Заметки о теоретической физике → 2013 → 05 → 28
Михаил Гойхман

Дуальность Зайберга: сопоставление аномалий

28 мая 2013 года, 19:02

1. Будем иметь дело с N=1 суперсимметричной SU(N) калибровочной теорией поля с F киральными суперполями (кварками) Aif, f=1,...F, i=1,...N материи в фундаментальном представлении калибровочной группы, и F киральными суперполями (анти-кварками) Bjf, f=1,...,F,j=1,...,N в анти-фундаментальном представлении калибровочной группы SU(N). В том случае когда F>N+1, данная теория S-дуальна (т.е. если одна теория сильно-взаимодействующая, то дуальная теория слабо-взаимодействующая) другой калибровочной N=1 суперсимметричной теории поля с материей. Две дуальные теории эквивалентны в ИК режиме.

Дуальная теория поля имеет калибровочную группу SU(F-N). Полями материи являются киральные суперполя aif, f=1,...F, i=1,...F-N в фундаментальном представлении калибровочной группы, и киральные суперполя bjff=1,...,F,j=1,...,F-N в анти-фундаментальном представлении калибровочной группы SU(F-N). А также мезонное суперполе Mef, в фундаментальном представлении ароматной группы глобальной симметрии SU(F)L (индекс e) и анти-фундаментальном представлении ароматной группы SU(F)R (индекс f). Обратите внимание, что мезонное суперполе фундаментально, а не является композитным полем из двух кварков.

Зайберг-дуальность была показана Зайбергом в этой статье:

N. Seiberg, Electric-Magnetic Duality in Supersymmetric Non-Abelian Gauge Theories

Дуальные теории должны иметь одинаковую группу глобальных симметрий, свободную от аномалий. Группой глобальных симметрий является прямое произведение лево-киральной и право-киральной ароматных групп, группы барионного заряда и группы преобразований R-симметрии:

$$SU(F)_L\times SU(F)_R\times U(1)_B\times U(1)_R$$

Каждое киральное поле, Aif, живет в фундаментальном представлении ароматной группы SU(F)L, вращающей индекс f, и является синглетом группы SU(F)R. Каждое киральное анти-поле, Bif, будучи эквивалентным анти-киральному полю (эквивалентным посредством обычного комплексного сопряжения; комплексное сопряжение спинора четырехмерии меняет киральность спинора на противоположную; ну и очевидно что все заряды поля при этом тоже меняет знак, т.е. частица переходит в анти-частицу), живет в анти-фундаментальном представлении SU(F)R и является синглетом SU(F)L. Для киральных суперполей a и b дуальной теории ситуация аналогичная, но с анти-фундаментальным представлением SU(F)L и фундаментальном представлением SU(F)R; почему, будет ясно ниже, на примере сопоставления SU(F)L3 аномалии.

Далее, каждое киральное и анти-киральное суперполе обладает одним и тем же барионным U(1)B зарядом. Он выбирается из тех соображений чтобы (антисимметризованное) произведение N киральных/анти-киральных суперполей (барион, являющийся синглетом калибровочной группы) имело барионный заряд 1. Тогда в исходной теории поля A,B имеют U(1)B заряд 1/N, а в Зайберг-дуальной теории поля a,b имеют U(1)B заряд 1/(F-N). Мезонное суперполе M не имеет U(1)B заряда.

N=1 суперсимметричная теория обладает группой U(1)R R-симметрий, преобразующих координаты суперпространства. Ясно что киральное поле и киральное анти-поле материи должны иметь один и тот же R-заряд, т.к. они зависят от одних и тех же киральных координат суперпространства. Тогда анти-киральное поле имеет R- заряд, противоположный R-заряду кирального поля. В результате U(1)R симметрия киральна и потому потенциально является аномальной, и нам нужно позаботиться о том, чтобы вклад в аномалию от всех киральных полей теории сокращался. U(1)R заряд суперполей материи (равный (F-N)/F) находится именно из соображения сокращения киральной U(1)R аномалии. (Обратите внимание, что поля разной киральности приеобразуются относительно U(1)B одинаковым образом, так что барионная симметрия свободна от аномалий. Также, в силу специальности киральных групп SU(F)L и SU(F)R, т.е. в силу бесследовости их генераторов, эти группы также свободны от аномалий, см. Пескина-Шредера.)

2. Про аксиальную аномалию советую почитать где-то еще, к примеру в Пескине-Шредере. Касательно U(1)R кратко напомню что происходит, т.к. это имеет отношение к главной теме поста, обсуждаемой в следующем пункте. Глобалной симметрии U(1)R соответствует сохранющийся киральный ток

$$j_R^\mu (q)=\sum _aQ_a\psi_a^\dagger\gamma^\mu\psi_a$$

где суммирование производится по всем киральным фермионам с U(1)R зарядами Qa. Формула также неявно подразумевает суммирование по всем SU(N)  цветам, когда фермионы цветные.

Рассмотрим треугольную однопетлевую диаграмму, в одной вершине которой находится этот ток, а в двух других — калибровочные бозоны теории, в данном случае это SU(N) клей (картинка отсюда):

 

Киральнй ток находится в нижней вершине (с импульсом q). В данном случае обе диаграммы пропорциональны фактору

$$\Gamma^{mn}=\sum_aQ_a{\rm Tr}(T_{r_a}^mT_{r_a}^n)$$

помноженному на интергал по импульсу в петле, одинаковый для всех фермионов (не связанный с представлением калибровочной группы и U(1)R зарядом). Опять, суммирование идет по всем киральным фермионам: фермионы бегают в петле. Фермион ψa живет в представлении ra цветной группы SU(N) с генераторами Tm, m=1,...,N2-1.

Происхождение фактора Γmn легко понять. Фиксируем один фермион ψa и посчитаем его вклад в треугольную диаграмму. Во первых, когда этот фермион пробегает мимо нижней вершины диаграммы, где сидит ток jRμ(q), он выделяет только один член из суммы по всем фермионам в выражении для этого тока, и даиграмма получает множитель Qa. Когда фермион пробегает мимо любой из двух других вершин диаграммы, он выделяет генератор Tm калибровочной группы. Фермион живет в некотором представлении этой группы, т.е. предоставляется в нескольких цветах. Суммируете по цветам, и получаете в результате трейс произведения двух SU(N) генераторов.

Индекс представления r группы SU(N) определяется как

$$T(r)\delta^{mn}={\rm Tr}(T^mT^n)$$

Так что киральная аномалия есть просто сумма произведения заряда фермиона в треугольной петле на индекс представления калибровочной группы, в котором он живет, осуществленная по всей киральной материи:

$$A=\sum_aT(r_a)Q_a$$

Возвращаясь собственно к суперсимметричной КХД, которую мы рассматриваем, мы должны просуммировать по следующей киральной материи: F кваркам с R-зарядом

(F-N)/F-1=-N/F

(заряд фермионного компонентного поля в киральном суперполе на 1 меньше чем заряд самого суперполя, т.к. в выражении для суперполя фермионное поле сворачивается с координатой суперпространства), живущим в фундаментальном представлении (T=1/2),  столько же антикваркам с тем же зарядом и в том же представлении. Глюино имеет тот же R-заряд что и координаты суперпространства, т.е. (условно) 1, для него T=N: глюино живет в присоединенном представлении. Итак,

$$A=2F\frac{1}{2}\left(-\frac{N}{F}\right)+N=0$$

Упражнение для читателей: то же самое для Зайберг-дуальной теории. Напишите одну строчку, которая докажет что для следующих R-зарядов материи Зайберг-дуальной теории аномалия U(1)R равна нулю: дуальные кварковые суперполя с R-зарядом N/F и мезонное суперполе ;) с R-зарядом 2(F-N)/F.

3. Рассмотрим теперь треугольную диаграмму во всех вершинах которой находятся токи (калибруя соответствующую глобальную симметрию, можно считать что внешние линии изображают соответствующие, теперь взаимодействующие с токами, калибровочные бозоны), картинка из Википедии

Рассуждения аналогичны произведенным в предыдущем пункте. Обозначим генератор некой глобальной группы симметрии G как ta, a=1,...,rank(G). В каждой вершине диаграммы находится по такому генератору. В общем случае в каждой вершине помещаются токи разных групп глобальных симметрий. Или в части вершин помещаются токи глобальных симметрий, а в части — калибровочные бозоны группы локальных симметрий (как выше, с током R-симметрии и двумя глюонами). Мы рассмотрим все такие случаи. 

Вдобавок, как мы сделали выше, к диграмме нужно добавить похожую диаграмму с переставленными индексами двух вершин (если в обоих вершинах токи одной и той же группы). Допустим, некий фермион живет в представлении r группы G с генераторами tar, и обладают зарядом Q относительно преобразований G. Его вклад в диаграмму тогда равен (опять же, нужно домножить этот фактор на интегал по импульсу в петле, который одинаков для всех фермионов)

$$Q{\rm Tr}(t^a_r\{t^b_r,t^c_r\})=Qd^{abc}$$

Нужно просуммировать такие факторы для всех фермионов. Легко заметить симметричность dabc по перестановке (abc). Антикоммутатор, который обеспечивает эту симметричность (вместе с симметрией трейса по отношению к циклической перестановке матриц в нем), появляется из-за того, что, как я отметил, нужно просуммировать две треугольные диаграммы, с переставленными индексами в двух вершинах.

Отнормируем все факторы dabc на таковой в фундаментальном представлении группы G.

Обратите внимание на следующее важное отличие от предыдущего пункта. След здесь берется в представлении группы глобальной симметрии G, а не локальной цветной группы SU(N), как в пункте 2. Так что вклад каждого фермиона, надо домножить на N, учтя что в петле бегут фермионы со всеми цветами и дают при этот один и тот же вклад.

3.1. Скажем, возьмем группу G=SU(F)L и поместим токи G во все три веришны треугольника: во всех трех вершинах SU(F)L3 диаграммы (степень указывает на число вершин диаграммы с током указанной группы) находятся токи лево-киральной группы SU(F)L. В петле соответственно могут бегать только те фермионы, которые преобразуются под действием SU(F)L. Это лево-киральные кварки A, они живут в фундаментальном представлении группы SU(F)L. Каждый кварк имеет N цветов, диаграмма тогда равна N.

(Я просил обратить внимание на то от каких именно матриц мы берем след при вычислении диаграммы. В данном случае учет того что у нас есть несколько ароматов кварков осуществляется тем, что мы взяли след произведения матриц ароматной SU(F)L группы. Когда мы считали аномалию U(1)R тока в п.2 мы брали след произведения генераторов калибровочной группы, а учет наличия разных ароматов сводился к домножению на фактор 2F.)

Что насчет этой диаграммы в Зайберг-дуальной теории? В ней под действием SU(F)L преобразуются F-N цветов лево-киральных кварков, но они живут в анти-фундаментальном представлении SU(F)L, как отмечалось выше. Так что каждая вершина диаграммы дает фактор -1. Дуальные кварки тогда дают вклад в диаграмму, равный (-1)3(F-N)=N-F.

Далее, Зайберг-дуальная теория также содержит киральное суперполе мезонов Mef. Оно преобразуется в фундаментальном представлении группы SU(F)L. Фермионная компонента (мезино) этого суперполя бегает в треугольной петле. Мезонное поле не имеет цвета, но индекс f принимает F значений и синглетен по отношению SU(F)L (он, однако, преобразуется в анти-фундаментальном представлении SU(F)R). Для лево-киральной SU(F)L3 диаграммы мы просто суммируем по всем значениям этого индекса домножением диаграммы на фактор F. В результате мезино дает вклад F в аномальную диаграмму.

Полный вклад всей лево-киральной материи в лево-киральную SU(F)L3 аномалию равен N-F+F=N, такой же как и для исходной суперсимметричной КХД.

Упражнение для читателей: то же самое для SU(F)R3, обратите внимание на знаки.

3.2. Доказательство равенства аномалий является проверкой состоятельности дуальности. Зайберг-дуальность устанавливает эквивалентность двух суперсимметричных калибровочных теорий с материей в ИК режиме, а не при всех масштабах энергии. Но в ИК режиме теория, вообще говоря, сильно-взаимодействующая (в случае S-дуальности одна из них сильно-взаимодействующая), и мы не знаем какие там степени свободы: поля кварков и глюонов есть только свободные асимптотические состояния в УФ.

Однако в силу условия тХуфта о сопоставлении аномалий, аномалии в ИК (полученные суммированием по ИК фермионам в петле треугольной диаграммы) равны аномалиям в УФ (полученные, как мы это сделали, суммированием вкладов фундаментальных УФ фермионных степеней свободы в петлю). Так что если теории эквивалентны в ИК (как в случае Зайбрег-дуальности), то аномалии их УФ степеней свободы (кварков и глюонов) должны быть одинаковы, в силу условия тХуфта, что мы и проверям тут. (Вообще для двух теорий, связанных S-дуальностью, довольно удобно сразу проверить утверждаемую дуальность сопоставив аномалии: это одна из простейших непертурбативных проверок, применяемых также в AdS/CFT, см., к примеру, п.9 здесь.)

3.3. Теперь рассмотрим диаграмму, аналогичную таковой в п.2. Только теперь двумя внешними калибровочными бозонами будут не глюоны, а гравитоны. В принципе, подобная диаграмма может оказаться ненулевой если в вершине с током находится U(1) ток. Действительно, при суммировании по всем фермионам с одинаковым зарядом и в данном представлении группы глобальной симметрии в петле мы получаем что диаграмма равна следу генератора группы, т.е. нулю. (Гравитоны в двух других вершинах не дают никаких генераторов.) Если это одна из специальных унитарных групп, мы сразу получаем ноль.

Рассмотрим тогда U(1)R диаграмму: треугольную диаграмму в одной вершине которой находится U(1)R ток, а в двух других — гравитоны. Начнем с SU(N) теории. У нас есть F+F кварков с R-зарядом (F-N)/F-1=-N/F. Суммирование по всем цветам для данной диаграммы означает просто домножение на N. Далее, у нас есть N2-1 глюино с R-зарядом 1. Диаграмма в результате равна

$$2FN\left(-\frac{N}{F}\right)+N^2-1=-N^2-1$$

В гравитационном инстантонном фоне U(1)R заряд не сохраняется.

Теперь рассмотрим Зайберг-дуальную SU(F-N) теорию. У нас есть F+F кварков с R-зарядом (который читателю нужно было проверить в конце п.2.) равным N/F-1, и их вклад нужно помножить на количество F-N возможных цветов. У нас есть (F-N)2-1 глюино с R-зарядом 1. И у нас есть мезино с R-зарядом 2(F-N)/F-1. Мезино живет в фундаменталном представлении SU(F)L и анти-фундаментальном представлении SU(F)R. Для рассматриваемой U(1)R диаграммы это просто означает, что у нас F2 мезино, каждый из которых дает один и тот же вклад в аномалию. Суммируем:

$$2F(F-N)\left(\frac{N}{F}-1\right)+(F-N)^2-1+F^2\left(\frac{2(F-N)}{F}-1\right)=-N^2-1$$

Тривиальное упражнение для читателей: то же самое для U(1)B и двух гравитонов.

3.4. Рассмотрим теперь U(1)RSU(F)L2 треугольную диаграмму: в одной вершине имеется U(1)R ток, в двух других SU(F)L токи; нужно добавить также присутствующую в природе диаграмму в которой индексы присоединенного представления SU(F)L в двух SU(F)L вершинах переставлены. Две SU(F)L вершины дают фактор

$${\rm Tr}(T_r^mT_r^n)=T(r)\delta^{mn}$$

когда в петле бежит фермион в представлении r группы SU(F)L. Если этот фермион имеет R-заряд Q, то пробегая через вершину диаграммы с U(1)R током он цепляет фактор Q, так что вклад фермиона в диаграмму равен

$$QT(r)$$

Начнем с SU(N) теории. У нас имеется кварки в фундаментальном представлени SU(F)L, для которых T(r)=1/2 и R-заряд равен (F-N)/F-1=-N/F. Каждый кварк имеет N цветов, так что вклад  в диаграмму от кварка домножается на N. Больше никакие фермионы в петле такой диаграммы не бегают, так что U(1)RSU(F)L2 аномалия равна

$$N\frac{1}{2}\left(-\frac{N}{F}\right)=-\frac{N^2}{2F}$$

Теперь рассмотрим SU(F-N) Зайберг-дуальную теорию. У нас имеется кварки в анти-фундаментальном представлении SU(F)L («анти» в данном случае роли не играет: у нас две SU(F)L вершины, общий вклад «анти» от которых равен (-1)2=1), T=1/2; каждый кварк имеет R-заряд N/F-1 и существует в F-N цветах. Далее, у нас есть мезино в фундаментальном представлении SU(F)L, по фундаменталному SU(F)R индексу мезино мы суммируем в данной диаграмме путем обычного домножения на F. R-заряд мезино равен 2(F-N)/F-1. В результате, U(1)RSU(F)L2 аномалия Зайберг-дуальной теории равна

$$(F-N)\frac{1}{2}\left(\frac{N}{F}-1\right)+F\frac{1}{2}\left(\frac{2(F-N)}{F}-1\right)=-\frac{N^2}{2F}$$

Упражнение для читателей: то же самое для U(1)BSU(F)L2 аномалии.

3.5. Бонусные упражнения: сопоставить U(1)B3, U(1)R3, U(1)BU(1)R2 и U(1)RU(1)B2 аномалии :)

Ключевые слова: суперсимметричная теория поля, квантовая теория поля, суперсимметрия, задачи

Комментарии

#1. 28 июня 2013 года, 13:06. пишет:
А чем плоха РТГ теория Логунова.
И гравитончик со спинами 0 и 2. И отсутствие сингулярностей — наличие коллапсара. И плоская вселенная наблюдаемая. И законы сохранения «не притянуты за уши». И темная материя предсказана. И это за долго до М-теории. На мой скромный взгяд, надо допиливать теорию Логунова со товарищами. А за предсказание темной материи, уж как минимум, Нобелевка. Да и уравнения в ней понятны.
И еще, почему научная общественность отвергает «красное смещение» гравитацией. Это я про расширяющуюся вселенную.
С уважением.
#2. 29 июня 2013 года, 16:07. Миша Гойхман пишет:
Сергей, Ваш комментарий не по теме. Кроме того, не вполне понятно к чему это Вы и что такое теория Логунова я не знаю. В любом случае, я не против того чтобы над ней кто то работал; но как правило число людей работающих над той или иной теорией зависит от того на сколько эта теория правдоподобна и перспективна. Не стоит ожидать чтобы другие работали над Вашей любимой теорией просто потому что она Вам нравится. «Уравнения в ней понятны» — это конечно супер-аргумент.

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 63+6?