Заметки о теоретической физике
Роман Парпалак

Торможение реликтовым излучением

5 января 2014 года, 14:00

На втором курсе за неделю перед досрочным экзаменом по теоретической физике Семен Соломонович Герштейн задал мне две задачи. В одной требовалось найти угловое распределение синхротронного излучения электрона, движущегося по окружности. Вторая оказалась интереснее: найти силу торможения со стороны реликтового излучения на площадку, движущуюся перпендикулярно самой себе. Остановимся на ней подробнее. Записей с тех времен у меня не сохранилось, а в литературе опубликованы противоречивые результаты. Хороший повод заново разобраться в задаче.

Обозначения и соглашения

Под реликтовым излучением мы подразумеваем равновесное тепловое излучение при некоторой температуре T. Напомним, что плотность энергии и давление равновесного излучения определяются температурой: ε = 4πσT4/c, P = ε/3.

В системе отсчета, связанной с реликтовым излучением, оно однородно и изотропно. Относящиеся к ней величины будем обозначать символами без штрихов. Относительно этой системы со скоростью v движется площадка (например, диск) с коэффициентом отражения R. Штрихами обозначим величины в сопутствующей системе отсчета (связанной с площадкой).

Будем опускать скорость света c в тех формулах, где она легко восстанавливается из соображений размерности.

Обзор литературы

В публикациях по этой проблеме нет консенсуса. Например, в письме Андрея Шепелева в УФН под названием «Космический микроволновой фон и аристотелевы представления о движении» приведена формула для давления на площадку $$P=-v\,(1+v^2/2)\,\varepsilon/2$$. Этот ответ, как мы увидим ниже, явно ошибочен. Автор не раскрывает вычислений, поэтому невозможно понять, где ошибка.

В работе Баласаняна и Мкртчяна «Blackbody radiation drag on a relativistically moving mirror» вычисляется плотность импульса в системе отсчета, связанной с диском, и она отождествляется с давлением (с точностью до учета отражения). По поводу этой работы у меня есть два замечания. Во-первых, для вычисления плотности импульса авторы предлагают непростой путь. Они интегрируют импульс фотона $$\vec{k}'$$ по импульсному пространству c функцией распределения

(1)$$n'(\vec{k}')={1\over e^{\gamma(\omega' +k'_xv)/T}-1}.$$

В то же время плотность импульса электромагнитного излучения отличается на множитель 1/c2 от вектора Поинтинга, проекции которого есть компоненты T0i тензора энергии-импульса. Записав преобразование Лоренца для компоненты T01 тензора

$$T^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}\varepsilon &0&0&0\\0&\varepsilon/3&0&0\\0&0&\varepsilon/3&0\\0&0&0&\varepsilon/3\end{pmatrix},$$

сразу получаем плотность импульса (см. II том Ландау и Лифшица, §35, формула 35.3)

(2)$$S'_x=-{4\over 3}\,\varepsilon\,{v\over 1-v^2}.$$

Во-вторых, неправильно отождествлять проекцию импульса электромагнитной волны, падающей на площадку под углом θ к нормали, с давлением, потому что сама площадка находится под углом, и ее эффективная площадь уменьшается. Из-за дополнительного фактора |cos θ|, появляющегося под интегралом (см. ниже), формула (2) не является правильным ответом, и использовать ее вообще нельзя.

Вычисление в сопутствующей системе отсчета

Давление как силу на единицу поверхности определим через импульс, передаваемый диску при отражении или поглощении фотонов за единицу времени:

$$P={F\over S}={1\over S}{\hbar\Delta k\over\Delta t}.$$

Если фотоны летят под углом θ к нормали, то за время Δt до неподвижной площадки S долетят фотоны из объема S cΔ|cos θ|. Из них доля R отразится и доля (1−R) поглотится. Каждый поглощенный фотон отдаст импульс $$\hbar k\cos\theta=\hbar\omega\cos\theta/c$$, а каждый отраженный — в два раза больше. Собирая всё вместе, получаем в сопутствующей системе отсчета

$$P=\int{\hbar\omega'\cos\theta'\over S\,c\Delta t'}\,(1+R)\,S\,c\Delta t'\,|\cos\theta'|\,n'(\vec{k}')\,d^3k'.$$

Напомним, что частота ω и волновой вектор $$\vec{k}$$ образуют четырехвектор $$(\omega, \vec{k})$$. Переход к движущейся системе координат осуществляется преобразованиями Лоренца

$$\omega'={\omega-k_xv\over\sqrt{1-v^2}},\qquad k_x'={k_x-\omega v\over\sqrt{1-v^2}}.$$

Функция распределения $$n(\vec{k})$$ в фазовом пространстве инвариантна относительно преобразований Лоренца, так как и элемент фазового объема $$d^3r\,d^3k$$, и число частиц $$dN=n(\vec{r},\vec{k})\,d^3r\,d^3k$$ есть инварианты (подробнее см. II том Ландау и Лифшица, §10). Именно поэтому функция распределения в движущейся системе $$n'(\vec{k'})=n(\vec{k})$$ есть обычное распределение Бозе — Эйнштейна (1), в которое подставлена преобразованная частота.

В итоге давление определяется следующим интегралом

(3)$$P=\int \hbar\omega'\cos\theta'\,(1+R)\,|\cos\theta'|\,{const\over exp\left(\dfrac{\hbar\omega'}{kT}\,\dfrac{1+v\cos\theta'}{\sqrt{1-v^2}}\right)-1}\,\omega'^2\,d\omega'\,{d(\cos\theta')\over 2}.$$

Вместо того чтобы следить за комбинацией констант, которая в итоге должна свестись к постоянной Стефана-Больцмана σ, мы примем условие нормировки в выражении для плотности энергии с той же самой константой:

$$\varepsilon=\int \hbar\omega\,{const\over exp\left(\dfrac{\hbar\omega}{kT}\right)-1}\,\omega^2\,d\omega={4\pi\sigma\over c}T^4.$$

Еще отсюда видно, что (3) можно упростить, проинтегрировав по частотам. Множитель $${\sqrt{1-v^2}}/{(1+v\cos\theta')}$$ перед температурой в экспоненте появится под интегралом в четвертой степени. Дальнейшее вычисление тривиально:

$$P=\varepsilon\,(1+R)\int\limits_{-1}^{1}\cos\theta'\,|\cos\theta'|\,\dfrac{(1-v^2)^2}{(1+v\cos\theta')^4}\,{d(\cos\theta')\over 2},$$

(4)$${\Large\boxed{P=-\varepsilon\,(1+R)\,\frac{v\,(1+v^2/3)}{1-v^2}}.}$$

Чтобы убедиться в правильности результата, вычислим тем же методом давление фотонного газа на одну сторону покоящейся пластины. Зависящий от скорости подынтегральный множитель исчезает, а интеграл в пределах от 0 до 1 равен 1/3. Полное давление есть (1+Rε/6. Если пластина всё отражает и ничего не поглощает, давление совпадает с ожидаемой величиной ε/3. Если пластина всё поглощает, давление равно ε/6 и составляет половину от давления фотонного газа ε/3. Вторая половина набегает за счет собственного излучения пластины, которое мы в наших расчетах не учитывали.

Формула (4) не совпадает ни с результатом Шепелева, который утверждает, что ответ сложен, и раскладывает его в ряд, ни с результатом Баласаняна, который ошибочно отождествляет в этой задаче плотность импульса и давление.

Вычисление в неподвижной системе отсчета

$$\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing} \begin{tikzpicture}[line width=0.2mm,scale=1.0545]\small \tikzset{>=stealth} \tikzset{snake it/.style={->,semithick, decoration={snake,amplitude=.3mm,segment length=2.5mm,post length=0.9mm},decorate}} \def\h{3} \def\d{0.2} \def\ww{1.4} \def\w{1+\ww} \def\p{1.5} \def\r{0.7} \coordinate[label=below:$A_1$] (A1) at (\ww,\p); \coordinate[label=above:$B_1$] (B1) at (\ww,\p+\h); \coordinate[label=below:$A_2$] (A2) at (\w,\p); \coordinate[label=above:$B_2$] (B2) at (\w,\p+\h); \coordinate[label=left:$C$] (C1) at (0,0); \coordinate[label=left:$D$] (D) at (0,\h); \draw[fill=blue!14](A2)--(B2)-- ++(\d,0)-- ++(0,-\h)--cycle; \draw[gray,thin](C1)-- +(\w+\d,0); \draw[dashed,gray,fill=blue!5](A1)-- (B1)-- ++(\d,0)-- ++(0,-\h)-- cycle; \draw[dashed,line width=0.14mm](A1)--(C1)--(D)--(B1); \draw[snake it](C1)--(A2) node[pos=0.6,below] {$c\Delta t$}; \draw[->,semithick](\ww,\p+0.44*\h)-- +(\w-\ww,0) node[pos=0.6,above] {$v\Delta t$}; \draw[snake it](D)--(B2); \draw[thin](\r,0) arc (0:atan2(\p,\w):\r) node[midway,right,yshift=0.06cm] {$\theta$}; \draw[opacity=0](-0.40,-0.14)-- ++(0,5.06); \end{tikzpicture}$$ Тот же результат получается и в неподвижной системе отсчета. В ней не нужно иметь дела с функцией распределения фотонов, однако из-за движения площадки геометрические выкладки сложнее.

Чтобы понять, сколько летящих под углом θ фотонов с частотой ω попадет за время Δt на площадку AB, нужно ввести понятие «заметаемого объема» (объем, фотоны из которого попадут на диск) и умножить его величину на плотность фотонов nω. За это время площадка переместится из положения A1B1 в положение A2B2, а фотоны из точек C и D долетят до диска. Таким образом, заметаемый объем соответствует фигуре A1B1DС, и его величина равна |cΔcos θ − vΔt|.

При отражении фотона от площадки в сопутствующей системе отсчета знак проекции волнового вектора фотона изменяется на противоположный: $$k'_{2x}=-k'_{1x}$$. Найдем соответствующее изменение в неподвижной системе:

$$\begin{aligned}\Delta k &=k_{1x}-k_{2x}=k_{1x}-\gamma(k'_{2x}+\omega'_2v)=k_{1x}+\gamma(k'_{1x}-\omega'_1v)=\\&=k_{1x}+\gamma\left(\gamma(k_{1x}-\omega_1 v)-\gamma(\omega_1-k_{1x}v)v\right)=k_{1x}+\gamma^2\left(k_{1x}(1+v^2)-2v\omega\right).\end{aligned*}$$

Выражая проекцию волнового вектора через частоту фотона и азимутальный угол $$k_x=\omega\cos\theta$$, получаем

$$\Delta k=\omega\left[\cos\theta\left(1+{1+v^2\over 1-v^2}\right)-2{v\over 1-v^2}\right]={2\omega\over 1-v^2}\,(\cos\theta-v).$$

Ясно, что двойку в последнем выражении нужно заменить на (1+R), чтобы учесть случай произвольного коэффициента отражения R. Давление

$$P_\omega=\int{\hbar\omega\over S\,c\Delta t}\,{1+R\over 1-v^2}\,(\cos\theta-v)\,S|c\Delta t\cos\theta-v\Delta t|\,n_\omega\,{d(\cos\theta)\over2},$$

$$P_\omega={n_\omega\over 2}\hbar\omega\,{1+R\over 1-v^2}\int\limits_{-1}^{1}dx\,(x-v)|x-v|.$$

После вычисления интеграла и усреднения плотности энергии $$n_\omega\hbar\omega$$ по частотам получается формула (4).

Ключевые слова: электродинамика, равновесное излучение | Комментарии (14)
Михаил Гойхман

Премия Мильнера

17 декабря 2013 года, 18:22

Премией Мильнера за 2014 год (fundamental physics prize) награждены Майкл Грин и Джон Шварц, за основополагающий вклад в теорию струн (также известный как первая суперструнная революция). Постолько поскольку премия выдается за важный вклад в фундаментальную теоретическую физику, было сразу ясно что Грин и Шварц будут награждены ей, причем в ближайшее время. Как известно, в этом году премию Мильнера получил Александр Поляков.

Мильнер и Закерберг также планируют давать премию за исследования в области математики. Очень хорошая идея.

Прочитал комментарии Питера Войта на этот счет, с кратким резюме его мнения касательно премии Мильнера. Для тех кто не знает — Питер Войт — безумный дядька, обозленный на современную фундаментальную теорфизику и фактически всё теорфизическое сообщество. Основные проявления его озлобленности состоят в «критике» теории струн. Под критикой в данном случае подразумевается то, что Питер Войт не знает про теорию струн ровным счетом ничего, и т.к. он не способен ее освоить, то ничего ему не остается как делать утверждения, как раз не требующие знания чего бы то ни было из теории струн.

Так или иначе, в своем недавнем посте, на который я сослался выше, Войт очередной раз доказывает полную дегенерацию своего мозга. Его не устраивает что премия Мильнера и премия Мильнера-Закерберга присуждается тем людям, которые уже и так вполне известны и уважаемы в научном сообществе. Хм, ну естественно. Было бы странно давать ее тому кто не известен (в силу того, что ничего не открыл достаточно значимого, чтобы быть удостоенным премии). Кроме того он добавляет, что премия преназначена для поощрения исследования в соответствующей области, но ее лауреаты и так бы продолжали свои исследования. Зачем же давать им премию тогда? Просто невероятно как этот господин строит свои «логические» заключения.

Войт обращает внимание что большинство лауреатов премии Мильнера получили ее за развитие теории струн. Он считает это поощрением «провалившейся» области физики. Что я могу сказать. Во-первых, эта область физики «провалившейся» только с позиции ничего-не-знающих болтунов. Ясно что в научном сообществе позиция таких бездельников ничего не значит. Во-вторых, премия Мильнера присуждается за фундаментальную физику. Если такая физика содержит гравитоны, то она является теорией струн по определению. Так что недовольные вопли Войта в данном случае очередной раз доказывают его крайнюю неосведомленность в вопросах современной теорфизики.

Ключевые слова: политика | Комментарии (4)
Роман Парпалак

Метод наименьших квадратов во многомерном пространстве

17 ноября 2013 года, 17:35

Я собираюсь применить метод наименьших квадратов для проведения гиперплоскости через набор точек во многомерном пространстве. Для начала вспомним суть метода и поймем, в чем состоит задача.

В простейшем случае метод наименьших квадратов применяется для проведения прямой линии через набор экспериментальных точек и состоит в минимизации суммы квадратов отклонений $$\inline\sum(y_i-ax_i-b)^2$$, которые списываются на погрешность измерений. В результате минимизации для коэффициентов a и b получается простая система линейных уравнений. Здесь важно предположение о том, что ошибки по оси x пренебрежимо малы по сравнению с ошибками по оси y. Если это не так, то минимизировать нужно более сложное выражение.

Иногда возникает задача другого рода — провести геометрическую прямую через набор геометрических точек «наилучшим образом». Для этой задачи метод наименьших квадратов нужно адаптировать, так как поспешное применение формул для коэффициентов a и b будет давать разные прямые в разных системах координат. Теперь отклонения по осям должны быть одинаковы. Правильный подход заключается в минимизации суммы квадратов расстояний $$\inline\sum(y_i-ax_i-b)^2/(1+a^2)$$ от точек (xi, yi) до проводимой прямой. Он дает нелинейную систему уравнений, которую можно решать численно. Однако этот подход тяжело обобщается на интересующий меня многомерный случай. Поэтому мы с самого начала будем рассматривать задачу во многомерном пространстве.

Задача

Пусть задан набор точек $$\vec{x}^k$$. Мы хотим провести гиперплоскость $$(\vec{n}\cdot\vec{x}) = d$$ такую, что сумма квадратов расстояний от точек $$\vec{x}^k$$ до нее будет минимальна. Расстояние до гиперплоскости находится с помощью проекции на единичный вектор нормали $$\vec{n}$$, и выражение для минимизации принимает вид

$$\sum_k\left((\vec{n}\cdot\vec{x}^k)-d\right)^2\to\text{min}.$$

При этом нужно учитывать уравнение связи $$(\vec{n}\cdot\vec{n}) = 1$$, которое уменьшает на 1 количество степеней свободы в неизвестных величинах ni, d. Учет связи выполняется с помощью метода множителей Лагранжа. Однако мы пойдем другим путем, который сократит выкладки и напрямую приведет к выражениям, подходящим для численного счета. Мы разрешим вектору $$\vec{n}$$ иметь произвольную длину, и введем явную нормировку:

$$\sum_k\left({(\vec{n}\cdot\vec{x}^k)\over|\vec{n}|}-d\right)^2\to\text{min}.$$

Параллельный перенос

Продифференцируем по d:

$$\sum_k\left({(\vec{n}\cdot\vec{x}^k)\over|\vec{n}|}-d\right)={(\vec{n}\cdot\sum_k\vec{x}^k)\over|\vec{n}|}-\sum_kd=0.$$

Как видим, «центр масс» набора точек $$\inline\sum\vec{x}^k/\sum 1$$ находится на искомой плоскости. Выполним параллельный перенос системы координат таким образом, чтобы ее начало совпало с центром набора точек $$\inline\sum\vec{x}^k=0$$. В этой системе координат d=0.

Условие на вектор нормали

Перейдем к индексным обозначениям и продифференцируем по na:

$${\partial\over\partial n_a}\left({n_ix_i^k\,n_jx_j^k\over n_ln_l}\right)={2x_a^k\,n_jx_j^k\over n_ln_l}-{2n_a\,n_ix_i^k\,n_jx_j^k\over n_ln_l\,n_pn_p}=0,$$

$$n_jx_j^k\left[x_a^k(n_pn_p)-n_a(n_ix_i^k)\right]=0,$$

$$\sum_k\vec{n}\cdot\vec{x}^k\left[\vec{x}^k(\vec{n}\cdot\vec{n})-\vec{n}(\vec{n}\cdot\vec{x}^k)\right]=0.$$

Вычислительный аспект

Нелинейное уравнение относительно вектора $$\vec{n}$$ можно решать методом итераций:

$$\sum_k\vec{n}_{i+1}\cdot\vec{x}^k\left[\vec{x}^k(\vec{n}_i\cdot\vec{n}_i)-\vec{n}_i(\vec{n}_i\cdot\vec{x}^k)\right]=0.$$

С помощью матрицы $$A_{aj}(\vec{n})=\left[x_a^k(n_pn_p)-n_a(n_ix_i^k)\right]x_j^k$$ оно представляется в виде

$$A(\vec{n}_i)\,\vec{n}_{i+1}=0$$

и сводится к поиску ядра линейного оператора. Нетривиальность ядра связана с «лишней» степенью свободы, появившейся из-за отбрасывания условия нормировки вектора нормали. Читатели могут самостоятельно проверить с помощью формулы Бине — Коши, что определитель матрицы $$A(\vec{n}_i)$$ равен нулю.

По теореме Фредгольма ядро оператора ортогонально образу сопряженного оператора, то есть линейной оболочке, натянутой на строки $$\vec{a}_a$$ матрицы $$A_{aj}(\vec{n}_i)$$. Алгоритм поиска ортогонального дополнения состоит в выборе произвольного вектора $$\vec{r}$$ и ортогонализации набора векторов $$\vec{r}, \vec{a}_a$$:

$$\vec{r}^{\,\prime}=\vec{r}-\vec{a}_1{(\vec{r}\cdot\vec{a}_1)\over(\vec{a}_1\cdot\vec{a}_1)},$$

$$\vec{a}_2^{\,\prime}=\vec{a}_2-\vec{a}_1{(\vec{a}_2\cdot\vec{a}_1)\over(\vec{a}_1\cdot\vec{a}_1)},\quad\vec{r}^{\,\prime\prime}=\vec{r}^{\,\prime}-\vec{a}_2^{\,\prime}{(\vec{r}^{\,\prime}\cdot\vec{a}_2^{\,\prime})\over(\vec{a}_2^{\,\prime}\cdot\vec{a}_2^{\,\prime})}\ldots$$

Так как строки матрицы $$A(\vec{n}_i)$$ линейно зависимы, один из векторов $$\vec{a}_a$$ при ортогонализации из набора исключается. Для большей определенности алгоритма в качестве начального приближения перебираем базисные векторы, пока в результате ортогонализации не получится ненулевой вектор следующего приближения $$\vec{n}_{i+1}$$. В двумерном и трехмерном случае процесс ортогонализации значительно упрощается. Например, в трехмерном случае нетривиальный элемент ядра найдется среди тройки векторов $$\vec{a}_1\times\vec{a}_2, \vec{a}_1\times\vec{a}_3, \vec{a}_2\times\vec{a}_3$$.

Как показывают практические вычисления, последовательные приближения $$\vec{n}_i$$ быстро сходятся к искомому вектору нормали.

Ключевые слова: геометрия | Комментарии (5)
Михаил Гойхман

Голографическая перенормировка С.-С. Ли

14 ноября 2013 года, 18:21

Вчера обсуждали на семинаре вот эту статью:

Sung-Sik Lee, Quantum Renormalization Group and Holography

У меня есть несколько личных комментариев касательно всего подхода, который выдвигается в этой статье.

Для начала, о чем собственно статья. Допустим у вас есть взаимодействующая квантовая теория поля. Тогда теория перенормируется. При движении из ультрафиолетового режима в инфракрасный режим осуществляется перенормировка констант связи и размерностей операторов. В инфракрасном режиме появляются новые операторы. Т.е. эффективный лагранжиан теории при низких энергиях содержит члены взаимодействия, которые отсутствовали в изначальном ультрафиолетовом лагранжиане.

С.-С. Ли хочет описать этот ренорм-групповой поток в наиболее общем виде при помощи теории гравитации в пятимерном пространстве. Разумеется, его идея основывается на AdS/CFT соответсвии и голографической перенормировке, хотя в статье вы найдете мало ссылок на методику AdS/CFT. Так или иначе, идея статьи — описать ренорм-групповой поток с помощью классической гравитации. Это полезная цель, в некотором смысле, так как ренорм-групповой поток в большей части непертурбативен и (в несуперсимметричных теориях) затруднительно много про него сказать точно.

Однако, на мой взгляд, вся идеология статьи ошибочна по ряду причин.

1. Правильный способ описать голографическую перенормировку — это использовать AdS/CFT соответствие. Ясно, что AdS/CFT соответствие описывает РГ поток в КТП с помощью классических уравнений гравитации, и потому фактически решает задачу, поставленную С.-С. Ли. Однако, есть ограничения. AdS/CFT утверждает что вы можете описывать теорию поля с помощью теории гравитации в AdS только если теория поля берется при большой константе взаимодействия тХуфта. Строго говоря — бесконечно большой. Любая конечная константа взаимодействия означает что вы должны учесть струнные поправки в AdS. Константа взаимодействия, равная 1, по порядку величины, означает что теория супрегравитации полностью неверна (вообще говоря), и нужно использовать всю теорию струн. Это элементарное AdS/CFT.

С другой стороны, калибровочная теория поля в УФ (при достаточно большом ранке калибровочной группы), скажем, КХД, свободна в УФ. Т.е. константа взаимодействия там равна нулю. Так что ультрафиолетовый режим никогда не будет описываться гравитацией в AdS. Гравитация в AdS описывает только, в лучшем случае, ИК фазу и ее окрестность.

2. Как собственно работает голографическая перенормировка в AdS/CFT? Допустим, несмотря на то что написано в предыдущем пункте, вы хотите описать весь РГ поток из УФ в ИК только с помощью теории гравитации, без использования теории струн. Это можно сделать. Чтобы это сделать вы берете конформную теорию поля при большой константе тХуфта. Такая теория дуальна теории гравитации в AdS пространстве. Т.к. теория поля конформна, она никуда не течет.

Так что вы добавляете к ней, скажем, двухследовое возмущение. Такая пертурбация включает ренормгрупповой поток, выведя теорию из критической (конформной) точки. При определенных значениях параметров теории однако включенный ренорм-групповой поток остановится в новой критической точке. Теория перетечет из одного конформного режима в другой.

Важно заметить что константа связи тХуфта в этом рассмотрении остается постоянной, не перенормируется. Перенормируется только константа двухследового взаимодействия, которое мы включили, и, возможно, все остальные константы мультиследовых взаимодействий. Принципиально важно что (односледовая) константа тХуфта всегда остается большой, и потому теория гравитации всегда остается верной. У С.С. Ли это не так, поэтому его теория поля не описывается гравитацией, а должна описываться теорией струн.

3. Классическая гравитация в AdS описывает сильную теорию поля только если теория поля берется при большом ранке калибровочной группы. Любой конечный ранк означает что гравитация в AdS должна быть квантовой. Единственная правильная квантовая теория гравитации — это теория струн, со всеми дополнительными степенями свободы, которые она приносит. С.С. Ли должен рассматривать теорию струн в AdS, если он хочет чтобы его конструкции работали.

4. Опять, рассмотрим КХД. В ультрафиолете КХД — это совсем другая теория чем КХД в ИК. В УФ КХД описывается лагранжианом СМ. Динамическими полями являются кварки и глюоны. В ИК нет кварков и глюонов, но есть мезоны, барионы, глюболы и т.д. — в силу конфайнмента ИК фаза полностью отлична от УФ фазы. Даже если предположить что С.С. Ли может ловко переключиться на описание совершенно новых степеней свободы в ИК чем в УФ (сомневаюсь), его конструкция все равно имеет принципиальную трудность.

Дело в том, что КХД обладает бесконечным числом мезонов с высшими спинами. Поэтому, собственно, AdS/QCD, где в AdS у вас теория супергравитации, никогда не сможет описать КХД. Просто потому что супергравитация в AdS не содержит полей со спином выше чем 2, и потому никогда не сможет описать мезоны с высшими спинами.

5. Резюмируя, нужно быть более аккуратным в том что такое голографическая перенормировка. Ясно, что пространство AdS дуально конформной теории поля, которая не перенормируется. Пространство, которое только асимптотически является AdS, может описывать РГ поток, так что радиальная координата AdS соответсвует масштабу энергии теории поля. Например, AdS-солитон — пространство, которое асимптотически AdS с «двух сторон» — вблизи границы и горизонта Пуанкаре. Такое пространство описывает поток из одной конформной теории поля (в УФ) в другую конформную теорию поля (в ИК).

Однако, не всякое пространство, которое асимпотически AdS, описывает РГ поток. Скажем, (заряженная) черная дыра в AdS не описывает РГ поток. Она описывает конформную теорию поля в которой включена температура (и добавлен заряд). Она описывает одну фиксированную точку РГ потока, а не весь поток! Пространство AdS с ИК стенкой тоже не описывает РГ поток. Оно описывает ИК фазу КХД с нарушенной конформной симметрией.

6. Ренорм-групповой поток — это квантовое свойство теории поля. В классической теории поля все диаграммы — древесные, петель с виртуальными частицами нет, так что теория не перенормируется. Я сильно подозреваю, что подход Малдасены-Сасскинда для описания квантовых свойств теории поля с помощью голографически-дуальной классической теории значительно более полезен чем подход С.С. Ли. Как, скажем, в этой статье описывается запутанная пара квар-анти-кварк в рамках AdS/CFT соответствия.

Ключевые слова: AdS/CFT, квантовая теория поля | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Анти-квантовый фанатизм

17 октября 2013 года, 23:50

Довольно интересный пост Любоша Мотла, рекомендую:

http://motls.blogspot.nl/2013/10/shut-up-and-calculate-especially-if.html?m=1

Мотл собственно комментирует автора этого послания, и индивидуумов ему подобных. Точка зрения, выдвигаемая этим гражданином, по сути сводится к тому что размышления об основах квантовой механики и попытки найти в ней противоречия есть не просто достойная исследовательская деятельность, а более того, весьма похвальная, по сравнению с более приземленными вычислениями которые производят профессиональные физики. На мой взгляд автор не вполне здоров. Что то из разряда тех особей которые вместо того чтобы разобраться с теорией относительности пытаются ее опровергнуть.

Ключевые слова: политика | Оставить комментарий

← сюда туда →