Заметки о теоретической физике → 2011 → 12 → 10
Михаил Гойхман

Открытая струна со смешанными граничными условиями. Решение

10 декабря 2011 года, 20:51

Некоторое время назад я предложил задачу об открытой струне, удовлетворяющей разным граничным условиям на концах. В этом посте я покажу, как можно решить эту задачу.

Введение. Струна и граничные условия

Во-первых, напомню, что открытая струна со свободными (незакрепленными) концами должна удовлетворять граничному условию Неймана на этих концах. Так обычно начинается построение теории бозонной струны во всех учебниках по теории струн. Для напоминания рекомендую прочитать этот пост. Кратко: суть состоит в том, что условие стационарности действия бозонной струны дает волновое уравнение движения, но, кроме того, стационарность действия требует исчезновения граничных членов, получающихся при вариации действия. Граничные члены пропорциональны произведению δXμσXμ, и потому условие Неймана σXμ=0 в сочетании с уравнениями движения обеспечивает стационарность действия бозонной струны. Особенностью такого граничного условия является его Пуанкаре-ковариантность.

Однако альтернативным способом зануления граничных членов является фиксация концов струны. Тогда положение концов струны является данным  внешним условием, так что стационарность струнного действия с положением концов струны никак не связана, и мы имеем δXμ=0. Фиксированные граничные условия — это условия Дирихле. Физически струна прикрепляется к D-бране (D от Дирихле), которая держит конец струны зафиксированным. Такое граничное условие нарушает инварианость по отношениям к трансялциям той координаты, которая закреплена. Наличие D-браны делает такое нарушение физически обоснованным.

В принципе, разумеется, часть полей Xμ может удовлетворять граничному условию Дирихле, в то время как часть — более «стандартным» условиям Неймана. Стандартным — потому что не нужно думать о D-бране, которая бы держала конец струны. В простейшем случае пусть у нас имеется десятимерная струна с координатными полями на мировом листе Xμ(στ), причем поле Xудовлетворят граничному условию Дирихле, а все остальные поля — условию Неймана. Тогда в нашем пространстве-времени есть D8-брана, «перпендикулярная» девятому базисному вектору, и содержащая остальные 8 координат пространства как координаты своего мирового объема (отсюда 8 в обозначении «D8-брана»). Конец струны может свободно перемещаться по мировому объему D8-браны, так что все остальные граничные условия действительно неймановские. Для справки: если девятая координата компактифицирована на окружность, то можно совершить преобразование T-дуальности в этом направлении, при котором граничное условие Дирихле для X9 перейдет в граничное условие Неймана, в то время как все остальные граничные условия (Неймана) останутся нетронутыми, и спектр струны не изменится. Уничтожение граничного условия Дирихле означает, что D8 брана «поглотила» девятое направление (свернулась на этом направлении, wraps compact direction) и «превратилась» в D9-брану с мировым объемом, являющимся всем десятимерным пространством-временем. По-прежнему все открытые струны оканчиваются на бране, но в теперь нет ни одного направления, которое было бы перпендикулярно бране, и потому ни в каких направлениях нет граничного условия Дирихле.

Разложение по модам для открытой струны с разными типами граничных условий

Пусть (στ) есть координаты, параметризующие мировую поверхность струны, где σ периодична с периодом 2π. Совершим переход к евклидовому времени с помощью виковского поворота: τ → −, и представим мировую поверхность открытой струны как комплексную плоскость, параметризуя ее координатами $$(z,\bar{z})$$, определенными формулой

$$z=e^{\tau+i\sigma}$$.

Пусть открытая струна удовлетворяет граничным условиям Неймана на обоих концах, что мы будем обозначать как NN. Тогда разложение по модам для бозонного поля на мировой поверхности, являющегося координатой вложения струны в пространство-время, дается выражением

$$NN:\quad\quad~X^\mu(\sigma,\tau)=x^\mu+2\alpha'p^\mu\tau+i\sqrt{2\alpha'}\sum_{n\ne0}\frac{1}{n}\alpha_\mu^{~n}e^{-in\tau}\cos n\sigma.$$

После Виковского поворота и перехода к комплексным координатам это выражение принимает вид

$$NN:\quad\quad~X^\mu(z,\bar{z})=x^\mu -i\alpha'p^\mu\ln z\bar{z}+i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{n\ne 0}\frac{1}{n}\alpha_\mu^{n}(z^{-n}+\bar{z}^{-n}).$$

Производная по координате на мировой поверхности связана с производными по (голоморфным и антиголоморфным) комплексным координатам формулой

$$\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}=i(z\partial X^\mu-\bar{z}\bar\partial X^\mu),$$

так что легко убедиться, что NN выражение действительно удовлетворяет условиям Неймана на обоих концах.

Дальше мы просто обобщаем этот результат на другие виды граничных условий. Постольку поскольку открытая струна вообще говоря ориентирована (имеет заряды унитарной калибровочной группы противоположных знаков на разных концах, хотя суперструны типа I неориентированны, ибо калибровочная группа необходимо должна быть SO(32) — вещественная), то граничные условия DN (условие Неймана на конце σ = π и отсутствие осцилляций, выражающее условие Дирихле, на конце σ = 0) и ND (наоборот) вообще говоря разные, хотя в конечное выражение для нулевой энергии будет входить сумма ν числа граничных условий DN+ND:

$$DN:\quad\quad X^\mu(z,\bar{z})=i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{r\in Z+1/2}\frac{1}{n}\frac{\alpha_\mu^r}{r}(z^{-r}-\bar{z}^{-r})\,,$$

$$ND:\quad\quad X^\mu(z,\bar{z})=i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{r\in Z+1/2}\frac{1}{n}\frac{\alpha_\mu^r}{r}(z^{-r}+\bar{z}^{-r})\,.$$

Если оба конца удовлетворяют условию Дирихле, то решение волнового уравнения для струны дается выражением:

$$DD:\quad\quad X^\mu(z,\bar{z})=-i\frac{\delta X^\mu}{2\pi}\ln(z/\bar{z})+i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{n\ne 0}\frac{1}{n}\alpha_\mu^{~n}(z^{-n}+\bar{z}^{-n})\,.$$

Далее, имеются разложения по модам для фермионных полей из R сектора и NS сектора, которые я приводить не буду. Для целей данной задачи имеет смысл помнить о следующих вещах. В RNS суперструне у нас есть 10 двухкомпонентных фермионов на мировой поверхности. Каждая из двух компонент соответствует одной из двух киральностей d=2 спинора, и рассматривается как независимое фермионное поле на мировой поверхности. Уравнение движения для каждого из этих полей есть приведенная форма уравнения Дирака. Помимо уравнений движения необходимо наложить граничные условия, чтобы RNS действие было стационарным. Оказывается, что эти граничные условия связывают фермионные поля противоположных киральностей на концах струны. Существует два типа граничных условий. В первом случае, R секторе RNS суперструны,  граничные условия одинаковы на обоих концах. Во втором случае, NS секторе, граничные условия имеют противоположный знак. Как обычно, граничные условия определяют то, по каким типам мод раскладывается решение уравнения движения. Как объясняется, например, в параграфе 4.4 (стр. 122-123) рекомендуемой книги K. Becker, M. Becker, J.H. Schwarz String theory and M theory (BBS), для R сектора моды целые, а для NS сектора — полуцелые.

Нулевая энергия

Нулевая энергия возникает как константа нормального упорядочивания в выражении для L0 коэффициента ряда Лорана

$$T(z)=-\frac{2}{\alpha'}\,\partial X\cdot\partial  X=\sum_n\frac{L_n}{z^{n+2}},\quad\tilde{T}(\bar{z})=-\frac{2}{\alpha'}\,\bar\partial X\cdot\bar\partial X=\sum_n\frac{\tilde{L}_n}{{\bar{z}}^{n+2}}$$

для тензора энергии-импульса (ТЭИ). В случае суперструны в ТЭИ дают вклад как бозонные поля — координаты вложения, так и фермионные поля — спиноры в D = 10 измерениях в формализме Грина-Шварца, или D спиноров на d = 2 мерном мировом листе в RNS формализме. Будем работать в RNS формализме. Удобно то, что для того, чтобы посчитать нулевую энергию, нужно знать полевой состав, и какие поля раскладываются по целым модам, а какие по полуцелым. Зная нулевую энергию для каждого типа моды можно посчитать нулевую энергию всей системы.

По целым модам раскладываются фермионы из R сектора, а также NN и DD бозоны. Фермионы из NS сектора, и ND, DN бозоны раскладываются по полуцелым модам. 

Регуляризация бесконечных сумм

Чтобы продолжить с вычислением нулевой энергии, нужно знать, как регуляризовать бесконечные расходящиеся суммы. Выше мы уже отметили, что нулевая энергия возникает когда мы выполняем нормальное упорядочивание в выражении для L0. Схематически, это выглядит как

$$L_0\sim\sum_n\alpha_{-n}\alpha_n\,,$$

причем αn с положительным n есть оператор рождения струнной моды, а с отрицательным — уничтожения. Нормальное упорядочивание подразумевает, что все операторы рождения должны стоять слева от операторов рождения, так что естественно, что при всех отрицательных n в сумме, нам нужно переставить операторы αn и  αn. В квантовой теории коммутатор этих двух операторов равен n, так что мы автоматически получаем бесконечную сумму, равную ζ(−1), где ζ-функция Римана дается выражением

$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty~n^{-s}\,.$$

Регуляризованное выражение для нее есть

$$\zeta (-1)=-\frac{1}{12}\,.$$

Далее, введем сумму четных чисел

$$S_{even}=\sum _{n=0}^\infty 2n=2\zeta (-1)=-\frac{1}{6}\,,$$

которая позволяет посчитать сумму нечетных чисел

$$S_{odd}=\sum _{n=0}^\infty (2n+1)=\zeta (-1)-S_{odd}=\frac{1}{12}\,.$$

Вычисление нулевой энергии

Сумма нечетных чисел полезна, когда мы считаем вклад полуцелых мод в нулевую энергию

$$a_{bos\,ND,\,DN}=-\frac{1}{2}\sum _{r\in Z+\frac{1}{2},\,r>0}r=-\frac{1}{4}S_{odd}=-\frac{1}{48}\,.$$

Из выражения для ζ(−1) мы заключаем, что каждая NN бозонная мода дает вклад 1/24 в нулевую энергию, и, ясно, что то же самое верно для DD бозонов. Также известно, что NS фермионы в NN и DD направлениях дают вклад 1/48, как в полностью NN теории (см. стр. 134 BBS), а R фермионы дают вклад −1/24.

Вспоминим, что требование суперсимметрии налагает условие нулевой энергии в R секторе всегда. Например, если все бозонные поля удовлетворяют NN граничным условия, то тогда нулевая энергия, равная сумме вкладов восьми (D − 2 = 8) бозонов и восьми фермионов, в R секторе равна $$\inline 8\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{24}\right)=0$$. Заметим, однако, что если в каком то направлении бозонное поле удовлетворяет ND или DN граничным условиям, то каждая бозонная мода дает вклад в нулевую энергию −1/48, как мы нашли выше, считая регуляризованную сумму нечетых чисел. Поэтому, чтобы в R секторе нулевая энергия по-прежнему равнялась нулю, необходимо, чтобы каждый R фермион в ND или DN направлении имел нулевую энергию 1/48, как NS фермион. Таким образом, в ND и DN направлениях R фермионы определяются (разложением по модам, или, эквивалентно, соотношением между граничными условиями на обоих концах) как NS фермионы в NN и DD направлениях. Для сохранения состава бозонных и фермионных степеней свободы необходимо также сделать противоположную вещь: определить NS фермионы в ND и DN направлениях как R фермионы в NN и DD направлениях.

Суммируя последний запутанный абзац, получаем, что  NS фермионы в DN, ND направлениях дают вклад −1/24 в нулевую энергию, в то время как R фермионы дают вклад 1/48. Тогда нулевая энергия в NS секторе дается выражением

$$a_{NS}=(8-\nu)\left(\frac{1}{24}+\frac{1}{48}\right)+\nu\left(-\frac{1}{48}-\frac{1}{24}\right)\,.$$

Иными словами, массовая формула для струнных возбуждений в NS секторе есть

$$\alpha 'M^2=\text{oscillators}+\frac{\nu}{8}-\frac{1}{2}\,.$$

Об актуальности этой задачи

Задача о нулевой энергии открытой струны важна в силу следующей простой причины. Всякая (правильная) теория поля, описывающая какие бы то ни было поля материи или калибровочные поля, является эффективной теорией для мод колебаний струны. Струна сама по себе имеет, как мы знаем, бесконечно много осцилляторных состояний, но расстояние между этими состояниями по энергетической шкале очень велико, поэтому как правило все сводится к тому, чтобы взять низшее колебательное состояние струны и построить эффективную теорию для него. Низшее состояние имеет энергию, равную нулевой энергии, вычислением которой мы занимались в этой задаче. Так что нужно позаботиться о том, чтобы это низшее состояние было «хорошим». Во-первых, лучше, чтобы оно не было тахионным, т.е. чтобы нулевая энергия была неотрицательной. Во-вторых, фермионный сектор (R сектор) всегда имеет нулевую энергию, равную нулю, так что эффективная теория всегда содержит безмассовые фермионы. Если мы хотим, чтобы теория была суперсимметричной, нулевая энергия в бозонном секторе тоже должна быть равна нулю. Если же мы хотим «отодвинуть» все бозоны в область высших энергий, желая получить из теории струн низкоэнергетическую теорию поля только для фермионов, тогда мы должны устроить все так, чтобы нулевая энергия бозонного сектора была положительной.

Альтернативно, суперсимметричность построенной конфигурации D бран может изучаться прямо с помощью выражения для супергенераторов, сохраняемых каждой конкретной D браной. Мы это обсуждали здесь, здесь и здесь.

Ключевые слова: задачи, открытая струна

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 78+5?