Заметки о теоретической физике → 2012 → 05 → 10
Михаил Гойхман

Нарушение суперсимметрии орбифолдами

10 мая 2012 года, 18:16

Орбифолд — это когда вы берёте какое то многообразие и производите отождествление его точек. Самые простые примеры на которых это понятие можно объяснить — это тор и конус. Возьмите комплексную плоскость C и фиксируйте комплексное число τ — называемое модулярным параметром тора. Произведите отождествление точек C по правилу z∼z+τ, z∼z+1. В результате вы получите тор. Если Im τ≠ 0, то тор «подкручен». Или, отождествите точки комплексной плоскости по правилу z∼ze2πi/N, где N — некоторое целое число. В результате получится конус. Существенным отличием конуса от тора в смысле орбифолда является наличие сингулярной точки — конической сингулярности z=0.

Рассмотрим комплексное пространство с тремя комплексными координатами za. Это пространство также может быть представлено как вещественное пространство с группой (локальных; однако, в дальнейшем будем считать, что мы начинаем с плоского евклидова пространства) вращений SO(6). Спиноры в этом пространстве преобразуются в спинорном представлении, Spin(6), экивалентно представимой как SU(4) группа преобразований 4х-компонентных комплексных спиноров в 6ти мерии (число комплексных компонентов спинора определяется числом плоскостей независимых и коммутирующих вращений, равным  [d/2], в каждой из которых спин равен ±1/2, тогда число компонент спинора равно 2[d/2], где d — размерность пространства(-времени); например в d=3=(4-1) нерелятивистской квантовой механике спиноры 2х-компонентны).  Введём соответственно базис четырёх комплексных суперзарядов Q в пространстве представления этой группы, и пометим каждый из них индексом α.  Каждый суперзаряд имеет две вещественные степени свободы, соответсвующие двум возможным проекциям спина. Всего получаем 8 степеней свободы, что есть, конечно, число степеней свободы спинора в шести измерениях, или число независимых вращений в трёх комплексных плоскостях.

Каждый набор

$$\varepsilon ^\alpha_{(i)}=(\varepsilon ^\alpha _{1(i)}, \varepsilon ^\alpha _{2(i)}, \varepsilon ^\alpha _{3(i)})$$

задаёт как соответствующий суперзаряд преобразуется при вращении

$$z^a\rightarrow e^{i\phi _a}z^a$$

в трех комплексных плоскостях. А именно, $$\varepsilon ^\alpha _{a(i)}$$ есть вес вращения za координаты для iй (i=1,2) степени свободы спинора Qα. Полное преобразование спинора Qα при вращении пространственных координат на углы φa тогда имеет вид (суммирование по a но не по α)

$$Q_\alpha\rightarrow\exp\{i\varepsilon^\alpha_{i(a)}\phi^a\}Q_\alpha$$

Теперь, построим конифолд. Конифолд — это пример орбифолда, «многомерный конус», полученный идентификацией нескольких комплексных координат по правилу

$$z_a\rightarrow e^{i\frac{2\pi}{N}n^a}z_a$$

Такая идентификация по сути есть факторизация по группе ZN, осуществленная на комплексных координатах рассматриваемого пространства. Точка z=0 — конифолдная сингулярность — при этом фиксирована. Также определим  ZN как подгруппу группы унитарных преобразований симметрии нашего исходного плоского комплексного пространства, т.е. если мы орбифолдим m из трёх комплексных координат, то мы берём ZN⊂SU(m). Что требует только одного:

$$\sum_{a=1}^m\phi^a=0\quad\text{mod\; N}$$

для $$\phi^a=\frac{2\pi}{N}n^a$$. Это уравнение очень важно в вопросе о том, какие суперсимметрии выживают орбифолдинг. Действительно, из него следует, что для того, чтобы суперзаряд был инвариантен относительно орбифолдной идентификации, необходимо, чтобы

$$\sum_a\varepsilon^\alpha_{i(a)}\phi^a=0$$

Что означает, что все $$\varepsilon$$ должны быть равны друг другу.

Если мы орбифолдим все комплексные координаты, то это условие оставляет только два суперзаряда, которые инвариантны: со спинами (1/2, 1/2, 1/2) и (-1/2, -1/2, -1/2). Изначально было 23=8 различных спиновых конфигураций (различных спиноров). Таким образом только 1/4 суперсимметрий сохранилась.

Другой пример — это выбрать 2 комплексные плоскости и орбифолдить их. Тогда в двух плоскостях спины должны быть одинаковыми, что с учётом двух возможных спинов в третьей плоскости даёт 4 независимых спинора, т.е. половина суперсимметрий нарушена.

Наконец замечу, что условие того, что группа орбифолдных преобразований принадлежит SU(3) не является необходимым. Если она не принадлежит SU(3), то условие

$$\sum_{a=1}^m\phi^a=0\quad\text{mod\; N}$$

не выполняется и таким образом всю суперсимметрию можно нарушить.

Ключевые слова: суперсимметрия

Комментарии

#1. 9 мая 2012 года, 20:40. sid пишет:
А если комплексных координат 4, то какая часть суперсимметрий останется?
#2. 9 мая 2012 года, 20:55. Михаил Гойхман пишет:
Условие «спинов» суперзаряда такое же и для 4х комплексных координат, так что если орбифолдить все 4 комплексные плоскости, то останется опять же только две суперсимметрии. В 8ми мерии 8 суперсимметрий (Майорано-Вейлевский спинор группы SO(8) ), так что выживет тоже 1/4.

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 31+8?