Заметки о теоретической физике → 2011 → 08 → 07
Михаил Гойхман

Нулевая энергия открытой струны со смешанными граничными условиями

7 августа 2011 года, 13:28

Рассмотрим открытую RNS суперструну с бозонными координатами $$X^\mu~(\sigma,\tau)$$ пространства вложения и фермионными полями $$\psi~^\mu~(\tau,\sigma)$$ на мировой поверхности суперструны. В обычном RNS формализме бозонные поля удовлетворяют граничным условиям Неймана на обоих концах, т.е. $$\partial~_\sigma~X^\mu~|_{\sigma=0,\pi}=0$$ (и потому раскладываются по целым модам), а фермионные поля удовлетворяют двум типам граничных условий. Первый – это $$\psi~^+|_\pi=-\psi~^-|_\pi$$, второй – это $$\psi~^+|_\pi=+\psi~^-|_\pi$$.  Соответственно в первом случае строится NS сектор RNS суперструны, в котором фермионные поля раскладываются по полуцелым модам, а во втором случае  -R сектор, в котором фермионы раскладываются по целым модам.

Можно рассматривать бозонные поля с граничными условиями Дирихле на обоих концах (т.е. оба конца закреплены). В этом случае бозонные моды тоже целые. Можно рассматривать смешанные граничные условия – DN или ND. В этом случае моды полуцелые.

Инвариантность действия суперструны по отношению к трансляциям мирового времени приводит к сохранению Гамильтониана. Гамильтониан является нулевой компонентой L0 разложения тензора энергии-импульса в ряд Лорана: $$\inline T(z,\bar z)=\sum _nL_n\left(\frac{1}{z^{n+2}}+\frac{1}{\bar z^{n+2}}\right)$$. Мы подставляем разложение бозонных и фермионных полей по модам в определение ТЭИ и получаем выражение для L0 как бесконечную сумму произведений операторов рождения и уничтожения возбуждений бозонных и фермионных полей. Они должны быть нормально упорядочены и после этого приравнены к нулю – как условие инвариантности по отношению к трансляциям для физических квантовых состояний струны. Посмотрите (4.103) и (4.109) (учебника Becker, Becker, Schwarz String theory and M theory), где фигурирует константа нормального упорядочивания aNS = 1/2 для NS сектора, в то время как для R сектора она равна нулю (последнее является также следствием того, что состояние суперсимметрично и потому аннигилируется модами Лорана для супертока, в тов время как нулевая мода в квадрате дает как раз нулевую моду Лорана для ТЭИ - см. BBS самый низ страницы 127). Цитируемые формулы записаны как массовые формулы для колебаний струны с Неймановскими граничными условиями. Поэтому константа упорядочивания aNS является энергией нулевых возбуждений (регуляризованной, в отличии от бесконечности в случае гармонического осциллятора). Про регуляризацию бесконечных  сумм можно почитать на сайте Любоша Мотла.

Задача

Пусть открытая RNS суперструна имеет n координат, удовлетворяющих смешанным граничным условиям на концах. Выведите энергию нулевых возбуждений NS сектора в этом случае (для R сектора она по-прежнему равна нулю). Учтите требование суперсимметрии для некоторых подобных возбуждений (не всех, ибо не все конфигурации  D-бран, обеспечивающих такие граничные условия, сохраняют хотя бы часть суперсимметрии).

Ключевые слова: задачи, открытая струна

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 15+8?