Заметки о теоретической физике → 2011 → 12
Роман Парпалак

Математический аппарат МССМ

6 декабря 2011 года, 00:25

После первого знакомства с МССМ и обсуждения ее достоинств остановимся на некоторых математических подробностях построения суперсимметричных лагранжианов. Более полное изложение формализма МССМ и связанных вопросов можно найти в лекциях Яна Эйтчисона, предполагающих наличие у читателя только базовых знаний квантовой теории поля.

Простейший суперсимметричный лагранжиан, описывающий взаимодействия спинорного и скалярного поля, можно подобрать «вручную». Однако для стандартной модели из-за большого количества полей это сделать крайне затруднительно. Чтобы свободно конструировать разные варианты суперсимметричных теорий, был разработан интересный математический формализм, в основе которого лежат суперполя и суперпространство.

Суперпространство и преобразования суперсимметрии

Как известно, оператор импульса Pμ является генератором трансляций в пространстве Минковского. По аналогии с этим оператор суперсимметрии Qα, введенный в прошлый раз, можно трактовать как дополнительный генератор трансляций в некотором расширенном пространстве. С учетом фермионной природы оператора Qα легко сделать вывод о том, что и новые координаты должны иметь фермионную природу, то есть быть антикоммутирующими.

Суперпространство — это обобщение пространства Минковского, получающееся путем добавления к обычным координатам xμ двух новых грассмановых (антикоммутирующих) координат $$\theta_\alpha,\bar {\theta }_{\dot{\alpha }}$$:

(1)$$\left\{ {\theta _\alpha ,\theta _\beta } \right\}=0,\quad \{ {\bar {\theta }_{\dot {\alpha }} ,\bar {\theta }_{\dot {\beta }} } \}=0,\quad \theta _\alpha ^2 =0,\quad \theta _\beta ^2 =0,\quad \alpha ,\beta ,\dot {\alpha },\dot {\beta }=1,2.$$

Преобразования суперсимметрии образуют группу, представляющую собой обобщение трансляций в пространстве Минковского. Групповой элемент

$$G(a_\mu,\varepsilon_\alpha, \bar{\varepsilon}_{\dot \alpha}) =\exp\left\{i(-a^\mu P_\mu + \varepsilon_\alpha Q_\alpha + \bar{\varepsilon}_{\dot \alpha}\bar{Q}_{\dot \alpha})\right\}$$

порождает супертрансляции:

$$x_\mu \to x_\mu + a_\mu +i\theta \sigma_{\mu} \bar{\varepsilon} +i\varepsilon \sigma_\mu \bar{\theta},$$

$$\theta_\alpha \to \theta_\alpha +\varepsilon_\alpha,$$

$$\bar{\theta }_{\dot \alpha} \to \bar{\theta }_{\dot \alpha}+\bar{\varepsilon }_{\dot \alpha}.$$

Киральные суперполя

Суперполе — это поле, определенное на суперпространстве. Формальное разложение суперполей в ряд Тейлора по грассмановым переменным в силу (1) содержит лишь несколько первых членов, а более старшие члены зануляются. При построении суперсимметричного расширения стандартной модели нам понадобится всего два типа суперполей: киральное и векторное.

Определим киральное суперполе как поле, зависящее только от x и θ:

(2)$$\bar {D}_{\dot {\alpha }} \,\Phi(x,\theta , \bar{\theta} )=0,\quad \bar{D}_{\dot {\alpha }} =-\frac{\partial }{\partial \bar {\theta }_{\dot {\alpha }} }-i\left( {\theta \sigma ^\mu } \right)_{\dot {\alpha }} \partial_\mu .$$

Добавка к дифференциальному оператору возникает при опускании спинорного индекса и связана в конечном итоге с некоммутативностью суперсимметричных генераторов.

Грассманово разложение для кирального суперполя имеет вид

$$\Phi(x,\theta ) =A(x)+\sqrt 2 \theta \psi (x)+\theta \theta F(x).$$

Выбор численных множителей сделан из соображений удобства. Коэффициенты разложения, которые представляют собой функции координат x, называются компонентными полями. A(x) — комплексное скалярное поле, ψ(x) — вейлевское спинорное поле, F(x) — вспомогательное скалярное поле. Физические поля A(x) и ψ(x) образуют киральный супермультиплет. Присутствие вспомогательного поля F(x) необходимо в теории, так как скалярное и спинорное поле имеют разное количество степеней свободы, в то время как число бозонных и фермионных степеней должно быть одим и тем же. Поле F(x) не имеет физического смысла и, как мы увидим ниже, может быть исключено с помощью уравнений движения.

Под действием преобразований суперсимметрии компонентные поля переходят друг в друга:

$$\delta _\varepsilon A =\sqrt 2 \varepsilon \psi ,$$

$$\delta _\varepsilon \psi =i\sqrt 2 \sigma ^\mu \bar{\varepsilon}\partial _\mu A+\sqrt 2 \varepsilon F,$$

$$\delta _\varepsilon F =i\sqrt 2 \bar {\varepsilon }\sigma ^\mu \partial _\mu \psi .$$

Видно, что вариация F-компоненты кирального суперполя есть полная производная.

Суперпотенциал

Рассмотрим произвольную функцию киральных суперполей $${\cal W}$$. Ясно, что эта функция по определению (2) также будет киральным полем. Разложим ее в ряд по грассмановым переменным (для простоты здесь рассмотрен случай одного аргумента)

$${\cal W}\left(\Phi\right)={\cal W}\!\left(A+\sqrt2 \theta\psi +\theta \theta F \right)={\cal W}\left(A\right)+\frac{\partial {\cal W}}{\partial A}\sqrt{2}\theta\psi+\theta\theta \left(\frac{\partial {\cal W}}{\partial A}F-{1\over 2}\frac{\partial^2 {\cal W}}{\partial A^2}\psi\psi\right).$$

Как отмечалось выше, вариация F-компоненты суперполя (множитель при θθ) представляет собой полную производную. Это означает, что F-компонента $${\cal W}$$ может являться частью лагранжиана, инвариантной относительно суперсимметричных преобразований, потому что вариация действия будет нулевой. Функцию $${\cal W}$$ будем называть суперпотенциалом.

С учетом требования перенормируемости суперпотенциал должен быть многочленом по суперполям, степень которого не выше трех. Следовательно, самый общий вид суперпотенциала есть

(3)$${\cal W} = \lambda_i \Phi_i + \frac{1}{2}m_{ij}\Phi_i \Phi_j + \frac{1}{3} y_{ijk} \Phi_i \Phi_j \Phi_k.$$

Построение суперсимметричного лагранжиана

Введем следующие правила интегрирования по грассмановым переменным, учитывая соображения линейности интеграла и антикоммутируемости грассмановых переменных (1)

$$\int d\theta _\alpha =0 , \quad \int \theta _\alpha d\theta _\beta =\delta _{\alpha \beta } .$$

Интересно отметить, что при таком определении результат интегрирования и  дифференцирования совпадает. 

Как мы видели выше, лагранжиан суперсимметричной теории может быть выписан через суперполя. При этом суперсимметричное действие оказывается интегралом по суперпространству от комбинации суперполей, в полной аналогии с обычной теорией поля, когда действие выражается через интеграл от плотности функции Лагранжа по пространству Минковского.

Определим пространственно-временную плотность функции Лагранжа как

$${\cal L} = \int d^2\theta \,d^2\bar \theta \,\Phi_i^\dag \Phi_i+ \left[\int d^2\theta \,{\cal W} + {\rm h.c.}\right].$$

В этом выражении первая часть — это кинетическое слагаемое, которое описывает свободные поля. Вторая часть определяется суперпотенциалом и отвечает взаимодействиям полей. Из разложения суперполя по компонентам и из правил интегрирования легко видеть, что интегрирование суперпотенциала по d2θ выделяет его F-компоненту, поэтому, как было сказано выше, такой лагранжиан инвариантен относительно суперсимметричных преобразований.

После подстановки выражения для суперпотенциала (3), раскладывания суперполей по компонентам и интегрирования, получаем

$${\cal L} = i\partial_{\mu}\bar \psi_i \bar \sigma^{\mu}\psi_i + A_i^{\dagger} \Box A_i + F_i^{\ast}F_i + \\ + [\lambda_i F_i + m_{ij}(A_iF_j — \frac{1}{2}\psi_i \psi_j ) + y_{ijk}(A_iA_jF_k — \psi_i \psi_j A_k ) + {\rm h.c.}].$$

Вспомогательное поле F не имеет кинетических слагаемых и не описывает динамические степени свободы. Его можно исключить с помощью уравнений движения

$$\frac{\partial {\cal L}}{\partial F_k^*} = F_k + \lambda_k^* + m_{ik}^*A_i^\dagger + y_{ijk}^* A_i^\dagger A_j^\dagger =0,$$
$$\frac{\partial {\cal L}}{\partial F_k} = F_k^* + \lambda_k + m_{ik}A_i + y_{ijk} A_iA_j=0.$$

Выражая из этих уравнений F и F*, окончательно получаем

$${\cal L}= i\partial_{\mu}\bar \psi_i \bar \sigma^{\mu}\psi_i + A_i^\dagger \Box A_i -\frac{1}{2}m_{ij}\psi_i \psi_j -\frac{1}{2}m_{ij}^* \bar \psi_i \bar \psi_j -\\ -y_{ijk}\psi_i \psi_j A_k -y_{ijk}^* \bar \psi_i \bar \psi_j A_k^\dagger -{\cal V}(A_i, A_j^\dagger),$$

где последнее слагаемое — это скалярный потенциал $${\cal V} = F_k^* F_k $$. Мы вернемся к обсуждению скалярного потенциала, когда завершим построение суперсимметричного лагранжиана, инвариантного относительно калибровочных преобразований.

Векторные суперполя

Для построения калибровочной теории нам необходимо действительное векторное суперполе $$V=V^\dag$$. Это поле зависит от всех переменных и разлагается по грассмановым переменным определенным образом, для краткости это разложение мы опустим. Среди компонент можно выделить векторное поле Vμ и спинорное поле χ. Они являются физическими степенями свободы. Другие компоненты нефизические и их можно исключить выбором калибровки.

Суперсимметричные калибровочные преобразования определяются следующим образом. Под их действием векторное суперполе V должно меняться как

$$V\to V+\Phi +\Phi ^\dag ,$$

а киральное суперполе X преобразуется как

$$X \to e^{q\Phi }X, \quad \bar{X} \to e^{q\Phi ^\dag}\bar{X}.$$

Здесь Φ — некоторое киральное суперполе. Как видно, величина $$\bar {X}e^{-qV}X$$ инвариантна относительно таких преобразований.

В специально выбранной калибровке, называемой калибровкой Весса-Зумино, остаются только физические степени свободы и вспомогательное поле D, а все остальные компоненты зануляются. В этой калибровке

$$V =-\theta \sigma ^\mu \bar{\theta} V_\mu (x)+i\theta \theta \bar{\theta} \bar{\lambda} (x)-i\bar{\theta} \bar{\theta} \theta \lambda (x)+\frac{1}{2}\theta \theta \bar{\theta} \bar{\theta} D(x),$$

$$V^2 =-\frac{1}{2}\theta \theta \bar{\theta} \bar{\theta} \,V_\mu (x)V^\mu (x),$$

$$V^3 =0.$$

Поэтому выражение вида eqV тоже содержит несколько первых членов разложения в компонентных полях.

В общем (неабелевом) случае тензор напряженности суперполя принимает вид

$$W_\alpha =-\frac{1}{4}\bar {D}^2e^VD_\alpha e^{-V}, \quad \bar{W} {}_{\dot \alpha} =-\frac{1}{4}D^2e^V\bar {D}_{\dot \alpha} e^{-V},$$

Здесь стоит отметить, что сложившиеся обозначения не очень удачны. Символ D обозначает и дифференциальный оператор сдвига по грассмановым переменным, и вспомогательное поле, и ковариантную производную. Символ W обозначает и суперпотенциал, и напряженность калибровочного суперполя. Изменить обозначения мы не в силах, поэтому приходится быть внимательнее.

Разложение напряженности по компонентам есть

$$W_\alpha =T^a\left( {-i\lambda _\alpha ^a +\theta _\alpha D^a- {i \over 2}\left( {\sigma ^\mu \bar {\sigma }^\nu \theta } \right)_\alpha F_{\mu \nu }^a +\theta ^2\left( {\sigma ^\mu D_\mu \bar {\lambda }^a} \right)_\alpha } \right),$$

где Ta — генераторы калибровочной группы, подчиняющиеся коммутационным соотношениям [TaTb] = fabc Tc (напомним, что числа fabc называются структурными константам калибровочной группы), $$F_{\mu \nu }^a =\partial _\mu v_\nu -\partial _\nu v_\mu +f^{abc}v_\mu ^b v_\nu ^c$$ — аналог тензора напряженности для компонентного поля vμ, $$D_\mu \bar {\lambda }^a=\partial _\mu \bar {\lambda }^a+f^{abc}v_\mu ^b \bar {\lambda }^c$$ — ковариантная производная.

Суперсимметричная теория Янга-Миллса

Калибровочно-инвариантный суперсимметричный лагранжиан должен содержать кинетические слагаемые, взаимодействия полей материи и калибровочных полей, а также самодействие калибровочных полей.

Начнем с рассмотрения кинетических слагаемых калибровочных полей. В калибровке Весса-Зумино

$$W^{\alpha}W_{\alpha}|_{\theta \theta}= -2i\lambda \sigma^{\mu}D_{\mu}\bar \lambda -\frac{1}{2}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}+\frac{1}{2}D^2 +i \frac{1}{4}F^{\mu \nu}F^{\rho \sigma}\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma }.$$

Последнее слагаемое представляет собой полную производную, и его можно не включать в лагранжиан. Кинетические слагаемые калибровочных полей лагранжиана принимают вид

$${\cal L}= \frac{1}{4}\!\int\!d^2\theta\,W^{\alpha}W_{\alpha} + \frac{1}{4}\!\int\!d^2\bar \theta \,\bar{W}^{\dot \alpha}\bar W_{\dot \alpha} = \frac{1}{2}D^2 -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} -i \lambda \sigma^{\mu}D_{\mu}\bar \lambda.$$

Чтобы получить калибровочные взаимодействия киральных полей, достаточно изменить их кинетическое слагаемое

$$\Phi_i^\dagger \Phi_i \rightarrow \Phi_i^\dagger e^{gV} \Phi_i.$$

Полный лагранжиан, инвариантный относительно калибровочных преобразований и преобразований суперсимметрии, имеет вид

$${\cal L}_{\rm SUSY~YM} = \frac{1}{4}\int d^2 \theta\,Tr(W^{\alpha}W_{\alpha}) + \frac{1}{4}\int d^2 \bar{\theta}\,Tr(\bar{W}^{\alpha}\bar{W}_{\alpha}) + \\ + \int d^2 \theta d^2 \bar \theta \, \Phi_{ia}^\dagger(e^{gV})_b^a\Phi_i^b+\int d^2 \theta \,{\cal W}(\Phi_i) +\int d^2 \bar{\theta}\,\bar{{\cal W}}({\Phi}_i^\dagger) ,$$

где $${\cal W}$$ — это суперпотенциал, который должен быть инвариантен относительно калибровочной группы теории. Этот лагранжиан можно выразить через компонентные поля, выполнив интегрирования

$${\cal L}_{\rm SUSY~YM} = -\frac{1}{4}F^a_{\mu \nu }F^{a\mu \nu}-i\lambda^a\sigma^\mu D_\mu \bar{\lambda}^a+\frac{1}{2}D^aD^a +$$

$$+(\partial_\mu A_i -igv^a_\mu T^aA_i)^\dagger (\partial_\mu A_i -igv^{a}_\mu T^aA_i) -i\bar{\psi}_i\bar{\sigma}^\mu (\partial_\mu \psi_i -igv^{a}_\mu T^a\psi_i) +$$

$$+gD^aA^\dagger_i T^aA_i-i\sqrt{2}A^\dagger_iT^a\lambda^a\psi_i + i\sqrt{2}\bar{\psi}_iT^aA_i\bar{\lambda}^a+F^\dagger_iF_i +$$

$$+ \frac{\partial {\cal W}}{\partial A_i} F_i+ \frac{\partial \bar{\cal W}}{\partial A_i^\dagger}F^\dagger_i -\frac{1}{2}\frac{\partial^2 {\cal W}}{\partial A_i \partial A_j}\psi_i\psi_j -\frac{1}{2}\frac{\partial^2 \bar{{\cal W}}}{\partial A_i^\dagger \partial A_j^\dagger}\bar{\psi}_i\bar{\psi}_j.$$

От вспомогательных полей Da и Fi можно избавиться с помощью уравнений движения (по аналогии с тем, как поле Fi было устранено ранее) и получить окончательный лагранжиан суперсимметричной теории Янга-Миллса.

Скалярный потенциал

В отличие от стандартной модели, где скалярный потенциал — взаимодействие скалярных полей — можно выбирать произвольно (единственное требование — калибровочная инвариантность), скалярный потенциал $${\cal V}$$ суперсимметричных теорий полностью определяется суперпотенциалом. Он состоит из двух частей, происходящих из D-слагаемых и F-слагаемых.

Выпишем часть лагранжиана, зависящую от поля Da

$${\cal L}_D=\frac{1}{2}D^aD^a + g D^a A^\dag_i T^a A_i.$$

Отсюда легко найти уравнение движения

$$D^a=-g A^\dag_iT^aA_i.$$

Аналогично для части лагранжиана, зависящей от полей Fi

$${\cal L}_F=F^*_iF_i+(\frac{\partial \cal W}{\partial A_i}F_i + {\rm h.c.}),$$

можно найти уравнение движения

$$F^*_i=-\frac{\partial \cal W}{\partial A_i}.$$

Подставив полученные выражения в лагранжиан, получим окончательное выражение для скалярного потенциала суперсимметричных моделей

$${\cal{V}}(A_1, A_2, \ldots, A_1^\dagger, A_2^\dagger, \ldots ) = \left|{\partial {\cal W} \over \partial A_i}\right|^2 + \frac{1}{2} g^2 (A_i^\dagger T^a A_i) (A_j^\dagger T^a A_j).$$

Таким образом, в суперсимметричных теориях нет большой свободы в построении лагранжиана. Можно выбирать только состав полей, калибровочные группы (и соответствующие константы взаимодействий) и суперпотенциал. Этим выбором и будет определен лагранжиан.

Ключевые слова: МССМ | Комментарии (4)
Михаил Гойхман

Открытая струна со смешанными граничными условиями. Решение

10 декабря 2011 года, 20:51

Некоторое время назад я предложил задачу об открытой струне, удовлетворяющей разным граничным условиям на концах. В этом посте я покажу, как можно решить эту задачу.

Введение. Струна и граничные условия

Во-первых, напомню, что открытая струна со свободными (незакрепленными) концами должна удовлетворять граничному условию Неймана на этих концах. Так обычно начинается построение теории бозонной струны во всех учебниках по теории струн. Для напоминания рекомендую прочитать этот пост. Кратко: суть состоит в том, что условие стационарности действия бозонной струны дает волновое уравнение движения, но, кроме того, стационарность действия требует исчезновения граничных членов, получающихся при вариации действия. Граничные члены пропорциональны произведению δXμσXμ, и потому условие Неймана σXμ=0 в сочетании с уравнениями движения обеспечивает стационарность действия бозонной струны. Особенностью такого граничного условия является его Пуанкаре-ковариантность.

Однако альтернативным способом зануления граничных членов является фиксация концов струны. Тогда положение концов струны является данным  внешним условием, так что стационарность струнного действия с положением концов струны никак не связана, и мы имеем δXμ=0. Фиксированные граничные условия — это условия Дирихле. Физически струна прикрепляется к D-бране (D от Дирихле), которая держит конец струны зафиксированным. Такое граничное условие нарушает инварианость по отношениям к трансялциям той координаты, которая закреплена. Наличие D-браны делает такое нарушение физически обоснованным.

В принципе, разумеется, часть полей Xμ может удовлетворять граничному условию Дирихле, в то время как часть — более «стандартным» условиям Неймана. Стандартным — потому что не нужно думать о D-бране, которая бы держала конец струны. В простейшем случае пусть у нас имеется десятимерная струна с координатными полями на мировом листе Xμ(στ), причем поле Xудовлетворят граничному условию Дирихле, а все остальные поля — условию Неймана. Тогда в нашем пространстве-времени есть D8-брана, «перпендикулярная» девятому базисному вектору, и содержащая остальные 8 координат пространства как координаты своего мирового объема (отсюда 8 в обозначении «D8-брана»). Конец струны может свободно перемещаться по мировому объему D8-браны, так что все остальные граничные условия действительно неймановские. Для справки: если девятая координата компактифицирована на окружность, то можно совершить преобразование T-дуальности в этом направлении, при котором граничное условие Дирихле для X9 перейдет в граничное условие Неймана, в то время как все остальные граничные условия (Неймана) останутся нетронутыми, и спектр струны не изменится. Уничтожение граничного условия Дирихле означает, что D8 брана «поглотила» девятое направление (свернулась на этом направлении, wraps compact direction) и «превратилась» в D9-брану с мировым объемом, являющимся всем десятимерным пространством-временем. По-прежнему все открытые струны оканчиваются на бране, но в теперь нет ни одного направления, которое было бы перпендикулярно бране, и потому ни в каких направлениях нет граничного условия Дирихле.

Разложение по модам для открытой струны с разными типами граничных условий

Пусть (στ) есть координаты, параметризующие мировую поверхность струны, где σ периодична с периодом 2π. Совершим переход к евклидовому времени с помощью виковского поворота: τ → −, и представим мировую поверхность открытой струны как комплексную плоскость, параметризуя ее координатами $$(z,\bar{z})$$, определенными формулой

$$z=e^{\tau+i\sigma}$$.

Пусть открытая струна удовлетворяет граничным условиям Неймана на обоих концах, что мы будем обозначать как NN. Тогда разложение по модам для бозонного поля на мировой поверхности, являющегося координатой вложения струны в пространство-время, дается выражением

$$NN:\quad\quad~X^\mu(\sigma,\tau)=x^\mu+2\alpha'p^\mu\tau+i\sqrt{2\alpha'}\sum_{n\ne0}\frac{1}{n}\alpha_\mu^{~n}e^{-in\tau}\cos n\sigma.$$

После Виковского поворота и перехода к комплексным координатам это выражение принимает вид

$$NN:\quad\quad~X^\mu(z,\bar{z})=x^\mu -i\alpha'p^\mu\ln z\bar{z}+i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{n\ne 0}\frac{1}{n}\alpha_\mu^{n}(z^{-n}+\bar{z}^{-n}).$$

Производная по координате на мировой поверхности связана с производными по (голоморфным и антиголоморфным) комплексным координатам формулой

$$\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}=i(z\partial X^\mu-\bar{z}\bar\partial X^\mu),$$

так что легко убедиться, что NN выражение действительно удовлетворяет условиям Неймана на обоих концах.

Дальше мы просто обобщаем этот результат на другие виды граничных условий. Постольку поскольку открытая струна вообще говоря ориентирована (имеет заряды унитарной калибровочной группы противоположных знаков на разных концах, хотя суперструны типа I неориентированны, ибо калибровочная группа необходимо должна быть SO(32) — вещественная), то граничные условия DN (условие Неймана на конце σ = π и отсутствие осцилляций, выражающее условие Дирихле, на конце σ = 0) и ND (наоборот) вообще говоря разные, хотя в конечное выражение для нулевой энергии будет входить сумма ν числа граничных условий DN+ND:

$$DN:\quad\quad X^\mu(z,\bar{z})=i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{r\in Z+1/2}\frac{1}{n}\frac{\alpha_\mu^r}{r}(z^{-r}-\bar{z}^{-r})\,,$$

$$ND:\quad\quad X^\mu(z,\bar{z})=i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{r\in Z+1/2}\frac{1}{n}\frac{\alpha_\mu^r}{r}(z^{-r}+\bar{z}^{-r})\,.$$

Если оба конца удовлетворяют условию Дирихле, то решение волнового уравнения для струны дается выражением:

$$DD:\quad\quad X^\mu(z,\bar{z})=-i\frac{\delta X^\mu}{2\pi}\ln(z/\bar{z})+i\sqrt{\frac{\alpha'}{2}}\sum_{n\ne 0}\frac{1}{n}\alpha_\mu^{~n}(z^{-n}+\bar{z}^{-n})\,.$$

Далее, имеются разложения по модам для фермионных полей из R сектора и NS сектора, которые я приводить не буду. Для целей данной задачи имеет смысл помнить о следующих вещах. В RNS суперструне у нас есть 10 двухкомпонентных фермионов на мировой поверхности. Каждая из двух компонент соответствует одной из двух киральностей d=2 спинора, и рассматривается как независимое фермионное поле на мировой поверхности. Уравнение движения для каждого из этих полей есть приведенная форма уравнения Дирака. Помимо уравнений движения необходимо наложить граничные условия, чтобы RNS действие было стационарным. Оказывается, что эти граничные условия связывают фермионные поля противоположных киральностей на концах струны. Существует два типа граничных условий. В первом случае, R секторе RNS суперструны,  граничные условия одинаковы на обоих концах. Во втором случае, NS секторе, граничные условия имеют противоположный знак. Как обычно, граничные условия определяют то, по каким типам мод раскладывается решение уравнения движения. Как объясняется, например, в параграфе 4.4 (стр. 122-123) рекомендуемой книги K. Becker, M. Becker, J.H. Schwarz String theory and M theory (BBS), для R сектора моды целые, а для NS сектора — полуцелые.

Нулевая энергия

Нулевая энергия возникает как константа нормального упорядочивания в выражении для L0 коэффициента ряда Лорана

$$T(z)=-\frac{2}{\alpha'}\,\partial X\cdot\partial  X=\sum_n\frac{L_n}{z^{n+2}},\quad\tilde{T}(\bar{z})=-\frac{2}{\alpha'}\,\bar\partial X\cdot\bar\partial X=\sum_n\frac{\tilde{L}_n}{{\bar{z}}^{n+2}}$$

для тензора энергии-импульса (ТЭИ). В случае суперструны в ТЭИ дают вклад как бозонные поля — координаты вложения, так и фермионные поля — спиноры в D = 10 измерениях в формализме Грина-Шварца, или D спиноров на d = 2 мерном мировом листе в RNS формализме. Будем работать в RNS формализме. Удобно то, что для того, чтобы посчитать нулевую энергию, нужно знать полевой состав, и какие поля раскладываются по целым модам, а какие по полуцелым. Зная нулевую энергию для каждого типа моды можно посчитать нулевую энергию всей системы.

По целым модам раскладываются фермионы из R сектора, а также NN и DD бозоны. Фермионы из NS сектора, и ND, DN бозоны раскладываются по полуцелым модам. 

Регуляризация бесконечных сумм

Чтобы продолжить с вычислением нулевой энергии, нужно знать, как регуляризовать бесконечные расходящиеся суммы. Выше мы уже отметили, что нулевая энергия возникает когда мы выполняем нормальное упорядочивание в выражении для L0. Схематически, это выглядит как

$$L_0\sim\sum_n\alpha_{-n}\alpha_n\,,$$

причем αn с положительным n есть оператор рождения струнной моды, а с отрицательным — уничтожения. Нормальное упорядочивание подразумевает, что все операторы рождения должны стоять слева от операторов рождения, так что естественно, что при всех отрицательных n в сумме, нам нужно переставить операторы αn и  αn. В квантовой теории коммутатор этих двух операторов равен n, так что мы автоматически получаем бесконечную сумму, равную ζ(−1), где ζ-функция Римана дается выражением

$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty~n^{-s}\,.$$

Регуляризованное выражение для нее есть

$$\zeta (-1)=-\frac{1}{12}\,.$$

Далее, введем сумму четных чисел

$$S_{even}=\sum _{n=0}^\infty 2n=2\zeta (-1)=-\frac{1}{6}\,,$$

которая позволяет посчитать сумму нечетных чисел

$$S_{odd}=\sum _{n=0}^\infty (2n+1)=\zeta (-1)-S_{odd}=\frac{1}{12}\,.$$

Вычисление нулевой энергии

Сумма нечетных чисел полезна, когда мы считаем вклад полуцелых мод в нулевую энергию

$$a_{bos\,ND,\,DN}=-\frac{1}{2}\sum _{r\in Z+\frac{1}{2},\,r>0}r=-\frac{1}{4}S_{odd}=-\frac{1}{48}\,.$$

Из выражения для ζ(−1) мы заключаем, что каждая NN бозонная мода дает вклад 1/24 в нулевую энергию, и, ясно, что то же самое верно для DD бозонов. Также известно, что NS фермионы в NN и DD направлениях дают вклад 1/48, как в полностью NN теории (см. стр. 134 BBS), а R фермионы дают вклад −1/24.

Вспоминим, что требование суперсимметрии налагает условие нулевой энергии в R секторе всегда. Например, если все бозонные поля удовлетворяют NN граничным условия, то тогда нулевая энергия, равная сумме вкладов восьми (D − 2 = 8) бозонов и восьми фермионов, в R секторе равна $$\inline 8\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{24}\right)=0$$. Заметим, однако, что если в каком то направлении бозонное поле удовлетворяет ND или DN граничным условиям, то каждая бозонная мода дает вклад в нулевую энергию −1/48, как мы нашли выше, считая регуляризованную сумму нечетых чисел. Поэтому, чтобы в R секторе нулевая энергия по-прежнему равнялась нулю, необходимо, чтобы каждый R фермион в ND или DN направлении имел нулевую энергию 1/48, как NS фермион. Таким образом, в ND и DN направлениях R фермионы определяются (разложением по модам, или, эквивалентно, соотношением между граничными условиями на обоих концах) как NS фермионы в NN и DD направлениях. Для сохранения состава бозонных и фермионных степеней свободы необходимо также сделать противоположную вещь: определить NS фермионы в ND и DN направлениях как R фермионы в NN и DD направлениях.

Суммируя последний запутанный абзац, получаем, что  NS фермионы в DN, ND направлениях дают вклад −1/24 в нулевую энергию, в то время как R фермионы дают вклад 1/48. Тогда нулевая энергия в NS секторе дается выражением

$$a_{NS}=(8-\nu)\left(\frac{1}{24}+\frac{1}{48}\right)+\nu\left(-\frac{1}{48}-\frac{1}{24}\right)\,.$$

Иными словами, массовая формула для струнных возбуждений в NS секторе есть

$$\alpha 'M^2=\text{oscillators}+\frac{\nu}{8}-\frac{1}{2}\,.$$

Об актуальности этой задачи

Задача о нулевой энергии открытой струны важна в силу следующей простой причины. Всякая (правильная) теория поля, описывающая какие бы то ни было поля материи или калибровочные поля, является эффективной теорией для мод колебаний струны. Струна сама по себе имеет, как мы знаем, бесконечно много осцилляторных состояний, но расстояние между этими состояниями по энергетической шкале очень велико, поэтому как правило все сводится к тому, чтобы взять низшее колебательное состояние струны и построить эффективную теорию для него. Низшее состояние имеет энергию, равную нулевой энергии, вычислением которой мы занимались в этой задаче. Так что нужно позаботиться о том, чтобы это низшее состояние было «хорошим». Во-первых, лучше, чтобы оно не было тахионным, т.е. чтобы нулевая энергия была неотрицательной. Во-вторых, фермионный сектор (R сектор) всегда имеет нулевую энергию, равную нулю, так что эффективная теория всегда содержит безмассовые фермионы. Если мы хотим, чтобы теория была суперсимметричной, нулевая энергия в бозонном секторе тоже должна быть равна нулю. Если же мы хотим «отодвинуть» все бозоны в область высших энергий, желая получить из теории струн низкоэнергетическую теорию поля только для фермионов, тогда мы должны устроить все так, чтобы нулевая энергия бозонного сектора была положительной.

Альтернативно, суперсимметричность построенной конфигурации D бран может изучаться прямо с помощью выражения для супергенераторов, сохраняемых каждой конкретной D браной. Мы это обсуждали здесь, здесь и здесь.

Ключевые слова: задачи, открытая струна | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Решения задач из учебника K. Becker, M. Becker, J.H. Schwarz, String theory and M theory

11 декабря 2011 года, 18:20

Если вы инетересуетесь теорией струн, то вам может оказаться полезным следующий файл с решениями 154 задач из учебника String theory and M theory по теории струн (pdf, 729 Кб). Наслаждайтесь ;)

Ключевые слова: задачи | Оставить комментарий
Роман Парпалак

Поиски бозона Хиггса на LHC

13 декабря 2011 года, 20:01

Сегодня в ЦЕРНе состоялся доклад коллабораций ATLAS и CMS, на котором были представлены предварительные результаты обработки данных, набранных в 2011 году. CMS уже исключил хиггсовский бозон стандартной модели в диапазоне масс от 128 до 600 ГэВ. С учетом ограничений, полученных на LEP, разрешенным является диапазон от 115 до 128 ГэВ. Он сейчас не закрыт из-за избытка событий, наблюдающегося в нескольких каналах.

 

Именно там, на энергии в 126 ГэВ, ATLAS наблюдает пик в одном из возможных каналов распада (локально 3,6σ, глобально 2,3σ).

Если бозон Хиггса действительно существует, он должен проявляться в данных именно так. Но в то же время подобное превышение может оказаться случайным выбросом фоновых событий. Для полноценного открытия нужно превышение сигнала над ошибками в 5σ.

Доклад завершился словами о том, что хиггсовский бозон пока и не открыт, и не исключен.

Ключевые слова: LHC, эксперимент | Оставить комментарий

← сюда туда →