Заметки о теоретической физике → 2011 → 03 → 31
Михаил Гойхман

DBI действие для D3-браны и AdS/CFT соответствие

31 марта 2011 года, 20:13

Продолжим изучение AdS/CFT соответствия. В этом посте продолжим изучать аспекты описания действия для D3-браны, геометрии решения D = 10 супергравитации, являющегося черной 3-браной, и как все это связано с AdS/CFT соответствием. Некоторые вещи повторю из того, что уже было ранее в вводном посте про AdS/CFT, но под несколько иным углом и подробнее.

1. В первом посте про AdS/CFT я уже показал, что = 10 супергравитация имеет решение, представляющее собой прямой аналог черной дыры Рейснера-Нордстрема, т.е. заряженной черной дыры. Это решение есть черная p-брана. Ясно из соображений симметрии, что постольку поскольку исходная симметрия плоского десятимерного пространства-времени образует группу Лоренца SO (1, 9), то p-брана оставляет SO (1, p) × SO (9 − p) симметрий, в то время как остальная часть бозонных симметрий группы Лоренца оказывается спонтанно нарушенной. Симметрия SO (9 − p) есть просто аналог сферической симметрии черной дыры. Например, в = 4 пространстве-времени 9 надо заменить на 3 (число пространственных измерений), а p на 0, в результате получаем известную SO (3) симметрию геометрии статической черной дыры.

2. Далее рассмотрим вопрос в том, сколько суперсимметрий сохраняет черная p-брана. В теории суперструн типа-II, с которой мы имеем здесь дело, мы начинаем с = 2,= 10 суперсимметрии, то есть с 2 × 16 = 32 суперзарядов. Как известно (см. задачи здесь и здесь), Dp-брана сохраняет половину исходных суперсимметрий, так что мы остаемся с 16 суперзарядами. Теперь вопрос в том, сколько симметрий сохраняет черная p-брана. Если отождествить экстремальную черную p-брану и Dp-брану, то есть если считать, что Dp-брана (введенная как носитель RR-заряда, источник замкнутых струн и объект, на котором могут заканчиваться открытые струны) на самом деле также является сферически-симметричным и заряженным решением уравнений супергравитации, то вывод о половине сохраняемых суперсимметрий Dp-браны на языке p-браны переформулируется в терминах экстремальности этого решения. Тут опять вспоминаем про черную дыру Рейснера-Нордстрема. Существует три вида соотношения между ее массой и зарядом. В подходящих единицах масса либо равна заряду (и тогда черная дыра называется экстремальной), либо больше заряда (тогда — неэкстремальной). Если масса меньше заряда, то черная дыра имеет голую сингулярность и запрещена принципом космической цензуры Пенроуза (сформулированным им для нашей D = 4 космологии, и как я слышал, :) недавно опровергнутым контрпримером в D = 3), который гласит, что унитарная космологическая эволюция не может породить из обычного исходного состояния некое состояние с голой сингулярностью, которое таким образом будет приводить к непредсказуемой эволюции. Так или иначе, оказывается, что если посчитать температуру излучения Хокинга для экстремальной черной дыры, то она окажется равной в точности нулю. Это означает, что такая черная дыра не испаряется.

3. Прокомментируем этот момент подробнее. Для начала нужно вспомнить, как описывать квантовые объекты термодинамическим образом. Если у нас есть изолированная квантовая система, то ее эволюция определяется уравнением Шредингера. Допустим, что наша квантовая система находится в состоянии термодинамического равновесия, например черная дыра и ее равновесное планковское излучение с температурой Хокинга. Теперь нужно провести связь между этими двумя аспектами описания системы. Для этого вспомним, что амплитуда перехода системы из одного состояния в другое определяется фейнмановским интегралом по путям. Записанная так амплитуда является статистической суммой системы (пока что используем этот термин без отношения к термодинамике):

$$Z=\int {\cal D}\phi e^{-iHT}.$$

Тут система переходит из начального состояния в момент времени = 0 в конечное в момент времени = T. Наша система просто переходит из одного своего макроскопического состояния в то же самое состояние по всем возможным путям. Если считать статсумму уже с термодинамическими целями, то нужно просуммировать по всем этим стационарным состояниям:

$$Z=\sum _ne^{-\beta E_n}=\sum _n\langle n|e^{-\beta H}|n\rangle .$$

Теперь замечаем, что среднее от экспоненцированного гамильтониана есть просто амплитуда перехода из одного состояния в то же самое состояние, определяемый квантовой статсуммой за время = −i/β, или евклидово время T = 1/β. Таким образом, чтобы посчитать обычную термодинамическую статсумму, можно позволить системе проэволюционировать между одним и тем же стационарным состоянием за время, равное температуре (в подходящих единицах), и просуммировать по всем этим стационарным состояниям. Термодинамическая статсумма оказывается при этом в точности равной фейнмановскому интегралу по траекториям за конечное время = 1/β, после суммирования по всем начальным (совпадающим с конечными) состояниям.

Итак, если мы имеем некую квантовую физическую систему, то ее температура равна периоду ее евклидова времени. Как получить этот период? Возьмем, например, евклидову шварцшильдову черную дыру в сферически симметричных координатах. Введем координату вблизи горизонта: r = rH(1 + ρ2). Метрика при малых ρ примет вид

$$ds^2\sim 4r_H^2\left(d\rho ^2+\rho ^2\left(\frac{d\tau}{2r_H}\right)^2+\frac{1}{4}d\Omega _2^2\right).$$

Самое главное, что мы видим из этой метрики четырехмерного евклидова пространства, так это то, что время периодично с периодом β = 4πrH.

Однако, если взять метрику заряженной экстремальной черной дыры Рейснера-Нордстрема и применить к ней вышеописанную процедуру, то окажется, что период Евклидова времени равен бесконечности, а потому температура — нулю. Это есть содержание задачи 11.5 BBS.

4. Стабильность имеет прямое отношение к равенству массы и заряда, которое делает невозможным одновременный распад дыры и сохранение заряда и энергии-импульса. В то же время равенство массы и заряда есть BPS-условие для Dp-браны, как я тоже писал в первом посте про AdS/CFT, так что стабильность Dp-браны, или экстремальной черной p-браны, имеет также прямое отношение к сохранению половины суперсимметрий пространства-времени.

Будем следовать параграфу 11.2 книги E. Kiritsis «String Theory in a Nutshell» (сайт с халявными книгами перестал работать, возможно временно, так что если нужна книга, напишите об этом в комментариях). Упростим рассмотрение там до очевидного примера. Начнем с суперсимметричной частицы массы M и заряда q, насыщающей BPS-ограничение, то есть = q. Пусть эта частица распадается на составляющие части с массами mi и зарядами qi. Если частицы разлетаются (как в излучении Хокинга), то

$$M>\sum m_i.$$

При этом BPS-ограничение на каждую конечную частицу и BPS условие для исходной частицы дают

$$q>\sum q_i,$$

в противоречии с законом сохранения заряда. В цитированной книге не накладывается условие необходимости разлета частиц, а используются более тонкие аргументы с особенностями фундаментальных значений модулярного параметра суперсимметричной теории, присутствующем в формуле для BPS ограничения.

Действие Борна-Инфелда

Рассмотрим Dp-брану в некотором пространственно-временном фоне с метрикой gμν. Пусть σα есть координаты мирового объема Dp-браны, поэтому α = 0, ..., p. Запишем действие Намбу-Гото для Dp-браны, максимизирующее мировой объем:

$$S_1=-T_{Dp}\int d^{p+1}\sigma[-\det(G_{\alpha\beta}+kF_{\alpha\beta})]^{1/2}.$$

В формуле фигурирует индуцированная метрика на мировом объеме: Gαβ = gμναXμβXν. Ясно, что динамическими полями являются координаты вложения Xμ, которые полностью определяют метрику на бране. Далее в формуле фигурирует Максвелловский тензор напряженностей Fαβ. Замечу, что в действии Намбу-Гото для струны, которое эквивалентно действию Полякова, такого объекта нет. Это связано с тем, что на струне Полякова (называемой фундаментальной струной, или F-струной) не могут оканчиваться другие струны, в то время как на одномерной D1-бране (называемой D-струной) — могут по определению D-браны. Почему D-брана содержит Максвелловское поле на мировом объеме, а фундаментальная струна нет? Есть несколько способов ответить на этот вопрос, и один из них — требование суперсимметрии (p + 1)-мерной теории, а именно — для обеспечения восьми физических бозонов (ибо мы уже имеем 8 физических киральных фермионов), что образует максимально-суперсимметричную теорию Максвелла с 16 сохраняющимися суперзарядами. Но мы пока не ввели суперсимметрию для описания Dp-браны. На бозонном уровне главная причина наличия Максвелловского поля есть T-дуальность. На самом деле именно благодаря T-дуальности мы генерируем низкоразмерные Dp-браны (т.е. не D9-брану, заполняющую все пространство-время и гарантирующую Неймановские условия для открытых струн по всем координатам), стартуя из Неймановских открытых струн. Поэтому многие свойства Dp-бран связаны именно с T-дуальностью. И наличие Максвелловского поля на мировом объеме — одно из них. Действительно, совершив преобразования T-дуальности по всем p направлениям вдоль Dp-браны, то есть по всем направлениям в которых граничные уловия Неймановские, мы свернем все эти направления и получим D0-брану. Теперь все граничные условия есть граничные условия Дирихле. Вопрос в том, в какую именно точку прежнего (p + 1)-мерного мирового объема осядет D0-брана? То есть, как в прежнем, до-дуальном описании Dp-браны, содержится информация об этой точке. Ясно, что ответ — это наличие некоторого поля на мировой поверхности, а именно — абелева векторного поля Aα. Абелева — потому что соответствует коммутирующим координатам, векторного — потому что соответствует координатам в векторном представлении группы Лоренца на мировом объеме.

Теперь наконец можно перейти к суперсимметричной теории. Также как и в теории суперструн Грина-Шварца (см. начало главы 5 BBS, если интересны детали) сделаем замену

$$\partial_\alpha X^\mu\rightarrow\Pi_\alpha ^\mu=\partial_\alpha X^\mu-\bar\Theta^A\Gamma^\mu\partial_\alpha\Theta^A,$$

где ΘA (A = 1, 2) есть 16-компонентные Майорана-Вейлевские спиноры десятимерного пространства-времени. Следующий этап суперсимметризации — это переход

$$F_{\alpha\beta}\rightarrow{\cal F}_{\alpha\beta}=F_{\alpha\beta}+b_{\alpha\beta},$$

где

$$b=(\bar\Theta^1\Gamma_\mu d\Theta ^1-\bar\Theta^2\Gamma_\mu d\Theta^2)(dX^\mu-\frac{1}{2}\Bar\Theta^A\Gamma^\mu d\Theta^A).$$

Каждая из величин Gαβ и Fαβ теперь суперсимметрична относительно 32 суперзарядов. Так что пока это еще не вполне Dp-брана, она слишком суперсимметрична для того, чтобы 16-суперсимметричные открытые струны могли на ней заканчиваться. Второй член, снижающий количество сохраняемых суперсимметрий до 16-ти, есть член Черна-Саймонса, удобно записываемый как интеграл по (p + 2)-мерному пространству M, содержащему мировой объем WV рассматриваемой Dp-браны в качестве своей границы, от формы dΩp+1:

$$S_2=\int\limits_Md\Omega_{p+2}=\int\Omega_{WV}.$$

Этот член суперсимметричен сам по себе, однако с его наличием полное действие приобретает κ-симметрию, делающую половину фермионных координат калибруемыми. В результате в мировом объеме Dp-браны остается 16 суперсимметрий, и любая теория суперструн (или супергравитации), записанная в метрике, создаваемой Dp-браной, будет содержать 16 спонтанно нарушенных суперсимметрий.

В бозонной теории член S2 переходит просто в

$$S_2=\mu_{p+1}\int C_{p+1},$$

где Cp+1 есть RR-поле, а μp+1 — соответствующий RR-заряд. Подчеркну, что для перехода к классическим теориям именно такое действие и рассматривается, ибо весь фермионный фон кладется равным нулю.

Напоследок замечу, что построенное действие называется DBI действием (помимо Борна и Инфелда — еще Дирак).

Практика

Задача (12.9 из BBS).

Рассмотрим действие Борна-Инфелда для одной пробной D3-браны в AdS5×S5 фоне. Покажите, что когда метрика выражается в терминах координаты u = r/α′, зависимость от α′ аннулируется. Каково значение этого результата?

Хорошо, как мы знаем, SO (1, 3) × SO (6) симметричная метрика экстремальной черной p-браны вблизи горизонта дается выражением

$$ds^2\sim\left(\frac{r}{R}\right)^2dx\cdot dx+\left(\frac{R}{r}\right)^2dr^2+R^2d\Omega_5^2.$$

Эта же метрика может представляться как результат искривления геометрии стопкой из N D3-бран, тогда R4 = 4gs2 (см. BBS (12.28), (12.29)) В принципе количество бран просто дает выражение для заряда, с точки зрения влияния только на геометрию. С точки зрения теории мирового объема, или теории открытых струн, которые прикрепляются к бранам из стопки, мы конечно получаем еще U(N) калибровочную группу теории поля в мировом объеме.

(Эта же метрика оказывется метрикой пространства-времени AdS5×S5, что легко видно введением координаты R2/r:

$$ds^2=R^2\frac{dx\cdot dx+dz^2}{z^2}+R^2d\Omega_5^2.$$

В принципе, мы это уже обсуждали в первом посте про AdS/CFT.)

Итак, мы имеем пространственно-временную метрику

$$g_{\mu\nu}=\text{diag}\left\{-\left(\frac{r}{R}\right)^2, \left(\frac{r}{R}\right)^2,\left(\frac{r}{R}\right)^2, \left(\frac{r}{R}\right)^2, \left(\frac{R}{r}\right)^2,R^2g_{ij}\right\},$$

где gij обозначает метрику единичной сферы, а также оба AdS5 и S5 имеют одинаковый радиус R. Обозначим f = R4/r4. Если мы хотим построить DBI действие для пробной D3-браны в AdS5 × S5 фоне то во первых мы должны совершить pullback этой фоновой метрики на мировой объем D3-браны. Так как фон зафиксирован, мы можем выбрать статические координаты для параметризации мирового объема D3-браны. Мы также должны принять во внимание возможность движения D3-браны по r координате и на сфере S5. Поэтому pullback фоновой метрики на мировой объем D3-браны выглядит следующим образом:

$$g_{\alpha\beta}=f^{-1/2}\eta _{\alpha\beta}+f^{1/2}\partial_\alpha r\partial_\beta r+r^2f^{1/2}g_{ij}\partial_\alpha\theta^i\partial _\beta\theta ^j$$

где я обозначил координаты 5-сферы как θi. Бозонная часть DBI действия выведена выше, и именно ей мы будем пользоваться. Натяжение равно

$$T_{D3}=\frac{1}{(2\pi)^3\alpha ^{\prime 2}g_s},$$

как следует из BBS (6.115). В результате получаем действие

$$S_1=-\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}\int d^4xf^{-1}\sqrt{-\det\left(\eta_{\alpha\beta}+f\partial_\alpha r\partial_\beta r+r^2fg_{ij}\partial_\alpha\theta^i\partial_\beta\theta^j+2\pi\alpha'\sqrt{f}F_ {\alpha\beta}\right)}.$$

Здесь x обозначает первые четыре координаты AdS5 — координаты «на границе». Детерминант взят для 4×4 матрицы с индексами α, β.

Как отмечено выше, в DBI действии имеется еще второй член S2, который в бозонном действии сводится чисто к описанию взаимодействия D3-браны с полем C4:

$$S_2=\mu_3\int C_4.$$

В силу того, что D3-брана есть BPS-объект, заряд и натяжение для нее взаимосвязаны:

$$\mu _3=T_{D3}=\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}.$$

В силу соображений симметрии (вообще то это следует из точного решения уравнений IIB-супергавитации, предоставленного в BBS (12.25)) мы выбираем

$$C_{\mu\nu\lambda\rho}=\sqrt{|g_4|}\varepsilon_{\mu\nu\lambda\rho}= f^{-1}\varepsilon_{\mu\nu\lambda\rho},$$

и тогда находим

$$S_2=\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}\int d^4xf^{-1}.$$

В результате получаем следующее бозонное DBI-действие:

$$S=-\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}\int d^4xf^{-1}\left[\sqrt{-\det\left(\eta_{\alpha\beta}+f\partial_\alpha r\partial_\beta r+r^2fg_{ij}\partial_\alpha\theta^i\partial_\beta\theta^j+2\pi\alpha'\sqrt{f}F_{\alpha\beta}\right)}-1\right].$$

Можно легко устранить зависимость действия от α′ путем простой замены координат r = ′, т.к. ~ (α′)2. При изучении гравитационной части AdS/CFT соответствия мы (можем быть) заинтересованы в низкоэнергетическом пределе теории суперструн (и потому в переходе к супергравитации), что может быть достигнуто путем отправки энергетического расстояния между уровнями возбуждения струны в бесконечность: α′ → 0. В этом пределе теория в объеме (гравитация) полностью отщепляется от теории на границе, ибо ньютоновская константа связи между ними стремится к нулю: κ ~ gsα2 → 0. Энергия Eb любого возбуждения в объеме с радиальной координатой r дает значение E = gtt(r)Eb = rEb/α′, когда измеряется наблюдателем на бесконечности (в силу красного смещения). Если мы держим энергию E и энергию Eb фиксированной в струнных единицах, то это приведет к требованию фиксированной координаты u = r/α′.

Ключевые слова: гравитация, D браны, AdS/CFT, задачи | Комментарии (4)