Заметки о теоретической физике → 2014 → 01 → 05
Роман Парпалак

Торможение реликтовым излучением

5 января 2014 года, 14:00

На втором курсе за неделю перед досрочным экзаменом по теоретической физике Семен Соломонович Герштейн задал мне две задачи. В одной требовалось найти угловое распределение синхротронного излучения электрона, движущегося по окружности. Вторая оказалась интереснее: найти силу торможения со стороны реликтового излучения на площадку, движущуюся перпендикулярно самой себе. Остановимся на ней подробнее. Записей с тех времен у меня не сохранилось, а в литературе опубликованы противоречивые результаты. Хороший повод заново разобраться в задаче.

Обозначения и соглашения

Под реликтовым излучением мы подразумеваем равновесное тепловое излучение при некоторой температуре T. Напомним, что плотность энергии и давление равновесного излучения определяются температурой: ε = 4πσT4/c, P = ε/3.

В системе отсчета, связанной с реликтовым излучением, оно однородно и изотропно. Относящиеся к ней величины будем обозначать символами без штрихов. Относительно этой системы со скоростью v движется площадка (например, диск) с коэффициентом отражения R. Штрихами обозначим величины в сопутствующей системе отсчета (связанной с площадкой).

Будем опускать скорость света c в тех формулах, где она легко восстанавливается из соображений размерности.

Обзор литературы

В публикациях по этой проблеме нет консенсуса. Например, в письме Андрея Шепелева в УФН под названием «Космический микроволновой фон и аристотелевы представления о движении» приведена формула для давления на площадку $$P=-v\,(1+v^2/2)\,\varepsilon/2$$. Этот ответ, как мы увидим ниже, явно ошибочен. Автор не раскрывает вычислений, поэтому невозможно понять, где ошибка.

В работе Баласаняна и Мкртчяна «Blackbody radiation drag on a relativistically moving mirror» вычисляется плотность импульса в системе отсчета, связанной с диском, и она отождествляется с давлением (с точностью до учета отражения). По поводу этой работы у меня есть два замечания. Во-первых, для вычисления плотности импульса авторы предлагают непростой путь. Они интегрируют импульс фотона $$\vec{k}'$$ по импульсному пространству c функцией распределения

(1)$$n'(\vec{k}')={1\over e^{\gamma(\omega' +k'_xv)/T}-1}.$$

В то же время плотность импульса электромагнитного излучения отличается на множитель 1/c2 от вектора Поинтинга, проекции которого есть компоненты T0i тензора энергии-импульса. Записав преобразование Лоренца для компоненты T01 тензора

$$T^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}\varepsilon &0&0&0\\0&\varepsilon/3&0&0\\0&0&\varepsilon/3&0\\0&0&0&\varepsilon/3\end{pmatrix},$$

сразу получаем плотность импульса (см. II том Ландау и Лифшица, §35, формула 35.3)

(2)$$S'_x=-{4\over 3}\,\varepsilon\,{v\over 1-v^2}.$$

Во-вторых, неправильно отождествлять проекцию импульса электромагнитной волны, падающей на площадку под углом θ к нормали, с давлением, потому что сама площадка находится под углом, и ее эффективная площадь уменьшается. Из-за дополнительного фактора |cos θ|, появляющегося под интегралом (см. ниже), формула (2) не является правильным ответом, и использовать ее вообще нельзя.

Вычисление в сопутствующей системе отсчета

Давление как силу на единицу поверхности определим через импульс, передаваемый диску при отражении или поглощении фотонов за единицу времени:

$$P={F\over S}={1\over S}{\hbar\Delta k\over\Delta t}.$$

Если фотоны летят под углом θ к нормали, то за время Δt до неподвижной площадки S долетят фотоны из объема S cΔ|cos θ|. Из них доля R отразится и доля (1−R) поглотится. Каждый поглощенный фотон отдаст импульс $$\hbar k\cos\theta=\hbar\omega\cos\theta/c$$, а каждый отраженный — в два раза больше. Собирая всё вместе, получаем в сопутствующей системе отсчета

$$P=\int{\hbar\omega'\cos\theta'\over S\,c\Delta t'}\,(1+R)\,S\,c\Delta t'\,|\cos\theta'|\,n'(\vec{k}')\,d^3k'.$$

Напомним, что частота ω и волновой вектор $$\vec{k}$$ образуют четырехвектор $$(\omega, \vec{k})$$. Переход к движущейся системе координат осуществляется преобразованиями Лоренца

$$\omega'={\omega-k_xv\over\sqrt{1-v^2}},\qquad k_x'={k_x-\omega v\over\sqrt{1-v^2}}.$$

Функция распределения $$n(\vec{k})$$ в фазовом пространстве инвариантна относительно преобразований Лоренца, так как и элемент фазового объема $$d^3r\,d^3k$$, и число частиц $$dN=n(\vec{r},\vec{k})\,d^3r\,d^3k$$ есть инварианты (подробнее см. II том Ландау и Лифшица, §10). Именно поэтому функция распределения в движущейся системе $$n'(\vec{k'})=n(\vec{k})$$ есть обычное распределение Бозе — Эйнштейна (1), в которое подставлена преобразованная частота.

В итоге давление определяется следующим интегралом

(3)$$P=\int \hbar\omega'\cos\theta'\,(1+R)\,|\cos\theta'|\,{const\over exp\left(\dfrac{\hbar\omega'}{kT}\,\dfrac{1+v\cos\theta'}{\sqrt{1-v^2}}\right)-1}\,\omega'^2\,d\omega'\,{d(\cos\theta')\over 2}.$$

Вместо того чтобы следить за комбинацией констант, которая в итоге должна свестись к постоянной Стефана-Больцмана σ, мы примем условие нормировки в выражении для плотности энергии с той же самой константой:

$$\varepsilon=\int \hbar\omega\,{const\over exp\left(\dfrac{\hbar\omega}{kT}\right)-1}\,\omega^2\,d\omega={4\pi\sigma\over c}T^4.$$

Еще отсюда видно, что (3) можно упростить, проинтегрировав по частотам. Множитель $${\sqrt{1-v^2}}/{(1+v\cos\theta')}$$ перед температурой в экспоненте появится под интегралом в четвертой степени. Дальнейшее вычисление тривиально:

$$P=\varepsilon\,(1+R)\int\limits_{-1}^{1}\cos\theta'\,|\cos\theta'|\,\dfrac{(1-v^2)^2}{(1+v\cos\theta')^4}\,{d(\cos\theta')\over 2},$$

(4)$${\Large\boxed{P=-\varepsilon\,(1+R)\,\frac{v\,(1+v^2/3)}{1-v^2}}.}$$

Чтобы убедиться в правильности результата, вычислим тем же методом давление фотонного газа на одну сторону покоящейся пластины. Зависящий от скорости подынтегральный множитель исчезает, а интеграл в пределах от 0 до 1 равен 1/3. Полное давление есть (1+Rε/6. Если пластина всё отражает и ничего не поглощает, давление совпадает с ожидаемой величиной ε/3. Если пластина всё поглощает, давление равно ε/6 и составляет половину от давления фотонного газа ε/3. Вторая половина набегает за счет собственного излучения пластины, которое мы в наших расчетах не учитывали.

Формула (4) не совпадает ни с результатом Шепелева, который утверждает, что ответ сложен, и раскладывает его в ряд, ни с результатом Баласаняна, который ошибочно отождествляет в этой задаче плотность импульса и давление.

Вычисление в неподвижной системе отсчета

$$\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing} \begin{tikzpicture}[line width=0.2mm,scale=1.0545]\small \tikzset{>=stealth} \tikzset{snake it/.style={->,semithick, decoration={snake,amplitude=.3mm,segment length=2.5mm,post length=0.9mm},decorate}} \def\h{3} \def\d{0.2} \def\ww{1.4} \def\w{1+\ww} \def\p{1.5} \def\r{0.7} \coordinate[label=below:$A_1$] (A1) at (\ww,\p); \coordinate[label=above:$B_1$] (B1) at (\ww,\p+\h); \coordinate[label=below:$A_2$] (A2) at (\w,\p); \coordinate[label=above:$B_2$] (B2) at (\w,\p+\h); \coordinate[label=left:$C$] (C1) at (0,0); \coordinate[label=left:$D$] (D) at (0,\h); \draw[fill=blue!14](A2)--(B2)-- ++(\d,0)-- ++(0,-\h)--cycle; \draw[gray,thin](C1)-- +(\w+\d,0); \draw[dashed,gray,fill=blue!5](A1)-- (B1)-- ++(\d,0)-- ++(0,-\h)-- cycle; \draw[dashed,line width=0.14mm](A1)--(C1)--(D)--(B1); \draw[snake it](C1)--(A2) node[pos=0.6,below] {$c\Delta t$}; \draw[->,semithick](\ww,\p+0.44*\h)-- +(\w-\ww,0) node[pos=0.6,above] {$v\Delta t$}; \draw[snake it](D)--(B2); \draw[thin](\r,0) arc (0:atan2(\p,\w):\r) node[midway,right,yshift=0.06cm] {$\theta$}; \draw[opacity=0](-0.40,-0.14)-- ++(0,5.06); \end{tikzpicture}$$ Тот же результат получается и в неподвижной системе отсчета. В ней не нужно иметь дела с функцией распределения фотонов, однако из-за движения площадки геометрические выкладки сложнее.

Чтобы понять, сколько летящих под углом θ фотонов с частотой ω попадет за время Δt на площадку AB, нужно ввести понятие «заметаемого объема» (объем, фотоны из которого попадут на диск) и умножить его величину на плотность фотонов nω. За это время площадка переместится из положения A1B1 в положение A2B2, а фотоны из точек C и D долетят до диска. Таким образом, заметаемый объем соответствует фигуре A1B1DС, и его величина равна |cΔcos θ − vΔt|.

При отражении фотона от площадки в сопутствующей системе отсчета знак проекции волнового вектора фотона изменяется на противоположный: $$k'_{2x}=-k'_{1x}$$. Найдем соответствующее изменение в неподвижной системе:

$$\begin{aligned}\Delta k &=k_{1x}-k_{2x}=k_{1x}-\gamma(k'_{2x}+\omega'_2v)=k_{1x}+\gamma(k'_{1x}-\omega'_1v)=\\&=k_{1x}+\gamma\left(\gamma(k_{1x}-\omega_1 v)-\gamma(\omega_1-k_{1x}v)v\right)=k_{1x}+\gamma^2\left(k_{1x}(1+v^2)-2v\omega\right).\end{aligned*}$$

Выражая проекцию волнового вектора через частоту фотона и азимутальный угол $$k_x=\omega\cos\theta$$, получаем

$$\Delta k=\omega\left[\cos\theta\left(1+{1+v^2\over 1-v^2}\right)-2{v\over 1-v^2}\right]={2\omega\over 1-v^2}\,(\cos\theta-v).$$

Ясно, что двойку в последнем выражении нужно заменить на (1+R), чтобы учесть случай произвольного коэффициента отражения R. Давление

$$P_\omega=\int{\hbar\omega\over S\,c\Delta t}\,{1+R\over 1-v^2}\,(\cos\theta-v)\,S|c\Delta t\cos\theta-v\Delta t|\,n_\omega\,{d(\cos\theta)\over2},$$

$$P_\omega={n_\omega\over 2}\hbar\omega\,{1+R\over 1-v^2}\int\limits_{-1}^{1}dx\,(x-v)|x-v|.$$

После вычисления интеграла и усреднения плотности энергии $$n_\omega\hbar\omega$$ по частотам получается формула (4).

Ключевые слова: электродинамика, равновесное излучение

Комментарии

#1. 9 июля 2014 года, 13:26. green пишет:
А не легче считать с помощью эффекта Доплера (вперед
отражаются более высокочастотные фотоны)
Берем из вики формулу:
w(v)= w0 * sqrt(1-v^2) / (1+v*cos(Q))
Интегрируем, получаем:
P := k*2*v/sqrt(1-v^2)
#2. 10 июля 2014 года, 00:18. пишет:
На самом деле оба способа из заметки про эффект Доплера. Формула из Википедии — следствие преобразований Лоренца.

Если интегрировать аккуратно, должен получиться ответ как у меня. Промежуточные шаги, скрывающиеся за фразой «интегрируем, получаем», мне не понятны.
#3. 11 июля 2014 года, 07:08. green пишет:
Могу я на maple решение дать ?
#4. 11 июля 2014 года, 13:28. пишет:
Да.
#5. 13 июля 2014 года, 12:44. green пишет:
# disk dvizetsy vverx po z, two photon up(w,Pi) and down(w,0) and full otrazenie
# delta(P) = -2*p(up)+2*p(down) = -2*h*(k(up)-k(down)) = -2*h*(w(-v)-w(v)) = 2*h*diff(w,v)*2*v
w := w0 * sqrt(1-v^2) / (1+v*cos(q)); # wiki
deltaP := 4*h*diff(w,v)*v;
deltaQ := int(deltaP,q=0..Pi/2); # -4*w0*v/sqrt(1-v^2)
#deltaQ := int(deltaP,dQ/4*Pi);
plot(eval([w,deltaP,deltaQ],{v=0.1,w0=1,h=1}),q=0..2*Pi,color=["red","green","blue"]);
# normirovka:
# E = K*int(h*w*f(w),w) = K*int(h*w/exp(h*w/k*T)*w^2,w=0..infinity);
# p = int(p(w)*f(w),w) = int(h*k(w)*f(w),w) = E
# P = int(deltaQ(w)*f(w),w)
P:=-4*E*v/sqrt(1-v^2);
#6. 13 июля 2014 года, 13:09. пишет:
У вас смешались в кучу формулы, которые нужно применять в разных ситуациях.

Формулу из Википедии для эффекта Доплера можно применять в системе отсчета, где диск покоится. Но тогда нужно учитывать, что в этой системе изменяется угловое распределение фотонов реликтового излучения.

Потом вы интегрируете по телесному углу, предполагая равномерное угловое распределение. Оно будет таким в неподвижной системе, где диск движется. Но в ней еще нужно учесть то, что диск встретит больше фотонов спереди, чем сзади (см. про «заметаемый объем»).

Еще раз повторю, что если проводить вычисления аккуратно, то должен получиться такой же ответ, как и у меня.
#7. 14 июля 2014 года, 20:06. Rustem пишет:
Полагал реликтового излучение из бесконечно далекого источника.
Выходит каждая точка пространства постоянно излучает?
И еще как быть с фотоном, остановиться?
#8. 14 июля 2014 года, 22:03. пишет:
Нет, не постоянно излучает, а однократно.

В приближении этой задачи реликтовое излучение однородно и изотропно: плотность фотонов одинакова в каждой точке, и в каждом направлении летит одинаковое число фотонов.

Такими же характеристиками обладает равновесное тепловое излучение (фотонный газ) — электромагнитное излучение внутри горячего ящика. У реликтового излучения и фотонного газа еще и одинаковый спектр (зависимость количества фотонов от их частоты).

Когда Вселенная была в 1000 раз меньше и горячее, вещество было плазмой. Излучение находилось в равновесии с плазмой. Из-за расширения и остывания плазма превратилась в газ (произошла рекомбинация ионов и электронов) и стала прозрачной. В этот момент излучение отделилось от вещества, стало распространяться в прозрачной среде и сохранило однородность, изотропность и спектр.

Таким образом, можно считать, что в момент рекомбинации каждая точка пространства излучает по всем направлениям одинаковое количество фотонов, и дальше они распространяются в прозрачном пространстве.

Последний вопрос я не понял.
#9. 20 июля 2014 года, 12:32. green пишет:
Вселенная стала прозрачной, это как туман рассеялся. А для гравитонов
она сталa прозрачной раньше или позже?
Про фотон неудачно пошутил. Просто хотел оценить для скорости порядка
c. Для V=0, торможение пропорционально V (формулы одинаковы)
Для V=с, ?
#10. 20 июля 2014 года, 14:58. пишет:
Я бы не стал применять термин «прозрачность» для гравитонов.

Гравитационное поле могло быть в (тепловом) равновесии с другими полями только в самый первый момент появления Вселенной, до стадии инфляции. Во время инфляции квантовые флуктуации инфлатонного поля превратились в неоднородности плотности, которые потом стали скоплениями галактик. Квантовые флуктуации гравитационного поля превратились в первичные гравитационные волны. Они заполняют Вселенную аналогично реликтовому излучению. Когда завершилась стадия инфляции, препятствий для распространения гравитационных волн не было.

Подробнее про первичные гравитационные волны:
http://elementy.ru/news/432215

Уточню, что инфляция завершилась, когда Вселенной было $$10^{-36}$$ секунд. Рекомбинация плазмы и отделение реликтового излучения произошли в возрасте 380000 лет
#11. 20 июля 2014 года, 22:47. green пишет:
Глупый наверно вопрос, а куда черные дыры подевались когда плотность/масса была же достаточна для их образования. Испарились, инфляция?
#12. 21 июля 2014 года, 21:33. пишет:
О черной дыре можно говорить в случае ограниченного в пространстве распределения вещества, потому что, грубо говоря, в формулу для радиуса горизонта событий входит масса. У протяженных неограниченных объектов горизонт событий отсутствует.

Кстати, представления о черных дырах как о сверхплотных объектах происходят от коллапсирующих звезд. Средняя плотность сверхмассивных черных дыр может быть маленькой:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Сверхмассивная_чёрная_дыра
#13. 4 сентября 2014 года, 12:42. green пишет:
Роман, а как оценить плотность реликтового излучения гравитонов?
Както посчитал, многовато получилось (1гр/100св.лет).
#14. 7 сентября 2014 года, 20:42. пишет:
Я не знаю. Плотность должна зависеть от деталей инфляционного расширения. Я в этом не специалист :)

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 12+9?