Заметки о теоретической физике → 2011 → 03 → 23
Михаил Гойхман

Пространство AdS

23 марта 2011 года, 12:20

Имеет смысл на всякий случай суммировать в отдельном посте основные факты касательно пространства AdS. В первую очередь пространство AdSd+1 — это максимально-симметричное (число параметров симметрии равно числу вращений плюс трансляций по всем координатам в плоском пределе или числу вращений в пространстве вложения в целом, то есть ½ (d + 1) (d + 2)) решение уравнений Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной Λ. Введя радиус R пространства AdS, связанный с космологической постоянной по формуле Λ = −3/R2, можем представить AdS как вложение (d + 1)-мерного пространства-времени в (d + 2)-мерное пространство Минковского с сигнатурой (2, d):

$$y_1^2+\cdots +y_d^2-t_1^2-t_2^2=-R^2$$

Для конкретных вычислений метрики в разных координатных системах просто положим R = 1. Тогда все координаты будут безразмерными и мы получаем возможность совершать конформные преобразования и всяческие замены координат, не противоречащие размерным соображениям. Вполне очевидно что при таком описании SO (2, d) симметрия AdS становится явной.

1. Переходя к координатам Пуанкаре по формуле

$$(z,x^0,x^i)=((t_1+y_d)^{-1},t_2(t_1+y_d)^{-1},y_i(t_1+y_d)^{-1})$$

получим выражение для метрики

$$ds^2=\frac{1}{z^2}((dx^2)_{d+1}+dz^2).$$

Обратите внимание, что в такой форме имеется явная симметрия по отношению к действию глобальных преобразований подгруппы SO (1, 1) полной группы симметрий SO (2, d):

(x, z) → (cx, cz).

Также видна явная симметрия по отношению к SO (1, d), вращающей координаты x между собой.

В координатах Пуанкаре граница AdSd+1 представляет собой пространство Минковского R1,d−1 в z = 0 и точку P в z = ∞.

Далее, в координатах Пуанкаре можно изобразить только половину всего пространства AdS. Об этом подробнее в пункте 3.

2. Введем сферические координаты на пространственной и временной части (d + 2)-мерного пространтсва-времени вложения по-отдельности:

$$\sum _{i=1}^ddy_i^2=dv^2+v^2d\Omega _d^2,$$

$$\sum_{j=1,2}dt_j^2=d\tau ^2+\tau ^2d\theta^2.$$

Здесь dv и  есть элементы радиальных расстояний, а d и  — элементы угловых расстояний. Поверхность AdS, вложенная в (d + 2)-мерное пространство-время, задается тогда формулой

$$v^2-\tau ^2=-1.$$

Из этой формулы мы можем сразу же выразить τ и  через v и dv, после чего получаем

$$dv^2-d\tau ^2-\tau ^2d\theta ^2=\frac{dv^2}{1+v^2}-(1+v^2)d\theta ^2.$$

Как видно у нас имеется периодичное время θ. Это нам совершенно ни к чему, поэтому мы развертываем окружность, на которой θ принимает значения, до бесконечного радиуса. Такое пространство-время называется CAdS (covering AdS). Именно оно и имеется в виду в AdS/CFT соответствии.

3. Рассмотрим глобальную параметризацию координат пространства вложения координатами пространства AdS:

$$t_1=\cosh\rho\cos\tau,\quad t_2=\cosh\rho\sin\tau,\quad y_i=\sinh\rho\,\Omega_i,$$

где = 1, ..., d, ρ ≥ 0, 0 ≤ τ < 2π, а также ∑Ωi2 = 1. Ясно, что мы имеем d + 1 независимых координат (τ, ρ, Ωi), параметризующих AdS, и метрика записывается в виде

$$ds^2=-\cosh ^2\rho\, d\tau ^2+d\rho ^2+\sinh ^2\rho\, d\Omega ^2.$$

Опять же область значений времени τ должна быть развернута до окружности с бесконечным радиусом.

Перейдем теперь от координаты θ к координате ρ по формуле tan θ = sinh ρ. Тогда 0 ≤ θ < π/2, и метрика приобретает вид

$$ds^2=\frac{1}{\cos ^2\theta}(-d\tau ^2+d\theta ^2+\sin ^2\theta\, d\Omega ^2).$$

Теперь для изучения причинной структуры и построения диаграммы Пенроуза можно совершить конформное преобразование метрики, получая:

$$ds^2=-d\tau ^2+d\theta ^2+\sin ^2\theta\, d\Omega ^2,$$

откуда будет следовать что AdS есть просто половина сферической Вселенной Эйнштейна (у Эйнштейна 0 ≤ θ < π — сферическая координата) с границей в θ = π/2, имеющей топологию сферы (в координатах Пуанкаре мы получили границу с топологией пространства Минковского, что однако просто сфера с бесконечным радиусом). Диаграмма Пенроуза для AdS2 представляет собой прямоугольник с координатами (τθ).

Наконец, координаты Пуанкаре, описанные в пункте 1, покрывают только половину этого прямоугольника, а именно его треугольную часть с одной из сторон, являющейся сферической границей θ = π/2 (или z = 0), а двумя другими сторонами — точечной границей z = ∞. На рисунке ниже, взятом из BBS, обозначение ρ соответсвует нашему обозначению θ.

Диаграмма Пенроуза для AdS


Для большинства практических целей мы будем пользоваться именно координатами Пуанкаре. Тогда мы просто накладываем нулевые граничные условия в точке P, отделяющей треугольник от всего прямоугольника AdS (на диаграмме Пенроуза P представляется в виде двух сторон треугольника, отделяющих область, покрываемую координатами Пуанкаре, от той области AdS, которую они не покрывают), так что динамику можно рассматривать только в Пуанкаре-треугольнике. Поэтому, кстати, точку P иногда называют горизонтом AdS в координатах Пуанкаре. Соответственно в глобальных координатах, в отличии от координат Пуанкаре, пространство AdS не имеет горизонта.

Также полезно порешать задачки из главы 12 BBS по соответствующей тематике. В секции комментариев можно указать те задачи, которые читателям интересно разобрать здесь. Там есть пара задач чисто про AdS и несколько задач по AdS/CFT соответствию.

Ключевые слова: гравитация, AdS/CFT, геометрия | Оставить комментарий