Заметки о теоретической физике → 2012 → 01 → 13
Роман Парпалак

Лагранжиан МССМ

13 января 2012 года, 00:05

Мы применим развитый в предыдущий раз математический аппарат для суперсимметричного обобщения стандартной модели. МССМ — это модель, в которой добавляется меньше всего новых полей.

Состав полей МССМ

В суперсимметричных моделях все поля должны входить в состав супермультиплетов. При суперсимметричном расширении стандартной модели необходимо проанализировать, могут ли ее частицы быть суперпартнерами друг друга, или же придется к известным частицам добавлять новые.

В стандартной модели нет фермионов с квантовыми числами калибровочных бозонов. Хиггсовские поля приобретают вакуумные средние, поэтому они не могут быть суперпартнерами кварков или лептонов (иначе происходило бы спонтанное нарушение сохранения барионных и лептонных чисел). Эти соображения приводят нас к тому, что в МССМ число частиц удваивается: каждая частица стандартной модели приобретает своего суперпартнера.

Кроме того, присутствия одного хиггсовского дублета недостаточно. Для придания масс «верхним» и «нижним» кваркам в лагранжиан стандартной модели входит как дублет хиггсовских полей, так и его эрмитово сопряжение. В суперсимметричном случае так сделать нельзя, потому что суперпотенциал может содержать только киральные суперполя, а эрмитово сопряжение переводит киральное поле в антикиральное. В МССМ вводится еще один дублет хиггсовских полей с противоположным гиперзарядом.

Состав полей МССМ приведен в таблицах (тильда над символом обозначает суперпартнера обычной частицы).

Киральные поля

Векторные поля

Суперпотенциал МССМ и R-четность

В прошлый раз мы убедились, что, кроме выбора полей и калибровочных групп, для построения теории нужно выбрать суперпотенциал, после чего ее лагранжиан однозначно определяется требованиями суперсимметрии. Обычно суперпотенциал выбирается в виде, повторяющем юкавские взаимодействия стандартной модели:

$${\cal W}_R = y_{\rm u}^{ij}{\bar{ u}}_i Q_j \cdot H_{\rm u} -y_{\rm d}^{ij}{\bar{ d}}_i Q_j \cdot H_{\rm d} -y_{\rm e}^{ij} {\bar{ e}}_i L_j\cdot H_{\rm d} + \mu H_{\rm u}\cdot H_{\rm d},$$

где через символ «·» обозначена свертка SU(2)-дублетов с помощью антисимметричного тензора (например, $$H_{\rm u} \cdot H_{\rm d} = H^+_{\rm u} H^-_{\rm d} -H^0_{\rm u}H^0_{\rm d}$$), yu,d,e — юкавские константы связи, i, j = 1, 2, 3 — индексы поколений, а цветовые индексы опущены. Эта часть лагранжиана почти полностью повторяет стандартную модель, за исключением замены обычных полей на суперполя. Единственная разница состоит в наличии слагаемого, описывающего смешивание хиггсовских полей. Оно отсутствует в стандартной модели, поскольку там имеется только один хиггсовский дублет.

В принципе, суперпотенциал может содержать и другие слагаемые

$$W_{\Delta L=1}=\lambda_{e}^{ijk}L_i \cdot L_j {\bar{e}}_k +\lambda_{L}^{ijk} L_i \cdot Q_j {\bar{d}}_k +\mu_{L}^i L_i \cdot H_{\rm u},$$

$$W_{\Delta B=1}=\lambda_{B}^{ijk}{\bar{u}}_i {\bar{d}}_j {\bar{d}}_k.$$

Подобные взаимодействия в стандартной модели отсутствуют. Причина проста: невозможно заменить суперполя в этих выражениях на обычные поля вследствие требования релятивистской инвариантности лагранжиана.

Эти новые слагаемые нарушают лептонное или барионное число. Так как оба эффекта в природе до сих пор не наблюдались, то эти взаимодействия должны быть сильно подавлены либо исключены. От них можно избавиться, потребовав сохранения так называемой R-четности, определяемой как

$$R=(-1)^{3(B-L)+2S},$$

где B — барионное число, L — лептонное число, а S — спин частицы. Это обычно и делается, так как сохранение R-четности ведет к стабильности легчайшей суперсимметричной частицы, которая может служить прекрасным кандидатом на роль частицы темной материи, что, как уже отмечалось, является феноменологически привлекательным свойством суперсимметрии.

Нарушение суперсимметрии

Важным свойством суперсимметричных моделей является нарушение суперсимметрии. Если бы такого нарушения не было, суперпартнеры были бы вырождены по массе с обычными частицами. Однако новые частицы с массами известных частиц стандартной модели никогда не наблюдались. Также не работал бы хиггсовский механизм нарушения электрослабой симметрии.

Чтобы применять суперсимметричные модели в физике высоких энергий, необходимо потребовать нарушение суперсимметрии. При этом вырождение по массе исчезает, и суперпартнеры могут приобрести большие массы.

Конкретный механизм нарушения суперсимметрии в настоящий момент неизвестен. Несмотря на это, в лагранжиан можно ввести различные слагаемые, в явном виде нарушающие суперсимметрию. Ниже перечислен возможный вид подобных слагаемых, не нарушающих калибровочную инвариантность и перенормируемость модели.

  1. Массы гейджино (суперпартнеры калибровочных бозонов) $$\inline -1/2 (M_3 {\tilde{g}}^\alpha {\tilde{g}}^\alpha + M_2 {\tilde{W}}^\alpha {\tilde{W}}^\alpha + M_1 {\tilde{B}} {\tilde{B}} + {\rm h.c.})$$, где индекс α пробегает значения от 1 до 8 в первом слагаемом (глюино) и от 1 до 3 во втором слагаемом (вино).
  2. Массовые слагаемые скварков $$\inline -m^2_{{\tilde{\rm Q}}ij} {\tilde{Q}}^\dagger_i \cdot {\tilde{Q}}_j -m^2_{{\tilde{\bar{\rm u}}}ij} {\tilde{\bar{u}}}^\dagger_i{\tilde{\bar{u}}}_j -m^2_{{\tilde{\bar{\rm d}}}ij} {\tilde{\bar{d}}}^\dagger_i {\tilde{\bar{d}}}_j,$$ где i и j — индексы поколений.
  3. Массовые слагаемые слептонов $$\inline -m^2_{{\tilde{\rm L}}ij} {\tilde{L}}^\dagger_i \cdot {\tilde{L}}_j -m^2_{{\tilde{\bar{\rm e}}}ij} {\tilde{\bar{e}}}^\dagger_i {\tilde{\bar{e}}}_j.$$
  4. Массовые слагаемые хиггсовских полей $$\inline -m^2_{{\rm H}_{\rm u}} H_{\rm u}^\dagger \cdot H_{\rm u} -m^2_{{\rm H}_{\rm d}} H^\dagger_{\rm d} \cdot H_{\rm d} -(b H_{\rm u} \cdot H_{\rm d} + {\rm h.c.}).$$
  5. Трёхскалярные взаимодействия $$\inline -a_{\rm u}^{ij} {\tilde{\bar{u}}}_i {\tilde{Q}}_j \cdot H_{\rm u} + a_{\rm d}^{ij} {\tilde{\bar{d}}}_i {\tilde{Q}}_j \cdot H_{\rm d} + a_{\rm e}^{ij} {\tilde{\bar{e}}}_i {\tilde{L}}_j \cdot H_{\rm d} + {\rm h.c.}$$

Отметим, что в этих формулах определения SU(2)L-инвариантых произведений «·» для эрмитово-сопряженного и обычного дублетов и для двух дублетов, не содержащих эрмитовых сопряжений, отличаются. Например, $$H^\dagger_{\rm u} \cdot H_{\rm u} = |H^{+}_{\rm u}|^2 + | H^0_{\rm u}|^2$$, в то время как $$H_{\rm u} \cdot H_{\rm d} = H^+_{\rm u} H^-_{\rm d} -H^0_{\rm u} H^0_{\rm d}$$.

Все перечисленные здесь слагаемые в явном виде нарушают суперсимметрию, так как содержат не суперполя, а компонентные поля. Единственное требование к таким слагаемым — калибровочная инвариантность. Эти слагаемые часто называют слагаемыми мягкого нарушения суперсимметрии, так как они являются операторами размерности 2 и 3.

Матрицы квадратов масс в общем случае комплексные, но они обязаны быть эрмитовыми.

Как видим, после введения слагаемых мягкого нарушения суперсимметрии в модели появляется множество дополнительных свободных параметров, которые снижают ее предсказательную силу.

Тем не менее, если привлечь некоторые другие соображения, например, гипотезу объединения взаимодействий, удается сократить число свободных параметров и увеличить предсказательную силу модели. В перспективе я покажу, как это делается в модели mSUGRA, а в следующем посте рассмотрим нарушение электрослабой симметрии и хиггсовский сектор МССМ.

Ключевые слова: МССМ

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 82+5?