Заметки о теоретической физике → 2012 → 05 → 08
Михаил Гойхман

Логарифмические поправки к формуле Бекенштейна — Хокинга и петлевая квантовая гравитация

8 мая 2012 года, 02:43

«Within three pages, Sir Isaac Newton was explaining the law of gravitation to Mistress Gwyn, who had already hinted that she would like to do something in return

(A. Clarke, A Fall of Moondust)

Разумеется, я не могу оставить полностью непрокомментированной статью A. Sen «Logarithmic corrections to Schwarzschild and other non-extremal black hole entropy in different dimensions», о которой я узнал благодаря сайту Любоша Мотла, я постараюсь писать о том, о чём ЛМ не написал :) Помимо того статья интересна тем, что представляет результаты логарифмических петлевых поправок к формуле Бекенштейна — Хокинга для энтропии чёрной дыры

$$S=\frac{A}{4}\,,$$

которые я не буду обсуждать, она также предъявляет полезное сравнение этих результатов с таковыми, полученными в области сомнительной деятельности, называемой петлевой квантовой гравитацией. Результат сравнения показывает, что петлевая квантовая гравитация предсказывает неверную логарифмическую поправку к формуле Бекенштейна — Хокинга. Вспоминая то, с каким подгоном даже формула Бекенштейна — Хокинга выводится в петлевой квантовой гравитации, можно смело утверждать, что петлевая квантовая гравитация — неправильная конструкция.

В целом, рассуждения проводятся следующим образом. Вы рассматриваете общее решение чёрной дыры в некотором пространстве времени. Чёрная дыра обладает массой M, зарядом Q, и угловым моментом J. Двум последним канонически сопряжены химический потенциал μ и угловая скорость вращения чёрной дыры ω. Можете считать, что у вас есть несколько зарядов и несколько хим-потенциалов, это непринципиально. Термодинамический потенциал даётся формулой

$$\Omega =E-TS+\omega J+\mu Q\,,$$

где T = 1/β есть температура чёрной дыры.

Евклидова квантовая гравитация описывается функциональным интегралом,

$$Z(\beta,\,\omega,\,\mu)=\int D\Psi e^{-S_E[\Psi]}\,,$$

где Ψ обозначает все присутствующие поля.

Но, с другой стороны, функциональный интеграл даёт выражение для большой статистической суммы, из которой можно посчитать термодинамический потенциал:

$$\Omega=-T\log Z\,.$$

В результате получаем формулу для энтропии чёрной дыры:

$$S(M,\,J,\,Q)=\log Z+\beta (M+\omega J+\mu Q)\,.$$

В классической гравитации Z это просто потенцированное с обратным знаком классическое действие, посчитанное на полях, удовлетворяющих классическим уравнениям движения,

$$Z_{cl}(\beta,\,\omega,\,\mu)= e^{-S_{cl}[\Psi_{cl}]}\,.$$

Далее, квантовые эффекты, учитывающие петли, меняют этот результат, в результате чего энтропия тоже получает поправки. Ведущая поправка оказывается пропорциональной площади горизонта чёрной дыры. Важен коэффициент. На примере чёрной дыры Шварцшильда:  если a — это радиус чёрной дыры в единицах планковской длины, то поправка к энтропии в однопетлевом приближении равна

$$\Delta S\simeq 1.71\log a\,.$$

Петлевая квантовая гравитация предсказывает

$$\Delta S\simeq -2\log a\,.$$

Это совершенно разные результаты.

Ключевые слова: гравитация

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 21+9?