Заметки о теоретической физике → 2011 → 11
Роман Парпалак

Введение в МССМ

7 ноября 2011 года, 18:18

Суперсимметрия

Суперсимметрия — симметрия между бозонами и фермионами. Идея суперсимметрии была предложена около 40 лет назад в работах Гольфанда и Лихтмана, Волкова и Акулова, а также Весса и Зумино. За это время были написаны тысячи статей, суперсимметризации были подвергнуты все модели квантовой теории поля, был разработан новый математический аппарат, позволяющий работать с грассмановыми (антикоммутирующими) переменными. Причина такой активности заключается в особой математической природе суперсимметрии, позволяющей, например, решить ряд проблем стандартной модели.

Поиски различных проявлений суперсимметрии являлись одной из главных задач многочисленных экспериментов на коллайдерах и в неускорительных экспериментах на протяжении нескольких десятилетий. К сожалению, результат пока отрицательный, в том числе и на LHC. Тем не менее, различные суперсимметричные модели активно исследуются: исключаются модели, в которых новые частицы уже могли быть обнаружены. Также вкладом суперсимметрии пытаются объяснить расхождения некоторых экспериментальных данных и теоретических предсказаний стандартной модели.

Супералгебра

По теореме Коулмана — Мандулы группа Пуанкаре является наиболее общей группой пространственных симметрий квантовых теорий поля с нетривиальной S-матрицей. Однако алгебру Пуанкаре можно расширить, добавляя новые генераторы Qi, подчиняющиеся не коммутационным, а антикоммутационным соотношениям. В результате получается супералгебра.

Определение супресимметричных операторов Qi заключается в требовании выполнения следующих антикоммутационных соотношений

$$\{ {Q_\alpha^i,\bar{Q}_{\dot{\beta}}^j} \}= 2\delta^{ij}\sigma_{\alpha \dot{\beta}}^\mu P_\mu.$$

Оператор Q — фермионный. Он переводит фермионы в бозоны и наоборот

$$Q\vert boson\rangle=\vert fermion\rangle,\quad Q\vert fermion\rangle =\vert boson\rangle .$$

Если суперсимметрия является точной симметрией лагранжиана, то оператор Q, очевидно, коммутирует с операторами энергии и импульса:

$$[Q_\alpha^i, P_\mu]=0.$$

О простейшем случае, когда имеется один суперсимметричный оператор Qi, говорят как о N = 1 суперсимметрии. Если N > 1, это расширенная суперсимметрия. Чтобы понять, каким может быть N, рассмотрим так называемые супермультиплеты.

Супермультиплеты

Пусть имеется безмассовое состояние $$\vert E,\lambda \rangle$$ с энергией E и спиральностью λ, которое зануляется при действии оператора Qi

$$Q^{i}\vert E, \lambda \rangle=0.$$

Действуя на это состояние сопряженными операторами, мы можем получить остальные состояния в мультиплете:

  • $$\bar{Q}^{i}\vert E, \lambda \rangle= \vert E, \lambda+1/2 \rangle_i$$ (N состояний),
  • $$\bar{Q}^{i}\bar{Q}^{j}\vert E, \lambda \rangle= \vert E, \lambda+1 \rangle_{ij}$$ (N(N−1)/2 состояний),
  • ...
  • $$\bar{Q}^{1}\bar{Q}^{2}\ldots\bar{Q}^{N}\vert E, \lambda \rangle= \vert E, \lambda+N/2 \rangle$$ (одно состояние).

Количество состояний на каждом этапе определяется биномиальными коэффициентами. Это легко понять, если учесть, что все операторы, действующие на состояние, в силу антикоммутации должны быть различными. Количество бозонных состояний совпадает с количеством фермионных состояний и равно 2N−1, а общее количество состояний есть 2N.

Кроме того, энергия каждого состояния одинакова, потому что Qi коммутирует с оператором четырехимпульса.

Если мы собираемся строить теорию, инвариантную относительно CPT-преобразований, нужно учесть, что преобразование пространственной четности меняет знак спиральности. Таким образом, к перечисленным выше состояниям необходимо добавлять состояния с противоположной спиральностью.

Рассмотрим простейший пример = 1, λ = 0. Тогда имеется 2 состояния (λ = 0 и λ = ½). После учета противоположной спиральности получается по одному состоянию со спиральностью ±½ и два состояния со спиральностью 0, что соответствует одному комплексному скаляру и одному фермиону с двумя состояниями спиральности.

Рассмотрим пример посложнее (SUSY YM) = 4, λ = −1. В таком мультиплете есть состояния со следующими спиральностями:

  • λ = −1 — одно состояние,
  • λ = −½ — четыре состояния,
  • λ = 0 — шесть состояний,
  • λ = ½ — четыре состояния,
  • λ = 1 — одно состояние.

Ясно, что максимальный спин S в мультиплете ограничен снизу: N ≤ 4S. Если мы хотим рассматривать перенормируемые теории, спин частиц не должен превышать 1, тогда N ≤ 4. В теориях супергравитации спин не должен превышать 2, поэтому для них N ≤ 8.

Идея МССМ

Как мы убедились выше, в суперсимметричных теориях возникают вырожденные по всем квантовым числам (кроме спина) 2N частиц. В природе такого не наблюдается. Поэтому в физике элементарных частиц применяется простейшая суперсимметрия = 1.

Поскольку в стандартной модели нет частиц с одинаковыми квантовыми числами, но разным спином, в МССМ (минимальной суперсимметричной стандартной модели) каждая частица приобретает суперпартнера — частицу с такими же квантовыми числами и спином, отличающимся на ½.

Для построения МССМ достаточно всего двух мультиплетов: рассмотренного выше кирального мультиплета (с физическими состояниями, обладающими спином 0 и ½) и векторного мультиплета (с физическими состояниями, обладающими спином ½ и 1). Это обусловлено тем, что в стандартной модели нет частиц со спином, превышающим 1.

Важным свойством МССМ является нарушение суперсимметрии. Если бы такого нарушения не было, суперпартнеры были бы вырождены по массе с обычными частицами. Однако новые частицы с массами известных частиц стандартной модели никогда не наблюдались.

В следующий раз мы рассмотрим преимущества МССМ по сравнению со стандартной моделью.

Ключевые слова: МССМ | Комментарии (2)
Роман Парпалак

Преимущества МССМ

10 ноября 2011 года, 00:02

Стандартная модель фундаментальных взаимодействий в силу определенных теоретических причин не может быть окончательной физической теорией. По сравнению с ней МССМ обладает рядом преимуществ и является более предпочтительной. Сейчас мы рассмотрим главные аргументы в пользу суперсимметричного расширения стандартной модели.

Объединение калибровочных констант связи

Согласно гипотезе великого объединения взаимодействий калибровочная симметрия возрастает с энергией. Все известные взаимодействия являются различными ветвями единого взаимодействия, связанного с простой калибровочной группой, включающей в себя группу стандартной модели. Объединение (или расщепление) происходит при высоких энергиях (1015 — 1016 ГэВ).

Хотя в пользу этой гипотезы свидетельств практически нет, уже сейчас можно проверить, приближаются ли друг к другу константы калибровочных взаимодействий стандартной модели с ростом энергии. Их изменение описывается уравнениями ренормгруппы. В однопетлевом приближении

$$\frac{1}{\alpha_i(Q^2)}= \frac{1}{\alpha_i(\mu^2)}- b_i \ln \frac{Q^2}{\mu^2},$$

где индекс i пробегает группы U(1), SU(2) и SU(3), а коэффициенты bi в рамках стандартной модели равны (41/10, −19/6, −7). Константы калибровочных взаимодействий на масштабе энергии нарушения электрослабой симметрии (100 ГэВ) известны с достаточной точностью для решения этих уравнений.

Результат изображен на рисунке. Видно, что в стандартной модели объединение констант связи невозможно. А в минимальном суперсимметричном расширении стандартной модели другие коэффициенты bi = (33/5, 1, −3), и в ней действительно происходит объединение калибровочных констант: существует такой масштаб ∼ 1016 ГэВ, на котором константы принимают одинаковые значения.

Объединение с гравитацией

Вероятно, это самый главный аргумент в пользу суперсимметрии в рамках объединительной парадигмы — идеи объединения всех сил природы в одну. Дело в том, что эта идея сталкивается с определенной трудностью. Переносчик гравитационного взаимодействия, гравитон, имеет спин 2, в то время как спин переносчиков остальных взаимодействий (фотон, W- и Z-бозоны, глюоны) равен 1. Следовательно, они лежат в разных представлениях группы Пуанкаре. Чтобы их перемешать, можно воспользоваться преобразованием суперсимметрии. Это преобразование уменьшает спин частицы на ½ и, следовательно, может перемешивать частицы с разными спинами.

С другой стороны, в суперсимметричных моделях комбинация двух локальных преобразований суперсимметрии приводит к локальной трансляции координат. В итоге мы получаем теорию, инвариантную относительно локальных координатных преобразований, то есть теорию гравитации.

Стоит отметить, что этот аргумент касается не столько МССМ, сколько других суперсимметричных моделей: в МССМ как в минимальном расширении стандартной модели нет гравитона (спин 2) и его суперпартнера гравитино (спин 3/2).

Решение проблемы иерархий

Несмотря на огромные успехи cтандартной модели в объяснении экспериментальных данных, она не может описывать все явления природы, хотя бы из-за того, что не включает гравитацию. Следовательно, начиная с некоторой энергии работает другая, более общая теория. Однако появление двух различных масштабов энергии в теориях великого объединения, а именно MEW ≪ MGUT, MEW ≈ 102 ГэВ, MGUT ≈ 1016 ГэВ, приводит к серьезной проблеме, называемой «проблемой иерархий».

Во-первых, это само существование иерархии — отличающихся на столько порядков масштабов энергий в рамках одной теории. Во-вторых, сохранение существующей иерархии при учете радиационных поправок. Поправки к квадратичному (массовому) слагаемому $$\phi^{}2$$ хиггсовского поля, возникающие из-за самодействия $$\phi^4$$ и пропорциональные MGUT2, разрушают иерархию, если только они не сокращаются.

Единственным способом получения такого сокращения квадратичных массовых членов (также известного как сокращение квадратичных расходимостей) является суперсимметрия. Более того, суперсимметрия автоматически сокращает все квадратичные поправки во всех порядках теории возмущений благодаря вкладам суперпартнеров обычных частиц. Вклады бозонных петель сокращаются со вкладами фермионных в силу наличия дополнительного множителя (−1), следующего из ферми-статистики.

Радиационное нарушение электрослабой симметрии

Как известно, в стандартной модели электрослабая симметрия разрушается за счет механизма Хиггса, когда специально введенное в теорию скалярное поле выпадает в конденсат, нарушающий симметрию. При этом важен потенциал хиггсовского поля. В стандартной модели он выбирается так, чтобы его минимум соответствовал ненулевому значению поля. В суперсимметричном случае потенциал больше не является произвольным. Его вид фиксирован суперсимметрией. При определенных обстоятельствах этот потенциал может иметь нетривиальный минимум.

Более того, разрушение электрослабой симметрии за счет радиационных поправок позволяет объяснить само существование иерархии. Если начинать решения уравнений ренормгруппы на масштабе великого объединения и идти в область меньших энергий, нужно пройти много порядков, прежде чем коэффициент перед квадратичным (массовым) слагаемым хиггсовского поля сменит знак.

Природа темной материи

Видимая (светящаяся) материя составляет не всю материю во Вселенной. Значительное количество материи составляет так называемая темная материя. Прямым указанием на существование темной материи являются кривые вращения спиральных галактик. Для объяснения этих кривых обычно предполагают существование галактического гало, состоящего из несветящейся материи, которая участвует в гравитационном взаимодействии.

Согласно данным WMAP, материя во Вселенной распределена следующим образом: 73% приходится на темную энергию, 23% на темную материю и 4% на обычную барионную материю. Темная материя составляет значительную часть, превосходящую во много раз долю видимой материи, которая составляет всего лишь десятую часть от барионной материи.

Рассматриваются различные варианты небарионной темной материи: горячая, состоящая из легких релятивистских частиц, и холодная, состоящая из массивных слабовзаимодействующих частиц (WIMPs — Weakly Interacting Massive Particles).

Горячая темная материя могла бы состоять из нейтрино, но это проблематично с точки зрения механизма образования галактик. Кроме того, нейтрино слишком легки для образования достаточного количества темной материи.

Что касается холодной темной материи, то в стандартной модели нет подходящей для этой цели частицы. В то же время в некоторых суперсимметричных моделях, в частности, в МССМ, есть прекрасный кандидат на роль холодной темной материи — нейтралино — легчайшая суперсимметричная частица. Она стабильна, так что реликтовые нейтралино могли бы сохраниться во Вселенной со времен большого взрыва.

В следующий раз я напишу подробнее о математическом аппарате МССМ.

Ключевые слова: МССМ | Комментарии (17)

← сюда туда →