Заметки о теоретической физике → 2012 → 05 → 28
Михаил Гойхман

Соответствие между теорией высших спинов и векторными сигма-моделями

28 мая 2012 года, 20:01

Хочу прокомментировать недавнюю статью

Robert de Mello Kocha, Antal Jevickib, Kewang Jinc, Joao P. Rodriguesa, and Qibin Yeb S = 1 in O(N)/HS duality

которая продолжает исследования в одном из направлений соотвествия между теорией струн в объёме и квантовой теорией поля на границе анти де Ситтер — подобного пространства-времени. Это направление довольно любопытно: теория в объёме есть теория высших спинов в AdS4. Я не большой эксперт именно в этой деятельности, однако попробую обрисовать то, что я знаю, начиная с самого простого.

Это длинный пост, и он представляет собой обзор значительной части материала, сопряженного O(N)/HS соответствию.

1. Спин — это квантовое число, характеризующее представление группы вращения. Выберем плоскость вращения, и назовём её (1,2). После вращения на угол φ она переходит в плоскость (1',2'), так что элементы матрицы вращения (подгруппа SO(2) группы Лоренца SO(1,d-1) для d-мерного пространства-времени) есть

$$\omega_{1'}^{\;\;1}=\cos\varphi\,,\quad\omega_{1'}^{\;\;2}=-\sin\varphi\,,\quad\omega_{2'}^{\;\;1}=\sin\varphi\,,\quad\omega_{2'}^{\;\;2}=\cos\varphi$$

Применим эти параметры вращения к преобразованию ковариантного тензора

$$A_{\mu_1\cdots\mu_n}\rightarrow A_{\mu_1'\cdots\mu_n'}=\omega_{\mu_1'}^{\;\;\mu_1}\cdots\omega_{\mu_n'}^{\;\;\mu_n}A_{\mu_1\cdots\mu_n}$$

Отщепим n-1 индексов и обозначим их как «(...)». Посмотрим как преобразуется оставшийся индекс, когда он обозначает направление на плоскости, которую мы вращаем на угол φ:

$$A_{(...)'1'}=A_{(...)'1}\cos\varphi -A_{(...)'2}\sin\varphi\,,$$ 

$$A_{(...)'2'}=A_{(...)'1}\sin\varphi +A_{(...)'2}\cos\varphi\,.$$

Поэтому объект $$A_{(...)\pm}=A_{(...)1}\pm iA_{(...)2}$$ при вращении в плоскости (1,2) преобразуется следующим образом: весь тензор умножается на e±iφ, и если среди индексов «(...)» есть 1 или 2, то они преобразуются с помощью Лоренцевских параметров ω. К преобразованию этих «(...)» индексов можно применить то же правило что мы только что применили к последнему индексу, группируя его два возможных значения 1 и 2 в плоскости вращения в индекс ±. Каждый фактор e±iφ характеризует спин-1 представление вращений, т.е. минимальный угол на который надо повернуть плоскость чтобы тензор перешел сам в себя есть 2π. Знак плюс или минус — это знак проекции спина вдоль оси «перпендикулярной» плоскости вращения (перпендикулярность плоскости вращения есть понятие, однозначно определенное только в трехмерии).

Допустим мы интересуемся неприводимыми представлениями группы Лоренца. Тогда все индексы тензора A либо симметризованны, либо антисимметризованны, либо взяты в след (свёрнуты попарно). Допустим тензор A симметричен. Тогда все его компоненты, которые обладают всеми индексами, лежащими в плоскости вращения (1,2), перепишем в терминах индексов ±. После этого становится очевидным закон преобразования такого тензора: это преобразование поля с целым спином, и максимальный возможный спин есть n — ранк тензора.

2. Приведем пример тензоров с разными, в том числе высшими (большими, чем 1), спинами. Скаляр — поле без индексов — сразу заключаем что он имеет нулевой спин. Антисимметричный тензор — не преобразуется при вращениях (умножается на детерминант матрицы преобразования, который равен единице при вращениях) — потому тоже имеет нулевой спин. Тензор энергии-импульса — имеет два индекса, потому является сохраняющимся током со спином 2. Гравитон — симметричный тензор с двумя индексами — имеет спин 2.

Более конкретно о том, что имеет непосредственное отношение к данному посту. Рассмотрим свободное скалярное поле в d-мерном пространстве-времене, живущее в фундаментальном представлении O(N) группы вращений (индекс a есть векторный индекс, преобразующийся под действием O(N) группы):

$$L=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^a)^2+\frac{1}{2}m^2(\phi^a)^2\,.$$

Если s — чётное число, то нетрудно убедиться что ток со спином s,

$$J_{\mu_1\cdots\mu_s}=\phi^a\partial_{(\mu_1}\cdots\partial_{\mu_s)}\phi^a$$

сохраняется на массовой оболочке (и является синглетом O(N)). Под скобками понимается анти-симметризованной действие на поля справа и на поля слева (из-за антисимметризации возникает ограничение на спин — чтобы он был чётным числом), например

$$J_{\mu\nu}=\phi^a\partial_\mu\partial_\nu\phi^a-\partial_\mu\phi^a\partial_\nu\phi^a$$

есть сохраняющийся ток со спином 2. Как я уже сказал в общем случае, и теперь покажу в конкретном, другой сохраняющийся ток со спином 2 есть тензор энергии-импульса:

$$T_{\mu\nu}=\partial_\mu\phi^a\partial_\nu\phi^a-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\partial_\lambda\phi^a\partial^\lambda\phi^a\,.$$

Среди сохраняющихся токов со спином 2 есть только один ток — тензор энергии-импульса. Выше я привел два тока: тензор энергии-импульса Tμν и Jμν. Утверждение состоит в том что любой из них может быть равноправно взят как ТЭИ, и они оба эквивалентны. В данном контексте симметрий с высшими спинами выбор Jμν, разумеется, предпочтительнее, так как он записан в такой форме, которая легко обобщается для построения токов с высшими четными спинами.

Итак, вспомним, что если Tμν — сохраняющийся ток, то к нему можно прибавить λΣμνλ, так что если тензор Σμνλ антисимметричен по индексам μ и λ, то Θμν=Tμν+λΣμνλ тоже есть сохраняющийся ток со спином 2, μΘμν=0. Такое преобразование обычно используется чтобы сделать ТЭИ симметричным по его индексам. Выберем

$$\Sigma ^{\mu\nu\lambda}=\eta^{\mu\nu}\phi\partial^\lambda\phi-\eta^{\lambda\nu}\phi\partial^\mu\phi\,,$$

где для краткости я опускаю явное обозначение суммирования по векторному индексу a. Тогда очевидно, что

$$T_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\left(\eta_{\mu\nu}\phi\partial^2\phi-\partial^\lambda\Sigma_{\mu\nu\lambda}-J_{\mu\nu}\right)\,.$$

Здесь $$\eta_{\mu\nu}\phi\partial^2\phi$$ — это совершенно  неинформативный объект, который сохраняется на массовой оболочке просто потому, что равен на ней нулю. Таким образом мы показали эквивалентность Tμν и Jμν определений ТЭИ.

3.  Исходная статья, которая положила начало исследованию соотвествия между векторными сигма-моделями и теорией высших спинов в AdS, есть статья

I.R. KlebanovA.M. Polyakov AdS Dual of the Critical O(N) Vector Model

Впоследствии было много других работ, тестирующих и использующих это соответствие, см. например

S. Giombi and X. Yin Higher Spin Gauge Theory and Holography: The Three-Point Functions

где было продемонстрированно равенство трех-точечных функций, посчитанных независимо голографически и в теории поля (см. также пост Любоша Мотла). Для меня не очевидно сейчас есть ли HS/O(N) какой-то независимый пример голографической дуальности, или он связан в том или ином смысле, с соотвествием между теорией струн в объеме и теорией поля на границе. А именно, мне не ясно в какой именно роли струны применяются при таком установлении голографической дуальности. Теория гравитации с высшими спинами есть нечто такое, что я никогда не изучал, так что на поставленный вопрос я не могу ответить сколько нибудь конкретно.

Вполне возможно, что теория Васильева проявляется как самосогласованное редуцирование эффективной теории гравитации, а векторная сигма-модель — как самосогласованное редуцирование теории Янга-Миллса. Если это действительно так, то именно это указывает на то как HS/O(N) соответствие выводится из теории струн.

Хорошо, КП предлагают взять O(N)-инвариантную модель вроде той, что я описал в пункте 2, и дают рецепт голографического вычисления сохраняющихся токов с высшими спинами, которые присутствуют в этой теории. Основное наблюдение состоит в возможности установления соответствия между полями hμ1...μs с чётными спинами в теории Васильева в AdS4 и сохраняющимися токами с четными спинами в векторной 3d модели на границе. AdS/CFT соответствие предписывает квантование

$$\langle\exp\int d^3xh_0^{(\mu _1\dots\mu _s)}J_{(\mu _1\dots\mu _s)}\rangle =e^{S[h_0]}\,,$$

т.е. значение h0 поля h на границе AdS является источником для тока J в дуальной 3d теории поля. Похоже на стандартное квантование, так как генерирующий функционал в левой части построен с помощью граничного значения поля в объёме. Однако, это не так. В стандартном квантовании размерность дуального оператора теории поля наибольшая (из двух возможных Δ±, когда две возможны, т.е. когда Δ->(d-2)/2), в то время как здесь она наименьшая. Квантование таким образом есть т.н. альтернативное квантование.

Чтобы пояснить, возьмём «ток» $$J_0=\phi^a\phi^a$$ со спином ноль. Заметим, что он имеет размерность 1. С другой стороны дуальное массивное скалярное поле в AdSd+1 (у нас d=3) имеет два возможных решения

$$h\simeq z^{\Delta_\pm}h_0$$

вблизи границы AdS, z=0:

$$\Delta_\pm=\frac{d}{2}\pm\sqrt{\frac{d^2}{4}+m^2}\,,$$

причем сумма размерностей дуального поля и скалярного оператора в теории поля должна быть равна d (чтобы генерирующий функционал в формуле КП представлял собой экспоненту от безразмерной величины; скалярное поле в AdS считается при этом безразмерным, [h]=0). Тогда единственный возможный (из двух) вариант представить размерность J0 через массу дуального скалярного поля в AdS есть 

$$1=\Delta_-=\frac{d}{2}-\sqrt{\frac{d^2}{4}+m^2}\,,$$

и потому m2=-2, что действительно есть масса скалярного поля в AdS4, возникающая из члена взаимодействия скаляра кривизны со скалярным полем. Обычно в простейших применениях AdS/CFT соответствия аргументы вроде этого о взаимодействии скалярного поля с гравитационным полем в AdS не применяются: гравитационый фон считается фиксированным и не влияющим на динамику полей. Однако в данном случае вероятно следующее. Мы начинаем с того, что формулируем теорию поля, для которой хотим построить голографическое описание. Берём в качестве этой теории поля O(N) векторную модель с бесконечным набором токов с четно-значными спинами. Берём эти сохраняющиеся токи и ищем голографически-дуальные к ним поля. Первый этап: ток со спином ноль. Обнаруживаем, что дуальное скалярное поле тогда имеет массу m2=-2. Второй этап: ток со спином 2, в качестве которого мы можем (в том числе) взять тензор энергии-импульса. Дуальное поле — гравитон. Далее, мы хотим чтобы всё взаимодействовало наиболее общим возможным образом. Тогда учитываем взаимодействие скалярного поля в AdS с массой m2=-2 и гравитона. Замечаем «удачное совпадение» (не случайное, разумеется), что m2=-2 есть значение массы скалярного поля в AdS, возникающее из лагранжиана скалярного поля в искривленном пространстве-времени, когда это пространство-время есть AdS4.

При ренорм-групповом потоке размерность оператора в квантовой теории поля меняется. Если O — это оператор с размерностью Δ-, и мы добавим к UV Лагранжиану член O2 (являющийся существенным оператором, т.к. его размерность есть 2Δ-<d, и потому стоящая перед ним константа взаимодействия имеет положительную массовую размерность и следовательно не вымирает при ренормгрупповом потоке), то ренормгрупповой поток принесёт нас к IR Лагранжиану, в котором O будет иметь размерностью Δ+. Этот факт независим от голографии и говорит о том, что в IR мы имеем стандартное квантование и квантовую конформную теорию CFTIR (эффективную конформную теорию поля скалярного оператора O с размерностью Δ+), в то время как в UV мы имеем альтернативное квантование и квантовую конфомрную теорию CFTUV («эффективную» конформную теорию поля скалярного оператора O с размерностью Δ-).

Но этот факт может быть в том числе также явно продемонстрирован с помощью голографической перенормировки (когда ренормгрупповой поток в теории поля изображается как изменение параметров теории поля в зависимости от того, какому значению радиальной координаты в AdS она соотвествует; например UV режим теории поля соответствует границе AdS и IR режим соответствует Пуанкаре-горизонту AdS), в простейшем случае — на примере скалярного поля в AdS.

На основании этого простейшего примера КП предлагают включить J02 член в Лагранжиан дуальной теории поля. Сделав это становится понятным когда J0 имеет «стандартную» размерность Δ+ — это просто результат ренормгруппового потока из «альтернативного» значения Δ-. Итак, O(N) векторная модель обладает тем, что называется двухследовое взаимодействие (вообще то такой термин применяется когда поля живут в присоединенном представлении, но тут принцип тот же):

$$S[\phi]=\int d^3x\left(\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^a)^2+\frac{\lambda}{2N}(\phi^a\phi^a)^2\right)$$

Выбор обозначения для константы двухследового взаимодействия λ, при котором соответствующий член в лагранжиане имеет в знаменателе явно N обусловлен тем, что при этом оба члена действия имеют одинаковый порядок по N, что важно при рассмотрении теории при больших N.

Это было введение.

3.1. Посмотрим сперва не теоретико-полевую сторону дуальности. Первое что мы сделаем, это применим метод Хаббарда-Стратоновича, введя вспомогательное поле σ,

$$S_0[\phi,\sigma]=\int d^3x\left(\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi^a)^2+\sigma\phi^a\phi^a-\frac{N}{2\lambda}\sigma^2\right)$$

Тогда

$$Z_0=\int{\cal D}\phi{\cal D}\sigma\exp\left(-S_0[\phi,\sigma]\right)=\int{\cal D}\phi{\cal D}\sigma\exp\left(-S[\phi]\right)\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3x\sigma^{\prime 2}\right)\,,$$

где сдвинутое вспомогательное поле есть

$$\sigma'=\sigma-\frac{\lambda}{N}\phi^a\phi^a\,.$$

Ясно что

$${\cal D}\phi{\cal D}\sigma={\cal D}\phi{\cal D}\sigma'\,,$$

и потому Z0Z с точностью до нормировочной константы, где

$$Z=\int{\cal D}\phi\exp\left(-S[\phi]\right)\,.$$

Конкретно

$$Z_0=Z\int{\cal D}\sigma\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3x\sigma^2\right)=Z\prod_x\sqrt{\frac{2\pi\lambda}{N}}\,.$$

Классически, конечно, поле σ просто явно исключается с помощью его нединамического уравнения движения и мы возвращаемся от действия S0 к действию S. Хорошо, будем тогда исседовать нашу векторную модель с двухследовым взаимодействием с помощью действия S0. Это удобно. Почему? Взаимодействующая теория на квантовом уровне описывается диаграммами с петлями. В нашем случае из действия S мы находим пропагатор и четвертичную вершину самодействия, и потом рисуем разные возможные диаграммы. Довольно сложно суммировать их всех. Например, пропагатор

$$\langle\phi^a(x)\phi^b(y)\rangle=\frac{\delta^{ab}}{|x-y|}$$

получает всевозможные петлевые поправки. Однако, если N большое, то можно все разложить по 1/N. Почему нас интересует большое N? Первую причину я только что указал — вычисления упрощаются когда мы ограничиваемя ведущим порядком по 1/N. Вторая причина в том, что мы устанавливаем голографическое соответствие, и желательно, чтобы радиус дуального AdS был большим (этот радиус пропорционален степени N) и потому мы бы имели возможность применять классическую гравитацию в объеме. Так что «простая» (но сильновзаимодействующая) теория поля соотвествует простой (и слабовзаимодействующей) теории в объеме. Утверждение состоит в том, что рассмотрение действия S0 вместо действия S делает 1/N разложение явным. Действительно, из действия S0 мы находим классические пропагаторы

$$\langle\phi^a(x)\phi^b(y)\rangle=\frac{\delta^{ab}}{|x-y|}\,,$$

$$\langle\sigma(x)\sigma(y)\rangle=\frac{1}{Z_\sigma}\int{\cal D}\sigma\sigma(x)\sigma(y)\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3x\sigma^2\right)=\frac{1}{Z_\sigma}\delta(x-y)\sqrt{2\pi}\lambda^{3/2}\frac{1}{N^{3/2}}\int\left[{\cal D}\sigma\right]_{z\neq x}\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3z\sigma^2\right)\,,$$

где мы ввели статсумму свободного поля σ

$$Z_\sigma=\int{\cal D}\sigma\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3x\sigma^2\right)=\prod_x\sqrt{\frac{2\pi\lambda}{N}}$$

и выразили

$$\int\left[{\cal D}\sigma\right]_{z\neq x}\exp\left(-\frac{N}{2\lambda}\int d^3z\sigma^2\right)=\sqrt{\frac{N}{2\pi\lambda}}\prod_x\sqrt{\frac{2\pi\lambda}{N}}=\sqrt{\frac{N}{2\pi\lambda}}Z_\sigma\,,$$

из чего следует

$$\langle\sigma(x)\sigma(y)\rangle=\delta(x-y)\frac{\lambda}{N}\,,$$

и классическую вершину (напомню обозначение $$J_0=\phi^a\phi^a$$)

$$\Gamma_{J_0\sigma}=1\,.$$

Да, я знаю что оба пропагатора и вершина выводятся из действия методом пристального взгляда гораздо быстрее чем я это сейчас сделал с помощью интеграла по путям, и нет, я не просто так демонстрирую что круто считать все с помощью интеграла по путям. Я применил интеграл по путям, потому что в квантовой взаимодействующей теории именно с помощью него считаются перенормированные пропагаторы и перенормированные вершины — т.е. пропагаторы и вершины с петлями внутри.

В петлях мы можем иметь либо поле $$\phi^a$$ либо поле $$\sigma$$. Однако, каждый пропагатор поля $$\sigma$$ в силу показанного выше дает множитель $$1/N$$, и потому соотвествующая диаграмма подавлена по сравенению с диаграммами в которых в петлях находятся поля $$\phi^a$$. Вот почему введение поля $$\sigma$$ удобно при рассмотрении теорий с большим N. Данный факт является следствием более общего правила, применямого в том числе в случае когда (некоторые) поля теории живут в присоединенном представлении группы симметрии: диаграммы с пропагаторами полей без индексов подавлены. 

3.2. В 3d CFT сохраняющийся ток имеет размерность 2. Например «сохраняющийся ток» J0 в IR режиме CFT имеет размерность Δ+=2. При этом «масса» (массовый член — это член взаимодействия со скаляром кривизны) дуального скалярного поля была «специально» выбранна m2=-2, чтобы обеспечить правильную UV размерность Δ-=1. Думаю, что для токов с высшими четными спинами и соответствующих полей в AdS с высшими четными спинами ситуация аналогична. Тогда (при больших N) все токи с высшими спинами имеют размерность 2.

Мне не известен явный вид Лагранжиана теории четных спинов в AdS4, так что я не могу продемонстрировать какие именно два возможных решения теория имеет вблизи горизонта AdS. Приветствуются полезные комментарии читателей блога, знакомых с теорией Васильева.

То что дальше описывают КП по сути сводится к следующему. Предположим вы начинаете с теории поля в которой есть односледовое взаимодействие. Это значит, что  если это калибровочная теория (поля матричные, т.е. живут в присоединенном представлении калибровочной группы), то члены Лагранжиана представляют собой след произведения матриц. А если это векторная модель, то каждый член Лагранжиана есть квадратичный синглет. Тогда, как заключают КП, в квантовой теории всегда будут сгенерированы члены Лагранжиана, которые представляют собой существенное мультиследовое взаимодействие. Они показывают это исследуя то, когда операторное взаимодействие самосогласованно.

Однако, то же самое утверждение можно продемонстрировать и на примере диаграмм, соответствующих среднему произведения операторов. Например, упомянутое выше двухследовое взаимодействие будет сгенерировано за счет непланарных диаграмм односледового. Возьмите налибровочную терию $$\text{Tr}\phi ^4$$, где поле $$\phi$$ живет в присоединенном представлении калибровочной группы. Тогда однопетлевые процессы сгенеририруют член эфеективного Лагражиана $$(\text{Tr}\phi ^2)^2$$ (картинка отсюда, каждое поле изображается полоской («мировым листом струны»), где края полоски соответствуют двум индексам калибровочного поля в присоединенном представлении калибровочной группы — или двум «зарядам Чана-Патона» на концах струны)

Здесь каждая из двух диаграмм имеет две $$\text{Tr}\phi ^4$$ вершины, между которыми есть одна петля. Правая диаграмма не может быть изображена на плоскости, и ее четыре внешние ноги отличаются по своей структуре от четырех внешних ног левой. У левой эта структура есть опять же $$\text{Tr}\phi ^4$$, т.е. левая диаграмма просто перенормирует односледовое взаимодействие. Однако структура внешних ног правой диаграммы сводится к двум полоскам, т.е. произведению двух полей, что соответствуют Лагранжиану $$(\text{Tr}\phi ^2)^2$$. То, что подписано под диаграммами, есть напоминание того, что планарная петля в N раз больше чем непланарная (т.к. в самом центре диаграммы есть замкнутая линия — что означает суммирование по всем значениям индекса этой линии, всего N таких значений, как видите на правой диаграмме такой петли нет). При этом каждый след дает фактор N, так что след в квадрате, т.е. правая диаграмма, имеет порядок N2.  Левая диаграмма, т.е. след умноженный на N, тоже имеет порядок N2, и потому обе диаграммы одного порядка в пределе больших N.

4. После того как мы более-менее ознакомились с предпосылками HS/O(N) соответствия, начнем переходить к обсуждению недавнего прогресса в этой деятельности. А именно, с точки зрения теоретико-полевой стороны дуальности, посмотрим на то, как наличие бесконечного количества токов с высшими спинами согласуется с теоремой Колемана-Мандулы. Последняя, как известно, утверждает что Лоренц-инвариантная теория с высшими бозонными пространственно-временными симметриями (т.е. с генераторами, нетривиально преобразующимися под действием группы Лоренца и образующими бозонную алгебру) имеет тривиальную S матрицу. То, что эта теорема подразумевает для теоретико-полевой стороны HS/O(N) соответствия впервые было исследовано в работе

Juan Maldacena and Alexander Zhiboedov Constraining conformal field theories with a higher spin symmetry

Во-первых, в конформной теории поля нет S матрицы. Собственно по этой причине конформная теория поля как таковая обходит теорему Колемана-Мандулы: в теории есть симметрии конформных преобразований, которые не являются Лоренцевскими синглетами и представляют собой бозонные преобразования. Однако, оператор дилатаций (оператор скейлинга, собственные значения которого по определению  задают все поля конформной теории поля) не коммутирует с оператором квадрата импульса (массой), поэтому масса больше не является квантовым числом, характеризующим неприводимые представления группы симметрии теории. Такими квантовыми числами в CFT являются спин и размерность скейлинга. Асимпотические состояния больше не определены как состояния с определенной массой и импульсом, так что S матрица рассеяния таких состояний тоже больше не определена.

Вместо S матрицы в конформной теории поля есть корреляционые функции. Последние могут получать всевозможные нетривиальные квантовые поправки — если теория взаимодействующая. Такие поправки соответствуют нетривиальному (S≠1) рассеянию «обычной» квантовой теории поля. Однако, что произойдет если конформная теория поля вдобавок обладает высшими симметриями? В случае O(N)/HS соответствия работа Малдасены и Жибоедова показывает что корреляционные функции сводятся к таковым для свободных полей: т.е. всегда можно перейти к таким полям, для которых корреляциооные функции имеют вид таковых, полученных из свободного Лагранжиана. Свободный Лагранжиан соответствует тривиальной S матрице.

4.1. Малдасена и Жибоедов, для доказательства того что корреляционные функции свободны, используют «шнурочный» принцип (bootstrap) — исходные предположения ограничивают возможные выводы до такой степени, что главные заключения однозначно следуют из этих ограничений. В применении к данной работе: корреляциооные функции с необходимостью свободны.

-1. Итак, в качестве первого исходного предположения потребуем, чтобы теория была унитарной. Унитарность ограничивает конформную размерность операторов снизу, что естетственно доказывается с помощью оптической теоремы. Допустим, вы начинаете со свободной теории в ультрафиолете. Точнее, допустим у вас есть теория, которая асимпотически свободна в ультрафиолете (вроде двухследовой векторной теории, описанной выше), т.е. в ультрафиолете все константы взаимодействия стремятся к нулю. Хорошо, тогда в ультрафиолете размерности всех операторов совпадают с таковыми в свободной теории. Утверждение состоит в том, что если теория унитарна, то размерности полей свободной теории являются ограничением снизу на размерности полей эффективной теории. Т.е. в инфракрасной эффективной взаимодействующей теории размерности полей не меньше размерности полей свободной ультрафиолетовой теории.

-2. Второе исходное предположение: наличие сохраняющегося тока с высшим спином s.

Если ток сохраняется в d-мерной теории, то его размерность ограничена. Размерность тока со спином 1 равна d-1. Допустим теория имеет высшие симметрии, с параметрами преобразования симметрии (тензором Киллинга) $$\epsilon_{\nu_1\cdots\nu_{s-1}}$$ с размерностью s-1 и спином s-1. Если это глобальные параметры, то действие инвариантно. Чтобы найти ток сделаем их локальными и посчитаем вариацию действия:

$$\delta S=\int d^dxJ^{\mu_1\cdots\mu_s}\partial_{(\mu_1}\epsilon_{\mu_2\cdots\mu_s)}\,.$$

Действие инвариантно, если выполнено условие Киллинга $$\partial_{(\mu_1}\epsilon_{\mu_2\cdots \mu_{s-1})}=0$$, (которое в случае сохраняющегося тока со спином 2 (тензора энергии-импульса), переходит в известное уравнение Киллинга $$\partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\nu\epsilon_\mu=0$$), которое также сопровождается условием бесследовости

$$\epsilon^\mu_{\;\;\mu \mu_{2} \cdots \mu_{s-1}}=0\,.$$

Допустим тензор Киллинга удовлетворяет условию Киллинга, как в вариации действия δS, написанной выше. Посчитаем теперь эту вариацию действия при выполнении уравнений движения. Если уравнения движения выполняются, то действие по определению инвариантно относительно любых преобразований. Тогда, требуя δS=0, находим, что ток с высшим спином необходимо сохраняется,

$$\partial_\mu J^{\mu_1\cdots \mu_s}=0\,.$$

Размерные соображения тогда указывают на то, что размерность Δ сохраняющегося тока J равна

$$\Delta =s+d-2\,.$$

Малдасена и Жибоедов опрелеляют твистовое число

$$\tau=\Delta -s$$

для тока со спином s и размерностью Δ и замечают, что ток сохраняется в трех измерениях если это число равно 1.

4.2. Перед тем как продолжить с доказательством тривиальности корреляционных функций, рассмотрим, следуя Малдасене и Жибоедову, некоторые основные положения теории сохраняющихся токов с высшими спинами. Как я уже указал выше, если у нас имеется тензор Киллинга $$\epsilon_{\nu_1\cdots\nu_{s-1}}$$ со спином s-1, то в теории есть сохраняющийся ток J со спином s. Чтобы посчитать соответствующий сохраняющийся заряд Qs (со спином s-1), нужно проинтегрировать поток тока

$$\hat{J}^\mu=J^{\mu\nu_1\cdots\nu_{s-1}}\epsilon_{\nu_1\cdots\nu_{s-1}}$$

через поверхность с фиксированным временем. Условие сохранения тока $$\partial_\mu\hat{J}^\mu=0$$ гарантированно благодаря уравнению Киллинга.

Малдасена и Жибоедов находят удобным параметризацию 3d пространства-времени x=(x+, x, y), и выбирают x+ в качестве временной координаты. Тогда

$$Q_s=\int_{x^+=const}dx^-dy(\star\hat{J})_{-y}=\int_{x^+=const}dx^-dyg^{+-}\hat{J}_{-...-}$$

Кроме того, они предлагают для простоты рассмотреть случай тензора Киллинга с единственной ненулевой компонентой ε-...-=1, следовательно

$$Q_s=\int_{x^+=const}dx^-dyJ_{--\cdots-}$$

Постолько поскольку мы считаем что единственная ненулевая компонента тока есть таковая со всеми минусами, js=J-...-, то уравнение сохранения тока есть просто +js=0. Аналогичным образом сохранение заряда дается уравнением +Qs=0.  В дальнейшем ∂ будет означать производную по x-.

Тензор энергии-импульса j2 является генератором конформных преобразований. Тогда в квантовой теории его коммутатор с некоторым оператором, имеющим нетривиальное конфомрное преобразование, сводится к двум членам: внешнее скейлингово преобразование (которое в случае коммутатора [j2,Qs] нетривиально, т.к. Qs имеет размерность s-1) и координатное преобразование,

$$[Q_s,j_2(x')]=\int_{x^+=const}dx^-dy[J_{-...-}(x),T_{\mu\nu}(x')]=c\partial J_{-...-\mu\nu}+f\partial_\mu J_{\nu -...-}$$

Нетрудно показать, что второй член в правой части последнего уравнения, который описывает координатное конформное преобразование, равен нулю. Действительно, в силу

$$\partial^\mu [Q_s,T_{\mu\nu}]=c\partial_-\partial^\mu J_{-...-\mu\nu}+\tilde{c}\partial^2J_{\nu -...-}\,,$$

сохранения тензора энергии-импульса и того, что Qs есть константа (сохраняющийся заряд), заключаем, что для выполнения последнего равенства необходимо чтобы f=0. При этом, конечно, c≠0, в силу того что Qs имеет нетривиальную скейлингову размерность s-1. Единственное следствие этих рассуждений, которым мы будем пользоваться, состоит в том, что сохраняющийся заряд Qs, соответствующей симметрии с высшим спином s, действует нетривиально на поля Φ рассматриваемой теории. Действительно, поля Φ входят в выражение для тензора энергии-импульса j2, и потому тривиальность [Qs,Φ] = 0 означала бы [j2,Qs] = 0, но мы только что показали, что это не так. 

4.3. Теперь, как рассуждают Малдасена и Жибоедов, допустим 2 верно и у нас есть сохраняющийся ток, скажем для определенности, со спином 4 (вообще то они утверждают что наличие одного тока с высшим спином гарантирует наличие бесконечного множества других токов со всевозможными четными спинами). Тогда 2 означает, что размерность тока есть 5, и потому размерность заряда есть 3 (заряд получается интегрированием «временной» компоненты тока по 2-поверхности в рассматриваемом 3d пространстве-времени). Тогда, если Φ(x) — поле, то данный сохраняющийся заряд Q (нетривиально, что показано в общем случае выше) преобразует его как,

$$[Q,\Phi]\simeq\partial^3\Phi\,,$$

где мы воспользовались тем, что правая часть должна иметь тот же спин что и левая («спин поля Φ» при этом, разумеется, меняется; простейший пример изменения спина поля это преобразование трансляции в системе с сохраняющимся импульсом, когда [Pμ , Φ]=-i[μ , Φ] имеет спин 1; однако после свертки с параметрами преобразования со спином s-1 получаем вариацию δΦ, являющуюся скаляром), тогда правая часть должна иметь три индекса x-, что и реализовано с помощью 3. Заметим, что скейлинговая размерность обоих частей равенства тоже, разумеется, одинаковая,  и потому действие сохраняющегося заряда симметрии высшего спина сохраняет твистовое число.

Рассмотрим корреляционную функцию

$$C_4=\langle\Phi(x_1)\Phi(x_2)\Phi(x_3)\Phi(x_4)\rangle\,,$$

и потребуем ее инвариантности относительно преобразований, генерируемых Q. Тогда, если в импульсном представлении (нет суммирования по i, разумеется)

$$\Phi(x_i)=\int d^3k\Phi(k_i)e^{ik_ix_i}\,,$$

то тогда

$$k_1^3+k_2^3+k_3^3+k_4^3=0\,.$$

С другой стороны, используя закон сохранения импульса, находим

$$k_1^3+k_2^3+k_3^3+k_4^3=-3(k_1+k_2)(k_2+k_3)(k_1+k_3)\,,$$

что означает, что импульсы сохраняются попарно (я, конечно, просто явно показал то, что очевидно верно для любого спина s). Поэтому четырехточечная функция C4 на самом деле факторизуется в произведение двух двух-точечных,

$$C_4=\langle\Phi(x_1)\Phi(x_2)\rangle\langle\Phi(x_3)\Phi(x_4)\rangle+\langle\Phi(x_1)\Phi(x_3)\rangle\langle\Phi(x_2)\Phi(x_4)\rangle+\langle\Phi(x_1)\Phi(x_4)\rangle\langle\Phi(x_2)\Phi(x_3)\rangle\,,$$

Рассмотрим поведение C4 при x12→0. Первый член содержит произведение двух 2-точечных функций, одна из которых, $$\langle\Phi(x_1)\Phi(x_2)\rangle$$, в ведущем порядке ведет себя как сингулярная степенная зависимость (с аномальной, вообще говоря, степенью, если теория взаимодействующая), помноженная на единичный оператор, а вторая, $$\langle\Phi(x_3)\Phi(x_4)\rangle$$, на зависит от x12. Остальные слагаемые регулярны при x12→0.

Нас интересует сингулярное поведение обеих частей равенства при x12→0. В левой части равенства мы при этом имеем

$$C_4=\langle\Phi(x_1)\Phi(x_1)\Phi(x_3)\Phi(x_4)\rangle\,,$$

причем операторное разложение идентичных полей $$\Phi(x_1)\Phi(x_1)$$ включает в себя тензор энергии импульса. Это очень удобно, потому что тензор энергии-импульса сохраняется, и потому его размерность не перенормируется взаимодействием: сохраняющийся ток в трех измерениях имеет твистовое число, равное 1. Следовательно в правой части выражения для C4 мы тоже должны иметь вклад в твистовое число от x12 равное 1. «От» означает просто напросто что только $$\langle\Phi(x_1)\Phi(x_2)\rangle\langle\Phi(x_3)\Phi(x_4)\rangle$$  в правой части равенства ведет себя сингулярно, и потому мы можем пренебречь остальными слагаемыми.

Теперь нам нужно воспользоваться предположением 1 об унитарности теории. В унитарной взаимодействующей теории конформная размерность поля ограничена конформной размерностью свободного поля. Это утверждение может быть переформулировано в терминах твистового числа в трех измерениях: для бозонных и фермионных полей унитарной теории мы имеем τ≥1/2. Тогда, в силу того что твистовое число обоих частей равенства должно быть одинаковым, в правой части равенства мы должны иметь не аномальное поведение $$\langle\Phi(x_1)\Phi(x_2)\rangle$$, когда оба поля «насыщают» унитарное гораничение τ=1/2, образуя в результате оператор с твистовым числом, равным единице. Т.е. эти поля должны быть свободными: их корреляционная функция свободна, т.е. не получает квантовых поправок к размерности операторов. Замечу, что про размерность самих полей никаких утверждений не делается.

5. Теперь обсудим статью R. de Mello Kocha, A. Jevickib, K. Jinc, J. P. Rodriguesa, and Q. Ye S = 1 in O(N)/HS duality. Как следует из названия, авторы продолжают исследования тривиальности рассеяния в теории с симметриями высших спинов. Авторы рассматривают то, что называют би-локальными полями, $$\Phi(x,y)=\phi^a(x)\phi^a(y)$$, и исследуют их рассеяние, составляя таким образом элементы S матрицы. Их главный вывод состоит в том, что полученная S матрица является тривиальной. Они также приводят преобразования полей, которые линеаризуют уравнения движения, явно демонстрируя тривиальность соответствующей теории рассеяния.

Ключевые слова: AdS/CFT, конформная теория поля | Оставить комментарий