Заметки о теоретической физике → 2013 → 04 → 02
Михаил Гойхман

Дифференциальная регуляризация

2 апреля 2013 года, 03:12

1. Физика зависит от масштаба энергии, на котором вы изучаете явления. Например, при больших энергиях кварки свободны, а при низких образуют связанные состояния — мезоны и барионы. Когда вы двигаетесь из области высоких энергий в область низких энергий, константа сильного взаимодействия между кварками увеличивается. Более того, само взаимодействие при низких энергиях, в инфракрасном режиме, качественно отличается от взаимодействия при высоких энергиях, в ультрафиолетовом режиме. В УФ режиме потенциал сильного взаимодействия между кварками убывает обратно пропорционально расстоянию. Это закон Кулона. В ИК режиме потенциал сильного взаимодействия между кварками линейно увеличивается с расстоянием. Это явление конфайнмента.

Зависимость физических параметров, таких как констант взаимодействия, нормировки полей и массовых параметров, от масштаба энергии называется ренормгрупповым потоком. Допустим вы хотите посчитать вероятность какого-то процесса рассеяния кварков. Для этого вам нужна квантовая теория поля, а именно — нужно посчитать диаграммы Фейнмана. В квантовом мире существуют пары виртуальных частиц-античастиц. В терминах диаграмм Фейнмана пары виртуальных частиц изображаются петлевыми диграммами. В петли дают вклад виртуальные частицы с любыми импульсами. Поэтому по импульсам нужно проинтегрировать, чтобы получить полную вероятность процесса рассеяния.

Интегралы по импульсам могут расходиться. Чтобы получить осмысленный физический результат нужно избавиться от бесконечных членов. Так возникает перенормировка. Вы замечаете, что причина расходимости состоит в том, что вы некорректно обращаетесь с параметрами теории — например, с константами взаимодействия. Константы взаимодействия входят в действие классической теории. Потом вы квантуете теорию, записываете правила Фейнмана, считаете диаграммы все с теми же классическими константами взаимодействия. Но вы не учли что виртуальные петли — чисто квантовый эффект — экранируют константы взаимодействия. В зависимости от масштаба энергии (или, что то же самое, в зависимости от координатной близости к источнику заряда) константа взаимодействия экранируется в той или иной степени. Появление бесконечностей в диаграммах есть исключительно свойство зависимости параметров теории от масштаба энергии, ничего более. Эта зависимость подтверждена на эксперименте, и потому существование расходящихся амплитуд, в этом смысле, тоже подтверждено на эксперименте.  Когда зависимость параметров теории от масштаба энергии учтена, остается хорошо определенный результат.

Чтобы посчитать расходящийся интергал в диаграмме Фейнмана, нужно зафиксировать масштаб энергии и вычесть бесконечности на этом масштабе. Останется конечная величина, которая, однако, зависит от этого самого масштаба энергии. Вот как вычитание бесконечностей порождает ренормгрупповой поток, проявляя явление экранирования, одновременно вы учитываете тот факт что константа взаимодействия (и прочие параметры) зависят от масштаба энергии и что нужно заранее обговорить на каком масштабе энергии вы определяете ту или иную константу. За исключением визуализации с экранированием, это чисто техническое описание того как появляется ренормгрупповой поток. Более физическое объяснение связано с интегрированием по импульсным оболчкам — подход Вильсона — но он не имеет отношения к этому посту, и уже обсуждался (как и вопрос о перенормировках) в этом блоге.

Вы заметили, что я различал виртуальные частицы в петлях Фейнмановских диаграмм по их импульсу. С другой стороны можно перейти в координатное представление и различать виртуальные частицы по их положению в координатном пространстве. Потом проинтегрировать по всем координатам, то есть усреднить по всем позициям виртуальных промежуточных частиц, принимающих участие в процессе рассеяния. Интеграл может расходиться. Вопрос о том, расходится ли такой интеграл — есть частный случай вопроса о том, имеет ли функция Фурье-образ — случай нулевого импульса. Или вы можете задаться вопросом о том какова амплитуда рассеяния частиц с данным ненулевым импульсом, зная общую формулу для этой амплитуды в координатном представлении. Так что вопрос о перенормировке можно свести к вопросу о нахождении Фурье-образа сингулярных функций, то есть хорошо определенной математической задаче. Регуляризация в таком подходе называется дифференциальной регуляризацией.

2. То, что следует далее, есть просто техническое описание идеи дифференциальной регуляризации, изложенной выше. Я постараюсь просто записать те формулы, которые поясняют содержание процитированной выше статьи. Нужно рассмотреть какую-то теорию со взаимодействием. Будем рассматривать скалярное поле $$\phi$$ с четвертичным взаимодействием $$\lambda\phi^4$$ с константой взаимодействия λ. Первая расходящаяся диаграмма — однопетлевая диаграмма с двум вершинами, двумя пропагаторами и одним интегрированием по импульсу, и на примере ее мы будем исследовать диффренециальную регуляризацию до конца этого поста. Из правил Фейнмана в импульсном представлении следует, что диаграмма расходится логарифмически: каждый из двух пропагаторов обратно пропорционален квадрату импульса, и произведение двух пропагаторов интегрируется в четырехмерном пространстве.

Чтобы регуляризовать эту (и все остальные расходящиеся диаграммы теории), поставим цель регуляризовать наиболее сингулярные функции в координатном представлении. Такими функциями мы назовем те сингулярные функции, которые не имеют Фурье-образа.  Для начала вспомним как выглядит пропагатор свободного поля в координатном представлении, являющийся простейшей сингулярной функцией, имеющей Фурье-образ. Пропагатор G(x) свободного скалярного поля определяется как функция Грина оператора Лапласа:

$$\partial^2 G(x)=-4\pi^2\delta(x)$$

откуда в четырех измерениях

$$G(x)=\frac{1}{x^2}$$

Это уравнение в четырехмерии аналогично уравнению Пуассона для точечного электрического заряда в трех пространственных измерениях,

$$\partial^2\frac{1}{r}\simeq\delta(r)$$

Проведем вывод более точно: для начала, степень r определяется размерностью пространства (пространства-времени, которое все равно удобно считать евклидовым). Дельта-функция должна иметь размерность пространства d, так что $$\delta (x)\simeq\partial^2\frac{1}{r^{d-2}}$$, что и сводится к обоим формулам выше для d=3 и d=4. Нас интересует именно d=4. Определим в d=4

$$\partial^2\frac{1}{x^2}=\partial_\mu V^\mu$$

где

$$V^\mu=\partial_\mu\frac{1}{x^2}=-\frac{2x^\mu}{x^4}$$

В силу теоремы Гаусса

$$\int d^4x\partial_\mu V^\mu =\int _{S^3}d^3xV\cdot n=-\frac{4\pi^2R^3}{R^3}=-4\pi ^2$$

где R есть радиус 3-сферы. Тогда

$$\partial^2\frac{1}{x^2}=-4\pi^2\delta(x)$$

3. Как отмечено выше, дифференциальная регляризация основывается на регуляризации сингулярных функций в координатном представлении, так чтобы у них был хорошо определенный Фурье-образ. Перед тем как переходить к сингулярным функциям, не имеющим Фурье-образа (до регляризации), рассмотрим сингулярные функции с определенным Фурье-образом. А именно, рассмотрим пропагатор свободного скалярного поля в четырех измерениях. В предыдущем пункте мы вывели этот пропагатор в координатном представлении; также легко вывести его в импульсном представлении: это G(p)~1/p2. В этом пункте рассмотрим очень простые формулы для преобразования Фурье, переводящие G(x) в G(p). В следующем пункте обобщим этот вывод для произвольной сингулярной функции, с заключением о том что слишком сингулярные функции не имеют Фурье-образа. Отсутствие Фурье-образа пропагатора в координатном представлении эквивалентно тому, что соответствующая диаграмма в импульсном представлении расходится.

Мы хотим посчитать

$$G[p]=\int d^4xe^{ipx}\frac{1}{x^2}$$

Во-первых, выберем направление импульса p за полярную ось, и введем угол в сферических координатах между p и произвольным вектором x, который обозначим $$\theta\in [0,\pi/2]$$. Метрика в сферических координатах есть

$$ds_4^2=dr^2+r^2(d\theta ^2+\sin ^2\theta ds_2^2)$$

где

$$ds_2^2=d\tilde\theta ^2+\sin ^2\tilde\theta ^2d\phi ^2$$

так что мы получаем

$$G[p]=\int drr\int d\Omega _2\int d\theta\sin ^2\theta e^{ipr\cos\theta}$$

Интегрирование по dΩ2 дает фактор 4π, и мы получаем

$$G[p]=4\pi\int drr\int_{-1}^1d\tau\sqrt{1-\tau ^2}e^{ipr\tau}$$

Т.к.

$$\int _{-1}^1d\tau \sqrt{1-\tau ^2}e^{q\tau}=\frac{\pi}{q}I_1(q)$$

то

$$G[p]=-\frac{4\pi^2i}{p}\int_0^\infty drI_1(ipr)$$

Важным является сходимость следующего интеграла

$$\int_0^\infty dyI_1(i y)=i$$

в результате чего получаем пропагатор в импульсном представлении

$$G[p]=\frac{4\pi ^2}{p^2}$$

4. В общем случае верна следующая формула для преобразования Фурье сингулярных функций в четырех измерениях (см. формулу (A.4) тут):

$$\int d^4xe^{ipx}\frac{1}{(x^2)^{1-a}}M^{2a}=\frac{4\pi ^2}{p^2}\left(\frac{4M^2}{p^2}\right)^a\frac{\Gamma (1+a)}{\Gamma (1-a)}$$

Здесь М — массовый параметр, введенный пока для удобства. Если a=-1, т.е. если мы смотрим на Фурье-образ функции 1/x4, то мы получаем бесконечность (из-за Γ(0) в правой части последней формулы).

Именно 1/x4,  как показывается ниже, возникает когда мы считаем однопетлевую диаграмму в теории скалярного поля с четвертичным взаимодействием. Выше (см. начало п. 2), работая в импульсном представлении, мы заметили что интеграл по импульсам расходится логарифмически. Теперь, работая в координатном представлении, мы видим что расходимость диаграммы в импульсном представлении соотвествует отсутствию у соответствующей амплитуды в координатном представлении Фурье-образа.

Действительно, посчитаем однопетлевую диаграмму в теории с четвертичным взаимодействием.

Как мы выяснили, пропагатор в координатном представлении равен

$$G(x_1,x_2)=\frac{1}{(x_1-x_2)^2}$$

В импульсном представлении вершина взаимодействия $$\phi^4$$ равна $$\text{Ver}=\lambda$$, так что в координатном представлении эта вершина дается выражением

$$V(x_1,x_2,x_3,x_4)=$$

$$=\int d^4p_1d^4p_2d^4p_3d^4p_4e^{i(p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3+p_4x_4)} \lambda \delta ^{(4)} (p_1 + p_2 + p_3 + p_4) \simeq$$

$$\simeq\lambda\delta ^{(4)}(x_1-x_4)\delta ^{(4)}(x_2-x_4)\delta ^{(4)}(x_3-x_4)=$$

$$=\lambda\delta ^{(4)}(x_1-x_2)\delta ^{(4)}(x_1-x_3)\delta ^{(4)}(x_1-x_4)$$

Диаграмма, которую мы считаем, есть однопетлевая поправка к этой вершине. Считается она следующим образом. В ней есть две вершины, V(x1,x2,x3',x4') и  V(x1',x2',x3,x4), где точки в парах (x1',x3') и (x2',x4') лежат на одной и той же линии пропагатора. Нам нужно проинтегрировать по всем промежуточным точкам (x1',x2',x3',x4'). В результате получаем

$$V_{1-loop}=\lambda ^2\frac{1}{(x_1-x_3)^4}\delta (x_1-x_2)\delta (x_3-x_4)$$

Добавляя вклад аналогичной однопетлевой диаграммы, записываем

$$V_{1-loop}=\frac{\lambda ^2}{2}\left(\frac{1}{(x_1-x_3)^4}\delta (x_1-x_2)\delta (x_3-x_4)+\frac{1}{(x_2-x_4)^4}\delta (x_3-x_2)\delta (x_1-x_4)\right)$$

Допустим, мы теперь хотим посчитать Фурье-образ этой амплитуды:

$$\int d^4x_1d^4x_2d^4x_3d^4x_4\frac{1}{(x_1-x_3)^4}\delta (x_1-x_2)\delta (x_3-x_4)e^{-i(p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3+p_4x_4)}=$$

$$=\int d^4xd^4y\frac{1}{y^4}e^{-i[(p_1+p_2+p_3+p_4)x+(p_3+p_4)y]}=\delta(p_1+p_2+p_3+p_4)\int d^4y\frac{1}{y^4}e^{-iqy}|_{q=p_3+p_4}$$

Т.е. задача свелась к поиску Фурье-образа функции 1/x4 в четырех измерениях, и выше мы отметили что такого Фурье-образа не существует. 

5. Наконец, приступим к дифференциальной регуляризации на примере сингулярной функции 1/x4 в четырех измерениях. Идея состоит в том, чтобы представить сингулярную функцию как дифференциальный оператор, действующий на менее сингулярную функцию. Менее сингулярная функция имеет хорошо определенный Фурье-образ. Тогда Фурье-образ более синглярный функции есть просто Фурье-образ менее сингулярной функции, умноженнй на импульс в какой то степени.

Для нашего конкретного примера имеем формулу

$$-\frac{1}{4}\partial^2\frac{\log M^2x^2}{x^2}=\frac{1}{x^4}$$

Видно что процедура дифференциальной регуляризации требует введения массового параметра M. В процитированных выше оригинальных статьях по дифференциальной регуляризации показывается, что соответствующая регуляризованная четырехточечная функция в однопетлевом приближении удовлетворяет уравнению Каллана-Симанчика, и M — масштаб энергии. Т.е. зависимость от M можно поглотить в перенормировку константы взаимодействия λ, причем соответствующая бета-функция будет совпадать с бета-функцией этой константы взаимодействия, полученной ранее более общепринятыми способами регуляризации (Пескин-Шрёдер, 10.2 и 12.2).

Наконец, можно произвести вычитание расходящегося куска явно. В принципе описанная выше процедура в некоторой степени самодостаточна: было показано что перенормированные амплитуды удовлетворяют уравнению Каллана-Симанчика, и все параметры теории поля перенормируются нужным образом. Никакого явного вычитания бесконечностей делать не понадобилось. Однако можно явно показать в каком месте бесконечности вычитаются. Введем параметр ε с размерностью длины, размазывающий сингулярность:

$$-\frac{1}{4}\partial^2\frac{\log\left(1+\frac{x^2}{\epsilon^2}\right)}{x^2}=\frac{1}{(x^2+\epsilon^2)^2}$$

Тогда

$$\frac{1}{(x^2+\epsilon^2)^2}=-\frac{1}{4}\partial^2\frac{\log\left(M^2(\epsilon^2+x^2)\right)}{x^2}+\frac{1}{4}\log(M^2\epsilon ^2)\partial^2\frac{1}{x^2}$$

Вводя представление для делта-функции через дифференциальный оператор, действующий на сингулярную функцию, как описано выше в п.2, получим

$$\frac{1}{(x^2+\epsilon^2)^2}=-\frac{1}{4}\partial^2\frac{\log\left(M^2(\epsilon^2+x^2)\right)}{x^2}-\pi^2 \log(M^2\epsilon ^2)\delta (x)$$

Мы уже можем вычесть бесконечность, что в данном случае означает вычесть все слагаемые, которые сингулярны в пределе ε→0. В результате получаем ту формулу, что уже записывали выше

$$\frac{1}{(x^2)^2}=-\frac{1}{4}\partial^2\frac{\log\left(M^2x^2\right)}{x^2}$$

Функция $$\log\left(M^2x^2\right)/x^2$$ имеет Фурье-образ $$-4\pi^2\log(p^2/{\bar{M}}^2)/p^2$$, где $$\bar{M}=2M/\gamma$$. Ищем Фурье-образ функции 1/x4. Интегрируя по частям, с учетом произведенной дифференциальной регуляризации и известного Фурье-образа регулярной функции, получаем, что Фурье-образ функции 1/x4 равен $$-\pi^2\log(p^2/{\bar{M}}^2)$$.

 

Ключевые слова: квантовая теория поля

Комментарии

#1. 14 марта 2016 года, 18:49. Andrey пишет:
Спасибо за статью! В п.4 выражение для однопетлевой $$V$$ должно содержать 4-ю степень $$(x_i-x_j)^{-1}$$, иначе размерность не сходится. Еще должен быть вклад $$~(x_3-x_4)^{-4}$$.
#2. 14 марта 2016 года, 19:41. Миша Гойхман пишет:
Спасибо, исправил! Вклад $$(x^3-x^4)^{-4}$$ там есть, в силу наличия дельта-функции во втором члене.

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 56+3?