Заметки о теоретической физике → 2011 → 05
Михаил Гойхман

Голографическая перенормировка (2)

1 мая 2011 года, 12:58

Продолжим изучение перенормировок в квантовой теории поля, в данном посте — методом AdS/CFT соответствия (Holographic renormalization group — HRG). Напомню, что в предыдущем посте был сформулирован Вильсоновский подход к теории перенормировок, при котором функциональный интеграл разбивается на высокоэнергетическую bΛ < |k| < Λ и низкоэнергетическую |k| < bΛ части, причем явное интегрирование по высокоэнергетическим модам дает эффективную низкоэнергетическую теорию с эффективными константами, зависящими от b. Вопрос в том, что происходит при этом с дуальной (согласно AdS/CFT соответствию) супергравитацией в = 5 пространстве-времени.

Другая мотивация к исследованию HRG состоит в том, что AdS/CFT соответствие позволяет описывать дуальным образом гравитацию в AdS, в то время как не очевидно как перейти к дуальному без-гравитационному полевому описанию гравитации в другом фоне. На самом деле существенным для дуальности является наличие границы (которую можно иногда и руками добавить, на самом деле) пространства-времени, и потому ближайшим расширение AdS является AAdS (см. ниже) — тоже пространство, топологически эквивалентное шару, отличающееся от AdS фактором искривления (warp factor) вдали от границы. При этом дуальная теория поля не CFT, а просто QFT.

Разумеется мотивацию предыдущего абзаца можно обратить и заинтересоваться в первую очередь описанием гравитационным образом неконформной теории поля.

1. Начнем с напоминания наиболее распространенного примера AdS/CFT соответствия, т.е. соответствия между теорией суперструн в AdS5×S5 и= 4 теорией супер Янг-Миллса. Последняя конформно-инвариантна, поэтому не зависит от энергетического масштаба b. Кроме того скейлинговое преобразование CFT соответствует рескейлингу радиальной координаты z. А именно ~ 1/z. Детали я описал в предпоследнем пункте здесь. Таким образом конформная инвариантность теории на границе напрямую связана с голографической природой радиальной координаты z.

Допустим теперь, что теория на границе — просто QFT, не обязательно конформно-инвариантная. Ясно, что при этом дуальная гравитация живет не в AdS5×S5. Некоторые исследования были проведены для AAdS — асимптотически AdS фона. Асимптотически — т.е. AdS при приближении к конформной границе, наличие которой является существенной для рассмотрения дуальной QFT. Теперь параметры QFT (константы и напряженности) зависят от масштаба b. По-прежнему энергетическому масштабу QFT соответствует радиальная координата в объеме. Соответствие между гравитацией и теорией поля при этом приобретает более утонченный характер — теперь значение радиальной координаты z существенно с точки зрения соответствия тому или иному энергетическому масштабу теории поля на границе. Доказательство дано в п. 3 ниже.

2. Следуя работе Heemskerk, Polchinski «Holographic and Wilsonian renormalization groups» разобьем интеграл по путям теории супергравитации в объеме на участки z < l, z l, z > l, где l — некое данное расстояние до границы AAdS:

$$Z=\int{\cal D}\varphi e^{-\kappa^{-2}S}=\int{\cal D}\varphi|_{z>l}{\cal D}\tilde\varphi{\cal D}\varphi|_{z<l}e^{-\kappa^{-2}S|_{z>l}-\kappa^{-2}S|_{z<l}}$$

где $$\tilde\varphi ^i=\varphi^i(l,x)$$ есть значение рассматриваемых полей мультиплета супергравитации при z = l. Такое разбиение прямо соответствует Вильсоновскому разбиению после введения масштаба b. Соответственно формула, постулируемая для вычисления корреляционных функций в AdS/CFT соответствии здесь, обобщается для AAdS/QFT соответствия следующим образом:

$$\left\langle\exp\left(\frac{1}{\kappa^2}\int d^dx\tilde\varphi^i(x){\cal O}_i(x)\right)\right\rangle_{b\Lambda<1}=\int{\cal D}\varphi |_{z>l}e^{-\kappa^{-2}S|_{z>l}}$$

где как обычно

$$\left\langle\exp\left(\frac{1}{\kappa^2}\int d^dx\tilde\varphi^i(x){\cal O}_i(x)\right)\right\rangle_{b\Lambda<1}=\frac{1}{{\cal Z}}\int{\cal D}M_{b\Lambda<1}\exp\left(-S_0+\frac{1}{\kappa^2}\int d^dx\tilde\varphi^i(x){\cal O}_i(x)\right)$$

Здесь M - поля QFT, $${\cal O}$$ — построенные из них калибровочно-инвариантные операторы, дуальные полям в объеме φ.

3. Таким образом видно, что как и в случае AdS/CFT соответствия мы исходим из постулирования того факта, что поля в объеме «взаимодействуют» (то есть влияют количественно на дуальность) с полями на границе посредством простейшего члена через граничные значения. В то время как в AdS/CFT соответствии эти граничные значения берутся в z = 0, в AAdS/QFT соответствии они берутся в = l, причем l может меняться. Таким образом изменение значения полей супергравитации φi|z=l соответствует изменению константы связи «членов взаимодействия» с операторами $${\cal O}_i$$ дуальной теории поля.

Вот как проявляется голографическая перенормировка: каждой константе связи теории поля соответствует скалярное поле в объеме, причем изменение величины скалярного поля в зависимости от радиальной координаты z соответствует изменению эффективной константы связи в зависимости от диапазона изменения энергии распространяющихся мод теории поля.

4. Далее будем следовать книге Kiritsis, String theory in a nutshell. Допустим мы хотим деформировать конформную теорию поля на границе и посмотреть как эта деформация отражается на супергравитации в объеме. Итак, к действию S0 конформно-инвариантной теории на границе мы добавляем неинвариантный относительно конформных преобразований член, выраженный через оператор $${\cal O}$$ с конформной размерностью Δ. В результате получаем действие

$$S=S_0+\mu\int d^4x{\cal O}(x)$$

квантовой теории поля, не обязательно конформно инвариатной. Если Δ ≠ 4, то теория с действием S не является конформно инвариантной и константа связи μ размерна. А именно, если Δ > 4, то μ < 0 и соответствующий член взаимодействия является несущественным в соответствии с классификацией в предыдущем посте о перенормировках. Такое взаимодействие расходится в UV и неперенормируемо (т.к. перенормируемое взаимодействие должно иметь бесконечные перенормированные константы связи в IR и конечные в UV). С другой стороны допустим скалярное поле φ как указано выше соответствует оператору $${\cal O}$$ «через» свое значение на границе φ0. Тогда постольку поскольку вблизи границы пространство-время в объеме все равно AdS, то решая там уравнение Лапласа для безмассового скалярного поля получаем

$$\varphi(z,x)\sim z^{4-\Delta}\varphi_0(x)+z^\Delta\langle{\cal O}\rangle.$$

Ясно тогда, что несущественному оператору теории поля соответствует скалярное поле расходящееся на границе z = 0, т.е. в объемной части соответствующей UV на границе. Чтобы иметь конечные генерирующие функционалы $$\sim\exp(\varphi(z){\cal O})$$ нужно выбрать φ0 бесконечно малым, что очевидно уничтожит генерирующий функционал соответствия в UV, т.е. в z = 0. Разве что таких полей будет бесконечно много, что соответствует бесконечному числу контрчленов неперенормируемых теорий.

***

В следующем посте проделаем некоторые конкретные вычисления RG потока в объеме.

Ключевые слова: гравитация, квантовая теория поля, геометрия, AdS/CFT | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Голографическая перенормировка (3)

4 мая 2011 года, 14:19

Предыдущий пост был закончен обсуждением деформации конформной теории поля на границе неким неконформно-инвариантным членом взаимодействия и обсуждением того как несущественные (неперенормируемые) члены взаимодействия проявляют себя с гравитационной стороны в объеме. Итак, если мы деформируем лагранжиан теории поля на границе неконформным членом взаимодействия $${\cal O}$$ то ясно, что для того чтобы генерирующий функционал AAdS/QFT соответствия $$\exp(\varphi{\cal O})$$ был скаляром, необходимо чтобы поле мультиплета супергравитации φ (дуальное $${\cal O}$$) было скаляром.

В случае супергравитации в d=5 имеется 42 скаляра. Чтобы это понять, нужно вспомнить, какие поля имеются в супергравитации типа-IIB в AdS5×S5, и потом совершить КК редукцию на сфере S5. Итак, мы имеем суперсимметричный полевой состав 128+128. Здесь 128 бозонов (это 35 степеней свободы гравитона, 28 степеней свободы поля B2, 1 дилатон) и RR поля (1 компонента поля С0, 28 компонент поля C2 и 35 компонент поля C4 (половина от 70 из-за условия самодуальности соответствующего тензора напряженностей F5)). Далее, при КК редукции на сферу S5 все индексы этих пяти редуцированных направлений редуцируются, в результате чего генерируются скаляры. Каждому из этих скаляров соответствует один из 42 скаляров теории YM на границе. Например, дилатон φ и аксион C0 соответствуют кинетическому члену Λ*F и топологическому члену Λ F теории на границе соответственно.

Метрика генерирует 15 скаляров, параметризующих группу внутренних симметрий SO(6) ~ SU(4). Соответственно действие N=8 D=5 супергравитации в AdS5 выглядит следующим образом:

$$S=\cfrac{1}{16\pi G_{5}}\int d^5x\sqrt{-g}[{\cal R}+\frac{12}{R^2}-G_{ij}\partial_\mu\varphi^i\partial^\mu\varphi^j-V(\varphi)+\cdots].$$

Чтобы посчитать что-то конкретное (см. Kiritsis, String theory in a nutshell, 13.12.2) оставим только один скаляр, соответсвующий оператору $${\cal O}$$, добавленному к лагранжиану. Итак, рассмотрим действие в объеме

$$S=\cfrac{1}{16\pi G_5}\int d^5x\sqrt{-g}[{\cal R}-2\partial_{\mu}\varphi\partial^{\mu}\varphi-V(\varphi)]$$

с наиболее общей метрикой, обладающей 4d Пуанкаре-инвариантностью:

$$ds^2=d\gamma^2+e^{2A(\gamma)}(-dt^2+dx\cdot dx).$$

Можно вернуться к AdS метрике в координатах Пуанкаре если заменить = eγ/R и подставить A(γ) = γ/R. Горизонт (т.е. то, что является границей, отделяющей половину AdS, покрываемую координатами Пуанкаре, от другой половины, см. рисунок здесь) соответсвует γ = ∞, а граница = 0 соответствует γ = . Если A(γ) → γ/R при γ → , то пространство является асимптотически AdS, т.е. AAdS. Такой анзатц соответсвует тому, что теория на границе является N=4 SYM CFT в ультрафиолете (E → ∞ соответсвует z → 0 или γ → ). Действие переписанное для предложенного азатца выглядит следующим образом (знак перед потенциалом правильный :) )

$$S=\frac{1}{16\pi G_5}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!d\gamma\,e^{4A}[2(\varphi')^2-12(A')^2+V(\varphi)].$$

В 4d суперсимметричных теориях потенциал скалярного поля выражается через суперпотенциал следующим образом:

$$V(\varphi)=\frac{4}{R^2}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial\varphi}\right)^2-\frac{4}{3}W^2\right].$$

В данном случае это удобство обозначения, однако стоит напомнить, что суперпотенциал это голоморфная функция киральных суперполей, что обеспечивает суперсимметричность F-члена действия ∫d2θ W(Φ). Далее, после того как исключаются нединамические вспомогательные скалярные компонентные поля суперполя Ф, в компонентном действии остается потенциальный член V, выраженный через суперпотенциал как указано выше.

Хорошо, переписываем действие используя понятие суперпотенциала:

$$S=\frac{1}{16\pi G_5}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\gamma e^{4A}\left[2\left(\varphi'\pm\frac{1}{R}\frac{\partial W}{\partial\varphi}\right)^2-12\left(A'\mp\frac{2}{3R}W\right)^2\right]\mp\frac{1}{4\pi G_5R}e^{4A}W|_{\gamma=-\infty}^{\gamma=+\infty}$$

и записываем уравнения движения

$$A'=-\frac{2}{3R}W\,,\quad\quad\varphi'=\frac{1}{R}\frac{\partial W}{\partial\varphi}\,.$$

Эти уравнения представляют собой специальные уравнения, экстремизирующие действие, ибо они являются уравнениями первого, а не второго порядка. Мы выбрали именно специальное решение, ибо мы хотим сравнить динамику в объеме в зависимости от радиальной координаты с RG потоком на границе, а уравнения RG есть уравнения первого порядка (т.е. необратимы, потому RG есть не вполне группа, ибо не имеет обратного преобразования).

Ключевые слова: AdS/CFT, квантовая теория поля | Оставить комментарий

← сюда туда →