Заметки о теоретической физике → 2011 → 04
Сергей Белёв

Как вывернуть сферу наизнанку, или парадокс Смейла

16 апреля 2011 года, 18:38

Представим, что «обычная» двумерная сфера S2 сделана из эластичного материала, который может проходить сквозь себя. Можно ли вывернуть сферу наизнанку в обычном трехмерном пространстве $$\mathbb{R}^3$$ без изломов и разрывов, но с возможным самопересечением (то есть в классе погружений)?

Стивен Смейл в 1958 году доказал, что это можно сделать. Точнее, он доказал следующее утверждение:
Пусть есть стандартное вложение $$f: S^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$$, тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство гладких погружений $$f_t: S^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3, ~t \in [0,1]$$ такое, что f0 = f и f1 = f.

Согласно легенде, когда Смейл попытался опубликовать эту теорему, он получил отзыв, который говорил, что утверждение очевидно неверно. Как видим, Смейл не привел конкретного примера того, как это сделать, но доказал, что это возможно. Вот пример явного выворачивания, который придумал Терстон:

 

В 2000 году Смейл составил список из 18 задач, которые, по его мнению, должны быть решены в XXI веке. Этот список составлен в духе проблем Гильберта, и, как и составленные позднее задачи тысячелетия, включает гипотезу Римана, вопрос о равенстве классов P и NP, проблему решения уравнений Навье — Стокса, а также ныне доказанную Перельманом гипотезу Пуанкаре. Смейл составил свой список по просьбе Арнольда, занимавшего тогда пост президента международного математического союза, который скорее всего, взял идею этого списка из списка проблем Гильберта.

И, наконец, вопрос: можно ли «вывернуть» окружность в плоскости, то есть найти непрерывное семейство погружений, как выше?

Ключевые слова: геометрия | Комментарии (7)
Михаил Гойхман

Голографическая перенормировка (1)

24 апреля 2011 года, 19:14

Is your coupling constant running?

Логично продолжить изучение AdS/CFT соответствия рассмотрением голографической перенормировки (HR). HR показывает, как изменение энергетического масштаба теории сказывается на величинах этой теории методом супергравитации в объеме. Действительно, масштаб теории поля связан с радиальной координатой, поэтому изменение радиальной голографируемой координаты соответствует изменению энергетического масштаба. Существуют теории поля, в которой этой координаты вообще нет.

Перед тем как изучать HR, стоит вспомнить, что такое перенормировка в обычной теории поля. На этом и сосредоточимся в данном посте. Я не буду писать много формул, просто объясню идею с физической точки зрения. Формулы можно найти в книге Пескина и Шредера.

Введение

Допустим, у нас есть некая физическая система. Классически она описывается с помощью какого-то гамильтониана или (что эквивалентно в силу преобразования Лежандра) лагранжиана (действия). Также необходимо задать начальные и (или) граничные условия. После этого мы способны предсказать всё, что будет происходить с этой классической системой.

Исчерпывается ли знание действия этой системы только возможностью описания ее классической эволюции? Как известно, нет. Действительно, квантовая эволюция описывается с помощью уравнения Шредингера, в которое входит гамильтониан. Зная классический гамильтониан, мы можем построить квантовый и таким образом описать квантовую динамику системы.

Однако, можно воспользоваться подходом Фейнмана и отказаться от гамильтонова описания квантовой динамики. Тогда эволюция квантовой системы описывается с помощью интеграла по путям. При таком подходе берутся классические (не операторные) поля φ, берется классическое действие S[φ] и вычисляется функциональный интеграл (мнимую единицу i опускаем, то есть рассматриваем евклидово пространство)

$$Z=\int{\cal D}\varphi e^{-S[\varphi]}$$

по всем возможным полевым конфигурациям с данными граничными условиями. Значение интеграла равно амплитуде перехода системы из начального состояния в конечное.

Точное вычисление функционального интеграла Z — трудная задача. Вместо этого можно разложить экспоненту в ряд и ограничиться каким-то конечным числом членов разложения. Когда это возможно? Тогда, когда ряд сходится, соответственно теория называется пертурбативной (теория возмущений). Чтобы проверить, сходится ли ряд или нет, нужно в том числе сравнить величину безразмерной константы связи с единицей (ясно, что количество диаграмм на каждом шагу теории возмущений растет примерно как факториал, что в целом существенно отражается на расходимости всего ряда теории возмущений). Константа связи является множителем лагранжиана, поэтому каждый следующий член разложения экспоненты e−S в ряд содержит константу связи в увеличивающейся степени.

Вычисление функционального интеграла по теории возмущений сводится к вычислению конечного числа фундаментальных вычисляемых величин. Совокупность их значений называется правилами Фейнмана. Каждый член разложения Z представляется как некая комбинация этих фундаментальных блоков, и изображается с помощью диаграммы. Соответственно, диаграмма есть совокупность конечного числа фундаментальных диаграмм. Таковыми являются вершины взаимодействия, пропагаторы (двухточечные корреляционные функции) и внешние линии. Их числовые значения однозначно выводимы из классического действия системы. Таким образом, казалось бы, что в идеале, зная классическое действие системы, можно просуммировать все диаграммы Фейнмана и получить амплитуду квантовой эволюции.

Однако, даже на первых шагах суммирования (в первых слагаемых разложения экспоненты) возникают проблемы. Эти проблемы связаны с расходимостью интегралов по импульсам в пропагаторах (в петлях). Чтобы избавиться от бесконечностей, применяется процедура перенормировки. Физическая теория должна быть перенормируемой. Это значит, что во всех диаграммах бесконечные слагаемые представляют собой отдельные члены, которые можно полностью вычесть из выражения. Делать это нужно аккуратно.

Нельзя просто добавить или вычесть бесконечность. Сперва нужно ввести некие ограничения на теорию — при расходимости в интегрировании по импульсу это ограничения на максимальное (при UV расходимостях) или минимальное (при IR расходимостях) значение энергии. Впоследствии эти ограничения будут устремляться к своим предельным значениям. Можно увидеть, какие члены при этом устремляются в бесконечность, и модифицировать теорию так, чтобы эти члены сокращались. Возможность осуществить такую модификацию называется перенормируемостью.

Как видно, свойство перенормируемости зависит от поведения системы при изменении границ ее энергетического масштаба. Для изучения деталей, важных впоследствии при рассмотрении подхода Вильсона, введем понятие кажущейся степени расходимости (кажущейся — потому, что в некотором числе случаев она неправильно описывает реальное положение дел, однако такие случаи классифицируемы, и их присутствие не важно для анализа поведения бесконечного числа диаграмм).

Пусть D есть разность числа степеней импульса в числителе выражения для амплитуды минус разница степеней импульса в знаменателе этого выражения. Рассмотрим скалярную теорию для поля φ и будем изучать свойство перенормируемости произвольного члена взаимодействия в лагранжиане, содержащего N степеней φ, и M производных φ. Также оставим размерность пространства-времени d нефиксированной. Число интегрирований по импульсам в произвольной данной диаграмме обозначим за L, и оно равно числу пропагаторов P минус число вершин V (каждая из вершин содержит дельта-функцию и потому снимает интегрирование по импульсу) плюс 1 (одна дельта-функция есть просто равенство начального и конечного импульсов процесса, описываемого диаграммой). Возьмите, например, однопетлевую поправку к пропагатору. В ней имеется одно интегрирование по импульсу 1 = 2 − 2 + 1. Итак,P − V + 1.

Если n — число внешних линий диаграммы, то полное число пропагаторов P можно найти как P = ½(NV − n), что есть отражение того факта, что в каждой вершине сходятся N линий, причем n из общего числа линий являются внешними, а половина оставшихся — пропагаторами (ибо пропагатор соединяет две вершины). Наконец, если ≠ 0, то каждая вершина добавляет M степеней импульса в числитель. Тогда получаем следующее выражение для кажущейся степени расходимости

D = dL − 2P + MV = d + [N(d/2 − 2) + M − d]V − (d/2 − 1)n.

Ясно, что сходимость диаграммы требует D < 0. В физически состоятельной теории могут иметься расходящиеся диаграммы, но они должны быть регуляризуемы. Чтобы это было так, мы должны иметь конечное число типов расходящихся диаграмм, что позволит поглотить все расходимости за счет перенормировки константы связи (а также напряженности поля и его массы).

Это требование можно удовлетворить, только если константа при V в выражении для кажущейся степени расходимости D равна нулю либо отрицатаельна. Если она отрицательна, то чем больше вершин (то есть чем глубже мы исследуем ряд теории возмущений), тем меньше становится D, и потому число расходящихся диаграмм конечно и теория суперперенормируема. С другой стороны, если константа при V равна нулю, то расходимость не зависит от порядка теории возмужений, хотя в каждом порядке могут иметься расходящиеся диаграммы, содержащие расходящиеся поддиаграммы, причем число типов этих расходящихся поддиаграмм конечно и теория перенормируема. Если константа при V положительна, то каждый шаг теории возмущений генерирует всё новые расходящиеся диаграммы, не сводящиеся к старым, что нельзя регуляризовать модификацией конечного числа параметров исходного лагранжиана — теория неперенормируема.

С другой стороны, скалярное поле φ имеет размерность d/2 − 1, поэтому константа связи λ при рассматриваемом члене взаимодействия должна иметь размерность d − N(d/2 − 2) − M, что есть коэффициент при V в выражении для D с обратным знаком. Таким образом, заключение о перенормируемости взаимодействия можно сделать, исходя из размерности константы связи этого взаимодействия (например, константа Ньютона в пространстве-времени размерности d имеет размерность 2 − d, так что гравитация неперенормируема при любых уместных для существования гравитации размерностях d. В теории струн это несущественно, ибо там гравитация есть просто низкоэнергетическая эффективная теория в объеме для конформно-инвариантной теории струн на мировой поверхности).

Все эти выводы, полученные на примере скалярного поля, на самом деле легко обобщаются для произвольной теории. Пусть di есть массовая размерность i-ого члена взаимодействия лагранжиана. Ясно тогда, что константа связи λi при этом члене взаимодействия имеет размерность d − di. Каждая вершина диаграммы содержит эту константу связи, поэтому если величина d − di положительна, то каждая новая вершина добавляет отрицательную степень импульсов di − d и теория оказывается суперперенормируемой. И т. д.

Вильсоновский подход

Идея подхода Вильсона состоит в объяснении природы расходимостей с помощью анализа поведения теории при различных энергетических масштабах. Когда мы строим квантовую теорию исходя из классического лагранижиана, мы получаем бесконечности в высших энергетических петлевых процессах. Тогда мы перенормируем константы и напряженности полей исходной классической теории, так что они становятся бесконечными. Зато все амплитуды теперь конечны и фундаментальная квантовая теория последовательна. В результате оказывается, что мы не обязательно должны знать, как выглядит «правильный» лагранжиан теории. Нам просто достаточно знать, как изменяются константы связи в зависимости от того, в каком энергетическом пределе мы рассматриваем теорию.

Ясно, что при таком подходе наличие большого обрезания сверху Λ является существенным (скажем, можно взять планковскую энергию в качестве Λ), ибо только тогда можно менять энергетический масштаб теории с помощью рескейлинга на величину < 1.

Итак, пусть мы строим квантовую теорию исходя из классического действия методом функционального интеграла. Но предположим, что мы интересуемся низкоэнергетической квантовой теорией, то есть теорией с импульсами полей в пределах 0 < |k| < bΛ (рассматриваем Евклидову теорию, иначе близкий к световому малый импульс может все еще соответствовать большим энергиям). Тогда в функциональном интеграле нужно явно проинтегрировать по всем модам $$\hat{\varphi}$$ с большими импульсами bΛ < |k| < Λ:

$$Z_0=\int\limits_{|k|<b\Lambda}{\cal D}\varphi e^{-S_0[\varphi]}=\int\limits_{|k|<b\Lambda}{\cal D}\varphi\int\limits_{b\Lambda<|k|<\Lambda}{\cal D}\hat\varphi e^{-S[\varphi+\hat\varphi]},$$

что, очевидно, просто означает переход к эффективному действию S0[φ] по формуле

$$e^{-S_0[\varphi]}=\int\limits_{b\Lambda<|k|<\Lambda}{\cal D}\hat{\varphi} e^{-S[\varphi+\hat\varphi]}.$$

Таким образом, результат явного интегрирования по высокоэнергетическим модам можно представить как модификацию действия, зависящего только от полей φ с низкоэнергетическими импульсами. Легко понять, как именно модифицируется исходное действие. Если взять какой-то член (например, взаимодействия) из исходного действия, то его можно представить как произведение мод полей с большими и малыми импульсами. Мы явно интегрируем по большим импульсам, то есть сводим все пропагаторы по большим импульсам в точку. Подобная процедура, во-первых, естественно, добавляет новые типы взаимодействий: там, где раньше был пропагатор, теперь генерируется вершина, ибо мы не различаем пропагаторы с большими импульсами bΛ < |k| < Λ. Во-вторых, происходит перенормировка тех членов взаимодействия и массовых членов, которые уже имелись в исходном действии. Особенность в том, что новые генерируемые вершины неперенормируемого типа вымирают в низкоэнергетическом пределе b → 0.

В эффективном действии S0[φ] интегрирование производится только по импульсам в пределах 0 < |k| < bΛ. Если мы хотим сравнить эффективное действие с исходным и посмотреть, как отличаются константы связи различных взаимодействий в этих двух выражениях для действия, то мы должны сделать замену k' = k/b, x' = xb. В результате в новых импульсных переменных k' инетгрирование снова производится до Λ, хотя теперь это чисто «координатный» импульс, не физический (то есть это не импульс, канонически сопряженной координате плоского, а не конформно-плоского, пространства). Ясно что при таком преобразовании мы получим тот же член лагранжиана взаимодействия, только константа связи будет умножена на b(d/21)+Md, давая эффективную константу связи низкоэнергетической теории. В результате мы заключаем, что в суперперенормируемых теориях эффективная константа связи растет при уменьшении энергетического масшата теории b, и потому называется существенной, в перенормируемых не меняется, и называется маргинальной, в то время как в неперенормируемых теория вымирает, и называется несущественной.

Уравнение ренормализационной группы

Рассмотрим безмассовое скалярное поле с четвертичным самодействием φ4. Функции Грина в такой теории

$$\langle\Omega|T\varphi_0(x_1)\varphi_0(x_2)\cdots\varphi_0(x_n)|\Omega\rangle$$

являются расходящимися, но перенормируемыми. Перенормировка означает изменение константы λ взаимодействия φ4 и напряженности поля φ0. (Перенормированное поле уже обозначается как φ.)

Конкретная схема перенормировки напоминает выбор единиц измерения. В данном случае нужно выбрать масштаб перенормировки M,  то есть некоторое значение энергии, при котором точно определяется, чему равны конечные выражения для пропагатора и вершины. Переход от одного значения M к другому есть просто вопрос выбора «единиц измерения». При этом изменению M соответствует изменение перенормированной константы связи и напряженности поля:

M → δM,

λ  λ + δλ,

φ → (1 + δη)φ.

Связь между вариациями этих величин описывается уравнением Каллана-Симанчика:

$$[M\frac{\partial}{\partial M}+\beta{\lambda}\frac{\partial}{\partial\lambda}+\eta\gamma(\lambda)]G^{(n)}(\{x_i\};M,\lambda)=0.$$

Здесь введена перенормированная функция Грина

$$G^{(n)}(x_1,\cdots, x_n)=\langle\Omega|T\varphi(x_1)\cdots\varphi(x_n)|\Omega\rangle$$

и функции

$$\beta=M\frac{\partial\lambda}{\partial M},\quad\gamma=-M\frac{\partial\eta}{\partial M}.$$

Ключевые слова: квантовая теория поля | Оставить комментарий

← сюда туда →