Заметки о теоретической физике → 2012 → 03 → 19
Михаил Гойхман

Сингулярности при конечном импульсе и little string theory

19 марта 2012 года, 01:02

Возьмите взаимодействующую систему фермионов — ферми-жидкость — при нулевой температуре. В равновесии фермионы заполняют фазовое пространство внутри ферми-сферы, с радиусом kF.  Среди возбуждений такой жидкости можно выделить возбуждение квазичастиц-квазидырок и нулевой звук. Нулевой звук — это коллективное возбуждение квазичастиц взаимодействующей ферми-жидкости, он имеет непрерывный спектр, ω = u0k. Возбуждение квазичастиц-квазидырок — это хаотичные, неколлективные возбуждения над поверхностью Ферми, и область фазового пространства, где частоты и импульсы таких возбуждений принимают значения, называется континуумом Линдхарда. При малых частотах ω диапазон импульсов возбуждённых квазичастиц из континуума Линдхарда — от нуля до k = 2kF. Так что спектральная функция квазичастиц Ферми жидкости имеет сингулярность при двух импульсах Ферми.

Сильновзаимодействующая Ферми-жидкость — это система, которая должна описываться дуальной теорией гравитации в режиме слабой связи. Такое применение AdS/CFT соотвествия называется AdS/CMT, где CMT означает condensed matter theory. Эта область теории струн получила довольно широкое распространение в последние несколько лет. Наиболее выдающиеся результаты включают вывод отношения вязкости и плотности энтропии при нулевой температуре η/= 1/4π (см. недавний обзор), имеющие довольно хорошее согласие с экспериментом RHIC по измерению вязкости кварк-глюонной плазмы, описание сверхпроводников, наблюдение поверхности Ферми в «AdS2-металле», описание эффекта Холла.  И, наконец, наиболее близкое (в смысле желательно описываемой системы) к данной статье — это описание нулевого звука.

Недостающим элементом было голографическое описание континуума Линдхарда, то есть наблюдение сингулярности при двух импульсах Ферми в голографически посчитанной спектральной функции квазичастичных возбуждений Ферми-жидкости. Недавно появившаяся работа Джозефа Польчински и Евы Сильверштейн «Large-density field theory, viscosity and „2kF“ singularities from string duals» — это попытка решить эту задачу.

Система, которую они рассматривают, состоит из N5 NS5 бран и N1 F1-струн. Напомню терминологию. F1-струна, это, конечно, обычная суперструна, или фундаментальная струна. В бозонном секторе мультиплета супергравитации — низшего уровня струнных возбуждений — есть так называемое NS-NS поле Bμν, антисимметричное по своим индексам. Оно получается как антисимметричный сектор непривидомых представлений, в сумму которых разбивается произведение left-movers и right-movers

$$\alpha_\mu|0\rangle_L\times\tilde\alpha_\nu|0\rangle_R$$

Так или иначе, этому полю соответствует врешинный оператор, тоже антисимметричный по двум индексам, и соответственно в эффективном действии вы получаете взаимодействие открытой струны с NS-NS полем

$$S_{NS}\sim\int d^2\tau B_{\mu\nu}\partial^\mu X\cdot\partial^\nu X$$

Так что одна F1-струна имеет NS-NS заряд, равный единице. Соответственно N1 фундаментальных струн имеют такой заряд, равный N1. Если у вас есть струны, и вы хотите посчитать их NS-NS заряд, то вы можете воспользоваться теоремой Гаусса: окружить струны сферой и проинтегрировать поток Ходж-дуальной напряженности H(7) = H(3) = (dB(2)) через эту сферу. Чтобы окружить струну в 9+1 измерениях, вам нужна (9−1−1=7)-сфера, в результате

$$N_1=\int_{S^7}\star (dB_{(2)})$$

Но вы всегда можете задаться вопросом об электромагнитно дуальной системе. Чтобы получить магнитный заряд, вам нужно найти поток Fμν через сферу. В случае точечной частицы в 3+1 измерениях это та же самая сфера, S2 (где 2=3−0−1), что вы используете для того, чтобы проинтегрировать Fμν и найти электрический заряд. В случае фундаментальной струны, вы должны проинтегрировать H(3) по 3-сфере. В  9+1 измерениях 3-сфера окружает (9−3−1=5)-брану. Такая брана называется NS5 брана, ибо она носит магнитный NS5-заряд. Это объект, который электромагнитно сопряжен фундаментальной струне.

К слову, замечу, что другой тип слабо-сильной дуальности в теории струн (типа IIB) — это S дуальность, которая обменивает NS-NS заряд и R-R заряд. Например, фундаментальная струна взаимодействует с NS-NS полем Bμν через лагранжиан, выписанный выше, но вы можете взять тот же лагранжиан, заменить в нем NS-NS поле Bμν на R-R поле Cμν, присутствующее в теории суперструн типа IIB, и вы просто получите лагранжиан взаимодействия D1-браны с R-R полем C(2). Так что S-дуальность обменивает «струнные объекты» и «D-бранные объекты». В том числе S-дуальность обменивает D5- и NS5-браны. Ну и, наконец, электромагнитная дуальность обменивает D1- и D5-браны, что замыкает весь цикл.

Вообще говоря, у вас конечно есть SL(2, Z) группа S-дуальности, которая переводит (p, q) заряд (R-R, NS-NS) в (p', q') заряд (это целочисленная группа, ибо заряды должны быть целыми в силу правила квантования Дирака, и детерминант равен единице, чтобы обратные преобразования тоже давали вам целые заряды).  И дальше вы можете следуя Вафе добавить два измерения, и компактифицировать (11+1)-мерную теорию на 2-тор, для того чтобы сделать группу S-дуальности SL(2, Z) геометрической — это просто будет группа модулярных преобразований тора. Полученная теория в результате задаёт основу F-теории.

Струнная конструкция Польчински и Сильверштейн подразумевает разложение при большой плотности. Что это значит? В AdS/CFT люди обычно берут калибровочную теорию с большим количеством цветов N, и производят разложение корреляционных функций по 1/N. В низшем порядке этого разложения вы просто суммируете все планарные диаграммы (всё то, что вы можете нарисовать на плоскости, когда будете изображать пропагатор калибровочного поля с помощью полоски, где края полоски соответствуют двум индексам калибровочного поля, живущего в присоединённом представлении калибровочной группы). В AdS/CFT существуют определённые соотношения между параметрами калибровочной теории и параметрами дуальной теории струн. Например, в AdS5/CFT4 у вас есть N = 4 суперконформная калибровочная теория поля, и у вас есть AdS5×S5 геометрия, которая создаётся стопкой D3-бран. Радиус кривизны пространства AdS и сферы даётся выражением

$$R^4\sim N\,\ell_s^4\,g_s$$

где $$\ell_s$$ — это струнная длина, и gs — струнная константа связи, связанная с константой связи Янга — Миллса выражением gs ~ gYM2. Наконец, константа связи тХуфта есть λ = gYM2, так что большая константа тХуфта означает, что радиус кривизны AdS значительно больше струнной длины. Все поправки струнной теории возмущений (поправки, учитывающие поля, эффективно описывающие высшие возбуждения струны — то, что лежит выше низшего уровня, дающего мультиплет супергравитации) даются в порядке обратной константы связи тХуфта, а все поправки, связанные со струнными петлями, например петли в теории гравитации, заносятся в категорию поправок, связанных с обратным количеством цветов. Если вы хотите использовать AdS/CFT «по назначению», вам желательно обеспечить дуальную теорию в объёме AdS такой, чтобы это была классическая теория гравитации. Для этого вам нужно добиться того, чтобы радиус кривизны пространства AdS был большим. Тогда вы берёте двойной предел большой константы связи тХуфта и большого количества цветов. 

Польчински и Сильверштейн предлагают сделать радиус кривизны AdS большим введя конечную плотность F1-струн, размазанных по четырем пространственным направлениям мирового объёма NS5-бран. Размазанных означает, что у вас есть конечная плотность струн в четырехмерном подпространстве мирового объёма NS5-бран. Специфика именно этой выбранной конфигурации струнных объектов состоит в том, что струнное решение для неё известно точно, во всех порядках теории возмущений по струнным разложениям. Т.е. тут не обязательно ограничиваться классической супергравитацией — вы можете сказать чему равно голографическое выражение для корреляционной функции тока материи в теории поля точно, решив дуальную теорию струн. Мы вернёмся к этому ниже, а пока посмотрим, как вводится конечная плотность струн.

Для начала, следуя Польчински и Сильверштейн, рассмотрим решение IIA-супергравитации, соответствующее D0-бранам, размазанным в p пространственных измерениях. Итак, пространство-время искривляется энергией (и R-R зарядом) D0-бран. На сколько сильно? Хорошо если не особо сильно, чтобы теория гравитации была слабой и мы могли применить теорию возмущений для струнных петель. Чтобы  сделать оценку величины кривизны в зависимости от плотности ρ0 размазывания D0-бран в p измерениях, и в ~Lp объёме, запишем действие супергравитации

$$S\sim\int\frac{d^{10}x}{\alpha^{\prime 4}}\left(\frac{{\cal R}}{g_s^2}+\frac{|H_{(3)}|^2}{g_s^2}+\sum_{\tilde p}|F_{(\tilde p)}|^2\right),$$

где в IIA супегравитации суммирование осуществляется по R-R полям с нечётным рангом $$\tilde p$$. Если N0 — количество D0-бран, то ρ0~N0/Lp, и $$\inline \int_{S^8}F_{(8)}=N_0\sim L^p\rho_0$$. Здесь мы учли то, что D0-брана является источником для R-R поля C1 с напряжённостью F(2) и для того, чтобы найти полный RR заряд D0-бран мы должны окружить их сферой S8 и проинтегрировать по ней поток Ходж-дуальной напряжённости F(8).

Какую геометрию мы ожидаем получить в качестве решения? Ответ на этот вопрос известен. Понять происхождение этого решения можно следующим образом. Будем следовать идеи матричного подхода к M теории. Как известно, M теория, которая описывает  M2-браны (и магнитно-дуальные к ним M5-браны), может быть сформулирована как матричная квантовая механика, описывающая D0-браны. Матрицы получаются когда вы рассамтриваете эффективные поля, описывающие калибровочный сектор возбуждений открытых струн, соединяющих D0-браны, так что каждый конец струны вводит индекс матрицы. Один из концов струны живёт в фундаментальном представлении калибровочной группы (к нему приписывается индекс зарядов Чана-Патона), а другой — в антифундаментальном (Чан-Патоновский индекс «с чертой»). Таким образом, вы можете описать M2-браны с помощью D0-бран, размазанных по пространству с некоторой конечной плотностью. Но геометрия, создаваемая M2-бранами — это AdS4×S7, так что мы можем обобщить этот результат и заключить, что D0-браны, размазанные по p пространственным направлениям, ведут себя как p-брана, по крайней мере в «нулевом приближении» То есть они создают некоторую «AdS × S» геометрию. В некотором смысле вы можете размазать D0-браны по p = 3 измерениям, и получить решений с геометрией, напоминающей AdS5/CFT4 в знаменитом решении, используемым в AdS5/CFT4 соответствии. Решение даётся уравнением (2.10) в статье Польчински и Сильверштейн.

Если R — это радиус кривизны «AdS × S» геометрии, создаваемой  рассматриваемыми D0-бранами, то мы можем оценить кривизну Риччи как $${\cal R}\sim 1/R^2$$. Эта кривизна создаётся «материей» D0-бран с плотностью ρ0, и потому, сопоставляя члены кривизны (действие Эйнштейна-Гильберта) и материи (действие для R-R поля) в действии супергравитации, мы получаем

$$R^{7-p}\sim g_s\rho_0$$

Восстанавливая струнную дину, получаем

$$(R/\ell_s)^{7-p}\sim g_s\ell_s^p\rho_0\quad\Rightarrow\quad R^{7-p}\sim g_s\rho_0\ell_s^7$$

Таким образом, можно добиться большого радиуса кривизны R и потому пертурбативного режима теории в объёме, введя большую плотность D0-бран ρ0. Сравнивая это выражение со стандартным выражением из AdS5/CFT4, приведённым выше,

$$R^4\sim N_c\,\ell_s^4\,g_s$$

замечаем, что количество цветов Nc калибровочного сектора дуальной теории поля больше не должно быть большим для того, чтобы мы могли применить теорию возмущений с петлями струн в дуальной теории гравитации (хотя планарный подход тХуфта разумеется оказывается утерянным, что не важно, судя по всему, ибо мы всё равно исследуем теорию поля голографически). И мы не считаем что константа связи тХуфта бесконечно большая (что обычно используется для применении теории возмужений по струнным возбуждениям), ибо мы знаем, что в той системе, которую мы в конце концов хотим рассмотреть, пертурбативное решение по всем струнным возбуждениям и так известно точно.

Стоит заметить, что большая плотность D0-бран, разумеется, в некотором смысле эффективно тоже подразумевает большое количество цветов. Это легко увидеть если применить аналогию с матричной теорией струн, приведённой выше: вы всегда можете рассмотреть открытые струны, прикреплённые к D0-бранам, и низший уровень возбуждения таких струн эффективно описывается полями суперсимметричной калибровочной теории. Так что в данном примере с D0-бранами в некотором смысле большое количество цветов всё равно присутствует. Однако, теория, которую рассматривают Польчински и Сильверштейн, на самом деле описывает конечную плотность фундаменатальных струн, к которым уже никакие струны не прикрепляются.

Важным следствием AdS/CFT является возможность описывать взаимодействующую материю. Сами по себе D3-браны AdS5/CFT4 соответствия дают калибровочные поля, описывающими эффективно открытые струны, которые начинаются на одной из Nc D3-бран и заканчиваются, вообще говоря, на другой D3-бране. Чтобы добавить материю — возбуждение открытых струн в фундаментально представлении калибровочной группы — можно, например, ввести пробные браны в AdS5×S5 геометрии цветовых D3-бран.  Несколько таких бран добавляет ароматную симметрию к теории. Полчински и Сильверштейн вместо этого рассматривают конечную плотность Dp-бран (на примере D0-бран, описанном выше) и конечную плотность F1-струн. В дуальной теории поля это соответствует конечной плотности материи.

В таком подходе мы, наоборот, начинаем с материи, которую теперь хотим заставить взаимодействовать. В AdS/CFT есть так называемый семиголографический метод, позволяющий это осуществить. Суть метода состоит в том, что вы считаете часть пропагаторов голографически с помощью теории в объёме, и потом прикрепляете теорию к калибровочным полям, с известным теоретико-полевым пропагатором. Существенным элементом является большое количество цветов — только тогда вы можете точно просуммировать все возможные диаграммы взаимодействия сектора материи и калибровочного сектора (эффект факторизации при больших N). Нечто подобное было применено  для N = 4 плазмы. Применимость этого метода к системе Польчински и Сильверштейн однако довольно сомнительна, ибо количество цветов в их модели вовсе не является большим.

Просто ввести цветовые браны тоже не правильно, ибо тогда цветовые браны тоже будуте искривлять геометрию, и малая константа связи в теории струн будет требовать большого количества цветов, так же как и в AdS5/CFT4, где вам нужно рассмотреть предел больших Nc, чтобы получить большой радиус кривизны R и малую константу струнного взаимодействия gs. Польчински и Сильверштейн считают, что цветовые браны, которые вы добавляете в теории помимо размазанных бран, существенны для геометрии ровно на столько на сколько и размазанные браны. Если это так то действительно, количество цветовых бран должно быть большим, а Польчински и Сильверштейн избегают этого требования.

Вместо всего этого они вводят N5 количество NS5-бран. Сопоставляя член Эйнштейна-Гильберта $${\cal R}/g_s^2$$ и член NS-NS материи $$|H_{(3)}|/g_s^2$$, где $$H_{(3)}\sim N_5/R^3$$, получаем $$R^2\sim N_5$$. Далее, т.к. $$H_{(7)}\sim \rho_1/R^3$$, то сопоставляя этот член с членом Эйнштейна-Гильберта, получим $$g_s\sim R^2/\rho_1$$. Восстанавливая единицы изерения (восстанавливая струнную длину $$\ell_s=\sqrt{\alpha'}$$), находим

$$R^2\sim N_5\alpha’\,,\quad\quad g_s^2\sim\frac{N_5}{\rho_1\alpha^{\prime 2}}$$

где ρесть плотность размазывания F1-струн по 4х-мерному подпространству мирового объёма NS5-бран. Большая плотность ρ1 обеспечивает одновременно сильное взаимодействие материи в теории поля и малость струнной константы взаимодействия gs, в то время как N5 ~ 1. И что самое главное, струнное решение такой системы, создающей геометрию AdS3×T4×S3 (в инфракрансом режиме: «около горизонта» чёрной браны, в то время как в ультрафиолетовом режиме это так называемая little string theory) точно известно. Фундаментальные струны размазаны по T4 подпространству, радиус тора впоследствии устремляется к бесконечности, давая четыре некомпактных измерения теории поля с конечной плотностью материи в них.

Одна из основных идей статьи Польчински и Сильверштейн состоит в том, что сингулярности известных голографических корреляционных функций при конечно импульсе вдоль T4 могут быть проинтерпретированы как 2kF сингулярности в ферми-жидкости — которые я упомянул здесь в самом начале в связи с обсуждением континуума Линдхарда. Другим результатом является то, что отношение вязкости к плотности энтропии, посчитанное голографически в данной модели, не получает никакие поправки за пределами классической супегравитации. Интересно, что данные результаты не зависят от конкретного значения частоты (сингулярность точно в 2kF имеет место только при нулевой частоте, в то время как при увеличении частоты значение импульса при котором корреляционная функция сингулярна тоже увеличивается), и что дуальная система не обладает нулевым звуком.

Я пока не вижу никаких однозначных аргументов, которые бы указывали независимым образом на то, почему струнная конструкция Польчински и Сильверштейн не поддерживает коллективных возбуждений. Вот некоторые соображения по этому поводу. Геометрия AdS3×T4×S3 создаётся N5 NS5-бранами, и N1 F1-струнами, причём струны «протянуты» вдоль одного из пространственных направлений NS5-бран. Решая такую теорию струн мы рассматривает (1+1)-мерную CFT на мировой поверхности струны. Т.е. вы можете начать с теории F1-струны (нескольких таких струн, введя некий произвольный уровень WZW модели, описывающей бозонный сектор суперструны, и соответствующий количеству F1-струн), добавив к ней NS5-брану, которая в силу электро-магнтиной дуальности возникает естественным образом. И дальше решать теорию струн пертурбативно. На уровне супегравитации можно провести следующую аналогию: в то время как стопка чёрных 3-бран создаёт AdS3+2 геометрию (умножить на сферу), F1-струны создают AdS1+2 геометрию (умножить на сферу и на тор). Суммирование размерности тут это не обозначение для сигнатуры метрики а просто сопоставление размерности AdS и размерности бран. Отличие случая с D3 бранами от данного случая состоит в том, что для D3-бран не известно точно струнное решение — так что ограничиваются супергравитацией в AdS5×S5, в то время как теория струн в AdS3 решается точно.

В то время как в случае AdS5 геометрии мы рассматриваем дуальную теорию поля в CFT4 на границе AdS, в данном случае фундаментальных струн дуальная CFT на границе AdS есть CFT2, но мы рассматриваем теорию поля в 6+1 измерениях мирового объёма NS5-бран. И затем конечная плотность — плотность струн — имеется только в T4 направлениях (в которых производятся вычисления корреляционных функций для тока и для тензора энергии-импульса), в то время как в двух направлениях CFT на границе AdS такой конечной плотности вовсе нет. Я бы ожидал что нулевой звук появился бы именно в этих направлениях, но так как там нет конечной плотности, то это не представляется возможным.

Другой спецификой построения Польчински и Сильверштейн является то, что их плотность в дуальной ферми-жидкости не может флуктуировать, и потому в таком описании невозможно получить нулевой звук. Действительно, в классическом применении AdS/CFT конечная плотность материи в теории поля соответствует потоку электромагнитного потенциала в объёме, так что динамика потока (малые флуктуации) в объёме описывают флуктуации плотности в теории на границе. В то время как конфигурация Польчински и Сильверштейн кажется «фиксированной» в этом отношении.

Обсудим некоторые шаги, которые приводят Польчински и Сильверштейн от теории струн, решённой точно в AdS3, к двухточечным функциям в (6+1)-мерной little string theory на  AdS3×T4×S3. Теория суперструн описывает поля конформной теории поля CFT1+1 на мировом объёме струны. В теории бозонной струны на AdS3 (дающей те же резултаты касательно корреляционных функций, что и суперструна на AdS3) вы записываете действие Полякова с пространством отображения, имеющим геометрию AdS3. Естетсвенный способ сформулировать такую теорию — это записать WZW действие SL(2, R) сигма-модели с элементами

$$g=\left({{X_{-1}+X_1}\atop {-X_0-X_2}}\;{X_0-X_2\atop X_{-1}-X_1}\right)\quad X_{-1}^2+X_0^2-X_1^2-X_2^2=1$$

Последнее равенство определяет AdS2+1. Хорошо, дальше вы решаете теорию пертурбативно. Как я заметил выше, уровень WZW модели соостветсвенно переформулируется как количество N5 NS5-бран. Физическая интерпретация проста — чем больше бран, тем тяжелее и «классичнее» теория, соответсвенно множитель перед действием (уровень WZW модели) увеличивается пропорционально. Далее, AdS3 теперь находится в прямом произведении с S3 и T4, так что полный вершинный оператор струнных возбуждений есть произведение вершинных операторов в трёх подпространствах. И потому конформная размерность операторов струнных возбуждений есть сумма конформных размерностей в этих трёх подпространствах. Согласно теории струн в AdS3 вклад AdS в конформную размерность есть

$$\Delta_{ws}=-\frac{2j(j-1)}{N_5}$$

где j ∈ (1/2, (N5+1)/2) описывает вершинный оператор Φj в AdS (ниже будет сопоставлен с конформной размерностью дуального оператора в теории поля, и потом с импульсом возбуждения в теории поля). Индекс «ws» означает. что это конформная размерность в CFT на мировом листе струны. Конформная размерность первичного оператора Φ(z) — это собственное значение оператора алгебры Вирасоро L0 (для left-movers заменить на L˜0) при соответствующем состоянии $$\inline |\Phi\rangle=\lim_{z\rightarrow0}\Phi(z)|0\rangle$$. Одновременно это соотношение переформулируется как условие физичности состояния

$$(L_0-1)|\Phi\rangle=0,\quad\quad (\bar L_0-1)|\Phi\rangle=0$$

В случае струны в плоском пространстве отображения вы просто получаете отсюда выражение для спектра возбуждений струны,

$$\alpha'M^2=N_L-1=N_R-1$$

в то время как в случае струны на AdS3×T4×S3 с учётом «плоского» выражения на торе

$$\Delta _{ws,T^4}=\frac{q^2\alpha'}{2}+2,$$

вы получаете условие физичности струнных состояний в форме

$$-\frac{2j(j-1)}{N_5}+\frac{q^2\alpha'}{2}+\Delta_{ws,S^3}=2$$

Если на сфере S3 импульс равен нулю, то в результате получаем

$$j=\frac{1}{2}(1\pm\sqrt{1+N_5q^2\alpha'})$$

Это как раз половина конформной размерности скалярного оператора

$$\Delta _\pm=\frac{d}{2}\pm\sqrt{\frac{d^2}{4}+m^2R^2}$$

в AdS/CFT (d = 2 для  AdS3). Половина — это вклад либо от left-movers, либо от right-movers. Так что можно заключить, что оператор Φj описывает голографически дуальный оператор $${\cal O}$$ с конформной размерностью

$$\Delta=2j=1\pm\sqrt{1+N_5q^2\alpha'}.$$

Это довольно универсальный результат, когда он применяется к произвольному оператору с индексами в направлении T4: такой оператор является скаляром для двумерной CFT, дуальной AdS3. Все соотстветствующие двухточечные корреляционные функции пропорциональны

$$\text{Im}(G_j^R)\sim \hat B(j)\sim \Gamma\left(1-\frac{2j-1}{N_5}\right)$$

Гамма-функция сингулярна, когда j → (N5+1)/2, что в силу условия физичности состояния приведённого выше означает, что

$$q=q^\star= \left(\frac{N_5}{4}-\frac{1}{4N_5}\right)\frac{1}{\alpha'}\simeq g_s\sqrt{\hat\rho_1}\left(\frac{\sqrt{N_5}}{4}-\frac{1}{4N_5^{3/2}}\right)$$

Импульсы всех возбуждений рассматриваются вплоть до этого предела, который таким образом интерпретируется как 2kF. Заметим, что конечность N5 существенна для наблюдаемости этой сингулярности.

Ключевые слова: AdS/CFT, AdS/CMT

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 63+3?