Заметки о теоретической физике → 2011 → 04 → 16
Сергей Белёв

Как вывернуть сферу наизнанку, или парадокс Смейла

16 апреля 2011 года, 18:38

Представим, что «обычная» двумерная сфера S2 сделана из эластичного материала, который может проходить сквозь себя. Можно ли вывернуть сферу наизнанку в обычном трехмерном пространстве $$\mathbb{R}^3$$ без изломов и разрывов, но с возможным самопересечением (то есть в классе погружений)?

Стивен Смейл в 1958 году доказал, что это можно сделать. Точнее, он доказал следующее утверждение:
Пусть есть стандартное вложение $$f: S^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$$, тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство гладких погружений $$f_t: S^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3, ~t \in [0,1]$$ такое, что f0 = f и f1 = f.

Согласно легенде, когда Смейл попытался опубликовать эту теорему, он получил отзыв, который говорил, что утверждение очевидно неверно. Как видим, Смейл не привел конкретного примера того, как это сделать, но доказал, что это возможно. Вот пример явного выворачивания, который придумал Терстон:

В 2000 году Смейл составил список из 18 задач, которые, по его мнению, должны быть решены в XXI веке. Этот список составлен в духе проблем Гильберта, и, как и составленные позднее задачи тысячелетия, включает гипотезу Римана, вопрос о равенстве классов P и NP, проблему решения уравнений Навье — Стокса, а также ныне доказанную Перельманом гипотезу Пуанкаре. Смейл составил свой список по просьбе Арнольда, занимавшего тогда пост президента международного математического союза, который скорее всего, взял идею этого списка из списка проблем Гильберта.

И, наконец, вопрос: можно ли «вывернуть» окружность в плоскости, то есть найти непрерывное семейство погружений, как выше?

Ключевые слова: геометрия

Комментарии

#1. 18 апреля 2011 года, 00:07. Михаил Гойхман пишет:
Любопытно. Приходит в голову следующая вещь. Представим сферу в виде стереографической проекции — плоскость с бесконечностью. Тогда выворачивание сферы наизнанку выглядит просто как «свертывание» плоскости в другую сторону, т.е. с другой ориентацией. Здесь где-то дыра в рассуждениях, да?
#2. 18 апреля 2011 года, 13:31. Сергей пишет:
Ну дело в том, что стереографическая проекция подразумевает выделение точки на сфере, которой не соответствует ничего на плоскости, а это меняет правила игры, ведь по условиям сферу нельзя разрывать, в точности и точку выкалывать нельзя.
#3. 18 апреля 2011 года, 21:53. Михаил пишет:
Ну в принципе я подозревал что там слабое место с бесконечно удаленной точкой. Хотел просто знать независимое мнение ;).
#4. 18 апреля 2011 года, 22:45. Сергей пишет:
Миша, хотелось бы услышать, встречаются ли K3 поверхности в теории струн, и если да, то как именно они там возникают?
#5. 18 апреля 2011 года, 23:08. Миша пишет:
Да, встречаются иногда. В контексте компактификации. K3 имеет группу голономий $$SU(2)\subset SU(2)\times SU(2)$$ и потому сохраняет половину суперсимметрий. Феноменологически такие модели не очень интересны, но люди все равно рассматривают их.
#6. 12 июня 2015 года, 00:16. Владимир пишет:
Я выворачиваю сферу без изломов ещё проще, чем фильме. Надо воткнуть пальцем часть поверхности сферы внутрь. Эту внутреннюю часть сферы повернуть на 180 градусов, при этом отверстие закроется без перегибов. Меридианы сферы, бывшие окружностями, превратятся в «восьмёрки» с меньшей головкой внутри большей. Далее раздуваем внутренний почти шарик до тех пор, пока не просочится наружу. Естественно вид его окажется вывернутым. Остаётся то, что было большей частью, а теперь ставшей меньшей по сравнению с раздутой, развернуть на 180 градусов. Затянутое отверстие раскроется, вмятину распрямляем, и цель достигнута!
#7. 27 июня 2017 года, 02:47. Сергей пишет:
Здесь получается точка становится бесконечностью, а бесконечность точкой. Или, «одинаковость вселенной»: что внутрь, что наружу.
Поэтому возникает парадигма — микрокосм можно изучать при помощи макрокосмоса и наоборот.
Вопрос в пределе радиуса =]h/2;2/h[. Здесь h используется как метрический предел точности измерений, то есть та самая эпсилон делёная на два.
Также физическое существование такой сферы можно доказать или опровергнуть для различных случаев.
Или я не прав?

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 48+8?