Заметки о теоретической физике → 2012 → 10 → 07
Михаил Гойхман

Голографическое пространство модулей

7 октября 2012 года, 19:51

Из возможных подходов к применению AdS/CFT соответствия к физике конденсированных сред наиболее последовательным является фундаментальный (top-down) подход, основанный на рассмотрении пробных бран в AdS геометрии. Иными словами, большое число Nc D3-бран создает геометрию AdS5×S5, в которую погружается некоторое (малое) число Dp-бран. Т.е. объемная сторона голографической дуальности есть система D3/Dp пересекающихся D-бран. Последовательность голографии пересекающихся D-бран состоит в том, что мы знаем фундаментальные (ультрафиолетовые) степени свободы обоих дуальных теорий. Наиболее существенно то, что мы знаем как теория в объеме связана с IIB-суперструнами. В дуальной теории поля известно какие степени свободы играют роль при слабой связи — в ультрафиолете — это фундаментальные поля теории. Настоящее применение голографии начинается при переходе в ИК режим, где теория поля сильно-взаимодействующая, степени свободы не известны, и мы используем дуальную слабо-взаимодействующую гравитацию в объеме (эффективно приближающую IIB-суперструны) для описания того, что происходит в теории поля.

Открытые струны, которые прикрепляются обоими концами к D3-бране, представляют калибровочные поля N=4 суперсимметричной теории Янга-Миллса с калибровочной группой SU(Nc), в 3+1 измерениях мирового объема D3-бран. Эта теория дуальна теории суперструн типа-IIB в AdS5×S5. Чтобы описать голографически поля материи, т.е. поля в фундаментальном представлении калибровочной группы SU(Nc), в геометрию AdS5×S5 погружаются Dp-браны; при простейшем рассмотрении количество Dp-бран мало, так что можно пренебречь их влиянием на геометрию. Открытые струны, протянутые между D3-бранами и Dp-бранами, дуальны, очевидно, полям материи (кваркам) в теории поля. Если Dp-брана имеет n+1-мерное пересечение с D3-бранами, то кварковые поля живут в n+1 измерениях. В то время как с точки зрения размерностей и симметрий теории поля в УФ и ИК идентичны, физические степени свободы тем не менее различны. Например, в ультрафиолете теория поля фактически свободна, так что имеет смысл говорить о свободных кварковых полях как динамических степенях свободы. В то время как в ИК режиме, в который мы переходим для изучения конденсированных сред, в силу сильного взаимодействия (и возможно конфайнмента), не известно, вообще говоря, какие составные поля входят в эффективный лагранжиан.

Выше мы добавили материю к чисто калибровочной теории Янга-Миллса посредством введения пробных бран в геометрию, создаваемую большим количеством D3-бран. В зависимости от конкретного значения p и от размерности пересечения D3-бран и Dp-бран, такая конфигурация сохраняет 8 вещественных суперзарядов или нарушает всю суперсимметрию. Задача о нахождении числа сохраненных суперсимметрий теории таким образом сведена к задаче о числе суперсимметрий, сохраняемых данной конфигурацией D-бран. Эта задача неоднократно обсуждалась в блоге. Одним из способов ее решить является нахождение нулевой энергии NS сектора возбуждений открытой струны, т.е. нахождение массы низшего бозонного возбуждения открытой струны (Это векторное поле. На самом деле как раз таки этот метод не является правильным, т.е. иногда он дает правильный ответ, а иногда нет. В рассматриваемом случае ответ получается правильный, но может оказаться так что, скажем, все безмассовые фермионы инвариантны по отношению к преобразованию суперсимметрии, поэтому не важно что нет безмассовых бозонов. Однозначный метод определить число сохраняющихся суперсимметрий это написать явно суперзаряды для каждой отдельной D-браны и потом найти общие суперзаряды для всех D-бран.) Напомню, что масса низшего вобуждения R сектора (спинорного поля) всегда равна нулю. Если нулевая энергия NS сектора равна нулю, то теория, очевидно, суперсимметрична: суперпартнеры имеют одинаковую массу. Чтобы определить число сохраненных суперсиммерий остается вспомнить что каждая D-брана суперсимметричной конфигурации уменьшает число суперсимметрий вдвое, так что введение Dp-бран в N=4 суперсимметричную калибровочную теорию приводит нас к N=2 суперсимметричной калибровочной теории с материей.

Не сложно показать, что D3/Dp-конфигурация с p=2n+1 и n+1 мерным пересечением суперсимметрична. Ниже рассматриваются такие конфигурации с n=1,2,3. Суперсимметричность теории важна, т.к. обеспечивает существование безмассовых скаляров, а не только безмассовых бозонов. Нам интересны безмассовые скаляры так как они могут быть модульным параметрами теории. Массивные поля можно получить с помощью механизма КК. На самом деле ниже скаляры получаются редукцией КК. Такие поля все еще безмассовы. Масса, которая может быть приобретена за счет механизма КК, значительно меньше массы которую имели бы все бозонные поля если бы они были высшими модами возбуждения струны, что имело бы место в несуперсимметричной теории.

Наличие безмассовых бозонных полей, таких как скаляры суперсимметричного гипермультиплета, поднимает вопрос о модульном пространстве теории: описание конфигурационного пространства скалярных полей, таких что потенциальная энергия для любой точки этого конфигурационного пространства одинакова. Этот вопрос исследуется с помощью дуальной голографической теории в статье

Martin AmmonKristan JensenKeun-Young KimJoão LaiaAndy O'Bannon Moduli Spaces of Cold Holographic Matter

о которой я и собираюсь говорить в этом посте.

Модульные скалярные поля теории поля описываются в статье посредством дуального скалярного поля в объеме, полученного КК редукцией векторного поля на сфере. Авторы рассматривают D3/Dp систему. Динамика в объеме — это динамика полей на мирвом объеме Dp-браны. На мировом объеме Dp-браны живет U(1) калибровочное поле, которое балансирует число бозонных степеней свободы для суперсимметричности каждой отдельной браны. В статье рассматривается тривиальное вложение Dp-бран, так что нет никакой динамики координат вложения. Тогда вся (бозонная) динамика сводится к динамике U(1) векторного поля.

Чем это векторное поле интересно с точки зрения голографически-дуальной теории поля? Калибровочное поле в объеме означает наличие калибровочной симметрии в объеме. Т.е. мы имеем локальную U(1) симметрию в объеме. Локальная симметрия в объеме соответствует глобальной симметрии на границе: так что калибровочное поле в объеме является источником для Нетеровского тока глобальной симметрии в теории поля на границе. В конденсированных средах мы интересуемся рассмотрением систем с ненулевой плотностью материи. Чтобы посчитать число частиц материи, припишем каждой частице U(1) заряд — барионный заряд — так что ненулевая плотность на самом деле исчисляется U(1) барионным зарядом. Свойства конденсированных сред закодированы в корреляционных функциях соотвествующего U(1) тока. Эти корреляционные функции описываются голографически с помощью классической динамики U(1) поля в объеме.

Более наглядно: в силу того, что было написано выше, пробная D-брана в AdS геометрии нам нужна для описания материи. Материя живет в фундаментальном представлении калибровочной группы SU(Nc), что обеспечивается открытыми струнами, которые прикрепляются одним концом к стопке Nc D3-бран. Другим концом эти струны прикреплены к Dp-бране. Тогда каждая отдельная (фундаментальная) частица материи представляется струной, причем в силу того, что второй конец каждой струны прикреплен к Dp-бране, каждая частица имеет также симметрию внутренних U(1) «вращений» этого второго конца. Таким образом каждая отдельная частица обладает U(1) зарядом, причем для описания динамики плотности этого заряда, т.е. плотности частиц, нам нужно описать динамику соответствующего U(1) калибровочного поля на мировом объеме Dp-браны, в объеме AdS! Это простой наглядный пример как AdS/CFT соответствие следует из теории струн.

Для классического описания U(1) поля используется DBI действие, плюс WZ действие. Авторы находят такое решение этих уравнений, которое является инстантоном в объеме. Оперирование инстантонным решением проще, так как вместо нелинейных уравнений для того чтобы экстремизировать действие достаточно решить линейное уравнение на само-дуальность векторного поля. Более того, самодуальность инстантонного решения полностью исключает соответствующий тензор напряженности поля из действия (обсудим это в еще одном наиболее и принципиально полезном контексте основной идеи статьи ниже), что делает уравнение движения на временную компоненту векторного поля A0(ρ), описывающую голографически ненулевую плотность материи в дуальной теории поля, исключительно простым. 

В D3/D7-конфигурации с 3+1 мерным пересечением авторы рассматривают анзатц с нетривиальным векторным полем в сферических и радиальном направлениях мирового объема D7-браны. А также они рассматривают ненулевую временную компоненту векторного поля. Сферические компоненты векторного поля после КК редукции являются скалярами в объеме, дуальные билинейным комбинациям скварков гипермультиплета в теории поля. (Доказательство этой дуальности есть нечто, что было произведено в другой статье. Главная идея состоит в том, чтобы сопоставить представления дуальных полей и операторов относительно действия группы R-симметрии. Поле в объеме раскладывается по сферическим гармоникам, где каждая гармоника характеризуется квадратичным Казимиром l соответствующей ортогональной группы R-симметрии, реализуемой в объеме геометрическим образом просто как группа симметрий сферы; тогда дуальный оператор имеет заряд l относительно группы R-симметрий.)

Чтобы найти термодинамический потенциал теории поля при данном значении хим-потенциала нам нужно посчитать действие в объеме на массовой оболочке. Важное наблюдение состоит в том что вклад сферических компонент векторного поля в член WZ сокращается с вкладом этих компонент в член DBI, так что свободная энергия зависит только от временной компоненты векторного поля. Причина этого сокращения содержится в самодуальности сферической части тензора напряженности векторного поля; само-дуальность есть характерное свойство векторного инстантонного решения.

Тогда с точки зрения теории поля термодинамический потенциал зависит только от плотности заряда и не зависит от вакуумного среднего полей, дуальных сферическим компонентам векторного поля в объеме. Таким образом эти поля являются модульными полями теории поля. Так как теория поля живет в 3+1 измерениях вдоль пересечения мирового объема D3-браны и мирового объема D7-браны, то векторные индексы в сферических направлениях должны быть подвержены КК редукции, так что в результате мы получаем модульные скалярные поля теории поля. И мы знаем что эти модульные скалярные поля дуальны инстантонной конфигурации U(1) векторного поля на мировом объеме D7-браны.

Немного технических деталей того, что описано выше. DBI+WZ действие для D7-браны выглядит следующим образом:

$$S_7=-T_7\int d^4z\left[\sqrt{\det(g_{ij}+Z^{-1/2}f_{ij})}-\frac{1}{8}Z^{-1}\epsilon^{ijkl}f_{ij}f_{kl}\right]\,.$$

Координаты z есть радиальная координата ρ в AdS и сферические координаты S3 части мирового объема D7-браны. Рассматриваемая теория поля трансляционно-инвариантна, поэтому дальные поля независимы от координат x 3+1-мерной части мирового объема D7-браны. Как я написал выше, для описания ненулевой плотности материи нам необходим нетривиальный профиль временной компоненты A0 калибровочного поля. В записанное действие оно входит через эффективную метрику:

$$g_{ij}=\delta_{ij}-\partial _iA_0\partial _jA_0\,.$$

В действии также фигурируют антисимметричный символ ε0123=1 и искривляющий фактор AdS, Z=1/ρ4. Для само-дуальной напряженности U(1) векторного поля

$$f_{ij}=\partial_iA_j-\partial_jA_i\quad\quad f_{ij}=\frac{1}{2}\epsilon_{ijkl}\sqrt{\det\;g_{ij}}f^{kl}$$

действие становится равным

$$S=-T_7\int d^4z\sqrt{\det\;g_{ij}}\,,$$

т.е. сводится чисто к DBI члену для эффективной метрики.

Это ключевое наблюдение, стоящее за всей статьей: DBI+WZ действие D-браны, посчитанное на инстантонной конфигурации векторного поля в сферических направлениях, не зависит от параметров этого инстантонного решения. Важность этого наблюдения для голографического описания дуальной теории поля состоит в том, что оно немедленно подразумевает независимость термодинамического потенциала дуальной теории поля от вакуумного среднего скалярных операторов, дуальных инстантонному векторному полю. Таким образом, авторы статьи идентефицируют голографически модульные поля в сильно-взаимодействующей теории поля.

Это очень нетривиальный результат: если вы решаете такую задачу только с помощью методов теории поля, то вам нужно найти эффективный потенциал сильновзаимодействующей эффективной ИК теории поля (чтобы потом найти модульные направления конфигурационного пространства полей для этого потенциала) интегрируя явно по всем высокоэнергетическим модам. Нахождение потенциала эффективной сильновзаимодействующей теории — крайне сложная задача, которая может быть решена точно только при условии достаточного количества симметрий, которые просто напросто однозначно фиксируют единственный возможный вариант эффективного потенциала, так что не нужно явно интегрировать по всем высокоэнергетическим модам.

Решение этой задачи с помощью голографии в некоторых ситуациях, таких, как рассматриваемая в статье, может быть крайне просто: классическая динамика в AdS автоматически учитывает все квантовые эффекты в теории поля, так что классическое действие в AdS сразу дает вам эффективное действие (при ненулевой плотности — термодинамический потенциал) дуальной теории поля в сильновзаимодействующем ИК режиме. Так что все что нужно сделать это найти нетривиальные конфигурации полей в AdS, таких что действие, посчитанное на этой конфигурации, не зависит от конкретных параметров конфигурации.

Другой технической деталью статьи является переход к эффективной метрике, которая оказывается конформно-плоской. Как написано выше, для инстантонной конфигурации действие на массовой оболочке сводится к простому DBI действию для эффективной метрики, причем эффективная метрика определена через метрику AdS и поле A0(ρ). Последнее связано с плотностью материи d в теории поля выражением

$$A_0'(\rho)=\frac{1}{\sqrt{1+\rho^6/\rho_0^6}}\,.$$

Это решение DBI уравнения движения для поля A0(ρ), такое что плотность материи дается выражением $$d=\delta S/\delta A_0'$$. Последнее обеспечивается связью координатного параметра ширины профиля A0(ρ) и плотностью d:

$$\rho_0^6=\frac{d^2}{T_7^2\text{vol}(S^3)^2}\,.$$

Точное соотношение между d и плотностью материи дается выражением

$$\langle J^0\rangle=2\pi\alpha 'd\,,$$

и натяжение D7-браны равно

$$T_7=(2\pi\sqrt{\alpha'})^{-8}\,.$$

Комбинируя все эти выражения вместе замечаем, что т.к. <J0> будучи плотностью материи в трех пространственных измерениях (по другому: будучи сохраняющимся током в четырех пространственно-временных измерениях) имеет размерность 3, то d имеет размерность 5 (т.к. α' есть квардрат струнной длины), тогда т.к. T7, разумеется, имеет размерность 8 (число измерений мирового объема D7-браны), то ρ0 имеет размерность -1. Т.е. из размерных соображений особенная радиальная координата ρ0 определяется величиной плотности материи дуальной теории поля.

Эффективная метрика на мировом объеме в координатной системе с новой радиальной координатой

$$\bar\rho=\rho\left(\frac{1+\sqrt{1+\rho_0^6/\rho^6}}{2}\right)^{1/3}$$

принимает вид

$$g_{ij}dz^idz^j=\Omega (\bar\rho)^2(d\bar\rho^2+\bar\rho^2 ds_{S^3}^3)\,,\quad\Omega(\bar\rho)=\left(1-\frac{\rho_0^6}{4\bar\rho^6}\right)^{1/3}$$

из которого следует что она конформно-плоская. Причем искривляющий фактор метрики имеет (координатную) сингулярность когда  $$\bar\rho =2^{-1/3}\rho _0$$, однако, в силу того что это просто образ Пуанкаре-горизонта в новой координатной системе (в терминах новой радиальной координаты), то область $$\bar\rho <2^{-1/3}\rho _0$$ вообще рассматривать не нужно. Соответственно инстантонные решения с сингулярностью внутри этого шара по-прежнему физические, так как не имеют сингулярности в физическом пространстве AdS. [Спасибо К. Дженсену за разъяснение этого момента.]

Ключевые слова: AdS/CMT, AdS/CFT

Комментарии

#1. 5 апреля 2013 года, 07:15. Григорий Циперман пишет:
Господа,возможно вас заинтересует моя работа, которую я написал в 1979 году. Это моя дипломная работа, которую я выполнил, заканчивая Гомельский университет по специальности «Теоретическая физика».
Она называется «К вопросу о связи теории монополя Дирака с моделью релятивистской струны». Собственно о связи этих объектов в дипломе написано не много. По ходу исследования я заинтересовался феноменом квантования струны в 26-мерном пространстве. Как мне кажется (и не только мне) удалось определить причину этого феномена и показать при каких допущениях струна квантуется в 4-мерном пространстве.
К сожалению физиком мне стать не удалось. Время было такое...
Сейчас мой интерес к этой теме имеет характер чистого любопытства: я уже не понимаю, что у меня там написано)))
Если интересно, я готов передать работу. Она оформлена в формате Word.

С уважением,
Григорий Циперман
#2. 5 апреля 2013 года, 12:51. Миша Гойхман пишет:
Григорий, спасибо за интерес. В принципе струну можно квантовать в любом количестве измерений. Требование D=26 есть только один из способов избавиться от конформной аномалии. В самом общем виде проблема такова. Струна должна быть конформно инвариантна. В квантовой теории чтобы обеспечить конформную инвариантность, схематически говоря, вводятся духовые поля и соответствующий кусок в лагранжиане, обеспечивающий конф. инвариантность. Эти духовые поля имеют центральный заряд, равный -26, для бозонной струны. Ненулевой центральный заряд означает, что в квантовой теории конф. инвариантность нарушена. Далее, каждое пространственно-временное направление тоже дает вклад в центральный заряд, и он равен +1. Поэтому 26 пространственно-временных измерений полностью компенсируют центральный заряд от духовых полей и полный центральный заряд становится равным нулую, как и нужно. В теории суперструн есть духи и супердухи, вместе от них центральный заряд равен -15. Далее, каждой пространственно-временной координате суперсимметричным образом соответствует фермион, дающий вклад в центральный заряд +1/2. Поэтому в D=10 вклад от пространственно-временных координат и их суперпартнеров равен +15 и компенсирует центральный заряд духов и супердухов.

Однако, скажем в N=2 суперсимметричной теории заряд от супердухов равен -6, и компенсируется четырьмя пространственно-временными координатами. Проблема в том, что среди них два времени и два пространства, что не вполне отражает действительность. ;)

На самом деле то что сперструны требуют D=10 — не проблема, т.к. суперструны предсказывают другия поля, кроме гравиации: Янга-Миллса и материю, которые все должны соответствовать наблюдаемому спектру элементарных частиц. На уровне лагранжиана для суперструны они, разумеется, не соответствуют (и не должны, т.к. это фундаментальная теория а не просто модель какого-то явления), а вот после компактификации шести «лишних» измерений вполне себе могут.

Еще, в бозонной струне есть теория линейного дилатона. Вводите три плюс один измерения (или любое другое число, на собственный вкус), а потом вдоль одного из них вводите ненулевое фоновое скалярное поле, линейно зависящее от соответствующей координаты. Коэффициент пропорциональности линейной зависимости позвоялет непрерывным образом менять вклад дилатона в центральный заряд, так что дилатон скомпенсирует тот центральный разярд духов, которые не скомпенсировали координаты пространства-врвмени. Проблема с этим подходом в том, что он нарушает Лоренц-инвариантность, вводя привелегированное направление в пространстве-времени.

Так или иначе, если пришлете свою работу мне на почту (goykhman89 at google), постараюсь прочесть и потом написать вам свое мнение.
#3. 20 мая 2013 года, 10:52. пишет:
Извините, Михаил, только сегодня увидел Ваш ответ: ждал его на свою почту.
Прочитал... Красиво, но ничего не понятно. В общем-то, я и не надеюсь понять объяснения: уже лет 30 я вне темы. К сожалению... Но ничего не исправишь — я состоялся в другой области знания.
А диплом готов прислать.
Если я правильно понял, Ваш адрес goykhman89@gmail.com?
#4. 20 мая 2013 года, 13:47. Миша Гойхман пишет:
Григорий, я ответил здесь т.к. это было в контексте всех этих слов про пространственно-временные измерения и прочее. Да, мой адрес Вы поняли правильно.
#5. 20 мая 2013 года, 13:49. Миша Гойхман пишет:
Кстати, тут можно галочку поставить напротив «Подписаться на комментарии других посетителей» после чего Вам на почту будут приходить уведомления об ответе на Ваши комменты и о новых комментах.

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 74+1?