Заметки о теоретической физике → 2012 → 06 → 10
Михаил Гойхман

Модель Джорджи-Глэшоу

10 июня 2012 года, 23:10

Модель Джорджи-Глэшоу есть простейшая теория Великого Объединения, основанная на калибровочной группе SU(5). Она является примером фундаментальной теории в мире без гравитации; построение таких фундаментальных теорий называется top-down подходом к исследованию природы; в отличии от bottom-up исследования конкретных явлений природы (как в случае Стандартной Модели в мире с GUT, что необходимо есть любой мир с гравитацией, в частности наш мир). К сожалению, эта модель является неправильной, в смысле, что она не описывает мир в котором мы живем, ибо она предсказывает более быстрый распад протона, такой, который был уже исключен экспериментально. Помимо этого, бегущие константы в рамках этой модели не пересекаются в одной точке, хотя и проходят довольно близко друг к другу на масштаебе 1016 ГэВ. Пересечение достигается в МССМ, что указывает на решающую роль суперсимметрии среди известных теорий Великого Объединения.

1. Вложение Стандартной Модели в теорию Великого Объединения означает, что все поля материи, присутствующие в СМ, должны группироваться в неприводимые мультиплеты в (би-)фундаментальном представлениии калибровочной группы теории Великого Объединения, в то время как калибровочные поля — в неприводимые мультиплеты в присоединенном представлении. Вложение материи в представление SU(5) будет показано несколько ниже.

Калибровочная группа СМ — это SU(3)c×SU(2)L×U(1)Y. Группа SU(3)c действует на кварки, собирая их в мультиплеты (это обозначение мультиплета лево-киральных полей; выделение киральности полезно для дальнейшего включения электрослабых взаимодействий) Qf, и на антикварки $$\bar{u}_f^{L},\;\bar{d}_f^{L}$$ (имеющие электро-магнитный заряд Q противоположный таковому для кварков),  где f=1,2,3 нумерует поколения кварков, т.е.

u1=u, u2=c, u3=t, d1=d, d2=s, d3=b.

Группа SU(2)L собирает в дублеты всю лево-киральную материю: каждое поколение кварков и каждое поколение лептонов представляет собой дублет лево-киральных полей и синглет право-киральных полей. Группа U(1)Y — одна из четырех абелевых U(1) подгрупп калибровочной группы СМ — дает каждому полю СМ определенный сохраняющийся гиперзаряд. Четыре U(1) подгруппы соответствуют четырем сохраняющимся зарядам СМ: три цвета, связанных соотношением b g r=1,  изоспин подгруппы SU(2) и гиперзаряд. Электромагнитный заряд дается выражением со структурой формулы Гелл-Манна — Нисидзимы (в последней, являющейся эффективной теорией, несохраняющиеся всегда гиперзаряд и изоспин имеют иное значение чем электрослабые гиперзаряд и изоспин, рассматриваемые тут) :

$$Q=\frac{Y}{2}+T_3$$

Начнем с вложения калибровочных полей СМ в группу Великого Объединения Джорджи-Глэшоу SU(5). Естественно что SU(3) и SU(2) нужно просто разместить блочно-диагональным образом внутри SU(5) матрицы. При понижении энергии от масштаба Великого Объединения группа SU(5) должна нарушаться до калибровочной группы СМ. Это значит, что на масштабе Великого Объединения ненулевое вакуумное среднее приоборетает поле, которое коммутирует только с калибровочной группой СМ. Что это за поле? Это диагональная матрица с одинаковыми элементами в первых трех и последних двух строчках. Матрица SU(5) должна удовлетворять условию бесследовости. Поэтому в качестве этого поля выберем

$$\tilde{Y}={\rm diag}\left(-\frac{2}{3},\;-\frac{2}{3},\;-\frac{2}{3},\;1,\;1\right)\,.$$

Помимо того что эта матрица служит как конденсат, нарушающий SU(5) спонтанно до группы СМ на масштабе великого объединения, она также задает генератор $$U(1)_{\tilde{Y}}$$ калибровочного поля СМ, вложенного в SU(5). Можно найти связь между этим гипер-зарядом группы SU(5) и гипер-зарядом Y группы U(1) СМ. Чтобы это сделать, нужно найти SU(3) и SU(2) мультиплеты СМ, которые имеют такое же отношение гипер-зарядов как таковое в матрице $$\tilde{Y}$$. Смотря на СМ часть первой таблицы (состав материи МССМ) поста Ромы здесь заключаем, что нужные нам мультиплеты — это 3 нижних анти-кварка $$\bar{d}_L$$ и 2 левых лептона $$(\nu_L,\;e_L)$$. Конечно, чтобы добиться полного соответствия, сперва вместо фундаментальной материи в представлении 5 группы SU(5) и с гиперзарядом $$\tilde{Y}$$ возьмем комплексно-сопряженный мультиплет $$\bar{5}$$ с гиперзарядом противоположного знака. Вообще говоря мы можем добиться того чтобы, $$\tilde{Y}=kY$$, где k — некое постоянное число. 

Чтобы продолжить с описанием вложения материи СМ в представления SU(5), вспомним некоторые факты СМ. В четырех измерениях спиноры разной киральности комплексно сопряжены друг другу. Поэтому удобно записывать спиноры в Вейлевском представлении. Тогда каждый спинор является двух-компонентным, с индексом без точки, $$\psi^\alpha$$. Это левый спинор. Комплексное сопряжение этого спинора даст спинор $$\bar\psi^{\dot\alpha}$$, с индексом с точкой, указывающий на преобразование в не-эквивалетном представлении группы Лоренца SL(2,C). Тогда вся право-киральная материия может быть представлена просто как комплексное сопряжение лево-киральной анти-материи. Мы заключаем что весь полевой состав СМ можно описать перечисляя всю лево-киральную материю, собирая её в дублеты SU(2)L, и лево-киральную анти-материю, являющуюся синглетом SU(2)L.

Тогда каждый кварк Qf имеет, помимо ароматного индекса f и цветного индекса (не показан явно), еще и изоспиновый индекс. В то же время кварки $$u_f^{R},\;d_f^{R}$$ являются право-киральными, и потому по определению не могут преобразовываться под дествием SU(2)L. Мы можем переписать их как анти-кварки $$\bar{u}_f^{L},\;\bar{d}_f^{L}$$.

Далее, на масштабе великого объединения все взаимодействия СМ и дополнительные 12 взаимодействий объединяются в группу SU(5) и имеют поэтому одну и ту же константу связи, которую мы обозначим g. Если мы выделим g' константу связи U(1)Y подгруппы, то вложение U(1)Y в SU(5) дается сравнением соответсвующих членов ковариантных производных полей материи:

$$\frac{g'}{2}Y=g\tilde{Y}\quad\Rightarrow\quad g'=2kg\,.$$

На масштабе Великого Объединения константы связи одинаково вложенных в SU(5)  групп SU(2) и SU(3) одинаковы и равны g, поэтому угол Вайнберга удовлетворяет

$$\sin\theta_W=\frac{g}{\sqrt{g^2+g^{\prime 2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+4k^2}}\,.$$

Начнем собирать материю в представлении SU(5). Достаточно это сделать в одном фиксированном поколении, в двух других процедура буквально повторяется. В каждом поколении имеется 15 двух-компонентных спиноров материи: 2×3=6 левых кварков, 2×3=6 правых кварков, левый электрон, правый электрон, и левый нейтрино. Потом есть 15 анти-частиц, с противоположными зарядами и противоположными киральностями к только что перечисленным частицам материи. Чтобы понять как вложить 15 полей в представление SU(5) нужно помнить о двух вещах: 1. мы должны составить неприводимые мультиплеты SU(2)×SU(3) полей СМ; 2. эти мультиплеты должны иметь правильный гиперзаряд U(1). Если оба условия учтены, то вся материя будет правильно преобразовываться под действием калибровочной группы СМ.

Выделим в одном поколении лево-киральные поля и анти-поля, общим количеством 10, как показано ниже . Естественно описать эти поля как представление 10 группы SU(5), полученное как антисимметризация 5×5 двух фундаментальных представлений SU(5). Антисимметризация делает представление 10 неприводимым в SU(5). Но оно приводимо по отношению к действию подгруппы SU(2)×SU(3). Каждое лево-киральное поле СМ будет иметь два индекса — один в фундаментальном представлении 2 группы SU(2), другой в фундаментальном представлении 3 группы SU(3). В силу выписанной выше матрицы $$\tilde{Y}$$, если индекс SU(3) не синглетный (т.е. принимает три значения), то гиперзаряд Y увеличивается на -2/3, а если индекс SU(2) не синглетный (т.е. принимает два значения), то гиперзаряд Y увеличивается на 1. Разложение 10 в сумму неприводимых представлений очевидно (ясно, что при SU(2)×SU(3) преобразованиях ни один член этой прямой суммы не может перейти в другой член; сумма произведений всех соседних индексов в правой части как и должно быть равна 10) имеет вид

$$10=(\bar{3},1)_{-4/3}\oplus(3,2)_{1/3}\oplus(1,1)_2.$$

Я подписал Y-гиперзаряд под каждым членом SU(5), указывая таким образом квантовые числа по отношению к полной калибровочной группе СМ. Это разложение содержит левые кварки Q в представлении (3,2) группы SU(3)×SU(2), правые кварки uR* (которые комплексно сопряжены, для получения правильного гиперзаряда, поэтому цветной индекс $$\bar{3}$$ с чертой), т.е. левые антикварки $$\bar{u}_L$$ в представлении $$(\bar{3},1)_{-4/3}$$ группы SU(3)×SU(2) и правый электрон (комплексно-сопряженный левый антиэлектрон), не имеющий ни цвета ни изоспина, т.е. являющийся синглетом SU(3)×SU(2). Таким образом мы можем рассматривать левые поля и анти-поля СМ, ни одно из которых комплексно не сопряжено другому, и сгруппировать их в неприводимое представление 10 группы SU(5).

Поясню еще раз происхождение гиперзарядов в предыдущей формуле. Представление 10 получается антисимметризацией произведения двух фундаментальных представлений 5. Однако такое антисимметризованное произведение будучи неприводимым в SU(5) приводимо по отношению к SU(2)×SU(3). Скажем, рассмторим $$(\bar{3},1)_{-4/3}$$. Оно получается следующим образом. В 5×5 антисимметричной матрице, изображающей проивзедение 5×5 берется верхний диагональный 3×3 блок. Этот блок является антисимметричной матрицей с тремя элементами. Элементы этой матрицы aij можно описать вектором

$$a_{\bar i}=\epsilon_{\bar{i}\bar{j}\bar{k}}a^{jk}$$

Обратите внимание что требование SU(3) инвариантности ведет к тому что индексы с чертой (анти-фундаментальные) индексы берутся в свертке с индексами без черты (фундаментальные индексы). Так что чтобы описать вектор $$a_{\bar i}$$ в анти-фундаментальном представлении SU(3) нужно записать матрицу aij с двумя индексами в фундаментальном представлении SU(3), и потому с гипер-зарядом -2/3-2/3=-4/3.

Осталось 5 двух-компонетных спиноров материи одного поколения, которые мы еще не описали в пространстве представления SU(5). В терминах лево-киральных полей это 3 левых анти-кварка  $$\bar{d}_L$$ с гиперзарядом 2/3 и дублет лептонов $$L=(\nu_e,e)$$ с гиперзарядом -1. Посмотрев на гиперзаряд, изоспин, и цвет этих полей становится очевидным, что они образуют $$\bar{5}$$ анти-фундаментальное представление SU(5).

Материя СМ таким образом преобразуется как $$10\oplus\bar{5}$$ мультиплет SU(5).

2. На масштабе Великого Объединения константы взаимодействия всех калибровочных полей СМ с полями материи одинаковы и равны g. Однако в эффективной теории поля — Стандартной Модели — эти константы имеют разное значение. Почему? Это следствие перенормировки: константы связи квантовой теории поля зависят от масштаба энергиии, для описания которого эта теория поля применяется. И эта зависимость различная для различных полей.

Все векторные поля в четырехмерии классически масштабно-инвариантны, поэтому перенормировка констант связи (проявляющая квантовое нарушение масштабной инвариантности) дает логарифмическим законом:

$$\frac{1}{g_i^2(\mu)}=\frac{1}{g_i^2(M_{gut})}+\frac{b_{SU(i)}}{8\pi^2}\log\frac{\mu}{M_{gut}}\,.$$

Нам бы хотелось чтобы $$g_i^2(M_{gut})=g^2$$ для SU(2)L и SU(3)c, и $$g^{\prime 2}(M_{gut})=4k^2g^2$$ для U(1)Y, в силу посчитанного выше. Но еще больше нам бы хотелось, чтобы на масштабе СМ константы связи принимали те значения, которые наблюдаются экспериментально. Поэтому в качестве граничных условий мы выбираем именно второе. И это естественно: мы знаем бета-функции всех полей СМ (в большинстве случае достаточно знать этот одно-петлевой множитель):

$$b_{SU(N)}=\frac{11}{3}C_A-\frac{4}{3}\sum_ic_f^iN_f^i-\frac{1}{3}\sum_ic_\phi^iN_\phi^i\,,$$

$$b_{U(1)}=-\frac{1}{10}\sum _fY_f^2-\frac{1}{20}\sum_\phi Y_\phi^2\,.$$

зависящие от квадратичного Казимира CA=N калибровочной группы G=SU(N), определенного условием facdfbcd=CAδab, квадратичного Казимира материи в представлении Ri калибровочной группы, trTaTb=ciδab, для фундаментального представления это $$c_f=c_\phi=\frac{1}{2}$$, и числа мультиплетов фермионов и скаляров в соответствующих представлениях (индекс i нумерует каждый мультиплет). Индекс f нумерует фермионы. Для СМ получаем

$$b_{SU(3)}=\frac{11}{3}\cdot 3-\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6=7$$

$$b_{SU(2)}=\frac{11}{3}\cdot 2-\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{19}{6}$$

$$b_{U(1)}=-\frac{1}{10}\cdot3\cdot(3\cdot 2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2+3\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2+3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2+$$

$$+2\cdot(-1)^2+2\cdot 2^2)-\frac{1}{20}\cdot 2\cdot 1^2=-\frac{41}{10}$$

Константа связи g' подгруппы U(1)Y калибровочной группы СМ соотносится с константой связи g группы SU(5) как g'=2kg. Поэтому для бегущей константы g' мы на самом деле получаем

$$b_{U(1)}=-\frac{82k^2}{5}\,.$$

Обозначим $$\alpha_i=\frac{8\pi}{g_{SU(i)}^2}$$. Тогда масштаб Великого Объединения можно посчитать, например, как

$$M_{gut}=\mu_0\exp\left(\frac{\alpha_3-\alpha_2}{b_2-b_3}\right)\,,$$

где μ0 есть некий масштаб, на котором мы померили α2 и α3. Для масштаба  μ0=90 ГэВ имеем α2=185 и α3=54, тогда получаем Mgut=1016 ГэВ. Однако, два других способа нахождения масштаба Великого Объединения (как пересечение ренормгрупповых линий пар констант взаимодействий (α1α2) и (α1α3)) дают тот же результат по порядку величины, но тем не менее несколько различный, см. пост Ромы про МССМ.

3. Модель Джорджи-Глэшоу предсказывает существование монополя тХуфта-Полякова. Такое предсказание является характерным для теорий Великого Объединения, в которых нарушение калибровочной группы происходит за счет механизма Хиггса. Монополь тХуфта-Полякова — это решение системы «неабелево калибровочное поле + скаляр в представлении соотвествующей калибровочной группы». Особенность монополя тХуфта-Полякова состоит в том, что он имеет магнитный заряд, который является свойством неабелевости теории, а не вкладывания магнитного заряда в уравнения движения руками (как в случае монополя Дирака, когда тождества Бьянки заменяются на уравнения движения с магнитным током монополей в правой части уравнения движения).

Если калибровочная теория неабелева, то скалярное поле, которое взаимодействует с калибровочным полем, представляет собой некий мультиплет в представлении калибровочной группы G. Допустим потенциал этого скалярного поля имеет нетривиальный минимум, вроде потенциала Хиггса. Если формируеся вакуумное ожидание скалярного поля, нетривиально минимизирующее потенциал этого поля, то калибровочная симметрия оказывается нарушенной до подгруппы H.  Многообразие минимумов образует косет G/H, где H есть группа стабильности каждого отдельного вакуумного решения для скалярного поля.

Будем искать сферически-симметричное решение нашей системы. При удалении от центра решения тензор энергии-импульса решения должен стремиться к нулю, чтобы энергия системы была конечной. Допустим на некоторой пространственной сфере Σ с достаточно большим радиусом ТЭИ равен нулю. Тогда скалярное поле на Σ принадлежит вакууму Хиггса. Следовательно калибровочная симметрия на Σ нарушена до H. Уравнения движения задают связь между вакуумом Хиггса и непряженностью поля ненарушенной калибровочной симметрии; в случае G=SO(3) и H=U(1) это:

$$F_{\mu\nu}=\partial _\nu A_\mu-\partial_\mu A_\nu+\frac{1}{e}\vec{\phi}_{vac}\cdot (\partial_\mu \vec{\phi}_{vac}\times\partial_\nu\vec{\phi}_{vac})\,.$$

Тогда мы видим что магнитный заряд действительно есть исключительно свойство неабелевости:

$$g_\Sigma =\int_{\Sigma}B^ids^i=-\frac{1}{2}\epsilon^{ijk}\int ds^iF_{jk}=-\frac{1}{2e}\int_\Sigma ds^i\epsilon_{ijk}\vec{\phi}_{vac}\cdot (\partial^j \vec{\phi}_{vac}\times\partial^k\vec{\phi}_{vac})\,.$$

Эта формула, помимо того что задает магнитный заряд монополя тХуфта-Полякова, описывает топологические свойства Хиггсовского вакуума. А именно, она устанавливает пропорциональность между магнитным зарядом и топологическим числом

$$\nu=\frac{1}{4\pi}\int_\Sigma ds^i\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\vec{\phi}_{vac}\cdot (\partial^j \vec{\phi}_{vac}\times\partial^k\vec{\phi}_{vac})\,.$$

Что это за число? Чтобы ответить на этот вопрос нужно вспомнить кое что из алгебраической геометрии.

Предположим у вас есть некоторое многообразие. Оно имеет локальные и глобальные характеристики. Локально n-мерное многообразие задается n координатами и искривленной метрикой в этих n координатах. Вообще говоря невозможно однозначно покрыть все многообразие с помощью одной координатной карты. Например, невозможно описать окружность с помощью только одной координаты (из-за периодичности этой координаты). Глобальные характеристики многообразия включают такие топологические понятия как гомология и гомотопия (помимо всего прочего).

Гомологические числа Бэтти bi указывают на колическтво нетривиальных циклических подмногообразий данного многообразия, не сводящихся друг к другу. По определению для замкнутого многообразия b0=bn=1. Если многообразие имеет дырки, то оно характеризуется ненулевыми числами Бэтти для промежуточных размерностей нетривиальных циклов, 0<i<n.

Независимая характеристика нетривиальных циклов данного многообразия предоставляется гомотопическими числами. Гомотопия — это непрерывное преобразование одного цикла в другой. Если такое преобразования существует, то два цикла называется гомотопически-эквивалентными. Нас интересует та ситуация, когда такого преобразования не существует. Неэквивалентные циклы размерности i тогда характеризуются гомотопическим классом который обозначается πi. Циклы одного и того же гомологического класса могут принадлежать разным гомотопическим классам. Например, рассмотрим 1-циклы некого многообразия: окружности вокруг дырки. С точки зрения гомологии окружности, которые оборачиваются вокруг дырки разное количество раз и в разных направлениях, принадлежат одному и тому же элементу группы гомологии. Однако с точки зрения гомотопии это не так: ибо такие циклы не могут быть переведены один в другой с помощью непрерывного преобразования. Разные элементы группы гомотопии имеют разные (целые) гомотопические числа, указывющие на то сколько раз и в каком направлении циклы оборачиваются вокруг дырок.

Slipknot — гомотопическая группа Z9

Теперь применим всё это к монополю. Вакуум Хиггса $$\vec{\phi}_{vac}$$ задает отображение сферы Σ в многообразие G/H. С точки зрения топологии это отображение характеризуется гомотопическим числом ν, определяющим гомотопический класс $$\pi_2(G/H)$$ отображения сферы Σ на многообразие вакуумов Хиггса G/H.

Другое утверждение состоит в том что ν также описывает класс гомотопии 1-циклов сохраняющейся калибровочной подгруппы H: $$\pi_1(H)\sim\pi_2(G/H)$$, так что заряд монополя можно описать либо с помощью гомотопии вакуума Хиггса, либо с помощью гомотопии пространства представления ненарушенной калибровочной подгруппы.

В применении к модели Джорджи-Глэшоу: косет группы G=SU(5) по H калибровочной группе СМ имеет нетривиальную группу гомотопий $$\pi_2(G/H)=Z$$, поэтому теория предсказывает существование магнитных монополей на масштабе нарушения SU(5), т.е. на масштабе Великого Объединения. Упражнение для читателей: докажите что множество целых чисел действительно задает гомотопические классы СМ, вложенной в группу SU(5).

Ключевые слова: квантовая теория поля

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 43+2?