком приближенной, или лучше сказать — идеализированной — чтобы быть относящейся к нашему миру. И не важно, как вы строите свою феноменологию — голографически или нет, хотя, конечно, голографическая феноменология сильно-взаимодействующих систем — самый разумный способ адресовать эти проблемы физики конденсированных сред. Как я отмечал, тестирование феноменологических теорий и тестирование фундаментальных теорий — принципиально разные вещи.

2.1. Хорошо, как нас на Физтехе учил Ю.И. Семёнов (я перефразирую немного), после того как разобрались что такое познание, перейдем к самому познанию истины. ;)

Известно, что киральная симметрия в КХД нарушена. В ультрафиолете чистая КХД описывается лагранижаном с голыми параметрами. У вас есть теория Янга-Миллса с калибровочной группой SU(Nc) взаимодействующая с Nf ароматами кварковых полей. Кварки безмассовые в ультрафиолете, и поэтому динамика левых кварков независима от динамики правых кварков. Это называется киральной симметрией: теория инвариантна относительно группы глобальных преобразований SU(Nf)L×SU(Nf)R, вращающих независимо левые и правые кварковые поля. Безмассовая теория таким образом обладает двумя сохраняющимися кварковыми токами: векторным и аксиальным (существуют векторный и аксиальный токи в присоединенном представлении SU(Nf) группы и векторный и аксиальный токи, являющиеся синглетом SU(Nf) группы).

Низкоэнергетические процессы с сильным взаимодействием описываются эффективной КХД. В эффективной КХД за счет петель с фермионами и внешними глюонными полями аксиальная симметрия $$U(1)_A$$ нарушена: закон сохранения аксиального тока аномален. Аналогичным образом киральная аномалия нарушена из за электромагнитного взаимодействия, нарушающего абелеву подгруппу киральной симметрии (скажем, U(1) подгруппа SU(2) киральной симметрии нарушена за счет электромагнитного взаимодействия). Если a — индекс в присоединенном представлении ароматной группы, то киральные токи есть 

$$j^{\mu 5a}=\bar\psi_f\gamma^\mu\gamma^5\tau^a_{ff'}\psi_{f'}\,,\quad\quad j^{\mu 5}=\bar\psi_f\gamma^\mu\gamma^5\psi_{f}\,,$$

где индекс f нумерует ароматы кварков. Классический закон сохранения $$\partial_\mu j^{\mu 5}=0$$ аномален за счет сильного взаимодействия, а закон сохранения $$\partial_\mu j^{\mu 53}=0$$ аномален за счет электромагнитного взаимодействия.

Допустим, ваша теория не страдает киральной аномалией. Даже эффективный лагранжиан теории тогда обладает киральной симметрией. Вы тем не менее хотите нарушить закон сохранения киральной симметрии. Для этой цели надо ввести кварковый конденсат. Формирование такого конденсата относится к классу спонтанного нарушения симметрии: если вакуум |0> таков, что

$$\langle 0|\bar{\psi}\psi |0\rangle =\langle 0|\bar\psi_L\psi_R +\bar\psi_R\psi_L|0\rangle\neq 0\,,$$

т.е. если вакуум заполнен связанными состояниями левых кварков и античастиц правых кварков, то вы больше не можете независимо преобразовывать левые кварки через левые, а правые через правые: именно из-за этой самой связанности. Киральная симметрия, таким образом, оказывается спонтанно нарушенной.

Замечу, что при спонтанном нарушении киральной симметрии есть определенный характерный масштаб энергии для эффективной теории поля, в которой киральная симметрия нарушена (как, например, вакуумное среднее поля Хиггса, равное по порядку величины массам W и Z бозонов, дает масштаб нарушения электрослабой симметрии). Этот масштаб дается записанным выше вакуумным средним. Замечу также, что это вакуумное среднее имеет структуру масс псевдоскалярных мезонов (такие как π-мезоны, ρ-мезоны и K-мезоны), что имеет отдельное значение ниже в контексте динамического нарушения киральной симметрии.

Каждая спонтанно нарушенная симметрия параметризует позицию в пространстве вакуумов теории, которые мы обозначим |πa(k)>, что выражается формулой

$$\langle 0|j^{\mu 5a}(x)|\pi^b(p)\rangle =-ip^\mu f_\pi\delta^{ab}e^{-ip\cdot x}\,.$$

Постолько поскольку киральный ток исходный теории сохраняется, то сворачивая обе части равенства с pμ мы получаем p2=0, т.е. пионные вакуумные состояния безмассовы, что согласуется с теоремой Голдстоуна.

Итак, мы получили, что на определенном масштабе энергии, даваемом вакуумным средним кваркового биленейного оператора, киральная симметрия становится спонтанно нарушенной. Однако, как и полагается по теореме Голдстоуна, соответствующие (псевдоскалярные) бозоны безмассовы. Это не похоже на правду: пионы массивны. Чтобы получить массивные пионы надо рассматривать квантовую теорию. В этом случае киральная симметрия становится аномальной. На уровне эффективного Лагранжиана это соответствует тому, что кварки приобретают массовые слагаемые:

$$i\gamma^\mu Q={\bf m}Q\,,\quad Q=\left({\psi_u\atop\psi_d}\right)\,,\quad {\bf m}=\left({m_u\atop 0}\;{0\atop m_d}\right)\,,$$

где я для простоты рассмотрел КХД с двумя ароматами кварков. Дивергенция аксиального тока тогда равна источнику: аксиальному заряду,

$$\partial _\mu j^{\mu 5a}=i\bar{Q}\{{\bf m},\tau^a\}Q\quad\Rightarrow\quad -p^2f_\pi \delta^{ab}=\langle 0|i\bar{Q}\{{\bf m},\tau^a\}\gamma^5Q|\pi^b(p)\rangle\,.$$

Теперь пионы массивны:

$$m_\pi^2=(m_u+m_d)\frac{M^2}{f_\pi}\,.$$

Для полноты замечу, что частным случаем спонтанного нарушения киральной симметрии является динамическое нарушение киральной симметрии. В этом случае вы добавляете в теорию (тяжелые) фермионные поля, так что наблюдаемый сектор КХД теперь является открытой системой. Это называется техниколор: а добавленные фермионные поля называются техникварками. Так вот, техникварки образуют фермионный конденсат, так что киральная симметрия оказывается спонтанно нарушенной. Кстати говоря, взаимодействуя с калибровочными полями, техникварки также нарушают электрослабую симметрию.

2.2. Все, что я только что написал, можно реализовать в простых голографических моделях. В терминах D-бран это описывается D4-D8-D8 моделью

T. Sakai, S. Sugimoto, Low energy hadron physics in holographic QCD

За объяснениями этой модели обращайтесь к Любошу Мотлу и тем, на кого он ссылается.
 
Феноменологическая модель была построена в статье
 
 
Вот что делается в феноменологической работе. Для начала, в ИК режиме КХД находится в фазе конфайнмента. В ультрафиолете КХД свободна. Переходный масшта энергии - ΛQCD~150МэВ - должен соотвтествовать какому-то значению радиальной координаты z=zm в пространстве AdS5. Это называется жесткой стенкой. Итак, теория в объеме, дуальная QCD4, живет в пространстве AdS5, задаваемом геометрией между двумя границами: границей AdS (соответствующей UV режиму теории поля) и жесткой стенкой (соответствующей ИК масштабу конфайнмента)
 
$$ds_5^2=\frac{1}{z^2}(-dt^2+dx_1^2+dx_2^2+dx_3^3+dz^2)\,\quad\quad 0\leq z\leq z_m\,.$$
 
Наша основная цель — описать аномальное нарушение киральной симметрии. В ультрафиолете кварки безмассовы и теория обрадает киральной симметрией SU(Nf)L×SU(Nf)R. Соответствующией сохраняющиеся токи обозначим jLμ и jRμ. Согласно AdS/CFT соответствию, каждая глоабальная симметрия в теории поля на границе AdS соответствует локальной симметрии в объеме AdS. Т.е. токи jLμ и jRμ взаимодействуют с калибровочноыми полями ALμ и ARμ калибровочной группы SU(Nf)L×SU(Nf)R в объеме AdS.
 
Движению от границы AdS, z=0,  в глубь объема AdS соответствует движение в ИК режим КХД. В то время как в AdS мы смотрим при этом движении просто на зависимоть полей от радиальной координаты, в КХД это соответствует ренормгрупповому потоку: суммированию всех диагррамм с высшими импульсами и получению эффективного Лагранжиана. В этом состоит сила AdS/CFT соответствия. Мы хотим получить аномальное нарушение киральной симметрии КХД. Тогда, мы должны описать аномальное нарушение дуальной калибровочной инвариантности, т.е. нарушение калибровочной симметрии с аксиальным векторным полем Aμ =ALμ - ARμ. В объеме AdS это можно реализовать уже с помощью спонтанного нарушения симметрии. Это легко получить, прикрепив калибровочные поля к скалярному полю X в би-фундаментальном представлении калибровочной группы.  Рассмотрим, таким образом, действие
 
$$S=\int d^5x\sqrt{g}\text{Tr}\{|DX|^2+3|X|^2-\frac{1}{4g_5^2}(F_L^2+F_R^2)\}\,.$$
 
Допустим, теперь, что скалярное поле X выпадает в конденсат: просто решим для него классические уравнения движения в отсуствии калибровочных полей (последние все равно рассматриваются как флуктуации в AdS/CFT). Причем потребуем граничное условие на границе AdS: чтобы X(z=0)=0, что соответствует киральной симметрии КХД в ультрафиолете. Простейшее решение с формой X(z)=x(z)I, где x(z) — синглет калибровочной группы с нетривиальным профилем в AdS — взаимодействует только с аксиальным векторным полем. Тогда киральная симметрия оказывается спонтанно нарушенной. Можно посчитать соответствующий спектр пи-мезонов, а также векторных мезонов, что довольно хорошо согласуется с наблюдениями (последнее, разумеется, не говорит, что построенная теория на 100% верна, а скорее предоставляет пример возможности реальной феноменологии AdS/QCD соответствия).
 

3.1. В пункте 2 мы разобрались с тем, как голографически описать важные явления КХД. А именно, как с помощью AdS/CFT соответствия можно описать нарушение киральной симметрии. Мы также описали физику мезонов. Однако есть второй тип адронов, которые мы еще не описали. Это барионы.

Барион — это связанное состояние N кварков — фермионных полей в фундаментальном представлении калибровочной группы — и глюонного поля, в калибровочной теории с калибровочной группой SU(N). Такое состояние антисимметрично по отношению к перестановке кварков и потому является синглетом специальной унитарной группы SU(N). Тогда необходимо, чтобы все кварки преобразовывались в одном и том же представлении SU(N) — либо фундаментальном, либо анти-фундаментальном (комплексно-сопряженном фундаментальному). Сразу же исключается калибровочная группа U(N), потому что иначе барион преобразовывался бы с зарядом N (или -N в случае анти-бариона), и потому барионное состояние не было бы калиброчно-инвариантным, следовательно не существовало бы в природе.

На масштабе энергий бариона (150 МэВ или 1 Ферми) цветное глюонное взаимодействие SU(N) очень сильное, так что пертурбативное описание квантовой динамики бариона невозможно. Сильное взаимодействие в калибровочной теории может быть описано с помощью слабо-взаимодействующей теории гравитации, с помощью AdS/CFT соответствия. Оказывается, что барион голографически соответсвует инстантону в AdS.

3.2. Что такое инстантон? Инстантон — это решение классической Евклидовой калибровочной теории, такое что действие, посчитанное не решении, конечно, а напряженность поля самодуальна. Важные свойства инстантона, следующие из его определения:

— Евклидовость и потому мнимость времени имеют квантовомеханическую интерпретацию туннелирования, а также Евклидовость обеспечивает локализацию инстантона во времени;

— Конечность действия имеет квантовую теоретико-полевую интерпретацию существенного вклада этой классической конфигурации в квантовую динамику, описываемую интегралом по путям;

— Требование конечности действия накладывает ограничения на граничное поведение решения: оно должно убывать достаточно быстро, и локализовываться в пространстве. Поэтому если есть скалярные поля, взаимодействующие с калибровочным полем, то они должны минимизировать свой потенциал на бесконечности. Это требование — солитонность решения — относит инстантон к классу солитонов. Статья Горский-Крикун, которой посвящен этот пост, рассматривает именно такую солитонную конфигурацию в двух измерениях. 

 

2600 years of history of physics... anyone needs to go to the bathroom too? ;)

3.3. Теперь перейдем к реализации инстантонов в теории струн. Виттен указал на простой способ описать барион с помощью D бран в контексте AdS/CFT соответствия:

E. Witten, Baryons and branes in AdS space

Мы хотим описать барионные состояния в пространстве-времени Минковского, точнее его компактификации S3×R. 

Голографически дуальное описание калибровочных теорий в S3×R предоставляется теорией суперструн типа-IIB в пространстве-времени с AdS5×S5 геометрией; граница AdS5 есть компактифицированное пространство-время Минковского S3×R. Ранк N (на самом деле, конечно, ранк плюс один) калибровочной группы SU(N) равен количеству D3-бран, которые создают геометрию с около-горизонтной асимптотикой AdS5×S5. Каждая D3-брана является источником RR поля C4 и потому несет RR заряд этого поля, равный единице. В десяти пространственно-временных измерениях 3-браны окружаются 5-сферой, и это, конечно, S5 часть AdS5×S5 геометрии. По теореме Гаусса поток поля F5=dC4 через эту сферу тогда равен RR заряду стопки N бран, $$\int_{S^5}F_5=N$$.

Теперь допустим вы хотите описать поведение кварков в AdS/CFT дуальной теории поля, которая живет в S3×R. Кварковые поля — это низшие моды возбуждения открытых струн. Допустим вы хотите собрать барион из ваших кварков.  С точки зрения открытых струн это означает что N открытых струн протянуты в AdS и заканчиваются одним концом на границе AdS, т.е. на S3×R, причем все струны должны быть одинаково ориентированы.

Напомню, что настоящая теория открытых струн, теория типа-I с калибровочной группой SO(32), есть, разумеется, теория неориентированных струн. Оба конца струны одинаковы, струнное состояние симметрично по отношению к перестановке концов струны, что есть необходимое условие для того, чтобы калибровочная группа теории открытых струн была вещественной группой SO(32). Последнее есть условие сокращения калибровочных аномалий. Однако когда вы вводите калибровочную симметрию в теорию открытых струн, вы приписываете каждому концу струны заряд Чана-Патона, помещая в результате каждый конец струны в представление группы SU(M). Далее, чтобы получить SO(32) из SU(M) надо выбрать M=16, поместив в вакуум Минковского 16 заполняющих D9 бран (сделав по умолчанию все граничные условия Неймановскими), и потом поместить 16 ориентифолдных плоскостей O9, компенсирующих вакуумную энергию D9 бран и симметризующих концы открытых струн. Это все между прочим: в AdS/CFT эти вопросы не возникают.

Другая особенность: вместо струн, которые одним концом оканчиваются на границе AdS, мы можем протянуть D1 браны. Отличие D1 бран от фундаментальных струн, или F1 струн, состоит в том, что фундаментальные струны несут NSNS заряд поля B2 бозонного сектора мультиплета IIB супергравитации, а D1 браны несут RR заряд поля C2 биспинорной части бозонного RR сектора мультиплета IIB супергравитации. Однако, теория суперструн типа-IIB обладает S-дуальностью. Возьмите 1-мерный объект с зарядом (p,q) по отношению к указанным NSNS и RR полям. Оказывается, что теория суперструн типа-IIB инвариантна по отношению к SL(2,Z) преобразованиям этого заряда.

В то время как Чан-Патоновские заряды «электрические», и потому F1 струна описывает кварк на границе AdS, D1 брана имеет топологический заряд RR поля и описывает монополь на границе AdS. Тогда S-дуальность теории суперструн типа-IIB есть общий пример электро-магнитной дуальности, обменивающей кварки и монополи.

Slipknot, S-duality

Второй конец струн должен заканчиваться где-то в AdS. Открытые струны могут заканчиваться только на D-бранах. Виттен предлагает взять D5-брану, обернуть ее вокруг S5 и прикрепить к ней концы струн. Тогда D5-брана представляет собой голографическое описание бариона. Обоснование следующее. Действие D5-браны в AdS5×S5 геометрии включает член Черна-Саймонса

$$S_{CS}=\int F_5\wedge A\,,$$

где A — калибровочное поле на мировом объеме D5-браны. Но так как D5 брана обварачивает S5, то через нее проходит весь поток RR поля C4, и потому

$$S_{CS}=N\int A\,.$$

Следовательно D5-брана поляризуется в поле  C4, на ней индуцируется N единиц заряда поля A. Мы находимся в замкнутой геометрии AdS5×S5, так что нам надо компенсировать этот заряд (полный заряд замкнутой вселенной по теореме Гаусса равен нулю). Это осуществляется прикреплением N открытых струн к D5-бране.

4. В отличии от того, что я только что описал, Горский, Крикун конструируют инстантон в феноменологической AdS/QCD, о которой я говорил в пункте 2. Их главный результат состоит в описании барионного состояния с двумя квантовыми числами: помимо барионного заряда они также имеют возможность описать аксиальный заряд бариона.

Итак, барион в КХД описывается как инстантон киральной калибровочной группы в AdS. Барионный заряд при этом равен топологическому заряду инстантона (как видно, он ненулевой только если киральная симметрия нарушена)

$$B=\frac{1}{32\pi^2}\int _0^{z_m}\int d^3x(F_L\star F_L-F_R\star F_R)\,.$$

Горский, Крикун вводят цилиндрический анзац для калибровочных полей и скалярного поля, что позволяет свести задачу к двумерной: с координатами (r,z), где r — радиус в трех пространственных измерениях. Рассматриваемый ими анзац не зависит от времени, так что решение с конечным действием, минимизирующее потенциал на бесконечности (на самом деле на части бсекончено-удаленной границы), есть солитон.

Конкретно, требование конечности действия и регулярности уравнений движения на границе (r,z), даваемой четырьмя сторонами квадрата

$$r=0\,,\quad z\in (0,z_m)\,,$$

$$z=z_m\,,\quad r\in(0,\infty)\,,$$

$$r=\infty\,,\quad z\in (z_m,0)\,,$$

$$z=0\,,\quad r\in (\infty,0)\,,$$

требует, чтобы поле $$\gamma=\alpha-\beta-\frac{\pi}{2}$$, где α и β есть фазы векторного и скалярного полей соответственно, удовлетворяло вакуумному условию

$$\gamma=\pi n\,,\quad n\in Z\,,$$

минимизирующему один из потенциальных членов теории, на всех сторонах квадратной границы (r,z) плоскости, кроме z=0. При этом на r=∞ существует точка z=z0, в которой γ может прыгнуть между двумя вакуумными значениями. Это очень важно: благодаря этому контур поля γ замыкается при обходе квадратной границы пространства: т.е. это поле непрерывно.

И наконец, нетривиальная зависимость фазы β от радиальной координаты r, что является новшеством статьи среди других исследований солитонных решений в AdS, позволяет описать аксиальный заряд бариона: он пропорционален $$J_r=\partial_r\beta$$. Поле β связано с полем γ, а последнее имеет топологическое решение с новым топологическим числом n, так что Горский, Крикун указали на возможность описания аксиального заряда новым топологическим числом.

Ключевые слова: AdS/CFT, открытая струна | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Соответствие между теорией высших спинов и векторными сигма-моделями

28 мая 2012 года, 20:01

Хочу прокомментировать недавнюю статью

Robert de Mello Kocha, Antal Jevickib, Kewang Jinc, Joao P. Rodriguesa, and Qibin Yeb S = 1 in O(N)/HS duality

которая продолжает исследования в одном из направлений соотвествия между теорией струн в объёме и квантовой теорией поля на границе анти де Ситтер — подобного пространства-времени. Это направление довольно любопытно: теория в объёме есть теория высших спинов в AdS4. Я не большой эксперт именно в этой деятельности, однако попробую обрисовать то, что я знаю, начиная с самого простого.

Это длинный пост, и он представляет собой обзор значительной части материала, сопряженного O(N)/HS соответствию.

1. Спин — это квантовое число, характеризующее представление группы вращения. Выберем плоскость вращения, и назовём её (1,2). После вращения на угол φ она переходит в плоскость (1',2'), так что элементы матрицы вращения (подгруппа SO(2) группы Лоренца SO(1,d-1) для d-мерного пространства-времени) есть

$$\omega_{1'}^{\;\;1}=\cos\varphi\,,\quad\omega_{1'}^{\;\;2}=-\sin\varphi\,,\quad\omega_{2'}^{\;\;1}=\sin\varphi\,,\quad\omega_{2'}^{\;\;2}=\cos\varphi$$

Применим эти параметры вращения к преобразованию ковариантного тензора

$$A_{\mu_1\cdots\mu_n}\rightarrow A_{\mu_1'\cdots\mu_n'}=\omega_{\mu_1'}^{\;\;\mu_1}\cdots\omega_{\mu_n'}^{\;\;\mu_n}A_{\mu_1\cdots\mu_n}$$

Отщепим n-1 индексов и обозначим их как «(...)». Посмотрим как преобразуется оставшийся индекс, когда он обозначает направление на плоскости, которую мы вращаем на угол φ:

$$A_{(...)'1'}=A_{(...)'1}\cos\varphi -A_{(...)'2}\sin\varphi\,,$$ 

$$A_{(...)'2'}=A_{(...)'1}\sin\varphi +A_{(...)'2}\cos\varphi\,.$$

Поэтому объект $$A_{(...)\pm}=A_{(...)1}\pm iA_{(...)2}$$ при вращении в плоскости (1,2) преобразуется следующим образом: весь тензор умножается на e±iφ, и если среди индексов «(...)» есть 1 или 2, то они преобразуются с помощью Лоренцевских параметров ω. К преобразованию этих «(...)» индексов можно применить то же правило что мы только что применили к последнему индексу, группируя его два возможных значения 1 и 2 в плоскости вращения в индекс ±. Каждый фактор e±iφ характеризует спин-1 представление вращений, т.е. минимальный угол на который надо повернуть плоскость чтобы тензор перешел сам в себя есть 2π. Знак плюс или минус — это знак проекции спина вдоль оси «перпендикулярной» плоскости вращения (перпендикулярность плоскости вращения есть понятие, однозначно определенное только в трехмерии).

Допустим мы интересуемся неприводимыми представлениями группы Лоренца. Тогда все индексы тензора A либо симметризованны, либо антисимметризованны, либо взяты в след (свёрнуты попарно). Допустим тензор A симметричен. Тогда все его компоненты, которые обладают всеми индексами, лежащими в плоскости вращения (1,2), перепишем в терминах индексов ±. После этого становится очевидным закон преобразования такого тензора: это преобразование поля с целым спином, и максимальный возможный спин есть n — ранк тензора.

2. Приведем пример тензоров с разными, в том числе высшими (большими, чем 1), спинами. Скаляр — поле без индексов — сразу заключаем что он имеет нулевой спин. Антисимметричный тензор — не преобразуется при вращениях (умножается на детерминант матрицы преобразования, который равен единице при вращениях) — потому тоже имеет нулевой спин. Тензор энергии-импульса — имеет два индекса, потому является сохраняющимся током со спином 2. Гравитон — симметричный тензор с двумя индексами — имеет спин 2.

Более конкретно о том, что имеет непосредственное отношение к данному посту. Рассмотрим свободное скалярное поле в d-мерном пространстве-времене, живущее в фундаментальном представлении O(N) группы вращений (индекс a есть векторный индекс, преобразующийся под действием O(N) группы):

$$L=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^a)^2+\frac{1}{2}m^2(\phi^a)^2\,.$$

Если s — чётное число, то нетрудно убедиться что ток со спином s,

$$J_{\mu_1\cdots\mu_s}=\phi^a\partial_{(\mu_1}\cdots\partial_{\mu_s)}\phi^a$$

сохраняется на массовой оболочке (и является синглетом O(N)). Под скобками понимается анти-симметризованной действие на поля справа и на поля слева (из-за антисимметризации возникает ограничение на спин — чтобы он был чётным числом), например

$$J_{\mu\nu}=\phi^a\partial_\mu\partial_\nu\phi^a-\partial_\mu\phi^a\partial_\nu\phi^a$$

есть сохраняющийся ток со спином 2. Как я уже сказал в общем случае, и теперь покажу в конкретном, другой сохраняющийся ток со спином 2 есть тензор энергии-импульса:

$$T_{\mu\nu}=\partial_\mu\phi^a\partial_\nu\phi^a-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\partial_\lambda\phi^a\partial^\lambda\phi^a\,.$$

Среди сохраняющихся токов со спином 2 есть только один ток — тензор энергии-импульса. Выше я привел два тока: тензор энергии-импульса Tμν и Jμν. Утверждение состоит в том что любой из них может быть равноправно взят как ТЭИ, и они оба эквивалентны. В данном контексте симметрий с высшими спинами выбор Jμν, разумеется, предпочтительнее, так как он записан в такой форме, которая легко обобщается для построения токов с высшими четными спинами.

Итак, вспомним, что если Tμν — сохраняющийся ток, то к нему можно прибавить λΣμνλ, так что если тензор Σμνλ антисимметричен по индексам μ и λ, то Θμν=Tμν+λΣμνλ тоже есть сохраняющийся ток со спином 2, μΘμν=0. Такое преобразование обычно используется чтобы сделать ТЭИ симметричным по его индексам. Выберем

$$\Sigma ^{\mu\nu\lambda}=\eta^{\mu\nu}\phi\partial^\lambda\phi-\eta^{\lambda\nu}\phi\partial^\mu\phi\,,$$

где для краткости я опускаю явное обозначение суммирования по векторному индексу a. Тогда очевидно, что

$$T_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\left(\eta_{\mu\nu}\phi\partial^2\phi-\partial^\lambda\Sigma_{\mu\nu\lambda}-J_{\mu\nu}\right)\,.$$

Здесь $$\eta_{\mu\nu}\phi\partial^2\phi$$ — это совершенно  неинформативный объект, который сохраняется на массовой оболочке просто потому, что равен на ней нулю. Таким образом мы показали эквивалентность Tμν и Jμν определений ТЭИ.

3.  Исходная статья, которая положила начало исследованию соотвествия между векторными сигма-моделями и теорией высших спинов в AdS, есть статья

I.R. KlebanovA.M. Polyakov AdS Dual of the Critical O(N) Vector Model

Впоследствии было много других работ, тестирующих и использующих это соответствие, см. например

S. Giombi and X. Yin Higher Spin Gauge Theory and Holography: The Three-Point Functions

где было продемонстрированно равенство трех-точечных функций, посчитанных независимо голографически и в теории поля (см. также пост Любоша Мотла). Для меня не очевидно сейчас есть ли HS/O(N) какой-то независимый пример голографической дуальности, или он связан в том или ином смысле, с соотвествием между теорией струн в объеме и теорией поля на границе. А именно, мне не ясно в какой именно роли струны применяются при таком установлении голографической дуальности. Теория гравитации с высшими спинами есть нечто такое, что я никогда не изучал, так что на поставленный вопрос я не могу ответить сколько нибудь конкретно.

Вполне возможно, что теория Васильева проявляется как самосогласованное редуцирование эффективной теории гравитации, а векторная сигма-модель — как самосогласованное редуцирование теории Янга-Миллса. Если это действительно так, то именно это указывает на то как HS/O(N) соответствие выводится из теории струн.

Хорошо, КП предлагают взять O(N)-инвариантную модель вроде той, что я описал в пункте 2, и дают рецепт голографического вычисления сохраняющихся токов с высшими спинами, которые присутствуют в этой теории. Основное наблюдение состоит в возможности установления соответствия между полями hμ1...μs с чётными спинами в теории Васильева в AdS4 и сохраняющимися токами с четными спинами в векторной 3d модели на границе. AdS/CFT соответствие предписывает квантование

$$\langle\exp\int d^3xh_0^{(\mu _1\dots\mu _s)}J_{(\mu _1\dots\mu _s)}\rangle =e^{S[h_0]}\,,$$

т.е. значение h0 поля h на границе AdS является источником для тока J в дуальной 3d теории поля. Похоже на стандартное квантование, так как генерирующий функционал в левой части построен с помощью граничного значения поля в объёме. Однако, это не так. В стандартном квантовании размерность дуального оператора теории поля наибольшая (из двух возможных Δ±, когда две возможны, т.е. когда Δ->(d-2)/2), в то время как здесь она наименьшая. Квантование таким образом есть т.н. альтернативное квантование.

Чтобы пояснить, возьмём «ток» $$J_0=\phi^a\phi^a$$ со спином ноль. Заметим, что он имеет размерность 1. С другой стороны дуальное массивное скалярное поле в AdSd+1 (у нас d=3) имеет два возможных решения

$$h\simeq z^{\Delta_\pm}h_0$$

вблизи границы AdS, z=0:

$$\Delta_\pm=\frac{d}{2}\pm\sqrt{\frac{d^2}{4}+m^2}\,,$$

причем сумма размерностей дуального поля и скалярного оператора в теории поля должна быть равна d (чтобы генерирующий функционал в формуле КП представлял собой экспоненту от безразмерной величины; скалярное поле в AdS считается при этом безразмерным, [h]=0). Тогда единственный возможный (из двух) вариант представить размерность J0 через массу дуального скалярного поля в AdS есть 

$$1=\Delta_-=\frac{d}{2}-\sqrt{\frac{d^2}{4}+m^2}\,,$$

и потому m2=-2, что действительно есть масса скалярного поля в AdS4, возникающая из члена взаимодействия скаляра кривизны со скалярным полем. Обычно в простейших применениях AdS/CFT соответствия аргументы вроде этого о взаимодействии скалярного поля с гравитационным полем в AdS не применяются: гравитационый фон считается фиксированным и не влияющим на динамику полей. Однако в данном случае вероятно следующее. Мы начинаем с того, что формулируем теорию поля, для которой хотим построить голографическое описание. Берём в качестве этой теории поля O(N) векторную модель с бесконечным набором токов с четно-значными спинами. Берём эти сохраняющиеся токи и ищем голографически-дуальные к ним поля. Первый этап: ток со спином ноль. Обнаруживаем, что дуальное скалярное поле тогда имеет массу m2=-2. Второй этап: ток со спином 2, в качестве которого мы можем (в том числе) взять тензор энергии-импульса. Дуальное поле — гравитон. Далее, мы хотим чтобы всё взаимодействовало наиболее общим возможным образом. Тогда учитываем взаимодействие скалярного поля в AdS с массой m2=-2 и гравитона. Замечаем «удачное совпадение» (не случайное, разумеется), что m2=-2 есть значение массы скалярного поля в AdS, возникающее из лагранжиана скалярного поля в искривленном пространстве-времени, когда это пространство-время есть AdS4.

При ренорм-групповом потоке размерность оператора в квантовой теории поля меняется. Если O — это оператор с размерностью Δ-, и мы добавим к UV Лагранжиану член O2 (являющийся существенным оператором, т.к. его размерность есть 2Δ-<d, и потому стоящая перед ним константа взаимодействия имеет положительную массовую размерность и следовательно не вымирает при ренормгрупповом потоке), то ренормгрупповой поток принесёт нас к IR Лагранжиану, в котором O будет иметь размерностью Δ+. Этот факт независим от голографии и говорит о том, что в IR мы имеем стандартное квантование и квантовую конформную теорию CFTIR (эффективную конформную теорию поля скалярного оператора O с размерностью Δ+), в то время как в UV мы имеем альтернативное квантование и квантовую конфомрную теорию CFTUV («эффективную» конформную теорию поля скалярного оператора O с размерностью Δ-).

Но этот факт может быть в том числе также явно продемонстрирован с помощью голографической перенормировки (когда ренормгрупповой поток в теории поля изображается как изменение параметров теории поля в зависимости от того, какому значению радиальной координаты в AdS она соотвествует; например UV режим теории поля соответствует границе AdS и IR режим соответствует Пуанкаре-горизонту AdS), в простейшем случае — на примере скалярного поля в AdS.

На основании этого простейшего примера КП предлагают включить J02 член в Лагранжиан дуальной теории поля. Сделав это становится понятным когда J0 имеет «стандартную» размерность Δ+ — это просто результат ренормгруппового потока из «альтернативного» значения Δ-. Итак, O(N) векторная модель обладает тем, что называется двухследовое взаимодействие (вообще то такой термин применяется когда поля живут в присоединенном представлении, но тут принцип тот же):

$$S[\phi]=\int d^3x\left(\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^a)^2+\frac{\lambda}{2N}(\phi^a\phi^a)^2\right)$$

Выбор обозначения для константы двухследового взаимодействия λ, при котором соответствующий член в лагранжиане имеет в знаменателе явно N обусловлен тем, что при этом оба члена действия имеют одинаковый порядок по N, что важно при рассмотрении теории при больших N.

Это было введение.

3.1. Посмотрим сперва не теоретико-полевую сторону дуальности. Первое что мы сделаем, это применим метод Хаббарда-Стратоновича, введя вспомогательное поле σ,

$$S_0[\phi,\sigma]=\int d^3x\left(\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^a)^2+\sigma\phi^a\phi^a-\frac{N}{2\lambda}\sigma^2\right)$$

Тогда

$$Z_0=\int{\cal D}\phi{\cal D}\sigma\exp\left(-S_0[\phi,\sigma]\right)=\int{\cal D}\phi{\cal D}\sigma\exp\left(-S[\phi]\right)\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3x\sigma^{\prime 2}\right)\,,$$

где сдвинутое вспомогательное поле есть

$$\sigma'=\sigma-\frac{\lambda}{N}\phi^a\phi^a\,.$$

Ясно что

$${\cal D}\phi{\cal D}\sigma={\cal D}\phi{\cal D}\sigma'\,,$$

и потому Z0Z с точностью до нормировочной константы, где

$$Z=\int{\cal D}\phi\exp\left(-S[\phi]\right)\,.$$

Конкретно

$$Z_0=Z\int{\cal D}\sigma\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3x\sigma^2\right)=Z\prod_x\sqrt{\frac{2\pi\lambda}{N}}\,.$$

Классически, конечно, поле σ просто явно исключается с помощью его нединамического уравнения движения и мы возвращаемся от действия S0 к действию S. Хорошо, будем тогда исседовать нашу векторную модель с двухследовым взаимодействием с помощью действия S0. Это удобно. Почему? Взаимодействующая теория на квантовом уровне описывается диаграммами с петлями. В нашем случае из действия S мы находим пропагатор и четвертичную вершину самодействия, и потом рисуем разные возможные диаграммы. Довольно сложно суммировать их всех. Например, пропагатор

$$\langle\phi^a(x)\phi^b(y)\rangle=\frac{\delta^{ab}}{|x-y|}$$

получает всевозможные петлевые поправки. Однако, если N большое, то можно все разложить по 1/N. Почему нас интересует большое N? Первую причину я только что указал — вычисления упрощаются когда мы ограничиваемя ведущим порядком по 1/N. Вторая причина в том, что мы устанавливаем голографическое соответствие, и желательно, чтобы радиус дуального AdS был большим (этот радиус пропорционален степени N) и потому мы бы имели возможность применять классическую гравитацию в объеме. Так что «простая» (но сильновзаимодействующая) теория поля соотвествует простой (и слабовзаимодействующей) теории в объеме. Утверждение состоит в том, что рассмотрение действия S0 вместо действия S делает 1/N разложение явным. Действительно, из действия S0 мы находим классические пропагаторы

$$\langle\phi^a(x)\phi^b(y)\rangle=\frac{\delta^{ab}}{|x-y|}\,,$$

$$\langle\sigma(x)\sigma(y)\rangle=\frac{1}{Z_\sigma}\int{\cal D}\sigma\sigma(x)\sigma(y)\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3x\sigma^2\right)=\frac{1}{Z_\sigma}\delta(x-y)\sqrt{2\pi}\lambda^{3/2}\frac{1}{N^{3/2}}\int\left[{\cal D}\sigma\right]_{z\neq x}\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3z\sigma^2\right)\,,$$

где мы ввели статсумму свободного поля σ

$$Z_\sigma=\int{\cal D}\sigma\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3x\sigma^2\right)=\prod_x\sqrt{\frac{2\pi\lambda}{N}}$$

и выразили

$$\int\left[{\cal D}\sigma\right]_{z\neq x}\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3z\sigma^2\right)=\sqrt{\frac{N}{2\pi\lambda}}\prod_x\sqrt{\frac{2\pi\lambda}{N}}=\sqrt{\frac{N}{2\pi\lambda}}Z_\sigma\,,$$

из чего следует

$$\langle\sigma(x)\sigma(y)\rangle=\delta(x-y)\frac{\lambda}{N}\,,$$

и классическую вершину (напомню обозначение $$J_0=\phi^a\phi^a$$)

$$\Gamma_{J_0\sigma}=1\,.$$

Да, я знаю что оба пропагатора и вершина выводятся из действия методом пристального взгляда гораздо быстрее чем я это сейчас сделал с помощью интеграла по путям, и нет, я не просто так демонстрирую что круто считать все с помощью интеграла по путям. Я применил интеграл по путям, потому что в квантовой взаимодействующей теории именно с помощью него считаются перенормированные пропагаторы и перенормированные вершины — т.е. пропагаторы и вершины с петлями внутри.

В петлях мы можем иметь либо поле $$\phi^a$$ либо поле $$\sigma$$. Однако, каждый пропагатор поля $$\sigma$$ в силу показанного выше дает множитель $$1/N$$, и потому соотвествующая диаграмма подавлена по сравенению с диаграммами в которых в петлях находятся поля $$\phi^a$$. Вот почему введение поля $$\sigma$$ удобно при рассмотрении теорий с большим N. Данный факт является следствием более общего правила, применямого в том числе в случае когда (некоторые) поля теории живут в присоединенном представлении группы симметрии: диаграммы с пропагаторами полей без индексов подавлены. 

3.2. В 3d CFT сохраняющийся ток имеет размерность 2. Например «сохраняющийся ток» J0 в IR режиме CFT имеет размерность Δ+=2. При этом «масса» (массовый член — это член взаимодействия со скаляром кривизны) дуального скалярного поля была «специально» выбранна m2=-2, чтобы обеспечить правильную UV размерность Δ-=1. Думаю, что для токов с высшими четными спинами и соответствующих полей в AdS с высшими четными спинами ситуация аналогична. Тогда (при больших N) все токи с высшими спинами имеют размерность 2.

Мне не известен явный вид Лагранжиана теории четных спинов в AdS4, так что я не могу продемонстрировать какие именно два возможных решения теория имеет вблизи горизонта AdS. Приветствуются полезные комментарии читателей блога, знакомых с теорией Васильева.

То что дальше описывают КП по сути сводится к следующему. Предположим вы начинаете с теории поля в которой есть односледовое взаимодействие. Это значит, что  если это калибровочная теория (поля матричные, т.е. живут в присоединенном представлении калибровочной группы), то члены Лагранжиана представляют собой след произведения матриц. А если это векторная модель, то каждый член Лагранжиана есть квадратичный синглет. Тогда, как заключают КП, в квантовой теории всегда будут сгенерированы члены Лагранжиана, которые представляют собой существенное мультиследовое взаимодействие. Они показывают это исследуя то, когда операторное взаимодействие самосогласованно.

Однако, то же самое утверждение можно продемонстрировать и на примере диаграмм, соответствующих среднему произведения операторов. Например, упомянутое выше двухследовое взаимодействие будет сгенерировано за счет непланарных диаграмм односледового. Возьмите налибровочную терию $$\text{Tr}\phi ^4$$, где поле $$\phi$$ живет в присоединенном представлении калибровочной группы. Тогда однопетлевые процессы сгенеририруют член эфеективного Лагражиана $$(\text{Tr}\phi ^2)^2$$ (картинка отсюда, каждое поле изображается полоской («мировым листом струны»), где края полоски соответствуют двум индексам калибровочного поля в присоединенном представлении калибровочной группы — или двум «зарядам Чана-Патона» на концах струны)

Здесь каждая из двух диаграмм имеет две $$\text{Tr}\phi ^4$$ вершины, между которыми есть одна петля. Правая диаграмма не может быть изображена на плоскости, и ее четыре внешние ноги отличаются по своей структуре от четырех внешних ног левой. У левой эта структура есть опять же $$\text{Tr}\phi ^4$$, т.е. левая диаграмма просто перенормирует односледовое взаимодействие. Однако структура внешних ног правой диаграммы сводится к двум полоскам, т.е. произведению двух полей, что соответствуют Лагранжиану $$(\text{Tr}\phi ^2)^2$$. То, что подписано под диаграммами, есть напоминание того, что планарная петля в N раз больше чем непланарная (т.к. в самом центре диаграммы есть замкнутая линия — что означает суммирование по всем значениям индекса этой линии, всего N таких значений, как видите на правой диаграмме такой петли нет). При этом каждый след дает фактор N, так что след в квадрате, т.е. правая диаграмма, имеет порядок N2.  Левая диаграмма, т.е. след умноженный на N, тоже имеет порядок N2, и потому обе диаграммы одного порядка в пределе больших N.

4. После того как мы более-менее ознакомились с предпосылками HS/O(N) соответствия, начнем переходить к обсуждению недавнего прогресса в этой деятельности. А именно, с точки зрения теоретико-полевой стороны дуальности, посмотрим на то, как наличие бесконечного количества токов с высшими спинами согласуется с теоремой Колемана-Мандулы. Последняя, как известно, утверждает что Лоренц-инвариантная теория с высшими бозонными пространственно-временными симметриями (т.е. с генераторами, нетривиально преобразующимися под действием группы Лоренца и образующими бозонную алгебру) имеет тривиальную S матрицу. То, что эта теорема подразумевает для теоретико-полевой стороны HS/O(N) соответствия впервые было исследовано в работе

Juan Maldacena and Alexander Zhiboedov Constraining conformal field theories with a higher spin symmetry

Во-первых, в конформной теории поля нет S матрицы. Собственно по этой причине конформная теория поля как таковая обходит теорему Колемана-Мандулы: в теории есть симметрии конформных преобразований, которые не являются Лоренцевскими синглетами и представляют собой бозонные преобразования. Однако, оператор дилатаций (оператор скейлинга, собственные значения которого по определению  задают все поля конформной теории поля) не коммутирует с оператором квадрата импульса (массой), поэтому масса больше не является квантовым числом, характеризующим неприводимые представления группы симметрии теории. Такими квантовыми числами в CFT являются спин и размерность скейлинга. Асимпотические состояния больше не определены как состояния с определенной массой и импульсом, так что S матрица рассеяния таких состояний тоже больше не определена.

Вместо S матрицы в конформной теории поля есть корреляционые функции. Последние могут получать всевозможные нетривиальные квантовые поправки — если теория взаимодействующая. Такие поправки соответствуют нетривиальному (S≠1) рассеянию «обычной» квантовой теории поля. Однако, что произойдет если конформная теория поля вдобавок обладает высшими симметриями? В случае O(N)/HS соответствия работа Малдасены и Жибоедова показывает что корреляционные функции сводятся к таковым для свободных полей: т.е. всегда можно перейти к таким полям, для которых корреляциооные функции имеют вид таковых, полученных из свободного Лагранжиана. Свободный Лагранжиан соответствует тривиальной S матрице.

4.1. Малдасена и Жибоедов, для доказательства того что корреляционные функции свободны, используют «шнурочный» принцип (bootstrap) — исходные предположения ограничивают возможные выводы до такой степени, что главные заключения однозначно следуют из этих ограничений. В применении к данной работе: корреляциооные функции с необходимостью свободны.

-1. Итак, в качестве первого исходного предположения потребуем, чтобы теория была унитарной. Унитарность ограничивает конформную размерность операторов снизу, что естетственно доказывается с помощью оптической теоремы. Допустим, вы начинаете со свободной теории в ультрафиолете. Точнее, допустим у вас есть теория, которая асимпотически свободна в ультрафиолете (вроде двухследовой векторной теории, описанной выше), т.е. в ультрафиолете все константы взаимодействия стремятся к нулю. Хорошо, тогда в ультрафиолете размерности всех операторов совпадают с таковыми в свободной теории. Утверждение состоит в том, что если теория унитарна, то размерности полей свободной теории являются ограничением снизу на размерности полей эффективной теории. Т.е. в инфракрасной эффективной взаимодействующей теории размерности полей не меньше размерности полей свободной ультрафиолетовой теории.

-2. Второе исходное предположение: наличие сохраняющегося тока с высшим спином s.

Если ток сохраняется в d-мерной теории, то его размерность ограничена. Размерность тока со спином 1 равна d-1. Допустим теория имеет высшие симметрии, с параметрами преобразования симметрии (тензором Киллинга) $$\epsilon_{\nu_1\cdots\nu_{s-1}}$$ с размерностью s-1 и спином s-1. Если это глобальные параметры, то действие инвариантно. Чтобы найти ток сделаем их локальными и посчитаем вариацию действия:

$$\delta S=\int d^dxJ^{\mu_1\cdots\mu_s}\partial_{(\mu_1}\epsilon_{\mu_2\cdots\mu_s)}\,.$$

Действие инвариантно, если выполнено условие Киллинга $$\partial_{(\mu_1}\epsilon_{\mu_2\cdots \mu_{s-1})}=0$$, (которое в случае сохраняющегося тока со спином 2 (тензора энергии-импульса), переходит в известное уравнение Киллинга $$\partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\nu\epsilon_\mu=0$$), которое также сопровождается условием бесследовости

$$\epsilon^\mu_{\;\;\mu \mu_{2} \cdots \mu_{s-1}}=0\,.$$

Допустим тензор Киллинга удовлетворяет условию Киллинга, как в вариации действия δS, написанной выше. Посчитаем теперь эту вариацию действия при выполнении уравнений движения. Если уравнения движения выполняются, то действие по определению инвариантно относительно любых преобразований. Тогда, требуя δS=0, находим, что ток с высшим спином необходимо сохраняется,

$$\partial_\mu J^{\mu_1\cdots \mu_s}=0\,.$$

Размерные соображения тогда указывают на то, что размерность Δ сохраняющегося тока J равна

$$\Delta =s+d-2\,.$$

Малдасена и Жибоедов опрелеляют твистовое число

$$\tau=\Delta -s$$

для тока со спином s и размерностью Δ и замечают, что ток сохраняется в трех измерениях если это число равно 1.

4.2. Перед тем как продолжить с доказательством тривиальности корреляционных функций, рассмотрим, следуя Малдасене и Жибоедову, некоторые основные положения теории сохраняющихся токов с высшими спинами. Как я уже указал выше, если у нас имеется тензор Киллинга $$\epsilon_{\nu_1\cdots\nu_{s-1}}$$ со спином s-1, то в теории есть сохраняющийся ток J со спином s. Чтобы посчитать соответствующий сохраняющийся заряд Qs (со спином s-1), нужно проинтегрировать поток тока

$$\hat{J}^\mu=J^{\mu\nu_1\cdots\nu_{s-1}}\epsilon_{\nu_1\cdots\nu_{s-1}}$$

через поверхность с фиксированным временем. Условие сохранения тока $$\partial_\mu\hat{J}^\mu=0$$ гарантированно благодаря уравнению Киллинга.

Малдасена и Жибоедов находят удобным параметризацию 3d пространства-времени x=(x+, x, y), и выбирают x+ в качестве временной координаты. Тогда

$$Q_s=\int_{x^+=const}dx^-dy(\star\hat{J})_{-y}=\int_{x^+=const}dx^-dyg^{+-}\hat{J}_{-...-}$$

Кроме того, они предлагают для простоты рассмотреть случай тензора Киллинга с единственной ненулевой компонентой ε-...-=1, следовательно

$$Q_s=\int_{x^+=const}dx^-dyJ_{--\cdots-}$$

Постолько поскольку мы считаем что единственная ненулевая компонента тока есть таковая со всеми минусами, js=J-...-, то уравнение сохранения тока есть просто +js=0. Аналогичным образом сохранение заряда дается уравнением +Qs=0.  В дальнейшем ∂ будет означать производную по x-.

Тензор энергии-импульса j2 является генератором конформных преобразований. Тогда в квантовой теории его коммутатор с некоторым оператором, имеющим нетривиальное конфомрное преобразование, сводится к двум членам: внешнее скейлингово преобразование (которое в случае коммутатора [j2,Qs] нетривиально, т.к. Qs имеет размерность s-1) и координатное преобразование,

$$[Q_s,j_2(x')]=\int_{x^+=const}dx^-dy[J_{-...-}(x),T_{\mu\nu}(x')]=c\partial J_{-...-\mu\nu}+f\partial_\mu J_{\nu -...-}$$

Нетрудно показать, что второй член в правой части последнего уравнения, который описывает координатное конформное преобразование, равен нулю. Действительно, в силу

$$\partial^\mu [Q_s,T_{\mu\nu}]=c\partial_-\partial^\mu J_{-...-\mu\nu}+\tilde{c}\partial^2J_{\nu -...-}\,,$$

сохранения тензора энергии-импульса и того, что Qs есть константа (сохраняющийся заряд), заключаем, что для выполнения последнего равенства необходимо чтобы f=0. При этом, конечно, c≠0, в силу того что Qs имеет нетривиальную скейлингову размерность s-1. Единственное следствие этих рассуждений, которым мы будем пользоваться, состоит в том, что сохраняющийся заряд Qs, соответствующей симметрии с высшим спином s, действует нетривиально на поля Φ рассматриваемой теории. Действительно, поля Φ входят в выражение для тензора энергии-импульса j2, и потому тривиальность [Qs,Φ] = 0 означала бы [j2,Qs] = 0, но мы только что показали, что это не так. 

4.3. Теперь, как рассуждают Малдасена и Жибоедов, допустим 2 верно и у нас есть сохраняющийся ток, скажем для определенности, со спином 4 (вообще то они утверждают что наличие одного тока с высшим спином гарантирует наличие бесконечного множества других токов со всевозможными четными спинами). Тогда 2 означает, что размерность тока есть 5, и потому размерность заряда есть 3 (заряд получается интегрированием «временной» компоненты тока по 2-поверхности в рассматриваемом 3d пространстве-времени). Тогда, если Φ(x) — поле, то данный сохраняющийся заряд Q (нетривиально, что показано в общем случае выше) преобразует его как,

$$[Q,\Phi]\simeq\partial^3\Phi\,,$$

где мы воспользовались тем, что правая часть должна иметь тот же спин что и левая («спин поля Φ» при этом, разумеется, меняется; простейший пример изменения спина поля это преобразование трансляции в системе с сохраняющимся импульсом, когда [Pμ , Φ]=-i[μ , Φ] имеет спин 1; однако после свертки с параметрами преобразования со спином s-1 получаем вариацию δΦ, являющуюся скаляром), тогда правая часть должна иметь три индекса x-, что и реализовано с помощью 3. Заметим, что скейлинговая размерность обоих частей равенства тоже, разумеется, одинаковая,  и потому действие сохраняющегося заряда симметрии высшего спина сохраняет твистовое число.

Рассмотрим корреляционную функцию

$$C_4=\langle\Phi(x_1)\Phi(x_2)\Phi(x_3)\Phi(x_4)\rangle\,,$$

и потребуем ее инвариантности относительно преобразований, генерируемых Q. Тогда, если в импульсном представлении (нет суммирования по i, разумеется)

$$\Phi(x_i)=\int d^3k\Phi(k_i)e^{ik_ix_i}\,,$$

то тогда

$$k_1^3+k_2^3+k_3^3+k_4^3=0\,.$$

С другой стороны, используя закон сохранения импульса, находим

$$k_1^3+k_2^3+k_3^3+k_4^3=-3(k_1+k_2)(k_2+k_3)(k_1+k_3)\,,$$

что означает, что импульсы сохраняются попарно (я, конечно, просто явно показал то, что очевидно верно для любого спина s). Поэтому четырехточечная функция C4 на самом деле факторизуется в произведение двух двух-точечных,

$$C_4=\langle\Phi(x_1)\Phi(x_2)\rangle\langle\Phi(x_3)\Phi(x_4)\rangle+\langle\Phi(x_1)\Phi(x_3)\rangle\langle\Phi(x_2)\Phi(x_4)\rangle+\langle\Phi(x_1)\Phi(x_4)\rangle\langle\Phi(x_2)\Phi(x_3)\rangle\,,$$

Рассмотрим поведение C4 при x12→0. Первый член содержит произведение двух 2-точечных функций, одна из которых, $$\langle\Phi(x_1)\Phi(x_2)\rangle$$, в ведущем порядке ведет себя как сингулярная степенная зависимость (с аномальной, вообще говоря, степенью, если теория взаимодействующая), помноженная на единичный оператор, а вторая, $$\langle\Phi(x_3)\Phi(x_4)\rangle$$, на зависит от x12. Остальные слагаемые регулярны при x12→0.

Нас интересует сингулярное поведение обеих частей равенства при x12→0. В левой части равенства мы при этом имеем

$$C_4=\langle\Phi(x_1)\Phi(x_1)\Phi(x_3)\Phi(x_4)\rangle\,,$$

причем операторное разложение идентичных полей $$\Phi(x_1)\Phi(x_1)$$ включает в себя тензор энергии импульса. Это очень удобно, потому что тензор энергии-импульса сохраняется, и потому его размерность не перенормируется взаимодействием: сохраняющийся ток в трех измерениях имеет твистовое число, равное 1. Следовательно в правой части выражения для C4 мы тоже должны иметь вклад в твистовое число от x12 равное 1. «От» означает просто напросто что только $$\langle\Phi(x_1)\Phi(x_2)\rangle\langle\Phi(x_3)\Phi(x_4)\rangle$$  в правой части равенства ведет себя сингулярно, и потому мы можем пренебречь остальными слагаемыми.

Теперь нам нужно воспользоваться предположением 1 об унитарности теории. В унитарной взаимодействующей теории конформная размерность поля ограничена конформной размерностью свободного поля. Это утверждение может быть переформулировано в терминах твистового числа в трех измерениях: для бозонных и фермионных полей унитарной теории мы имеем τ≥1/2. Тогда, в силу того что твистовое число обоих частей равенства должно быть одинаковым, в правой части равенства мы должны иметь не аномальное поведение $$\langle\Phi(x_1)\Phi(x_2)\rangle$$, когда оба поля «насыщают» унитарное гораничение τ=1/2, образуя в результате оператор с твистовым числом, равным единице. Т.е. эти поля должны быть свободными: их корреляционная функция свободна, т.е. не получает квантовых поправок к размерности операторов. Замечу, что про размерность самих полей никаких утверждений не делается.

5. Теперь обсудим статью R. de Mello Kocha, A. Jevickib, K. Jinc, J. P. Rodriguesa, and Q. Ye S = 1 in O(N)/HS duality. Как следует из названия, авторы продолжают исследования тривиальности рассеяния в теории с симметриями высших спинов. Авторы рассматривают то, что называют би-локальными полями, $$\Phi(x,y)=\phi^a(x)\phi^a(y)$$, и исследуют их рассеяние, составляя таким образом элементы S матрицы. Их главный вывод состоит в том, что полученная S матрица является тривиальной. Они также приводят преобразования полей, которые линеаризуют уравнения движения, явно демонстрируя тривиальность соответствующей теории рассеяния.

Ключевые слова: AdS/CFT, конформная теория поля | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Сингулярности при конечном импульсе и little string theory

19 марта 2012 года, 01:02

Возьмите взаимодействующую систему фермионов — ферми-жидкость — при нулевой температуре. В равновесии фермионы заполняют фазовое пространство внутри ферми-сферы, с радиусом kF.  Среди возбуждений такой жидкости можно выделить возбуждение квазичастиц-квазидырок и нулевой звук. Нулевой звук — это коллективное возбуждение квазичастиц взаимодействующей ферми-жидкости, он имеет непрерывный спектр, ω = u0k. Возбуждение квазичастиц-квазидырок — это хаотичные, неколлективные возбуждения над поверхностью Ферми, и область фазового пространства, где частоты и импульсы таких возбуждений принимают значения, называется континуумом Линдхарда. При малых частотах ω диапазон импульсов возбуждённых квазичастиц из континуума Линдхарда — от нуля до k = 2kF. Так что спектральная функция квазичастиц Ферми жидкости имеет сингулярность при двух импульсах Ферми.

Сильновзаимодействующая Ферми-жидкость — это система, которая должна описываться дуальной теорией гравитации в режиме слабой связи. Такое применение AdS/CFT соотвествия называется AdS/CMT, где CMT означает condensed matter theory. Эта область теории струн получила довольно широкое распространение в последние несколько лет. Наиболее выдающиеся результаты включают вывод отношения вязкости и плотности энтропии при нулевой температуре η/= 1/4π (см. недавний обзор), имеющие довольно хорошее согласие с экспериментом RHIC по измерению вязкости кварк-глюонной плазмы, описание сверхпроводников, наблюдение поверхности Ферми в «AdS2-металле», описание эффекта Холла.  И, наконец, наиболее близкое (в смысле желательно описываемой системы) к данной статье — это описание нулевого звука.

Недостающим элементом было голографическое описание континуума Линдхарда, то есть наблюдение сингулярности при двух импульсах Ферми в голографически посчитанной спектральной функции квазичастичных возбуждений Ферми-жидкости. Недавно появившаяся работа Джозефа Польчински и Евы Сильверштейн «Large-density field theory, viscosity and „2kF“ singularities from string duals» — это попытка решить эту задачу.

Система, которую они рассматривают, состоит из N5 NS5 бран и N1 F1-струн. Напомню терминологию. F1-струна, это, конечно, обычная суперструна, или фундаментальная струна. В бозонном секторе мультиплета супергравитации — низшего уровня струнных возбуждений — есть так называемое NS-NS поле Bμν, антисимметричное по своим индексам. Оно получается как антисимметричный сектор непривидомых представлений, в сумму которых разбивается произведение left-movers и right-movers

$$\alpha_\mu|0\rangle_L\times\tilde\alpha_\nu|0\rangle_R$$

Так или иначе, этому полю соответствует врешинный оператор, тоже антисимметричный по двум индексам, и соответственно в эффективном действии вы получаете взаимодействие открытой струны с NS-NS полем

$$S_{NS}\sim\int d^2\tau B_{\mu\nu}\partial^\mu X\cdot\partial^\nu X$$

Так что одна F1-струна имеет NS-NS заряд, равный единице. Соответственно N1 фундаментальных струн имеют такой заряд, равный N1. Если у вас есть струны, и вы хотите посчитать их NS-NS заряд, то вы можете воспользоваться теоремой Гаусса: окружить струны сферой и проинтегрировать поток Ходж-дуальной напряженности H(7) = H(3) = (dB(2)) через эту сферу. Чтобы окружить струну в 9+1 измерениях, вам нужна (9−1−1=7)-сфера, в результате

$$N_1=\int_{S^7}\star (dB_{(2)})$$

Но вы всегда можете задаться вопросом об электромагнитно дуальной системе. Чтобы получить магнитный заряд, вам нужно найти поток Fμν через сферу. В случае точечной частицы в 3+1 измерениях это та же самая сфера, S2 (где 2=3−0−1), что вы используете для того, чтобы проинтегрировать Fμν и найти электрический заряд. В случае фундаментальной струны, вы должны проинтегрировать H(3) по 3-сфере. В  9+1 измерениях 3-сфера окружает (9−3−1=5)-брану. Такая брана называется NS5 брана, ибо она носит магнитный NS5-заряд. Это объект, который электромагнитно сопряжен фундаментальной струне.

К слову, замечу, что другой тип слабо-сильной дуальности в теории струн (типа IIB) — это S дуальность, которая обменивает NS-NS заряд и R-R заряд. Например, фундаментальная струна взаимодействует с NS-NS полем Bμν через лагранжиан, выписанный выше, но вы можете взять тот же лагранжиан, заменить в нем NS-NS поле Bμν на R-R поле Cμν, присутствующее в теории суперструн типа IIB, и вы просто получите лагранжиан взаимодействия D1-браны с R-R полем C(2). Так что S-дуальность обменивает «струнные объекты» и «D-бранные объекты». В том числе S-дуальность обменивает D5- и NS5-браны. Ну и, наконец, электромагнитная дуальность обменивает D1- и D5-браны, что замыкает весь цикл.

Вообще говоря, у вас конечно есть SL(2, Z) группа S-дуальности, которая переводит (p, q) заряд (R-R, NS-NS) в (p', q') заряд (это целочисленная группа, ибо заряды должны быть целыми в силу правила квантования Дирака, и детерминант равен единице, чтобы обратные преобразования тоже давали вам целые заряды).  И дальше вы можете следуя Вафе добавить два измерения, и компактифицировать (11+1)-мерную теорию на 2-тор, для того чтобы сделать группу S-дуальности SL(2, Z) геометрической — это просто будет группа модулярных преобразований тора. Полученная теория в результате задаёт основу F-теории.

Струнная конструкция Польчински и Сильверштейн подразумевает разложение при большой плотности. Что это значит? В AdS/CFT люди обычно берут калибровочную теорию с большим количеством цветов N, и производят разложение корреляционных функций по 1/N. В низшем порядке этого разложения вы просто суммируете все планарные диаграммы (всё то, что вы можете нарисовать на плоскости, когда будете изображать пропагатор калибровочного поля с помощью полоски, где края полоски соответствуют двум индексам калибровочного поля, живущего в присоединённом представлении калибровочной группы). В AdS/CFT существуют определённые соотношения между параметрами калибровочной теории и параметрами дуальной теории струн. Например, в AdS5/CFT4 у вас есть N = 4 суперконформная калибровочная теория поля, и у вас есть AdS5×S5 геометрия, которая создаётся стопкой D3-бран. Радиус кривизны пространства AdS и сферы даётся выражением

$$R^4\sim N\,\ell_s^4\,g_s$$

где $$\ell_s$$ — это струнная длина, и gs — струнная константа связи, связанная с константой связи Янга — Миллса выражением gs ~ gYM2. Наконец, константа связи тХуфта есть λ = gYM2, так что большая константа тХуфта означает, что радиус кривизны AdS значительно больше струнной длины. Все поправки струнной теории возмущений (поправки, учитывающие поля, эффективно описывающие высшие возбуждения струны — то, что лежит выше низшего уровня, дающего мультиплет супергравитации) даются в порядке обратной константы связи тХуфта, а все поправки, связанные со струнными петлями, например петли в теории гравитации, заносятся в категорию поправок, связанных с обратным количеством цветов. Если вы хотите использовать AdS/CFT «по назначению», вам желательно обеспечить дуальную теорию в объёме AdS такой, чтобы это была классическая теория гравитации. Для этого вам нужно добиться того, чтобы радиус кривизны пространства AdS был большим. Тогда вы берёте двойной предел большой константы связи тХуфта и большого количества цветов. 

Польчински и Сильверштейн предлагают сделать радиус кривизны AdS большим введя конечную плотность F1-струн, размазанных по четырем пространственным направлениям мирового объёма NS5-бран. Размазанных означает, что у вас есть конечная плотность струн в четырехмерном подпространстве мирового объёма NS5-бран. Специфика именно этой выбранной конфигурации струнных объектов состоит в том, что струнное решение для неё известно точно, во всех порядках теории возмущений по струнным разложениям. Т.е. тут не обязательно ограничиваться классической супергравитацией — вы можете сказать чему равно голографическое выражение для корреляционной функции тока материи в теории поля точно, решив дуальную теорию струн. Мы вернёмся к этому ниже, а пока посмотрим, как вводится конечная плотность струн.

Для начала, следуя Польчински и Сильверштейн, рассмотрим решение IIA-супергравитации, соответствующее D0-бранам, размазанным в p пространственных измерениях. Итак, пространство-время искривляется энергией (и R-R зарядом) D0-бран. На сколько сильно? Хорошо если не особо сильно, чтобы теория гравитации была слабой и мы могли применить теорию возмущений для струнных петель. Чтобы  сделать оценку величины кривизны в зависимости от плотности ρ0 размазывания D0-бран в p измерениях, и в ~Lp объёме, запишем действие супергравитации

$$S\sim\int\frac{d^{10}x}{\alpha^{\prime 4}}\left(\frac{{\cal R}}{g_s^2}+\frac{|H_{(3)}|^2}{g_s^2}+\sum_{\tilde p}|F_{(\tilde p)}|^2\right),$$

где в IIA супегравитации суммирование осуществляется по R-R полям с нечётным рангом $$\tilde p$$. Если N0 — количество D0-бран, то ρ0~N0/Lp, и $$\inline \int_{S^8}F_{(8)}=N_0\sim L^p\rho_0$$. Здесь мы учли то, что D0-брана является источником для R-R поля C1 с напряжённостью F(2) и для того, чтобы найти полный RR заряд D0-бран мы должны окружить их сферой S8 и проинтегрировать по ней поток Ходж-дуальной напряжённости F(8).

Какую геометрию мы ожидаем получить в качестве решения? Ответ на этот вопрос известен. Понять происхождение этого решения можно следующим образом. Будем следовать идеи матричного подхода к M теории. Как известно, M теория, которая описывает  M2-браны (и магнитно-дуальные к ним M5-браны), может быть сформулирована как матричная квантовая механика, описывающая D0-браны. Матрицы получаются когда вы рассамтриваете эффективные поля, описывающие калибровочный сектор возбуждений открытых струн, соединяющих D0-браны, так что каждый конец струны вводит индекс матрицы. Один из концов струны живёт в фундаментальном представлении калибровочной группы (к нему приписывается индекс зарядов Чана-Патона), а другой — в антифундаментальном (Чан-Патоновский индекс «с чертой»). Таким образом, вы можете описать M2-браны с помощью D0-бран, размазанных по пространству с некоторой конечной плотностью. Но геометрия, создаваемая M2-бранами — это AdS4×S7, так что мы можем обобщить этот результат и заключить, что D0-браны, размазанные по p пространственным направлениям, ведут себя как p-брана, по крайней мере в «нулевом приближении» То есть они создают некоторую «AdS × S» геометрию. В некотором смысле вы можете размазать D0-браны по p = 3 измерениям, и получить решений с геометрией, напоминающей AdS5/CFT4 в знаменитом решении, используемым в AdS5/CFT4 соответствии. Решение даётся уравнением (2.10) в статье Польчински и Сильверштейн.

Если R — это радиус кривизны «AdS × S» геометрии, создаваемой  рассматриваемыми D0-бранами, то мы можем оценить кривизну Риччи как $${\cal R}\sim 1/R^2$$. Эта кривизна создаётся «материей» D0-бран с плотностью ρ0, и потому, сопоставляя члены кривизны (действие Эйнштейна-Гильберта) и материи (действие для R-R поля) в действии супергравитации, мы получаем

$$R^{7-p}\sim g_s\rho_0$$

Восстанавливая струнную дину, получаем

$$(R/\ell_s)^{7-p}\sim g_s\ell_s^p\rho_0\quad\Rightarrow\quad R^{7-p}\sim g_s\rho_0\ell_s^7$$

Таким образом, можно добиться большого радиуса кривизны R и потому пертурбативного режима теории в объёме, введя большую плотность D0-бран ρ0. Сравнивая это выражение со стандартным выражением из AdS5/CFT4, приведённым выше,

$$R^4\sim N_c\,\ell_s^4\,g_s$$

замечаем, что количество цветов Nc калибровочного сектора дуальной теории поля больше не должно быть большим для того, чтобы мы могли применить теорию возмущений с петлями струн в дуальной теории гравитации (хотя планарный подход тХуфта разумеется оказывается утерянным, что не важно, судя по всему, ибо мы всё равно исследуем теорию поля голографически). И мы не считаем что константа связи тХуфта бесконечно большая (что обычно используется для применении теории возмужений по струнным возбуждениям), ибо мы знаем, что в той системе, которую мы в конце концов хотим рассмотреть, пертурбативное решение по всем струнным возбуждениям и так известно точно.

Стоит заметить, что большая плотность D0-бран, разумеется, в некотором смысле эффективно тоже подразумевает большое количество цветов. Это легко увидеть если применить аналогию с матричной теорией струн, приведённой выше: вы всегда можете рассмотреть открытые струны, прикреплённые к D0-бранам, и низший уровень возбуждения таких струн эффективно описывается полями суперсимметричной калибровочной теории. Так что в данном примере с D0-бранами в некотором смысле большое количество цветов всё равно присутствует. Однако, теория, которую рассматривают Польчински и Сильверштейн, на самом деле описывает конечную плотность фундаменатальных струн, к которым уже никакие струны не прикрепляются.

Важным следствием AdS/CFT является возможность описывать взаимодействующую материю. Сами по себе D3-браны AdS5/CFT4 соответствия дают калибровочные поля, описывающими эффективно открытые струны, которые начинаются на одной из Nc D3-бран и заканчиваются, вообще говоря, на другой D3-бране. Чтобы добавить материю — возбуждение открытых струн в фундаментально представлении калибровочной группы — можно, например, ввести пробные браны в AdS5×S5 геометрии цветовых D3-бран.  Несколько таких бран добавляет ароматную симметрию к теории. Полчински и Сильверштейн вместо этого рассматривают конечную плотность Dp-бран (на примере D0-бран, описанном выше) и конечную плотность F1-струн. В дуальной теории поля это соответствует конечной плотности материи.

В таком подходе мы, наоборот, начинаем с материи, которую теперь хотим заставить взаимодействовать. В AdS/CFT есть так называемый семиголографический метод, позволяющий это осуществить. Суть метода состоит в том, что вы считаете часть пропагаторов голографически с помощью теории в объёме, и потом прикрепляете теорию к калибровочным полям, с известным теоретико-полевым пропагатором. Существенным элементом является большое количество цветов — только тогда вы можете точно просуммировать все возможные диаграммы взаимодействия сектора материи и калибровочного сектора (эффект факторизации при больших N). Нечто подобное было применено  для N = 4 плазмы. Применимость этого метода к системе Польчински и Сильверштейн однако довольно сомнительна, ибо количество цветов в их модели вовсе не является большим.

Просто ввести цветовые браны тоже не правильно, ибо тогда цветовые браны тоже будуте искривлять геометрию, и малая константа связи в теории струн будет требовать большого количества цветов, так же как и в AdS5/CFT4, где вам нужно рассмотреть предел больших Nc, чтобы получить большой радиус кривизны R и малую константу струнного взаимодействия gs. Польчински и Сильверштейн считают, что цветовые браны, которые вы добавляете в теории помимо размазанных бран, существенны для геометрии ровно на столько на сколько и размазанные браны. Если это так то действительно, количество цветовых бран должно быть большим, а Польчински и Сильверштейн избегают этого требования.

Вместо всего этого они вводят N5 количество NS5-бран. Сопоставляя член Эйнштейна-Гильберта $${\cal R}/g_s^2$$ и член NS-NS материи $$|H_{(3)}|/g_s^2$$, где $$H_{(3)}\sim N_5/R^3$$, получаем $$R^2\sim N_5$$. Далее, т.к. $$H_{(7)}\sim \rho_1/R^3$$, то сопоставляя этот член с членом Эйнштейна-Гильберта, получим $$g_s\sim R^2/\rho_1$$. Восстанавливая единицы изерения (восстанавливая струнную длину $$\ell_s=\sqrt{\alpha'}$$), находим

$$R^2\sim N_5\alpha’\,,\quad\quad g_s^2\sim\frac{N_5}{\rho_1\alpha^{\prime 2}}$$

где ρесть плотность размазывания F1-струн по 4х-мерному подпространству мирового объёма NS5-бран. Большая плотность ρ1 обеспечивает одновременно сильное взаимодействие материи в теории поля и малость струнной константы взаимодействия gs, в то время как N5 ~ 1. И что самое главное, струнное решение такой системы, создающей геометрию AdS3×T4×S3 (в инфракрансом режиме: «около горизонта» чёрной браны, в то время как в ультрафиолетовом режиме это так называемая little string theory) точно известно. Фундаментальные струны размазаны по T4 подпространству, радиус тора впоследствии устремляется к бесконечности, давая четыре некомпактных измерения теории поля с конечной плотностью материи в них.

Одна из основных идей статьи Польчински и Сильверштейн состоит в том, что сингулярности известных голографических корреляционных функций при конечно импульсе вдоль T4 могут быть проинтерпретированы как 2kF сингулярности в ферми-жидкости — которые я упомянул здесь в самом начале в связи с обсуждением континуума Линдхарда. Другим результатом является то, что отношение вязкости к плотности энтропии, посчитанное голографически в данной модели, не получает никакие поправки за пределами классической супегравитации. Интересно, что данные результаты не зависят от конкретного значения частоты (сингулярность точно в 2kF имеет место только при нулевой частоте, в то время как при увеличении частоты значение импульса при котором корреляционная функция сингулярна тоже увеличивается), и что дуальная система не обладает нулевым звуком.

Я пока не вижу никаких однозначных аргументов, которые бы указывали независимым образом на то, почему струнная конструкция Польчински и Сильверштейн не поддерживает коллективных возбуждений. Вот некоторые соображения по этому поводу. Геометрия AdS3×T4×S3 создаётся N5 NS5-бранами, и N1 F1-струнами, причём струны «протянуты» вдоль одного из пространственных направлений NS5-бран. Решая такую теорию струн мы рассматривает (1+1)-мерную CFT на мировой поверхности струны. Т.е. вы можете начать с теории F1-струны (нескольких таких струн, введя некий произвольный уровень WZW модели, описывающей бозонный сектор суперструны, и соответствующий количеству F1-струн), добавив к ней NS5-брану, которая в силу электро-магнтиной дуальности возникает естественным образом. И дальше решать теорию струн пертурбативно. На уровне супегравитации можно провести следующую аналогию: в то время как стопка чёрных 3-бран создаёт AdS3+2 геометрию (умножить на сферу), F1-струны создают AdS1+2 геометрию (умножить на сферу и на тор). Суммирование размерности тут это не обозначение для сигнатуры метрики а просто сопоставление размерности AdS и размерности бран. Отличие случая с D3 бранами от данного случая состоит в том, что для D3-бран не известно точно струнное решение — так что ограничиваются супергравитацией в AdS5×S5, в то время как теория струн в AdS3 решается точно.

В то время как в случае AdS5 геометрии мы рассматриваем дуальную теорию поля в CFT4 на границе AdS, в данном случае фундаментальных струн дуальная CFT на границе AdS есть CFT2, но мы рассматриваем теорию поля в 6+1 измерениях мирового объёма NS5-бран. И затем конечная плотность — плотность струн — имеется только в T4 направлениях (в которых производятся вычисления корреляционных функций для тока и для тензора энергии-импульса), в то время как в двух направлениях CFT на границе AdS такой конечной плотности вовсе нет. Я бы ожидал что нулевой звук появился бы именно в этих направлениях, но так как там нет конечной плотности, то это не представляется возможным.

Другой спецификой построения Польчински и Сильверштейн является то, что их плотность в дуальной ферми-жидкости не может флуктуировать, и потому в таком описании невозможно получить нулевой звук. Действительно, в классическом применении AdS/CFT конечная плотность материи в теории поля соответствует потоку электромагнитного потенциала в объёме, так что динамика потока (малые флуктуации) в объёме описывают флуктуации плотности в теории на границе. В то время как конфигурация Польчински и Сильверштейн кажется «фиксированной» в этом отношении.

Обсудим некоторые шаги, которые приводят Польчински и Сильверштейн от теории струн, решённой точно в AdS3, к двухточечным функциям в (6+1)-мерной little string theory на  AdS3×T4×S3. Теория суперструн описывает поля конформной теории поля CFT1+1 на мировом объёме струны. В теории бозонной струны на AdS3 (дающей те же резултаты касательно корреляционных функций, что и суперструна на AdS3) вы записываете действие Полякова с пространством отображения, имеющим геометрию AdS3. Естетсвенный способ сформулировать такую теорию — это записать WZW действие SL(2, R) сигма-модели с элементами

$$g=\left({{X_{-1}+X_1}\atop {-X_0-X_2}}\;{X_0-X_2\atop X_{-1}-X_1}\right)\quad X_{-1}^2+X_0^2-X_1^2-X_2^2=1$$

Последнее равенство определяет AdS2+1. Хорошо, дальше вы решаете теорию пертурбативно. Как я заметил выше, уровень WZW модели соостветсвенно переформулируется как количество N5 NS5-бран. Физическая интерпретация проста — чем больше бран, тем тяжелее и «классичнее» теория, соответсвенно множитель перед действием (уровень WZW модели) увеличивается пропорционально. Далее, AdS3 теперь находится в прямом произведении с S3 и T4, так что полный вершинный оператор струнных возбуждений есть произведение вершинных операторов в трёх подпространствах. И потому конформная размерность операторов струнных возбуждений есть сумма конформных размерностей в этих трёх подпространствах. Согласно теории струн в AdS3 вклад AdS в конформную размерность есть

$$\Delta_{ws}=-\frac{2j(j-1)}{N_5}$$

где j ∈ (1/2, (N5+1)/2) описывает вершинный оператор Φj в AdS (ниже будет сопоставлен с конформной размерностью дуального оператора в теории поля, и потом с импульсом возбуждения в теории поля). Индекс «ws» означает. что это конформная размерность в CFT на мировом листе струны. Конформная размерность первичного оператора Φ(z) — это собственное значение оператора алгебры Вирасоро L0 (для left-movers заменить на L˜0) при соответствующем состоянии $$\inline |\Phi\rangle=\lim_{z\rightarrow0}\Phi(z)|0\rangle$$. Одновременно это соотношение переформулируется как условие физичности состояния

$$(L_0-1)|\Phi\rangle=0,\quad\quad (\bar L_0-1)|\Phi\rangle=0$$

В случае струны в плоском пространстве отображения вы просто получаете отсюда выражение для спектра возбуждений струны,

$$\alpha'M^2=N_L-1=N_R-1$$

в то время как в случае струны на AdS3×T4×S3 с учётом «плоского» выражения на торе

$$\Delta _{ws,T^4}=\frac{q^2\alpha'}{2}+2,$$

вы получаете условие физичности струнных состояний в форме

$$-\frac{2j(j-1)}{N_5}+\frac{q^2\alpha'}{2}+\Delta_{ws,S^3}=2$$

Если на сфере S3 импульс равен нулю, то в результате получаем

$$j=\frac{1}{2}(1\pm\sqrt{1+N_5q^2\alpha'})$$

Это как раз половина конформной размерности скалярного оператора

$$\Delta _\pm=\frac{d}{2}\pm\sqrt{\frac{d^2}{4}+m^2R^2}$$

в AdS/CFT (d = 2 для  AdS3). Половина — это вклад либо от left-movers, либо от right-movers. Так что можно заключить, что оператор Φj описывает голографически дуальный оператор $${\cal O}$$ с конформной размерностью

$$\Delta=2j=1\pm\sqrt{1+N_5q^2\alpha'}.$$

Это довольно универсальный результат, когда он применяется к произвольному оператору с индексами в направлении T4: такой оператор является скаляром для двумерной CFT, дуальной AdS3. Все соотстветствующие двухточечные корреляционные функции пропорциональны

$$\text{Im}(G_j^R)\sim \hat B(j)\sim \Gamma\left(1-\frac{2j-1}{N_5}\right)$$

Гамма-функция сингулярна, когда j → (N5+1)/2, что в силу условия физичности состояния приведённого выше означает, что

$$q=q^\star= \left(\frac{N_5}{4}-\frac{1}{4N_5}\right)\frac{1}{\alpha'}\simeq g_s\sqrt{\hat\rho_1}\left(\frac{\sqrt{N_5}}{4}-\frac{1}{4N_5^{3/2}}\right)$$

Импульсы всех возбуждений рассматриваются вплоть до этого предела, который таким образом интерпретируется как 2kF. Заметим, что конечность N5 существенна для наблюдаемости этой сингулярности.

Ключевые слова: AdS/CFT, AdS/CMT | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Голографическая перенормировка (3)

4 мая 2011 года, 14:19

Предыдущий пост был закончен обсуждением деформации конформной теории поля на границе неким неконформно-инвариантным членом взаимодействия и обсуждением того как несущественные (неперенормируемые) члены взаимодействия проявляют себя с гравитационной стороны в объеме. Итак, если мы деформируем лагранжиан теории поля на границе неконформным членом взаимодействия $${\cal O}$$ то ясно, что для того чтобы генерирующий функционал AAdS/QFT соответствия $$\exp(\varphi{\cal O})$$ был скаляром, необходимо чтобы поле мультиплета супергравитации φ (дуальное $${\cal O}$$) было скаляром.

В случае супергравитации в d=5 имеется 42 скаляра. Чтобы это понять, нужно вспомнить, какие поля имеются в супергравитации типа-IIB в AdS5×S5, и потом совершить КК редукцию на сфере S5. Итак, мы имеем суперсимметричный полевой состав 128+128. Здесь 128 бозонов (это 35 степеней свободы гравитона, 28 степеней свободы поля B2, 1 дилатон) и RR поля (1 компонента поля С0, 28 компонент поля C2 и 35 компонент поля C4 (половина от 70 из-за условия самодуальности соответствующего тензора напряженностей F5)). Далее, при КК редукции на сферу S5 все индексы этих пяти редуцированных направлений редуцируются, в результате чего генерируются скаляры. Каждому из этих скаляров соответствует один из 42 скаляров теории YM на границе. Например, дилатон φ и аксион C0 соответствуют кинетическому члену Λ*F и топологическому члену Λ F теории на границе соответственно.

Метрика генерирует 15 скаляров, параметризующих группу внутренних симметрий SO(6) ~ SU(4). Соответственно действие N=8 D=5 супергравитации в AdS5 выглядит следующим образом:

$$S=\cfrac{1}{16\pi G_{5}}\int d^5x\sqrt{-g}[{\cal R}+\frac{12}{R^2}-G_{ij}\partial_\mu\varphi^i\partial^\mu\varphi^j-V(\varphi)+\cdots].$$

Чтобы посчитать что-то конкретное (см. Kiritsis, String theory in a nutshell, 13.12.2) оставим только один скаляр, соответсвующий оператору $${\cal O}$$, добавленному к лагранжиану. Итак, рассмотрим действие в объеме

$$S=\cfrac{1}{16\pi G_5}\int d^5x\sqrt{-g}[{\cal R}-2\partial_{\mu}\varphi\partial^{\mu}\varphi-V(\varphi)]$$

с наиболее общей метрикой, обладающей 4d Пуанкаре-инвариантностью:

$$ds^2=d\gamma^2+e^{2A(\gamma)}(-dt^2+dx\cdot dx).$$

Можно вернуться к AdS метрике в координатах Пуанкаре если заменить = eγ/R и подставить A(γ) = γ/R. Горизонт (т.е. то, что является границей, отделяющей половину AdS, покрываемую координатами Пуанкаре, от другой половины, см. рисунок здесь) соответсвует γ = ∞, а граница = 0 соответствует γ = . Если A(γ) → γ/R при γ → , то пространство является асимптотически AdS, т.е. AAdS. Такой анзатц соответсвует тому, что теория на границе является N=4 SYM CFT в ультрафиолете (E → ∞ соответсвует z → 0 или γ → ). Действие переписанное для предложенного азатца выглядит следующим образом (знак перед потенциалом правильный :) )

$$S=\frac{1}{16\pi G_5}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!d\gamma\,e^{4A}[2(\varphi')^2-12(A')^2+V(\varphi)].$$

В 4d суперсимметричных теориях потенциал скалярного поля выражается через суперпотенциал следующим образом:

$$V(\varphi)=\frac{4}{R^2}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial\varphi}\right)^2-\frac{4}{3}W^2\right].$$

В данном случае это удобство обозначения, однако стоит напомнить, что суперпотенциал это голоморфная функция киральных суперполей, что обеспечивает суперсимметричность F-члена действия ∫d2θ W(Φ). Далее, после того как исключаются нединамические вспомогательные скалярные компонентные поля суперполя Ф, в компонентном действии остается потенциальный член V, выраженный через суперпотенциал как указано выше.

Хорошо, переписываем действие используя понятие суперпотенциала:

$$S=\frac{1}{16\pi G_5}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\gamma e^{4A}\left[2\left(\varphi'\pm\frac{1}{R}\frac{\partial W}{\partial\varphi}\right)^2-12\left(A'\mp\frac{2}{3R}W\right)^2\right]\mp\frac{1}{4\pi G_5R}e^{4A}W|_{\gamma=-\infty}^{\gamma=+\infty}$$

и записываем уравнения движения

$$A'=-\frac{2}{3R}W\,,\quad\quad\varphi'=\frac{1}{R}\frac{\partial W}{\partial\varphi}\,.$$

Эти уравнения представляют собой специальные уравнения, экстремизирующие действие, ибо они являются уравнениями первого, а не второго порядка. Мы выбрали именно специальное решение, ибо мы хотим сравнить динамику в объеме в зависимости от радиальной координаты с RG потоком на границе, а уравнения RG есть уравнения первого порядка (т.е. необратимы, потому RG есть не вполне группа, ибо не имеет обратного преобразования).

Ключевые слова: AdS/CFT, квантовая теория поля | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Голографическая перенормировка (2)

1 мая 2011 года, 12:58

Продолжим изучение перенормировок в квантовой теории поля, в данном посте — методом AdS/CFT соответствия (Holographic renormalization group — HRG). Напомню, что в предыдущем посте был сформулирован Вильсоновский подход к теории перенормировок, при котором функциональный интеграл разбивается на высокоэнергетическую bΛ < |k| < Λ и низкоэнергетическую |k| < bΛ части, причем явное интегрирование по высокоэнергетическим модам дает эффективную низкоэнергетическую теорию с эффективными константами, зависящими от b. Вопрос в том, что происходит при этом с дуальной (согласно AdS/CFT соответствию) супергравитацией в = 5 пространстве-времени.

Другая мотивация к исследованию HRG состоит в том, что AdS/CFT соответствие позволяет описывать дуальным образом гравитацию в AdS, в то время как не очевидно как перейти к дуальному без-гравитационному полевому описанию гравитации в другом фоне. На самом деле существенным для дуальности является наличие границы (которую можно иногда и руками добавить, на самом деле) пространства-времени, и потому ближайшим расширение AdS является AAdS (см. ниже) — тоже пространство, топологически эквивалентное шару, отличающееся от AdS фактором искривления (warp factor) вдали от границы. При этом дуальная теория поля не CFT, а просто QFT.

Разумеется мотивацию предыдущего абзаца можно обратить и заинтересоваться в первую очередь описанием гравитационным образом неконформной теории поля.

1. Начнем с напоминания наиболее распространенного примера AdS/CFT соответствия, т.е. соответствия между теорией суперструн в AdS5×S5 и= 4 теорией супер Янг-Миллса. Последняя конформно-инвариантна, поэтому не зависит от энергетического масштаба b. Кроме того скейлинговое преобразование CFT соответствует рескейлингу радиальной координаты z. А именно ~ 1/z. Детали я описал в предпоследнем пункте здесь. Таким образом конформная инвариантность теории на границе напрямую связана с голографической природой радиальной координаты z.

Допустим теперь, что теория на границе — просто QFT, не обязательно конформно-инвариантная. Ясно, что при этом дуальная гравитация живет не в AdS5×S5. Некоторые исследования были проведены для AAdS — асимптотически AdS фона. Асимптотически — т.е. AdS при приближении к конформной границе, наличие которой является существенной для рассмотрения дуальной QFT. Теперь параметры QFT (константы и напряженности) зависят от масштаба b. По-прежнему энергетическому масштабу QFT соответствует радиальная координата в объеме. Соответствие между гравитацией и теорией поля при этом приобретает более утонченный характер — теперь значение радиальной координаты z существенно с точки зрения соответствия тому или иному энергетическому масштабу теории поля на границе. Доказательство дано в п. 3 ниже.

2. Следуя работе Heemskerk, Polchinski «Holographic and Wilsonian renormalization groups» разобьем интеграл по путям теории супергравитации в объеме на участки z < l, z l, z > l, где l — некое данное расстояние до границы AAdS:

$$Z=\int{\cal D}\varphi e^{-\kappa^{-2}S}=\int{\cal D}\varphi|_{z>l}{\cal D}\tilde\varphi{\cal D}\varphi|_{z<l}e^{-\kappa^{-2}S|_{z>l}-\kappa^{-2}S|_{z<l}}$$

где $$\tilde\varphi ^i=\varphi^i(l,x)$$ есть значение рассматриваемых полей мультиплета супергравитации при z = l. Такое разбиение прямо соответствует Вильсоновскому разбиению после введения масштаба b. Соответственно формула, постулируемая для вычисления корреляционных функций в AdS/CFT соответствии здесь, обобщается для AAdS/QFT соответствия следующим образом:

$$\left\langle\exp\left(\frac{1}{\kappa^2}\int d^dx\tilde\varphi^i(x){\cal O}_i(x)\right)\right\rangle_{b\Lambda<1}=\int{\cal D}\varphi |_{z>l}e^{-\kappa^{-2}S|_{z>l}}$$

где как обычно

$$\left\langle\exp\left(\frac{1}{\kappa^2}\int d^dx\tilde\varphi^i(x){\cal O}_i(x)\right)\right\rangle_{b\Lambda<1}=\frac{1}{{\cal Z}}\int{\cal D}M_{b\Lambda<1}\exp\left(-S_0+\frac{1}{\kappa^2}\int d^dx\tilde\varphi^i(x){\cal O}_i(x)\right)$$

Здесь M - поля QFT, $${\cal O}$$ — построенные из них калибровочно-инвариантные операторы, дуальные полям в объеме φ.

3. Таким образом видно, что как и в случае AdS/CFT соответствия мы исходим из постулирования того факта, что поля в объеме «взаимодействуют» (то есть влияют количественно на дуальность) с полями на границе посредством простейшего члена через граничные значения. В то время как в AdS/CFT соответствии эти граничные значения берутся в z = 0, в AAdS/QFT соответствии они берутся в = l, причем l может меняться. Таким образом изменение значения полей супергравитации φi|z=l соответствует изменению константы связи «членов взаимодействия» с операторами $${\cal O}_i$$ дуальной теории поля.

Вот как проявляется голографическая перенормировка: каждой константе связи теории поля соответствует скалярное поле в объеме, причем изменение величины скалярного поля в зависимости от радиальной координаты z соответствует изменению эффективной константы связи в зависимости от диапазона изменения энергии распространяющихся мод теории поля.

4. Далее будем следовать книге Kiritsis, String theory in a nutshell. Допустим мы хотим деформировать конформную теорию поля на границе и посмотреть как эта деформация отражается на супергравитации в объеме. Итак, к действию S0 конформно-инвариантной теории на границе мы добавляем неинвариантный относительно конформных преобразований член, выраженный через оператор $${\cal O}$$ с конформной размерностью Δ. В результате получаем действие

$$S=S_0+\mu\int d^4x{\cal O}(x)$$

квантовой теории поля, не обязательно конформно инвариатной. Если Δ ≠ 4, то теория с действием S не является конформно инвариантной и константа связи μ размерна. А именно, если Δ > 4, то μ < 0 и соответствующий член взаимодействия является несущественным в соответствии с классификацией в предыдущем посте о перенормировках. Такое взаимодействие расходится в UV и неперенормируемо (т.к. перенормируемое взаимодействие должно иметь бесконечные перенормированные константы связи в IR и конечные в UV). С другой стороны допустим скалярное поле φ как указано выше соответствует оператору $${\cal O}$$ «через» свое значение на границе φ0. Тогда постольку поскольку вблизи границы пространство-время в объеме все равно AdS, то решая там уравнение Лапласа для безмассового скалярного поля получаем

$$\varphi(z,x)\sim z^{4-\Delta}\varphi_0(x)+z^\Delta\langle{\cal O}\rangle.$$

Ясно тогда, что несущественному оператору теории поля соответствует скалярное поле расходящееся на границе z = 0, т.е. в объемной части соответствующей UV на границе. Чтобы иметь конечные генерирующие функционалы $$\sim\exp(\varphi(z){\cal O})$$ нужно выбрать φ0 бесконечно малым, что очевидно уничтожит генерирующий функционал соответствия в UV, т.е. в z = 0. Разве что таких полей будет бесконечно много, что соответствует бесконечному числу контрчленов неперенормируемых теорий.

***

В следующем посте проделаем некоторые конкретные вычисления RG потока в объеме.

Ключевые слова: гравитация, квантовая теория поля, геометрия, AdS/CFT | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

DBI действие для D3-браны и AdS/CFT соответствие

31 марта 2011 года, 20:13

Продолжим изучение AdS/CFT соответствия. В этом посте продолжим изучать аспекты описания действия для D3-браны, геометрии решения D = 10 супергравитации, являющегося черной 3-браной, и как все это связано с AdS/CFT соответствием. Некоторые вещи повторю из того, что уже было ранее в вводном посте про AdS/CFT, но под несколько иным углом и подробнее.

1. В первом посте про AdS/CFT я уже показал, что = 10 супергравитация имеет решение, представляющее собой прямой аналог черной дыры Рейснера-Нордстрема, т.е. заряженной черной дыры. Это решение есть черная p-брана. Ясно из соображений симметрии, что постольку поскольку исходная симметрия плоского десятимерного пространства-времени образует группу Лоренца SO (1, 9), то p-брана оставляет SO (1, p) × SO (9 − p) симметрий, в то время как остальная часть бозонных симметрий группы Лоренца оказывается спонтанно нарушенной. Симметрия SO (9 − p) есть просто аналог сферической симметрии черной дыры. Например, в = 4 пространстве-времени 9 надо заменить на 3 (число пространственных измерений), а p на 0, в результате получаем известную SO (3) симметрию геометрии статической черной дыры.

2. Далее рассмотрим вопрос в том, сколько суперсимметрий сохраняет черная p-брана. В теории суперструн типа-II, с которой мы имеем здесь дело, мы начинаем с = 2,= 10 суперсимметрии, то есть с 2 × 16 = 32 суперзарядов. Как известно (см. задачи здесь и здесь), Dp-брана сохраняет половину исходных суперсимметрий, так что мы остаемся с 16 суперзарядами. Теперь вопрос в том, сколько симметрий сохраняет черная p-брана. Если отождествить экстремальную черную p-брану и Dp-брану, то есть если считать, что Dp-брана (введенная как носитель RR-заряда, источник замкнутых струн и объект, на котором могут заканчиваться открытые струны) на самом деле также является сферически-симметричным и заряженным решением уравнений супергравитации, то вывод о половине сохраняемых суперсимметрий Dp-браны на языке p-браны переформулируется в терминах экстремальности этого решения. Тут опять вспоминаем про черную дыру Рейснера-Нордстрема. Существует три вида соотношения между ее массой и зарядом. В подходящих единицах масса либо равна заряду (и тогда черная дыра называется экстремальной), либо больше заряда (тогда — неэкстремальной). Если масса меньше заряда, то черная дыра имеет голую сингулярность и запрещена принципом космической цензуры Пенроуза (сформулированным им для нашей D = 4 космологии, и как я слышал, :) недавно опровергнутым контрпримером в D = 3), который гласит, что унитарная космологическая эволюция не может породить из обычного исходного состояния некое состояние с голой сингулярностью, которое таким образом будет приводить к непредсказуемой эволюции. Так или иначе, оказывается, что если посчитать температуру излучения Хокинга для экстремальной черной дыры, то она окажется равной в точности нулю. Это означает, что такая черная дыра не испаряется.

3. Прокомментируем этот момент подробнее. Для начала нужно вспомнить, как описывать квантовые объекты термодинамическим образом. Если у нас есть изолированная квантовая система, то ее эволюция определяется уравнением Шредингера. Допустим, что наша квантовая система находится в состоянии термодинамического равновесия, например черная дыра и ее равновесное планковское излучение с температурой Хокинга. Теперь нужно провести связь между этими двумя аспектами описания системы. Для этого вспомним, что амплитуда перехода системы из одного состояния в другое определяется фейнмановским интегралом по путям. Записанная так амплитуда является статистической суммой системы (пока что используем этот термин без отношения к термодинамике):

$$Z=\int {\cal D}\phi e^{-iHT}.$$

Тут система переходит из начального состояния в момент времени = 0 в конечное в момент времени = T. Наша система просто переходит из одного своего макроскопического состояния в то же самое состояние по всем возможным путям. Если считать статсумму уже с термодинамическими целями, то нужно просуммировать по всем этим стационарным состояниям:

$$Z=\sum _ne^{-\beta E_n}=\sum _n\langle n|e^{-\beta H}|n\rangle .$$

Теперь замечаем, что среднее от экспоненцированного гамильтониана есть просто амплитуда перехода из одного состояния в то же самое состояние, определяемый квантовой статсуммой за время = −i/β, или евклидово время T = 1/β. Таким образом, чтобы посчитать обычную термодинамическую статсумму, можно позволить системе проэволюционировать между одним и тем же стационарным состоянием за время, равное температуре (в подходящих единицах), и просуммировать по всем этим стационарным состояниям. Термодинамическая статсумма оказывается при этом в точности равной фейнмановскому интегралу по траекториям за конечное время = 1/β, после суммирования по всем начальным (совпадающим с конечными) состояниям.

Итак, если мы имеем некую квантовую физическую систему, то ее температура равна периоду ее евклидова времени. Как получить этот период? Возьмем, например, евклидову шварцшильдову черную дыру в сферически симметричных координатах. Введем координату вблизи горизонта: r = rH(1 + ρ2). Метрика при малых ρ примет вид

$$ds^2\sim 4r_H^2\left(d\rho ^2+\rho ^2\left(\frac{d\tau}{2r_H}\right)^2+\frac{1}{4}d\Omega _2^2\right).$$

Самое главное, что мы видим из этой метрики четырехмерного евклидова пространства, так это то, что время периодично с периодом β = 4πrH.

Однако, если взять метрику заряженной экстремальной черной дыры Рейснера-Нордстрема и применить к ней вышеописанную процедуру, то окажется, что период Евклидова времени равен бесконечности, а потому температура — нулю. Это есть содержание задачи 11.5 BBS.

4. Стабильность имеет прямое отношение к равенству массы и заряда, которое делает невозможным одновременный распад дыры и сохранение заряда и энергии-импульса. В то же время равенство массы и заряда есть BPS-условие для Dp-браны, как я тоже писал в первом посте про AdS/CFT, так что стабильность Dp-браны, или экстремальной черной p-браны, имеет также прямое отношение к сохранению половины суперсимметрий пространства-времени.

Будем следовать параграфу 11.2 книги E. Kiritsis «String Theory in a Nutshell» (сайт с халявными книгами перестал работать, возможно временно, так что если нужна книга, напишите об этом в комментариях). Упростим рассмотрение там до очевидного примера. Начнем с суперсимметричной частицы массы M и заряда q, насыщающей BPS-ограничение, то есть = q. Пусть эта частица распадается на составляющие части с массами mi и зарядами qi. Если частицы разлетаются (как в излучении Хокинга), то

$$M>\sum m_i.$$

При этом BPS-ограничение на каждую конечную частицу и BPS условие для исходной частицы дают

$$q>\sum q_i,$$

в противоречии с законом сохранения заряда. В цитированной книге не накладывается условие необходимости разлета частиц, а используются более тонкие аргументы с особенностями фундаментальных значений модулярного параметра суперсимметричной теории, присутствующем в формуле для BPS ограничения.

Действие Борна-Инфелда

Рассмотрим Dp-брану в некотором пространственно-временном фоне с метрикой gμν. Пусть σα есть координаты мирового объема Dp-браны, поэтому α = 0, ..., p. Запишем действие Намбу-Гото для Dp-браны, максимизирующее мировой объем:

$$S_1=-T_{Dp}\int d^{p+1}\sigma[-\det(G_{\alpha\beta}+kF_{\alpha\beta})]^{1/2}.$$

В формуле фигурирует индуцированная метрика на мировом объеме: Gαβ = gμναXμβXν. Ясно, что динамическими полями являются координаты вложения Xμ, которые полностью определяют метрику на бране. Далее в формуле фигурирует Максвелловский тензор напряженностей Fαβ. Замечу, что в действии Намбу-Гото для струны, которое эквивалентно действию Полякова, такого объекта нет. Это связано с тем, что на струне Полякова (называемой фундаментальной струной, или F-струной) не могут оканчиваться другие струны, в то время как на одномерной D1-бране (называемой D-струной) — могут по определению D-браны. Почему D-брана содержит Максвелловское поле на мировом объеме, а фундаментальная струна нет? Есть несколько способов ответить на этот вопрос, и один из них — требование суперсимметрии (p + 1)-мерной теории, а именно — для обеспечения восьми физических бозонов (ибо мы уже имеем 8 физических киральных фермионов), что образует максимально-суперсимметричную теорию Максвелла с 16 сохраняющимися суперзарядами. Но мы пока не ввели суперсимметрию для описания Dp-браны. На бозонном уровне главная причина наличия Максвелловского поля есть T-дуальность. На самом деле именно благодаря T-дуальности мы генерируем низкоразмерные Dp-браны (т.е. не D9-брану, заполняющую все пространство-время и гарантирующую Неймановские условия для открытых струн по всем координатам), стартуя из Неймановских открытых струн. Поэтому многие свойства Dp-бран связаны именно с T-дуальностью. И наличие Максвелловского поля на мировом объеме — одно из них. Действительно, совершив преобразования T-дуальности по всем p направлениям вдоль Dp-браны, то есть по всем направлениям в которых граничные уловия Неймановские, мы свернем все эти направления и получим D0-брану. Теперь все граничные условия есть граничные условия Дирихле. Вопрос в том, в какую именно точку прежнего (p + 1)-мерного мирового объема осядет D0-брана? То есть, как в прежнем, до-дуальном описании Dp-браны, содержится информация об этой точке. Ясно, что ответ — это наличие некоторого поля на мировой поверхности, а именно — абелева векторного поля Aα. Абелева — потому что соответствует коммутирующим координатам, векторного — потому что соответствует координатам в векторном представлении группы Лоренца на мировом объеме.

Теперь наконец можно перейти к суперсимметричной теории. Также как и в теории суперструн Грина-Шварца (см. начало главы 5 BBS, если интересны детали) сделаем замену

$$\partial_\alpha X^\mu\rightarrow\Pi_\alpha ^\mu=\partial_\alpha X^\mu-\bar\Theta^A\Gamma^\mu\partial_\alpha\Theta^A,$$

где ΘA (A = 1, 2) есть 16-компонентные Майорана-Вейлевские спиноры десятимерного пространства-времени. Следующий этап суперсимметризации — это переход

$$F_{\alpha\beta}\rightarrow{\cal F}_{\alpha\beta}=F_{\alpha\beta}+b_{\alpha\beta},$$

где

$$b=(\bar\Theta^1\Gamma_\mu d\Theta ^1-\bar\Theta^2\Gamma_\mu d\Theta^2)(dX^\mu-\frac{1}{2}\Bar\Theta^A\Gamma^\mu d\Theta^A).$$

Каждая из величин Gαβ и Fαβ теперь суперсимметрична относительно 32 суперзарядов. Так что пока это еще не вполне Dp-брана, она слишком суперсимметрична для того, чтобы 16-суперсимметричные открытые струны могли на ней заканчиваться. Второй член, снижающий количество сохраняемых суперсимметрий до 16-ти, есть член Черна-Саймонса, удобно записываемый как интеграл по (p + 2)-мерному пространству M, содержащему мировой объем WV рассматриваемой Dp-браны в качестве своей границы, от формы dΩp+1:

$$S_2=\int\limits_Md\Omega_{p+2}=\int\Omega_{WV}.$$

Этот член суперсимметричен сам по себе, однако с его наличием полное действие приобретает κ-симметрию, делающую половину фермионных координат калибруемыми. В результате в мировом объеме Dp-браны остается 16 суперсимметрий, и любая теория суперструн (или супергравитации), записанная в метрике, создаваемой Dp-браной, будет содержать 16 спонтанно нарушенных суперсимметрий.

В бозонной теории член S2 переходит просто в

$$S_2=\mu_{p+1}\int C_{p+1},$$

где Cp+1 есть RR-поле, а μp+1 — соответствующий RR-заряд. Подчеркну, что для перехода к классическим теориям именно такое действие и рассматривается, ибо весь фермионный фон кладется равным нулю.

Напоследок замечу, что построенное действие называется DBI действием (помимо Борна и Инфелда — еще Дирак).

Практика

Задача (12.9 из BBS).

Рассмотрим действие Борна-Инфелда для одной пробной D3-браны в AdS5×S5 фоне. Покажите, что когда метрика выражается в терминах координаты u = r/α′, зависимость от α′ аннулируется. Каково значение этого результата?

Хорошо, как мы знаем, SO (1, 3) × SO (6) симметричная метрика экстремальной черной p-браны вблизи горизонта дается выражением

$$ds^2\sim\left(\frac{r}{R}\right)^2dx\cdot dx+\left(\frac{R}{r}\right)^2dr^2+R^2d\Omega_5^2.$$

Эта же метрика может представляться как результат искривления геометрии стопкой из N D3-бран, тогда R4 = 4gs2 (см. BBS (12.28), (12.29)) В принципе количество бран просто дает выражение для заряда, с точки зрения влияния только на геометрию. С точки зрения теории мирового объема, или теории открытых струн, которые прикрепляются к бранам из стопки, мы конечно получаем еще U(N) калибровочную группу теории поля в мировом объеме.

(Эта же метрика оказывется метрикой пространства-времени AdS5×S5, что легко видно введением координаты R2/r:

$$ds^2=R^2\frac{dx\cdot dx+dz^2}{z^2}+R^2d\Omega_5^2.$$

В принципе, мы это уже обсуждали в первом посте про AdS/CFT.)

Итак, мы имеем пространственно-временную метрику

$$g_{\mu\nu}=\text{diag}\left\{-\left(\frac{r}{R}\right)^2, \left(\frac{r}{R}\right)^2,\left(\frac{r}{R}\right)^2, \left(\frac{r}{R}\right)^2, \left(\frac{R}{r}\right)^2,R^2g_{ij}\right\},$$

где gij обозначает метрику единичной сферы, а также оба AdS5 и S5 имеют одинаковый радиус R. Обозначим f = R4/r4. Если мы хотим построить DBI действие для пробной D3-браны в AdS5 × S5 фоне то во первых мы должны совершить pullback этой фоновой метрики на мировой объем D3-браны. Так как фон зафиксирован, мы можем выбрать статические координаты для параметризации мирового объема D3-браны. Мы также должны принять во внимание возможность движения D3-браны по r координате и на сфере S5. Поэтому pullback фоновой метрики на мировой объем D3-браны выглядит следующим образом:

$$g_{\alpha\beta}=f^{-1/2}\eta _{\alpha\beta}+f^{1/2}\partial_\alpha r\partial_\beta r+r^2f^{1/2}g_{ij}\partial_\alpha\theta^i\partial _\beta\theta ^j$$

где я обозначил координаты 5-сферы как θi. Бозонная часть DBI действия выведена выше, и именно ей мы будем пользоваться. Натяжение равно

$$T_{D3}=\frac{1}{(2\pi)^3\alpha ^{\prime 2}g_s},$$

как следует из BBS (6.115). В результате получаем действие

$$S_1=-\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}\int d^4xf^{-1}\sqrt{-\det\left(\eta_{\alpha\beta}+f\partial_\alpha r\partial_\beta r+r^2fg_{ij}\partial_\alpha\theta^i\partial_\beta\theta^j+2\pi\alpha'\sqrt{f}F_ {\alpha\beta}\right)}.$$

Здесь x обозначает первые четыре координаты AdS5 — координаты «на границе». Детерминант взят для 4×4 матрицы с индексами α, β.

Как отмечено выше, в DBI действии имеется еще второй член S2, который в бозонном действии сводится чисто к описанию взаимодействия D3-браны с полем C4:

$$S_2=\mu_3\int C_4.$$

В силу того, что D3-брана есть BPS-объект, заряд и натяжение для нее взаимосвязаны:

$$\mu _3=T_{D3}=\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}.$$

В силу соображений симметрии (вообще то это следует из точного решения уравнений IIB-супергавитации, предоставленного в BBS (12.25)) мы выбираем

$$C_{\mu\nu\lambda\rho}=\sqrt{|g_4|}\varepsilon_{\mu\nu\lambda\rho}= f^{-1}\varepsilon_{\mu\nu\lambda\rho},$$

и тогда находим

$$S_2=\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}\int d^4xf^{-1}.$$

В результате получаем следующее бозонное DBI-действие:

$$S=-\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}\int d^4xf^{-1}\left[\sqrt{-\det\left(\eta_{\alpha\beta}+f\partial_\alpha r\partial_\beta r+r^2fg_{ij}\partial_\alpha\theta^i\partial_\beta\theta^j+2\pi\alpha'\sqrt{f}F_{\alpha\beta}\right)}-1\right].$$

Можно легко устранить зависимость действия от α′ путем простой замены координат r = ′, т.к. ~ (α′)2. При изучении гравитационной части AdS/CFT соответствия мы (можем быть) заинтересованы в низкоэнергетическом пределе теории суперструн (и потому в переходе к супергравитации), что может быть достигнуто путем отправки энергетического расстояния между уровнями возбуждения струны в бесконечность: α′ → 0. В этом пределе теория в объеме (гравитация) полностью отщепляется от теории на границе, ибо ньютоновская константа связи между ними стремится к нулю: κ ~ gsα2 → 0. Энергия Eb любого возбуждения в объеме с радиальной координатой r дает значение E = gtt(r)Eb = rEb/α′, когда измеряется наблюдателем на бесконечности (в силу красного смещения). Если мы держим энергию E и энергию Eb фиксированной в струнных единицах, то это приведет к требованию фиксированной координаты u = r/α′.

Ключевые слова: гравитация, D браны, AdS/CFT, задачи | Комментарии (4)
Михаил Гойхман

Пространство AdS

23 марта 2011 года, 12:20

Имеет смысл на всякий случай суммировать в отдельном посте основные факты касательно пространства AdS. В первую очередь пространство AdSd+1 — это максимально-симметричное (число параметров симметрии равно числу вращений плюс трансляций по всем координатам в плоском пределе или числу вращений в пространстве вложения в целом, то есть ½ (d + 1) (d + 2)) решение уравнений Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной Λ. Введя радиус R пространства AdS, связанный с космологической постоянной по формуле Λ = −3/R2, можем представить AdS как вложение (d + 1)-мерного пространства-времени в (d + 2)-мерное пространство Минковского с сигнатурой (2, d):

$$y_1^2+\cdots +y_d^2-t_1^2-t_2^2=-R^2$$

Для конкретных вычислений метрики в разных координатных системах просто положим R = 1. Тогда все координаты будут безразмерными и мы получаем возможность совершать конформные преобразования и всяческие замены координат, не противоречащие размерным соображениям. Вполне очевидно что при таком описании SO (2, d) симметрия AdS становится явной.

1. Переходя к координатам Пуанкаре по формуле

$$(z,x^0,x^i)=((t_1+y_d)^{-1},t_2(t_1+y_d)^{-1},y_i(t_1+y_d)^{-1})$$

получим выражение для метрики

$$ds^2=\frac{1}{z^2}((dx^2)_{d+1}+dz^2).$$

Обратите внимание, что в такой форме имеется явная симметрия по отношению к действию глобальных преобразований подгруппы SO (1, 1) полной группы симметрий SO (2, d):

(x, z) → (cx, cz).

Также видна явная симметрия по отношению к SO (1, d), вращающей координаты x между собой.

В координатах Пуанкаре граница AdSd+1 представляет собой пространство Минковского R1,d−1 в z = 0 и точку P в z = ∞.

Далее, в координатах Пуанкаре можно изобразить только половину всего пространства AdS. Об этом подробнее в пункте 3.

2. Введем сферические координаты на пространственной и временной части (d + 2)-мерного пространтсва-времени вложения по-отдельности:

$$\sum _{i=1}^ddy_i^2=dv^2+v^2d\Omega _d^2,$$

$$\sum_{j=1,2}dt_j^2=d\tau ^2+\tau ^2d\theta^2.$$

Здесь dv и  есть элементы радиальных расстояний, а d и  — элементы угловых расстояний. Поверхность AdS, вложенная в (d + 2)-мерное пространство-время, задается тогда формулой

$$v^2-\tau ^2=-1.$$

Из этой формулы мы можем сразу же выразить τ и  через v и dv, после чего получаем

$$dv^2-d\tau ^2-\tau ^2d\theta ^2=\frac{dv^2}{1+v^2}-(1+v^2)d\theta ^2.$$

Как видно у нас имеется периодичное время θ. Это нам совершенно ни к чему, поэтому мы развертываем окружность, на которой θ принимает значения, до бесконечного радиуса. Такое пространство-время называется CAdS (covering AdS). Именно оно и имеется в виду в AdS/CFT соответствии.

3. Рассмотрим глобальную параметризацию координат пространства вложения координатами пространства AdS:

$$t_1=\cosh\rho\cos\tau,\quad t_2=\cosh\rho\sin\tau,\quad y_i=\sinh\rho\,\Omega_i,$$

где = 1, ..., d, ρ ≥ 0, 0 ≤ τ < 2π, а также ∑Ωi2 = 1. Ясно, что мы имеем d + 1 независимых координат (τ, ρ, Ωi), параметризующих AdS, и метрика записывается в виде

$$ds^2=-\cosh ^2\rho\, d\tau ^2+d\rho ^2+\sinh ^2\rho\, d\Omega ^2.$$

Опять же область значений времени τ должна быть развернута до окружности с бесконечным радиусом.

Перейдем теперь от координаты θ к координате ρ по формуле tan θ = sinh ρ. Тогда 0 ≤ θ < π/2, и метрика приобретает вид

$$ds^2=\frac{1}{\cos ^2\theta}(-d\tau ^2+d\theta ^2+\sin ^2\theta\, d\Omega ^2).$$

Теперь для изучения причинной структуры и построения диаграммы Пенроуза можно совершить конформное преобразование метрики, получая:

$$ds^2=-d\tau ^2+d\theta ^2+\sin ^2\theta\, d\Omega ^2,$$

откуда будет следовать что AdS есть просто половина сферической Вселенной Эйнштейна (у Эйнштейна 0 ≤ θ < π — сферическая координата) с границей в θ = π/2, имеющей топологию сферы (в координатах Пуанкаре мы получили границу с топологией пространства Минковского, что однако просто сфера с бесконечным радиусом). Диаграмма Пенроуза для AdS2 представляет собой прямоугольник с координатами (τθ).

Наконец, координаты Пуанкаре, описанные в пункте 1, покрывают только половину этого прямоугольника, а именно его треугольную часть с одной из сторон, являющейся сферической границей θ = π/2 (или z = 0), а двумя другими сторонами — точечной границей z = ∞. На рисунке ниже, взятом из BBS, обозначение ρ соответсвует нашему обозначению θ.

Диаграмма Пенроуза для AdS


Для большинства практических целей мы будем пользоваться именно координатами Пуанкаре. Тогда мы просто накладываем нулевые граничные условия в точке P, отделяющей треугольник от всего прямоугольника AdS (на диаграмме Пенроуза P представляется в виде двух сторон треугольника, отделяющих область, покрываемую координатами Пуанкаре, от той области AdS, которую они не покрывают), так что динамику можно рассматривать только в Пуанкаре-треугольнике. Поэтому, кстати, точку P иногда называют горизонтом AdS в координатах Пуанкаре. Соответственно в глобальных координатах, в отличии от координат Пуанкаре, пространство AdS не имеет горизонта.

Также полезно порешать задачки из главы 12 BBS по соответствующей тематике. В секции комментариев можно указать те задачи, которые читателям интересно разобрать здесь. Там есть пара задач чисто про AdS и несколько задач по AdS/CFT соответствию.

Ключевые слова: гравитация, AdS/CFT, геометрия | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

AdS/CFT соответствие. Некоторые примеры вычисления корреляционных функций.

22 марта 2011 года, 02:18

Предыдущий пост был посвящен описанию основ AdS/CFT соответствия. В конце я пообещал привести примеры конкретных расчетов корреляционных функций методом голографии, когда корреляционные функции теории поля вычисляются с помощью супергравитации в объеме, в пространстве-времени большей на единицу размерности. Этим и займемся в этом посте. Будем тесно следовать результатам, приведенным в работе Эдварда Виттена «Anti de Sitter Space and Holography», которая лежит в основе всего обсуждаемого ниже. В той работе развивается идея голографии в качестве описания того, что представляет собой AdS/CFT соответствие. Суть этой идеи понять легко, по крайней мере на классическом уровне. Действительно, возьмите обычное скалярное поле. Оно удовлетворяет уравнению Лапласа. Если рассматривать краевую задачу в шаре, то ясно, что, задав граничные условия на сфере, мы полностью определим динамику поля внутри шара. Совершенно аналогичное утверждение верно в применении к евклидовой форме пространства AdS и его границе.

Обратите внимание на то, что on-shell величины объема соответствуют off-shell величинам границы. В примере выше мы действительно решили уравнение Лапласа в объеме при произвольных (off-shell) условиях на границе.

В некотором роде AdS можно тоже представить как открытый шар, так что координатная область задания AdS есть открытый шар $$\inline \sum _{i=0}^dy_i^2<1$$, а физическое расстояние — интервал — определяемый метрикой в данных координатах yi — расходится при приближении к границе шара:

$$ds^2=\frac{4\sum\limits_{i=0}^ddy_i^2}{(1-|y|^2)^2}.$$

Отсюда известная картинка, изображающая AdS и показывающая координатные расстояния, а не физическое расстояния:

  

Введение

1. Итак, наша задача состоит в установлении соответствия между теорией поля на границе AdSd+1 и супергравитацией (приближающей суперструну) в AdSd+1. Для этого напомним обозначения.

Мы рассматриваем Евклидово пространство AdS, то есть пространство-время с метрикой AdS, но с положительной сигнатурой. Выберем координатную систему Пуанкаре, в которой эта метрика записывается следующим образом:

(1)$$ds^2=\frac{1}{x_0^2}\sum _{i=0}^d(dx_i)^2.$$

Здесь x0 > 0. Пространство AdS в таких координатах имеет границу, представляющую собой Rd при x0 = 0 и бесконечно удаленную точку P при x0 = ∞ (в этой точке расстояние между любыми точками, как видно из выражения для метрики, просто равно нулю).

2. Теперь выведем формулу, которой будем пользоваться в расчетах корреляционных функций. Пусть φ есть любое поле в объеме, а φ0 - его значение на границе. В силу дуальности между теориями в объеме и на границе, полю φ в объеме должен соответствовать некий оператор  $${\cal O}$$, описывающий калибровочно-инвариантным образом некую величину в теории на границе. Замечу, что из простого примера голографии выше вовсе не следует что φ0 и есть то самое граничное поле, которое соответствует полю в объеме φ. Действительно, это всего лишь граничное значение того же самого поля из суперструной части соответствия, в то время как QFT-часть соответствия содержит свои собственные поля.

Далее, со струнной стороны мы имеем статистическую сумму для всевозможных конфигураций поля φ в объеме, при данном граничном значении φ0 (в дальнейшем перейдем в объеме on-shell для конкретных расчетов):

$$Z_{string}(\varphi _0)=\int\limits_{\varphi _0}\! D\varphi\, e^{-S_{string}}.$$

Постольку поскольку квантовая теория определяется статистической суммой, и одновременно эта же квантовая теория дуальным образом должна выражаться в терминах теории поля на границе, значение Z(φ0) должно быть выражаемо через нечто из CFT, также зависящее от φ0. В этом месте выдвигается ключевая формула соответствия:

$$Z_{string}(\varphi _0)=\langle\exp{\int\limits_{boundary}\varphi _0 \,{\cal O}}\rangle.$$

Это довольно формальное выражение,  и должно сопровождаться конкретными указаниями для расчетов, когда возникают расходимости. На примерах ниже подтверждается, что формула дает правильные корреляционные функции для $${\cal O}$$. Однако сейчас уже стоит заметить, что формула имеет именно такой вид потому, что именно так она будет отражать идею голографии, при которой поле $${\cal O}$$ со стороны QFT на границе посредством минимального взаимодействия (обратите внимание, что граничное значение φ0 функции φ из объемной теории играет роль источника для полей $${\cal O}$$ из граничной теории, что используется, естественно, при вычислении корреляционных функций в граничной теории) воздействует на динамику поля φ в объеме. Например, в теории супер-Янга-Миллса мы имеем константу связи gYM2. Качественный анализ AdS/CFT соответствия приводит к тому, что gYM2 = 4πgs. Здесь gs = eΦ есть струнная константа связи (точнее константа связи действие супергравитации), где Φ есть дилатон (синглет Лоренцевой калибровочной группы из бозонного сектора мультиплета супергравитации). Мы тогда видим, что действие SYM на границе содержит в качестве множителя струнную константу связи, выражаемую через дилатон. Естественно тогда, что весь Лагранжиан CFT (уже без константы связи) есть калибровочно-инвариантный оператор, соответствующий полю дилатона в супергравитации в объеме. Другой пример — соответствие между тензором энергии-импульса в CFT и метрикой в AdS.

3. Теперь мы переходим on-shell в объеме. Поле φ не интегрируется по всевозможным конфигурациям, а просто рассматривается как решение классических уравнений супергравитации с данным граничным услвоием φ0. Хочу напомнить, что в данном контексте φ — любое поле из мультиплета супегравитации, не обязательно дилатон (не обязательно — скаляр). Так вот, подобный классический переход подразумевает, разумеется, малость константы связи в супергравитации, валидирующей его. В результате просто имеем

$$Z_{string}(\varphi _0)=e^{-I_S(\varphi)}.$$

Теперь мы полностью готовы к расчету корреляционных функций в теории на границе. Мы должны просто взять классическое решение в объеме, подставить его в действие, потенцировать, получив таким образом классическую аппроксимацию стат. суммы, и потом проварьировать по φ0, являющимся источником для калибровочного поля $${\cal O}$$ на границе. С последующим занулением источников (когда необходимо) получаем корреляционные функции.

Скалярное поле

Рассмотрим классическую динамику свободного безмассового скалярного поля φ (скажем, дилатона, поскольку мы рассматриваем супергравитацию) в объеме AdSd+1. Она описывается действием

$$I(\varphi)=\frac{1}{2}\int d^{d+1}y\sqrt{g}|d\varphi|^2.$$

Мы фиксируем граничное условие φ0 и записываем уравнение Лапласа — являющееся уравнением движения нашего скалярного поля — в метрике (1) для функции Грина K(x0), которая зависит только от x0 в силу независимости постановки задачи от трансляций пространственных координат:

$$\frac{d}{dx_0}x_0^{-d+1}\frac{d}{dx_0}K(x_0)=0.$$

Выписываем решение

$$K(x_0)=cx_0^d.$$

Это решение расходится в точке P на границе (x0 = ∞), причем на самом деле K становится дельта-функцией. Пока неясно, как так происходит, поэтому сделаем замену координат, представляющую собой конформную инверсию:

$$x_i\rightarrow\frac{x_i}{x_0^2+\sum _{j=1}^dx_j^2}$$

для всех координат: i = 0, ..., d. Тогда получаем, что P переходит в точку xi = 0, i = 0, ..., d, а также

$$K(x)=c\frac{x_0^d}{(x_0^2 +\sum _{j=1}^dx_j^2)^d}.$$

Тут стоит вспомнить, что писал Рома в посте про ультрабуст. А именно, представление для дельта-функции, упомянутое там. Адаптация к нынешнему d-мерному случаю дает K(x) являющуюся дельта-функцией от xi = 0, i = 1, ..., d, когда x0 → 0.

В результате решение уравнения Лапласа с данным граничным значением в x0 = 0 выглядит следующим образом:

$$\varphi (x_0,x_i)=c\int d{\bf x}'\frac{x_0^d}{(x_0^2+|{\bf x}-{\bf x}'|^2)^d}\varphi _0(x_i').$$

Подставляя это выражение в on-shell действие I(φ), получаем после некотрых простых вычислений

$$I(\varphi)=\frac{cd}{2}\int d{\bf x}d{\bf x}'\frac{\varphi _0({\bf x})\varphi _0({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|^{2d}}.$$

Очевидно, что теперь, варьируя по граничным значениям φ0, мы действительно получим правильные корреляционные функции для оператора $${\cal O}$$ с конформной размерностью d. Действительно, в силу лагранжиана взаимодействия $$\varphi _0{\cal O}$$, усредняемого в CFT-части по путям, получаем, что для скалярного поля с нулевой конформной размерностью поле $${\cal O}$$ с необходимостью имеет конформную размерность d. Поэтому двухточечные функции имеют совершенно правильный вид, когда выводятся таким методом.

Ключевые слова: гравитация, конформная теория поля, AdS/CFT | Оставить комментарий

AdS/CFT соответствие

18 марта 2011 года, 17:01

После небольшого отступления от современной теоретической физики, осуществленного Ромой, давайте вернемся к тому, что было разработано относительно недавно.

Введение

В конце 1997 года Х. Малдасена опубликовал работу под названием «The Large N limit of superconformal field theories and supergravity», которая отчасти основывалась на ранних работах т'Хуфта касательно упрощения расчетов в калибровочных SU(N) теориях в пределах большого количества цветов N. В этой статье был сделан ряд наблюдений, суммирующихся в гипотетическое (на том этапе, и существенно обоснованное впоследствии) соответствие между конформной SU(N) теорией поля и теорией суперструн в пространстве-времени большей размерности (существенно пространством AdS в прямом произведении с компактным пространством, скажем сферой). Результаты этой работы впоследствии были детально изложены в обстоятельной (~250-ти страничной) статье Малдасены и др. «Large N field theories, string theory and gravity». Интересные конкретные расчеты, подтверждающие соответствие, были проведены в работе Виттена «Anti de Sitter space and holography». В этом посте я преимущественно следую именно последним двум статьям.

Соответствие между двумя теориями, в данном случае между конформной теорией поля и теорией суперструн (или приблизительно — теории супергравитации) в пространстве-времени с размерностью большей на единицу (умноженного вдобавок на некоторое компактное многообразие, скажем сферу, или деление сферы группой дискретных симметрий — орбифолдность, и т.д., дабы получить теорию суперструн именно в десятимерии) называется дуальностью. Вообще говоря, если есть две теории, между которыми можно установить 1-1 соответствие путем сопоставления различных физических параметров одной теории и параметров другой теории, то такие теории называются дуальными. Простейший пример из теории струн есть T-дуальность, которая устанавливает эквивалентность теории струн с одним из пространственных измерений компактифицированном на окружности радиуса R и на окружность радиуса 1/R. При этом спектр обоих теорий совершенно одинаков (напомню что для замкнутых струн необходимо одновременно также переставить КК квантовое число и число обмоток вокруг компактного направления). То есть две теории с по сути разными физическими параметрами совершенно эквивалентны (дуальны) друг другу. Излишне напоминать, что слово дуальность известно из принципа корпускулярно-волнового дуализма, когда два принципиально различных способа описания квантов применяются дополнительно друг к другу в зависимости от конкретики рассматриваемого явления. Этот последний пример очень важен в данном контексте. Действительно, среди физических дуальностей имеется так назывемая S-дуальность, которая устанавливает соответсвтие между сильно и слабо взаимодействующими теориями (пример из QED с монополем — симметрия относительно замены электрических и магнитных величин — в вакууме сводящаяся к замене электрических и магнитных полей — с учетом условия квантования Дирака eg ~ n для электорического заряда e и магнитного заряда g). Тогда для описания сильновзаимодействующей теории можно на самом деле воспользоваться теорией возмущения со стороны слабовзаимодействующей дуальной теории. В AdS/CFT ситуация аналогична (хотя, насколько я знаю, S-дуальностью она не именуется) в том смысле, что сильносвязанная CFT дуальна именно слабосвязанной теории струн, и наоборот.

BPS состояния

Для начала стоит напомнить некоторые факты из теории суперструн. Как известно в теории суперструн типа-IIB существуют солитонные решения, являющиеся Dp-бранами, т.е. протяженными объектами с p продольными измерениями. В теории типа-IIB число p должно быть нечетным. Устойчивость подобного решения обеспечивается тем, что Dp-брана имеет RR-заряд, благодаря которому она взаимодействует с полем замкнутых струн, а именно с RR-сектором безмассовых возбуждений замкнутых струн. Одного заряда не достаточно для стабильности, ключевым является специальное соотношение между массой и зарядом, называемое насыщением BPS-ограничения, или BPS-состоянием. Это понятие из $${\cal N}$$-расширенной суперсимметрии, когда (часть) центральных зарядов совпадает по величине с массой частиц супермультиплета, и потому число повышающий операторов, сформированных из генераторов суперсимметрии и строящих супермультиплет, снижается. Простейший пример — киральный супермультиплет $${\cal N}=1$$ суперсимметрии — когда имеется (в D = 4) только один повышающий оператор, вместо двух — как для массивного (и потому некирального) $${\cal N} =1$$, D = 4 супермультиплета. В случае кирального $${\cal N}=1$$ супермультиплета суперсимметрия нерасширенна и потому все центральные заряды (отождествляемые с RR-зарядами в случае суперструн) просто равны нулю, соответственно насыщение BPS-ограничения просто означает нулевую массу. Пропорциональность (в подходящих единицах и нормировках — равенство) между центральным зарядом и массой обеспечивает стабильность Dp-браны при условии одновременного сохранения заряда и энергии-импульса.

Черные p-браны и предел их геометрии вблизи горизонта

Далее, Dp-браны теории суперструн на самом деле могут рассматриваться как решения супергравитации, являющейся низкоэнергетическим пределом соответствующей теории суперструн. В нашем случае это супергравитация типа-IIB. Среди ее решений имеются статические объекты, являющиеся прямым аналогом Шварцшильдовской черной дыры (вообще говоря, заряженной черной дыры Керра) — черные p-браны. Критическая (стабильная, имеющая нулевую температуру излучения Хокинга, и потому отождествляемая со стабильной Dp-браной теории суперструн) черная p-брана, как и Dp-брана теории суперструн, имеет массу, равную заряду. За счет массы (и заряда) p-брана искривляет геометрию, которую можно найти решая совместную систему уравнений Максвелла-Эйнштейна. А именно, метрика выглядит следующим образом:

$$ds^2=\frac{1}{\sqrt{H(r)}}\left(-dt^2+\sum _{i=1}^pdx^idx^i\right)+\sqrt{H(r)}\sum _{a=1}^{9-p}dr^adr^a$$

(dp есть некий численный фактор) и представляет собой обобщение решения заряженной черной дыры Керра. Здесь введены обозначения

$$H(r)=1+\frac{r_p^{7-p}}{r^{7-p}},\quad r_p^{7-p}=d_pg_sNl_s^{7-p}.$$

При этом связь между дилатоном (скаляр из мультиплета супергравитации) Φ и струнной константой связи gs следующая:

$$e^\Phi =g_sH^{(3-p)/4}$$

Решение имеет горизонт в r = 0 (по сути решение в такой форме определено до горизонта).

Черная брана с такой метрикой имеет RR заряд N, создающий поток через окружающую ее (8 − p)-сферу:

$$\int _{S^{8-p}}F_{8-p}=N$$

С точки зрения Dp-бран тут мы имеем просто напросто N совпадающих Dp-бран, каждая из которых имеет заряд, равный единице.

В специальном случае p=3 мы имеем постоянный дилатон, связанный со струнной константой связи как gs = eΦ . Также R = r3 = 4π gs'2 есть характерный масштаб длины в такой пространственно-временной конфигурации. Вблизи горизонта r → 0 решение для черной 3-браны имеет вид

$$ds^2=(r/R)^2dx\cdot dx +(R/r)^2dr^2+R^2d\Omega _5^2.$$

Здесь под координатами x подразумеваются координаты вдоль браны, как и раньше r есть радиальная координата «от браны к окружающей ее» сфере S5. Вводя переменную z = R2/r мы получаем метрику

$$ds^2=R^2\frac{dx\cdot dx+dz^2}{z^2}+R^2d\Omega_5^2.$$

Эта метрика пространства AdS5×S5, где метрика AdS5 записана в Пуанкаре-координатах, покрывающих половину всего пространства. Как AdS, так и сфера имеют одинаковый «радиус» R.

Пространство AdS5×S5

Такое пространство-время сохраняет все суперсимметрии теории. Чтобы это доказать, нужно вспомнить как вообще определить число суперсимметрий, сохраняемых неким решением уравнений супергравитации, т.е. неким конкретным гравитационном фоном (это особенно полезно при изучении компактификации, когда например теория суперструн в десяти измерениях компактифицируется на некотором многообразии Калаби-Яу, которое сохраняет только четверть от всех суперсимметрий. В результате низкоэнергетический вакуум имеет 4 суперсимметрии в = 4, т.е. получаем $${\cal N}=1$$ MSSM, вместо 16 исходных суперсимметрий гетеротической суперструны. Аналогичные реузультаты имеют место и для других компактификаций, в том числе суперструн типа-II с 32 суперсимметриями).

Сосредоточимся для примера на $${\cal N}=1$$ D = 4 супегравитации с космологической постоянной Λ. Следуя Малдасене запишем действие теории:

$$S=\int d^4x\left(-\sqrt{g}({\cal R}-2\Lambda)+\frac{1}{2}\epsilon ^{\mu\nu\rho\sigma}\bar\psi _\mu\gamma ^5\gamma _\nu\tilde D_\rho\psi _\sigma\right).$$

Классический фон не содержит гравитино ψμ, а просто представляет собой некий фон искривленного пространства-времени. Так что поле гравитино нужно занулить. Однако, тогда возникает вопрос о суперсимемтричности подобного фона без гравитино. Нужно вспомнить преобразования локальной суперсимметрии:

$$\delta V_{a\mu}=-i\bar\epsilon (x)\gamma _a\psi _\mu,$$

$$\delta\psi _\mu =\tilde D_\mu\epsilon (x),$$

где

$$\tilde D_\mu =D_\mu+\frac{i}{2}\sqrt{\frac{\Lambda}{3}}\gamma _\mu.$$

Теперь ясно, что если гравитино исчезает, то тетрады V не преобразуются, так что бозонная часть фона симметрична. Однако фермионная часть фона симметрична только при условии того что локальный параметр суперсимметрии является, как говорят, спинором Киллинга (по естественной аналогии с вектором Киллинга): Dμε = 0. Ясно, что, вообще говоря, только часть компонент спинора может удовлетворять такому условию (в случае многообразия Калаби-Яу с тремя комплексными измерениями — только одна спинорная компонента из четырех). Потому доля сохраняющихся суперсимметрий равна доле компонент спинорного параметра суперсимметрии, удовлетворяющих условию Киллинга. От этого условия можно перейти к следующему:

$$0=[\tilde D_\mu,\,\tilde D_\nu]\epsilon =\frac{1}{2}({\cal R}_{\mu\nu\rho\sigma}\sigma ^{\rho\sigma}-\frac{2}{3}\Lambda\sigma _{\mu\nu})\epsilon$$

(здесь введен следующий элемент «искривленной» алгебры Дирака $$\inline \sigma _{\mu\nu}=\frac{1}{2}\gamma _{[\mu}\gamma _{\nu]}$$).

Для максимально симметричного (то есть симметричного относительно группы с D(D+1)/2 параметрами) AdS имеет место

$${\cal R}_{\mu\nu\rho\sigma}=\frac{1}{R^2}(g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}).$$

Теперь самое время вспомнить, что в теории с данной космологической постоянной Λ решение AdS с радиусом R будет удовлетворять уравнениям Эйнштейна только при условии Λ = 3/R2. Однако при этом же условии легко заметить, что спинор ε удовлетворяет условию Киллинга (точнее его следствию с тензором криизны, которое является условием интегрируемости для уравнения Киллинга).

Как мы видим, пространство AdS сохраняет все суперсимметрии.

Далее, нас на самом деле интересует сколько суперсимметрий сохраняет пространство-время AdS5×S5, а не просто AdS. Здесь имеется нетривиальность по сравнению с обычным подсчетом суперсимметрий в компактифицированных теориях. Обычно, когда мы просто имеем прямое произведение некого компактного многообразия с нулевым потоком RR-полей через компактное многообразие, число сохраняемых суперсимметрий вычисяется с помощью подсчета числа спиноров Киллинга на компактном многообразии. Если применить наивно такой подход в данном случае, стартуя с D=10 гравитации с нулевой космологической постоянной (это тоже выводимое условие исходя из требования сохранения суперсимметрий), то получим, что все суперсимметрии нарушаются, ибо сфера имеет максимальную группу голономии SO(5), не оставляющую неподвижным ни один спинор (который бы таким образом генерировал бы ненарушенные суперсимметрии). Однако, такой подход в данном случае неприменим, ибо мы изначально предполагаем ненулевой поток. Обратите внимание, что выше мы тоже используем ковариантную производную $$\tilde D$$, а не $$D$$, т.е. принимающую во внимание ненулевую космологическую постоянную на уровне AdS. В D=10 космологическая постоянная равна нулю. Однако, мы производим не обычную компактификацию на сферу, а т.н. flux compactification (компактификацию с ненулевым потоком), в данном случае с ненулевым потоком F5 через сферу. Наличие этого потока модифицирует услвоие $$D\epsilon =0$$ на условие $$\tilde D\epsilon$$, модифицированное наличием ненулевого потока. На уровне AdS это условие выражается условием спинора Киллинга с ковариантной производной, постороенной уже с участием космологической постоянной.

Объединяя суперсимметрии с бозонными симметриями пространственно-временной конфигурации, получаем полную группу симметрий теории суперструн на AdS5×S5 являющуюся группой PSU(2, 2 | 4). В нее входят группа SU(2, 2) ~ SO(2, 4), являющаяся симметрией AdS5, группа SU(4) ~ SO(6), являющаяся симметрией S5, а также 32 киральных фермионных генератора IIB суперсимметрии, которые расширяют эти группы до полной супергруппы PSU(2, 2 | 4) и преобразуются под действием спинорных представлений бозонных подгрупп пространственно-временных симметрий.

Конформная теория поля

Теперь стоит вспомнить какую еще роль играют Dp-браны в теории суперструн. Собственно первичная цель их введения состояла в последовательном Пуанкаре-инвариантном способе описания открытых струн с граничными условиями Дирихле, т.е. с зафиксированными концами. Без бран, на которых струны могли бы оканчиваться, было бы совершенно непонятно, что держит их концы, и потому теория оказалось бы не Пуанкаре-инвариантной.

После введения Dp-бран возникает еще одна возможность. Если мы имеем стопку совпадающих друг с другом N Dp-бран, то для открытых струн, которые оканчиваются на бранах из такой стопки, необходимо ввести дополнительные степени свободы — заряды Чана-Патона на концах струны — которые будут обеспечивать описание симметрии по отношению к различным бранам из стопки. В результате спектр открытых суперструн на самом деле становится калибровочным супермультиплетом, ибо два конца струны вместе объединяются в присоединенное представление калибровочной группы U(N) (после введения ориентифолдной плоскости можно получить нужную для сокращения калибровочных аномалий группу SO(32)).

Таким образом теория N совпадающих Dp-бран (точнее теория мирового объема этих бран) есть по сути D = p + 1 U(N) калибровочная теория поля. В случае D3-бран это D = 4 теория супер-Янга-Миллса. Так как это конформная теория, то отсюда CFT часть в названии соответствия.

Следует прокомментировать суперсимметричность такой теории. Dp-браны сохраняют половину суперсимметрий теорий суперструн типа-II (и потому собственно говоря являются BPS-объектами в первую очередь, откуда уже для них следует равенсто RR заряда и массы — натяжения), то есть 16 суперсимметрий. Соответственно получаем в случае D3-бран $${\cal N}=4$$, D = 4 теорию SYM. Однако, будучи конформно-инвариантной теорией, она содержит еще генераторы специальных конформных преобразований, которые в замыкании с 16 суперсимметриями дают 16  дополнительных суперсимметрий. Полная алгебра симметрий есть PSU(2, 2 | 4).

Как мы видим, группы симметрий совпадают с обоих сторон соответствия.

Переход от четырехмерной конформной теории поля к суперструнам в пятимерном пространстве AdS

Следуя Малдасене («TASI lectures on AdS/CFT») проведем следующее простое рассуждение. Допустим, у нас есть четырехмерная конформная теория поля, CFT4. Например, максимально суперсимметричная теория $${\cal N}=4$$ супер-Янг-Миллса. Эта теория обладает группой конформных симметрий SO(2, 4), которая в частности содержит в качестве подгруппы 4d группу Пуанкаре. Поэтому, если теперь мы хотим найти дуальную теорию струн в неком пятимерном (на одно пространственное измерение больше — следуя идее голографии, или точнее — по той простой причине что в четырех измерениях теория струн имеет конформную аномалию, а введение компенсирующего поля Лиувилля может интерпретироваться как дополнительное измерение) пространстве-времени, то метрика в нем должна уважать в первую очередь эту самую 4d Пуанкаре-симметрию. Репараметризацией пятой координаты z можно записать ее как

$$ds^2=w(z)^2(dx_{1+3}^2+dz^2).$$

Наконец, эта метрика должна уважать симметрию скейлинга, тоже являющуюся подгруппой четырехмерной конформной группы: x → λx. Тогда получаем z → λz и необходимо w = R/z. В результате получаем метрику AdS5 в координатах Пуанкаре:

$$ds^2=R^2\frac{dx_{1+3}^2+dz^2}{z^2}.$$

Конкретные расчеты

Аргументы в пользу истинности соответствия, приведенные выше, не приводят сами по себе к конкретным возможностям для вычислений (проверяемых экспериментально — сравнением наблюдений с расчетами столкновений тяжелых ионов с помощью методов квантовой гравитации (!) в пятимерном пространстве-времени AdS5). Таковые возникают после установления соответствия между стат. суммой теории гравитации в AdS5 и конформной теорией поля CFT4. Об этом в следующий раз.

Ключевые слова: суперсимметрия, D браны, конформная теория поля, гравитация, AdS/CFT | Комментарии (1)