Заметки о теоретической физике → 2011 → 11 → 07
Роман Парпалак

Введение в МССМ

7 ноября 2011 года, 18:18

Суперсимметрия

Суперсимметрия — симметрия между бозонами и фермионами. Идея суперсимметрии была предложена около 40 лет назад в работах Гольфанда и Лихтмана, Волкова и Акулова, а также Весса и Зумино. За это время были написаны тысячи статей, суперсимметризации были подвергнуты все модели квантовой теории поля, был разработан новый математический аппарат, позволяющий работать с грассмановыми (антикоммутирующими) переменными. Причина такой активности заключается в особой математической природе суперсимметрии, позволяющей, например, решить ряд проблем стандартной модели.

Поиски различных проявлений суперсимметрии являлись одной из главных задач многочисленных экспериментов на коллайдерах и в неускорительных экспериментах на протяжении нескольких десятилетий. К сожалению, результат пока отрицательный, в том числе и на LHC. Тем не менее, различные суперсимметричные модели активно исследуются: исключаются модели, в которых новые частицы уже могли быть обнаружены. Также вкладом суперсимметрии пытаются объяснить расхождения некоторых экспериментальных данных и теоретических предсказаний стандартной модели.

Супералгебра

По теореме Коулмана — Мандулы группа Пуанкаре является наиболее общей группой пространственных симметрий квантовых теорий поля с нетривиальной S-матрицей. Однако алгебру Пуанкаре можно расширить, добавляя новые генераторы Qi, подчиняющиеся не коммутационным, а антикоммутационным соотношениям. В результате получается супералгебра.

Определение супресимметричных операторов Qi заключается в требовании выполнения следующих антикоммутационных соотношений

$$\{ {Q_\alpha^i,\bar{Q}_{\dot{\beta}}^j} \}= 2\delta^{ij}\sigma_{\alpha \dot{\beta}}^\mu P_\mu.$$

Оператор Q — фермионный. Он переводит фермионы в бозоны и наоборот

$$Q\vert boson\rangle=\vert fermion\rangle,\quad Q\vert fermion\rangle =\vert boson\rangle .$$

Если суперсимметрия является точной симметрией лагранжиана, то оператор Q, очевидно, коммутирует с операторами энергии и импульса:

$$[Q_\alpha^i, P_\mu]=0.$$

О простейшем случае, когда имеется один суперсимметричный оператор Qi, говорят как о N = 1 суперсимметрии. Если N > 1, это расширенная суперсимметрия. Чтобы понять, каким может быть N, рассмотрим так называемые супермультиплеты.

Супермультиплеты

Пусть имеется безмассовое состояние $$\vert E,\lambda \rangle$$ с энергией E и спиральностью λ, которое зануляется при действии оператора Qi

$$Q^{i}\vert E, \lambda \rangle=0.$$

Действуя на это состояние сопряженными операторами, мы можем получить остальные состояния в мультиплете:

  • $$\bar{Q}^{i}\vert E, \lambda \rangle= \vert E, \lambda+1/2 \rangle_i$$ (N состояний),
  • $$\bar{Q}^{i}\bar{Q}^{j}\vert E, \lambda \rangle= \vert E, \lambda+1 \rangle_{ij}$$ (N(N−1)/2 состояний),
  • ...
  • $$\bar{Q}^{1}\bar{Q}^{2}\ldots\bar{Q}^{N}\vert E, \lambda \rangle= \vert E, \lambda+N/2 \rangle$$ (одно состояние).

Количество состояний на каждом этапе определяется биномиальными коэффициентами. Это легко понять, если учесть, что все операторы, действующие на состояние, в силу антикоммутации должны быть различными. Количество бозонных состояний совпадает с количеством фермионных состояний и равно 2N−1, а общее количество состояний есть 2N.

Кроме того, энергия каждого состояния одинакова, потому что Qi коммутирует с оператором четырехимпульса.

Если мы собираемся строить теорию, инвариантную относительно CPT-преобразований, нужно учесть, что преобразование пространственной четности меняет знак спиральности. Таким образом, к перечисленным выше состояниям необходимо добавлять состояния с противоположной спиральностью.

Рассмотрим простейший пример = 1, λ = 0. Тогда имеется 2 состояния (λ = 0 и λ = ½). После учета противоположной спиральности получается по одному состоянию со спиральностью ±½ и два состояния со спиральностью 0, что соответствует одному комплексному скаляру и одному фермиону с двумя состояниями спиральности.

Рассмотрим пример посложнее (SUSY YM) = 4, λ = −1. В таком мультиплете есть состояния со следующими спиральностями:

  • λ = −1 — одно состояние,
  • λ = −½ — четыре состояния,
  • λ = 0 — шесть состояний,
  • λ = ½ — четыре состояния,
  • λ = 1 — одно состояние.

Ясно, что максимальный спин S в мультиплете ограничен снизу: N ≤ 4S. Если мы хотим рассматривать перенормируемые теории, спин частиц не должен превышать 1, тогда N ≤ 4. В теориях супергравитации спин не должен превышать 2, поэтому для них N ≤ 8.

Идея МССМ

Как мы убедились выше, в суперсимметричных теориях возникают вырожденные по всем квантовым числам (кроме спина) 2N частиц. В природе такого не наблюдается. Поэтому в физике элементарных частиц применяется простейшая суперсимметрия = 1.

Поскольку в стандартной модели нет частиц с одинаковыми квантовыми числами, но разным спином, в МССМ (минимальной суперсимметричной стандартной модели) каждая частица приобретает суперпартнера — частицу с такими же квантовыми числами и спином, отличающимся на ½.

Для построения МССМ достаточно всего двух мультиплетов: рассмотренного выше кирального мультиплета (с физическими состояниями, обладающими спином 0 и ½) и векторного мультиплета (с физическими состояниями, обладающими спином ½ и 1). Это обусловлено тем, что в стандартной модели нет частиц со спином, превышающим 1.

Важным свойством МССМ является нарушение суперсимметрии. Если бы такого нарушения не было, суперпартнеры были бы вырождены по массе с обычными частицами. Однако новые частицы с массами известных частиц стандартной модели никогда не наблюдались.

В следующий раз мы рассмотрим преимущества МССМ по сравнению со стандартной моделью.

Ключевые слова: МССМ

Комментарии

#1. 9 ноября 2011 года, 02:43. Михаил Гойхман пишет:
Круто. :) Буду ждать продолжения про МССМ. ;)
#2. 10 ноября 2011 года, 00:14. пишет:
Вот продолжение: http://susy.written.ru/2011/11/10/MSSM_motivation

А вообще про МССМ можно написать много постов :)

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 61+2?