Заметки о теоретической физике → 2011 → 05 → 04
Михаил Гойхман

Голографическая перенормировка (3)

4 мая 2011 года, 14:19

Предыдущий пост был закончен обсуждением деформации конформной теории поля на границе неким неконформно-инвариантным членом взаимодействия и обсуждением того как несущественные (неперенормируемые) члены взаимодействия проявляют себя с гравитационной стороны в объеме. Итак, если мы деформируем лагранжиан теории поля на границе неконформным членом взаимодействия $${\cal O}$$ то ясно, что для того чтобы генерирующий функционал AAdS/QFT соответствия $$\exp(\varphi{\cal O})$$ был скаляром, необходимо чтобы поле мультиплета супергравитации φ (дуальное $${\cal O}$$) было скаляром.

В случае супергравитации в d=5 имеется 42 скаляра. Чтобы это понять, нужно вспомнить, какие поля имеются в супергравитации типа-IIB в AdS5×S5, и потом совершить КК редукцию на сфере S5. Итак, мы имеем суперсимметричный полевой состав 128+128. Здесь 128 бозонов (это 35 степеней свободы гравитона, 28 степеней свободы поля B2, 1 дилатон) и RR поля (1 компонента поля С0, 28 компонент поля C2 и 35 компонент поля C4 (половина от 70 из-за условия самодуальности соответствующего тензора напряженностей F5)). Далее, при КК редукции на сферу S5 все индексы этих пяти редуцированных направлений редуцируются, в результате чего генерируются скаляры. Каждому из этих скаляров соответствует один из 42 скаляров теории YM на границе. Например, дилатон φ и аксион C0 соответствуют кинетическому члену Λ*F и топологическому члену Λ F теории на границе соответственно.

Метрика генерирует 15 скаляров, параметризующих группу внутренних симметрий SO(6) ~ SU(4). Соответственно действие N=8 D=5 супергравитации в AdS5 выглядит следующим образом:

$$S=\cfrac{1}{16\pi G_{5}}\int d^5x\sqrt{-g}[{\cal R}+\frac{12}{R^2}-G_{ij}\partial_\mu\varphi^i\partial^\mu\varphi^j-V(\varphi)+\cdots].$$

Чтобы посчитать что-то конкретное (см. Kiritsis, String theory in a nutshell, 13.12.2) оставим только один скаляр, соответсвующий оператору $${\cal O}$$, добавленному к лагранжиану. Итак, рассмотрим действие в объеме

$$S=\cfrac{1}{16\pi G_5}\int d^5x\sqrt{-g}[{\cal R}-2\partial_{\mu}\varphi\partial^{\mu}\varphi-V(\varphi)]$$

с наиболее общей метрикой, обладающей 4d Пуанкаре-инвариантностью:

$$ds^2=d\gamma^2+e^{2A(\gamma)}(-dt^2+dx\cdot dx).$$

Можно вернуться к AdS метрике в координатах Пуанкаре если заменить = eγ/R и подставить A(γ) = γ/R. Горизонт (т.е. то, что является границей, отделяющей половину AdS, покрываемую координатами Пуанкаре, от другой половины, см. рисунок здесь) соответсвует γ = ∞, а граница = 0 соответствует γ = . Если A(γ) → γ/R при γ → , то пространство является асимптотически AdS, т.е. AAdS. Такой анзатц соответсвует тому, что теория на границе является N=4 SYM CFT в ультрафиолете (E → ∞ соответсвует z → 0 или γ → ). Действие переписанное для предложенного азатца выглядит следующим образом (знак перед потенциалом правильный :) )

$$S=\frac{1}{16\pi G_5}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!d\gamma\,e^{4A}[2(\varphi')^2-12(A')^2+V(\varphi)].$$

В 4d суперсимметричных теориях потенциал скалярного поля выражается через суперпотенциал следующим образом:

$$V(\varphi)=\frac{4}{R^2}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial\varphi}\right)^2-\frac{4}{3}W^2\right].$$

В данном случае это удобство обозначения, однако стоит напомнить, что суперпотенциал это голоморфная функция киральных суперполей, что обеспечивает суперсимметричность F-члена действия ∫d2θ W(Φ). Далее, после того как исключаются нединамические вспомогательные скалярные компонентные поля суперполя Ф, в компонентном действии остается потенциальный член V, выраженный через суперпотенциал как указано выше.

Хорошо, переписываем действие используя понятие суперпотенциала:

$$S=\frac{1}{16\pi G_5}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\gamma e^{4A}\left[2\left(\varphi'\pm\frac{1}{R}\frac{\partial W}{\partial\varphi}\right)^2-12\left(A'\mp\frac{2}{3R}W\right)^2\right]\mp\frac{1}{4\pi G_5R}e^{4A}W|_{\gamma=-\infty}^{\gamma=+\infty}$$

и записываем уравнения движения

$$A'=-\frac{2}{3R}W\,,\quad\quad\varphi'=\frac{1}{R}\frac{\partial W}{\partial\varphi}\,.$$

Эти уравнения представляют собой специальные уравнения, экстремизирующие действие, ибо они являются уравнениями первого, а не второго порядка. Мы выбрали именно специальное решение, ибо мы хотим сравнить динамику в объеме в зависимости от радиальной координаты с RG потоком на границе, а уравнения RG есть уравнения первого порядка (т.е. необратимы, потому RG есть не вполне группа, ибо не имеет обратного преобразования).

Ключевые слова: AdS/CFT, квантовая теория поля

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 83+5?