Черновики физика → 2020 → 03 → 02
Роман Парпалак

Задача о взвешенном выборе и случайной величине

2 марта 2020 года, 23:28

Условие

Пусть заданы n положительных чисел $$w_1$$, $$w_2$$, … $$w_n$$. Для каждого из них выберем значение $$x_i$$ случайной величины, равномерно распределенной на единичном интервале (0, 1). Существует ли функция $$f_w(x)$$, такая что максимальное значение этой функции $$\inline\max_{i=1,2,...n}\left\{f_{w_i}(x_i)\right\}$$ достигается на k-той выбранной паре $$(w_k, x_k)$$ с вероятностью, пропорциональной $$w_k$$?

Мотивация

Задача возникла из следующей программистской проблемы. Пусть в базе данных есть таблица с колонкой весов w. Нужно выбрать из этой таблицы случайную строку с вероятностью, пропорциональной значению веса w.

Можно было бы провести одно испытание, выбрав значение случайной величины $$x$$, и взять среди сумм $$w_1_$$, $$w_1 + w_2$$, $$w_1 + w_2 + w_3$$, … первую, превосходящую $$x(w_1 + w_2 + ... + w_n)$$. Но такой перебор сделать сложнее в синтаксисе SQL. Проще отсортировать таблицу по некоторой функции от веса и случайного числа:

SELECT * FROM table ORDER BY f(w, random()) DESC LIMIT 1

Какую функцию нужно применить к весу и случайному числу, чтобы значение этой функции на некоторой строке оказалось наибольшим с вероятностью, пропорциональной весу?

Решение

Допустим, что функция $$f_w(x)$$ существует. Пусть в первом выборе случайная величина приняла значение $$x_1$$. Вычислим, с какой вероятностью значение $$f_{w_1}(x_1)$$ будет наибольшим. Нам нужно взять меру множества значений $$x_i$$, на котором выполняется система неравенств:

$$ \begin{equation*} \begin{cases} f_{w_1}(x_1) > f_{w_2}(x_2),\\ f_{w_1}(x_1) > f_{w_3}(x_3),\\ \cdots \end{cases} \end{equation*} $$(1)

Предполагаем, что $$f_w(x)$$ непрерывна и монотонно возрастает по $$x$$. Тогда существует обратная функция $$f^{-1}_w(y)$$. Чтобы упростить рассмотрение на границах, предположим, что $$f_w(x)$$ принимает одинаковые значения на концах отрезка для всех значений параметра:

$$ f_w(0) = a,\quad f_w(1) = b. $$(2)

Тогда решением системы (1) будет множество

$$0<x_i<f^{-1}_{w_i}\left(f_{w_1}(x_1)\right),\quad i>1.$$

Меру этого множества нужно проинтегрировать по всем значениям $$x_1$$, чтобы вычислить вероятность получения максимального значения в первом выборе. С другой стороны, эта вероятность нормирована на 1 и по условию пропорциональна $$w_1$$. Выводим следующее ограничение на функцию $$f_w(x)$$ для произвольных значений $$w_i$$:

$$ \int_0^1dx_1\,f^{-1}_{w_2}\left(f_{w_1}(x_1)\right)\cdot f^{-1}_{w_3}\left(f_{w_1}(x_1)\right)\cdot\ldots\cdot f^{-1}_{w_n}\left(f_{w_1}(x_1)\right) ={w_1\over w_1+w_2+w_3+\ldots+w_n}. $$(3)

Воспользуемся некоторыми эвристическими соображениями, которые позволяют угадать вид нашей функции. В интеграле можно перейти к новой переменной $$s=f_{w_1}(x_1)$$. Тогда подынтегральное выражение есть произведение величин $$f^{-1}_{w_2}(s)\cdot f^{-1}_{w_3}(s)\cdot\ldots\cdot f^{-1}_{w_n}(s)$$, а соответствующие веса в правой части входят только в виде суммы $$w_2+w_3+\ldots+w_n$$. Логично предположить, что обратная функция обладает показательным свойством по параметру:

$$f^{-1}_{w_2}(s)\cdot f^{-1}_{w_3}(s)\cdot\ldots\cdot f^{-1}_{w_n}(s) =f^{-1}_{w_2+w_3+\ldots+w_n}(s).$$(4)

Если обратная функция $$f^{-1}_w(y)$$ еще и непрерывна по этому параметру $$w$$, она имеет следующий вид: $$x=f^{-1}_w(y)=(g(y))^w$$, где $$g(y)$$ — некоторая новая монотонно возрастающая непрерывная функция. Отсюда следует, что прямая функция $$y=f_w(x)=g^{-1}(x^{1/w})$$.

Подставим полученный вид функций в интеграл из (3):

$$ \begin{align*} P_1&=\int_0^1dx_1\,\left(g\left(g^{-1}(x_1^{1/w_1})\right)\right)^{w_2}\cdot \left(g\left(g^{-1}(x_1^{1/w_1})\right)\right)^{w_3}\cdot\ldots=\\ &=\int_0^1dx_1\,\left(x_1^{1/w_1}\right)^{w_2+w_3+\ldots}= {1\over 1 +{w_2+w_3+\ldots\over w_1}}x_1^{1 +{w_2+w_3+\ldots\over w_1}}\Biggr|_0^1= {w_1\over w_1+w_2+\ldots+w_n}. \end{align*} $$

Таким образом, подстановка $$f_w(x)=g^{-1}(x^{1/w})$$ обращает уравнение (3) в тождество.

Вывод

Функция $$f_w(x)=x^{1/w}$$, а также ее композиция с любой монотонной функцией подходят для выбора из вариантов с заданными весами с помощью описанного в условии способа.

Обсудим единственность этого решения. Помимо естественного требования непрерывности и монотонности, мы наложили дополнительные ограничения (2) и (4). В этих предположениях решение единственно. В следующий раз мы рассмотрим вопрос единственности подробнее, а именно, появляются ли другие решения, если не требовать выполнения (2) и (4), а также можно ли вывести (2) и (4) непосредственно из условия или из более сильных ограничений на искомую функцию вроде дифференцируемости.

Ключевые слова: теория вероятностей | Оставить комментарий