Заметки о теоретической физике → 2011 → 04 → 16
Сергей Белёв

Как вывернуть сферу наизнанку, или парадокс Смейла

16 апреля 2011 года, 18:38

Представим, что «обычная» двумерная сфера S2 сделана из эластичного материала, который может проходить сквозь себя. Можно ли вывернуть сферу наизнанку в обычном трехмерном пространстве $$\mathbb{R}^3$$ без изломов и разрывов, но с возможным самопересечением (то есть в классе погружений)?

Стивен Смейл в 1958 году доказал, что это можно сделать. Точнее, он доказал следующее утверждение:
Пусть есть стандартное вложение $$f: S^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$$, тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство гладких погружений $$f_t: S^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3, ~t \in [0,1]$$ такое, что f0 = f и f1 = f.

Согласно легенде, когда Смейл попытался опубликовать эту теорему, он получил отзыв, который говорил, что утверждение очевидно неверно. Как видим, Смейл не привел конкретного примера того, как это сделать, но доказал, что это возможно. Вот пример явного выворачивания, который придумал Терстон:

В 2000 году Смейл составил список из 18 задач, которые, по его мнению, должны быть решены в XXI веке. Этот список составлен в духе проблем Гильберта, и, как и составленные позднее задачи тысячелетия, включает гипотезу Римана, вопрос о равенстве классов P и NP, проблему решения уравнений Навье — Стокса, а также ныне доказанную Перельманом гипотезу Пуанкаре. Смейл составил свой список по просьбе Арнольда, занимавшего тогда пост президента международного математического союза, который скорее всего, взял идею этого списка из списка проблем Гильберта.

И, наконец, вопрос: можно ли «вывернуть» окружность в плоскости, то есть найти непрерывное семейство погружений, как выше?

Ключевые слова: геометрия | Комментарии (7)