Заметки о теоретической физике → 2012 → 06
Михаил Гойхман

Модель Джорджи-Глэшоу

10 июня 2012 года, 23:10

Модель Джорджи-Глэшоу есть простейшая теория Великого Объединения, основанная на калибровочной группе SU(5). Она является примером фундаментальной теории в мире без гравитации; построение таких фундаментальных теорий называется top-down подходом к исследованию природы; в отличии от bottom-up исследования конкретных явлений природы (как в случае Стандартной Модели в мире с GUT, что необходимо есть любой мир с гравитацией, в частности наш мир). К сожалению, эта модель является неправильной, в смысле, что она не описывает мир в котором мы живем, ибо она предсказывает более быстрый распад протона, такой, который был уже исключен экспериментально. Помимо этого, бегущие константы в рамках этой модели не пересекаются в одной точке, хотя и проходят довольно близко друг к другу на масштаебе 1016 ГэВ. Пересечение достигается в МССМ, что указывает на решающую роль суперсимметрии среди известных теорий Великого Объединения.

1. Вложение Стандартной Модели в теорию Великого Объединения означает, что все поля материи, присутствующие в СМ, должны группироваться в неприводимые мультиплеты в (би-)фундаментальном представлениии калибровочной группы теории Великого Объединения, в то время как калибровочные поля — в неприводимые мультиплеты в присоединенном представлении. Вложение материи в представление SU(5) будет показано несколько ниже.

Калибровочная группа СМ — это SU(3)c×SU(2)L×U(1)Y. Группа SU(3)c действует на кварки, собирая их в мультиплеты (это обозначение мультиплета лево-киральных полей; выделение киральности полезно для дальнейшего включения электрослабых взаимодействий) Qf, и на антикварки $$\bar{u}_f^{L},\;\bar{d}_f^{L}$$ (имеющие электро-магнитный заряд Q противоположный таковому для кварков),  где f=1,2,3 нумерует поколения кварков, т.е.

u1=u, u2=c, u3=t, d1=d, d2=s, d3=b.

Группа SU(2)L собирает в дублеты всю лево-киральную материю: каждое поколение кварков и каждое поколение лептонов представляет собой дублет лево-киральных полей и синглет право-киральных полей. Группа U(1)Y — одна из четырех абелевых U(1) подгрупп калибровочной группы СМ — дает каждому полю СМ определенный сохраняющийся гиперзаряд. Четыре U(1) подгруппы соответствуют четырем сохраняющимся зарядам СМ: три цвета, связанных соотношением b g r=1,  изоспин подгруппы SU(2) и гиперзаряд. Электромагнитный заряд дается выражением со структурой формулы Гелл-Манна — Нисидзимы (в последней, являющейся эффективной теорией, несохраняющиеся всегда гиперзаряд и изоспин имеют иное значение чем электрослабые гиперзаряд и изоспин, рассматриваемые тут) :

$$Q=\frac{Y}{2}+T_3$$

Начнем с вложения калибровочных полей СМ в группу Великого Объединения Джорджи-Глэшоу SU(5). Естественно что SU(3) и SU(2) нужно просто разместить блочно-диагональным образом внутри SU(5) матрицы. При понижении энергии от масштаба Великого Объединения группа SU(5) должна нарушаться до калибровочной группы СМ. Это значит, что на масштабе Великого Объединения ненулевое вакуумное среднее приоборетает поле, которое коммутирует только с калибровочной группой СМ. Что это за поле? Это диагональная матрица с одинаковыми элементами в первых трех и последних двух строчках. Матрица SU(5) должна удовлетворять условию бесследовости. Поэтому в качестве этого поля выберем

$$\tilde{Y}={\rm diag}\left(-\frac{2}{3},\;-\frac{2}{3},\;-\frac{2}{3},\;1,\;1\right)\,.$$

Помимо того что эта матрица служит как конденсат, нарушающий SU(5) спонтанно до группы СМ на масштабе великого объединения, она также задает генератор $$U(1)_{\tilde{Y}}$$ калибровочного поля СМ, вложенного в SU(5). Можно найти связь между этим гипер-зарядом группы SU(5) и гипер-зарядом Y группы U(1) СМ. Чтобы это сделать, нужно найти SU(3) и SU(2) мультиплеты СМ, которые имеют такое же отношение гипер-зарядов как таковое в матрице $$\tilde{Y}$$. Смотря на СМ часть первой таблицы (состав материи МССМ) поста Ромы здесь заключаем, что нужные нам мультиплеты — это 3 нижних анти-кварка $$\bar{d}_L$$ и 2 левых лептона $$(\nu_L,\;e_L)$$. Конечно, чтобы добиться полного соответствия, сперва вместо фундаментальной материи в представлении 5 группы SU(5) и с гиперзарядом $$\tilde{Y}$$ возьмем комплексно-сопряженный мультиплет $$\bar{5}$$ с гиперзарядом противоположного знака. Вообще говоря мы можем добиться того чтобы, $$\tilde{Y}=kY$$, где k — некое постоянное число. 

Чтобы продолжить с описанием вложения материи СМ в представления SU(5), вспомним некоторые факты СМ. В четырех измерениях спиноры разной киральности комплексно сопряжены друг другу. Поэтому удобно записывать спиноры в Вейлевском представлении. Тогда каждый спинор является двух-компонентным, с индексом без точки, $$\psi^\alpha$$. Это левый спинор. Комплексное сопряжение этого спинора даст спинор $$\bar\psi^{\dot\alpha}$$, с индексом с точкой, указывающий на преобразование в не-эквивалетном представлении группы Лоренца SL(2,C). Тогда вся право-киральная материия может быть представлена просто как комплексное сопряжение лево-киральной анти-материи. Мы заключаем что весь полевой состав СМ можно описать перечисляя всю лево-киральную материю, собирая её в дублеты SU(2)L, и лево-киральную анти-материю, являющуюся синглетом SU(2)L.

Тогда каждый кварк Qf имеет, помимо ароматного индекса f и цветного индекса (не показан явно), еще и изоспиновый индекс. В то же время кварки $$u_f^{R},\;d_f^{R}$$ являются право-киральными, и потому по определению не могут преобразовываться под дествием SU(2)L. Мы можем переписать их как анти-кварки $$\bar{u}_f^{L},\;\bar{d}_f^{L}$$.

Далее, на масштабе великого объединения все взаимодействия СМ и дополнительные 12 взаимодействий объединяются в группу SU(5) и имеют поэтому одну и ту же константу связи, которую мы обозначим g. Если мы выделим g' константу связи U(1)Y подгруппы, то вложение U(1)Y в SU(5) дается сравнением соответсвующих членов ковариантных производных полей материи:

$$\frac{g'}{2}Y=g\tilde{Y}\quad\Rightarrow\quad g'=2kg\,.$$

На масштабе Великого Объединения константы связи одинаково вложенных в SU(5)  групп SU(2) и SU(3) одинаковы и равны g, поэтому угол Вайнберга удовлетворяет

$$\sin\theta_W=\frac{g}{\sqrt{g^2+g^{\prime 2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+4k^2}}\,.$$

Начнем собирать материю в представлении SU(5). Достаточно это сделать в одном фиксированном поколении, в двух других процедура буквально повторяется. В каждом поколении имеется 15 двух-компонентных спиноров материи: 2×3=6 левых кварков, 2×3=6 правых кварков, левый электрон, правый электрон, и левый нейтрино. Потом есть 15 анти-частиц, с противоположными зарядами и противоположными киральностями к только что перечисленным частицам материи. Чтобы понять как вложить 15 полей в представление SU(5) нужно помнить о двух вещах: 1. мы должны составить неприводимые мультиплеты SU(2)×SU(3) полей СМ; 2. эти мультиплеты должны иметь правильный гиперзаряд U(1). Если оба условия учтены, то вся материя будет правильно преобразовываться под действием калибровочной группы СМ.

Выделим в одном поколении лево-киральные поля и анти-поля, общим количеством 10, как показано ниже . Естественно описать эти поля как представление 10 группы SU(5), полученное как антисимметризация 5×5 двух фундаментальных представлений SU(5). Антисимметризация делает представление 10 неприводимым в SU(5). Но оно приводимо по отношению к действию подгруппы SU(2)×SU(3). Каждое лево-киральное поле СМ будет иметь два индекса — один в фундаментальном представлении 2 группы SU(2), другой в фундаментальном представлении 3 группы SU(3). В силу выписанной выше матрицы $$\tilde{Y}$$, если индекс SU(3) не синглетный (т.е. принимает три значения), то гиперзаряд Y увеличивается на -2/3, а если индекс SU(2) не синглетный (т.е. принимает два значения), то гиперзаряд Y увеличивается на 1. Разложение 10 в сумму неприводимых представлений очевидно (ясно, что при SU(2)×SU(3) преобразованиях ни один член этой прямой суммы не может перейти в другой член; сумма произведений всех соседних индексов в правой части как и должно быть равна 10) имеет вид

$$10=(\bar{3},1)_{-4/3}\oplus(3,2)_{1/3}\oplus(1,1)_2.$$

Я подписал Y-гиперзаряд под каждым членом SU(5), указывая таким образом квантовые числа по отношению к полной калибровочной группе СМ. Это разложение содержит левые кварки Q в представлении (3,2) группы SU(3)×SU(2), правые кварки uR* (которые комплексно сопряжены, для получения правильного гиперзаряда, поэтому цветной индекс $$\bar{3}$$ с чертой), т.е. левые антикварки $$\bar{u}_L$$ в представлении $$(\bar{3},1)_{-4/3}$$ группы SU(3)×SU(2) и правый электрон (комплексно-сопряженный левый антиэлектрон), не имеющий ни цвета ни изоспина, т.е. являющийся синглетом SU(3)×SU(2). Таким образом мы можем рассматривать левые поля и анти-поля СМ, ни одно из которых комплексно не сопряжено другому, и сгруппировать их в неприводимое представление 10 группы SU(5).

Поясню еще раз происхождение гиперзарядов в предыдущей формуле. Представление 10 получается антисимметризацией произведения двух фундаментальных представлений 5. Однако такое антисимметризованное произведение будучи неприводимым в SU(5) приводимо по отношению к SU(2)×SU(3). Скажем, рассмторим $$(\bar{3},1)_{-4/3}$$. Оно получается следующим образом. В 5×5 антисимметричной матрице, изображающей проивзедение 5×5 берется верхний диагональный 3×3 блок. Этот блок является антисимметричной матрицей с тремя элементами. Элементы этой матрицы aij можно описать вектором

$$a_{\bar i}=\epsilon_{\bar{i}\bar{j}\bar{k}}a^{jk}$$

Обратите внимание что требование SU(3) инвариантности ведет к тому что индексы с чертой (анти-фундаментальные) индексы берутся в свертке с индексами без черты (фундаментальные индексы). Так что чтобы описать вектор $$a_{\bar i}$$ в анти-фундаментальном представлении SU(3) нужно записать матрицу aij с двумя индексами в фундаментальном представлении SU(3), и потому с гипер-зарядом -2/3-2/3=-4/3.

Осталось 5 двух-компонетных спиноров материи одного поколения, которые мы еще не описали в пространстве представления SU(5). В терминах лево-киральных полей это 3 левых анти-кварка  $$\bar{d}_L$$ с гиперзарядом 2/3 и дублет лептонов $$L=(\nu_e,e)$$ с гиперзарядом -1. Посмотрев на гиперзаряд, изоспин, и цвет этих полей становится очевидным, что они образуют $$\bar{5}$$ анти-фундаментальное представление SU(5).

Материя СМ таким образом преобразуется как $$10\oplus\bar{5}$$ мультиплет SU(5).

2. На масштабе Великого Объединения константы взаимодействия всех калибровочных полей СМ с полями материи одинаковы и равны g. Однако в эффективной теории поля — Стандартной Модели — эти константы имеют разное значение. Почему? Это следствие перенормировки: константы связи квантовой теории поля зависят от масштаба энергиии, для описания которого эта теория поля применяется. И эта зависимость различная для различных полей.

Все векторные поля в четырехмерии классически масштабно-инвариантны, поэтому перенормировка констант связи (проявляющая квантовое нарушение масштабной инвариантности) дает логарифмическим законом:

$$\frac{1}{g_i^2(\mu)}=\frac{1}{g_i^2(M_{gut})}+\frac{b_{SU(i)}}{8\pi^2}\log\frac{\mu}{M_{gut}}\,.$$

Нам бы хотелось чтобы $$g_i^2(M_{gut})=g^2$$ для SU(2)L и SU(3)c, и $$g^{\prime 2}(M_{gut})=4k^2g^2$$ для U(1)Y, в силу посчитанного выше. Но еще больше нам бы хотелось, чтобы на масштабе СМ константы связи принимали те значения, которые наблюдаются экспериментально. Поэтому в качестве граничных условий мы выбираем именно второе. И это естественно: мы знаем бета-функции всех полей СМ (в большинстве случае достаточно знать этот одно-петлевой множитель):

$$b_{SU(N)}=\frac{11}{3}C_A-\frac{4}{3}\sum_ic_f^iN_f^i-\frac{1}{3}\sum_ic_\phi^iN_\phi^i\,,$$

$$b_{U(1)}=-\frac{1}{10}\sum _fY_f^2-\frac{1}{20}\sum_\phi Y_\phi^2\,.$$

зависящие от квадратичного Казимира CA=N калибровочной группы G=SU(N), определенного условием facdfbcd=CAδab, квадратичного Казимира материи в представлении Ri калибровочной группы, trTaTb=ciδab, для фундаментального представления это $$c_f=c_\phi=\frac{1}{2}$$, и числа мультиплетов фермионов и скаляров в соответствующих представлениях (индекс i нумерует каждый мультиплет). Индекс f нумерует фермионы. Для СМ получаем

$$b_{SU(3)}=\frac{11}{3}\cdot 3-\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6=7$$

$$b_{SU(2)}=\frac{11}{3}\cdot 2-\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{19}{6}$$

$$b_{U(1)}=-\frac{1}{10}\cdot3\cdot(3\cdot 2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2+3\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2+3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2+$$

$$+2\cdot(-1)^2+2\cdot 2^2)-\frac{1}{20}\cdot 2\cdot 1^2=-\frac{41}{10}$$

Константа связи g' подгруппы U(1)Y калибровочной группы СМ соотносится с константой связи g группы SU(5) как g'=2kg. Поэтому для бегущей константы g' мы на самом деле получаем

$$b_{U(1)}=-\frac{82k^2}{5}\,.$$

Обозначим $$\alpha_i=\frac{8\pi}{g_{SU(i)}^2}$$. Тогда масштаб Великого Объединения можно посчитать, например, как

$$M_{gut}=\mu_0\exp\left(\frac{\alpha_3-\alpha_2}{b_2-b_3}\right)\,,$$

где μ0 есть некий масштаб, на котором мы померили α2 и α3. Для масштаба  μ0=90 ГэВ имеем α2=185 и α3=54, тогда получаем Mgut=1016 ГэВ. Однако, два других способа нахождения масштаба Великого Объединения (как пересечение ренормгрупповых линий пар констант взаимодействий (α1α2) и (α1α3)) дают тот же результат по порядку величины, но тем не менее несколько различный, см. пост Ромы про МССМ.

3. Модель Джорджи-Глэшоу предсказывает существование монополя тХуфта-Полякова. Такое предсказание является характерным для теорий Великого Объединения, в которых нарушение калибровочной группы происходит за счет механизма Хиггса. Монополь тХуфта-Полякова — это решение системы «неабелево калибровочное поле + скаляр в представлении соотвествующей калибровочной группы». Особенность монополя тХуфта-Полякова состоит в том, что он имеет магнитный заряд, который является свойством неабелевости теории, а не вкладывания магнитного заряда в уравнения движения руками (как в случае монополя Дирака, когда тождества Бьянки заменяются на уравнения движения с магнитным током монополей в правой части уравнения движения).

Если калибровочная теория неабелева, то скалярное поле, которое взаимодействует с калибровочным полем, представляет собой некий мультиплет в представлении калибровочной группы G. Допустим потенциал этого скалярного поля имеет нетривиальный минимум, вроде потенциала Хиггса. Если формируеся вакуумное ожидание скалярного поля, нетривиально минимизирующее потенциал этого поля, то калибровочная симметрия оказывается нарушенной до подгруппы H.  Многообразие минимумов образует косет G/H, где H есть группа стабильности каждого отдельного вакуумного решения для скалярного поля.

Будем искать сферически-симметричное решение нашей системы. При удалении от центра решения тензор энергии-импульса решения должен стремиться к нулю, чтобы энергия системы была конечной. Допустим на некоторой пространственной сфере Σ с достаточно большим радиусом ТЭИ равен нулю. Тогда скалярное поле на Σ принадлежит вакууму Хиггса. Следовательно калибровочная симметрия на Σ нарушена до H. Уравнения движения задают связь между вакуумом Хиггса и непряженностью поля ненарушенной калибровочной симметрии; в случае G=SO(3) и H=U(1) это:

$$F_{\mu\nu}=\partial _\nu A_\mu-\partial_\mu A_\nu+\frac{1}{e}\vec{\phi}_{vac}\cdot (\partial_\mu \vec{\phi}_{vac}\times\partial_\nu\vec{\phi}_{vac})\,.$$

Тогда мы видим что магнитный заряд действительно есть исключительно свойство неабелевости:

$$g_\Sigma =\int_{\Sigma}B^ids^i=-\frac{1}{2}\epsilon^{ijk}\int ds^iF_{jk}=-\frac{1}{2e}\int_\Sigma ds^i\epsilon_{ijk}\vec{\phi}_{vac}\cdot (\partial^j \vec{\phi}_{vac}\times\partial^k\vec{\phi}_{vac})\,.$$

Эта формула, помимо того что задает магнитный заряд монополя тХуфта-Полякова, описывает топологические свойства Хиггсовского вакуума. А именно, она устанавливает пропорциональность между магнитным зарядом и топологическим числом

$$\nu=\frac{1}{4\pi}\int_\Sigma ds^i\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\vec{\phi}_{vac}\cdot (\partial^j \vec{\phi}_{vac}\times\partial^k\vec{\phi}_{vac})\,.$$

Что это за число? Чтобы ответить на этот вопрос нужно вспомнить кое что из алгебраической геометрии.

Предположим у вас есть некоторое многообразие. Оно имеет локальные и глобальные характеристики. Локально n-мерное многообразие задается n координатами и искривленной метрикой в этих n координатах. Вообще говоря невозможно однозначно покрыть все многообразие с помощью одной координатной карты. Например, невозможно описать окружность с помощью только одной координаты (из-за периодичности этой координаты). Глобальные характеристики многообразия включают такие топологические понятия как гомология и гомотопия (помимо всего прочего).

Гомологические числа Бэтти bi указывают на колическтво нетривиальных циклических подмногообразий данного многообразия, не сводящихся друг к другу. По определению для замкнутого многообразия b0=bn=1. Если многообразие имеет дырки, то оно характеризуется ненулевыми числами Бэтти для промежуточных размерностей нетривиальных циклов, 0<i<n.

Независимая характеристика нетривиальных циклов данного многообразия предоставляется гомотопическими числами. Гомотопия — это непрерывное преобразование одного цикла в другой. Если такое преобразования существует, то два цикла называется гомотопически-эквивалентными. Нас интересует та ситуация, когда такого преобразования не существует. Неэквивалентные циклы размерности i тогда характеризуются гомотопическим классом который обозначается πi. Циклы одного и того же гомологического класса могут принадлежать разным гомотопическим классам. Например, рассмотрим 1-циклы некого многообразия: окружности вокруг дырки. С точки зрения гомологии окружности, которые оборачиваются вокруг дырки разное количество раз и в разных направлениях, принадлежат одному и тому же элементу группы гомологии. Однако с точки зрения гомотопии это не так: ибо такие циклы не могут быть переведены один в другой с помощью непрерывного преобразования. Разные элементы группы гомотопии имеют разные (целые) гомотопические числа, указывющие на то сколько раз и в каком направлении циклы оборачиваются вокруг дырок.

Slipknot — гомотопическая группа Z9

Теперь применим всё это к монополю. Вакуум Хиггса $$\vec{\phi}_{vac}$$ задает отображение сферы Σ в многообразие G/H. С точки зрения топологии это отображение характеризуется гомотопическим числом ν, определяющим гомотопический класс $$\pi_2(G/H)$$ отображения сферы Σ на многообразие вакуумов Хиггса G/H.

Другое утверждение состоит в том что ν также описывает класс гомотопии 1-циклов сохраняющейся калибровочной подгруппы H: $$\pi_1(H)\sim\pi_2(G/H)$$, так что заряд монополя можно описать либо с помощью гомотопии вакуума Хиггса, либо с помощью гомотопии пространства представления ненарушенной калибровочной подгруппы.

В применении к модели Джорджи-Глэшоу: косет группы G=SU(5) по H калибровочной группе СМ имеет нетривиальную группу гомотопий $$\pi_2(G/H)=Z$$, поэтому теория предсказывает существование магнитных монополей на масштабе нарушения SU(5), т.е. на масштабе Великого Объединения. Упражнение для читателей: докажите что множество целых чисел действительно задает гомотопические классы СМ, вложенной в группу SU(5).

Ключевые слова: квантовая теория поля | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Инстантоны и барионы

29 июня 2012 года, 05:45

Недавно появилась очень интересная статья

A. Gorsky and A. Krikun, Baryon as dyonic instanton

которая посвящена исследованию голографического описания барионов. Область деятельности, AdS/QCD соответствие — дуальность между некоторой согласованной редукцией теории суперструн типа-IIB в AdS5×S5 и квантовой хромодинамикой — является довольно успешной: физика КХД элегантно описывается струнной физикой в пространстве анти — де Ситтера.

1. Постолько поскольку эта работа принадлежит к деятельности AdS/QCD, т.е. к ряду работ, посвященных объяснению наблюдаемых природных явлений, связанных с сильным взаимодействием, есть смысл начать с того, чтобы объяснить, какова феноменологическая роль AdS/CFT соответствия в общем.

Существует два возможных подхода к AdS/QCD: фундаментальный (струнный) и феноменологический (эффективный). В фундаментальном подходе теория в объеме — теория в AdS — есть теория струн и D-бран, и мы описываем их низшие моды возбуждения. Т.е. мы точно знаем, какие степени свободы этих фундаментальных физических объектов мы описываем. Этот подход, таким образом, устанавливает соответствие между двумя фундаментальными концепциями: теорий замкнутых струн (гравитация) в AdS и теорией открытых струн (суперсимметричный Янг-Миллс) на границе AdS. Таким образом то, что именуется gauge/gravity duality является следствием фундаментального open/closed string correspondence. (Русскоязычной литературы на эти темы практически не существует, поэтому эти ключевые слова не имеют общепринятого перевода на русский язык, и я не планирую тут придумывать новые словосочетания.)

Феноменологический подход — это когда мы концентрируемся на динамике общего набора полей в AdS (везде, где я ссылаюсь на AdS, я имею в виду вобще говоря любое достаточно симметричное пространство с конформной границей, так что вблизи границы оно асимпотически приближается к AdS геометрии), не уточняя то, каким именно возбуждениям струн соответствуют рассматриваемые поля, и/или, какую дуальную теоретико-полевую конструкцию описывает модель в AdS. Вы можете написать общий Лагранжиан со скалярными и векторными (а также спинорными и тензорными (конкрентная теория)) полями в AdS, решить классические уравнения движения ваших полей и воспользоваться предписаниями AdS/CFT чтобы сделать из найденного выводы о том, что происходит в теории поля на границе. Если ваши выводы согласуются с ожиданиями (я считаю, что вы знаете, какую теорию вы хотите описать голографически) и теория самосогласованна, то есть большая вероятность того что ваша теория правильная.

Под правильной теорией в контексте AdS/CFT я имею в виду теорию, которая принадлежит к классу open/closed string correspondence: вся динамика должна быть выводима из теории струн: и в объеме (из теории замкнутых струн) и на границе (из теории открытых струн). В данном случае тот Лагранжиан для полей в AdS, который вы записали, должен описывать динамику струн и бран в AdS, и a priori вы просто не знаете каких именно струн и бран. Но в случае AdS/QCD вы знаете что теория на границе — это КХД: вы выделяете только те теории в AdS которые воспроизводят известную феноменологию КХД (такие явления как нарушение киральной симметрии, и описание спектра мезонов и барионов). Под КХД я понимаю калибровочную теорию с группой SU(Nc) и кварками в фундаментальном представлении этой группы.

На самом деле феноменологическое AdS/CFT соовтетствие может быть еще более ослабленым чем в случае AdS/QCD: когда вы даже не заботитесь о том, чтобы описать какую то конкретную теорию поля на границе, а вместо этого ищете любые теоретико-полевые проявления теории в AdS. Т.е. вы записываете Лагранжиан в AdS, применяете AdS/CFT чтобы вывести свойства дуальной теории поля и замечаете, что дуальная теория поля не совпадает по своей феноменологии ни с одной известной теорией поля. Такой слабый феноменологический подход характерен в AdS/CMT соотвествии. Тогда вам также нужно позаботиться о следующей проверке состоятельности вашей голографической модели: убедитесь что дуальная теория поля на границе допускает правильное ультрафиолетовое дополнение. Эту проверку можно свести к тому чтобы убедиться в корректности теории в объеме. Действительно, теория поля на границе будет допускать перенормируемое ультрафиолетовое  дополнение если дуальная теория в объеме имеет корректное поведение вблизи границы AdS.

Итак, AdS/CMT применение голографии может быть феноменологическим и с точки зрения теории в объеме и с точки зрения теории на границе. Это не удивительно, физика конденсированных сред — это «феноменология феноменологии»: вы берете теорию поля, которая есть эффективная но перенормируемая теория (следствие струн; например — квантовая электродинамика) — и строите к ней опять эффективную неперенормируемую теорию, например, 4х-фермионное взаимодействие БКШ (фонон — это не фундаментальная частица ;) разумеется). Феноменологических теорий может быть много, а фундаментальная — только одна, так что чем больше вы углубляетесь в феноменологию, тем более вероятность того, что ваша теория будет слишком приближенной, или лучше сказать — идеализированной — чтобы быть относящейся к нашему миру. И не важно, как вы строите свою феноменологию — голографически или нет, хотя, конечно, голографическая феноменология сильно-взаимодействующих систем — самый разумный способ адресовать эти проблемы физики конденсированных сред. Как я отмечал, тестирование феноменологических теорий и тестирование фундаментальных теорий — принципиально разные вещи.

2.1. Хорошо, как нас на Физтехе учил Ю.И. Семёнов (я перефразирую немного), после того как разобрались что такое познание, перейдем к самому познанию истины. ;)

Известно, что киральная симметрия в КХД нарушена. В ультрафиолете чистая КХД описывается лагранижаном с голыми параметрами. У вас есть теория Янга-Миллса с калибровочной группой SU(Nc) взаимодействующая с Nf ароматами кварковых полей. Кварки безмассовые в ультрафиолете, и поэтому динамика левых кварков независима от динамики правых кварков. Это называется киральной симметрией: теория инвариантна относительно группы глобальных преобразований SU(Nf)L×SU(Nf)R, вращающих независимо левые и правые кварковые поля. Безмассовая теория таким образом обладает двумя сохраняющимися кварковыми токами: векторным и аксиальным (существуют векторный и аксиальный токи в присоединенном представлении SU(Nf) группы и векторный и аксиальный токи, являющиеся синглетом SU(Nf) группы).

Низкоэнергетические процессы с сильным взаимодействием описываются эффективной КХД. В эффективной КХД за счет петель с фермионами и внешними глюонными полями аксиальная симметрия $$U(1)_A$$ нарушена: закон сохранения аксиального тока аномален. Аналогичным образом киральная аномалия нарушена из за электромагнитного взаимодействия, нарушающего абелеву подгруппу киральной симметрии (скажем, U(1) подгруппа SU(2) киральной симметрии нарушена за счет электромагнитного взаимодействия). Если a — индекс в присоединенном представлении ароматной группы, то киральные токи есть 

$$j^{\mu 5a}=\bar\psi_f\gamma^\mu\gamma^5\tau^a_{ff'}\psi_{f'}\,,\quad\quad j^{\mu 5}=\bar\psi_f\gamma^\mu\gamma^5\psi_{f}\,,$$

где индекс f нумерует ароматы кварков. Классический закон сохранения $$\partial_\mu j^{\mu 5}=0$$ аномален за счет сильного взаимодействия, а закон сохранения $$\partial_\mu j^{\mu 53}=0$$ аномален за счет электромагнитного взаимодействия.

Допустим, ваша теория не страдает киральной аномалией. Даже эффективный лагранжиан теории тогда обладает киральной симметрией. Вы тем не менее хотите нарушить закон сохранения киральной симметрии. Для этой цели надо ввести кварковый конденсат. Формирование такого конденсата относится к классу спонтанного нарушения симметрии: если вакуум |0> таков, что

$$\langle 0|\bar{\psi}\psi |0\rangle =\langle 0|\bar\psi_L\psi_R +\bar\psi_R\psi_L|0\rangle\neq 0\,,$$

т.е. если вакуум заполнен связанными состояниями левых кварков и античастиц правых кварков, то вы больше не можете независимо преобразовывать левые кварки через левые, а правые через правые: именно из-за этой самой связанности. Киральная симметрия, таким образом, оказывается спонтанно нарушенной.

Замечу, что при спонтанном нарушении киральной симметрии есть определенный характерный масштаб энергии для эффективной теории поля, в которой киральная симметрия нарушена (как, например, вакуумное среднее поля Хиггса, равное по порядку величины массам W и Z бозонов, дает масштаб нарушения электрослабой симметрии). Этот масштаб дается записанным выше вакуумным средним. Замечу также, что это вакуумное среднее имеет структуру масс псевдоскалярных мезонов (такие как π-мезоны, ρ-мезоны и K-мезоны), что имеет отдельное значение ниже в контексте динамического нарушения киральной симметрии.

Каждая спонтанно нарушенная симметрия параметризует позицию в пространстве вакуумов теории, которые мы обозначим |πa(k)>, что выражается формулой

$$\langle 0|j^{\mu 5a}(x)|\pi^b(p)\rangle =-ip^\mu f_\pi\delta^{ab}e^{-ip\cdot x}\,.$$

Постолько поскольку киральный ток исходный теории сохраняется, то сворачивая обе части равенства с pμ мы получаем p2=0, т.е. пионные вакуумные состояния безмассовы, что согласуется с теоремой Голдстоуна.

Итак, мы получили, что на определенном масштабе энергии, даваемом вакуумным средним кваркового биленейного оператора, киральная симметрия становится спонтанно нарушенной. Однако, как и полагается по теореме Голдстоуна, соответствующие (псевдоскалярные) бозоны безмассовы. Это не похоже на правду: пионы массивны. Чтобы получить массивные пионы надо рассматривать квантовую теорию. В этом случае киральная симметрия становится аномальной. На уровне эффективного Лагранжиана это соответствует тому, что кварки приобретают массовые слагаемые:

$$i\gamma^\mu Q={\bf m}Q\,,\quad Q=\left({\psi_u\atop\psi_d}\right)\,,\quad {\bf m}=\left({m_u\atop 0}\;{0\atop m_d}\right)\,,$$

где я для простоты рассмотрел КХД с двумя ароматами кварков. Дивергенция аксиального тока тогда равна источнику: аксиальному заряду,

$$\partial _\mu j^{\mu 5a}=i\bar{Q}\{{\bf m},\tau^a\}Q\quad\Rightarrow\quad -p^2f_\pi \delta^{ab}=\langle 0|i\bar{Q}\{{\bf m},\tau^a\}\gamma^5Q|\pi^b(p)\rangle\,.$$

Теперь пионы массивны:

$$m_\pi^2=(m_u+m_d)\frac{M^2}{f_\pi}\,.$$

Для полноты замечу, что частным случаем спонтанного нарушения киральной симметрии является динамическое нарушение киральной симметрии. В этом случае вы добавляете в теорию (тяжелые) фермионные поля, так что наблюдаемый сектор КХД теперь является открытой системой. Это называется техниколор: а добавленные фермионные поля называются техникварками. Так вот, техникварки образуют фермионный конденсат, так что киральная симметрия оказывается спонтанно нарушенной. Кстати говоря, взаимодействуя с калибровочными полями, техникварки также нарушают электрослабую симметрию.

2.2. Все, что я только что написал, можно реализовать в простых голографических моделях. В терминах D-бран это описывается D4-D8-D8 моделью

T. Sakai, S. Sugimoto, Low energy hadron physics in holographic QCD

За объяснениями этой модели обращайтесь к Любошу Мотлу и тем, на кого он ссылается.
 
Феноменологическая модель была построена в статье
 
 
Вот что делается в феноменологической работе. Для начала, в ИК режиме КХД находится в фазе конфайнмента. В ультрафиолете КХД свободна. Переходный масшта энергии - ΛQCD~150МэВ - должен соотвтествовать какому-то значению радиальной координаты z=zm в пространстве AdS5. Это называется жесткой стенкой. Итак, теория в объеме, дуальная QCD4, живет в пространстве AdS5, задаваемом геометрией между двумя границами: границей AdS (соответствующей UV режиму теории поля) и жесткой стенкой (соответствующей ИК масштабу конфайнмента)
 
$$ds_5^2=\frac{1}{z^2}(-dt^2+dx_1^2+dx_2^2+dx_3^3+dz^2)\,\quad\quad 0\leq z\leq z_m\,.$$
 
Наша основная цель — описать аномальное нарушение киральной симметрии. В ультрафиолете кварки безмассовы и теория обрадает киральной симметрией SU(Nf)L×SU(Nf)R. Соответствующией сохраняющиеся токи обозначим jLμ и jRμ. Согласно AdS/CFT соответствию, каждая глоабальная симметрия в теории поля на границе AdS соответствует локальной симметрии в объеме AdS. Т.е. токи jLμ и jRμ взаимодействуют с калибровочноыми полями ALμ и ARμ калибровочной группы SU(Nf)L×SU(Nf)R в объеме AdS.
 
Движению от границы AdS, z=0,  в глубь объема AdS соответствует движение в ИК режим КХД. В то время как в AdS мы смотрим при этом движении просто на зависимоть полей от радиальной координаты, в КХД это соответствует ренормгрупповому потоку: суммированию всех диагррамм с высшими импульсами и получению эффективного Лагранжиана. В этом состоит сила AdS/CFT соответствия. Мы хотим получить аномальное нарушение киральной симметрии КХД. Тогда, мы должны описать аномальное нарушение дуальной калибровочной инвариантности, т.е. нарушение калибровочной симметрии с аксиальным векторным полем Aμ =ALμ - ARμ. В объеме AdS это можно реализовать уже с помощью спонтанного нарушения симметрии. Это легко получить, прикрепив калибровочные поля к скалярному полю X в би-фундаментальном представлении калибровочной группы.  Рассмотрим, таким образом, действие
 
$$S=\int d^5x\sqrt{g}\text{Tr}\{|DX|^2+3|X|^2-\frac{1}{4g_5^2}(F_L^2+F_R^2)\}\,.$$
 
Допустим, теперь, что скалярное поле X выпадает в конденсат: просто решим для него классические уравнения движения в отсуствии калибровочных полей (последние все равно рассматриваются как флуктуации в AdS/CFT). Причем потребуем граничное условие на границе AdS: чтобы X(z=0)=0, что соответствует киральной симметрии КХД в ультрафиолете. Простейшее решение с формой X(z)=x(z)I, где x(z) — синглет калибровочной группы с нетривиальным профилем в AdS — взаимодействует только с аксиальным векторным полем. Тогда киральная симметрия оказывается спонтанно нарушенной. Можно посчитать соответствующий спектр пи-мезонов, а также векторных мезонов, что довольно хорошо согласуется с наблюдениями (последнее, разумеется, не говорит, что построенная теория на 100% верна, а скорее предоставляет пример возможности реальной феноменологии AdS/QCD соответствия).
 

3.1. В пункте 2 мы разобрались с тем, как голографически описать важные явления КХД. А именно, как с помощью AdS/CFT соответствия можно описать нарушение киральной симметрии. Мы также описали физику мезонов. Однако есть второй тип адронов, которые мы еще не описали. Это барионы.

Барион — это связанное состояние N кварков — фермионных полей в фундаментальном представлении калибровочной группы — и глюонного поля, в калибровочной теории с калибровочной группой SU(N). Такое состояние антисимметрично по отношению к перестановке кварков и потому является синглетом специальной унитарной группы SU(N). Тогда необходимо, чтобы все кварки преобразовывались в одном и том же представлении SU(N) — либо фундаментальном, либо анти-фундаментальном (комплексно-сопряженном фундаментальному). Сразу же исключается калибровочная группа U(N), потому что иначе барион преобразовывался бы с зарядом N (или -N в случае анти-бариона), и потому барионное состояние не было бы калиброчно-инвариантным, следовательно не существовало бы в природе.

На масштабе энергий бариона (150 МэВ или 1 Ферми) цветное глюонное взаимодействие SU(N) очень сильное, так что пертурбативное описание квантовой динамики бариона невозможно. Сильное взаимодействие в калибровочной теории может быть описано с помощью слабо-взаимодействующей теории гравитации, с помощью AdS/CFT соответствия. Оказывается, что барион голографически соответсвует инстантону в AdS.

3.2. Что такое инстантон? Инстантон — это решение классической Евклидовой калибровочной теории, такое что действие, посчитанное не решении, конечно, а напряженность поля самодуальна. Важные свойства инстантона, следующие из его определения:

— Евклидовость и потому мнимость времени имеют квантовомеханическую интерпретацию туннелирования, а также Евклидовость обеспечивает локализацию инстантона во времени;

— Конечность действия имеет квантовую теоретико-полевую интерпретацию существенного вклада этой классической конфигурации в квантовую динамику, описываемую интегралом по путям;

— Требование конечности действия накладывает ограничения на граничное поведение решения: оно должно убывать достаточно быстро, и локализовываться в пространстве. Поэтому если есть скалярные поля, взаимодействующие с калибровочным полем, то они должны минимизировать свой потенциал на бесконечности. Это требование — солитонность решения — относит инстантон к классу солитонов. Статья Горский-Крикун, которой посвящен этот пост, рассматривает именно такую солитонную конфигурацию в двух измерениях. 

 

2600 years of history of physics... anyone needs to go to the bathroom too? ;)

3.3. Теперь перейдем к реализации инстантонов в теории струн. Виттен указал на простой способ описать барион с помощью D бран в контексте AdS/CFT соответствия:

E. Witten, Baryons and branes in AdS space

Мы хотим описать барионные состояния в пространстве-времени Минковского, точнее его компактификации S3×R. 

Голографически дуальное описание калибровочных теорий в S3×R предоставляется теорией суперструн типа-IIB в пространстве-времени с AdS5×S5 геометрией; граница AdS5 есть компактифицированное пространство-время Минковского S3×R. Ранк N (на самом деле, конечно, ранк плюс один) калибровочной группы SU(N) равен количеству D3-бран, которые создают геометрию с около-горизонтной асимптотикой AdS5×S5. Каждая D3-брана является источником RR поля C4 и потому несет RR заряд этого поля, равный единице. В десяти пространственно-временных измерениях 3-браны окружаются 5-сферой, и это, конечно, S5 часть AdS5×S5 геометрии. По теореме Гаусса поток поля F5=dC4 через эту сферу тогда равен RR заряду стопки N бран, $$\int_{S^5}F_5=N$$.

Теперь допустим вы хотите описать поведение кварков в AdS/CFT дуальной теории поля, которая живет в S3×R. Кварковые поля — это низшие моды возбуждения открытых струн. Допустим вы хотите собрать барион из ваших кварков.  С точки зрения открытых струн это означает что N открытых струн протянуты в AdS и заканчиваются одним концом на границе AdS, т.е. на S3×R, причем все струны должны быть одинаково ориентированы.

Напомню, что настоящая теория открытых струн, теория типа-I с калибровочной группой SO(32), есть, разумеется, теория неориентированных струн. Оба конца струны одинаковы, струнное состояние симметрично по отношению к перестановке концов струны, что есть необходимое условие для того, чтобы калибровочная группа теории открытых струн была вещественной группой SO(32). Последнее есть условие сокращения калибровочных аномалий. Однако когда вы вводите калибровочную симметрию в теорию открытых струн, вы приписываете каждому концу струны заряд Чана-Патона, помещая в результате каждый конец струны в представление группы SU(M). Далее, чтобы получить SO(32) из SU(M) надо выбрать M=16, поместив в вакуум Минковского 16 заполняющих D9 бран (сделав по умолчанию все граничные условия Неймановскими), и потом поместить 16 ориентифолдных плоскостей O9, компенсирующих вакуумную энергию D9 бран и симметризующих концы открытых струн. Это все между прочим: в AdS/CFT эти вопросы не возникают.

Другая особенность: вместо струн, которые одним концом оканчиваются на границе AdS, мы можем протянуть D1 браны. Отличие D1 бран от фундаментальных струн, или F1 струн, состоит в том, что фундаментальные струны несут NSNS заряд поля B2 бозонного сектора мультиплета IIB супергравитации, а D1 браны несут RR заряд поля C2 биспинорной части бозонного RR сектора мультиплета IIB супергравитации. Однако, теория суперструн типа-IIB обладает S-дуальностью. Возьмите 1-мерный объект с зарядом (p,q) по отношению к указанным NSNS и RR полям. Оказывается, что теория суперструн типа-IIB инвариантна по отношению к SL(2,Z) преобразованиям этого заряда.

В то время как Чан-Патоновские заряды «электрические», и потому F1 струна описывает кварк на границе AdS, D1 брана имеет топологический заряд RR поля и описывает монополь на границе AdS. Тогда S-дуальность теории суперструн типа-IIB есть общий пример электро-магнитной дуальности, обменивающей кварки и монополи.

Slipknot, S-duality

Второй конец струн должен заканчиваться где-то в AdS. Открытые струны могут заканчиваться только на D-бранах. Виттен предлагает взять D5-брану, обернуть ее вокруг S5 и прикрепить к ней концы струн. Тогда D5-брана представляет собой голографическое описание бариона. Обоснование следующее. Действие D5-браны в AdS5×S5 геометрии включает член Черна-Саймонса

$$S_{CS}=\int F_5\wedge A\,,$$

где A — калибровочное поле на мировом объеме D5-браны. Но так как D5 брана обварачивает S5, то через нее проходит весь поток RR поля C4, и потому

$$S_{CS}=N\int A\,.$$

Следовательно D5-брана поляризуется в поле  C4, на ней индуцируется N единиц заряда поля A. Мы находимся в замкнутой геометрии AdS5×S5, так что нам надо компенсировать этот заряд (полный заряд замкнутой вселенной по теореме Гаусса равен нулю). Это осуществляется прикреплением N открытых струн к D5-бране.

4. В отличии от того, что я только что описал, Горский, Крикун конструируют инстантон в феноменологической AdS/QCD, о которой я говорил в пункте 2. Их главный результат состоит в описании барионного состояния с двумя квантовыми числами: помимо барионного заряда они также имеют возможность описать аксиальный заряд бариона.

Итак, барион в КХД описывается как инстантон киральной калибровочной группы в AdS. Барионный заряд при этом равен топологическому заряду инстантона (как видно, он ненулевой только если киральная симметрия нарушена)

$$B=\frac{1}{32\pi^2}\int _0^{z_m}\int d^3x(F_L\star F_L-F_R\star F_R)\,.$$

Горский, Крикун вводят цилиндрический анзац для калибровочных полей и скалярного поля, что позволяет свести задачу к двумерной: с координатами (r,z), где r — радиус в трех пространственных измерениях. Рассматриваемый ими анзац не зависит от времени, так что решение с конечным действием, минимизирующее потенциал на бесконечности (на самом деле на части бсекончено-удаленной границы), есть солитон.

Конкретно, требование конечности действия и регулярности уравнений движения на границе (r,z), даваемой четырьмя сторонами квадрата

$$r=0\,,\quad z\in (0,z_m)\,,$$

$$z=z_m\,,\quad r\in(0,\infty)\,,$$

$$r=\infty\,,\quad z\in (z_m,0)\,,$$

$$z=0\,,\quad r\in (\infty,0)\,,$$

требует, чтобы поле $$\gamma=\alpha-\beta-\frac{\pi}{2}$$, где α и β есть фазы векторного и скалярного полей соответственно, удовлетворяло вакуумному условию

$$\gamma=\pi n\,,\quad n\in Z\,,$$

минимизирующему один из потенциальных членов теории, на всех сторонах квадратной границы (r,z) плоскости, кроме z=0. При этом на r=∞ существует точка z=z0, в которой γ может прыгнуть между двумя вакуумными значениями. Это очень важно: благодаря этому контур поля γ замыкается при обходе квадратной границы пространства: т.е. это поле непрерывно.

И наконец, нетривиальная зависимость фазы β от радиальной координаты r, что является новшеством статьи среди других исследований солитонных решений в AdS, позволяет описать аксиальный заряд бариона: он пропорционален $$J_r=\partial_r\beta$$. Поле β связано с полем γ, а последнее имеет топологическое решение с новым топологическим числом n, так что Горский, Крикун указали на возможность описания аксиального заряда новым топологическим числом.

Ключевые слова: AdS/CFT, открытая струна | Оставить комментарий

← сюда туда →