Заметки о теоретической физике → 2012 → 04
Михаил Гойхман

Планковская энергия и квантовая гравитация

28 апреля 2012 года, 19:45

В этом посте я хочу разъяснить некоторые фундаментальные вещи, связывающие понятие о квантовании гравитации и теорию струн. Утверждение состоит в том, что теория струн — это единственный возможный способ проквантовать гравитацию, при этом не лишаясь предсказательной силы из-за введения бесконечного количества подстроечных параметров.

В то время как идея о каноническом квантовании гравитации является, очевидно, абсолютно глупой с самого начала, и любая теория, с ней связанная, есть набор совершенно бесполезной писанины, есть ещё другой популярный «способ» построить альтернативу теории струн. Он основывается на наивной и любительской по своей сути надежде на то, что существует другая фундаментальная теория, не являющаяся теорией струн, которая сводится к классической гравитации Эйнштейна как эффективной теории, определенной до некоторого масштаба энергии (такой как планковская энергия).

Для начала напомню о том, что такое планковская энергия и какое значение она имеет. В физике высоких энергий для формулировки физических принципов всегда разумно пользоваться естественной системой единиц, в которой постоянная Планка и скорость света равны единице. Это означает, что длина и время имеют одну и ту же размерность, обратную размерности массы.

Если c — это скорость света в вакууме, ħ — это постоянная Планка, а m — это какая то масса в системе единиц ħ = c = 1, такая что в этой системе постоянная Ньютона — единственная размерная константа связи среди сильного, электрослабого и гравитационного взаимодействий с размерностью −2 (размерность массы равна 1) — есть G = 1/m2, то в исходной системе единиц, такой как СИ или СГС, постоянная Ньютона есть G = ħc/m2. Вы можете это легко проверить, записав размерности постоянной Планка, постоянной Ньютона и скорости света через размерности длины, времени и массы.

Также можно оценить величину множителя ħc = 10−26 [сила в ньютонах умножить на квадрат длины в метрах] в системе СИ. Довольно мало. Существует так называемая планковская система единиц. Её отличие от естественной ħ = c = 1 системы состоит в том, что в ней всё безразмерно: теперь не просто масса есть обратная длина, а длина есть временной интервал, но ещё и постоянная Ньютона кладётся равной единице. Это означает что для такой системы m = 1. Сколько это весит в СИ? Это (ħc/G)1/2=10−8 килограмм. Не особо много, но для элементарной частицы оказывается очень много, даже слишком много для простоты описания. В гигаэлектронвольтах это 1019.

Всё это более или менее пока была дискуссия о том, как правильно выбрать систему единиц в физике высоких энергий, чтобы не таскать за собой бесполезным образом фундаментальные константы, и как потом вернуться, скажем, в СИ, и сравнить результаты с экспериментом. Какой физический смысл планковской энергии? Короткий ответ на этот вопрос — это характерный масштаб энергии, при котором эффекты квантовой гравитации нарушают теорию гравитации Эйнштейна. Поскольку классическая гравитация Эйнштейна описывает геометрию пространства-времени и связь этой геометрии с распределением материи, то мы видим, что на планковском масштабе классическое понимание искривлённой геометрии неприменимо.

Теперь о физической стороне, объясняющей этот короткий ответ. Мы живём в квантовом мире. Любое классическое описание так или иначе применимо только на больших расстояниях по сравнению с длиной волны де Бройля. Это утверждение касается всего, в том числе и гравитации, потому что оно применимо ко всем объектам, а все объекты, обладая энергией, создают гравитационное поле. Каков критерий классичности гравитации? Этот критерий такой же по своей сути, как и критерий классичности механики, и связан со сравнением масштаба длины с длиной волны де Бройля. Он определяется масштабом энергии, до которого можно применять классическую гравитацию Эйнштейна, и этот масштаб находится из требования того, что длина волны де Бройля высокоэнергетической частицы становится равной радиусу Шварцшильда этой частицы. Когда это происходит, гравитацию больше нельзя считать слабой, ей больше нельзя пренебречь. И эта трансформация её роли — чисто квантовый эффект.

Вы можете придти к этому же выводу, исходя из того, что при ренормгрупповом потоке константа гравитационного взаимодействия уменьшается, и потому она больше при увеличении энергии (обоснованность существования ренормгруппового потока для гравитации такая же как и обоснованность его существования для любой другой теории — в квантовом мире ко всякой теории можно применить описание с помощью интеграла по путям, и потому ввести понятие эффективного действия). Поэтому вопрос о том, какова квантовая теория гравитации — актуальный вопрос, который требует решения. Гравитация должна быть квантовой теорией, и общая теория относительности должна быть эффективной теорией поля, выводимой из квантовой теории гравитации после того как вы, грубо говоря, явно проинтегрируете по всем высокоэнергетическим степеням свободы.

В квантовой теории поля есть понятие о перенормируемости. Это понятие уже обсуждалось в блоге в контексте голографической перенормировки, сейчас я просто кратко напомню о том, какое это имеет отношение к квантовой гравитации. Итак, наиболее высокая цель физики фундаментальных взаимодействий — это построение фундаментальных теорий (такие как теория струн — в нашей вселенной, стандартная модель — в несуществующем мире без гравитации и суперсимметрии; я не говорю о внутренних проблемах допланковского характера, вроде нестабильности хиггсовского потенциала и непредсказуемости времени жизни протона), которые сводятся к некоторым эффективным теориям (таким как стандартная модель в правильной физике высоких энергий, или теории ферми-жидкости Ландау и теории Гинзбурга-Ландау, да и самой БКШ, из которой выводится эффективно же теория Гинзбурга-Ландау; эффективность можно распространить в известном смысле на всю физику конденсированных сред).

Получить фундаментальную теорию из эффективной, не вводя никаких дополнительных предположений, невозможно, и это одно из проявлений необратимости ренормгруппового потока. (В некоторых случаях дополнительные аргументы позволяют в некоторой степени однозначно угадать фундаментальную теорию, но при этом всегда надо прибегать к условиям ненарушения существенных принципов.) Пример вытекающей проблемы — построение однозначного ультрафиолетовго дополнения МССМ. Ренормгрупповой поток — это то, что даёт эффективную теорию, исходя из фундаментальной (определенной на всех масштабах энергии), когда вы «усредняете» по всем масштабам длины короче определённого. В реальных экспериментах всё, что измеряется, — это как раз длиннее определённого масштаба, так что непосредственно с экспериментом связываются именно предсказания эффективной теории. Утверждение о том, что теория струн в самом фундаментальном смысле непосредственно должна подтверждаться экспериментом потому является чушью. А вот утверждение о том, что эта нетестируемость на эксперименте означает, что вместо теории струн должна существовать другая «более простая» фундаментальная теория всего, которая отличается от теории струн в лучшую сторону тем, что проверяется экспериментом — является следствием совершенного непонимания того, что есть фундаментальная физика.

Поэтому «тестирование» на правильность фундаментальной физической теории — это в большей степени сугубо теоретический процесс, и утверждение состоит в том, что этот процесс может выдержать только одна теория — теория струн. В силу этого утверждения любая фундаментальная подтеория, включенная в теорию струн, является правильной по определению теории, описывающей природу на фундаментальном уровне. Любая эффективная теория, не выводимая из теории струн, должна быть исключена из числа серьёзных теорий. И я уже не говорю о том, что любая фундаментальная теория, отличающаяся от теорией струн, сразу становится неверной. Все эти утверждения можно обобщить в одно: согласие с теорией струн и согласие с экспериментом — это одно и то же. Если вы хотите, чтобы ваша теория имела отношения к реальной физике — убедитесь в том, что она следует из теории струн. Если вы убедились в обратном — забудьте об этой теории, она точно неверна, и представляет собой скорее всего какую-то хаотичную символьную флуктуацию. Я даже не хочу заменять слово «символьную» на слово «математическую», потому что понятие «математика» зарезервировано за тем, что несёт за собой некую абстрактную ценность (как математика теории струн), в то время как ложные физические теории бесполезны на всех уровнях.

Далее, я хочу прокомментировать лекции Польчинского в летней школе при Стэнфордском ускорителе в 1998 году. Это хорошая статья, и там есть множество аргументов в поддержку теории струн, или лучше сказать — помогающих понять теорию струн (я рекомендую её всю для прочтения, как чёткий и объективный источник стандартной информации касательно теории струн, и в другом посте я бы с удовольствием обсудил такие вещи как электромагнитную дуальность и прочие сильно-слабые дуальности в теории струн, которые невероятно чётко объясняются Польчинским фактически «на пальцах»), но я хочу обсудить только то, что связано с ультрафиолетовым дополнением квантовой гравитации.

Итак, специфицируемся в секцию 5 цитированной статьи. То, что Польчинский пытается сделать, собственно, состоит в том, чтобы построить более-менее общую теорию, которая учтёт тот факт, что гравитация приносит ещё одно соотношение неопределенности, помимо соотношения Гейзенберга δxδp≥1, а именно обрезание на геометрию δx≥Lp, что Польчинский переписывает в стиле соотношения Гейзенберга: δxδx≥Lp2 (в такой форме это что-то вроде простейшего примера UV/IR связи, можете посмотреть главу 10 книжки Susskind «Introduction to black holes, information and string theory revolution»; как вы знаете, более продвинутый пример такой связи — это ads/cft соответствие, где UV теории поля на границе соответствует IR теории в объёме (в смысле радиальной координаты), грубо говоря, и наоборот).

Так или иначе, Польчинский записывает гамильтониан матричной квантовой механики N нерелятивистских частиц. Замена координат Xmi для i-й частицы с пространственным индексом m матрицами Xmij с обоими нижними индексами, принимающими значения от 1 до N — обычное матричное представление некоммутирующих операторов, которое в «классическом» пределе сводится к коммутирующим диагональным матрицам, с координатами частиц на диагонали. Далее, к гамильтониану добавляется потенциальный член, который должен уничтожаться в классическом пределе, и быть большим, когда квантовые эффекты существенны. Такой член, существование которого должно быть учтено в гамильтониане, есть ~M[X, X]2. Он пропорционален некоторой большой массе M и коммутатору двух разных координатных матриц X (чтобы получить ненулевой O(N) скаляр, из соображений симметрии надо этот коммутатор возвести в квадрат), и этот член удовлетворяет обоим условиям, описанным выше. Итак, просто требуя описание динамики частиц в некоторой геометрии и до-планковских энергиях, а также нарушение геометрии на планковском масштабе, мы серьёзно ограничили вид возможного гамильтониана. Дальше следует наблюдение — записанный гамильтониан есть просто бозонная часть BFSS матричной теории струн, а именно построения M теории как матричной квантовой механики. По сути это 0+1 мерная редукция N=16 суперсимметричной калибровочной теории в десятимерии,  описывающая динамику D0 бран. Таким образом, вывод состоит в том, что любая квантовая теория гравитации — это теория струн.

Ключевые слова: гравитация, геометрия | Комментарии (30)

← сюда туда →