Заметки о теоретической физике → 2014 → 03 → 19
Михаил Гойхман

ADE классификация N=1 суперсимметричных теорий

19 марта 2014 года, 14:58

На данный момент если гуглить «Дуальность Зайберга», в первую очередь открывается моя запись в этом блоге. Забавно.

Квантовая хромодинамика (КХД) описывает фермионную материю взаимодействующую с неабелевыми калибровочными полями. В нашем мире КХД − это теория шести кварков (именуемых u, d, c, s, t, b) и шести соответствующих анти-кварков, взаимодействующих с глюонным калибровочным полем группы SU(3). Таким образом каждый кварк имеет три цвета и взаимодействует с восемью глюонами. Соответствующий лагранжиан это калибровочно-инвариантный лагранжиан Дирака для полей материи плюс лагранжиан неабелевого калибровочного поля:

$$L_{QCD}=Q\sigma^\mu D_\mu Q+\tilde{Q}\sigma^\mu D_\mu\tilde{Q}-\frac{1}{4g^2}{\rm Tr}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

Каждый кварк $$Q$$ и анти-кварк $$\tilde Q$$ преобразуется как вектор под действием калибровочной группы SU(3), т.е. (анти)кварки живут в (анти)фундаментальном представлении калибровочной группы. Глюоны живут в присоединенном представлении калибровочной группы, т.е. поле $$F_{\mu\nu}$$ есть эрмитова матрица. Будем считать для простоты что кварки безмассовы, что является довольно хорошим приближением для u, d и s кварков.

Этот лагранжиан описывает систему кварков и глюонов при малой константе взаимодействия $$g$$. Как известно константа взаимодействия зависит от масштаба энергии $$\mu$$, т.е. является функцией $$g(\mu)$$. Типичная неабелева калибровочная теория является асимптотически свободной, что означает что при большом масштабе энергии, в ультрафиолете, константа взаимодействия равна нулю. При движении в область низких энергий, инфра-красный режим, константа взаимодействия растет. Так что при низких энергиях лагранжиан $$L_{QCD}$$ и теория возмущений, основанная на нем, неприменимы.

Более того, при низких энергиях КХД может оказаться в другой фазе взаимодействия чем при высоких. Из лагранжиана $$L_{QCD}$$ следует что кварки взаимодействуют по закону Кулона, т.е. сила взаимодействия между кварками определяется потенциалом $$V(r)=-g(\mu)/r$$. При низких энергиях однако потенциал взаимодействия между кварками в ряде теорий принимает другую форму, $$V=\alpha r$$, приводя к явлению конфайнмента. 

Мы будем обсуждать именно низкоэнергетические (ИК) свойства неабелевых калибровочных теорий с материей. Ясно что обычные пертурбативные методы квантовой теории поля не помогут сказать ничего про ИК фазу. Оказывается весьма полезным если теория суперсимметрична. Ограничения налагаемые суперсимметрией позволяют сделать однозначные выводы о ИК свойствах теории. Мы будем обсуждать $${\cal N}=1$$ суперсимметричную КХД с материей.

На самом деле в этом блоге мы уже обсуждали подобную теорию. Здесь было показано, путем сопоставления аномалий тХуфта, что $${\cal N}=1$$ суперсимметричная КХД, с $$N_f$$ поколениями кварков и анти-кварков и $$SU(N_c)$$ калибровочной группой, Зайберг-дуальна $${\cal N}=1$$ суперсимметричной КХД с $$N_f$$ поколениями кварков и анти-кварков, фундаментальным мезонным суперполем и калибровочной группой $$SU(N_f-N_c)$$. Не считая пары исключений, сопоставление аномалий тХуфта является ключевым моментом сопоставлений теорий по Зайбергу.

В этом посте мы задаемся целью классифицировать более общие $${\cal N}=1$$ суперсимметричные калибровочные теории с материей. Т.е. мы рассмотрим теории с полями материи в других представлениях калибровочной группы, помимо фундаментального. А именно, мы будем обсуждать теории с материей в присоединенном, симметричном и анти-симметричном представлениях. Соответствующие модели были решены в статьях

Kutasov, Schwimmer, Seiberg Chiral rings, singularity theory and electric-magnetic duality

Intriligator, Leigh, Strassler New examples of duality in chiral and non-chiral supersymmetric gauge theories

Brodie Duality in supersymmetric SU(N©) gauge theory with two adjoint chiral superfields

Brodie, Strassler Patterns of duality in N=1 SUSY gauge theories

Intriligator, Wecht RG fixed points and flows in SQCD with adjoints

Kutasov, Lin Exceptional N=1 duality

Общая картина следующая. Допустим для начала нет никакой материи. Мы просто имеем дело с $${\cal N}=1$$ суперсимметричной теорией глюонов. (Точнее, пусть количество степеней свободы материи мало, так что теория имеет стабильный вакуум.) Такая теория в ИК неизбежно находится в фазе конфайнмента. Начнем добавлять материю. Типичное поведение следующее. Когда число полей материи становится достаточно велико, ИК фаза больше не в фазе конфайнмента. Теперь взаимодействие в ИК такое же как и взаимодействие в УФ, т.е. кулоновское. Дальнейшее повышение числа степеней свободы материи в конце концов приводит к тому что теория перестает быть асимптотически свободной.

Когда теория в ИК находится в кулоновской фазе, ее можно описать Зайберг-дуальной магнитной теорией, которая в ИК притекает в точно такую же кулоновскую фазу. Обе Зайберг-дуальные теории в этом случае конформны. Если теория в ИК находится в фазе конфайнмента, то Зайберг-дуальная теория не является асимпотически свободной, т.е. является свободной в ИК. И наоборот, если электрическая теория не является асимпотически свободной, то магнитная теория находится в фазе конфайнмента.

Так что мы будем рассматривать асимптотически свободные теории, и следить за числом полей материи, ограничивая его сверху. Ограничимся обсуждением того как мы можем добавить поля материи в присоединенном представлении калибровочной группы (т.е. поля материи которые как и глюонные поля являются эрмитовыми матрицами). Ситуацию с антисимметричными и симметричными тензорами второго ранка можно рассмотреть аналогичным образом. Поля материи преобразующиеся в тензорном представлении ранка выше чем два добавлять не будем, т.к. полученная теория не будет асимптотически свободной.

Бета-функция $${\cal N}=1$$ суперсимметричной КХД, известная как NSVZ (Новиков, Шифман, Вайнштейн, Захаров) бета-функция, описывает точно пертурбативную перенормировку константы взаимодействия, схематично:

$$\beta(g)=-\frac{bg^2}{1-cg^2}$$

$$b=T(G)+\sum_iT(r_i)(R_i-1)$$

(Постолько поскольку электрическое описание верно, знаменатель выражения бета-функции не равен нулю. Он может оказаться равным нулю только когда электрическое описание все равно не применимо, а в этом случае мы должны описывать систему посредством дуальной магнитной теории, которая свободна в ИК.)

Я записал выражение для бета-функции вблизи конформной фиксированной точки, где аномальные размерности полей можно выразить через их R-заряды $$R_i$$. Сумма осуществляется по всем полям материи, живущим в представлении $$r_i$$ калибровочной группы $$G$$, которую мы берем $$G=SU(N_c)$$. Индексы присоединенного и фундаментального представлений равны $$T(G)=T({\rm Ad})=N_c$$, $$T({\rm fund})=1/2$$.

Чтобы теория была асимпотически свободной, необходимо чтобы бета-функция была отрицательной, т.е. $$b>0$$. Начнем с $${\cal N}=1$$ суперсимметричной КХД с $$N_f$$ поколениями кварков и анти-кварков, которую мы обсуждали тут. Вопрос в том какие к ней еще можно добавить поля материи. Легко убедиться что для того чтобы не потерять асимптотическую свободу мы должны добавить не больше двух полей в присоединенном представлении калибровочной группы. Как я уже написал, добавление полей в (анти)симметричном представлении второго ранка по больше части аналогично (когда теория не киральна), а добавление полей высшего ранка нарушит асимптотическую свободу.

Итак, мы добавляем два киральных суперполя, $$X$$, $$Y$$, в присоединенном представлении калибровочной группы. Этот случай включает теорию только с одним киральным супреполем $$X$$ (помимо $$2N_f$$ кварков и анти-кварков), т.к. мы всегда можем придать массу полю $$Y$$, исключив его таким образом из ИК физики.

В режиме УФ все поля почти свободны, так что их R-заряд равен 2/3.  Для рассматриваемой теории тогда $$b=\frac{N_c-N_f}{3}$$, при больших энергиях. Обозначим $$x=N_c/N_f$$, тогда требование асимптотической свободы означает $$x>1$$. Чем больше $$x$$, тем меньше кварков.

Когда $$x=1+\epsilon$$, $$\epsilon\ll 1$$, теория притекает в ИК фиксированную точку с малой константой взаимодействия, называемую фиксированной точкой Банкса-Закса. Такая теория может быть изучена пертурбативно на всем РГ потоке.

Повышение $$x$$, т.е. снижение числа кварков, выводит теорию в ИК из пертурбативного режима. Тогда для изучения ИК фазы теории нужны другие методы. Актуальный вопрос состоит в том каковы R-заряды и конформные размерности операторов в ИК. Предположим что при неком $$x>1$$, теория перетекает в нетривиальную ИК фиксированную точку. Т.е. теория в ИК является конформной теорией поля, с группой симметрий $$SO(2,4)$$, покрываемой группой $$SU(2,2)$$. Однако в силу суперсимметрии эта группа симметрий расширена до супергруппы суперконформных симметрий $$SU(2,2|1)$$. Помимо добавления $$4+4$$ фермионных генераторов суперсимметрии, теория также инвариатна относительно дополнительной группы бозонных преобразований $$U(1)$$. Эта группа называется группой R-симметрий.

Соответствующий сохраняющийся ток $$j^{(R)}_\mu$$ тогда оказывается в одном супермультиплете с тензором энергии-импульса $$T_{\mu\nu}$$. Конформная размерность оператором является собственным числом оператора следа тенхора-энергии импульса, $$T^\mu_\mu$$. Это приводит к связи между конформной размерностью и R-зарядом операторов $${\cal N}=1$$ суперконформных теорий поля:

$$\Delta=\frac{3}{2}R$$

Посмотрим как это уравнение оказывается полезным. Придадим массу полю $$Y$$, т.е. будем рассматривать суперсимметричную КХД с $$N_f$$ парами кварков-антикварков $$(Q,\tilde Q)$$ и безмассовым полем $$X$$ в присоединенном представлении калибровочной группы $$SU(N_c)$$. Такие КХД принадлежат классу $$A$$. Мы стартуем с масштабов энергии занчительно меньших массы поля $$Y$$, так что пересчитаем коэффициент в бета-функции: теперь он равен $$b=\frac{2N_c-N_f}{3}$$. Теория асимптотически свободна если $$x>1/2$$.

Начинаем повышать $$x$$. Мы довольно быстро выходим из пертурбативной области, в которой теория в ИК находится в кулоновской фазе Банкса-Закса. Благодаря суперсимметрии однако мы можем без труда найти конформные размерности всех калибровочно-инвариатных операторов, $$\Delta=3R/2$$.

Таковыми являются операторы $${\rm Tr}\,X^{j}$$, мезоны $$M_j=\tilde{Q}X^{j}Q$$ и барионы $$B=Q\dots Q$$. Барион состоит из анти-симметричного произведения $$N_c$$ кварков, и (не написано явно), между кварками можно вставлять произвольные степени поля $$X$$. Довольно много полей. Упростим жизнь рассмотрев предел Венециано: предел больших $$N_f$$ и $$N_c$$ и конечного отношения $$x=N_c/N_f$$. Тогда вкладом полей  $${\rm Tr}\,X^{j}$$ в какие то ни было функции R-зарядов калибровочно-инвариантных операторов можно пренебречь (т.к. число полей с такими зарядами есть $${\cal O}(1/N_c^2)$$ по сравнению с с числом мезонов). При этом R-заряд бариона при любом конечном R-заряде кварка всегда будет большим.

Теперь время вспомнить что унитарная конформная теория требует чтобы размерности всех скалярных операторов были больше чем один. Размерность равная единице означает что оператор становится свободным. Сразу замечаем что суперсимметрия позволяет переформулировать это условие в терминах R-зарядов:

$$R>\frac{2}{3}$$

Из обсуждения выше следует что R-заряд бариона скорее всего не пересечет унитарной ограничение (после того как все расчеты достаточно проверить только что R-заряд кварка положителен). Так что нас интересует только чему равны R-заряды мезонов $$M_j$$, и мы будем знать унитарна ли теория или нет.

Первый шаг к определению R-заряда состоит в том что надо потребовать сокращения ABJ аномалии. Обозначим R-заряд кварков Q (равный R-заряду анти-кварков $$\tilde{Q}$$) как $$y$$, а R-заряд поля $$X$$ как $$z$$. Сокращений аномалий тогда требует

$$T(SU(N_c))+\sum_iT(r_i)(R_i-1)=0\quad\Rightarrow\quad N_c+2N_f\frac{1}{2}(y-1)+N_c(z-1)\quad\Rightarrow\quad z=\frac{1-y}{x}$$

Для обычной SQCD (без поля $$X$$) на этом бы все R-заряды были бы определены. Но теперь мы все еще не знаем R-заряд кварка, $$y$$.

Определить его нужно с помощью простой процедуры, называемой a-максимизацией, разработанной Интрилигатором и Вехтом в этой статье:

Intriligator, Wecht The exact superconformal R symmetry maximizes a

В этой статье выводится следующая теорема. R-симметрия полей суперконформной теории поля такова что функция

$$a=3{\rm Tr}R^3-{\rm Tr}R$$

максимальна. Эта функция (с точностью до пефактора 3/32) является a-коэффициентом суперконформной аномалии. След берется по всем фундаментальным полям теории. Скажем влад от $$N_f$$ кварков $$Q$$, $$N_f$$ анти-кварков $$\tilde{Q}$$, каждый из которых имеет $$N_c$$ цветов, равен

$$2N_fN_c(3(y-1)^3-(y-1))$$

вклад от $$N_c^2$$ глюонов равен

$$N_c^2(3-1)=2N_c^2$$

и вклад от поля $$X$$ равен

$$N_c^2(3(z-1)^3-(z-1))=N_c^2\left(3\left(\frac{1-y}{x}-1\right)^3-\left(\frac{1-y}{x}-1\right)\right)$$

Суммируем все вместе. Для удобства рассматриваем $$a/N_f^2$$ и вспоминаем определение $$x=N_c/N_f$$:

$$\frac{a_0}{N_f^2}=2x(3(y-1)^3-(y-1))+x^2\left[2+3\left(\frac{1-y}{x}-1\right)^3-\left(\frac{1-y}{x}-1\right)\right]$$

Применение a-максимизации дает $$y(x)$$.

Дальше возникает тонкость. Допустим что $$x=x_0$$ таково что $$2y(x_0)=2/3$$, т.е. размерность мезона $$M_0=\tilde{Q}Q$$ доходит до унитарной границы. В обычной КХД это означало бы что электрическое описание теории перестает быть правильным и нужно переключиться к магнитной теории. Чтобы точно это определить нужно посмотреть на магнитную теорию: электрическая суперконформная теория перестает быть унитарной тогда когда магнитная перестает быть асимптотически свободной. В данном случае оказывается что переключаться на ИК-свободное магнитное описание еще рано, что мы покажем ниже, после вывода магнитной теории.

Напомню еще раз, что в конформном окне суперконформную фиксированную точку можно описывать как электрической так и магнитной теорией. В обычной SQCD конформное окно это $$1/2<x<2/3$$. Однако при $$x>2/3$$ суперконформную теорию можно описывать только магнитной теорией.

Для теорий типа $$A$$, которые мы сейчас обсуждаем, переход через точку $$x=x_0$$, в которой мезон $$M_0$$ доходит до унитарного ограничения, означает, что мезон $$M_0$$ становится свободным полем. Дальнейшее повышение $$x$$ вовсе не продолжает менять R-заряд $$M_0$$, опуская его все ниже свободного значения $$2/3$$. Напротив, этот R-заряд остается равным $$2/3$$. Мы должны это учесть, модифицировав a-функцию соответственно:

$$a_0\quad\Rightarrow\quad a_1=a_0+\left[a(2/3)-a(2y)\right]$$

т.е. процедура по сути сводится к тому что мы вычитаем a-функцию, посчитанную для R-заряда компонент отсоединившегося мезона $$M_0$$, и добавляем a-функцию свободного мезона.

Оказывается что все остальные мезоны $$M_j=\tilde{Q}X^jQ$$ становятся свободными по очереди, $$j=1,2,\dots$$, и когда это происходит, к ним нужно применить процедуры, описанную выше. В результате мы получаем зависимость от $$x$$ всех R-зарядов.

Оказывается что R-заряд кварков, $$y$$, при $$x\rightarrow\infty$$ стремится к конечному числу, так что R-заряд $$X$$, $$z=\frac{1-y}{x}$$, стремится к нулю. Так что для теорий с большими $$x$$ мы заключаем что $$X$$ имеет большую аномальную размерность в ИК. На самом деле при достаточно большом $$x>x_k$$, оказывается что суперпотенциал

$$W_k={\rm Tr}X^k$$

становится существенным, причем это верно для произвольного $$k$$. Что расходится с наивными УФ представлениями о том что только суперпотенциалы порядка не выше третьего могут быть существенными.

Итак, вот что произошло. Мы начали в УФ рассматривать суперсимметричную КХД с одним полем материи в присоединенном представлении калибровочной группы. Мы двинулись в ИКи добрались до конфомрной фиксированной точки. Оказалась что если теория удовлетворяет $$x>x_k$$, то находясь в этой точке, мы можем включить суперпотенциал $$W_k$$. Это снова включит РГ поток, который будет продолжаться до тех пор пока потенциал $$W_k$$ не станет маргинальным, т.е., пока теория не притечет в новую фиксированную точку, в которой R-заряд $$W_k$$ равен $$2$$, а конформная размерность равна $$\frac{3}{2}\cdot 2=3$$.

Это теория типа $$A_k$$.

На этом классификация $$A$$-теорий заканчивается. $$D$$-теории и $$E$$-теории имеют два поля материи в присоединенном представлении. Продолжим следующий раз, будем рассматривать дуальность $$A_k$$ теории (Кутасов), $$D$$-теории (дуальность Броди, только не из Homeland ;) ) и $$E$$-теории (дуальность Кутасов-Лин).

P.S. Написано полностью на английской клавиатуре.

Ключевые слова: суперсимметричная теория поля

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 43+7?