Заметки о теоретической физике → 2014 → 03 → 25
Михаил Гойхман

Дуальности ADE теорий

25 марта 2014 года, 17:45

1. Мы закончили предыдущее обсуждение выяснив что $$A$$ теория, т.е. суперсимметричная КХД с кварками $$(Q,\tilde{Q})$$ и полем материи $$X$$ в присоединенном представлении калибровочной группы, при достаточно большом $$x=N_c/N_f>x_k$$ притекает в ИК в конформную фиксированную точку, в которой суперпотенциал

$$W_{A_k}={\rm Tr}X^{k+1}$$

является существенным оператором. Если сидя в этой конформной фиксированной точке мы добавим суперпотенциал  $$W_k$$, включится новый РГ поток, который закончится тогда когда суперпотенциал $$W_{A_k}$$ станет маргинальным, т.е. R-заряд поля $$X$$ станет равным

$$R(X)=\frac{2}{k+1}$$

В силу условия сокращения аксиальной аномалии (зануление диаграммы $$U(1)_RSU(N_c)^2$$) R-заряд кварков тогда равен

$$R(Q)=R(\tilde{Q})=1-\frac{2x}{k+1}$$

Полученная ИК теория называется теорией $$A_k$$. 

Теория $$A_k$$ имеет Зайберг-дуальную теорию, найденную Кутасовым.

Типичная схема нахождения Зайберг-дуальных теорий следующая. Допустим мы стартуем с электрической теории с калибровочной группой $$SU(N_c)$$ и всевозможными полями материи. Физические наблюдаемые являются калибровчно-инвариатными операторами. Таковыми являются всевозможные операторы следа, операторы мезонов и операторы барионов.

Первое конструктивное (но, вероятно, не всегда обязательное) утверждение состоит в том что Зайберг-дуальная магнитная теория имеет те же фундаментальные степени свободы материи что и электрическая теория, плюс набор фундаментальных мезонов. В электрической теории мезоны не фундаментальны: они являются композитными калибровочно-инвариатными объектами. Каждому композитному мезону электрической теории должен соответствовать фундаментальный мезон магнитной теории.

Мезоны электрической теории есть

$$M_j=\tilde{Q}X^{j-1}Q\,,\quad j=1,\dots,k$$

Ограничение сверху на количество мезонов проистекает из F-уравнения

$$X^k=0$$

следующего из суперпотенциала $$W_{A_k}$$. Каждый мезон является $$N_f\times N_f$$ матрицей (не показано явно) в би-фундаментальном представлении киральной группы $$SU(N_f)_L\times SU(\bar{N}_f)_R$$.

Магнитная теория тогда обладает фундаментальными мезонами

$$\hat{M}_j\,,\quad j=1,\dots,k$$

помимо кварков $$(q,\tilde{q})$$ и поля $$\hat{X}$$.

Далее, дуальность требует равенства аномалий тХуфта. Вот и начнем с $$SU(N_f)_L^3$$ аномалии, т.к. это самый быстрый способ выяснить ранк $$\hat{N}_c$$ дуальной калиброчной группы $$SU(\hat{N}_c)$$. В электрической теории $$SU(N_f)_L^3$$ треугольной диаграмме бегают только лево-киральные кварки $$Q$$, каждый из которых имеет $$N_c$$ цветов и живет в фундаментальном представлении группы $$SU(N_f)_L$$. Если $$T^a,\;a=1,...,N_f^2$$ есть матрицы $$su(N_f)_L$$ в фундаментальном представлении, то диаграмма $$SU(N_f)_L^3$$ пропорциональна $$d^{(abc)}_{fund}={\rm Tr}(T^a\{T^b,T^c\})$$, т.е. трехточечному индексу в фундаментальном представлении. Будем считать что он равен единице. Диаграмма тогда равна $$N_c$$.

В магнитной теории в $$SU(N_f)_L^3$$ диаграмме опять же во-первых бегают магнитные кварки $$q$$, давая вклад $$-\hat{N}_c$$, ибо каждый кварк имеет $$\hat{N}_c$$ цветов и живет в анти-фундаментальном представлении $$SU(N_f)_L$$. Во-вторых, в этой диаграмме бегают фундаментальные магнитные мезоны $$\hat{M}_j,\;j=1,...,k$$. Каждый мезон живет в фундаментальном представлении $$SU(N_f)_L$$, и в  анти-фундаментальном представлении $$SU(N_f)_R$$. С точки зрения $$SU(N_f)_L^3$$ он просто $$N_f$$-кратно вырожден, так что каждый мезон дает вклад в диаграмму, равный $$N_f$$. У нас имеется $$k$$ мезонов, так что диаграмма $$SU(N_f)_L^3$$ равна $$-\hat{N}_c+kN_f$$. Сопоставление с электрическим результатом дает ранк магнитной калибровочной группы

$$\hat{N}_c=kN_f-N_c$$

Заметим что $$k=1$$ воспроизводит результат обычной супер-КХД, т.к. в этом случае $$A_1$$ суперпотенциал есть просто массовый член $$X$$, так что в ИК это поле отсутствует и мы получаем полевой состав обычной супер-КХД. 

Также как и в электрической теории, в магнитной теории мы имеет суперпотенциал $${\rm Tr}\hat{X}^{k+1}$$ поля $$\hat{X}$$, дуального полю $$X$$. Тогда в ИК фиксированной точке магнитной теории мы имеем

$$R(\hat{X})=\frac{2}{k+1}\,,\quad R(q)=R(\tilde{q})=1-\frac{2\hat{x}}{k+1}\,,\;\;\hat{x}=\frac{\hat{N}_c}{N_f}=\frac{kN_f-N_c}{N_f}$$

Следующая вещь которую остается выяснить про магнитную теорию это R-заряд мезонов $$\hat{M}_j$$ Помимо сопоставления групп глобальных симметрий $$U(1)_R\times U(1)_B\times SU(N_f)_L\times SU(N_f)_R$$ и аномалий тХуфта соответствующих им диаграмм, дуальность также требует сопоставление калибровочно-инвариантных операторов и их зарядов по отношению к действию этой группы. Электрические мезоны $$M_j$$ соответствуют магнитным мезонам $$\hat{M}_j$$, так что получаем

$$R(\hat{M}_j)=R(M_j)=2R(Q)+(j-1)R(X)=2\frac{k+j-2x}{k+1}$$

На этом нахождение полевого состава и зарядов всех степеней свободы дуальной теории заканчивается. Чтобы закончить формулировку магнитной теории нужно позаботиться о том чтобы она перетекала в ту же ИК фиксированную точку что и электрическая теория. Ясно что на данном этапе это не так, хотя бы потому что в магнитной теории вдвое больше мезонов чем в электрической: в магнитной теории у нас есть как композитные мезоны

$$N_j=\tilde{q}\hat{X}^{j-1}q\,,\quad j=1,\dots,k$$

так и фундаментальные мезоны $$\hat{M}_j$$. Эта проблема разрешается добавлением суперпотенциала в магнитную теорию, маргинального в ИК фиксированной точке:

$$W={\rm Tr}\hat{X}^{k+1}+\sum_{j=1}^k\hat{M}_jN_{k+1-j}$$

где

$$R(\hat{M}_j)+R(N_{k+1-j})=2\frac{k+j-2x}{k+1}+2\frac{k+(k+1-j)-2\hat{x}}{k+1}=2$$

как и было обещано. Теперь магнитная теория полностью сформулирована.

Все остальные вычисления осуществляют проверку того что найденная магнитная теория действительно дуальна исходной электрической. Например, можно убедиться что все остальные аномалии тХуфта действительно равны. В качестве упражнения читатель может взять любую из аномалий, обсуждаемых тут, и убедиться в соответствии.

Ну вот, к примеру, весьма нетривиальное соотношение $$U(1)_R^3$$ аномалий, т.е. сумма кубов R-зарядов фермионов равна в обоих теориях. Удобно проверить с помощью Математики (помните что $$U(1)_R$$ заряды имеются в виду таковые для фермионных компонент суперполей, который на один меньше заряда всего суперполя):

$$2N_fN_c\left(1-\frac{2N_c}{N_f(k+1)}-1\right)^3+(N_c^2-1)\left(\frac{2}{k+1}-1\right)^3+N_c^2-1=\frac{-16N_c^4+2(1+3k^2)(-1+N_c^2)N_f^2}{(1+k)^3N_f^2}$$

$$2N_f(kN_f-N_c)\left(1-\frac{2(kN_f-N_c)}{N_f(k+1)}-1\right)^3+((kN_f-N_c)^2-1)\left(\frac{2}{k+1}-1\right)^3+(kN_f-N_c)^2-1+$$

$$+N_f^2\sum_{j=0}^k\left(2\frac{N_f(k+j)-2N_c}{N_f(k+1)}-1\right)^3=\frac{-16N_c^4+2(1+3k^2)(-1+N_c^2)N_f^2}{(1+k)^3N_f^2}$$

Вместо полного сопоставления аномалий я хочу здесь обсудить соответствие между барионами. Мы уже сопоставили операторы следа $$({\rm Tr}X^{i},{\rm Tr}\hat{X}^{i})$$ и мезоны $$(M_j,\hat{M}_j)$$, убедившись что они преобразуются одинаково под действием идентичных групп глобальных симметрий. Остается сопоставить барионы, к чему мы и переходим.

Барион является синглетом группы $$SU(N_c)$$ по следующей причине. Берется $$N_c$$ кварков, каждый из которых обладает индексом в фундаментальном представлении $$SU(N_c)$$, и потом эти индексы антисимметризуются. Постолько поскольку мы антисимметризуем коммутирующие суперполя (а не анти-коммутирующие фермионы, как в КХД), все кварковые суперполя должны быть разных ароматов.

Далее, если у нас есть поле материи в присоединенном представлении калибровочной группы, то обычный кварк $$Q^i$$ (фундаментальный $$SU(N_c)$$ индекс показан явно) можно обобщить на одетый кварк

$$Q_{(n)}^i=(X^{n-1})^i_{\;\;\bar{j}}Q^j\,,\quad n=1,\dots,k$$

Тогда наиболее общий барион дается выражением

$$B_{(l_1\dots l_k)}=Q^{l_1}_{(1)}\cdots Q^{l_n}_{(k)}\,,\quad \sum_{i=1}^kl_i=N_c$$

Барион обладает $$N_c$$ антисимметризованными ароматными индексами, которые не выписаны явно.

Учитывая R-заряд одетого кварка

$$R(Q_{(n)})=(n-1)R(X)+R(Q)=\frac{N_f(2n+k-1)-2N_c}{N_f(k+1)}$$

находим R-заряд бариона

$$R(B_{(l_1\dots l_k)})=\sum_{n=1}^kl_nR(Q_{(n)})=\sum_{n=1}^kl_n\frac{N_f(2n+k-1)-2N_c}{N_f(k+1)}$$

Как построить барион в магнитной теории? Кварки в барионе антисимметризованны. Для каждого $$n$$ мы антисимметризуем $$l_n$$ одетых кварков одного типа $$Q_{(n)}=(X)^nQ$$. Тогда соответствующие голые кварки должны иметь разные ароматы. Всего имеется $$N_f$$ ароматов голых кврков. Тогда ковариантный способ перейти от $$l_n$$ антисимметризованных электрических кварков $$Q_{(n)}$$ к $$N_f-l_n$$ антисимметризованным магнитным кваркам осуществляется чем то вроде преобразования Ходжа: $$\epsilon_{i_1\cdots i_{l_n}i_{l_n+1}\cdots i_{N_f}}Q_{(n)}^{\bar{i}_1}\cdots Q_{(n)}^{\bar{i}_{l_n}}$$.

[Черта над ароматными индексами электрических кварков и отсутствие черты над ароматными индексами $$(i_{l_{n}+1},\cdots i_{N_f})$$ дуальных магнитных кварков является тонкостью, следующей из требования $$SU(N_f)_L$$ инвариантности (для получения инварианта необходимо сворачивать фундаментальный и анти-фундаментальный индексы). Поэтому собственно магнитные киральные кварки преобразуются в анти-фундаментальном представлении ароматной группы $$SU(N_f)_L$$, в то время как электрические кварки преобразуются в фундаментальном представлении $$SU(N_f)_L$$. Этот факт использовался выше при обсуждении $$SU(N_f)_L^3$$ аномалии.]

Магнитный мезон дается выражением

$$\hat{B}_{(r_1\dots r_k)}=q^{r_1}_{(1)}\cdots q^{r_n}_{(k)}\,,\quad \sum_{i=1}^kr_i=N_c$$

Причем $$r_n=N_f-l_{k+1-n}$$. Легко убедиться что при таком сопоставлении барионов получаем

$$R(\hat{B}_{(r_1\dots r_k)})=\sum_{n=1}^kr_n\frac{N_f(2n+k-1)-2(kN_f-N_c)}{N_f(k+1)}=R(B_{(l_1\dots l_k)})$$.

Опять же, можно воспользоваться Математикой.

2. Будем теперь обсуждать суперсимметричную КХД в которой есть два поля материи $$X$$, $$Y$$ в присоединенном представлении калибровочной группы. Тут уже возникает большое множество суперпотенциалов которые в принципе можно было бы добавить. Однако нам нужно позаботиться о том чтобы полученный суперотенциал был существенным оператором. Классификация всех существенных суперпотенциалов для двух полей в присоединенном представлении называется ADE классификацией Интрилигатора-Вехта.

Применив a-максимизацию к теории без суперпотенциала можно доказать, что двумя нетривиальными деформациями являются

$$W_{D}={\rm Tr}XY^2$$

$$W_{E}={\rm Tr}Y^3$$

и соотвествующие теории называются D и E теориями. Каждая из этих теорий, после перетекания в соответствующую конформную фиксированную точку, характеризуется R-зарядами полей. Эти R-заряды опять таки определяются с помощью a-максимизации. В результате оказывается что возможны три дальнейшие существенные деформации E теории и одна возможная деформация D теории:

$$W_{D_k}={\rm Tr}(XY^2+X^{k+1})$$

$$W_{E_6}={\rm Tr}(Y^3+X^4)$$

$$W_{E_7}={\rm Tr}(Y^3+YX^3)$$

$$W_{E_8}={\rm Tr}(Y^3+X^5)$$

Суперпотенциалы имеют такие названия потому что точно такими же выражениями дается классификация сингулярностей Арнольда. Детальная причина совпадения мало изучена, см. также и объяснения Любоша Мотла (Как я понял суть в том что сперва дискретные подгруппы SU(2) классифицируются в группы симметрий многогранников, и эта классификация называется ADE. Причина такого названия состоит в том что сингулярные многообразия, построеные как орбифолды по этим дискретным подгруппам, играют интересную роль в теории струн: если вы компактифицируете десятимерную теорию струн на шестимерное многообразие КЯ с такими сингулярностями, то полученная четырехмерная калибровочная группа будет иметь группу калибровочной симметрии как раз соответствующего ADE класса. Т.е. название ADE для сингулярных поверхностей является следствием компактификации теории струн. Комментарии знающих читателей приветствуются.)

Каждая из этих теорий притекает в конформную фиксированную точку в которой ее суперотенциал является маргинальным оператором, что фиксирует R-заряд обоих полей $$X$$, $$Y$$. На данный момент вопрос о Зайберг-дуальных теориях для $$E_6$$ и $$E_8$$ является открытым. Теория дуальная $$D_k$$ была найдена Броди вскоре после открытия дуальности Зайберга, теория дуальная $$E_7$$ была найдена Кутасовым и Лин в январе этого года.

3. Построение дуальности Броди очень похоже на построение дуальности Кутасова. Отличие состоит в том что при четных $$k$$ (считается что) ограничение на спектр мезонов является квантовым свойством. Остальной принцип построения тот же: сперва находятся связи на поля $$X$$, $$Y$$, которые мы будем обсуждать. Потом строится спектр мезонов, который ограничен, в силу этих связей. Вводятся магнитный мезоны, дуальные электрическим. Это дает достаточно информации чтобы определить R-заряды магнитных мезонов и ранк дуальной калибровочной группы.

Ранк дуальной калибровочной группы в таком случае дается общим выражением $$\hat{N}_c=\alpha N_f-N_c$$ (подчеркнуто в работе Кутасов-Лин), где $$\alpha$$ есть число мезонов. Эта формула является прямым следствием сопоставления $$SU(N_f)_L^3$$ аномалии, как я объяснил выше на пример дуальности Кутасова для $$A_k$$ теорий.

Так что единственным нетривиальным элементом построения дуальности Броди является определение ограничения на спектр мезонов. Из суперпотенциала $$W_{D_k}$$ (после удобной нормировки) следуют уравнения

$$\{X,Y\}=0$$

$$X^k-Y^2=0$$

Из первого уравнения сразу вытекает что самый общий мезон имеет вид $$\tilde{Q}X^{m-1}Y^{n-1}Q$$, причем $$m=1,\dots,k$$, так что о некоммутативности $$X$$ и $$Y$$  в данном случае можно больше не беспокоится. У нас все еще бесконечное число мезонов. Заметим однако что

$$Y^3=Y\cdot Y^2=Y\cdot X^k=(-1)^kX^k\cdot Y=(-1)^kY^3$$

При нечетном $$k$$ сразу вытекает что $$Y^3=0$$. Считается что при четном $$k$$ уравнение $$Y^3=0$$ появляется на квантовом уровне. Понимание как пока отсутствует.

В результате мезоны даются выражением

$$M_{m,n}=\tilde{Q}X^{m-1}Y^{n-1}Q\,,\quad m=1,\dots,k,\;\;n=1,2,3$$

Имеется $$3k$$ мезонов, так что Броди-дуальная группа есть $$SU(3kN_f-N_c)$$.

4. Дуальность Кутасова-Лин для $$E_7$$ теорий выводится аналогично дуальности Броди. Это значительно менее тривиально в силу того что уравнения следующие из суперпотенциала не позволяют ограничить простым образом спектр мезонов. Аккуратное описание происходящего и последующее введение квантовой связи (аналогичной связи $$Y^3=0$$ для дуальности Броди) можно найти в их статье. Ответ: 30 мезонов, так что магнитная группа есть $$SU(30N_f-N_c)$$.

Ключевые слова: суперсимметричная теория поля

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 67+7?