Заметки о теоретической физике → 2011 → 09 → 02
Степан Сидоров

Сигма-модели: начало

2 сентября 2011 года, 01:17

Впервые сигма-модель была введена Гелл-Манном и Леви в работе «The axial vector current in beta decay», Nuovo Cimento 16, 705. В этой работе рассматривались три скалярных пионных поля πa с лагранжианом

$$ {\cal L}=-\frac{1}{2}g_{ab}(\pi^{c})\partial_{\mu}\pi^{a}\partial^{\mu}\pi^{b},$$

где gab(πc) — это метрика на сфере S3 = SO(4)/SO(3),

$$g_{ab}(\pi^c)=\delta_{ab}-\frac{\pi_a\pi_b}{f^2-\overrightarrow{\pi}\cdot\overrightarrow{\pi}}\,.$$

Сначала был введён лагранжиан следующего вида:

$${\cal L}=-\frac{1}{2}\left[(\partial \overrightarrow{\pi})^2+(\partial\sigma^\prime)^2\right]+ g\left[(\overrightarrow{\pi})^2 + {\sigma^{\prime}}^2\right]\,.$$

Потом было введено ограничение для сохранения инвариантности лагранжиана при четырехмерных поворотах (πx, πy, πz, σ′):

$$(\overrightarrow{\pi})^2 + {\sigma^{\prime}}^2 = f^2\,.$$

Это есть уравнение сферы S3 с радиусом f, то есть эти скалярные поля описывают сферу. Потом, использовав уравнение сферы, скалярное поле σ′ исключили из лагранжиана. Получили при этом соответствующий лагранжиан (константа опущена).

Из этого примера видно, как обобщить сигма-модели на другие Римановы многообразия или супермногообразия $${\cal M}$$. Рассматриваем скалярные поля $$\phi^a$$ как отображение из пространства-времени в $${\cal M}$$,

$$\phi^a : spacetime\rightarrow {\cal M}.$$

Лагранжиан имеет вид

$${\cal L}=-\frac{1}{2}g_{ab}(\phi^{c})\partial_{\mu}\phi^{a}\partial^{\mu}\phi^{b},$$

где $$g_{ab}(\phi^{c})$$ это метрика на пространстве-отображения $${\cal M}$$. Скалярные поля можно принять как локальные координаты на пространстве-отображения $${\cal M}$$ с метрикой

$$ds^2=g_{ab}\,d\phi^{a}d\phi^{b}.$$

Заметим, что лагранжиан состоит из векторов $$\partial_{\mu}\phi^{a}$$ на касательном пространстве многообразия $${\cal M}$$. Лагранжиан построен из геометрических объектов, и преобразуется как скаляр при преобразованиях координат на $${\cal M}$$. Соответствующее действие для двумерной нелинейной сигма-модели (NLSM)

$$S=-\frac{1}{2} \int\,d^2 x \,g_{ab}(\phi^{c})\partial_{\mu}\phi^{a}\partial^{\mu}\phi^{b},$$

Уравнения движения находим из инвариантности действия,

$$\delta S=0 \rightarrow \partial_{\mu} \partial_{\mu} \phi^c +\Gamma_{a b}^{c}\partial_{\mu}\phi^a \partial_{\mu} \phi^b =0 \,,$$

где

$$\Gamma_{a b}^{c} = \frac{1}{2} g^{c d}\left(\frac{\partial g_{d a}}{\partial \phi^b } + \frac{\partial g_{d b}}{\partial \phi^a }-\frac{\partial g_{a b}}{\partial \phi^d }\right)$$

символы Кристоффеля. Это уравнение есть обобщение уравнения геодезической.

Ключевые слова: геометрия

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 16+8?