Заметки о теоретической физике → 2013 → 05 → 15
Михаил Гойхман

Теория Клебанова-Виттена

15 мая 2013 года, 00:22

Под теорией Клебанова-Виттена подразумевается соответствие между теорией струн в AdS5×X5 и N=1 суперсимметричной калибровочной теорией поля. Основы теории были положены в этой статье:

I.R. Klebanov, E. Witten Superconformal Field Theory on Threebranes at a Calabi-Yau Singularity

Это одна из наиболее интересных статей в теорфизике; за последние 15 лет она набрала более 730 цитирований. В любом случае это крайне примечательный пример применения AdS/CFT соответствия: со стороны теории поля (в данном случае N=1 SUSY калибровочной теории) известен ряд нетривиальных непертурбативных результатов, которые в точности подтверждаются вычислениями со стороны теории гравитации в AdS. Несколько феноменологическим ответвлением этой области деятельности является AdS/QCD соответствие, тоже крайне интересное применение голографии. Для полноты напомню что есть, наконец, AdS/CMT соотетствие (CMT означает condensed matter theory), которое выявляет наиболее общие и формальные свойства физики конденсированных сред.

Это длинный пост, местами я буду делать значительные ответления, разъясняя те вещи, которые нужно знать чтобы понять статью Клебанова-Виттена.

1. Напомню что исходным классическим примером AdS/CFT соответствия является соответствие между теорией струн в пространстве AdS5×S5 и N=4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса. При этом количество суперсимметрий (равное, разумеется, по обе стороны соответствия) максимально: 32 суперсимметрии. Это число максимально если вы хотите объединять в мультиплеты поля со спином не выше 2 (для теории в объеме, где есть гравитация) и поля со спином не выше 1 (для теории на границе, являющейся низкоэнергетическим приближением открытых струн, и потому не обладающей гравитацией).

В объеме — пространстве AdS5×S5 — группу симметрий легко увидеть посмотрев на группу изометрий пространства-времени, расширенного впоследствии до суперпространства. Группа симметрий сферы S5 — это группа SO(6) вращений шестимерного пространства, в которое эта сфера погружается. Пространство AdS5 явялется другим пятимерным пространством с макисмальным количеством симметрий (пятнадцать), группой симметрий является SO(2,4). Далее, в формализме Грина-Шварца для описания суперструны типа-IIB к десяти пространственным координатам нужно добавить два спинора в D=10, одинаковой киральности; каждый спинор (Майорана-Вейлевский спинор) имеет 16 вещественных компонент. Полная группа (супер)симметрий суперпространства  AdS5×S5 поотому есть SU(2,2|4). Мы воспользовались тем фактом что SU(4)~SO(6) и SU(2,2)~SO(2,4).

С другой стороны, суперсимметричная N=4 D=4 теория Янга — Миллса на границе AdS имеет бозонную группу конформных преобразований симметрии SO(2,4) и группу R-симметрий, вращающий 4 суперзаряда (по четыре компоненты каждый), SO(6). Коммутирование четырех суперзарядов с генераторами специальных конфромных преобразований порождает еще 4 суперзаряда — генераторы суперконформных преобразований (другой способ увидеть появление четырех дополнительных суперзарядов основывается на размерности спинорного представления группы SO(2,4), которое вдвое больше спинорного представления группы SO(1,3)). Полная группа (супер)симметрий в результате та же что и в объеме, SU(2,2|4), с точки зрения теории поля это N=4 суперконформная группа в четырехмерии. Заметим в частности что R-симметрия SU(4) теории поля на границе реализуется как группа симметрий внутреннего пространства — сферы S5 — теории в объеме.

2. Теория Клебанова-Виттена занимается голографическим описанием N=1 суперсимметричной теории, суперконформная группа при этом есть SU(2,2|1), где бозонная подгруппа U(1) есть группа R-симметрий. Таким образом, нам нужно нарушить 3/4 суперсимметрий N=4 суперсимметричной теории. Например, шесть измерений теории суперструн можно компактифицировать на многообразие Калаби-Яу (с SU(3) группой голономий), нарушающее как раз 3/4 суперсимметрий, в результате чего эффективная теория в D=4 оказывается N=1 суперсииметричной, и из нее уже можно начать выводить феноменологию МССМ. При этом используются, естественно, компактные многообразия Калаби-Яу.

Примером многообразий Калаби-Яу являются орбифолды. Например тор. Другой пример это когда многообразие Калаби-Яу имеет коническую сингулярность, тогда окрестность сингулярности конуса есть кусок компактного многообразия Калаби-Яу (весь конус некомпактен). Шестимерный конус имеет пятимерное основание и одну радиальную координату. В точке где радиальная координата равна нулю, имеется коническая сингулярность: окрестность этой точки не может быть отображена на плоское шестимерное пространство. Конус, построенный с помощью цилической группы являющейся подгруппой группы SU(3), сохраняет только два суперзаряда. В шестиметрии имеется восемь суперзарядов, поэтому конус нарушает как раз 3/4 суперсимметрий. Конус и используется в теории Клебанова-Виттена для нарушения 3/4 суперсимметрий в объеме.

Десятимерное решение IIB супергравитации должно иметь форму AdS5×X5. Настоящее решение — решение стопки экстремальных черных 3-бран —  записано ниже, произведение AdS5×X5 — это геометрия вблизи горизонта стопки бран; граница AdS соответствует горизонту стопки бран. Причем собственно AdS появляется вблизи горизонта бран, а вот X5 видно всегда.  Наличие пятимерного подпространства AdS необходимо для существования дуальной конформной теории поля. Посмотрим какие простые решения уравнений IIB супергравитации (какую метрику) можно получить для X5. Потребуем чтобы  X5 было пространством Эйнштейна, т.е. чтобы для него тензор Риччи был пропорционален метрике. Скажем, плоское пространство есть пространство Эйнштейна с коэффициентом пропорциональности ноль, для AdS этот коэффициент равен -4, для сферы S5 и для основания X5 шестимерного конуса (я использую одно и то же обозначение для наиболее общего пятимерного компактного подпространства и для основания пятимерного конуса, которое используется в теории Клебанова-Виттена ;) ), который мы построим ниже, он равен 4.

Причина по который мы хотим чтобы пятимерное компактное пространство X5 было пространством Эйнштейна состоит в том что мы ищем простые решения уравнений супергравитации. Допустим все динамические поля это метрика и напряженность F5  RR-поля C4. Как  в случае AdS5×S5  решения N единиц поля F5  пронизывают X5 . Это следует из того что для AdS части решения поле  F5  необходимо: т.е. для создания AdS геометрии это поле точно должно быть поляризовано в направлении AdS, т.е. Ftxyzr0. Но это поле самодуально, так что независимо от X5 всегда имеется один и тот же поток F5  также и через X5. Сфера является пространством Эйнштейна с Rij=4gij. Она решает соответствующие уравнения Эйнштейна с F5  в качестве материи. Для основания шестимерного конуса также имеет место Rij=4gij. Так что различие между  AdS5×Sи AdS5×X5 сводится к различию в масштабах кривизны.

Более конкретно, интересующим нас решением IIB супергравитации является некое заданное поле F5 и метрика

$$ds^2=H^{-1/2}(r)(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)+H^{1/2}ds_6^2$$

где как и для AdS5×S5

$$H=1+\frac{L^4}{r^4}$$

только на этот раз ds62 есть метрика на конусе (ds52 есть метрика на X5)

$$ds_6^2=dr^2+r^2ds_5^2$$

Масштаб кривизны в объеме определяется следующим образом:

$$\left(\frac{L}{\ell_s}\right)^4=\frac{N\sqrt{\pi}}{{\rm Vol}(X_5)}$$

Вблизи r=0 (приближении супергравитации, т.е. пренебрежение струнностью: $$\ell_s/L\ll 1$$) метрика принимает вид AdS5×X5:

$$ds^2=\frac{r^2}{L^2}(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)+L^2\frac{dr^2}{r^2}+L^2ds_5^2$$

Итак, вот что происходит. Берутся бозонные уравнения IIB-супергравитации. К ним находится решение, которое вблизи r=0 выглядит как AdS5×X— произведение AdS и основания конуса X5. Физически сингулярная точка объясняется наличием стопки 3-бран в ней (стопка бран также объясняет наличие потока поля F5). Голографически дуальная теория тогда живет на мировом объеме стопки D3-бран, локализованных на конической сингулярности. Причем если группа голономий конуса есть SU(3) (из того что конус является Риччи-плоским многообразием следует что группа голономий есть либо SU(3) либо ее подгруппа) то одна четверть суперсимметрий сохраняется, так что дуальная теория поля (теория на мировом объеме D3-бран в низкоэнергетическом пределе) обладает N=1 суперсимметрий.

Клебанов-Виттен кстати явно показывают как уравнение на спинор Киллинга на шестимерном конусе (их уравнение (5)) эквивалентно уравнению на спинор Киллинга на основании конуса (6), причем в последнем имеется нетривиальный вклад от F5. Напомню для полноты что уравнение на спинор Киллинга η есть уравнение $$\nabla\eta=0$$. Если имеются нетривиальные p-формы, вроде F5, то они тоже дают вклад в это уравнение. Суть состоит в том чтобы преобразование суперсимметрии для гравитино равнялась нулю.  Уравнение Киллинга определяет какие параметры преобразования суперсимметрии удовлетворяют этому свойству. Эти же спиноры тривиально преобразуются при действии группы голономий. Максимальная группа голономий в шести измерениях есть SO(6)~SU(4), так что для Калаби-Яу с группой голономий SU(3) только один (из четырех комплексно-значных) спиноров не преобразуется под действием группы голономий.

3. Есть теорема, согласно которой пятимерное пространство является пространством Эйнштейна тогда и только тогда когда шестимерный конус, построенный с этим пятимерным пространством в качестве основания, является Риччи-плоским. Это акутальная теорема, т.к. мы знаем что шестимерный конус сохраняет 1/4 суперсимметрий и потому является трехмерным многообразием Калаби-Яу. Следовательно, он является Риччи-плоским. Так или иначе, напрямую эта теорема доказывается в общем следующим образом. Рассмотрим конус, с интервалом

$$ds^2=h_{mn}dx^mdx^n=dr^2+r^2g_{ij}dx^idx^j$$

Сделаем замену радиальной координаты, r=eφ(r), после чего запишем компоненты метрического тензора:

$$h_{\phi\phi}=e^{2\phi}\,,\quad h_{ij}=e^{2\phi}g_{ij}\,,\quad h_{\phi i}=0$$

где индексы $$i,j\neq \phi$$ принимают n-1 значений. Совершим конформное преобразование метрики

$$\hat{h}_{mn}=e^{-\phi}h_{mn}$$

где индексы m,n ринимают n значений.

Теперь вспомним что в общем, если $$\hat{h}_{ab}=\Omega^2h_{ab}$$, то тогда в n-мерном пространстве

$$R_{bd}=\Omega^2\hat{R}_{bd}+(n-2)\Omega\Omega_{;b;d}-\frac{1}{n-2}\Omega^n(\Omega^{2-n})_{;a}^{;a}\hat{h}_{bd}$$

Здесь слева записан тензор Риччи в метрике $$h_{ab}$$, в то время как справа все (в том числе ковариантные производные) посчитано для метрики $$\hat{h}_{ab}$$. Метрика со шляпкой описывает пространство $$R^{\phi}\times M^{n-1}$$. Рассмотрим Mn-1. Мы знаем что

$$(\Omega^{2-n})_{;a}^{;a}=(e^{n-2}\phi)_{,\phi}^{,\phi}=(n-2)^2e^{n-2}\phi\,,\quad\Omega_{;i;j}=0\,,$$

и потому

$$R_{ij}=e^{-2\phi}(\hat{R}_{ij}-(n-2)\hat{h}_{ij})\,.$$

Тогда метрика для конуса $$h_{ij}$$ является Риччи-плоской тогда и только тогда когда

$$\hat{R}_{ij}=(n-2)\hat h_{ij}\,.$$

Теперь, очевидно, для n-1-мерного основания конуса $$\hat{R}_{ij}=R_{ij}$$, т.к. с точки зрения основания конуса конформоное преобразование которое мы сделали, зависящее только от r, эквивалентно рескейлингу метрики константой, а при таком преобразовании тензор Риччи не меняется.  Также, $$\hat{h}_{ij}=g_{ij}$$, и потому

$$R_{ij}=(n-2)g_{ij}$$

что завершает доказательство.

4. Простым примером многообразия Эйнштейна X5, берущимся в качестве основанием конуса, явлется многообразие

$$T^{1,1}=\frac{SU(2)\times SU(2)}{U(1)}$$

где U(1) в знаменателе есть сумма двух U(1) генераторов, взятых из каждой группы SU(2) в числителе. Многообразие группы SU(2) есть сфера S3, которая представляется как расслоение S1 с основанием S2 (Hopf fibration). Т.к. мы калибруем одну подгруппу S1, то T1,1 есть расслоение оставшейся S1~U(1) (общей для обеих S2 из двух SU(2)) с основанием S2×S2. Каждая S2 симметричная относительно преобразований SO(3)~SU(2), и еще у нас есть группа симметрий U(1), вращающая волокно Sиз расслоения. После того как мы представили  T1,1 в качестве расслоения, очевидно что группой симметрий T1,1 является U(1)×SU(2)×SU(2).

Опишем соответствующее трехмерное пространство Калаби-Яу, имеющее коническую сингулярность с основанием конуса T1,1. Клебанов и Виттен определяют это многообразие как поверхность в пространстве с четырьмя комплексными координатами:

$$z_1^4+z_2^4+z_3^4+z_4^4=0$$

Это уравнение задает конус, так как оно инвариантно относительно преобразований $$z_a\rightarrow tz_a$$. Группа симметрий есть группа SO(4)=SU(2)×SU(2), вращающая четыре координаты za. При этом основание, полученное делением конуса на радиальную координату (после устранения точки r=0) топологически эквивалентно, к примеру,

$$|z_1|^4+|z_2|^4+|z_3|^4+|z_4|^4=1$$

Постолько поскольку это уравнение инвариатно относительно $$U(1)\in SO(4)$$ в каждой точке (z1,z2,z3,z4), то оно задает основание SO(4)/U(1)=SU(2)×SU(2)/U(1) конуса.

Нашей целью является установление голографического соотвествия между теорией струн, компактифицированной на основание конифолда, и N=1 суперсимметричной теорией поля. Впоследствии мы покажем что если добавить киральные суперполя в N=1 суперсимметричную калибровочную теорию поля, то модульное пространство теории будет конифолдом. Для этого удобно параметризовать конифолд несколько иными координатами (полям  (A1,A2) и (B1,B2) ниже будут соответствовать киральные поля N=1 суперсимметричной теории поля). Сперва заменим координаты:

$$M=\left({z_1+iz_4\atop iz_2-z_3}\;{iz_2+z_3\atop z_1-iz_4}\right)\rightarrow \left({z_1\atop z_4}\;{z_3\atop z_2}\right)=\left({A_1B_1\atop A_2B_1}\;{A_1B_2\atop A_2B_2}\right)$$

Видно что уравнение для конуса это det(M)=0. Можно далее переписать

$$M=\left({A_1\atop A_2}\right)\left(B_1,B_2\right)$$

Так что det(M) инвариантен относительно вращений (A1,A2) и (B1,B2); каждый вращается своей SU(2) матрицей (слева и справа соответственно). Далее, уравнение det(M)=0 инвариантно относительно рескейлинга всех zi на одно и то же число; что означает что оно инвариатно относительно рескейлинга всех Ai, Bk на одно и то же число λ. Наконец, определение z через A, B инвариантно относительно

$$A_k\rightarrow se^{i\varphi}A_k\,,\quad B_l\rightarrow s^{-1}e^{-i\varphi}B_l$$

Используя симметрию с параметром s и симметрию с параметром λ можно записать

$$|A_1|^2+|A_2|^2=|B_1|^2+|B_2|^2=1$$

что есть многообразие SU(2)×SU(2). У нас осталось U(1) преобразование симметрии с параметром φ, в результате чего получаем многообразие T1,1=SU(2)×SU(2)/U(1). Обратите внимание что мы начали с уравнения конуса но получили в результате основание конуса. Радиальная координата пропала в тот момент когда мы воспользовались симметрией уравнения конуса относительно преобразований zi→ λ2zi.

5. Итак, в предыдущих пунктах мы описали построение конифолда в такой форме, в которой его удобно будет сравнивать с соответствующими объектами в N=1 суперсимметричной теории поля на границе AdS. Теперь мы сперва сформулируем саму дуальную теорию поля а потом проведем проверку AdS/CFT соответствия по ряду вопросов.

Итак, допустим у нас есть N=1 суперсимметричная теория Янга-Миллса с калибровочной группой U(1)×U(1). Добавим к ней четыре киральных суперполя, A1, A2,  в представлении $$(1,\bar{1})$$ калибровочной группы и B1, B2 в представлении $$(\bar{1},1)$$ калибровочной группы. С точки зрения мирвого объеме D3-браны скалярные поля описывают вложение D3-браны в десятимерное пространство, т.е. описывают положение D3-браны в шестимерном трансверсальном пространстве. 

Ясно что поля A и B не преобразуются под действием диагональной U(1) подгруппы U(1)×U(1) калибровочной группы, так что соответствующее U(1) калибровочное поле свободно, и соответствующая U(1) калибровочная симметрия не нарушается конденсатом киральным полей. Это калибровочное поле есть вектороное поле, которое всегда присутсвует на мировом объеме (обеспечивая нужное число 8 бозонных степеней свободы).

Оставшееся U(1) калибровочное поле взаимодействует с киральными полями. Напомню что векторное N=1 суперполе содержит вспомогательный скаляр D с потенциалом V(D)=D2. Этот скаляр взаимодействует с каждым киральным полем Φ=φ+θψ+... посредством члена в qD|φ|2 лагранжиане где q есть калибровочный заряд кирального поля Φ. Так что уравнение движения для поля D дает, для нашего случая

$$D=|A_1|^2+|A_2|^2-|B_1|^2-|B_2|^2$$

Вакуум тогда опредеяется условием D=0, т.е.

$$|A_1|^2+|A_2|^2=|B_1|^2+|B_2|^2$$

что есть уравнением конифолда. Таким образом киральные поля A и B  в ваукуумном состоянии параметризуют конифолд, т.е. описывают положение D3-браны в конифолде. Реализация SU(2)×SU(2) симметрии и U(1) калибровочной симметрии (с параметром φ) такая же как описано в предыдущем пукте для конифолда.

6. Для того чтобы иметь голографическое соответствие между сильно-взаимодействующей теорией поля на границе и теорией IIB супергравитации в объеме нам нужно перейти к пределу большого N, что означает что нам нужно рассмотреть стопку N D3-бран, с RR-зарядом поля C4 равным N. Калибровочная группа тогда заменяется на U(N)×U(N). Поля A живут в представлении $$({\bf N},\bar{\bf N})$$,  а поля B живут в представлении $$(\bar{\bf N},{\bf N})$$ калибровочной группы.

Суперпотенциал (необходимый для придания массы ряду киральных суперполей, не описывающих положение D3-браны в трансверсальном пространстве), инвариантный относительно конифолдной группы симметрий SU(2)×SU(2)×U(1)R, которая должна быть группой симметрий теории поля, есть

$$W=\lambda\epsilon^{ij}\epsilon^{kl}{\rm Tr}A_iB_kA_jB_l$$

6.1. Небольшое отступление. R-симметрия суперсимметричной теории поля порождает соответствующий сохраняющийся суперток. В фиксированных точках ренормгруппового потока теория находится в конформном режиме — это суперконформная теория поля. В этом случае она инвариантна относительно суперконформной группы SU(2,2|1), каждая суперконформная теория поля харакатеризуется своими зарядами относительно генераторов суперконформной группы.

Во-первых в ультрафиолете, где константа связи равна нулю (асимпотическая свобода), бета-функция равна нулю и теория конформна. Она не просто конформна, она еще свободна, так что масштабная размерность кирального поля равна Δ=1 (посмотрите на размерность свободного скаляра). Далее, в силу суперконформной симметрии для первичных полей (primary fields), коими являются киральные поля, имеем соотношение между масштабной размерностью и R-зарядом:

$$\Delta=\frac{3}{2}R$$

Так что в ультрафиолете R=2/3. Однако конформная теория поля в ультрафиолете (с группой (супер)симметрии SU(2,2|1)UV) свободна, и потому не описывается дуальной слабой IIB-супергравитацией в объеме (AdS/CFT — это сильно-слабая дуальность). Так что нас интересует другая конформная фиксированная точка — та, что в инфра-красном режиме. Ниже мы докажем что R-заряд киральных суперполей на самом деле равен 1/2, в ИК суперконформной теории поля с группой (супер)симметрии SU(2,2|1)IR, что дает правильный R-заряд суперпотенциала: +2, так что

$$\int d^2\theta W$$

есть инварант относительно R-преобразований U(1).

Кстати говоря, с точки зрения УФ теории записанный суперпотенциал является несущественным оператором, в то время как с точки зрения ИК теории он является маргинальным оператором. Поэтому CFT-дуальная теория к слабой IIB супергравитации на конусе есть фиксированная точка ренорм-группового потока N=1 суперсимметричной теории к которой добавляется масштабно-инвариантный суперотенциал W.

6.2. Суперсимметричная теория поля хороша тем что в ней многие вещи известны точно. Например, бета-функция N=1 суперсимметричной клабировочной теории поля с материей дается NSVZ формулой. Бета-функция пропорциональна константе связи. Когда константа связи равна нулю, что по сути имеет место в ультрафиолете, теория конформно-инвариантна и свободна. Постолько поскольку NSVZ формула точная, она позволяет определить нули бета-функции в ИК режиме, где теория сильно-взаимодействующая.

Особенностью NSVZ бета-функции является то, что условие равенства ее нулю эквивалентно условию сокращения киральной аномалии для U(1) R-симметрии. Действительно, мы имеем (индекс представления r определяется как $${\rm tr}(T_r^aT_r^b)=T(r)\delta^{ab}$$)

$$\beta\sim 3T(Ad)-\sum_iT(r_i)(1-2\gamma_i)$$

где суммирование производится по всем полям материи, и аномальная размерность определяется как

$$\gamma_i=\Delta_i-1$$

Подставляя $$\Delta=\frac{3}{2}R$$ (для конформных фиксированных точек) находим что условие конформности β=0 эквивалетно условию сокращения киральной аномалии сохранения U(1) тока R-симметрии:

$$T(Ad)+\sum_iT(r_i)(R_i-1)=0$$

6.3. В нашем случае в силу SU(2)×SU(2) симметрии получаем

$$\gamma_{A_1}=\gamma_{A_2}\,,\quad \gamma_{B_1}=\gamma_{B_2}$$

Напомню что

$$T(Ad)=2N\,,\quad T(A)=T(B)=N$$

и у нас есть два поля A и два поля B, так что

$$6N-2N(1-2\gamma_A+1-2\gamma_B)=0$$

откуда вытекает что

$$\gamma_A+\gamma_B+\frac{1}{2}=0$$

Тогда размерность суперпотенциала в ИК фиксированной точке на 1 меньше размерности в УФ, т.е. равна 3, что есть размерность маргинального оператора (размерность $$\int d^2\theta$$ равна 1). Т.е. потребовав исчезновение бета-функции мы и впрямь получили масштабно-инфариантный оператор (то что он не является маргинально-существенным или маргинально-несущественным доказывается с помощью теоремы о неперенормируемости).

7. Сравним R-симметрии. Мы уже видели что и со стороны конифолда и со стороны теории поля у нас имеется U(1) R-симметрия. С точки зрения теории поля есть однозначный способ определить чему должен равняться R-заряд киральных полей. Он основывается на требовании сокращения аномалий.

Каждое киральное поле имеет некий R-заряд. Такой же R-заряд имеет каждое киральное антиполе (R-заряд определяется через преобразования координат суперспрстранства, которые берзразличны к заряду полей материи по отношению к калибровочным полям, и потому R-заряд полей материи тоже одинаков для материи и анти-материи), т.е. спинор той же киральности, но с противоположными зарядами относительно калибровочных групп. В четырех измерениях спиноры противоположной киральности комплексно сопряжены друг другу. Так что произведя комплексное сопряжение кирального антиполя, мы получаем антикиральное поле, причем оно имеет противоположный киральному полю R-заряд. Таким образом, группа R-симметрий действует на поля разной киральности по-разному, и потому в общем случае подвержена киральной аномалии.

Точное значение киральной аномалии дается треугольной диаграммой с киральными фермионами в цикле, киральным током в одной вершине и двумя калибровочными бозонами в других вершинах. Это могут быть два произвольных калибровочных бозона, Aa и Ab. Я опустил векторные индексы, индексы ab живут в присоединенном представлении калибровочной группы (нумеруют калибровочные бозоны). Если Ta есть генератор калибровочной группы в том представлении r, в котором живет данный фермион, то суммирование по всем таким фермионам в петле в данной диаграмме производит, очевидно, фактор T(r), определяемый из

$$T^a_{mn}T^b_{nm}=T(r)\delta^{ab}.$$

Из третьей вершины диаграммы, в которой находится киральный ток, получаем пропорциональный заряду фермиона вклад (слагаемое в токе пропорционально заряду фермиона, появляющегося в этом слагаемом). Всё остальное одинаково для всех фермионов. Итак, киральная аномалия, которую считает треугольная диаграмма, исчезает если

$$\sum_iT(r_i)q_i=0,$$
где суммирование производится по всем частицам.

Покажем что отсутствие аномалии U(1) R-симметрии означает что киральные поля A и B имеют R-заряд, равный +½. На самом деле так. R-симметрия по определению есть симметрия действующая на суперзаряды, или, что то же самое, на фермионные координаты суперпространства. Определим тогда R-симметрию с параметром α как преобразование суперкоординат с зарядом 1:

$$\theta\rightarrow e^{i\alpha\theta}\theta.$$

Тогда, в силу разложения киральных суперполей в ряд по нечетным координатам

$$\Phi=\phi+\theta\psi+\ldots$$

ясно, что спиноры материи имеют заряд, равный заряду кирального поля минус 1. Мы таким образом хотим доказать, что киральный заряд спиноров материи должен равняться −½.

В силу разложения кирального суперполя, являющегося напряженностью калибровочного суперполя,

$$W=\lambda+\theta F+\ldots$$

ясно, что глюино λ имеет R-заряд +1, так чтобы действие калибровочных степеней свободы (векторного суперполя)

$$S_{gauge}\sim\int d^2\theta W^2$$

было инвариантно относительно преобразований R-симметрии. 

Глюино живет в присоединенном представлении U(N)×U(N), так что для него T(r)=2N. Два спинорных поля из полей A живут в представлении $$(N\bar{N})$$ группы U(N)×U(N), т.е. фактически в присоединенном представлении U(N), поэтому для них T(r)=N. Аналогично для двух полей B. Аномалия тогда действительно сокращается:

$$-\frac{1}{2}4N+2N=0.$$

Итак, чисто с точки зрения теории поля мы вывели, что R-заряд киральных суперполей A и B равен +½. Что предсказывает дуальная теория струн для этого кирального заряда? Мы знаем что согласно дуальной теории струн поля A и B решают уравнения для конифолда, задавая его координаты z~AB. Значит нам нужно найти заряд координат z относительно U(1) преобразований в объеме, соответствующим U(1) R-симметрии на границе. Допустим, это какой то заряд q:

$$z\rightarrow e^{iq\phi}z$$

для преобразования R-симметрии с параметром $$\phi$$.

Трехмерное Кэлерово многообразие является многообразием Калаби-Яу тогда и только тогда когда на нем можно определить голоморфную 3-форму. Для многообразия

$$z_1z_2-z_3z_4=0$$

(это уравнение определяет рассматриваемый нами конифолд) голоморфмная 3-форма равна

$$\Omega=-\frac{dz_2\wedge dz_3\wedge dz_4}{z_1}$$

и потому имеет R-заряд 2q. Другим определением Калаби-Яу, которое упомяналось выше, является комплексное многообразие на котором есть ковариантно-постоянный спинор, $$\nabla\eta=0$$. Два определения эквивалентны в силу выражения

$$\Omega_{ijk}=\eta^T\Gamma_{ijk}\eta.$$

Ковариантно-постоянный спинор задает ту координату суперпространства в направлении которой суперсимметрия не нарушена (симметрия относительно трансляции этой суперкоординаты). Тогда координаты суперпространства имеют R-заряд равный половине R-заряда голоморфной 3-формы, т.е. q. Но мы определили R-заряд координат суперпространства равным 1, так что q=1. В силу z~AB ясно что R-заряд полей A и B равен ½, что совпадает с результатом из теории поля. Это довольно нетривиальное согласие: с одной стороны мы рассуждали про построение теории струн на конусе, а с другой про сокращение киральной аномалии в суперсимметричной теории поля.

8. Выше мы описали конифолд с основанием T1,1=SU(2)×SU(2)/U(1) с помощью поверхности

$$z_1^4+z_2^4+z_3^4+z_4^4=0$$

инвариантной относительно группы вращений SO(4). Далее, мы знаем что SO(4)=SU(2)×SU(2). На самом деле это не вполне правильно, равенство имеет место только локально, с точки зрения соответствующих алгебр. Глобальная групповая структура подразумевает SO(4)=SU(2)×SU(2)/Z2. Каждая SU(2) группа имеет центральную подгруппу Z2={I,-I}. Тензоры в представлении SO(4) можно представить с помощью двух спиноров. Тензоры с четным числом индексов представляются с помощью спиноров одной киральности, например скаляр имеет форму $$\phi=\psi^\dagger\psi$$ или $$\phi=\bar{\psi}^\dagger\bar{\psi}$$, где $$\psi$$ есть лево-киральный спинор, а $$\bar{\psi}$$ есть право-киральный спинор. Тензоры с нечетным числом индексов представляются с помощью спиноров разной киральности, например вектор $$A^\mu =\psi\sigma^\mu\bar{\psi}$$. Лево-киральный спинор преобразуются под действием одной SU(2), а право-киральный спинор преобразуются под действием другой SU(2). Ясно тогда что диагональная Z2 подгруппа произведения двух цетнтров Z2×Z2 двух SU(2) не меняет представления SO(6), так что SO(4)=SU(2)×SU(2)/Z2.

Итак, группа симметрий конифолда есть

$$U(1)\times \frac{SU(2)\times SU(2)}{Z_2}$$

Но мы видели что группа симметрий модульного пространства теории поля есть $$U(1)\times SU(2)\times SU(2)$$. Однако на самом деле, в силу U(N)×U(N) калибровочной инвариантности, а именно в силу U(1)×U(1) подгруппы группы калибровочной инвариатности, мы имеем калибровочную эквивалентность

$$A_k\rightarrow e^{i\alpha}A_k\,,\quad B_l\rightarrow e^{i\alpha}B_l\,,$$

так что в частности

$$A_k\rightarrow -A_k\,,\quad B_l\rightarrow-B_l\,,$$

что как раз есть действие диагональной подгруппы Z2  произведения двух цетнтров Z2×Z2 двух SU(2).

9. Теперь самое интересное. Рассмотрим теорию суперструн типа-IIB в пространстве $$AdS_5\times S^5/\Gamma$$. Сферический орбифолд строится следующим образом. Берется пятимерная сфера

$$\sum_{i=1}^6x_i^2=1$$

и производится отождествление

$$\Gamma:\quad x_{1,2,3,4}\rightarrow -x_{1,2,3,4}\,,\quad x_{5,6}\rightarrow x_{5,6}$$

В данном случае сохраняется не четверть суперсимметрий а половина: было 4 суперзаряда на сфере, процесс орбифолдизации оставляет два. Действительно, введем комплексные координаты

$$z_1=x_1+ix_2\,,\quad z_2=x_3+ix_4\,,\quad z_3=x_5+ix_6$$

Тогда Γ поворачивает z1,2 на угол π, оставляя z3 нетронутой. Постолько поскольку сумма двух углов вращения в плоскостях z1 и z2 равна нулю по модулю 2π, то орбифолдизация сохраняет половину суперсимметрий, и потому на сфере тоже выживает половина суперсимметрий.

9.1. Теперь на время отвлечемся от теории в объеме и перейдем к теории поля на границе. Калибровочная группа и набор полей такой же как и в конифолдном случае, рассмотренном выше. Только в данном случае у нас вдвое больше суперсимметрий. Так что мы имеем N=2 суперсимметричную калибровочную теорию поля. Суперпотенциал дается неким выражением, которое можно найти у Клебанова-Виттена. Далее, идея состоит в следующем. У нас имеется киральное суперполе в присоединенном представлении калибровочной группы, которое дополняет N=1 векторный супермультилет до N=2 вектороного супермультиплета. Нам нужна только N=1 суперсимметрия. Поэтому мы добавляем в лагранжиану существенный суперпотенциал являющийся массовым членом для этого кирального суперполя в присоединенном представлении, который явно нарушает N=2 суперсимметрию до N=1 суперсимметрии.

В результате включается ренорм-групповой поток, который заканчивается в фиксированной точке в ИК. Оказывается, что если явно решить уравнения движения для кирального суперполя, которое мы сделали массивным, то для оставшихся киральных суперполей сгенерируется суперпотенциал, такой же как и для суперструны, компактифицированный на основании конифолда (записанный выше). Т.е. теория из сферического орбифолда перетекает в конический орбифолд.

9.2. Теперь собственно к чему все это. Постолько поскольку у нас имеется ренорм-групповой поток из CFT в УФ в CFT в ИК, то можно задаться стандартным вопросом о том, работает ли a-теорема. Согласно a-теореме, центральный заряд a, появляющийся в аномальном следе тензора энергии-импульса, уменьшается при ренорм-групповом потоке. В случае двух конформных теорий поля, описанных выше, оба центральных заряда известны, нам интересно то что

$$\frac{a_{IR}}{a_{UV}}=\frac{27}{32}$$

Теперь вернемся в объем. Десятимерная метрика имеет общий вид

$$ds_{10}^2=L^2d\hat{s}_5^2+L^2d\hat{s}_{M_5}^2$$

Здесь шляпка означает что метрика записана для безразмерных координат, вся размерность вынесена явно в фактор L, формула для которого записана выше. Важно то что

$$L^4\sim\frac{N}{{\rm Vol}(M_5)}$$

Действие, редуцированное к пяти измерениям пространства AdS, записанное в терминах безразмерной метрики, имеет вид

$$S=\frac{\pi^2L^8}{16G_{10}}{\rm Vol}(M_5)\int d^5x\sqrt{\hat{g}}(\hat{R}+12+\ldots)\simeq\frac{N^2}{{\rm Vol}(M_5)}\int d^5x\sqrt{\hat{g}}(\hat{R}+12+\ldots)$$

Согласно AdS/CFT соответсвию корреляционные функции в теории поля на границе считаются с помощью классического действия в объеме. Тогда в частности среднее $$\langle T^\mu_\mu\rangle$$, выражающее конформную аномалию, обратно пропорционально объему компактного пространства. (Объем основания конифолда легко посчитать воспользовавшись явно его метрикой (10.120) в Бекер-Бекер-Шварц.) В результате

$$\frac{a_{IR}}{a_{UV}}=\frac{{\rm Vol}(S^5/Z_2)}{{\rm Vol}(M_5)}=\frac{27}{32}$$

что совпадает с результатом из теории поля.

Ключевые слова: AdS/CFT, суперсимметрия, D браны, квантовая теория поля, геометрия

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 85+2?