Заметки о теоретической физике → 2012 → 08 → 08
Михаил Гойхман

Квантовая теория поля с константами связи, зависящими от времени

8 августа 2012 года, 14:22

Вы наверное заметили что некоторое время назад появилась несколько любопытная статья (на тему которой Сильверштейн говорила на Strings 2012) Xi Dong, Bart Horn, Eva Silverstein, Gonzalo Torroba Unitarity bounds and RG flows in time dependent quantum field theory.

1. Как видно из названия статьи, а также из заголовка этого поста, главная идея — рассмотреть квантовую теорию поля с константами связи, зависящими от времени. Насколько оригинальна такая идея?

Одна из первых морально схожих ситуаций, которая приходит в голову, это теория бозонной струны в фоновом гравитационном поле. Действие Полякова для струны при этом:

$$S=-T\int d^2\sigma\sqrt{-h}h^{\alpha\beta}g_{\mu\nu}(X)\partial_\alpha X^\mu\partial_\beta X^\nu\,.$$

Напомню, что Xμ(σα) — это поле на двумерной поверхности мирового листа струны, параметризованного координатами σα, α=1,2, описывающее вложение струны в пространство-время с координатами xμ. Метрика на мировом листе струны hαβ содержит только один независимый параметр, являющийся одновременно параметром конформных преобразований Вейля (нетрудно убедиться, что не существует динамических уравнений на метрику h). Поэтому геометрия мирового листа — чисто алгебраическая, то есть сводится к топологии.

С другой стороны метрика gμν (метрика в пространстве отображения) является динамическим полем в эффективной теории. Что это значит? Теория струн конформно инвариантна, и потому определена на всех масштабах энергии. Действительно, конформная инвариантность в принципе не позволяет отличить один масштаб энергии от другого. Таким образом теория струн избегает проблемы неопределенности квантовой теории поля на планковском масштабе. Для описания конкретных физических явлений нам нужно сосредоточиться на отдельных модах возбуждения струны. Расстояние между различными модами возбуждения струны по порядку величины равно планковской энергии (если струнная константа связи по порядку величины равна единице). Поэтому сосредоточимся на низшем уровне возбуждений.

В теории замкнутых струн низшие моды возбуждения струны формируют мультиплет гравитации (супергравитации, в теории суперструн). В этот мультиплет, естественно, входит гравитон gμν (а также антисимметричное B-поле с двумя индексами и дилатон). Каждое отдельное возбуждение струны есть квант поля, которое описывается своей эффективной теорией, справедливой при малых масштабах энергии. Это верно и для мультиплета гравитации. Чтобы получить эффективную теорию гравитации, следующую из теории струн, можно воспользоваться следующим трюком.

Теория струн должна быть свободна от конформных аномалий: квантовые поправки не должны нарушать симметрию лагранжиана по отношению к конформным преобразованиям. В теории на мировом листе это обеспечивается тем, что пространство-время, в которое вкладывается мировой лист струны, имеет размерность 26 (или 10, в теории суперструн). Какой эффект зануления конформной аномалии на эффективной теории, описывающей поля, соотстветствующие модам возбуждения струны? Квантовая теория поля конформно инвариантна, если бета-функция всех ее констант связи равна нулю. В случае гравитации, выведенной как эффективная теория из теории струн, мы тоже имеем нечто, что играет роль константы связи.

Действительно, посмотрим на действие Полякова струны в гравитационном поле, написанное выше. Как мы только что обсудили, гравитационное поле создается струнами. Тогда это действие описывает взаимодействие струн со струнами. А именно, кусок взаимодействия — это отклонение метрики пространства-времени от плоской метрики, свернутое с производными координат вложения струны. Соответствующая «константа связи» — это флуктуирующая метрика δgμν, и вычисление бета-функции для нее дает βμν ~ Rμν, то есть тензор Риччи. Так что зануление бета-функции приводит к уравнениям Эйнштейна. Мы видим, таким образом, что идея константы связи, зависящий от (пространства-)времени, не оригинальная в статье Сильверштейн и др.

Однако, из того, что они объясняют приложении А своей работы, следует, что их подход к зависящей от времени константе связи прямо противоположен «струнному подходу», который я только что описал. В струнном подходе на низких энергиях имеется нетривиальная «динамика константы связи». Другой пример из теории струн, на этот раз открытых струн: заряд Чана-Патона на конце струны, обеспечивающий взаимодействие открытой струны с внешним калибровочным полем (U(1)-полем на мировом объеме D-браны, к которой прикреплена открытая струна) через лагранжиан $$L\sim\dot{X}^\mu A_\mu$$. В низкоэнергетической теории, за счет диаграмм поляризации вакуума, сгенерируется лагранжиан Янга-Миллса, в то время как в фундаментальной теории (теории струн) он отсутствует. Однако, в противоположность приведенному примеру, авторы рассматриваемой статьи считают константу связи динамическим полем в ультрафиолетовой теории, записывая полный лагранжиан

$$L=L_{CFT}-\frac{1}{2}\left((\partial\phi)^2+m^2\phi^2\right)+\lambda_0g\phi {\cal O}_+-\frac{1}{2}(\partial g)^2-V(g)$$

и потом переходят к низкоэнергетической теории

$$L=L_{CFT}-\frac{1}{2}\left((\partial\phi)^2+m^2\phi^2\right)+\lambda_0g\phi {\cal O}_+$$

в которой осцилляциями g над минимумом потенциала V можно пренебречь.

2. Главный вклад статьи в физику, наверное, состоит в том чтобы исследовать вопросы унитарности теории; а именно — сделать это в той ситуации, когда константы связи теории зависят от времени (вообще говоря, когда они являются функцией пространственно-временных координат).

Что значит унитарность теории? Унитарность — это когда все процессы рассеяния имеют хорошо определенную амплитуду вероятности, равную амплитуде обратного процесса, причем сумма всех вероятностей равна единице. С точки зрения квантовой теории поля такие системы описываются унитарной S-матрицей. Чтобы получить конкретные выражения для амплитуд, надо записать S-матрицу между какими-то асимптотическими (свободными) состояниями системы.

Однако, например, в калибровочно-инвариатной теории мы хотим исключить все чисто калибровочные (и потому нефизические) состояния из рассмотрения, а также временные компоненты калибровочных бозонов, имеющие отрицательную норму. Тогда возникнет проблема того, полна ли система оставшихся состояний, то есть полон ли базис по которому мы теперь будем раскладывать состояния системы. Он полон, и прямое доказательство в теории БРСТ основывается на нильпотентности оператора БРСТ (Пескин и Шредер, 16.4 — это фактически как ссылка на Библию ;) ).

Для полноты обсудим кратко доказательство БРСТ унитарности теории в которой S-матрица рассматривается только между физическими асимптотическими состояниями: т.е. состояниями с поперечными калибровочными бозонами. Будем обозначать такие состояния как |A;tr>. В формализме БРСТ (в котором вводится оператор БРСТ-преобразований Q, удовлетворяющий свойству нильпотентности, или «грассамновости», Q2=0) это состояния, которые зануляются при действии БРСТ-оператора Q, но непредставимы как результат действия Q на некоторое (нефизическое) состояние. Тогда теория унитарна, если выполняется соотношение полноты

$$\sum_A|A;{\rm tr}\rangle\langle A;{\rm tr}|=I\,.$$

Это соотношение, разумеется не выполняется во всем гильбертовом пространстве, так как у нас есть еще продольные состояния калибровочных бозонов, полученные действием Q на состояния не уничтожаемые Q. И  у нас есть сами состояния, которые не уничтожаются Q: состояния с отрицательными нормами (временные компоненты калибровочных бозонов) и духи Фадеева — Попова. Однако унитарность теории означает, что это соотношение выполняется для всех уравнений, которые определяют вероятности процессов рассеяния.

Действительно, чтобы доказать унитарность, нам нужно показать, что выражение SS=1 выполняется когда S-матрица записана в базисе физических состояний системы. Для начала нужно вставить единичный оператор

$$I=\sum_A|A\rangle\langle A|$$

между S и S. Потом нужно взять матричный элемент между поперечными (физическими) асимптотическими состояниями. В силу нильпотентнтсти БРСТ-оператора нетрудно убедиться, что в представлении I тогда выживает только сумма по физическим состояниям системы.

Другой пример унитарного ограничения следует из оптической теоремы, когда амлитуда лежит внутри круга на комплексной плоскости. Действительно, согласно оптической теореме сечение σ = |A|2 процесса с амплитудой A дается выражением σ=с Im(A), где c есть некоторая величина. Получаем тогда

$$\left({\rm Re}(A)\right)^2+\left({\rm Im}(A)-\frac{c}{2}\right)^2\leq\frac{c^2}{4}$$

Мы видим, что оптическая теорема, следующая из унитарности, ограничивает величину возможной амплитуды процесса рассеяния в диск.

Теперь, допустим мы знаем эффективную теорию. Она может быть даже неперенормируема. Сильверштейн и др. приводят пример, когда такая эффективная теория, которая унитарна в ИК, оказывается неунитарной в УФ. Обратная ситуация не возникла бы: фундаментальная теория, определенная унитарно в УФ, не породила бы неунитарную теорию в ИК. Это означает что РГ поток имеет ограничения — унитарные ограничеения — такие как ограничения на аномальную размерность операторов. Мы можем не решать РГ уравнения, а применить шнурочный принцип (bootsrtap), чтобы сразу наложить существенные ограничения на теорию в ИК режиме.

Сильверштейн и др. однако больше интересуются проблемой унитарности ультрафиолетовго дополнения данной ИК теории. Они показываю, что эту проблему удобно адресовать если сделать константы связи зависящими от времени. Это и естественно, так как это добавляет естественный размерный параметр в теорию. В принципе это самая главная идея и самая главная мотивация статьи, причем все остальное есть технические детали и попытки применения этой идее к разным теориям.

3. Итак, иллюстративный пример, на котором начинает довольно успешно работать идея о константах связи, зависящих от времени, есть пример теории скалярного поля, вроде того, для которого выше был написан Лагранжиан. Эта теория при достаточно низких энергиях (то, что это означает поток из ИК в ИК, обсудим ниже) есть двухследовая деформация конформной теории поля. Пусть теперь константа связи зависит от времени,

$$g(t)=g_0t^\alpha\,.$$

Пусть масса m скалярного поля очень велика, так что можно явно проинтегрировать по скалярному полю и действительно получить двухследовый член в лагранжиане

$$\int d^dx\frac{g(x)^2}{m^2}{\cal O}_+^2=\int d^dx\frac{g_0^2t^{2\alpha}}{m^2}{\cal O}_+^2$$

Видно, что зависимость константы связи от времени сыграла свою роль: теперь при достаточно малых импульсах, или на достаточно больших промежутках времени, при которых вариация константы связи со временем важна, мы имеем

$$[g_0^2/m^2]=2(\alpha-\nu)$$

так что мы имеем возможность использовать степень временной зависимости константы связи для управления тем, какова размерность статической константы двухследового взаимодействия. Заметим, что если бы константа связи не зависела бы от времени, то взаимодействие было бы несущественным.

Тонкость состоит в том, что мы должны решить проблему унитарности, т.е. двинуться в ультрафиолет и посмотреть что там происходит. Если же константа связи зависит от времени недостаточно резко (с малой степенью α), то мы можем попасть в статический режим в УФ, и проблема унитарности будет такая же как и в обычной квантовой теории поля с константами связи, не зависящими от времени. Так что нужно позаботиться об иерархии масштабов. Сильверштейн и др. объясняют, что можно добиться удобной иерархии.

4. Вот еще несколько комментариев по статье:

1. То, что в статье называется полу-голографическим подходом, есть несколько неточное использование терминологии. Полуголографический подход — это когда вы считаете часть пропагаторов (а именно, пропагаторы сильновзаимодействующей конформной теории поля) с помощью AdS/CFT соответствия, а часть пропагаторов выводите из лагранжиана слабо-взаимодействующей теории (это не Глэшоу — Вайнберг — Салам: просто теория с малой константой связи, или свободная теория). Потом, допустим CFT и слабо-взаимодействующая КТП взаимодействуют друг с другом, и константа взаимодействия мала. Тогда квантовые пропагаторы КТП получаются суммированием геометрической прогрессии: вы вставляете пропагаторы CFT между пропагаторами КТП и суммируете все возможные диаграммы. При это количество цветов N в CFT большое, так что можно пренебречь всеми петлями с полями КТП в них.

2. При выводе перенормировки размерности CFT оператора (то, что называется Δ  → Δ + перенормировка) поток, который на самом деле рассматривается, в большинстве случае есть поток из ИК в ИК, потому что даже в «ультрафиолетовой» части рассматриваемой области энергии авторы пренебрегают кинетическим членом для полей. Тем не менее конформная размерность оператора считывается с импульсной зависимости корреляционной функции (конформно-инвариатной, т.е. с обратной степенной зависимостью, т.е. без юкавских множителей для взаимодействий с массивными частицами-переносчиками). Примечательно что при этом в конформной неподвижной точке ренормгруппового потока (conformal fixed point) лагранжиан судя по всему содержит размерные множители (чтобы дать правильную корреляционную функцию, которая тоже содержит размерные множители). [Спасибо Б. Галило за разъяснение этого момента.]

3. Кто нибудь понимает контекст ссылки на Толстого (в начале пункта 5)? Ну и заодно если честно то само утверждение Толстого мне тоже кажется необоснованным.

Ключевые слова: квантовая теория поля, бозонная струна

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 23+3?