Заметки о теоретической физике → 2011 → 12 → 06
Роман Парпалак

Математический аппарат МССМ

6 декабря 2011 года, 00:25

После первого знакомства с МССМ и обсуждения ее достоинств остановимся на некоторых математических подробностях построения суперсимметричных лагранжианов. Более полное изложение формализма МССМ и связанных вопросов можно найти в лекциях Яна Эйтчисона, предполагающих наличие у читателя только базовых знаний квантовой теории поля.

Простейший суперсимметричный лагранжиан, описывающий взаимодействия спинорного и скалярного поля, можно подобрать «вручную». Однако для стандартной модели из-за большого количества полей это сделать крайне затруднительно. Чтобы свободно конструировать разные варианты суперсимметричных теорий, был разработан интересный математический формализм, в основе которого лежат суперполя и суперпространство.

Суперпространство и преобразования суперсимметрии

Как известно, оператор импульса Pμ является генератором трансляций в пространстве Минковского. По аналогии с этим оператор суперсимметрии Qα, введенный в прошлый раз, можно трактовать как дополнительный генератор трансляций в некотором расширенном пространстве. С учетом фермионной природы оператора Qα легко сделать вывод о том, что и новые координаты должны иметь фермионную природу, то есть быть антикоммутирующими.

Суперпространство — это обобщение пространства Минковского, получающееся путем добавления к обычным координатам xμ двух новых грассмановых (антикоммутирующих) координат $$\theta_\alpha,\bar {\theta }_{\dot{\alpha }}$$:

(1)$$\left\{ {\theta _\alpha ,\theta _\beta } \right\}=0,\quad \{ {\bar {\theta }_{\dot {\alpha }} ,\bar {\theta }_{\dot {\beta }} } \}=0,\quad \theta _\alpha ^2 =0,\quad \theta _\beta ^2 =0,\quad \alpha ,\beta ,\dot {\alpha },\dot {\beta }=1,2.$$

Преобразования суперсимметрии образуют группу, представляющую собой обобщение трансляций в пространстве Минковского. Групповой элемент

$$G(a_\mu,\varepsilon_\alpha, \bar{\varepsilon}_{\dot \alpha}) =\exp\left\{i(-a^\mu P_\mu + \varepsilon_\alpha Q_\alpha + \bar{\varepsilon}_{\dot \alpha}\bar{Q}_{\dot \alpha})\right\}$$

порождает супертрансляции:

$$x_\mu \to x_\mu + a_\mu +i\theta \sigma_{\mu} \bar{\varepsilon} +i\varepsilon \sigma_\mu \bar{\theta},$$

$$\theta_\alpha \to \theta_\alpha +\varepsilon_\alpha,$$

$$\bar{\theta }_{\dot \alpha} \to \bar{\theta }_{\dot \alpha}+\bar{\varepsilon }_{\dot \alpha}.$$

Киральные суперполя

Суперполе — это поле, определенное на суперпространстве. Формальное разложение суперполей в ряд Тейлора по грассмановым переменным в силу (1) содержит лишь несколько первых членов, а более старшие члены зануляются. При построении суперсимметричного расширения стандартной модели нам понадобится всего два типа суперполей: киральное и векторное.

Определим киральное суперполе как поле, зависящее только от x и θ:

(2)$$\bar {D}_{\dot {\alpha }} \,\Phi(x,\theta , \bar{\theta} )=0,\quad \bar{D}_{\dot {\alpha }} =-\frac{\partial }{\partial \bar {\theta }_{\dot {\alpha }} }-i\left( {\theta \sigma ^\mu } \right)_{\dot {\alpha }} \partial_\mu .$$

Добавка к дифференциальному оператору возникает при опускании спинорного индекса и связана в конечном итоге с некоммутативностью суперсимметричных генераторов.

Грассманово разложение для кирального суперполя имеет вид

$$\Phi(x,\theta ) =A(x)+\sqrt 2 \theta \psi (x)+\theta \theta F(x).$$

Выбор численных множителей сделан из соображений удобства. Коэффициенты разложения, которые представляют собой функции координат x, называются компонентными полями. A(x) — комплексное скалярное поле, ψ(x) — вейлевское спинорное поле, F(x) — вспомогательное скалярное поле. Физические поля A(x) и ψ(x) образуют киральный супермультиплет. Присутствие вспомогательного поля F(x) необходимо в теории, так как скалярное и спинорное поле имеют разное количество степеней свободы, в то время как число бозонных и фермионных степеней должно быть одим и тем же. Поле F(x) не имеет физического смысла и, как мы увидим ниже, может быть исключено с помощью уравнений движения.

Под действием преобразований суперсимметрии компонентные поля переходят друг в друга:

$$\delta _\varepsilon A =\sqrt 2 \varepsilon \psi ,$$

$$\delta _\varepsilon \psi =i\sqrt 2 \sigma ^\mu \bar{\varepsilon}\partial _\mu A+\sqrt 2 \varepsilon F,$$

$$\delta _\varepsilon F =i\sqrt 2 \bar {\varepsilon }\sigma ^\mu \partial _\mu \psi .$$

Видно, что вариация F-компоненты кирального суперполя есть полная производная.

Суперпотенциал

Рассмотрим произвольную функцию киральных суперполей $${\cal W}$$. Ясно, что эта функция по определению (2) также будет киральным полем. Разложим ее в ряд по грассмановым переменным (для простоты здесь рассмотрен случай одного аргумента)

$${\cal W}\left(\Phi\right)={\cal W}\!\left(A+\sqrt2 \theta\psi +\theta \theta F \right)={\cal W}\left(A\right)+\frac{\partial {\cal W}}{\partial A}\sqrt{2}\theta\psi+\theta\theta \left(\frac{\partial {\cal W}}{\partial A}F-{1\over 2}\frac{\partial^2 {\cal W}}{\partial A^2}\psi\psi\right).$$

Как отмечалось выше, вариация F-компоненты суперполя (множитель при θθ) представляет собой полную производную. Это означает, что F-компонента $${\cal W}$$ может являться частью лагранжиана, инвариантной относительно суперсимметричных преобразований, потому что вариация действия будет нулевой. Функцию $${\cal W}$$ будем называть суперпотенциалом.

С учетом требования перенормируемости суперпотенциал должен быть многочленом по суперполям, степень которого не выше трех. Следовательно, самый общий вид суперпотенциала есть

(3)$${\cal W} = \lambda_i \Phi_i + \frac{1}{2}m_{ij}\Phi_i \Phi_j + \frac{1}{3} y_{ijk} \Phi_i \Phi_j \Phi_k.$$

Построение суперсимметричного лагранжиана

Введем следующие правила интегрирования по грассмановым переменным, учитывая соображения линейности интеграла и антикоммутируемости грассмановых переменных (1)

$$\int d\theta _\alpha =0 , \quad \int \theta _\alpha d\theta _\beta =\delta _{\alpha \beta } .$$

Интересно отметить, что при таком определении результат интегрирования и  дифференцирования совпадает. 

Как мы видели выше, лагранжиан суперсимметричной теории может быть выписан через суперполя. При этом суперсимметричное действие оказывается интегралом по суперпространству от комбинации суперполей, в полной аналогии с обычной теорией поля, когда действие выражается через интеграл от плотности функции Лагранжа по пространству Минковского.

Определим пространственно-временную плотность функции Лагранжа как

$${\cal L} = \int d^2\theta \,d^2\bar \theta \,\Phi_i^\dag \Phi_i+ \left[\int d^2\theta \,{\cal W} + {\rm h.c.}\right].$$

В этом выражении первая часть — это кинетическое слагаемое, которое описывает свободные поля. Вторая часть определяется суперпотенциалом и отвечает взаимодействиям полей. Из разложения суперполя по компонентам и из правил интегрирования легко видеть, что интегрирование суперпотенциала по d2θ выделяет его F-компоненту, поэтому, как было сказано выше, такой лагранжиан инвариантен относительно суперсимметричных преобразований.

После подстановки выражения для суперпотенциала (3), раскладывания суперполей по компонентам и интегрирования, получаем

$${\cal L} = i\partial_{\mu}\bar \psi_i \bar \sigma^{\mu}\psi_i + A_i^{\dagger} \Box A_i + F_i^{\ast}F_i + \\ + [\lambda_i F_i + m_{ij}(A_iF_j — \frac{1}{2}\psi_i \psi_j ) + y_{ijk}(A_iA_jF_k — \psi_i \psi_j A_k ) + {\rm h.c.}].$$

Вспомогательное поле F не имеет кинетических слагаемых и не описывает динамические степени свободы. Его можно исключить с помощью уравнений движения

$$\frac{\partial {\cal L}}{\partial F_k^*} = F_k + \lambda_k^* + m_{ik}^*A_i^\dagger + y_{ijk}^* A_i^\dagger A_j^\dagger =0,$$
$$\frac{\partial {\cal L}}{\partial F_k} = F_k^* + \lambda_k + m_{ik}A_i + y_{ijk} A_iA_j=0.$$

Выражая из этих уравнений F и F*, окончательно получаем

$${\cal L}= i\partial_{\mu}\bar \psi_i \bar \sigma^{\mu}\psi_i + A_i^\dagger \Box A_i -\frac{1}{2}m_{ij}\psi_i \psi_j -\frac{1}{2}m_{ij}^* \bar \psi_i \bar \psi_j -\\ -y_{ijk}\psi_i \psi_j A_k -y_{ijk}^* \bar \psi_i \bar \psi_j A_k^\dagger -{\cal V}(A_i, A_j^\dagger),$$

где последнее слагаемое — это скалярный потенциал $${\cal V} = F_k^* F_k $$. Мы вернемся к обсуждению скалярного потенциала, когда завершим построение суперсимметричного лагранжиана, инвариантного относительно калибровочных преобразований.

Векторные суперполя

Для построения калибровочной теории нам необходимо действительное векторное суперполе $$V=V^\dag$$. Это поле зависит от всех переменных и разлагается по грассмановым переменным определенным образом, для краткости это разложение мы опустим. Среди компонент можно выделить векторное поле Vμ и спинорное поле χ. Они являются физическими степенями свободы. Другие компоненты нефизические и их можно исключить выбором калибровки.

Суперсимметричные калибровочные преобразования определяются следующим образом. Под их действием векторное суперполе V должно меняться как

$$V\to V+\Phi +\Phi ^\dag ,$$

а киральное суперполе X преобразуется как

$$X \to e^{q\Phi }X, \quad \bar{X} \to e^{q\Phi ^\dag}\bar{X}.$$

Здесь Φ — некоторое киральное суперполе. Как видно, величина $$\bar {X}e^{-qV}X$$ инвариантна относительно таких преобразований.

В специально выбранной калибровке, называемой калибровкой Весса-Зумино, остаются только физические степени свободы и вспомогательное поле D, а все остальные компоненты зануляются. В этой калибровке

$$V =-\theta \sigma ^\mu \bar{\theta} V_\mu (x)+i\theta \theta \bar{\theta} \bar{\lambda} (x)-i\bar{\theta} \bar{\theta} \theta \lambda (x)+\frac{1}{2}\theta \theta \bar{\theta} \bar{\theta} D(x),$$

$$V^2 =-\frac{1}{2}\theta \theta \bar{\theta} \bar{\theta} \,V_\mu (x)V^\mu (x),$$

$$V^3 =0.$$

Поэтому выражение вида eqV тоже содержит несколько первых членов разложения в компонентных полях.

В общем (неабелевом) случае тензор напряженности суперполя принимает вид

$$W_\alpha =-\frac{1}{4}\bar {D}^2e^VD_\alpha e^{-V}, \quad \bar{W} {}_{\dot \alpha} =-\frac{1}{4}D^2e^V\bar {D}_{\dot \alpha} e^{-V},$$

Здесь стоит отметить, что сложившиеся обозначения не очень удачны. Символ D обозначает и дифференциальный оператор сдвига по грассмановым переменным, и вспомогательное поле, и ковариантную производную. Символ W обозначает и суперпотенциал, и напряженность калибровочного суперполя. Изменить обозначения мы не в силах, поэтому приходится быть внимательнее.

Разложение напряженности по компонентам есть

$$W_\alpha =T^a\left( {-i\lambda _\alpha ^a +\theta _\alpha D^a- {i \over 2}\left( {\sigma ^\mu \bar {\sigma }^\nu \theta } \right)_\alpha F_{\mu \nu }^a +\theta ^2\left( {\sigma ^\mu D_\mu \bar {\lambda }^a} \right)_\alpha } \right),$$

где Ta — генераторы калибровочной группы, подчиняющиеся коммутационным соотношениям [TaTb] = fabc Tc (напомним, что числа fabc называются структурными константам калибровочной группы), $$F_{\mu \nu }^a =\partial _\mu v_\nu -\partial _\nu v_\mu +f^{abc}v_\mu ^b v_\nu ^c$$ — аналог тензора напряженности для компонентного поля vμ, $$D_\mu \bar {\lambda }^a=\partial _\mu \bar {\lambda }^a+f^{abc}v_\mu ^b \bar {\lambda }^c$$ — ковариантная производная.

Суперсимметричная теория Янга-Миллса

Калибровочно-инвариантный суперсимметричный лагранжиан должен содержать кинетические слагаемые, взаимодействия полей материи и калибровочных полей, а также самодействие калибровочных полей.

Начнем с рассмотрения кинетических слагаемых калибровочных полей. В калибровке Весса-Зумино

$$W^{\alpha}W_{\alpha}|_{\theta \theta}= -2i\lambda \sigma^{\mu}D_{\mu}\bar \lambda -\frac{1}{2}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}+\frac{1}{2}D^2 +i \frac{1}{4}F^{\mu \nu}F^{\rho \sigma}\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma }.$$

Последнее слагаемое представляет собой полную производную, и его можно не включать в лагранжиан. Кинетические слагаемые калибровочных полей лагранжиана принимают вид

$${\cal L}= \frac{1}{4}\!\int\!d^2\theta\,W^{\alpha}W_{\alpha} + \frac{1}{4}\!\int\!d^2\bar \theta \,\bar{W}^{\dot \alpha}\bar W_{\dot \alpha} = \frac{1}{2}D^2 -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} -i \lambda \sigma^{\mu}D_{\mu}\bar \lambda.$$

Чтобы получить калибровочные взаимодействия киральных полей, достаточно изменить их кинетическое слагаемое

$$\Phi_i^\dagger \Phi_i \rightarrow \Phi_i^\dagger e^{gV} \Phi_i.$$

Полный лагранжиан, инвариантный относительно калибровочных преобразований и преобразований суперсимметрии, имеет вид

$${\cal L}_{\rm SUSY~YM} = \frac{1}{4}\int d^2 \theta\,Tr(W^{\alpha}W_{\alpha}) + \frac{1}{4}\int d^2 \bar{\theta}\,Tr(\bar{W}^{\alpha}\bar{W}_{\alpha}) + \\ + \int d^2 \theta d^2 \bar \theta \, \Phi_{ia}^\dagger(e^{gV})_b^a\Phi_i^b+\int d^2 \theta \,{\cal W}(\Phi_i) +\int d^2 \bar{\theta}\,\bar{{\cal W}}({\Phi}_i^\dagger) ,$$

где $${\cal W}$$ — это суперпотенциал, который должен быть инвариантен относительно калибровочной группы теории. Этот лагранжиан можно выразить через компонентные поля, выполнив интегрирования

$${\cal L}_{\rm SUSY~YM} = -\frac{1}{4}F^a_{\mu \nu }F^{a\mu \nu}-i\lambda^a\sigma^\mu D_\mu \bar{\lambda}^a+\frac{1}{2}D^aD^a +$$

$$+(\partial_\mu A_i -igv^a_\mu T^aA_i)^\dagger (\partial_\mu A_i -igv^{a}_\mu T^aA_i) -i\bar{\psi}_i\bar{\sigma}^\mu (\partial_\mu \psi_i -igv^{a}_\mu T^a\psi_i) +$$

$$+gD^aA^\dagger_i T^aA_i-i\sqrt{2}A^\dagger_iT^a\lambda^a\psi_i + i\sqrt{2}\bar{\psi}_iT^aA_i\bar{\lambda}^a+F^\dagger_iF_i +$$

$$+ \frac{\partial {\cal W}}{\partial A_i} F_i+ \frac{\partial \bar{\cal W}}{\partial A_i^\dagger}F^\dagger_i -\frac{1}{2}\frac{\partial^2 {\cal W}}{\partial A_i \partial A_j}\psi_i\psi_j -\frac{1}{2}\frac{\partial^2 \bar{{\cal W}}}{\partial A_i^\dagger \partial A_j^\dagger}\bar{\psi}_i\bar{\psi}_j.$$

От вспомогательных полей Da и Fi можно избавиться с помощью уравнений движения (по аналогии с тем, как поле Fi было устранено ранее) и получить окончательный лагранжиан суперсимметричной теории Янга-Миллса.

Скалярный потенциал

В отличие от стандартной модели, где скалярный потенциал — взаимодействие скалярных полей — можно выбирать произвольно (единственное требование — калибровочная инвариантность), скалярный потенциал $${\cal V}$$ суперсимметричных теорий полностью определяется суперпотенциалом. Он состоит из двух частей, происходящих из D-слагаемых и F-слагаемых.

Выпишем часть лагранжиана, зависящую от поля Da

$${\cal L}_D=\frac{1}{2}D^aD^a + g D^a A^\dag_i T^a A_i.$$

Отсюда легко найти уравнение движения

$$D^a=-g A^\dag_iT^aA_i.$$

Аналогично для части лагранжиана, зависящей от полей Fi

$${\cal L}_F=F^*_iF_i+(\frac{\partial \cal W}{\partial A_i}F_i + {\rm h.c.}),$$

можно найти уравнение движения

$$F^*_i=-\frac{\partial \cal W}{\partial A_i}.$$

Подставив полученные выражения в лагранжиан, получим окончательное выражение для скалярного потенциала суперсимметричных моделей

$${\cal{V}}(A_1, A_2, \ldots, A_1^\dagger, A_2^\dagger, \ldots ) = \left|{\partial {\cal W} \over \partial A_i}\right|^2 + \frac{1}{2} g^2 (A_i^\dagger T^a A_i) (A_j^\dagger T^a A_j).$$

Таким образом, в суперсимметричных теориях нет большой свободы в построении лагранжиана. Можно выбирать только состав полей, калибровочные группы (и соответствующие константы взаимодействий) и суперпотенциал. Этим выбором и будет определен лагранжиан.

Ключевые слова: МССМ

Комментарии

#1. 8 декабря 2011 года, 23:04. Михаил Гойхман пишет:
Интересно. На счет супер-Янга-Милса: какое-то длинное выражение для Лагранжиана. Самое простое выражение кот. я видел (Виттен, том 1, Аппендикс 4А) есть просто сумма бозонного Лагранжиана ЯМ для векторных полей плюс ковариантный Дираковский Лагранжин для гейджино. Можешь приписать суперпреобразования для $$A_\mu ^a$$ и $$\psi _\alpha ^a$$ в текст?
#2. 9 декабря 2011 года, 13:52. пишет:
Так и есть, если ограничиться калибровочным полем и его суперпартнером. Однако дальше выписан полный лагранжиан для калибровочных полей, для материи и для их взаимодействия. Действительно получается длинно.

Ты хочешь преобразования для векторного мультиплета? Просто в тексте эти буквы использовались для компонент кирального мультиплета.
#3. 9 декабря 2011 года, 18:55. Михаил Гойхман пишет:
Ясно.

Да, я хотел компонентные преобразования суперсимметрии для калибровочного бозона через гейджино и наоборот, в чисто калибровочной теории (без материи). Просто можно было бы потом тогда поговорить о полной суперконформной группе. :)
#4. 10 декабря 2011 года, 17:25. Михаил Гойхман пишет:
Я тут вспомнил, что компонентные преобразования суперсимметрии для супер Янга-Миллса я сам написал в блоге, в феврале. :)

http://susy.written.ru/2011/02/15/confomral+SYM

Там же обсуждается конформная инврианость, так что обсуждение этой темы в этом посте можно закрыть, я полагаю.

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 65+8?